高三数学(文)
高三文科数学试卷电子版
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页…………外………………内……………○……在※※装※※订※※线………○……第II卷（非选择题）二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．若(x2+a)(x+x)8的展开式中x8的系数为9,则a的值为.14．北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出一个有趣的问题,大意是:酒店把酒坛层层堆积,底层摆成长方形,以后每上一层,长和宽两边的坛子各少一个,堆成一个棱台的形状(如图1),那么总共堆放了多少个酒坛?沈括给出了一个计算酒坛数量的方法——隙积术,设底层长和宽两边分别摆放a,b个坛子,一共堆了n层,则酒坛的总数S=ab+(a-1)(b-1)+(a-2)(b-2)+…+(a-n+1)(b-n+1).现在将长方形垛改为三角形垛,即底层摆成一个等边三角形,向上逐层等边三角形的每边少1个酒坛(如图2),若底层等边三角形的边上摆放10个酒坛,顶层摆放1个酒坛,那么酒坛的总数为.15．定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)满足f'(x1)=f'(x2)=f(b)-f(a)b-a,则称函数f(x)是[a,b]上的“中值函数”.已知函数f(x)=13x3-12x2+m是[0,m]上的“中值函数”,则实数m的取值范围是.16．设函数f(x)=exx+a(x-1)+b(a,b∈R)在区间[1,3]上总存在零点,则a2+b2的最小值为.三、解答题(共6题，共70分)17．已知数列{a n}的各项均为正数,S n为其前n项和,且4S n=a n2+2a n-3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若T n=a1+1S1−a3+1S3+a5+1S5-…+(-1)n+1a2n-1+1S2n-1,比较T n与1的大小.18．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a sin(C+π6)=b+c.(1)求角A的大小;(2)若a=√7,BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =-3,角A的平分线交边BC于点T,求AT的长.19．垃圾是人类生产和生活中产生的废弃物,由于排出量大,成分复杂多样,且具有污染性,因此需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量,采用简单随机抽样的方法抽取20个镇进行分析,得到样本数据(x i,y i)(i=1,2,…,20),其中x i和y i分别表示第i个镇的人口(单位:万人)和该镇年垃圾产生总量(单位:吨),并计算得∑i=120x i=80,∑i=120y i=4 000,∑i=120(x i-x¯)2=80,∑i=120(y i-y¯)2=8 000,∑i=120(x i-x¯)(y i-y¯)=700.(1)请用相关系数说明该组数据中y与x之间的线性相关程度;(2)求y关于x的线性回归方程;(3)某机构有两款垃圾处理机器,其中甲款机器每台售价100万元,乙款机器每台售价80万元,下表是这两款垃圾处理机器的使用年限(整年)统计表:根据以往经验可知,某镇每年可获得政府支持的垃圾处理费用为50万元,若仅考虑购买机器的成本和每台机器的使用年限(使用年限均为整年),以频率估计概率,该镇选择购买哪一款垃圾处理机器更划算?参考公式:相关系数r=∑i=1n(x i-x¯)(y i-y¯)√∑i=1(x i-x¯)2∑i=1(y i-y¯)2,对于一组具有线性相关关系的数据(x i,y i)(i=1,2,…,n),其回归直线y^=b^x+a^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^=∑i=1nx i y i−nx-y-∑i=1nx i2−nx-2，a^=y-−b^x-.20．如图,已知各棱长均为2的直三棱柱ABC-A1B1C1中,E为AB的中点.(1)求证:BC1∥平面A1EC;(2)求点B1到平面A1EC的距离.21．已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2√2.(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点S(-13,0)的动直线l交椭圆C于A,B两点,试问:在x轴上是否存在一个定点T,使得无论直线l如何转动,以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.22．已知函数f(x)=lnx,g(x)=-12x.(1)令F(x)=ax·f(x)-2x2·g(x),讨论F(x)的单调性;(2)设φ(x)=f(x)x-g(x),若在(√e,+∞)上存在x1,x2(x1≠x2)使不等式|φ(x1)-φ(x2)|≥k|lnx1-lnx2|成立,求k的取值范围.第3页共4页◎第4页共4页参考答案1.D【解析】解法一 因为A ={x ||x |≤3}={x |-3≤x ≤3},(题眼)(方法点拨:含有一个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边,小于在中间”,即|x |≤a 的解集是{x |-a ≤x ≤a },|x |≥a 的解集是{x |x ≤-a 或x ≥a })B ={x |x ≤2},所以A ∩B ={x |-3≤x ≤2},故选D.解法二 因为3∉B ,所以3∉(A ∩B ),故排除A,B;因为-3∈A 且-3∈B ,所以-3∈(A ∩B ),故排除C.故选D. 【备注】无 2.B【解析】解法一 z =4-3i 2-i=(4-3i)(2+i)(2-i)(2+i)=11-2i 5=115−25i,所以|z |=√(115)2+(-25)2=√5,(题眼)故选B.解法二 |z |=|4-3i2-i |=|4-3i||2-i|=√42+(-3)2√22+(-1)2=√5=√5,故选B.(方法总结:若z 1,z 2∈C ,则|z 1z 2|=|z 1|·|z 2|,|z1z 2|=|z 1||z 2|(|z 2|≠0)) 【备注】无3.A【解析】解法一 由sin x =1,得x =2k π+π2(k ∈Z ),则cos (2k π+π2)=cos π2=0,故充分性成立;又由cosx =0,得x =k π+π2(k ∈Z ),而sin(k π+π2)=1或-1,故必要性不成立.所以“sin x =1”是“cos x =0”的充分不必要条件,(判断充分、必要条件应分三步:(1)确定条件是什么,结论是什么;(2)尝试从条件推结论(充分性),从结论推条件(必要性);(3)确定条件和结论是什么关系)故选A.解法二 由sin x =1,得x =2k π+π2 (k ∈Z ),则cos(2k π+π2)=cos π2=0,故充分性成立;又cos 3π2=0,sin 3π2=-1,故必要性不成立.所以“sin x =1”是“cos x =0”的充分不必要条件,故选A. 【备注】无 4.A【解析】由题可知,数列{a n }是首项为29、公比为12的等比数列,所以S n =29[1-(12)n ]1-12=210-210-n,T n =29×28×…×210-n=29+8+…+(10-n )=2n(19-n)2,由T n >S n ,得2n(19-n)2>210-210-n,由n(19-n)2≥10,可得n 2-19n +20≤0,结合n ∈N *,可得2≤n ≤17,n ∈N *.当n =1时,S 1=T 1,不满足题意;当n ≥18时,n(19-n)2≤9,T n ≤29,S n =210-210-n>210-1>29,所以T n <S n ,不满足题意.综上,使得T n >S n 成立的n 的最大正整数值为17. 【备注】无 5.B【解析】依题意,1=a 2+b 2-2a ·b =1+1-2a ·b ,故a ·b =12,所以(a -b )·(b -c )=a ·b -b 2-(a -b )·c =(b -a )·c -12=|b -a ||c |·cos<b -a ,c >-12≤1-12=12,当且仅当b -a 与c 同向时取等号.所以(a -b )·(b -c )的最大值为12.故选B.【备注】无 6.D【解析】由已知可得∠xOP =∠P 0OP -∠P 0Ox =π2t -π3,所以由三角函数的定义可得y =3sin∠xOP =3sin(π2t -π3),故选D.【备注】无 7.B【解析】本题主要考查古典概型、排列与组合等知识,考查的学科素养是理性思维、数学应用. “礼、乐、射、御、书、数”六节课程不考虑限制因素有A 66=720(种)排法,其中“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的排课方法可以分两类:①“数”排在第一节,“礼”和“乐”两门课程相邻排课,则有C 41A 22A 33=48(种)排法;②“数”排在第二节,“礼”和“乐”两门课程相邻排课,则有C 31A 22A 33=36(种)排法.(方法总结:解决排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置))故“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的排法共有48+36=84(种),所以“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的概率P =84720=760,故选B. 【备注】无 8.C【解析】解法一 由已知可得AA 1⊥底面ABC ,且AC ⊥BC ,所以V A -PBC =V P -ABC =13×S △ABC ×PA =13×12×3×4×PA =4,解得PA =2.在平面ACC 1A 1内,过点C 1作C 1H ⊥PC ,垂足为H ,如图.由CC 1⊥底面ABC ,可得CC 1⊥BC ,因为AC ⊥BC ,AC ∩CC 1=C ,所以BC ⊥平面ACC 1A 1,所以BC ⊥C 1H ,又C 1H ⊥PC ,PC ∩BC =C ,所以C 1H ⊥平面PBC ,连接BH ,故∠C 1BH 就是直线BC 1与平面PBC 所成的角.在矩形ACC 1A 1中,CP =√CA 2+AP 2=√42+22=2√5,sin∠C 1CH =cos∠PCA =AC CP =2√5=√5=C 1H CC 1=C 1H 3,故C 1H =3×√5=√5.故在△BC 1H中,sin∠C 1BH =C 1HBC 1=√53√2=√105,所以直线BC 1与平面PBC 所成角的正弦值等于√105.故选C.解法二 由已知得AA 1⊥底面ABC ,且AC ⊥BC ,所以V A -PBC =V P -ABC =13×S △ABC ×PA =13×12×3×4×PA =4,解得PA =2.如图,以C 为坐标原点,分别以CB⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,C C_1的方向为x ,y ,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则C (0,0,0),P (0,4,2),B (3,0,0),C 1(0,0,3),则CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,2),B ⃗ C_1=(-3,0,3).设平面BCP 的法向量为n =(x ,y ,z ),则由{n ⊥CB⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥CP⃗⃗⃗⃗ 可得{n·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x =0,n·CP ⃗⃗⃗⃗ =4y +2z =0,即{x =0,2y +z =0,得x =0,令y =1,得z =-2,所以n =(0,1,-2)为平面BCP 的一个法向量.设直线BC 1与平面PBC 所成的角为θ,则sin θ=|cos<n ,B ⃗ C_1>|=|n·B⃗⃗ C_1||n||B⃗⃗ C_1|=√(-3)2+32×√12+(-2)2=√105.故选C.【备注】求直线与平面所成角的方法:(1)定义法,①作,在直线上选取恰当的点向平面引垂线,确定垂足的位置是关键;②证,证明所作的角为直线与平面所成的角,证明的主要依据是直线与平面所成角的概念;③求,利用解三角形的知识求角.(2)向量法,sin θ=|cos<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n|(其中AB 为平面α的斜线,n 为平面α的法向量,θ为斜线AB 与平面α所成的角).9.B【解析】本题主要考查集合以及自定义问题的解题方法；G =N,⊕为整数的加法时，对任意a,b ∈N ，都有a ⊕b ∈N ，取c =0，对一切a ∈G ，都有a ⊕c =c ⊕a =a ，G 关于运算⊕为“融洽集”. 【备注】无 10.D【解析】对于A,甲街道的测评分数的极差为98-75=23,乙街道的测评分数的极差为99-73=26,所以A 错误;对于B,甲街道的测评分数的平均数为75+79+82+84+86+87+90+91+93+9810=86.5,乙街道的测评分数的平均数为73+81+81+83+87+88+95+96+97+9910=88,所以B 错误;对于C,由题中表可知乙街道测评分数的众数为81,所以C 错误;对于D,甲街道的测评分数的中位数为86+872=86.5,乙街道的测评分数的中位数为87+882=87.5,所以乙的中位数大,所以D 正确. 故选D. 【备注】无 11.A【解析】本题考查函数的图象与性质,数形结合思想的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力. 解法一 易知x =0是方程|x |-a (x 3+3x 2)=0的一个根,显然x ≠-3,当x ≠0且x ≠−3时,由|x |-a (x 3+3x 2)=0,得a =|x|x 3+3x 2,设g (x )=|x|x 3+3x 2,则g (x )的图象与直线y =a 有3个不同的交点.当x >0时,g (x )=1x 2+3x ,易知g (x )在(0,+∞)上单调递减,且g (x )∈(0,+∞).当x <0且x ≠-3时,g (x )=-1x 2+3x,g'(x )=2x+3(x 2+3x)2,令g'(x )>0,得-32<x <0,令g'(x )<0,得−3<x <−32或x <−3,所以函数g (x )在(−∞,−3)和(−3,−32)上单调递减,在(−32,0)上单调递增,且当x 从左边趋近于0和从右边趋近于−3时,g (x )→+∞,当x 从左边趋近于-3时,g (x )→−∞,当x →−∞时,g (x )→0,可作出函数g (x )的大致图象,如图所示,由图可知,a >49.综上,实数a 的取值范围是(49,+∞).解法二 易知x =0是方程|x |-a (x 3+3x 2)=0的一个根,当x ≠0时,由|x |-a (x 3+3x 2)=0,得1|x|=a (x +3),则该方程有3个不同的根.在同一坐标系内作出函数y =1|x|和y =a (x +3)的图象,如图所示.易知a >0,当y =a (x +3)与曲线y =1|x|的左支相切时,由-1x=a (x +3)得ax 2+3ax +1=0,Δ=(3a )2-4a =0,得a =49.由图可知,当a >49时,直线y =a (x +3)与曲线y =1|x|有3个不同的交点,即方程1|x|=a (x +3)有3个不同的根.综上,实数a 的取值范围是(49,+∞).【备注】【方法点拨】利用方程的根或函数零点求参数范围的方法及步骤:(1)常规思路:已知方程的根或函数的零点个数,一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数,这时图象一定要准确,这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题.(2)常用方法:①直接法——直接根据题设条件构建关于参数的不等式,通过解不等式确定参数范围;②分离参数法——先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;③数形结合法——先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.(3)一般步骤:①转化——把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况;②列式——根据零点存在性定理或结合函数图象列式;③结论——求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围 12.B【解析】因为圆x 2+y 2=a 2与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ,所以∠A 1MA 2=90°,tan∠MOA 2=ba,所以∠PMA 2=90°.因为△MPA 2是等腰三角形,所以∠MA 2P =45°.因为∠PA 2M 的平分线与y 轴平行,所以∠OA 2M =∠PA 2x ,又∠OA 2M +∠A 2MO +∠MOA 2=180°,∠OA 2M =∠A 2MO ,所以∠MOA 2=∠MA 2P =45°,(题眼)所以b a=tan∠MOA 2=1,所以C 的离心率e =c a =√a 2+b 2a 2=√1+b 2a 2=√2.故选B.【备注】无 13.1【解析】二项式(x +1x )8的展开式中,含x 6的项为C 81x 7(1x )1=8x 6,含x 8的项为C 80x 8(1x )0=x 8,所以(x 2+a )(x +1x)8的展开式中,x 8的系数为8+a =9,解得a =1.【备注】无 14.220【解析】根据题目中已给模型类比和联想,得出第一层、第二层、第三层、…、第十层的酒坛数,然后即可求解.每一层酒坛按照正三角形排列,从上往下数,最上面一层的酒坛数为1,第二层的酒坛数为1+2,第三层的酒坛数为1+2+3,第四层的酒坛数为1+2+3+4,…,由此规律,最下面一层的酒坛数为1+2+3+…+10,所以酒坛的总数为1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+10)=1+3+6+…+55=220. 【备注】无 15.(34,32)【解析】由题意,知f '(x )=x 2-x 在[0,m ]上存在x 1,x 2(0<x 1<x 2<m ),满足f '(x 1)=f '(x 2)=f(m)-f(0)m=13m 2-12m ,所以方程x 2-x =13m 2-12m 在(0,m )上有两个不相等的解.令g (x )=x 2-x-13m 2+12m (0<x <m ),则{Δ=1+43m 2-2m >0,g(0)=-13m 2+12m >0,g(m)=23m 2-12m >0,解得34<m <32.【备注】无16.e 48 【解析】设x 0为函数f (x )在区间[1,3]上的零点,则e x 0x 0+a (x 0-1)+b =0,所以点(a ,b )在直线(x 0-1)x +y +e x 0x 0=0上,(题眼)而a 2+b 2表示坐标原点到点(a ,b )的距离的平方,其值不小于坐标原点到直线(x 0-1)x +y +e x 0x 0=0的距离的平方,(名师点拨:直线外一点到直线上的点的距离大于等于该点到直线的距离)即a 2+b 2≥e 2x 0x 02(x 0-1)2+12=e 2x 0x 04-2x 03+2x 02.令g (x )=e 2xx 4-2x 3+2x 2,x ∈[1,3],则g'(x )=2e 2x (x 4-2x 3+2x 2)-e 2x (4x 3-6x 2+4x)(x 4-2x 3+x 2)2=2x(x-1)2(x-2)e 2x (x 4-2x 3+x 2)2,则当1≤x <2时,g'(x )<0,当2<x ≤3时,g'(x )>0,所以函数g (x )在区间[1,2)上单调递减,在区间(2,3]上单调递增,所以g (x )min =g (2)=e 48,所以a 2+b 2≥e 48,所以a 2+b 2的最小值为e 48. 【备注】无17.解:(1)令n =1,则4a 1=a 12+2a 1-3,即a 12-2a 1-3=0,解得a 1=-1(舍去)或a 1=3.因为4S n =a n 2+2a n -3 ①,所以4S n +1=a n+12+2a n +1-3 ②,②-①,得4a n +1=a n+12+2a n +1-a n 2-2a n ,整理得(a n +1+a n )(a n +1-a n -2)=0, 因为a n >0,所以a n +1-a n =2,所以数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列,所以a n =3+(n -1)×2=2n +1.(2)由(1)可得,S n =(n +2)n ,a 2n -1=4n -1,S 2n -1=(2n +1)(2n -1), 所以a 2n-1+1S 2n-1=4n (2n+1)(2n-1)=12n-1+12n+1.当n 为偶数时,a 1+1S 1−a 3+1S 3+a 5+1S 5-…+(-1)n+1a 2n-1+1S 2n-1=(1+13)-(13+15)+(15+17)-…-(12n-1+12n+1) =1-12n+1<1; 当n 为奇数时,a 1+1S 1−a 3+1S 3+a 5+1S 5-…+(-1)n+1a 2n-1+1S 2n-1=(1+13)-(13+15)+(15+17)-…+(12n-1+12n+1)=1+12n+1>1.综上,当n 为偶数时,T n <1;当n 为奇数时,T n >1. 【解析】无 【备注】无 18.无【解析】(1)由已知及正弦定理,得2sin A sin(C +π6)=sin B +sin C ,所以sin A cos C +√3sin A sin C =sinB +sin C.(有两角和或差的正弦(余弦)形式,并且其中有一个角是特殊角时,常常将其展开) 因为A +B +C =π,所以sin B =sin(A +C ),所以sin A cos C +√3sin A sin C =sin(A +C )+sin C ,则sin A cos C +√3sin A sin C =sin A cos C +cos A sin C +sin C ,即√3sin A sin C =sin C cos A +sin C.因为sin C ≠0,所以√3sin A =cos A +1,即sin(A -π6)=12. 因为0<A <π,所以A =π3.(2)由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3可知cb cos 2π3=-3,因此bc =6. 由a 2=b 2+c 2-2bc cos∠BAC =(b +c )2-2bc -bc =7,可得b +c =√7+3×6=5. 由S △ABC =S △ABT +S △ACT 得,12bc sin π3=12c ·AT ·sin π6+12b ·AT ·sin π6,(与角平分线相关的问题,常常利用三角形的面积来解决)因此AT =bcsinπ3(b+c)sinπ6=6×√325×12=6√35. 【备注】无19.解:(1)由题意知,相关系数r =∑i=120(x i -x ¯)(y i -y ¯)√∑i=1(x i -x ¯)2∑i=1(y i -y ¯)2=√80×8 000=78=0.875, 因为y 与x 的相关系数接近于1,所以y 与x 之间具有较强的线性相关关系.(2)由题意可得,b ^=∑i=120(x i -x ¯)(y i -y ¯)∑i=120(x i-x ¯)2=70080=8.75,a ^=y -−b ^x -=4 00020-8.75×8020=200-8.75×4=165,所以y ^=8.75x +165.(将变量x ,y 的平均值代入线性回归方程,求得a ^)(3)以频率估计概率,购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用X (单位:万元)的分布列为E (X )=-50×0.1+0×0.4+50×0.3+100×0.2=30(万元).购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用Y (单位:万元)的分布列为E (Y )=-30×0.3+20×0.4+70×0.2+120×0.1=25(万元).因为E (X )>E (Y ),所以该镇选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算.(根据已知数据,分别计算随机变量X 和Y 的分布列、期望,期望越大,说明节约费用的平均值越大,也就越划算)【解析】本题主要考查变量相关性分析、线性回归方程的求解、概率的计算以及随机变量期望的意义和求法,考查的学科素养是理性思维、数学应用.第(1)问,由已知数据,代入相关系数公式,求得相关系数r 即可判断x 和y 的相关程度;第(2)问,根据最小二乘估计公式,求得b ^,a ＾的值,从而确定y 关于x 的线性回归方程;第(3)问,根据统计数据计算随机变量X 和Y 的分布列,并分别求期望,由期望的意义可知,数值越大表示节约的垃圾处理费用的平均值越大,从而确定购买哪一款垃圾处理机器. 【备注】无20.(1)如图,连接AC 1交A 1C 于点O ,连接OE ,则BC 1∥OE.(题眼)BC 1∥OEOE ⊂平面A 1EC BC 1⊄平面A 1EC }⇒BC 1∥平面A 1EC.(运用直线与平面平行的判定定理时,关键是找到平面内与已知直线平行的直线)(2)如图,连接A 1B ,则V A 1-ACE =12V A 1-ABC =12×13V ABC-A 1B 1C 1=12×13×√34×22×2=√33.(题眼) 根据直三棱柱的性质,易得A 1A ⊥平面ABC ,因为CE ⊂平面ABC ,所以AA 1⊥CE .因为E 为AB 的中点,△ABC 为正三角形,所以CE ⊥AB. 又AA 1∩AB =A ,AA 1,AB ⊂平面ABB 1A 1,所以CE ⊥平面ABB 1A 1, 因为A 1E ⊂平面ABB 1A 1,所以A 1E ⊥CE .在Rt△A 1CE 中,A 1E ⊥CE ,A 1C =2√2,A 1E =√5,EC =√3,所以S △A 1CE =12×√5×√3=√152. 设点A 到平面A 1EC 的距离为h ,则点B 1到平面A 1EC 的距离为2h .因为V A 1-ACE =V A-A 1CE =13×S △A 1CE ×h ,(点到平面的距离可转化为几何体的体积问题,借助等体积法来解决.等体积法:轮换三棱锥的顶点,体积不变;利用此特性,把三棱锥的顶点转换到易于求出底面积和高的位置是常用方法) 所以h =2√55,即点A 到平面A 1EC 的距离为2√55, 因此点B 1到平面A 1EC的距离为4√55.【解析】无【备注】高考文科数学对立体几何解答题的考查主要设置两小问:第(1)问通常考查空间直线、平面间的位置关系的证明;第(2)问通常考查几何体体积的计算,或利用等体积法求点到平面的距离.21.解:(1)由椭圆的定义可得2a =2√2,则a =√2, ∵椭圆C 的离心率e =ca =√22,∴c =1,则b =√a 2-c 2=1,∴椭圆C 的标准方程为y 22+x 2=1.(2)当直线l 不与x 轴重合时,设直线l 的方程为x =my -13,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),T (t ,0),(由于存在直线l 与x 轴重合的情形,故需进行分类讨论) 由{x =my-13y 22+x 2=1消去x 并整理,得(18m 2+9)y 2-12my -16=0,Δ=144m 2+64(18m 2+9)=144(9m 2+4)>0恒成立,则y 1+y 2=12m 18m 2+9=4m 6m 2+3,y 1y 2=-1618m 2+9. 