利用函数单调性证明积分不等式(修改)

利用函数单调性证明积分不等式
黄道增 浙江省台州学院 （浙江 317000）
摘要：积分不等式的证明方法多种多样，本文主要利用被积函数的单调性和通过构造辅助函数的单调性证明积分不等式。

关键词：函数单调性 积分不等式 辅助函数 中图分类号 O172.2
积分不等式是微积分学中一类重要的不等式，其证明方法多种多样。

如果题目条件中含“单调性”或隐含“单调性”的条件，利用函数单调性证明比较简单。

本文主要讨论利用被积函数的单调性和通过构造辅助函数的单调性证明积分不等式。

1 利用被积函数的单调性
证明方法根据----定积分性质之一：设)(x f 与)(x g 为定义],[b a 在上的两个可积函数，若],[),()(b a x x g x f ∈≤，则dx x g dx x f b
a b a ⎰⎰≤)()(. 例1 设)(x f 为]1,0[上非负单调递减函数，
证明：对于10<<<βα，有⎰⎰
>βααβαdx x f dx x f )()(0 证明：由)(x f 的单调递减性得：
若10<≤<αx ，有)()(αf x f ≥
所以)()()(00αααα
αf dx f dx x f =≥⎰⎰ （1） 同理有 )()()()(ααβαβαβ
αf dx f dx x f -=≤⎰⎰ （2） 由（1）（2）得：
dx x f f dx x f ⎰⎰-≥≥β
αα
αβαα)(1)()(10 （3） 将（3）式两边同乘以β
αβα)(-，有 dx x f dx x f ⎰⎰≥-βαα
βαβα
β)()(0 因为1<-β
αβ，所以⎰⎰>βααβαdx x f dx x f )()(0 例2 试证：dx x x dx x x
⎰⎰-≥-1021021sin 1cos .
分析：不等式两边的积分是瑕积分。

在两边的积分中分别作变换x t arccos =与
x t arcsin =，原不等式可化为dt t dt t ⎰⎰≥202
0)sin(cos )cos(sin ππ
，欲证不等式，只需证明
)sin(cos )cos(sin t t ≥，)2,0(π∈t ，而)sin(cos )sin 2sin()cos(sin t t t ≥-=π。

因为)2,0(π∈t 时，2cos 0π<<t ，2sin 20ππ<-<t ，而函数x y sin =在)2
,0(π上严格单调递增，于是只要证明 当)2,0(π∈t 时，有t t sin 2cos -≤π或2sin cos π≤+t t 。

当)2
,0(π∈t 时，2
2)4sin(2sin cos ππ<≤+=+t t t ，于是问题得证。

（证略） 2 利用辅助函数的单调性
证明方法根据----变微积分学基本定理和可导函数的一阶导数符号与单调性关系定理：
微积分学基本定理：若函数)(x f 在],[b a 上连续，则由变动上限积分],[,)()(b a x dt t f x x a
∈=Φ⎰，定义的函数Φ在],[b a 上可导，而且)()(x f x =Φ'.也就是说，函数Φ是被积函数)(x f 在],[b a 上的一个原函数.
可导函数的一阶导数符号与函数单调性关系定理：设函数)(x f 在],[b a 连续，在),(b a 内可导，如果在),(b a 内0)(≥'x f （或0)(≤'x f ），那么)(x f 在],[b a 上单调增加（或单调减少）。

证明的一般过程：
（1）构造辅助函数)(x f ，取定闭区间],[b a ；
（2）求函数)(x f 的导数)('x f ，再判别它的符号，利用可导函数的一阶导数符号与函数单调关系，判断函数的单调性；
（3）求函数在区间端点的函数值；
（4）根据第2步和第3步即可得证。

例3 设)(x f 在],[b a 上连续，且单调递增，试证明dx x f b a dx x xf b a
b
a ⎰⎰+≥
)(2)(. 分析：可将此定积分不等式中常数b 变为变数x ，利用差式构造辅助函数：dt t f x a dt t tf x F x a x a ⎰⎰+-=)(2)()(，则要证0)()(=≥a F b F . 证明：设dt t f t a dt t tf x F x a x
a ⎰⎰+-=)(2
)()(，则)(x F 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导， dt t f x f dt t f x f a x x F x a x a ⎰⎰-=--=)]()([21])()()[(21)(' ∵)(x f 在],[b a 上连续，且单调增加，
∴0)('≥x g
即)(x g 在],[b a 上单调增加，
∵0)(=a F ∴0)(>b F ∴0)(2
)(≥+-⎰⎰dx x f b a dx x xf b a b
a ∴dx x f
b a dx x xf b a b a ⎰⎰+≥)(2)( 例4 设)(x f ，)(x g 在]1,0[上的导函数连续，且0)0(=f ，0)('≥x f ，0)('≥x g ，证明：对任何]1,0[∈a ，有)1()()(')()(')(1
00g a f dx x g x f dx x f x g a ≥-⎰⎰ 分析：可将此定积分不等式的常数a 变为变数x ，利用差式构造辅助函数：)1()()(')()(')()(1
00g x f dt t g t f dt t f t g x F x --=⎰⎰，则要证0)(≥a F . 证明：令)1()()(')()(')()(1
00g x f dt t g t f dt t f t g x F x --=⎰⎰，]1,0[∈x ，则)(x F 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，且)]1()()[(')1()(')(')()('g x g x f g x f x f x g x F -=-=
∵0)('≥x g 且0)('≥x f
∴)1()(g x g ≤，则0)('≤x F ，
∴)1()1()(')()(')()1()(1
010g f dt t g t f dt t f t g F x F --=≥⎰⎰ )1()1()]()([1
0g f x f x g d -=⎰ 0)1()1()]0()0()1()1([=--=g f g f g f
即0)(≥x F ，]1,0[∈x 。

∴对任何]1,0[∈a ，有)1()()(')()(')(1
00g a f dx x g x f dx x f x g a ≥-⎰⎰. 例5 设)(x f 在]1,0[上可微，且当)1,0(∈x 时，1)('0<<x f ，0)0(=f ，
试证：dx x f dx x f ⎰⎰>1
03210)(])([ 分析：可将此定积分不等式看成是数值不等式，并将常数1变为变数x ，利用差式构造辅助函数.
证明：对任意]1,0[∈t ，构造函数dx x f dx x f t F t
t ⎰⎰-=0320)(])([)(,显然有0)0(=F )]()(2)[(2)('20t f dx t f t f t F t
-=⎰， 不妨令)()(2)(20t f dx t f t H t
-=⎰，显然有0)0(=H )]('1)[(2)(')(2)(2)('t f t f t f t f t f t H -=-=
1)('0<<t f
∴)(t f 在]1,0[上严格单调递增。

∴0)0()(=>f t f
∴0)('≥t H
∴对任意]1,0[∈t 有0)0()(=≥H t H ，0)('>t F ，]1,0[∈t
∴)(t F 在]1,0[上严格单调递增，0)0()1(=>F F
即dx x f dx x f ⎰⎰>1
03210)(])([ 评析：对于含有定积分的不等式，往往把某一常数变为变数，利用差式构造变上限辅助函数，再利用变上限积分dt t f x
a ⎰)(及函数的单调性解决。

参考文献
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[2] 张荣.辅助函数在不等式证明中的应用[J].数学的实践与认识,2007(10).
[3] 叶国菊，赵大方编.数学分析学习与考研指导[M].北京:清华大学出版,2009.
[4] 贾高.数学分析专题选讲[M].上海:上海交通大学出版社,2009.。