由于以AB 为直径的圆恒过点T ,则TA ⊥TB ,TA⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1-t -13,y 1),TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 2-t -13,y 2), 则TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1-t -13)(my 2-t -13)+y 1y 2 =(m 2+1)y 1y 2-m (t +13)(y 1+y 2)+(t +13)2=-16(m 2+1)-m(t+13)×12m18m 2+9+(t +13)2=(t +13)2-(12t+20)m 2+1618m 2+9=0,∵点T 为定点,∴t 为定值,∴12t+2018=169,(分析式子结构,要使此式子的取值与m 无关,必须要将含有m 的相关代数式约去,通常采用分子与分母的对应项成比例即可解决) 解得t =1,此时TA⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43)2-169=0,符合题意. 当直线l 与x 轴重合时,AB 为椭圆C 的短轴,易知以AB 为直径的圆过点(1,0).综上所述,存在定点T (1,0),使得无论直线l 如何转动,以AB 为直径的圆恒过定点T .【解析】本题主要考查椭圆的定义及几何性质、直线与椭圆的位置关系,考查的学科素养是理性思维、数学探索.(1)首先由椭圆的定义求得a 的值,然后根据离心率的公式求得c 的值,从而求得b 的值,进而得到椭圆C 的标准方程;(2)当直线l 不与x 轴重合时,设直线l 的方程为x =my -13,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),T (t ,0),与椭圆方程联立,得到y 1+y 2,y 1y 2,由题意得出TA⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,然后根据平面向量数量积的坐标运算及T 为定点求得t 的值,当直线l 与x 轴重合时,验证即可,最后可得出结论. 【备注】无22.(1)∵F (x )=ax ·f (x )-2x 2·g (x ),∴F (x )=x +ax ·ln x , ∴F'(x )=1+a +a ln x .①当a =0时,F (x )=x ,函数F (x )在(0,+∞)上单调递增;②当a >0时,函数F'(x )=1+a +a ln x 在(0,+∞)上单调递增,令F'(x )=1+a +a ln x =0,得x =e-1-1a>0,∴当x ∈(0,e -1-1a )时,F'(x )<0,当x ∈(e -1-1a ,+∞)时,F'(x )>0,所以当a >0时,F (x )在(0,e -1-1a )上单调递减,在(e-1-1a,+∞)上单调递增;③当a <0时,函数F'(x )=1+a +a ln x 在(0,+∞)上单调递减,令F'(x )=1+a +a ln x =0,得x =e-1-1a>0,∴当x ∈(0,e -1-1a )时,F'(x )>0,当x ∈(e -1-1a ,+∞)时,F'(x )<0,∴F (x )在(0,e -1-1a )上单调递增,在(e -1-1a ,+∞)上单调递减. (2)由题意知,φ(x )=lnx x+12x,∴φ'(x )=1-lnx x 2−12x 2=1-2lnx 2x 2,令φ'(x )=0,得x =√e ,∴x >√e时,φ'(x )<0,∴φ(x )在(√e ,+∞)上单调递减.不妨设x 2>x 1>√e ,则φ(x 1)>φ(x 2),则不等式|φ(x 1)-φ(x 2)|≥k |ln x 1-ln x 2|等价于φ(x 1)-φ(x 2)≥k (ln x 2-ln x 1),即φ(x 1)+k ln x 1≥φ(x 2)+k ln x 2.令m (x )=φ(x )+k ln x ,则m (x )在(√e ,+∞)上存在单调递减区间, 即m'(x )=φ'(x )+kx=-2lnx+2kx+12x 2<0在(√e ,+∞)上有解,即-2ln x +2kx +1<0在(√e ,+∞)上有解,即在(√e ,+∞)上,k <(2lnx-12x)max .令n (x )=2lnx-12x(x >√e ),则n'(x )=3-2lnx 2x 2(x >√e ),由 n'(x )=0得x =e 32, ∴函数n (x )=2lnx-12x在(√e ,e 32)上单调递增,在(e 32,+∞)上单调递减.∴n (x )max =n (e 32)=2ln e 32-12e 32=e -32,∴k <e -32.故k 的取值范围为(-∞,e -32).【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值,考查分类讨论思想、化归与转化思想的灵活应用,考查考生的运算求解能力以及运用所学知识分析问题和解决问题的能力.(1)通过对函数求导,对参数进行分类讨论,来讨论函数的单调性;(2)依据函数的单调性将不等式转化为函数存在单调递减区间,最后转化为函数的最值问题来解决.【备注】【素养落地】本题将函数、不等式等知识融合起来,借助导数研究函数的性质,考查逻辑推理、数学运算等核心素养.【技巧点拨】解决本题第(2)问的关键是化归与转化思想的应用,先利用函数的单调性将不等式转化为φ(x1)+k ln x1≥φ(x2)+k ln x2,然后根据式子的结构特征构造函数m(x)=φ(x)+k ln x,将m(x)在(√e,+∞))max.上存在单调递减区间转化为m'(x)<0在(√e,+∞)上有解,进而转化为k<(2lnx-12x。
陕西省西安市铁一中2022届高三下学期开学考试数学(文)
文科数学试题（满分：150分 ，考试时间 ：120分钟）第一部分（选择题 共60分）一、选择题(共12个小题,每小题5分,计60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知全集U=R ，{}ln(1x)M x y ==- ，{}(x 2)21x N x -=< ，则()N U C M =A ．{x|x ≥l}B ．{x|1≤x <2}C ．{x|0≤x <l}D ．{x| O <x ≤l} 2. 复数1cos sin z x i x =-，2sin cos z x i x =-，则=⋅21z z A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.假如输出的函数值在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2141，内，则输入的实数x 的取值范围是A.[]23--，B.[]12--，C.[]01，-D.[]10， 4. 若3sin()5πα+=，α是第三象限的角，则sincos22sin cos 22παπαπαπα++-=--- A ．12 B ．12- C ．2 D ．2-5.某长方体的三视图如右图，长度为10的体对角线在正视图中的投影长度为6， 在侧视图中的投影长度为5，则该长方体的全面积为A.253+B.456+C.6D.10 6.已知)(1123*∈-=N n n a n ，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则使0n S >的n 的最小值为A.13B.12C.11D.10 7.已知双曲线)0,0(122>>=-n m ny mx 的离心率为2，则mn的值为 A.33B.3C.3D.31 8. 盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5cm ， 两个直径为5cm 的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降（ ）cm.A .32B. 35C. 2D. 39.函数sin xy x=，(0)(0,)x ππ∈-，的图像可能是下列图形中的10. 过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 11.定义在(0,)2π上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有(x)cosx f(x)sinx f '<成立，则A ．3()2()43f f ππ> B ．(1)2()sin16f f π>⋅ C ．2()()64f f ππ> D ．3()()63f f ππ>12．已知条件q a a x x q x p ⌝-<+-≤-且条件,:,114:22的一个充分不必要条件是p ⌝，则a 的取值范围是 A. []2,1- B. []2,21 C. []21,2-- D . (][)+∞-,2,221其次部分（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题---第21题为必考题，每个考生都必需作答. 第22题---第24题为选考题，考生依据要求作答.二、填空题(共4个小题，每小题5分，计20分)13.在平面直角坐标系中，不等式组0,40,x y x y x a +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩(a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为 .14.已知向量),10,(),5,4(),12,(k OC OB k OA -===且A,B,C 三点共线，则k= .15.在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，AB ＝3，BC ＝2，AC ＝7，则sin ∠ABD 等于 .16. 已知数列{}n a 的前n 项和构成数列{}n b ，若()2134nn b n =-+，则数列{}n a 的通项公式=n a ________.三、解答题（共6小题，计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本小题满分12分）已知函数(sin cos )()2cos ,x f x x x x R -=∈． （Ⅰ）求函数()f x 图像的对称中心；（Ⅱ）求函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,8ππ上的最小值和最大值．正视图侧视图俯视图。
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学(文)试题
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．已知(3,0),(3,0),(0,3)A B C -，则外接圆的方程为（）．22(1)2x y -+=B ．2(1)x y -+22(1)2x y +-=D ．2(x y +．已知一个半径为4的扇形圆心角为)π，面积为2π，若()tan θϕ+（）．0B ．12D ．1-A ．4B ．57．设一组样本数据122022,,,x x x 的平均数为1220220.11,0.11,,0.11x x x +++ 的平均数和方差分别为（A ．10,1B ．10,0.18．设,,l m n 表示直线，,αβ表示平面，使A ．αβ⊥，//l βC ．//l n ，n α⊥9．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若A ．1或9B ．110．设函数()f x 定义域为R ，(f x -()21f x x =-+，则下列结论错误的是（二、填空题15．已知抛物线于,A B两点，且中，16．在ABC的面积，则若S为ABC三、解答题17．已知公差d(1)求数列{}n a的通项公式；b=(2)若数列2n18．随着飞盘运动在网络上火爆起来后，一些年轻人的热情被点燃盘运动迎来了众多的青少年从某中学随机抽取男生和女生各34，女生中有5(1)完成下面22⨯关？有兴趣(1)证明：平面11A B F ⊥平面(2)若160,ABC AA ∠==20．已知椭圆E ：22x a +(1)求椭圆E 的方程.(2)设椭圆E 的下顶点为点两点，直线AP ，AQ 分别与直线l 过定点.。
2023届四川省攀枝花市高三第三次统一考试数学(文)试题【含答案】
2023届四川省攀枝花市高三第三次统一考试数学（文）试题一、单选题1．设集合，，则（ ）{}13,Z M x x x =-<≤∈{}1,0,1,2N =-M N ⋂=A ．B ．C ．D ．{}12x x -<≤{}1,0,1,2-{}0,1,2{}1,0,1,2,3-【答案】C【分析】化简集合，根据交集的定义求解即可.M 【详解】因为，{}13,Z M x x x =-<≤∈所以，又，{}0,1,2,3M ={}1,0,1,2N =-所以.{}0,1,2M N = 故选：C.2．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数（i 为虚数单位）i1i z a =-为“等部复数”，则实数a 的值为（ ）A ．B ．C ．0D ．13-1-【答案】B【分析】先化简复数，利用“等部复数”的定义：实部和虚部相等，列出方程求出的值．z a 【详解】，222(1i)i i 1i ((1i i 1i 1i))111a a a z a a a a a a +-+-==+-==++++-复数为“等部复数”，i1i z a =-，22111a a a -∴=++1a ∴=-故选：B ．3．攀枝花昼夜温差大，是内陆地区发展特色农业的天然宝地，干热河谷所孕育的早春蔬菜为大家送去新鲜优质的维生素和膳食纤维.下图为攀枝花年月日至日的最高气温与最低气温的天20233612气预报数据，下列说法错误的是（ ）A ．这天的单日最大温差为度的有天7172B ．这天的最高气温的中位数为度729C ．这天的最高气温的众数为度729D ．这天的最高气温的平均数为度729【答案】D【分析】确定这天的单日最大温差为度的日期，可判断A 选项；利用中位数的定义可判断B 717选项；利用众数的概念可判断C 选项；利用平均数公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，这天的单日最大温差为度为月日、月日，共天，A 对；7173103112对于B 选项，这天的最高气温由小到大依次为：、、、、、、（单位：），728282929293031C故这天的最高气温的中位数为度，B 对；729对于C 选项，这天的最高气温的众数为度，C 对；729对于D 选项，这天的最高气温的平均数为，D 错.728229330312042977⨯+⨯++=>故选：D.4．如图所示的程序框图中，若输出的函数值在区间内，则输入的实数x 的取值范围是()f x []3,2-（ ）A ．B ．[]4,1-[]2,4-C ．D ．[]1,4-[]1,2-【答案】B【分析】根据程序框图，明确该程序的功能是求分段函数的值，由此根据该函2log ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩数值域，可求得答案.【详解】由程序框图可知：运行该程序是计算分段函数的值，该函数解析式为 ，2log ,1()1,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩输出的函数值在区间 内 ，[]3,2-必有当时，，，1x >20log 2x <≤14x ∴<≤当 时 ，，，1x ≤310x -≤-≤21x ∴-≤≤即得 ．[2,4]x ∈-故选∶B ．5．若角的终边上有一点，则（ ）β()2,1P tan 2β=A ．B ．C ．D ．4343-4545-【答案】A【分析】根据正切函数的定义及二倍角的正切公式求解.【详解】因为角的终边上有一点，β()2,1P 所以，1tan 2β=所以，22tan 14tan 211tan 314βββ===--故选：A6．对于直线m 和平面，，下列命题中正确的是（ ）αβA ．若，，则B ．若，，则//m α//αβ//m βm β⊥αβ⊥//m αC ．若，，则D ．若，，则m α⊥//αβm β⊥m α⊂αβ⊥m β⊥【答案】C【分析】根据线面关系和面面关系逐项判断可得出答案.【详解】对于A ，若，，则或，故A 错误；//m α//αβ//m βm β⊂对于B ，若，，则或，故B 错误；m β⊥αβ⊥//m αm α⊂对于C ，若，，则，故C 正确；m α⊥//αβm β⊥对于D ，若，，则与相交或或，故D 错误.m α⊂αβ⊥m β//m βm β⊂故选：C.7．已知，，，，若“p 且q ”是真命题，则实数a:[1,2]p x ∀∈20x a -≥0:q x ∃∈R 200220x ax a ++-=的取值范围是（ ）A ．B ．C ．或D ．且2a ≤-1a ≤2a ≤-1a =2a >-1a ≠【答案】C【分析】分类讨论为真和为真时，的取值，进而利用集合的交集关系，即可求解p qa 【详解】若p 真，则；若q 真，则或．又因为“p 且q ”是真命题，所以或1a ≤2a ≤-1a ≥2a ≤-．1a =故选：C ．8．已知，c ＝sin1，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）0.0232log 8,π==a b A ．c ＜b ＜a B ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b【答案】D【分析】由对数的运算法则求出a ,然后根据指数函数与正弦函数的单调性分别对b ,c 进行放缩，最后求得答案.【详解】由题意，，，533223log 8log 20.65a ====0.020ππ1b =>=，则.ππsinsin1sin 43c <<⇒<<a c b <<故选：D.9．八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹以白彩绘成，黑线勾边，中为方形或圆形，具有向四面八方扩张的感觉.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形为等腰直角三角形.若向图2随机投一点，则该点落在白色部分的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．32π2π1285π【答案】D【分析】计算出白色部分对应的面积后根据几何概型的概率公式可求概率.【详解】设圆的半径为2，如图设与交于，设的中点为，连接.HC AF P AF M ,OM AO 则，设，则，故，OM AF ⊥AP a =222354222a a a ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭285a =而题设中空白部分的面积为，22214342a a ⎫⨯⨯⨯+=⎪⎪⎭故点落在白色部分的概率是，22484ππ5πa a ==故选：D.10．已知双曲线，A 为双曲线C 的左顶点，B 为虚轴的上顶点，直线l 垂()2222:10,0x y C a b a b -=>>直平分线段，若直线l 与C 存在公共点，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）AB A ．B ．C ．D．)+∞)+∞(【答案】B【分析】先根据题意求得直线l 的斜率，再根据直线l 与C 存在公共点，只需直线l 的斜率大于渐近线的斜率即可求解.ba -【详解】依题意，可得，则，()(),0,0,A a B b -00AB b bk a a -==+又因为直线l 垂直平分线段，所以，AB l a k b =-因为直线l 与C 存在公共点，所以，即，a b ba ->-22a b <则，即，解得222a c a <-2222,2c e a <>e >所以双曲线C 的离心率的取值范围是.)+∞故选：B11．已知函数对任意都有，则当取到最大值时，()()πsin 03f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()12f x >ω图象的一条对称轴为（ ）()f x A ．B ．π8x =3π16x =C ．D ．π2x =3π4x =【答案】A【分析】先根据，得到，结合，得到的范围，求3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3ππ3383x ωω<+<+1()2f x >3ππ83ω+出的范围，进而得到的最大值为，再利用整体法求出函数的对称轴，得到答案.ωω43【详解】，,3π0,8x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 0ω>，ππ3ππ3383x ωω∴<+<+，1()2f x >，π3ππ5π3836ω∴<+≤，所以的最大值为，403ω∴<≤ω43当时，令，43ω=4π()sin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭4πππ,Z 332x k k +=+∈解得，π3π,Z 84x k k =+∈当时，对称轴为，经检验，其他三个均不合要求.0k =π8x =故选：A12．定义在R 上的连续函数满足，且为奇函数.当时，()f x ()()11f x f x -=+()42y f x =+(]2,3x ∈，则（ ）()()()3232f x x x =---(2022)(2023)f f +=A ．B ．C ．2D ．01-2-【答案】B【分析】首先根据题意，得到，，从而得到函数的周期()()2=f x f x -()()22f x f x -+=-+()f x 为，再根据求解即可.4()()20233f f =【详解】因为函数满足，所以关于对称，()f x ()()11f x f x -=+()f x 1x =即①.()()2=f x f x -又因为为奇函数，所以，()42y f x =+()()4242f x f x -+=-+即②.()()22f x f x -+=-+由①②知，()()2=-+f x f x 所以，()()()24f x f x f x +=-+=-即，所以函数的周期为，()()4f x f x =+()f x 4所以，()()()2023505433f f f =⨯+=,()()()2022505422=⨯+=f f f 因为时，，(]2,3x ∈()()()3232f x x x =---所以，3(3)(32)3(32)2f =---=-又为奇函数，所以当时，，(42)y f x =+0x =(2)0f =所以，(2022)(2023)022f f +=-=-故选：B.二、填空题13．已知实数x ，y 满足约束条件，则的最大值为___________.010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩2z x y =+【答案】2【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解.【详解】作出约束条件对应的平面区域，如图所示，010x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩由，可得直线，2z x y =+122z y x =-+当直线过点A 时，此时直线在轴上的截距最大，此时取得最大值，122zy x =-+y z 又由，解得，010x x y =⎧⎨+-=⎩(0,1)A 所以的最大值为.z 0212z =+⨯=故答案为：2.14．已知抛物线的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则2:4C y x =________.OA OB ⋅=【答案】3-【分析】求出抛物线的焦点坐标，用点斜式求出直线的方程，将直线方程与抛物线联立得到一AB 元二次方程，利用韦达定理得到，，由即可求出.126x x +=121=x x 1212OA OB x x y y ⋅=+【详解】抛物线的焦点为，24y x =()1,0设A ，B 两点的坐标为和，由题意得直线的方程为，11(,)x y 22(,)x y AB 1y x =-将直线和抛物线联立，可得，241y x y x ⎧=⎨=-⎩2610x x -+=其中，364320∆=-=>则，，126x x +=121=x x .1212OA OB x x y y ⋅=+()()121211x x x x +--=()121221x x x x =-++21613=⨯-+=-故答案为：3-15．如图，圆台中，O 在线段上，上下底面的半径分别为12O O 12O O =12OO ，________.11r =2r =【答案】69π5【分析】列出外接球半径所满足的方程，解出半径，得外接球表面积.【详解】设外接球半径为R，，=26920R =所以外接球表面积为，269π4π5R =故答案为：.69π516．如图，四边形中，与相交于点O ，平分，ABCD AC BD AC DAB ∠，，则的值_______.π3ABC ∠=33AB BC ==sin DAB ∠【分析】由余弦定理求出AC =sin BAC ∠=【详解】在中，，ABC π,3,13ABC AB BC ∠===由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC ∠=+-⨯⨯，2213123172=+-⨯⨯⨯=所以.AC =由正弦定理得，sin sin BC ACBAC ABC =∠∠即sin sin BC ABC BAC AC ∠∠⋅===cos BAC ∠=又因为平分，所以.AC DAB∠sin 2sin cos DAB BACBAC ∠∠∠==三、解答题17．某企业从生产的一批产品中抽取个作为样本，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结100果制成如图所示的频率分布直方图.(1)求这件产品质量指标值的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数；100x(2)用频率代替概率，按分层抽样的方法从质量指标值位于、内的产品中随机抽取[)15,25[)35,45个，再从这个产品中随机抽个，求这个产品质量指标值至少有一个位于内的概率.6622[)35,45【答案】(1)平均数为，中位数为25x =23.75(2)35【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得出，利用x 中位数的定义可求得样本的中位数；（2）分析可知质量落在有个，分别记为、、、，质量落在有个，分别[)15,254A B C D [)35,452记为、，列举出所有的事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可a b 求得所求事件的概率.【详解】（1）解：由已知得．100.01510200.04010300.02510400.0201025x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=因为．设中位数为，则，0.150.40.5+>x ()15,25x ∈则，解得．()0.015100.04150.5x ⨯+⨯-=23.75x =（2）解：质量指标值位于、内的产品的频率分别为，[)15,25[)35,450.04100.4⨯=，其中，0.02100.2⨯=0.4:0.22:1=所以用分层抽样的方法抽取的个产品中，质量落在有个，6[)15,254分别记为、、、，质量落在有个，分别记为、，A B C D [)35,452a b 则从这个产品中随机抽个，共种情况，如下：、、、、、、6215AB AC AD Aa Ab BC 、、、、、、、、，这种情况发生的可能性是相等的.BD Ba Bb CD Ca Cb Da Db ab 15设事件为从这个产品中随机抽个，M 62这个产品质量指标值至少有一个位于内，2[)35,45有、、、、、、、、，共种情况.Aa Ab Ba Bb Ca Cb Da Db ab 9则.()93155P M ==18．已知等差数列的公差为，前n 项和为，现给出下列三个条件：①成等{}n a ()0d d ≠n S 124,,S S S 比数列；②；③.请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.432S =()6632S a =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，且，设数列的前n 项和为，求证：.()122n n n b b a n --=≥13b =1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 1132n T ≤<【答案】(1)42n a n =-(2)证明见解析【分析】（1）先分析条件①②③分别化简，若选①②，①③，②③，联立化简后条件求首项与公差得出通项公式即可；（2）由，利用累加法求出求出，再由裂项相消法求出的前n 项和，结()122n n n b b a n --=≥n b 1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭合的单调性可得证.n T 【详解】（1）由条件①得，因为，，成等比数列，则，1S 2S 4S 2214S S S =即，又，则，()()2111246a d a a d +=+0d ≠12d a =由条件②得，即，414632S a d =+=13162a d +=由条件③得，可得，即.()6632S a =+()11615352a d a d +=++12a =若选①②，则有，可得，则；1122316d a a d =⎧⎨+=⎩124a d =⎧⎨=⎩()1142n a a n d n =+-=-若选①③，则，则；124d a ==()1142n a a n d n =+-=-若选②③，则，可得，所以.1343162a d d +=+=4d =()1142n a a n d n =+-=-（2）由，且，()12284n n n b a n b n -=--=≥13b =当时，2n ≥则有()()()()1213213122084n n n b b b b b b b b n -=+-+-++-=++++- ()()2841213412n n n -+-=+=-又也满足，故对任意的，有，13b =241n b n =-*n ∈N 241n b n =-则，()()11111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以，21111112111121233521121n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭⎝⎭⎭⎝⎭⎣⎦ 由于单调递增，所以，21n n T n =+113n T T ≥=综上：.1132n T ≤<19．如图1，圆O 的内接四边形中，，，直径.将圆沿折ABCD 45DAC ∠=︒60CAB ∠=︒2AC =AC 起，并连接、、，使得为正三角形，如图2.OB OD BD BOD(1)证明：图2中的平面；AB ⊥BCD (2)在图2中，求三棱锥的体积.D OBC -【答案】(1)证明见解析【分析】（1）利用勾股定理证明，然后结合可证；AB BD ⊥AB BC ⊥（2）利用可求答案.12D OBC O BCD A BCDV V V ---==【详解】（1）由题意得到，.1AB BD ==AD =222AD AB BD =+所以.AB BD ⊥因为为直径所对的圆周角，所以.ABC ∠AB BC ⊥又，平面，平面，BD BC B ⋂=BD ⊂BCD BC ⊂BCD 平面.∴AB ⊥BCD （2）因为平面，平面，AB ⊥BCD CD ⊂BCD所以，因为，，AB CD ⊥AD CD ⊥AB AD A ⋂=所以平面，因为平面，所以，DC ⊥ABD BD ⊂ABD DC BD ⊥所以1122D OBC O BCD A BCD V V V AB BD DC ---===⋅⋅20．已知椭圆的焦点坐标为和，且椭圆经过点.C ()12,0F -()22,0F G ⎛ ⎝(1)求椭圆的标准方程；C (2)椭圆的上、下顶点分别为点和，动点在圆上，动点在椭圆上，直线、C M N A 221x y +=B C MA 的斜率分别为、，且.证明：、、三点共线.MB 1k 2k 125k k =N A B 【答案】(1)2215x y +=(2)证明见解析【分析】（1）求出的值，利用椭圆的定义可求得，进而可求得的值，由此可得出椭圆的标c a b C 准方程；（2）计算得出，结合已知条件可得出，即可证得结论成立.15BM BN k k ⋅=-AN BN k k =【详解】（1）易知椭圆的.2c =点在椭圆上，且G 12GF GF +==∴2a a =⇒=由得，椭圆的标准方程为：.222a b c =+1b =∴C 2215x y +=（2）设，()22,B x y因为.22222222222211111555BM BNy y y y k k x x x y -+--⋅=⋅===--由得.125k k =21115BN k k k =-=-为圆的直径，所以，，.MN 221x y +=NA MA ⊥∴11AN BN k k k =-=故、、三点共线.N A B 【点睛】关键点点睛：本题考查三点共线的证明，解题的关键在于根据椭圆的方程计算得出，以及由圆的几何性质得出，结合斜率关系来进行证明.15BM BN k k ⋅=-NA MA ⊥21．已知函数在处的切线方程为.()e ln x f x x a x=-1x =()2e 1y x b =+-(),a b R ∈(1)求实数a ，b 的值；(2)当时，恒成立，求正整数m 的最大值.1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2e 0x f x x m --+<【答案】(1)，1a =-e 1b =+(2)3【分析】（1）求出导数，根据题意列出方程组求解即可得解；（2）分离参数转化为的最小值，利用导数判断单调性及极值确定最小值()()2e ln x g x x x x=-+-+为，根据单调性求出的范围即可得解.()00212g x x x =-++()0g x 【详解】（1）定义域为，.()0,∞+()()1e x af x x x '=+-由题意知，()()12e 2e 112e 1e f a f b ⎧=-=+⎪⎨=+-='⎪⎩解得，.1a =-e 1b =+（2）由题意有恒成立，即恒成立()2e ln 0x x x x m -+-+<()2e ln x m x x x <-+-+设，，.()()2e ln xg x x x x =-+-+1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()11e x g x x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭当时，，∴112x ≤≤10x -≥令，其中，则()1e x h x x =-1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()21e 0x h x x '=+>所以函数在上单调递增()1e x h x x =-1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为，，所以存在唯一，1202h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭()1e 10h =->01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得，即，可得.()0001e 0x h x x =-=001e x x =00ln x x =-当时，，此时函数单调递减，012x x <<()0g x '>()g x 当时，，此时函数单调递增.01x x <<()0g x '<()g x ，∴()()()()00000000min 00122ln 2212x g x g x x e x x x x x x x ==-+-+=-+⋅+=-++，由对勾函数性质知函数在递减，21122(1y x x x x =-++=+-()0,1x ∈，.01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴()()0002123,4g x x x =-++∈当时，不等式对任意恒成立，∴3m ≤()2e ln xm x x x <-+-+1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦正整数m 的最大值是3.∴【点睛】关键点点睛：第一个关键点首先要分离参数，将问题转化为恒成立，()2e ln x m x x x<-+-+第二个关键在于求取函数的最小值，需结合零点存在性定理得出隐零点()()2e ln x g x x x x=-+-+，分析的范围.01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()000212g x x x =-++22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（t 为参数），曲线xOy 1C 11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.()222:24C x y -+=(1)求，的极坐标方程；1C 2C (2)若射线分别与曲线，相交于A ，B 两点，求的面积.()π06θρ=≥1C 2C 2C AB △【答案】(1)，2cos 24ρθ=4cos ρθ=【分析】（1）两式平方相减消去参数即可得出曲线普通方程；利用将直角坐标方程1C cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩转化为极坐标方程；（2）利用极坐标的几何意义，求得的长，利用直线与夹角为及的长，求得AB 2OC π6θ=π62OC 边上的高，从而求得面积.AB 【详解】（1）依题意得，化简整理得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩224x y -=令，，化简得.cos x ρθ=sin y ρθ=2cos 24ρθ=对于，化简得：.()22222440x y x y x -+=⇒+-=4cos ρθ=（2）设，(),A A ρθ(),B B ρθ依题意得，解得2cos 24π6ρθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩A ρ=，解得，4cos π6ρθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩Bρ=∴B A AB ρρ=-=-设到射线的距离为d ，2C π6θ=，解得，2πsin6d OC =1d =∴(21122C AB S AB d =⋅==△23．已知函数.()13f x x x =-+-(1)解不等式；()1f x x ≤+(2)设函数的最小值为c ，正实数a ，b 满足，求的最小值.()f x a b c +=111a b ++【答案】(1)[]1,5(2)43【分析】（1）分类讨论去绝对值符号解不等式；（2）利用绝对值三角不等式得c 的值，再利用基本不等式求的最小值.111a b ++【详解】（1）当时，不等式可化为，，1x <4211x x x -≤+⇒≥x ∈∅当时，不等式可化为，得，即.13x ≤≤21x ≤+1x ≥13x ≤≤当时，不等式可化为，得，即.3x >241x x -≤+5x ≤35x <≤综上所述，原不等式的解集为.[]1,5（2）由绝对值不等式性质得，()()13132x x x x -+-≥-+-=所以，即.2c =2a b +=所以.()1111111412131313b a a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫⎡⎤+=+++=++≥ ⎪ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎝⎭当且仅当，即时取到等号，21a b a b +=⎧⎨=+⎩3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以的最小值为.111a b ++43。
2023届宁夏六盘山高级中学高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2023届宁夏六盘山高级中学高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．设集合{4A xx =<-∣或1}x >，{}2,1,1,2B =--，则()A B =R （ ） A ．{}1,1- B ．{}2,1-- C ．{}2,1,1-- D ．{}2,1,1,2--【答案】C 【分析】计算{}41A x x =-≤≤R∣，再计算交集得到答案.【详解】{4A xx =<-∣或1}x >，{}41A x x =-≤≤R∣，(){}R 2,1,1A B ⋂=--．故选：C2．设()()2i i 3i ,a b a b +=+∈R ，则（ ） A ．3a =，2b = B ．3a =-，2b = C ．3a =，2b =- D ．3a =-，2b =-【答案】C【分析】结合复数乘法以及复数相等的知识求得正确答案. 【详解】依题意()()2i i 3i ,a b a b +=+∈R ， 即2i 3i a b -+=+，所以23ba -=⎧⎨=⎩，即3,2ab ==-.故选：C3．如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA a = ，OB b = ，则BC 可以表示为（ ）A ．a b +B ．a b -C ．b a -D ．a b --【答案】D【分析】根据给定条件利用平面向量的减法运算列式作答.【详解】在平行四边形ABCD 中，依题意，OC OA a =-=-，而OB b =， 所以BC OC OB a b =-=--. 故选：D4．已知函数()2234f x x x +=-+，则()1f =（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8【答案】D【分析】根据函数解析式求得正确答案. 【详解】由21x +=得=1x -，依题意，()2234f x x x +=-+，令=1x -得()()()2113141348f =--⨯-+=++=. 故选：D5．在ABC 中，若π3A =，cos B =2b =，则=a （ ） ABC ．3 D【答案】D【分析】运用同角平方关系可求sin B ，然后利用正弦定理，计算即可得到a ． 【详解】解：3A π=，cos B =2b =，sin B ∴==由正弦定理可得，sin sin a bA B=，∴2sin sin b Aa B===．故选：D ．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：222440x y x y +-+-=，圆2C ：222220x y x y ++--=，则两圆的公切线的条数是 A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】B【分析】根据圆的方程求出圆心与半径,分析两个圆的位置关系,即可得答案.【详解】圆221:2440C x y x y +-+-=的圆心坐标为(1,2)-,半径为3,圆222:2220C x y x y ++--=的圆心坐标为(1,1)-,半径为2,则圆心距为:22(11)(12)13(32,32)--++=∈-+, 故两圆相交,两圆的公切线的条数是2条, 故选B.【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，属于简单题. 两圆半径为,R r ，两圆心间的距离d ，比较d 与R r -及d 与R r +的大小，即可得到两圆的位置关系.7．“sin cos 1αα+=”是“sin 20α=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】若sin cos 1αα+=，则2(sin cos )12sin cos 1sin 21ααααα+=+=+=，即sin 20α=. 若sin 20α=，则222sin cos sin 2(sin cos )1ααααα++=+=，则sin cos 1αα=±+. 故“sin cos 1αα+=”是“sin 20α=”的充分不必要条件. 故选：A8．函数()()cos (0,)2f x x ϕπωϕω=+><的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为（ ）A ．37,44k ππk ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，Z k ∈B ．5,44k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，Z k ∈C ．52,244k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，Z k ∈ D ．372,244k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，Z k ∈【答案】D【解析】根据周期求得ω，根据,04π⎛⎫⎪⎝⎭求得ϕ，利用整体代入法求得单调区间.【详解】依题意52,2,1244T T Tπππππω=-====， 所以()()cos f x x ϕ=+，由于()f x 图象过,04π⎛⎫⎪⎝⎭，所以cos 04πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由于2πϕ<，所以,424πππϕϕ+==，所以()cos 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由2224k x k πππππ+<+<+得372244k x k ππππ+<<+， 所以()f x 的单调递增区间为372,244k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，Z k ∈. 故选：D【点睛】本小题主要考查根据图象求三角函数解析式，考查三角函数单调区间的求法.9．若抛物线22(0)y px p =>上的点0(A x 到其焦点的距离是点A 到y 轴距离的2倍，则p 等于（ ）A ．B ．3C ．4D ．6【答案】A【分析】利用抛物线的定义进行求解.【详解】由抛物线的定义可知点A 到焦点的距离是02p x +， 由题意可得0022p x x +=，解得02px =，代入抛物线的方程可得282pp ⋅=，即p =故选：A.10．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，ABC 是等边三角形，1AA AB =，D ，E ，F 分别是棱1AA ，1BB ，BC 的中点，则异面直线DF 与1C E 所成角的余弦值是（ ）A 5B 5C 5D 15【答案】C【分析】在棱1CC 上取一点H ，使得14CC CH =，取1CC 的中点G ，连接BG ，HF ，DH ，即可得到1//HF C E ，则DFH ∠或其补角是异面直线DF 与1C E 所成的角，求出HF ，DH ，DF ，再利用余弦定理计算可得.【详解】解：如图，在棱1CC 上取一点H ，使得14CC CH =，取1CC 的中点G ，连接BG ，HF ，DH ， 由于,G E 分别是棱11,CC BB 的中点，所以11,//BE C G BE C G =，故四边形1BGC E 为平行四边形，进而1//C E BG ,又因为,F H 是,BC CM 的中点，所以//HF BG ，所以1//HF C E ，则DFH ∠或其补角是异面直线DF 与1C E 所成的角.设4AB =，则2,1,2CF CH AD ===，从而225HF CF CH +()2217DH AC AD CH =+-=2223AF AB BF -224DF AF AD =+=故5cos 245DFH ∠⨯⨯故异面直线DF 与1C E 5故选：C11．甲、乙、丙三人从红、黄、蓝三种颜色的帽子中各选一顶戴在头上，每人帽子的颜色互不相同，乙比戴蓝帽的人个头高，丙和戴红帽的人身高不同，戴红帽的人比甲个头小，则甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为（ ） A ．红、黄、蓝 B ．黄、红、蓝 C ．蓝、红、黄 D ．蓝、黄、红【答案】B【分析】通过分析，利用排除法思考即可.【详解】丙和戴红帽的人身高不同，戴红帽的人比甲个头小，故戴红帽的人为乙，即乙比甲的个头小；乙比戴蓝帽的人个头高，故戴蓝帽的人可能是甲也可能是丙，即乙比甲的个头高或乙比丙的个头大，但由上述分析可知，只能是乙比丙的个头大，即戴蓝帽的是丙； 综上，甲、乙、丙所戴帽子的颜色分别为黄、红、蓝 故选：B【点睛】方法点睛：本题考查推理论证能力、应用意识及创新意识，考查逻辑推理的核心素养，逻辑推理题通常借助表格或图进行求解，把数学对象之间的逻辑关系表示出来进行判断即可.12．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(6)()f x f x +=，且当[]0,3x ∈时，()e xf x x =，则下面结论正确的是（ ）A ．()()()2e ln3ef f f -<< B ．()()()2ln3e e f f f <<- C ．()()()2e e ln3f f f <-<D ．()()()2ln3e e f f f <-<【答案】B【分析】由()f x 的周期性及奇偶性得22(e )(e 6)f f =-，(e)(e)f f -=，根据()f x 在[]0,3上的单调性比较大小.【详解】[]0,3x ∈时，()e x f x x =，则()(1)0x f x x e '=+>，所以()f x 在[]0,3上单调递增，因为(6)()f x f x +=，所以22(e )(e 6)f f =-， 因为()f x 是偶函数，所以(e)(e)f f -=，又因为21ln 3e 6e 3<<-<<，所以2(ln 3)(e 6)(e)f f f <-<， 即2(ln 3)(e )(e)f f f <<-. 故选：B.二、填空题13．已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.6．现采用随机模拟的方法计算该运动员射击4次至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3表示没有击中目标，4，5，6，7，8，9表示击中目标．因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数： 5727 0623 7140 9857 6347 4379 8636 6013 1417 4698 0371 6843 2676 8012 6011 3661 9597 7424 6710 4203 据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为______． 【答案】0.5##12【分析】利用古典概型的概率公式直接求解.【详解】在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：5727， 9857， 6347， 4379， 8636， 4698， 6843， 2676， 9597， 7424 共10组随机数， 所以所求概率为100.520=． 故答案为：0.514．若,x y 满足约束条件2120x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，则2z x y =+的最大值为_______.【答案】5【分析】画出可行域与目标函数，利用几何意义求出最大值. 【详解】画出可行域（阴影部分）与目标函数，如下：当目标函数经过点A 时，取得最大值，联立220x x y =⎧⎨-=⎩，解得：21x y =⎧⎨=⎩，故()2,1A ，则max 2215z =⨯+=. 故答案为：515．若双曲线222:1(0)16x y C b b-=>的一条渐近线与直线420x y -+=垂直，则C 的离心率为_______．17【分析】易得双曲线渐近线为by x a=±，再利用两直线垂直斜率之积为-1求出b ，结合离心率公式即可求解.【详解】双曲线222:1(0)16x y C b b-=>的渐近线方程为4b y x =±，直线420x y -+=斜率为14，由一条渐近线与直线垂直得1144b -⋅=-，解得16b =，所以离心率为222161617a b e ++==1716．已知在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，4,22PB AD ==当AB PD ⋅最大时，该四棱锥外接球的表面积为___________. 【答案】24π【分析】由题意可得2224AB PD +=，结合均值不等式可得23AB PD ==，从而可得外接球的直径，即可求得四棱锥外接球的表面积.【详解】设外接球的半径为R ，由题可知222168PA AB PD =-=-，所以2224AB PD +=.因为222AB PD AB PD +⋅，所以12AB PD ⋅，当且仅当23AB PD ==时，等号成立，此时()222222(2)24R AB AP AD AB PD =++=+=，所以2424S R ππ==.故答案为：24π三、解答题17．已知{}n a 是以1为首项的等差数列，{}n b 是以2为首项的正项等比数列，且满足621032a b a b -=-=.(1)求{}n a 与{}n b 的通项公式；(2)求11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .【答案】(1),2n n na b n ==(2)1n n S n =+【分析】（1）根据已知条件求得{}n a 的公差，{}n b 的公比，从而求得求{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）利用裂项求和法求得n S .【详解】（1）依题意，{}n a 是以1为首项的等差数列，{}n b 是以2为首项的正项等比数列， 设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q （0q >），6210322a b a b -=⎧⎨-=⎩，215221922d q d q +-=⎧⎨+-=⎩， 解得2q（负根舍去），1d =.所以,2n n n a b n ==（2）()1111111n n a a n n n n +==-++， 所以1111111223111n n S n n n n 1=-+-++-=-=+++. 18．网课是一种新兴的学习方式，它以互联网为平台，为学习者提供包含视频、图片、文字等多种形式的系列学习课程，由于具有方式多样，灵活便捷等优点，成为许多学生在假期实现自主学习的重要手段．为了调查A 地区高中生一周网课学习的时间，随机抽取了500名上网课的学生，将他们一周上网课的时间（单位：h ）按[1,6),[6,11),[11,16),[16,21),[21,26]分组，得到频率分布直方图如图所示．(1)求a 的值，并估计这500名学生一周上网课时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；(2)为了了解学生与家长对网课的态度是否具有差异性，研究人员随机抽取了200人调查，所得数据统计如下表所示，判断是否有99.5%的把握认为学生与家长对网课的态度具有差异性． 支持上网课 不支持上网课 家长 30 70 学生 5050附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】(1)0.03，13.5h ；(2)有【分析】（1）根据频率分布直方图各小矩形的面积之和为1求解，再利用平均数的定义求解； （2）根据列联表求得2K 的值，再与临界值表对照下结论.【详解】（1）解：因为()0.0220.050.0751a +++⨯=，所以0.03a =， 平均数为()7172737470.0250.0550.0750.0350.03513.5h 22222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=； （2）因为22200(30505070)87.87980120100100K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 所以有99.5%的把握认为学生与家长对网课的态度具有差异性．19．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，60,ABC FA ∠=⊥平面,ABCD FA ED ∥，且22AB FA ED ===.(1)求证：BD FC ⊥；(2)求点A 到平面FBD 的距离.【答案】(1)证明见解析25【分析】（1）根据线面垂直的判定和性质进行推理即可得解；（2）利用等体积转化法即可求解.【详解】（1）证明：FA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD FA BD ∴⊥，四边形ABCD 为菱形，AC BD ∴⊥，又FA AC A =，FA ⊂平面,FAC AC ⊂平面FAC ，BD ∴⊥平面FACBD FC ∴⊥（2）1112322sin1202332ABD F ABD V S FA -⎛⎫=⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭三棱锥 FA ⊥平面ABCD ，,FA AB FA AD ∴⊥⊥22FB FD ∴==由四边形ABCD 为菱形，60ABC ∠=， 可得23BD =15FBD S ∴设点A 到平面FBD 的距离为h ， 则111533FBD A FBD V S h h -==三棱锥， 由A FBD F ABD V V --=三棱维三棱倠123153h ， 解得25h =∴点A 到平面FBD 25.20．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,1D 3(1)求椭圆的方程：(2)过椭圆右焦点且斜率为()0k k ≠的直线m 与椭圆相交于两点,A B ，y 轴交于点E ，线段AB 的中点为P ，直线l 过点E 且垂直于OP （其中O 为原点），证明直线l 过定点.【答案】(1)2214x y += (2)证明见解析【分析】（1）由题可得1b =，然后利用离心率即可求解；（2）设直线m 方程为(3y k x =，联立椭圆方程利用韦达定理，可得(24333P P P k k x y k x ===l 的方程为43y kx k =，即可得证.【详解】（1）依题意，c a = 2234a c ∴= 又222221,,3,4b a b c c a ==+∴=∴=∴椭圆的标准方程为2214x y +=. （2）由（1）知右焦点坐标为)，设直线m方程为(()11,,y k x A x y =，()22,B x y由(2214x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得，()2222141240k x x k +-+-=，12x x ∴+=(P P P x y k x ∴===∴直线OP 的斜率14pOP p y k x k==-， ∴直线l 的斜率4l k k =，令0x =得点E坐标为()0,，∴直线l的方程为4y kx =，即(4y k x =， ∴直线l恒过定点⎫⎪⎪⎝⎭. 21．已知函数()2ln ln x f x ae x a -=-+.(1)若曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为312y x =-，求a 的值； (2)若a e ≥，证明：()2f x ≥.【答案】(1)2a =(2)证明见解析【分析】（1）由()32,2f '=可得a 的值，再验证切点坐标也满足条件； （2）由a e ≥，20x e ->知要证()2ln ln 2x f x ae x a -=-+≥也即证1ln 10x e x ---≥，设()1ln 1x g x e x -=--，求出导数分析其单调性，得出其最值可证明.【详解】（1）()21x f x ae x -'=- ，则()221132,222f ae a -'=-=-=解得2a =又()322122f =⨯-=，()222ln 2ln 2f ae a -=-+=，可得2a = 综上2a = （2）由a e ≥，20x e ->知要证()2ln ln 2x f x ae x a -=-+≥即证21ln ln ln 12x x e e x e e x --⋅-+=-+≥也即证1ln 10x e x ---≥设()1ln 1x g x e x -=--，则()11x g x e x-'=-， 再令()11x h x e x -=-，()1210x h x e x-'=+>， 所以()11x g x e x -'=-在()0,∞+上单调递增，又()10g '= 则当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>所以()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.所以()()10g x g ≥=所以1ln 10x e x ---≥成立，即()2f x ≥成立.22．已知曲线1C 的参数方程为：cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为：4sin 3πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为6πθ=. (1)求曲线1C 的普通方程；(2)若曲线1C 和曲线2C 与直线l 分别交于非坐标原点的A ，B 两点，求||AB 的值.【答案】(1)22(1)1y x +-=(2)3【分析】（1）利用同角三角关系22sin cos 1θθ+=即可转化，（2）根据极径的几何意义求解.【详解】（1）曲线1C 的参数方程为：cos 1sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）， 普通方程为22(1)1y x +-=.（2）由（1）的曲线1C 的一般方程为：2220x y y +-=，化为极坐标方程：2sin ρθ= 将6πθ=代入1C 的极坐标方程得11ρ=， 将6πθ=代入2C 的极坐标方程得：24ρ=， ∴21||3AB ρρ=-=.23．已知函数()21f x x x =-++.(1)求不等式()4f x ≤的解集；(2)当x ∈R 时，若()2f x m m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】(1)35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)⎣⎦【分析】（1）去掉绝对值符号，将函数解析式写为分段函数，分类讨论即可；（2）先求出()f x 的最小值，然后建立不等式求解即可.【详解】（1）由于()21,1213,1221,2x x f x x x x x x -+<-⎧⎪=-++=-≤<⎨⎪-≥⎩，当1x <-时，214x -+≤，解得32x ≥-，此时312x -≤<-； 当12x -≤<时，34≤恒成立，此时12x -≤<；当2x ≥时，214x -≤，解得52x ≤，此时522x <≤.综上：()4f x ≤的解集为35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （2）∵()()()21213f x x x x x =-++≥--+=，当且仅当[]1,2x ∈-时等号成立∴23m m -≤，即230m m --≤m ≤∴m的取值范围是⎣⎦。
高三文科数学试卷（含答案）经典题
高三文科数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}24M x x =<，{}2230N x x x =--<，且M N =A ．{}2x x <-B ．{}3x x >C ．{}12x x -<<D ．{}23x x << 2．若函数2()log f x x =，则下面必在()f x 反函数图像上的点是反函数图像上的点是A ．(2)aa ， B ．1(2)2-，C ．(2)a a ，D ．1(2)2-，3．右图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为右图为某几何体三视图，按图中所给数据，该几何体的体积为A ．64+163B ． 16+334C ．163D ． 16 4．在各项都为正数的等比数列}{n a 中，首项为3，前3项和为项和为21，则=++543a a a （ ）A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 5. 将函数)32sin(p+=x y 的图像向右平移12p=x 个单位后所得的图像的一个对称轴是：个单位后所得的图像的一个对称轴是：A. 6p=x B. 4p=x C. 3p=x D. 2p=x6． 若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆落在圆1022=+y x 内（含边界）的概率为内（含边界）的概率为A ．61 B ．41 C ．92D ．3677．下列有关命题的说法正确的是．下列有关命题的说法正确的是A ．“21x =”是“1-=x ”的充分不必要条件”的充分不必要条件 B ．“2=x ”是“0652=+-x x ”的必要不充分条件．”的必要不充分条件． C ．命题“x R $Î，使得210x x ++<”的否定是：“x R "Î， 均有210x x ++<”．D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题．”的逆否命题为真命题．P T O ，ｍ）三点共线， 则ｍ的值为 ．．程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是 ． a b b a a b 2的值为 ．p所得的弦长为所得的弦长为． pp ．开始开始 a =1 a =3a +1 a >100? 结束结束是否a =a +1 输出a33]3型号型号 甲样式甲样式 乙样式乙样式 丙样式丙样式 500ml2000 z 3000 700ml3000 4500 5000 A B C 2a0AF F F 13OF QN MQ a b a 21n +722p)ppp3122p]1 333222,0),(2,0),2a a --22,a 2)2a a a -22a -22a -222123a a -- QN MQ )33x x-1a£ïíïx=>上恒成立，0x >\只要24aa ì£ïí解：（1）由121n n na a a +=+得：1112n na a +-=且111a=，所以知：数列1n a ìüíýîþ是以1为首项，以2为公差的等差数列，为公差的等差数列， …………2分所以所以1112(1)21,21n nn n a a n =+-=-=-得：； ------------4分（2）由211n n b a =+得：212112,n n n n b b n=-+=\= ， 从而：11(1)n n b b n n +=+ ------------6分则 122311111223(1)n n n T b b b b b b n n +=+++=+++´´+=11111111()()()()1223341n n -+-+-++-+ 1111nn n =-=++ ------------9分（3）已知)1()1)(1)(1(12531-++++=n nb b b b P 246213521n n =····- 22212(4)(4)1,221n nn n n n +<-\<- 设：nn T n 2124523+´´´= ，则n n T P >从而：nn n n T P P n n n 2121223423122+´-´´´´=> 21n =+故：故： 21n T n >+ ------------14分。
2022届成都市郫都区高三第三次阶段考试数学(文)试题(解析版)
2022届成都市郫都区高三第三次阶段考试数学（文）试题一、单选题1．设集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,3,4A =，则UA （ ）A ．{}1,3,4B ．{}1,2,3,4,5C ．{}2,5D ．{}1,2,5【答案】C【分析】根据补集的定义可求得结果.【详解】因为集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,3,4A =，则2,5UA .故选：C.2．若复数z 满足()i i 2z -=，则z 的虚部为（ ） A ．0 B ．1C ．-1D ．i【答案】C【分析】根据除法运算求得复数z ，最后确定复数z 的虚部. 【详解】解：因为()i i 2z -=，所以22i +i +i 2i+i i i i iz ===-=-⋅， 所以z 的虚部为1-， 故选：C.3．已知命题:p 垂直于同一平面的两直线平行；命题:q 平行于同一平面的两直线平行.则下列命题中正确的是（ ） A ．()()p q ⌝∧⌝ B ．p q ∧C ．()p q ⌝∨D ．p q ∨【答案】D【分析】判断命题p 、q 的真假，利用复合命题的真假可得出合适的选项. 【详解】垂直于同一平面的两直线平行，命题p 为真命题， 平行于同一平面的两直线平行、相交或异面，命题q 为假命题， 所以，()()p q ⌝∧⌝、p q ∧、()p q ⌝∨均为假命题，p q ∨为真命题. 故选：D.4．若n S 为数列{}n a 的前n 项和，且22n n S a =-，则n a 等于（ ） A ．2n B ．2nC ．12n -D ．12n +【答案】B【分析】利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a .【详解】1n =时，11122,2a a a =-=.2n ≥时，1122n n S a --=-，11122,2n n n n n n n a S S a a a a ---=-=-=，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以2n n a =. 故选：B5．郫都是中国农家乐旅游发源地、最美中国生态旅游目的地，是四川省乡村旅游的先行者，快工作慢生活，构成了安逸郫都最靓丽的风景线.郫都大部分农民都有自己的苗圃，也不断改进种植花卉苗木的技术．改进后，某种苗木在单位面积上的出苗数量增加了50%，且在同一生长周期内的高度（cm ）变化的饼图如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．80cm 以上优质苗木所占比例增加10%B ．改进后，80cm 以上优质苗木产量实现了增加80%的目标C ．70cm-80cm 的苗木产量没有变化D ．70cm 以下次品苗木产量减少了13【答案】B【分析】设改进前某种苗木在单位面积上的出苗数量为a ，改进后它的出苗数量为()10.5a +，则单位面积80cm 以上的增加量为()10.50.60.50.4a a a +⨯-=，70cm-80cm的苗木产量增加0.15a ，70cm 以下次品苗木产量减少了()0.20.110.50.2a aa-+，即可判断结果．【详解】设改进前某种苗木在单位面积上的出苗数量为a ，改进后它的出苗数量为()10.5a +，则80cm 以上优质苗木所占比例增加了()10.50.60.50.4+⨯-=，即40%故A 错； 80cm 以上优质苗木产量实现了增加了()10.50.60.50.80.5a a a+⨯-=，即80%的目标，故B正确；单位面积上70cm-80cm 的苗木产量增加了()10.50.30.30.15a a a +⨯-=，故C 错； 70cm 以下次品苗木产量减少了()0.20.110.510.24a a a -+=，故D 错故选：B ．6．若实数x ，y 满足4394x y x y +≥⎧⎨-≤⎩.则3z x y =-的最大值是（ ）A ．9B ．3C ．4D ．6【答案】D【分析】画出实数x ，y 所表示的平面区域，再根据3z x y =-的意义即可求最大值.【详解】由4394x y x y +=⎧⎨-=⎩得31x y =⎧⎨=-⎩，记为(3,1)A -.画出实数x ，y 所表示的平面区域如下：将3z x y =-，变为133z y x =-，作出13y x =的图象，将13y x =平移过点(3,1)A -时有最大值，最大值为max 33(1)6z =--=. 故选：D7．已知直线y x a =+与曲线ln y x =相切，则a 的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．-1 D ．0【答案】C【分析】由切线斜率为1求得切点坐标，代入切线方程得a 值． 【详解】解：由11y x'==，解得1x =，此时ln10y ==， 又由01a =+得1a =-． 故选：C8．已知1F ，2F 是椭圆C ：22149x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12 C ．9 D ．6【答案】C【分析】根据椭圆方程求得3a =，再由椭圆的定义可得126MF MF +=，利用基本不等式即可求解．【详解】由椭圆22149x y +=可得29a =，所以3a =，因为点M 在C 上，所以1226MF MF a +==， 所以2212126922MF MF MF MF ⎛+⎫⎛⎫⋅≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当123MF MF ==时等号成立，12MF MF ⋅最大值为9， 故选：C ． 9．已知ln 22a =，ln33b =，ln 55c =，则（ ） A ．a c b << B ．c b a << C ．b a c << D ．c a b <<【答案】D【分析】利用作差法，再结合对数函数ln y x =的单调性分别判断,a b 和,a c 的大小关系，即可判断出,,a b c 的大小关系． 【详解】ln 3ln 22ln 33ln 2ln 9ln803266---=-==>b a ∵，b a ∴>； 又ln 5ln 22ln 55ln 2ln 25ln 320521010---=-==<c a ∵，a c ∴>，故b a c >>. 故选：D10．甲、乙两人约定在下午4：00~5：00间在某地相见，且他们在4：00~5：00之间到达的时刻是等可能的，同时他们约好当其中一人先到后一定要等另一人20分钟，若另一人仍不到则可以离去，则这两人能相见的概率为（ ） A ．49B ．59C ．23D ．79【答案】B【分析】本题先建立直角坐标系，将所有事件及满足条件事件对应的区域画出来，根据面积之比得到概率.【详解】以4：00为时间起点，建立直角坐标系，设甲、乙分别在第x 分钟和第y 分钟到达，则样本空间为(){},060,060x y x y ≤≤≤≤，即图中正方形；能相见的条件是事件满足20x y -≤，即图中阴影部分对应区域，由几何概型知所求概率为22260405609-=.故选：B.11．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x '+>，且有()33f =，则()33e xf x ->的解集为（ ） A ．()3,+∞ B ．()1,+∞ C ．(),3-∞ D ．(),1-∞【答案】A【分析】构造()()e xF x f x =⋅，应用导数及已知条件判断()F x 的单调性，而题设不等式等价于()()3F x F >即可得解.【详解】设()()e xF x f x =⋅，则()()()()()e e e 0x x x F x f x f x f x f x '''=⋅+⋅=+>⎡⎤⎣⎦，∴()F x 在R 上单调递增.又()33f =，则()()3333e 3e F f =⋅=.∵()33e x f x ->等价于()3e 3e xf x ⋅>，即()()3F x F >，∴3x >，即所求不等式的解集为()3,+∞. 故选：A. 12．已知(sin,sin )2a x x ωω=，1(sin,)22b x ω=，其中0>ω，若函数1()2f x a b =⋅-在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是 A ．1(0,]8B ．5(0,]8C ．15(0,][,1]88⋃D ．115(0,][,]848⋃【答案】D 【详解】(sin,sin )2a x x ωω=，1(sin,)22b x ω=，其中0>ω，21111112sin sin cos sin ),2222222(241)f x a b x x x x x ωπωωωω=⋅-+-=-+--=2π2π,01T ωω=≥<≤,当(,2)x ππ∈时，(,2),444x πππωωπωπ-∈--故()ππ4π2π1π4k k ωπω⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩()k Z ∈，解得15428k k ω+≤≤+()k Z ∈，01ω<≤， k=0时,解得1548ω≤≤，当k=-1时解得108ω<≤. 故选：D.【点睛】本小题主要考查数量积的坐标运算,考查利用辅助角公式进行三角函数式子的化简合并,考查函数零点个数的问题,考查运算求解能力.首先利用两个向量数量积的坐标运算,将题目所给向量的数量积表达式求解出来,用辅助角公式合并后结合函数的周期和零点列出不等式,求解得ω的取值范围. 二、填空题13．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且952S a =，则使得0n S =时n 的值为______. 【答案】9【分析】由等差数列前n 项和公式结合等差中项可得5a ，然后可知. 【详解】199559()922a a S a a +===，50a ∴=，故9502S a ==，所以9n =. 故答案为：914．若双曲线C ：()2210y x m m-=>的一条渐近线为30x +=，则m ______.【答案】3【分析】先求得双曲线的渐近线方程，再根据其一条渐近线为30x y =求解. 【详解】因为()2210y x m m-=>，所以其渐近线方程为y mx =±， 又因为其一条渐近线为30x y =， 所以3m =， 故答案为：315．在菱形ABCD 中，若2AC =，则AB AC ⋅等于_______. 【答案】2【分析】利用平面向量数量积的几何意义求解.【详解】如图所示：由图象知：cos AB AC AB AC BAO ⋅=⋅⋅∠， 因为02BAO π<∠<，所以cos AB BAO AO ⋅∠=， 所以2AB AC AO AC ⋅=⋅=， 故答案为：216．对于三次函数()()320f x ax bx a cx d =++≠+给出定义：设fx 是函数()y f x =的导数，()f x ''是函数fx 的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数()3211533212f x x x x =-+-，请你根据上面探究结果，计算12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭______. 【答案】2021【分析】由题设对()f x 求二阶导并确定零点，进而可得对称中心1(,1)2，利用()(1)2f x f x +-=求目标式的值即可.【详解】由题设，2()3f x x x '=-+，()21''=-f x x ， 令()0f x ''=，则012x =，而1111115()3123824212f =⨯-⨯+⨯-=，所以1(,1)2是()f x 的对称中心，即()(1)2f x f x +-=，所以12021220201012...22022202220222102220102202022f f f f ff ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+==+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且10111120222f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则12320212022202220222022f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2101012021⨯+=. 故答案为：2021.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2B A C =+ (1)若1a =，3b =sin C ； (2)若2b a c =+，试判断ABC 的形状. 【答案】(1)1 (2)等边三角形【分析】（1）先求出角B ，然后结合已知条件，利用正弦定理求出角A ，进而可得角C ，从而可得答案；（2）利用余弦定理，结合已知条件可得a c =，则有3A CB π===，从而即可判断ABC的形状.【详解】(1)解：在ABC 中，由A B C π++=，2B A C =+，得3B π=，因为1a =，3b =所以由正弦定理，可得13sin 3A=1sin 2A =， 又0AB <<，所以6A π=，所以362C ππππ=--=，所以sin 1C =；(2)解：因为2b a c =+，所以22242b a ac c =++，又由余弦定理有222b a c ac =+-. 所以22224442a c ac a ac c +-=++，即()230a c -=， 所以a c =，所以A C =，又23A C π+=， 所以3A CB π===，所以ABC 是等边三角形.18．2022年将在成都举行“第31届世界大学生夏季运动会”，为迎接大运会，郫都区举行了“爱成都迎大运”系列活动.同时为了了解郫都区人民对体育运动的热情和对运动相关知识的掌握情况，郫都区总工会在各社区开展了有奖知识竞赛，参赛人员所得分数的分组区间为(]50,60、(]60,70、(]70,80、(]80,90、(]90,100，由此得到总体的频率统计表，再利用分层抽样的方式随机抽取20名居民进行进一步调研.分数区间 (]50,60 (]60,70 (]70,80 (]80,90 (]90,100频率 0.12a0.4 0.2 a(1)若从得分在80分以上的样本中随机选取2人，则选出的两人中至少有一人在90分以上的概率；(2)郫都区总工会计划对此次参加活动的居民全部进行奖励，按照分数从高到低设置一等奖，二等奖，三等奖，参与奖，其得奖率分别为15%，20%，25%，40%，试根据上表估计得到二等奖的分数区间.【答案】(1)35(2)[)78.75,87.5，【分析】（1）先根据频率的性质求得0.1a =，再分别计算出得分位于(]80,90与得分位于(]90,100的人数，最后用列举法计算即可；（2）设得一等奖的最低分数为x ，二等奖的最低分数为y ，根据得奖率列式求解即可. 【详解】(1)由题意得0.120.40.21a a ++++=，所以0.1a =. 得分位于(]80,90的共有200.2=4⨯人，分别为A ，B ，C ，D ， 得分位于(]90,100的共有200.1=2⨯人，分别为E ，F从这6人中选出2人共有{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }这15种情况，其中含有至少一人为90分以上的情况是{A ，E }，{A ，F }，{B ，E }，{B ，F }，{C ，E }，{C ，F }，{D ，E }，{D ，F }，{E ，F }共9种情况， 所以选出的两人中至少有一人在90分以上的概率93155P ==. (2)设得一等奖的最低分数为x ，二等奖的最低分数为y ； 则()0.20.19015%10x +-⨯=，解出87.5x = ()0.40.10.28035%10y ++-⨯=，解出78.75x = 所以二等奖的分数区间为[)78.75,87.5. （或：一等奖的最低分数为15%0.1901090 2.587.50.2--⨯=-=二等奖的最低分数为35%0.10.2801080 1.2578.750.4---⨯=-=，从而二等奖的分数区间为[)78.75,87.5）19．如图，在四棱锥A BCDE -中，BC ⊥平面ABE ，且DE BC ∥，336DE AB BC ===，4BE =，60ABE ∠=︒.(1)求证：AE ⊥平面ABC ；(2)若点F 满足AD AF λ=，且//AB 平面CEF ，求λ. 【答案】(1)证明见解析 (2)4【分析】（1）在ABE △中，由余弦定理求得AE 23=，再根据勾股定理证得AB AE ⊥，利用线面垂直的判定定理可得证；（2）连接BD 交CE 于点G ，连接FG ，根据//AB 平面CEF ，得到//AB FG ，由AF BGFD GD=求解.【详解】(1)证明：在ABE △中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅⋅∠，解得AE 23=. ∴222BE AB AE =+，即AB AE ⊥. ∵BC ⊥平面ABE ，∴BC AE ⊥，又AB ，BC ⊂平面ABC ，AB BC B ⋂=，∴AE ⊥平面ABC . (2)解：如图所示：连接BD 交CE 于点G ，连接FG .∵//AB 平面CEF ，平面ABD ⋂平面CEF FG =，∴//AB FG ，∴AF BGFD GD=. 在直角梯形BCDE 中，BCG DEG △△，∴13BG BC GD DE ==， 所以13AF BG FD GD ==，所以4AD AF =， ∴4λ=.20．已知函数()sin f x x x =.(1)求()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；(2)设()()cos g x a x f x =-，若当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0g x ≤，求实数a 的取值范围.【答案】(1)最大值为π2，最小值为0(2)(],0-∞【分析】（1）由导函数得到函数单调性，进而求出函数在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最值；（2）分类讨论，参变分离求解实数a 的取值范围. 【详解】(1)()sin cos f x x x x '=+因为在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，sin 0x ≤，cos 0x x ≤，所以()0f x '≤，且只有()00f '=，所以()f x 在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，最大值为ππ22f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，最小值为()00f =(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()cos sin 0g x a x x x =-≤当π2x =时，πππππ222cos sin 022g a ⎛⎫=-=-≤ ⎪⎝⎭，此时a ∈R当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，则sin cos x x a x ≤在π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭恒成立，所以a 小于等于sin cos x x x 的最小值，令()sin cos x x h x x =，()21sin 22cos x x h x x +'=在π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭恒大于等于0， 所以()h x 在上单调递增，所以()h x 的最小值为()00h =，即0a ≤. 综上所述：实数a 的取值范围是(],0-∞.21．设点()(),0C x y y ≥为平面直角坐标系xOy 中的一个动点（其中O 为坐标系原点），点C 到直线0y =的距离比到定点()0,1F 的距离小1，动点C 的轨迹方程为E . (1)求曲线E 的方程；(2)若过点F 的直线l 与曲线E 相交于A 、B 两点. ①若2AF FB =，求直线l 的方程；②分别过点A ，B 作曲线E 的切线且交于点D ，若以O 为圆心，OD 为半径的圆经过点()1,2M ，求直线l 的方程.【答案】(1)24x y =(2)2440x y -+=2440x y +-=；②10x y -+=或10x y +-= 【分析】（1）由题意可知1CF y -=，再转化为代数语言化简即可； （2）①设直线l 的方程为1y kx =+，与抛物线联立，再运用2AF FB =可求解. ②根据题意求出两切线方程，两方程联立得到交点坐标，再根据OD OM =建立方程可求解.【详解】(1)设点C 到直线0y =的距离为y ，由题意可知1CF y -=，因为0y ≥， ()2211x y y +-=， 化简得24x y =为所求方程.(2)①由题意可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为1y kx =+，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，所以124x x k +=，124x x =，又因为2AF FB =，所以122x x -=，所以122x =22x =-122x =-22x 所以2k =2k =l 2440x y -+=2440x y +-=.②因为24x y =，所以211,42y x y x '==，过点A 的切线方程为()1112x y x x y =-+，即112xy x y =-①， 过点B 的切线方程为()2222x y x x y =-+，即222xy x y =-②， 联立①②得()()12122x x x y y -=-，所以()12121222y y x x x x x -+==-，124x xy =，所以点D 的坐标为1212,24x x x x +⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,1D k -， ∵OD OM =，()()22215k +-∴1k =±所以直线l 的方程为10x y -+=或10x y +-=.22．在极坐标系中，O 为极点，已知点1,3A πρ⎛⎫⎪⎝⎭在直线:cos 2l ρθ=上，点2,6B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线:4cos C ρθ=上. (1)求AOB 的面积；(2)求圆心在极轴上，且经过极点和点A 的圆的极坐标方程. 【答案】(1)3(2)8cos ρθ=【分析】（1）求出1ρ、2ρ的值，利用三角形的面积公式可求得结果；（2）在平面直角坐标系中，求出线段OA 的垂直平分线的方程，可求得所求圆的圆心坐标与半径，进一步可得出所求圆的标准方程，再化为极坐标方程即可. 【详解】(1)解：由已知可得11cos 243πρρ=⇒=，24cos236πρ==因此，OAB 的面积为121sin 2326AOB S πρρ==△(2)解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立极坐标系中，点4,3A π⎛⎫⎪⎝⎭，所以，在平面直角坐标系中，点(2,23A ，直线OA 的斜率为233OA k ==线段OA 的中点为(3M ，则线段OA 的中垂线方程为)331y x =-，即340x y -=，在直线340x +-=的方程中，令0y =，得圆心坐标()4,0，半径为4， 所以所求圆方程为()22416x y -+=，即228x y x +=， 所以，所求圆的极坐标方程为8cos ρθ=. 23．设函数()52f x x a x =-+--.（1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)[2,3]-；(2) ][(),62,-∞-⋃+∞.【详解】分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为|||2|4x a x ++-≥，再根据绝对值三角不等式得|||2|x a x ++-最小值，最后解不等式|2|4a +≥得a 的取值范围．详解：（1）当1a =时，()24,1,2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于24x a x ++-≥．而22x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于24a +≥． 由24a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是][(),62,-∞-⋃+∞．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
(完整版)高三文科数学试题
高三文科数学试题（考试时间为120 分钟，共150 分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的．1. 已知会集M x ( x 2)(x 1)0 ， N x x 10 ，则 M N =（）A ．(1，2)B．(11)， C ．(2，1) D ．(2， 1)2.．复数5i（）2i1A ．2 iB ．1 2i C．2 i D ．1 2i3. 在独立性检验中，统计量K 2有两个临界值： 3.841 和 6.635 ；当K2＞ 3.841 时，有 95%的掌握说明两个事件有关，当K2＞ 6.635时，有 99% 的掌握说明两个事件有关，当K 2 3.841时，认为两个事件没关 .在一项打鼾与患心脏病的检查中，共检查了2000 人，经计算的 K 2=20.87，依照这一数据解析，认为打鼾与患心脏病之间（）A ．有 95%的掌握认为两者有关B ．约有 95% 的打鼾者患心脏病C ．有 99%的掌握认为两者有关D ．约有 99% 的打鼾者患心脏病4.已知椭圆x2y2F 1、 F2， M 是椭圆上一点， N 是 MF 1的中点，161 的左右焦点分别为12若 ON1，则 MF1的长等于（）A 、 2B、 4C、 6 D 、 5x＋ y≥05. 在平面直角坐标系中，不等式组x－ y＋ 4≥0表示的平面地域面积是()x≤19A ． 3B ． 6C ．2D． 96. l 是某 参加 2007 年高考的学 生身高条形 ， 从左到右的各 条 形 表 示的 学 生 人 数 依 次A 1 ，、 A 2 、 ⋯ 、 A 10 。
(如 A 2表示身高 ( 位： cm) 在 [150 ，155) 内的学生人数 ) ． 2 是 l 中身高在必然范 内学生人数的一个算法流程 ． 要 身高在160 ～ 180cm( 含 160cm ，不含 180cm) 的 学生人数，那么在流程 中的判断 框内 填写的条件是A.i<9B.i<8C.i<7D.i<6（）7．一个几何体的三 如 所示，其中正 是一个正三角形， 个几何体的 （ ）A ．外接球的半径3B ．表面731331 11C ．体3D ．外接球的表面 4163正视图 侧视图8．一个球的表面 等于，它的一个截面的半径，球心到 截面的距离（ ）A ．3B ．C ． 1D ． 31俯视图225π 5π9．已知角 α的 上一点的坐sin6 ，cos 6， 角 α的最小正()5π2π5π11πA. 6B. 3C. 3D. 610 ． 双曲 x2y 21(a 0, b 0) 的左焦点 F ( c,0)( c 0)作 x 2y 2 a 2 的切a 2b 24 ，切点 E ，延 FE 交双曲 右支于点P ，若 OFOP2OE ， 双曲 的离心率（）A ．2B ．10C ． 10D ． 105211.a1 ， 关于 x 的不等式 a( x a)( x1) 0 的解集是 （）a(A) { x | xa ，或 x 1}(B) { x | x a}(C) { x | xa ，或 x 1 }(D) { x | x 1}aaa 12. 已知 a n3( n N * ) ， 数列 { a n } 的前 n 和 S n ，即 S na 1 a 2a n ，2n5使 S n0 的 n 的最大（）第Ⅱ卷本卷包括必考和考两部分。
高三文科数学试卷带答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 下列各数中，无理数是（）A. √4B. 3/5C. √9/16D. √2答案：D解析：无理数是不能表示为两个整数比的实数，只有√2是无理数。
2. 函数y=2x+1在定义域内是（）A. 增函数B. 减函数C. 奇函数D. 偶函数答案：A解析：函数的斜率为正，所以是增函数。
3. 已知向量a=(2, -3)，向量b=(4, 6)，则向量a与向量b的夹角是（）A. 0°B. 90°C. 180°D. 120°答案：D解析：向量a与向量b的点积为24 + (-3)6 = -12，向量a的模长为√(2^2 + (-3)^2) = √13，向量b的模长为√(4^2 + 6^2) = √52。
点积公式为a·b =|a||b|cosθ，所以cosθ = -12/(√13√52) ≈ -0.5，夹角θ ≈ 120°。
4. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，其对称轴是（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：B解析：二次函数的对称轴为x = -b/2a，所以对称轴为x = -(-4)/21 = 2。
5. 已知等差数列{an}的第一项为2，公差为3，则第10项是（）A. 25B. 28C. 31D. 34答案：D解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，所以第10项为2 + (10-1)3 = 2 + 27 = 29。
6. 若复数z满足|z-1| = |z+1|，则z在复平面上的位置是（）A. 实轴B. 虚轴C. 第一象限D. 第二象限答案：A解析：|z-1| = |z+1|表示z到点1和点-1的距离相等，因此z在实轴上。
7. 已知圆C的方程为x^2 + y^2 = 25，点P(3, 4)到圆C的最短距离是（）A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B解析：圆心到点P的距离为√(3^2 + 4^2) = 5，圆的半径为5，所以最短距离为5 - 5 = 0。
河南省十市2023届高三下学期开学考试数学(文)试题及答案(含解析)
高三文科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上，选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本试卷主要命题范围：高考范围.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2M x y x ==+，{}53N x x =-<<，则MN =（）A.{}23x x -<≤B.{}5x x >- C.{}3x x < D.{}52x x -<-≤ 2.复数312ii z -=在复平面内对应的点位于（） A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限3.已知函数()2ln f x ax x =-的图象在点()()1,1f 处的切线与直线3y x =-平行，则该切线的方程为（）A.210x y ++=B.330x y +-=C.320x y +-=D.210x y +-=4.我国传统剪纸艺术历史悠久，源远流长，最早可追潮到西汉时期.下图是某一窗花的造型，在长为3，宽为2的矩形中有大小相同的两个圆，两圆均与矩形的其中三边相切，在此矩形内任取一点，则该点取自两圆公共（图中阴影）部分的概率为（）A.31824π-B.31216π-C.3912π- D.368π-5.古代名著《九章算术》中记载了求“方亭”体积的问题，方亭是指正四棱台，今有一个方亭型的水库，该水库的下底面的边长为20km ，上底面的边长为40km ，若水库的最大蓄水量为932810m 3⨯，则水库深度（棱台的高）为（） A.10m B.20m C.30m D.40m6.已知抛物线C ：()220y px p =>，过焦点F 的直线4340x y +-=与C 在第四象限交于M 点，则MF =（） A.3B.4C.5D.67.执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值为（）A.14B.15C.16D.178.某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表： 月份代号x1 2 3 4 5 6 7 在线外卖规模y （百万元）111318★28★35其中4､6两个月的在线外卖规模数据模糊，但这7个月的平均值为23.若利用回归直线方程y bx a =+来拟合预测，且7月相应于点()7,35的残差为-0.6，则ˆˆab -=（） A.1.0B.2.0C.3.0D.4.09.已知等比数列{}n a 的前4项和为30，且54314a a a =-，则9a =（） A.14B.18C.116D.13210.记函数()()2cos 0,2f x x b πωϕωϕ⎛⎫=++><⎪⎝⎭的最小正周期为T ，若24T f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，且函数()f x 的,36π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则当ω取得最小值时，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A.2B.1C.-1D.-211.已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为F ，过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，与C 交于P ，Q 两点，若P ，F ，Q 四等分线段AB ，则C 的离心率为（）A.33D.12.已知球O 的半径为2，四棱锥的顶点均在球O 的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为（） A.53B.2C.73D.83二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()1,2m a a =-+-，()3,4n a a =-+，若()m n m +∥，则实数a =___________.14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知1233a a a +-=，34511a a a +-=，则n S =___________.15.写出与圆()2211x y -+=和()()22134x y -+-=都相切的一条直线的方程___________. 16.已知函数()3ln22a f x x b x ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭（a ，b ∈R 且0a ≠）是偶函数，则a =___________，b =___________.（本题第1问2分，第2问3分）三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，()sin tan sin sin B C A B C -=. （1）若A B =，求2sin A 的值；（2）证明：222a b c +为定值.18.（12分）青少年近视问题备受社会各界广泛关注，某研究机构为了解学生对预防近视知识的掌握情况，对某校学生进行问卷调查，并随机抽取200份问卷，发现其得分（满分：100分）都在区间[]50,100中，并将数据分组，制成如下频率分布表：（1）估计这200份问卷得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）用分层抽样的方法从这200份问卷得分在[)70,80，[)80,90，[]90,100内的学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人进行调查，求这3人来自不同组（3人中没有2人在同一组）的概率.19.（12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，4AB =，2AD =，23BC =，6CD =.（1）证明：平面PCD ⊥平面PBC ； （2）若4PD =，求三棱锥P -ABC 的体积. 20.（12分）已知函数()33xf x xe x x =-+.（1）求函数()f x 的单调区间； （2）当13x ≥时，()26f x ax x +≥恒成立，求实数a 的取值范围. 21.（12分）已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，对称轴分别为x 轴､y 轴，且过A （-1，0），212B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭两点. （1）求E 的方程；（2）设F 为椭圆E 的一个焦点，M ，N 为椭圆E 上的两动点，且满足0MN AF ⋅=，当M ，O ，N 三点不共线时，求△MON 的面积的最大值.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11323133t t t t x y ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos sin 10m ρθρθ+-=. （1）求曲线C 的普通方程；（2）若l 与C 有两个不同公共点，求m 的取值范围.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知函数()112f x x x =-++. （1）求不等式()3f x ≤的解集；（2）设函数()2g x x a x =-+-，若对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围.高三文科数学参考答案､提示及评分细则1.B {}{}22,{53}M xy x x x N x x ==+=-=-<<∣∣∣，所以{5}M N x x ⋃=>-∣.故选B.2.A 312i 12i 2i i i z --===+-，所以复数312i iz -=在复平面内对应的点为()2,1.故选A. 3.C ()12f x ax x'=-，则()1213f a -'==-，解得1a =-，所以()11f =-，则该切线的方程为()131y x +=--，即320x y +-=.故选C.4.C 如图所示，设两圆的圆心分别为12,O O ，两圆相交于,A B 两点，则两圆互过圆心，连接111222,,,,,,O A O B O O O A O B AB AB 与12O O 交于C ，则12111,1,2O O AB O A O C ⊥==，所以160AO C ∠=，则21120AO B AO B ∠∠==，所以弓形2AO B 的面积为211131332234S ππ=⨯⨯-⨯⨯=-，在矩形内任取一点，该点取自两圆公共部分的概率为3234332912p ππ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-⨯.故选C.5.A 设水库深度为km h ，由题意，(22221282040204033h ++⨯⋅=，解得0.01km h =，即10m h =.故选A.6.C 由题意可知，F 的坐标为()1,0，则12p=，所以2p =，则抛物线C 的方程为24y x =，设(00,2M x x -，由00243MF x k -==-，解得04x =，所以052p MF x =+=.故选C.7.B 由题知111111,152231S k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭时，111111514122315161615S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，开始出现1415S >，故输出的k 的值为15.故选B. 8.B ()112345674,237x y =++++++==，所以ˆˆ423b a +=.因为相应于点()7,35的残差为0.6-，则点()7,35.6在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，即ˆˆ735.6b a +=，解得ˆˆ 6.2, 4.2ab ==，则ˆˆ 2.0ab -=.故选B. 9.C 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，由54314a a a =-，得214q q =-，解得12q =，由414112112a S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-30，解得116a =，所以891116216a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.故选C. 10.D 由题意可知，2,3T b πω==-，由24T f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，得2cos 322πϕ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=-，因为2πϕ<，所以6πϕ=-，又函数()f x 的图象关于点,36π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以,662k k ωππππ-=+∈Z ，所以64,k k =+∈Z ，因为0ω>，所以当0k =时，ω取得最小值4，则()2cos 436f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故2cos 32826f πππ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选D. 11.A 不妨设交点的顺序自上而下为,,,A P Q B ，则AP PF FQ QB ===，由对称性可知，AB x ⊥轴，则AB 的方程为x c =-，代入b y x a =-，求得,bc A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入22221x ya b -=，求得2,b P c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则22,bc b b AP PF a a-==，所以22bc b b a a -=，所以2c b =，则a =，所以C 的离心率为3c e a ===.故选A. 12.D 四棱锥的底面内接于圆，当底面为正方形时，底面面积最大（论证如下：设底面四边形ABCD 的外接圆半径为r ，AC 与BD 的夹角为α，则四边形ABCD 的面积2111sin 222222S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⨯⨯=，当且仅当四边形ABCD 是正方形时，四边形ABCD 的面积取到最大值22r ）.要使四棱锥的体积最大，则从顶点作底面的垂线过球心O ，该四棱锥为正四棱锥，设底面的边长为a ，四棱锥的高为h ，底面外接圆的半径为2r a ==，由题意可知，22(2)4r h +-=，即221(2)42a h +-=，所以()2224a h h =-，则04h <<，四棱锥的体积为()22312433V a h h h =⨯=-，令()234(04)f x x x x =-<<，则()283f x x x -'=，由()0f x '=，得83x =，由80,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得()0f x '>，由8,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得()0f x '<，所以()f x 在80,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在8,43⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则当83x =时，()f x 取得极大值，也就是最大值，此时83h =.故选D. 13.54()2,6m n +=，由()m n m +∥，得()()61220a a -+--=，解得54a =. 14.225n n +设等差数列{}n a 的公差为d ，由1233453,11a a a a a a +-=+-=两式相减得28d =，解得4d =，由(()111)23a a d a d ++-+=，得17a =，故()2174252n n n S n n n -=+⨯=+.15.3y =--或3y =--+或1y =（答案不唯一，3个中任填一个即可）易知圆22(1)1x y -+=和22(1)(3)4x y -+-=外切，显然1y =与这两圆都相切.设直线y kx b=+与圆22(1)1x y -+=和22(1)(3)4x y -+-=1=2=，所以23k b k b +=+-，令k b t +=，则2230t t +-=，解得1t =或3t =-，当1t =时，解得0k =，此时1b =，直线方程即为1y =；当3t =-3=，解得k =±，当k =3b =--；当k =-3b =-+，所以直线方程为3y =--或3y =--+.16.8ln2易知3y x =是奇函数，因为函数()3ln22af x x b x ⎛⎫=-- ⎪-⎝⎭是偶函数，所以()ln22ag x b x=---是奇函数，又知2x ≠，根据奇函数的定义域关于原点对称，则2x ≠-，当2x =-时，204a-=，所以8a =，所以()824ln 2ln 22x g x b b x x +=--=---，则()040ln020g b +=-=-，解得ln2b =.经检验，8,ln2a b ==时符合题意. 17.（1）解：由A B =及已知，得()sin sin sin sin cos AA C A C A-=， 又sin 0A ≠，所以()sin cos sin A C A C -=，即sin cos cos sin cos sin A C A C A C -=， 所以sin cos 2cos sin A C A C =，又2C A π=-，则()()sin cos 22cos sin 2A A A A ππ-=-，所以-sin cos22cos sin2A A A A =，则()22sin 2cos 14cos sin A A A A --=， 所以-222cos 14cos A A +=，解得21cos 6A =， 故225sin 1cos 6A A =-=. （2）证明：由题意知，（sin sin cos cos sin )sin sin cos AB C B C B C A-=， 所以()sin sin cos sin sin cos cos sin A B C C B A B A =+， 则()2sin sin cos sin sin sin A B C C A B C =+=，由正弦定理，得2cos ab C c =，由余弦定理，得22222a b c ab c ab+-⨯=，整理，得2222223,3a b c a b c +=+=，故222a b c+为定值，得证. 18.解：（1）由频率分布表可知，10.150.250.300.100.20m =----=.这200份问卷得分的平均值估计为550.15650.25750.20850.30950.1074.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）由分层抽样的方法可知，抽取的6人中，成绩在[)70,80内的有2人，分别记为12,A A ； 成绩在[)80,90内的有3人，分别记为123,,B B B ；成绩在[]90,100内的有1人，记为1C ，则从这6人中随机抽取3人的所有基本事件为{}{}{}{}{}121122123121112,,,,,,,,,,,,,,A A B A A B A A B A A C A B B ，{}{}{}{}{}{}{}{}113111123121131212213211,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B B A B C A B B A B C A B C A B B A B B A B C ，{}{}{}{}{}{}{}223221231123121131231,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B B A B C A B C B B B B B C B B C B B C ，共20个，记这3人来自不同组为事件A ，其基本事件有{}{}{}{}{}111121*********,,,,,,,,,,,,,,A B C A B C A B C A B C A B C ，{}231,,A B C ，共6个，故这3人来自不同组的概率为()632010P A ==. 19.（1）证明：连结BD ，因为PD ⊥底面,ABCD BC ⊂平面ABCD ，所以PD BC ⊥.因为,4,AB AD AB AD ⊥==22218BD AD AB =+=.又BC CD ==222,BD CD BC BC CD =+⊥.又,PD CD D PD ⋂=⊂平面,PCD CD ⊂平面PCD ，所以BC ⊥平面PCD ， 又BC ⊂平面PBC ，故平面PCD ⊥平面PBC .（2）解：法一：由（1），得BD =所以()sin sin sin cos cos sin ABC ABD DBC ABD DBC ABD DBC ∠∠∠∠∠∠∠=+=+3==，则ABC 的面积为11sin 422ABCSAB BC ABC ∠=⨯=⨯⨯=故三棱锥P ABC -的体积为11433ABCP ABC V S PD -=⨯⨯=⨯=三校倠法二：因为,AB AD BC CD ⊥⊥，所以ABC ADC ∠∠π+=， 所以cos cos ABC ADC ∠∠=-.在ABC 与ADC 中， 由余弦定理得222222cos 2cos AC AB BC AB BC ABC AD CD AD CD ADC ∠∠=+-⋅⋅=+-⋅⋅，因此22224242ABC ABC ∠∠+-⨯⨯=++，解得cos ABC ∠=，所以sin ABC ∠=则ABC 的面积为11sin 422ABC S AB BC ABC ∠=⨯⋅=⨯⨯=，故三棱锥P ABC -的体积为114333ABC P ABC V S PD -=⨯⨯=⨯=三校倠. 20.解：（1）()()()()21e 331e 33x x f x x x x x =+-+=+-+'， 设()e 33x h x x =-+，则()e 3xh x '=-， 当(),ln3x ∞∈-时，()0h x '<，当()ln3,x ∞∈+时，()0h x '>，所以()h x 在(),ln3∞-上单调递减，在()ln3,∞+上单调递增，所以()()ln363ln30h x h =->，则e 330x x -+>，所以当(),1x ∞∈--时，()0f x '<，当()1,x ∞∈-+时，()0f x '>，故()f x 的单调递减区间为(),1∞--，单调递增区间为()1,∞-+.（2）当13x 时，()26f x ax x +恒成立，等价于e 3x a x x x --在1,3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上恒成立. 设()e 313x g x x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则()()()22221e 1e 331x x x x x g x x x x---+=-+'=， 设()()211e 33x x x x x ϕ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，则()()e 2x x x ϕ'=-， 当1,ln23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ'<，当()ln2,x ∞∈+时，()0h x '>， 所以()x ϕ在1,ln23⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在()ln2,∞+上单调递增，则()()()()()22ln22ln21(ln2)32ln21(ln2)2ln22ln20x ϕϕ=--+>--+=->， 所以()0g x '>，则()g x 在1,3∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上单调递增，故()g x 的最小值为12833g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3283e 3a-，所以实数a 的取值范围为283∞⎛⎤- ⎥⎝⎦. 21.解：（1）设E 的方程为221(0,0,)sx ty s t s t +=>>≠，由题意，1,1,2s s t =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得11,2s t ==， 故E 的方程为2212y x +=. （2）由椭圆的对称性，不妨设F 为下焦点，则()0,1F -，所以()1,1AF =-， 因为0MN AF ⋅=，所以直线MN 的斜率为1，设直线MN 的方程为()()()11220,,,,y x m m M x y N x y =+≠，由221,2,y x y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 并整理得223220x mx m ++-=，则()()222Δ4432830m m m =-⨯⨯-=->，所以23m <且0m ≠.2121222,33m m x x x x -+=-=所以12MN x =-=== 原点O 到直线MN的距离为d =， 则MON的面积为)()223112223322MON m mS MN d +-=⨯⨯=⨯=⨯=， 当且仅当232m =，即2m =±时，MON 的面积最大， 显然2m =±满足23m <且0m ≠，所以MON22.解：（1）因为113123t t x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且22222211132,32433t t t t x y ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭， 所以2244x y -=，则曲线C 的普通方程为()22114y x x -=. （2）由cos sin 10m ρθρθ+-=，化为直角坐标方程为10mx y +-=. 由2210,1,4mx y y x +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 并整理得()224250m x mx -+-=. 则()2222240,Δ42040,20,450,4m m m m m m ⎧-≠⎪=+->⎪⎪⎨->⎪-⎪-⎪>-⎩解得2m <<， 故m的取值范围为(. 23.解：（1）()12,1,231,1,22112,,22x x f x x x x ⎧--<-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪+>⎪⎩当1x <-时，由1232x --，得714x -<-； 当112x -时，()3f x 恒成立； 当12x >时，由1232x +，得1524x <. 综上，()3f x 的解集为7544xx ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣. （2）因为对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得()()12f x g x =，所以(){}(){}yy f x y y g x =⊆=∣∣. 又()()()11311,22222f x x x x x g x x a x a =-++--+==-+--，等号都能取到，所以322a -，解得1722a ， 所以实数a 的取值范围是17,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
高三数学试卷(文科)
2021年高考数学试卷〔文科〕一、选择题〔共10小题，每题5分，总分值50分〕1．〔5分〕设全集U={x∈R|x＞0}，函数f〔x〕=的定义域为A，那么∁U A为〔〕A．〔0，e]B．〔0，e〕 C．〔e，+∞〕D．[e，+∞〕2．〔5分〕设复数z满足〔1+i〕z=﹣2i，i为虚数单位，那么z=〔〕A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．〔5分〕A〔1，﹣2〕，B〔4，2〕，那么与反方向的单位向量为〔〕A．〔﹣，〕B．〔，﹣〕C．〔﹣，﹣〕D．〔，〕4．〔5分〕假设m=0.52，n=20.5，p=log20.5，那么〔〕A．n＞m＞p B．n＞p＞m C．m＞n＞p D．p＞n＞m5．〔5分〕执行如下图的程序框图，输出n的值为〔〕A．19 B．20 C．21 D．226．〔5分〕p：x≥k，q：〔x﹣1〕〔x+2〕＞0，假设p是q的充分不必要条件，那么实数k的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，﹣2〕B．[﹣2，+∞〕C．〔1，+∞〕D．[1，+∞〕7．〔5分〕一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，那么在编号为051～125之间抽得的编号为〔〕A．056，080，104 B．054，078，102 C．054，079，104 D．056，081，1068．〔5分〕假设直线x=π和x=π是函数y=sin〔ωx+φ〕〔ω＞0〕图象的两条相邻对称轴，那么φ的一个可能取值为〔〕A．B．C．D．9．〔5分〕如果实数x，y满足约束条件，那么z=的最大值为〔〕A．B．C．2 D．310．〔5分〕函数f〔x〕=的图象与函数g〔x〕=log2〔x+a〕〔a∈R〕的图象恰有一个交点，那么实数a的取值范围是〔〕A．a＞1 B．a≤﹣C．a≥1或a＜﹣D．a＞1或a≤﹣二、填空题〔共5小题，每题5分，总分值25分〕11．〔5分〕直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，那么经过O、A、B 三点的圆的标准方程为．12．〔5分〕某几何体三视图如下图，那么该几何体的体积为．13．〔5分〕在[0，a]〔a＞0〕上随机抽取一个实数x，假设x满足＜0的概率为，那么实数a的值为．14．〔5分〕抛物线y2=2px〔p＞0〕上的一点M〔1，t〕〔t＞0〕到焦点的距离为5，双曲线﹣=1〔a＞0〕的左顶点为A，假设双曲线的一条渐近线与直线AM平行，那么实数a的值为．15．〔5分〕f〔x〕，g〔x〕分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f〔x〕+g〔x〕=2x，假设存在x0∈[1，2]使得等式af〔x0〕+g〔2x0〕=0成立，那么实数a的取值范围是．三、解答题〔共6小题，总分值75分〕16．〔12分〕向量=〔sinx，﹣1〕，=〔cosx，〕，函数f〔x〕=〔+〕•．〔1〕求函数f〔x〕的单调递增区间；〔2〕将函数f〔x〕的图象向左平移个单位得到函数g〔x〕的图象，在△ABC中，角A，B，C所对边分别a，b，c，假设a=3，g〔〕=，sinB=cosA，求b的值．17．〔12分〕某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表：物理及格物理不及格合计数学及格28836数学不及格162036合计442872〔1〕根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关〞；〔2〕从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例，随机抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析，求至少有一名数学及格的学生概率．附：x2=．P〔X2≥k〕0.1500.1000.0500.010k 2.072 2.706 3.841 6.63518．〔12分〕在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M，N分别是PD，PA的中点，AC⊥AD，∠ACD=∠ACB=60°，PC=AC．〔1〕求证：PA⊥平面CMN；〔2〕求证：AM∥平面PBC．19．〔12分〕等差数列{a n}的首项a1=2，前n项和为S n，等比数列{b n}的首项b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．〔1〕求数列{a n}和{b n}的通项公式；〔2〕数列{c n}满足c n=b n+〔﹣1〕n a n，记数列{c n}的前n项和为T n，求T n．20．〔13分〕函数f〔x〕=e x﹣1﹣，a∈R．〔1〕假设函数g〔x〕=〔x﹣1〕f〔x〕在〔0，1〕上有且只有一个极值点，求a的范围；〔2〕当a≤﹣1时，证明：f〔x〕＜0对任意x∈〔0，1〕成立．21．〔14分〕椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的离心率是，点P〔1，〕在椭圆E上．〔1〕求椭圆E的方程；〔2〕过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q〔x Q，y Q〕〔点Q异于点P〕，假设0＜x Q＜1，求直线l斜率k的取值范围；〔3〕假设以点P为圆心作n个圆P i〔i=1，2，…，n〕，设圆P i交x轴于点A i、B i，且直线PA i、PB i分别与椭圆E交于M i、N i〔M i、N i皆异于点P〕，证明：M1N1∥M2N2∥…∥M n N n．2021年高考数学试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题〔共10小题，每题5分，总分值50分〕1．〔5分〕设全集U={x∈R|x＞0}，函数f〔x〕=的定义域为A，那么∁U A为〔〕A．〔0，e]B．〔0，e〕 C．〔e，+∞〕D．[e，+∞〕【分析】先求出集合A，由此能求出C U A．【解答】解：∵全集U={x∈R|x＞0}，函数f〔x〕=的定义域为A，∴A={x|x＞e}，∴∁U A={x|0＜x≤e}=〔0，e]．应选：A．【点评】此题考查补集的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用．2．〔5分〕设复数z满足〔1+i〕z=﹣2i，i为虚数单位，那么z=〔〕A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【分析】利用复数的运算法那么、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：〔1+i〕z=﹣2i，那么z===﹣i﹣1．应选：B．【点评】此题考查了复数的运算法那么、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．3．〔5分〕A〔1，﹣2〕，B〔4，2〕，那么与反方向的单位向量为〔〕A．〔﹣，〕B．〔，﹣〕C．〔﹣，﹣〕D．〔，〕【分析】与反方向的单位向量=﹣，即可得出．【解答】解：=〔3，4〕．∴与反方向的单位向量=﹣=﹣=．应选：C．【点评】此题考查了向量的坐标运算性质、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．4．〔5分〕假设m=0.52，n=20.5，p=log20.5，那么〔〕A．n＞m＞p B．n＞p＞m C．m＞n＞p D．p＞n＞m【分析】利用指数函数对数函数的运算性质即可得出．【解答】解：m=0.52=，n=20.5=＞1，p=log20.5=﹣1，那么n＞m＞p．应选：A．【点评】此题考查了指数函数对数函数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．5．〔5分〕执行如下图的程序框图，输出n的值为〔〕A．19 B．20 C．21 D．22【分析】模拟执行如下图的程序框图知该程序的功能是计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最小自然数值，求出即可．【解答】解：模拟执行如下图的程序框图知，该程序的功能是计算S=1+2+3+…+n≥210时n的最小自然数值，由S=≥210，解得n≥20，∴输出n的值为20．应选：B．【点评】此题考查了程序框图的应用问题，是根底题．6．〔5分〕p：x≥k，q：〔x﹣1〕〔x+2〕＞0，假设p是q的充分不必要条件，那么实数k的取值范围是〔〕A．〔﹣∞，﹣2〕B．[﹣2，+∞〕C．〔1，+∞〕D．[1，+∞〕【分析】利用不等式的解法、充分不必要条件的意义即可得出．【解答】解：q：〔x﹣1〕〔x+2〕＞0，解得x＞1或x＜﹣2．又p：x≥k，p是q的充分不必要条件，那么实数k＞1．应选：C．【点评】此题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．7．〔5分〕一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，那么在编号为051～125之间抽得的编号为〔〕A．056，080，104 B．054，078，102 C．054，079，104 D．056，081，106【分析】根据系统抽样的方法的要求，先随机抽取第一数，再确定间隔．【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到006号，以后每隔=25个号抽到一个人，那么以6为首项，25为公差的等差数列，即所抽取的编号为6，31，56，81，106，应选：D．【点评】此题主要考查系统抽样方法的应用，解题时要认真审题，是根底题．8．〔5分〕假设直线x=π和x=π是函数y=sin〔ωx+φ〕〔ω＞0〕图象的两条相邻对称轴，那么φ的一个可能取值为〔〕A．B．C．D．【分析】根据直线x=π和x=π是函数y=sin〔ωx+φ〕〔ω＞0〕图象的两条相邻对称轴，可得周期T，利用x=π时，函数y取得最大值，即可求出φ的取值．【解答】解：由题意，函数y的周期T==2π．∴函数y=sin〔x+φ〕．当x=π时，函数y取得最大值或者最小值，即sin〔+φ〕=±1，可得：φ=．∴φ=kπ，k∈Z．当k=1时，可得φ=．应选：D．【点评】此题考查了正弦型三角函数的图象即性质的运用，属于根底题．9．〔5分〕如果实数x，y满足约束条件，那么z=的最大值为〔〕A．B．C．2 D．3【分析】作出不等式组对应的平面区域，z=的几何意义是区域内的点到定点〔﹣1，﹣1〕的斜率，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域〔如图阴影〕，z=的几何意义是区域内的点到定点P〔﹣1，﹣1〕的斜率，由图象知可知PA的斜率最大，由，得A〔1，3〕，那么z==2，即z的最大值为2，应选：C．【点评】此题考查简单线性规划，涉及直线的斜率公式，准确作图是解决问题的关键，属中档题．10．〔5分〕函数f〔x〕=的图象与函数g〔x〕=log2〔x+a〕〔a∈R〕的图象恰有一个交点，那么实数a的取值范围是〔〕A．a＞1 B．a≤﹣C．a≥1或a＜﹣D．a＞1或a≤﹣【分析】作出f〔x〕的图象和g〔x〕的图象，它们恰有一个交点，求出g〔x〕的恒过定点坐标，数形结合可得答案．【解答】解：函数f〔x〕=与函数g〔x〕的图象它们恰有一个交点，f〔x〕图象过点〔1，1〕和〔1，﹣2〕，而，g〔x〕的图象恒过定点坐标为〔1﹣a，0〕．从图象不难看出：到g〔x〕过〔1，1〕和〔1，﹣2〕，它们恰有一个交点，当g〔x〕过〔1，1〕时，可得a=1，恒过定点坐标为〔0，0〕，往左走图象只有一个交点．当g〔x〕过〔1，﹣2〕时，可得a=，恒过定点坐标为〔，0〕，往右走图象只有一个交点．∴a＞1或a≤﹣．应选：D．【点评】此题考查了分段函数画法和对数函数性质的运用．数形结合的思想．属于中档题．二、填空题〔共5小题，每题5分，总分值25分〕11．〔5分〕直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于A、B两点，O为坐标原点，那么经过O、A、B 三点的圆的标准方程为〔x﹣2〕2+〔y﹣2〕2=8．【分析】根据题意，求出直线与坐标轴的交点坐标，分析可得经过O、A、B三点的圆的直径为|AB|，圆心为AB的中点，求出圆的半径与圆心，代入圆的标准方程即可得答案．【解答】解：根据题意，直线l：x+y﹣4=0与坐标轴交于〔4，0〕、〔0，4〕两点，即A、B的坐标为〔4，0〕、〔0，4〕，经过O、A、B三点的圆，即△AOB的外接圆，而△AOB为等腰直角三角形，那么其外接圆的直径为|AB|，圆心为AB的中点，那么有2r=|AB|=4，即r=2，圆心坐标为〔2，2〕，其该圆的标准方程为〔x﹣2〕2+〔y﹣2〕2=8，故答案为：〔x﹣2〕2+〔y﹣2〕2=8．【点评】此题考查圆的标准方程，注意直角三角形的外接圆的性质．12．〔5分〕某几何体三视图如下图，那么该几何体的体积为．【分析】由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个正方体去掉一个倒立的四棱锥．∴该几何体的体积V==．故答案为：．【点评】此题考查了正方体与四棱锥的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于根底题．13．〔5分〕在[0，a]〔a＞0〕上随机抽取一个实数x，假设x满足＜0的概率为，那么实数a的值为4．【分析】求解分式不等式得到x的范围，再由测度比为测度比得答案．【解答】解：由＜0，得﹣1＜x＜2．又x≥0，∴0≤x＜2．∴满足0≤x＜2的概率为，得a=4．故答案为：4．【点评】此题考查几何概型，考查了分式不等式的解法，是根底的计算题．14．〔5分〕抛物线y2=2px〔p＞0〕上的一点M〔1，t〕〔t＞0〕到焦点的距离为5，双曲线﹣=1〔a＞0〕的左顶点为A，假设双曲线的一条渐近线与直线AM平行，那么实数a的值为2．【分析】设M点到抛物线准线的距离为d，由可得p值，由双曲线的一条渐近线与直线AM平行，那么=，解得实数a的值．【解答】解：设M点到抛物线准线的距离为d，那么丨MF丨=d=1+=5，那么p=8，所以抛物线方程为y2=16x，M的坐标为〔1，4〕；又双曲线的左顶点为A〔﹣a，0〕，渐近线为y=±，直线AM的斜率k==，由=，解得a=3．∴a的值为3，故答案为：3．【点评】此题考查的知识点是抛物线的简单性质，双曲线的简单性质，是抛物线与双曲线的综合应用，属于中档题．15．〔5分〕f〔x〕，g〔x〕分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f〔x〕+g〔x〕=2x，假设存在x0∈[1，2]使得等式af〔x0〕+g〔2x0〕=0成立，那么实数a的取值范围是[，] ．【分析】根据函数奇偶性，解出奇函数g〔x〕和偶函数f〔x〕的表达式，将等式af〔x〕+g 〔2x〕=0，令t=2x﹣2﹣x，那么t＞0，通过变形可得a=t+，讨论出右边在x∈[1，2]的最大值，可以得出实数a的取值范围．【解答】解：解：∵g〔x〕为定义在R上的奇函数，f〔x〕为定义在R上的偶函数，∴f〔﹣x〕=f〔x〕，g〔﹣x〕=﹣g〔x〕，又∵由f〔x〕+g〔x〕=2x，结合f〔﹣x〕+g〔﹣x〕=f〔x〕﹣g〔x〕=2﹣x，∴f〔x〕=〔2x+2﹣x〕，g〔x〕=〔2x﹣2﹣x〕．等式af〔x〕+g〔2x〕=0，化简为〔2x+2﹣x〕+〔22x﹣2﹣2x〕=0．∴a=2﹣x﹣2x∵x∈[1，2]，∴≤2x﹣2﹣x≤，那么实数a的取值范围是[﹣，﹣]，故答案为：[﹣，﹣]．【点评】题以指数型函数为载体，考查了函数求表达式以及不等式恒成立等知识点，属于难题．合理地利用函数的根本性质，再结合换元法和根本不等式的技巧，是解决此题的关键．属于中档题三、解答题〔共6小题，总分值75分〕16．〔12分〕向量=〔sinx，﹣1〕，=〔cosx，〕，函数f〔x〕=〔+〕•．〔1〕求函数f〔x〕的单调递增区间；〔2〕将函数f〔x〕的图象向左平移个单位得到函数g〔x〕的图象，在△ABC中，角A，B，C所对边分别a，b，c，假设a=3，g〔〕=，sinB=cosA，求b的值．【分析】〔1〕运用向量的加减运算和数量积的坐标表示，以及二倍角公式和正弦公式，由正弦函数的增区间，解不等式即可得到所求；〔2〕运用图象变换，可得g〔x〕的解析式，由条件可得sinA，cosA，sinB的值，运用正弦定理计算即可得到所求值．【解答】解：〔1〕向量=〔sinx，﹣1〕，=〔cosx，〕，函数f〔x〕=〔+〕•=〔sinx+cosx，〕•〔sinx，﹣1〕=sin2x+sinxcosx﹣=sin2x﹣〔1﹣2sin2x〕=sin2x﹣cos2x=sin〔2x﹣〕，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，即有函数f〔x〕的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z；〔2〕由题意可得g〔x〕=sin〔2〔x+〕﹣〕=sin2x，g〔〕=sinA=，即sinA=，cosA=±=±，在△ABC中，sinB=cosA＞0，可得sinB=，由正弦定理=，可得b===3．【点评】此题考查向量数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，考查正弦函数的图象和性质，以及图象变换，考查解三角形的正弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．17．〔12分〕某校举行高二理科学生的数学与物理竞赛，并从中抽取72名学生进行成绩分析，所得学生的及格情况统计如表：物理及格物理不及格合计数学及格28836数学不及格162036合计442872〔1〕根据表中数据，判断是否是99%的把握认为“数学及格与物理及格有关〞；〔2〕从抽取的物理不及格的学生中按数学及格与不及格的比例，随机抽取7人，再从抽取的7人中随机抽取2人进行成绩分析，求至少有一名数学及格的学生概率．附：x2=．P〔X2≥k〕0.1500.1000.0500.010k 2.072 2.706 3.841 6.635【分析】〔1〕根据表中数据，计算观测值X2，对照临界值得出结论；〔2〕分别计算选取的数学及格与不及格的人数，用列举法求出根本领件数，计算对应的概率值．【解答】解：〔1〕根据表中数据，计算X2==≈8.416＞6.635，因此，有99%的把握认为“数学及格与物理及格有关〞；〔2〕选取的数学及格的人数为7×=2人，选取的数学不及格的人数为7×=5人，设数学及格的学生为A、B，不及格的学生为c、d、e、f、g，那么根本领件为：AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Bc、Bd、Be、Bf、Bg、cd、ce、cf、cg、de、df、dg、ef、eg、fg共21个，其中满足条件的是AB、Ac、Ad、Ae、Af、Ag、Bc、Bd、Be、Bf、Bg共11个，故所求的概率为P=．【点评】此题考查了独立性检验和列举法求古典概型的概率问题，是根底题．18．〔12分〕在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M，N分别是PD，PA的中点，AC⊥AD，∠ACD=∠ACB=60°，PC=AC．〔1〕求证：PA⊥平面CMN；〔2〕求证：AM∥平面PBC．【分析】〔1〕推导出MN∥AD，PC⊥AD，AD⊥AC，从而AD⊥平面PAC，进而AD⊥PA，MN ⊥PA，再由CN⊥PA，能证明PA⊥平面CMN．〔2〕取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，推导出MQ∥PC，从而MQ∥平面PBC，再求出AQ ∥平面，从而平面AMQ∥平面PCB，由此能证明AM∥平面PBC．【解答】证明：〔1〕∵M，N分别为PD、PA的中点，∴MN为△PAD的中位线，∴MN∥AD，∵PC⊥底面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PC⊥AD，又∵AD⊥AC，PC∩AC=C，∴AD⊥平面PAC，∴AD⊥PA，∴MN⊥PA，又∵PC=AC，N为PA的中点，∴CN⊥PA，∵MN∩CN=N，MN⊂平面CMN，CM⊂平面CMN，∴PA⊥平面CMN．解〔2〕取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，∵MQ是△PCD的中位线，∴MQ∥PC，又∵PC⊂平面PBC，MQ⊄平面PBC，∴MQ∥平面PBC，∵AD⊥AC，∠ACD=60°，∴∠ADC=30°．∴∠DAQ=∠ADC=30°，∴∠QAC=∠ACQ=60°，∴∠ACB=60°，∴AQ∥BC，∵AQ⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AQ∥平面PBC，∵MQ∩AQ=Q，∴平面AMQ∥平面PCB，∵AM⊂平面AMQ，∴AM∥平面PBC．【点评】此题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．19．〔12分〕等差数列{a n}的首项a1=2，前n项和为S n，等比数列{b n}的首项b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．〔1〕求数列{a n}和{b n}的通项公式；〔2〕数列{c n}满足c n=b n+〔﹣1〕n a n，记数列{c n}的前n项和为T n，求T n．【分析】〔1〕设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．根据a1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．可得2+d=q2，3×2+=6q，联立解得d，q．即可得出．．〔2〕c n=b n+〔﹣1〕n a n=2n﹣1+〔﹣1〕n•2n．可得数列{c n}的前n项和为T n=1+2+22+…+2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+〔﹣1〕n•2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+〔﹣1〕n•2n]．对n分类讨论即可得出．【解答】解：〔1〕设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．∵a1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．∴2+d=q2，3×2+=6q，联立解得d=q=2．∴a n=2+2〔n﹣1〕=2n，b n=2n﹣1．〔2〕c n=b n+〔﹣1〕n a n=2n﹣1+〔﹣1〕n•2n．∴数列{c n}的前n项和为T n=1+2+22+…+2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+〔﹣1〕n•2n]=+[﹣2+4﹣6+8+…+〔﹣1〕n•2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+〔﹣1〕n•2n]．∴n为偶数时，T n=2n﹣1+[〔﹣2+4〕+〔﹣6+8〕+…+〔﹣2n+2+2n〕]．=2n﹣1+n．n为奇数时，T n=2n﹣1+﹣2n．=2n﹣2﹣n．∴T n=．【点评】此题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．〔13分〕函数f〔x〕=e x﹣1﹣，a∈R．〔1〕假设函数g〔x〕=〔x﹣1〕f〔x〕在〔0，1〕上有且只有一个极值点，求a的范围；〔2〕当a≤﹣1时，证明：f〔x〕＜0对任意x∈〔0，1〕成立．【分析】〔1〕求出导函数，由题意可知f〔x〕在〔0，1〕上有且只有一个极值点，相当于导函数有一个零点；〔2〕问题可转换为〔x﹣1〕〔e x﹣1〕﹣ax＞0恒成立，构造函数G〔x〕=〔x﹣1〕〔e x﹣1〕﹣ax，通过二次求导，得出结论．【解答】解：〔1〕g〔x〕=〔x﹣1〕〔e x﹣1〕﹣ax，g'〔x〕=xe x﹣a﹣1，g''〔x〕=e x〔x+1〕＞0，∵f〔x〕在〔0，1〕上有且只有一个极值点，∴g'〔0〕=﹣a﹣1＜0，g'〔1〕=e﹣a﹣1＞0，∴﹣a＜a＜e﹣1；〔2〕当a≤﹣1时，f〔x〕＜0，∴〔x﹣1〕〔e x﹣1〕﹣ax＞0恒成立，令G〔x〕=〔x﹣1〕〔e x﹣1〕﹣ax，G'〔x〕=xe x﹣a﹣1，G''〔x〕=e x〔x+1〕＞0，∴G'〔x〕在〔0，1〕单调递增，∴G'〔x〕≥G'〔0〕=﹣a﹣1≥0，∴G〔x〕在〔0，1〕单调递增，∴G〔x〕≥G〔0〕=0，∴〔x﹣1〕〔e x﹣1〕﹣ax≥0，∴当a≤﹣1时，f〔x〕＜0对任意x∈〔0，1〕成立．【点评】此题考查了极值点的概念和导函数的应用，难点是对导函数的二次求导．21．〔14分〕椭圆E：+=1〔a＞b＞0〕的离心率是，点P〔1，〕在椭圆E上．〔1〕求椭圆E的方程；〔2〕过点P且斜率为k的直线l交椭圆E于点Q〔x Q，y Q〕〔点Q异于点P〕，假设0＜x Q＜1，求直线l斜率k的取值范围；〔3〕假设以点P为圆心作n个圆P i〔i=1，2，…，n〕，设圆P i交x轴于点A i、B i，且直线PA i、PB i分别与椭圆E交于M i、N i〔M i、N i皆异于点P〕，证明：M1N1∥M2N2∥…∥M n N n．【分析】〔1〕根据椭圆的离心率求得a2=4b2，将P代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；〔2〕设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，求得x Q，由0＜x Q＜1，即可求得k的取值范围；〔3〕由题意可知：故直线PA i，PB i的斜率互为相反数，分别设直线方程，代入椭圆方程，即可求得x i，x i′，根据直线的斜率公式，即可求得=，==…=，那么M1N1∥M2N2∥…∥M n N n．【解答】解：〔1〕由椭圆的离心率e===，那么a2=4b2，将P〔1，〕代入椭圆方程：，解得：b2=1，那么a2=4，∴椭圆的标准方程：；〔2〕设直线l的方程y﹣=k〔x﹣1〕，那么，消去y，整理得：〔1+4k2〕x2+〔4k﹣8k2〕x+〔4k2﹣4k﹣1〕=0，由x0•1=，由0＜x0＜1，那么0＜＜1，解得：﹣＜k＜，或k＞，经验证，满足题意，直线l斜率k的取值范围〔﹣，〕∪〔，+∞〕；〔3〕动圆P的半径为PA i，PB i，故PA i=PB i，△PA i B i为等腰三角形，故直线PA i，PB i的斜率互为相反数，设PA i的斜率k i，那么直线PB i的斜率为﹣k i，设直线PA i的方程：y﹣=k i〔x﹣1〕，那么直线PB i的方程：y﹣=﹣k i〔x﹣1〕，，消去y，整理得：〔1+4k i2〕x2+〔4k i﹣8k i2〕x+〔4k i2﹣4k i﹣1〕=0，设M i〔x i，y i〕，N i〔x i′，y i′〕，那么x i•1=，那么x i=，将﹣k i代替k i，那么x i′=，那么x i+x i′=，x i﹣x i′=﹣，y i﹣y i′=k i〔x i﹣1〕++k i〔x i﹣1〕﹣=k i〔x i+x i′〕﹣2k i，=k i×﹣2k i，=，那么==，故==…=，∴M1N1∥M2N2∥…∥M n N n．【点评】此题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．。
高三数学(文科)试题
2010年高考仿真模拟高三数学试题(文科) 2010.5本试卷共4页，分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共 150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共60分)注意事项:1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.（特别强调：为方便本次阅卷，每位考生在认真填涂 “数学”答题卡的前提下，再将Ⅰ卷选择题答案重涂在另一答题卡上.）如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号.一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合P ={1，2，3，4}，集合Q ={3，4，5} ，全集U =R ，则集合P u Q ð=A. {1，2}B. {3，4}C. {1}D. {-2，-1，0，1，2} 2．已知x ,y ∈R ，i 为虚数单位，且(1)2x i y i --=+，则(1)x y i -+的值为 A.4- B. 4 C. 1- D. 13. 如图表示甲、乙两名篮球运动员的每场比赛得分情况的茎叶图，则甲得分的众数与乙得分的中位数之和为A. 57B. 58C.39D.40 4. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题：①α∥β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β ④l ⊥m ⇒α∥β 其中正确命题的序号是A. ①②③B. ②③④C. ①③D. ②④5. 已知1()x f x a =，2()af x x =，3()log a f x x =，（0a >且1a ≠），在同一坐标系中画出其中两个函数在第Ⅰ象限的图象，正确的是A B C D6. 一等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么顶角的余弦值为 A.518B.34C.2D.787．函数 1 (30)82sin() (0)3kx x y x x πωφ+-<⎧⎪=⎨+⎪⎩≤≤≤的图象如图，则A.11,,326k πωφ===B.11,,323k πωφ===C.1,2,36k πωφ=-==D. 3,2,3k πωφ=-==8.如图所示是以建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆0.2k g ，则共需油漆大约公斤数为（尺寸如图所示，单位：米 π取3）A. 20B. 22.2 C . 111 D. 110 9. 抛物线212y x =-的准线与双曲线22193xy-=的两渐近线围成的三角形的面积为A.B. C. 2D.10. 已知a .b ∈R ，那么 “122<+b a ” 是“ ab +1＞a +b ”的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件 11. 在圆x y x 522=+内，过点（25，23）有n 条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项1a ，最大弦长为n a ，若公差为d ∈[61，31]，那么n 的取值集合为A. {4,5,6,7}B. {4,5,6}C. {3,4,5,6}D. { 3.4.5,6,7} 12. 设x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z =ax +by (a .>0,b >0)，最大值为12，则b a 32+的最小值为A.724 B.625 C. 5D. 4第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)注意事项:1.第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题.2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在 “数学”答题卡指定的位置. 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 13.已知等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，且36101332a a a a +++=，若8m a =，则m = . 14.如图是为计算10个数的平均数而设计的算法框图， 请你把图中缺失的部分补充完整________.15,1=0,O B O A O B ==点C 在AOB ∠内，045=∠AOC ，设,(,),O C m O A nO B m n =+∈R 则mn=_______. 16. 已知f (x )为R 上的偶函数，对任意x ∈R 都有f (x +6)=f (x )+f (3)且当x 1,x 2∈[0,3],x 1≠x 2时，有2121)()(x x x f x f -->0成立，给出四个命题：① f (3)=0; ② 直线x =-6是函数y =f (x )的图像的一条对称轴; ③ 函数y =f (x )在[-9,-6]上为增函数; ④ 函数y =f (x )在[-9,9]上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为______________.三、解答题:本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)设x x x x f cos sin 32cos 6)(2-=.（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）若锐角α满足()3f α=-tan α的值.18．(本小题满分12分)如图所示，在棱锥P -ABC D 中， ⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，且AB //CD ，90=∠BAD ，PA =AD =DC =2，AB =4. （Ⅰ）求证：PC BC ⊥;（Ⅱ）若F 为PB 的中点，求证：CF //平面P AD .19．(本小题满分12分)某班全部t 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒和18秒之间.将测试结果按如下方式分为五组：第一组[13,14）；第二组[14,15）；…；第五组[17,18],右表是按上述分组方式得到的频率分布表.（Ⅰ）求t 及上表中的,,x y z 的值；（Ⅱ）设m ,n 是从第一组或第五组中任意抽取的两名学生的百米测试成绩，求事件“1m n ->”的概率.20．(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为1,n n n S a S +=且—n +3，n 1,2a ∈=+N .(Ⅰ)求数列{}n a 的通项; （Ⅱ）设()2n nnb n S n =∈-++N 的前n 项和为nT，证明:n T ＜34.21．(本小题满分12分) 若椭圆1E :2222111x y ab+=和椭圆2E :2222221x y ab+=满足2211(0)a b m m a b ==>,则称这两个椭圆相似，m 是相似比.(Ⅰ)求过(且与椭圆22142xy+=相似的椭圆的方程；(Ⅱ)设过原点的一条射线l 分别于（I ）中的两椭圆交于A 、B 两点（点A 在线段OB 上）. 求OA OB ⋅的最大值和最小值.22．(本小题满分14分) 设函数1()(2)ln 2f x a x ax x=-++.（Ⅰ）当0a =时，求()f x 的极值； （Ⅱ）当0a ≠时，求()f x 的单调区间；（Ⅲ）当2a =时，对任意的正整数n ，在区间11[,6]2n n++上总有4m +个数使得1231234()()()()()()()()m m m m m f a f a f a f a f a f a f a f a +++++++<+++成立，试求正整数m的最大值.。
2021-2022年高三上学期期末考试数学(文)试题 含答案(III)
2021-2022年高三上学期期末考试数学（文）试题 含答案(III)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分 注意事项：1．答题前，考试务必先认真核对条形码上的姓名，准考证号和座位号，无误后将本人姓名、准考证号和座位号填写在相应位置，2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3．答题时，必须使用黑色签字笔，将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上；4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效； 5．考试结束后将答题卡交回，不得折叠、损毁答题卡。
一、选择题1．已知（1+i ）•z=﹣i ，那么复数对应的点位于复平面内的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2、A a x a x xA ∉⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+-=1,0若已知集合，则实数a 取值范围为（ ）A B [-1,1] C D (-1,1]3、抛物线的准线方程是 ( )A B C D4、若,使得-成立是假命题，则实数的取值范围是( )A B C D {3}5．已知角α终边与单位圆x2+y2=1的交点为，则=（）A．B．C．D．16．执行如图的程序框图，则输出的S的值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an ，则a14+a15+a16+a17的值为（）A．55 B．52 C．39 D．268．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB=1，向量=（a，b），=（1，2），若∥，则角A的大小为（）A． B． C． D．9．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A B C D10．等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1，点M，N分别是AB，BC中点，点P是△ABC（含边界）内任意一点，则•的取值范围是（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[，]11 ．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A．[1，] B．[，] C．[，] D．[，]12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）的解集为（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞）D．（，+∞）第Ⅱ卷二、填空题.（20分）13．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为120件,80件,60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽取了3件,则n=___14．已知直线L 经过点P （﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L 的方程是 ．15．若直线ax+by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）过曲线y=1+sinπx（0＜x ＜2）的对称中心，则+的最小值为 ．16．定义：如果函数y=f （x ）在定义域内给定区间[a ，b]上存在x 0（a ＜x 0＜b ），满足，则称函数y=f （x ）是[a ，b]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点．如y=x 2是[﹣1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f （x ）=x 3+mx 是区间[﹣1，1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题17．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，，∠BAC=θ，a=4．（Ⅰ）求b •c 的最大值及θ的取值范围； （Ⅱ）求函数的最值．18．（12分）如图，在Rt △AOB 中，，斜边AB=4，D 是AB 中点，现将Rt △AOB 以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上一点，且∠BOC=90°，（1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD与平面BOC所成的角的正弦值；19.（12分）某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表，规定：A、B、C三级为合格等级，D为不合格等级.百分制85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级A B C D为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示.(1)求n和频率分布直方图中x，y的值；(2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；20．（12分）如图，椭圆x2+=1的左、右顶点分别为A、B，双曲线Γ以A、B 为顶点，焦距为2，点P是Γ上在第一象限内的动点，直线AP与椭圆相交于另一点Q，线段AQ的中点为M，记直线AP的斜率为k，O为坐标原点．（1）求双曲线Γ的方程；的取值范围；（2）求点M的纵坐标yM（3）是否存在定直线l，使得直线BP与直线OM关于直线l对称？若存在，求直线l方程，若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+．（1）当a=2时，证明对任意的x∈（1，+∞），f（x）＞1；（2）求证：ln（n+1）＞（n∈N*）．（3）若函数f（x）有且只有一个零点，求实数a的取值范围．四、选做题（10分）请考生从给出的2道题中任选一题做答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。
河南省洛阳市2021-2022学年高三上学期第一次统一考试数学(文)试卷
洛阳市2021—2022学年高中三年级第一次统一考试数学试卷(文)本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
共150分。
第1卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考试时间120分钟。
第I 卷(选择题，共60分)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2．考试结束，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z ＝sin π3＋icos π3，则|z |＝A ．4B ．3C ．2D ．1 2．已知全集为R ，集合A ＝{x |－2＜x ＜l}，集合B ＝{x |－x 2＋x ＜0}．则A ∪(∁R B )＝A ．(－2，1]B ．(－1，1]C ．(－∞，－2)∪[1，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)3．某种游戏棋盘形状如图，已知大正方形的边长为12．每个小正方形的边长均为2．在游戏棋盘上随机取一点，则该点取自小正方形的概率为A ．19B ．29C ．16D ．136．4．已知数列{a n }是等差数列，且2a 8－a 812＝4．则其前七项和S 7＝A ．42B ．35C ．28D ．215．已知命题p : x ∈R ，x 2＋x ＋1＞0；命题q ：若a ＞b ，则1a ＜1b．下列命题为真的是A ．(¬p )∨q ∧B ．(¬p )∧(¬q )C ．p )∧qD ．p ∨q 6．若右面框图所给的程序运行结果为28，那么判断框中应填入的关于k 的条件是A ．k ≥6B ．k ≥7C ．k ≥8D ．k ≥97．若a ＝(3)23，b ＝e 13，c ＝log 3e ．则A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b 8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋2π3)在[－π，π]上的图象如图所示。
则f (x )的最小正周期是 A ．3π2B ．4π3C ．7π6D ．2π39．直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上运动，则△ABP 面积的最小值为A ．6B ．4C ．2D ．4－2 2k =10, S=1 开始S=S+k k =k －1结束输出S 是 否10．如图，AB ，CD 分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB ⊥CD ．O 1，O 分别为上、下底面圆心，若圆柱的轴截面为正方形，且三楼锥A －BCD 的体积为43，则该圆柱的侧面积为A ．9πB ．10πC ．12πD ．14π11．已知双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线上且AF 1→•AF 2→＝0，则△AF 1F 2的内切圆的半径为A ．3－ 2B ．3＋ 2C ．3＋1D ．3－1．12．已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x －sin x ，若存在x 1，x 2∈[1，π](x 1≠x 2)使得|f (x 1)－f (x 2)|＜k |g (x 1)－g (x 2)|成立．则实数k 的取值范围是 A ．(11－cos l ，12π) B ．(0，12π)C ．(12π，＋∞)D ．(11－cos l，＋∞)第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共20分。
高三年级数学文科试题
高三年级数学文科试题一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1.若,a b R ∈，i 是虚数单位，且(2)1a b i i +-=+，则a b +的值为A ．1B ．2C ．3D ．42.已知命题:,20x p x R ∀∈>，那么命题p ⌝为A ．,20x x R ∃∈<B ．20x x R ∀∈<,C ．,20x x R ∃∈≤D ．20x x R ∀∈,≤ 3.已知直线1:l y x =，若直线12l l ⊥，则直线2l 的倾斜角为A . ππ()4k k Z +∈ B .π2 C .3ππ()4k k Z +∈ D .3π44.平面向量a 与b 的夹角为60，(2,0)a =，1b =，则2a b +=A ．3B ．23C ．4D ．125.不等式组(3)()004x y x y x -++⎧⎨⎩≥≤≤表示的平面区域是A ．矩形B ．三角形C ．直角梯形D ．等腰梯形6.设a R ∈，函数()x x f x e ae -=+的导函数是()f x '，且()f x '是奇函数，则a 的值为A ．1-B ．12-C ．1D ．127.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生 参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的 茎叶图如右图，其中甲班学生成绩的平均分是85， 乙班学生成绩的中位数是83，则x +y 的值为 A ．7 B ．8 C ．9 D ．1688．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus ）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样的一道题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的1份为第7题图乙甲y x 611926118056798A ．53B ．116C ．56D ．1039. 从221x y m n-=（其中{},2,5,4m n ∈--）所表示的圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）方程中任取一个，则此方程是焦点在y 轴上的双曲线方程的概率为（ ）A ．12B ．47C ．23D ．3410.已知函数21(0)()log (0)x x f x x x +⎧=⎨>⎩≤，,则函数[()]1y f f x =+的零点个数是A ．4B ．3C ． 2D ．1二、填空题(本大题共5小题，每小题7分，共35分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上)11.已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，}6,4,2,1{=M ，则U M =ð ． 12.已知4cos 5θ=-，且tan 0θ<，则sin θ= ．13.某高三年级有500名同学，将他们的身高（单位：cm ）数据绘制成频率分布直方图（如图），若用分层抽样的方法选取30人参加一项活动，则从身高在[160,170)内的学生中选取的人数应为 .14.某地区恩格尔系数(%)y 与年份x 的统计数据如下表:年份x 2004 2005 2006 2007 恩格尔系数y (%)4745.543.541从散点图可以看出y 与x 线性相关，且可得回归直线方程为ˆˆ4055.25ybx =+，据此模型可预测2013年该地区的恩格尔系数(%)为 ．15.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为 .O yx 0.0350.0200.0100.005190180170160150140第13题图 第15题图 61侧视图俯视图正视图16.已知实数[0,10]x ∈，若执行如下左图所示的程序框图，则输出的x 不小于 47的概率为 .17.右下表中数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第i 行第j 列的数为),(*N j i a ij ∈，则：（Ⅰ）99a = ； （Ⅱ）表中数82共出现 次．三、解答题(本大题共5小题，共65分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 18.（本小题满分12分）已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角且向量3(1,cos )(3sin cos ,)2222C C C m n ==+与共线。
2023届河南省南阳市第六完全学校高级中学高三上学期9月考试数学(文)试题(解析版)
2023届河南省南阳市第六完全学校高级中学高三上学期9月考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}(){}3,1,ln 1x M yy x N x y x ==<==-∣∣，则M N =（ ）A ．[)0,3B ．[)1,3C ．()1,3D ．(]0,1【答案】C【分析】分别求出集合M 和N ，取交集即可，一定要注意集合中元素是什么.【详解】集合{}3,1x M y y x ==<∣中的元素是y ，表示函数值y 的范围， 易知3y <，(),3M ∴=-∞，(){}ln 1N x y x ==-∣中的元素是x ，表示自变量x 的范围， 易知10x ->，则有1x >，()1,N ∴=+∞， 所以M N =()1,3.故选：C2．函数()f x 在区间[]0,2上单调，则“()()020f f <”是“()f x 在区间[]0,2上有零点”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据给定条件利用充分条件、必要条件的定义分析判断即可作答.【详解】解：因为函数()f x 在区间[]0,2上单调，则由“()()020f f <”能得出“()f x 在区间[]0,2上有零点” ；由“()f x 在区间[]0,2上有零点”不能推出“()()020f f <”，如函数()f x 在区间[]0,2上单调递增，()00f =时，则()2>0f ，则()()020f f =，所以 “()()020f f <”是“()f x 在区间[]0,2上有零点”的充分不必要条件. 故选：A.3．已知命题p ：“[1,]x e ∀∈，ln a x >”，命题q ：“x R ∃∈，240x x a -+=””若“p q ∧”是真命题，则实数a 的取值范围是 A ．(1,4] B ．(0,1]C ．[1,1]-D ．(4,)+∞【答案】A【分析】通过判断命题p 和q 的真假，从而求得参数的取值范围. 【详解】解：若命题p ：“,[]1e ∀∈，ln a x >，为真命题， 则ln 1a e >=，若命题q ：“x R ∃∈，240x x a -+=”为真命题， 则1640a ∆=-≥，解得4a ≤， 若命题“p q ∧”为真命题， 则p ，q 都是真命题，则14a a >⎧⎨≤⎩，解得：14a <≤．故实数a 的取值范围为(1,4]． 故选A ．【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出命题p ，q 的等价条件是解决本题的关键．4．已知()f x 的定义域为[]22-,，则函数()g x =则()g x 的定义域为 A ．1(,3]2-B ．(1,)-+∞C ．1(,0)(0,3)2-⋃D ．1(,3)2-【答案】A【详解】212210x x -≤-≤⎧⎨+>⎩，则132x -<≤，即定义域为1,32⎛⎤- ⎥⎝⎦，故选A ．5．若函数()1,1431x x x f x x ⎧-≤≤⎪=-≤<，则()f x 的值域为（ ）A．⎡⎣ B ．150,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,4D．154⎤⎥⎦【答案】C【解析】由()f x 在[1，4]递增，以及二次函数的值域求法，即可得到所求()f x 的值域．【详解】解：函数1,14()31x x x f x x ⎧-⎪=-<，当14x 时，1()f x x x=-递增，可得()[0f x ∈，15]4；当31x -<时，()f x当2x =-时，()f x 取得最大值4，1x =时，()1f即有()f x ⎤∈⎦，． 可得()f x 的值域为[0，4]． 故选：C ．【点睛】本题考查分段函数的值域，注意运用函数的单调性和二次函数的值域，考查化简运算能力，属于中档题．6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()2ln f x xf e x '=+，则()f e '=（ ） A ．e B ．1-C ．1e --D ．e -【答案】C【分析】求出导数后，把 x=e 代入，即可求解.【详解】因为()()12f x f e x ''=+，所以()()12f e f e e ''=+，解得()11e e e f -'=-=-．故选：C ．7．已知a ＝log 0.53，b ＝20.3，c ＝0.30.5，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c【答案】A【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 【详解】解：∵log 0.53＜log 0.51＝0，∴a ＜0， ∵20.3＞20＝1，∴b ＞1，∵0＜0.30.5＜0.30＝1，∴0＜c ＜1， ∴a ＜c ＜b ， 故选：A ．8．函数()ln f x x x =在221,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A ．1e -B ．22e - C ．22eD ．22e【答案】D【分析】直接利用导数求出函数的最大值即可【详解】解：由()ln f x x x =，得()'ln 1f x x =+，令'()0f x =，则得1=x e，当211x e e ≤<时，'()0f x <，当21x e e<≤时，'()0f x >， 所以()f x 在211,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递减，在21,e e ⎛⎤⎥⎝⎦上递增，因为()f x 的最大值为21f e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()2f e 中最大者，因为()222222221112ln ,ln 2f f e e e e e ee e ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，所以()f x 的最大值为22e ， 故选：D9．已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足()1212f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ）A ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．13,44⎛⎫⎪⎝⎭C ．13,,44⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】由()f x 为偶函数且在[)0+∞，上单调递增，便可由()1212f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭得出1212x -<，解绝对值不等式便可得出x 的取值范围．【详解】因为函数()f x 为偶函数，∴由()1212f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭得，()1212f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭；又()f x 在[)0+∞，上单调递增； 1212x ∴-<； 解得1344x <<； x 的取值范围是1344⎛⎫⎪⎝⎭，．故选：B ．【点睛】关键点睛：解答本题的关键是通过数形结合得到1212x -<.对于函数的问题，要会把函数的奇偶性、单调性、对称性等结合在一起分析解答，要会结合函数的图象分析解答，提高解题效率.10．已知0a b >>，且1,ab =则不正确的是（ ） A ．20a b +> B ．22log log 1a b +>C ．22a b +>D ．22log log 0a b ⋅<【答案】B【分析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断.【详解】对A ，根据指数函数的性质20a b +>，故A 正确； 对B ，2222log log log log 10a b ab +===，故B 错误；对C ，因为2a b +≥=，当且仅当a b =取等号，所以224a b ≥≥=>+，故C 正确；对D ，因为1ab =，且0a b >>，故10>>>a b ，22log 0,log 0a b ><，所以22log log 0a b ⋅<；故D 正确. 故选：B11．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且()f x 的图象关于点()1,0对称，当[]0,1x ∈时，()22x f x =-，则()()()()0122022f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（ ） A ．2- B ．1-C ．0D ．1【答案】C【分析】利用对称性和奇偶性可推导得到()f x 是周期为4的周期函数，并求得()()()()0,1,2,3f f f f 的值，将所求式子利用周期进行转化即可求得所求值.【详解】()f x 图象关于点()1,0对称，()()2f x f x ∴=--，又()f x 为R 上的偶函数，()()f x f x ∴=-，()()()22f x f x f x ∴=--=--， ()()()()42f x f x f x f x ∴+=-+=--=⎡⎤⎣⎦，()f x ∴是周期为4的周期函数，()()()311220f f f ∴=-==-=，又()01f =，()()201f f =-=-，()()()()()()()()()012202250501232020f f f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=+++++⎡⎤⎣⎦()()()()()()2021202250510100121010f f f f f +=⨯+-++++=+-=.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数周期性求解函数值的问题，解题关键是能够根据函数的奇偶性和对称性推导得到函数的周期，进而将自变量转化到已知函数解析式的区间中，从而结合解析式求得函数值. 12．函数21()ln (0)2f x x x ax x =+->在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．510,23⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．510,23⎫⎡⎪⎢⎣⎭C ．510,23⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【分析】求导得1()f x x a x '=+-(0)x >，由题意得()y f x '=在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个变号零点，参变分离得()1a x g x x=+=，利用函数()g x 的单调性得a 的取值范围. 【详解】因为21()ln 2f x x x ax =+-(0)x >，所以1()f x x a x '=+-，函数21()ln (0)2f x x x ax x =+->在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有一个极值点，∴()y f x '=在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个变号零点.令1()0f x x a x '=+-=，得1a x x =+.设()1=+g x x x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，在[]1,3上单调递增，()()min 12g x g ∴==，又()1510,3223g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，得当51023a <≤，()y f x '=在1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个变号零点.经检验，103x =不合题意， 故选：B.【点睛】方法点睛：已知区间上有极值点，求参数的范围问题．可以从两个方面去思考： （1）根据区间上极值点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件；（2）也可以先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，借助导数研究函数的单调性、极值等，层层推理得解．二、填空题13．已知函数()()()2211541x a x x f x a x x ⎧-+-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，，满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】[]24，【分析】由()()12120f x f x x x ->-可知()f x 为单调递增函数,故利用分段函数的单调性需要满足的关系式进行列式求解.【详解】由()()12120f x f x x x ->-可知()f x 为单调递增函数,故()()()2211541x a x x f x a x x ⎧-+-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，，中有()2211x a x x -+-≤，与()541a x x -+>，均为增函数,且在1x =处()221x a x -+-的值小于()54a x -+.可得2(1)1225052412(1)544a a a a a a a a -⎧-≥⎪≥⎧-⎪⎪->⇒<⇒≤≤⎨⎨⎪⎪-+-≤-+≤⎩⎪⎩故答案为[]24，【点睛】分段函数单调递增,需满足在各自区间上单调递增,且在分段处的函数值也满足单调性.14．已知3f x =-，则()f x =________. 【答案】22(0)x x -≥【解析】利用换元法求得()f x 的解析式. 【详解】令)0t t =≥，则21x t =+，所以()()()223120f t t t t =-+=-≥，所以()()220f x x x =-≥.故答案为：22(0)x x -≥ 15．若函数()3222103f x x x ax =-++在区间[]1,4-上具有单调性，则a 的取值范围是________．【答案】(][),162,-∞-⋃+∞【分析】对函数()f x 求导，将函数()f x 在区间[]1,4-上具有单调性，转化为()f x '在区间[]1,4-恒大于0，或恒小于0，进而求出a 的取值范围【详解】()224x x a f x '=-+，函数()f x 在区间[]1,4-上具有单调性等价于()2240x x a f x =-+≤'或()2240f x x x a '=-+≥在[]1,4-上恒成立，则()2min 24x a x -+≤或()2max24x a x-+≥，设()()2224212g x x x x =-+=--+， 当1x =时，()g x 取得最大值，()()max 12g x g ==，当4x =时，()g x 取得最小值，()()min 416g x g ==-所以16a ≤-或2a ≥． 故答案为：(][),162,-∞-⋃+∞16．函数22log (2)y x ax a =-+的值域为R ，则a 的取值范围是________. 【答案】(][),01,-∞⋃+∞【分析】由函数22log (2)y x ax a =-+的值域为R ，可得22t x ax a =-+能够取到大于0的所有数，再由判别式0∆≥，即 可 求 解．【详解】解：∵函数22log (2)y x ax a =-+的值域为R ，22t x ax a ∴=-+能够取到大于0的所有数，则()2224440a a a a ∆=--=-≥， 解得：0a ≤或1a ≥，∴实数a 的取值范围是(][),01,-∞⋃+∞． 故答案为：(][),01,-∞⋃+∞．三、解答题17．已知集合()ln 2A x y x ⎧==-⎨⎩，{}21B x a x a =<<+．(1)若1a =，求A B ；(2)若A B B =，求实数a 的取值范围． 【答案】(1){}13A B x x ⋃=-<< (2)1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）先求出集合,A B ，再根据并集的定义即可求出. （2）由题可得B A ⊆，讨论B =∅和B ≠∅两种情况可求出.【详解】(1)由2010x x ->⎧⎨+>⎩，解得12x -<<，所以{}12A x x =-<<，当1a =时，{}13B x x =<<， 所以{}13A B x x ⋃=-<<；(2)由A B B =，得B A ⊆，当B =∅时，21a a ≥+，解得1a ≤-．当B ≠∅时，121221a a a a ≥-⎧⎪+≤⎨⎪<+⎩，解得112a -<≤．综上实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．18．已知m R ∈，p ：m 128<<；q ：不等式240x mx -+≥对任意实数x 恒成立. （1）若q 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）如果“p q ∨”为真命题，且“p q ∧”为假命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）[4,4]-（2）[4,0][3,4]-⋃【分析】（1）解不等式2160m ∆=-即得解；（2）由“p q ∨”为真，且“p q ∧”为假知p ，q 一真假，再分两种情况分析讨论得解.【详解】（1）由“不等式240x mx -+≥对任意实数x 恒成立”为真得2160m ∆=-，解得44m -≤≤，故实数m 的取值范围为[4,4]-.（2）由“m 128<<”为真得m 的取值范围为03m <<， 由“p q ∨”为真，且“p q ∧”为假知p ，q 一真假，当p 真q 假时，有0344m m m <<⎧⎨-⎩或，此时m 无解；当p 假q 真时，有0344m m m ≤≥⎧⎨-≤≤⎩或，解得40m -≤≤或34m ≤≤；综上所述，m 的取值范围为[4,0][3,4]-⋃.【点睛】本题主要考查二次不等式的恒成立问题，考查复合命题真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．函数()1423x x f x +=-+的定义域为11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.（1）设2x t =，求t 的取值范围； （2）求函数()f x 的值域.【答案】（1）t ∈⎣（2）2,5⎡-⎣. 【分析】（1）由题意，可先判断函数2x t =，11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦单调性，再由单调性求出函数值的取值范围即可；（2）由于函数()1423x x f x +=-+是一个复合函数，可由2x t =，将此复合函数转化为二次函数()223g t t t =-+，此时定义域为t ∈⎣，求出二次函数在这个区间上的值域即可得到函数()f x 的值域.【详解】（1）2x t =在11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上单调递增t ∴∈⎣.（2）函数()y f x =可化为：()223g t t t =-+，t ∈⎣()y g t =在⎤⎥⎣⎦上单调递减，在⎡⎣上单调递增比较得2g g<⎝⎭，()()12min f x g ∴==，()5max f x g ==-所以函数的值域为25⎡-⎣，.【点睛】本题考查了对数函数的值域的求法，对数函数与一元二次函数组成的复合函数的值域的求法，解题的关键是熟练掌握指数函数的性质与二次函数的性质，本题的重点在第二小题，将求复合函数的值域转化为求两个基本函数的值域，先求内层函数的值域再求外层函数的值域，即可得到复合函数的值域，求复合函数的值域问题时要注意此技能使用.20．已知函数()2ln f x ax b x =+在1x =处有极值12.（1）求实数a 、b 的值；（2）判断函数()f x 的单调区间，并求极值. 【答案】（1）12a =，1b =-；（2）单调递减区间是0,1，单调递增区间是1,，极小值12，无极大值.【分析】（1）由题设有()2b f x ax x'=+，结合在1x =处有极值12，列方程组求a 、b 的值；（2）由（1）得()()()11x x f x x+-'=且()f x 的定义域为0,，即可确定()f x 的区间单调性，进而确定单调区间和极值.【详解】（1）由()2ln f x ax b x =+，知()2b f x ax x'=+. 又∵()f x 在1x =处有极值12，则()()10112f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即2012a b a +=⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴12a =，1b =-. （2）由（1）可知()21ln 2f x x x =-，定义域为0,， ∴()()()111x x f x x x x +-'=-=. 令0f x ，则1x =-（舍去）或1x =；当x 变化时，f x ，()f x 的变化情况如表：x + ()x∴函数()f x 的单调递减区间是0,1，单调递增区间是1,，且函数()f x 在定义域上有极小值()112f =，而无极大值. 【点睛】关键点点睛：（1）利用极值点处导数值为0，求参数值即可.（2）写出函数的导函数，并讨论定义域上各区间的单调性，进而确定极值.21．已知函数2()21,[1,1]f x x ax x =+-∈-（1）若12a =时，求函数()f x 的最值． （2）若,a R ∈记函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 关于a 的解析式．【答案】(1) 最大值为1，最小值为54-；(2) 22,1()1,112,1a a g a a a a a -≥⎧⎪=---<<⎨⎪≤-⎩【分析】(1)根据二次函数在区间[1,1]- 上的单调性可解得;(2)按照二次函数的对称轴与区间[1,1]-的三种位置关系分类讨论可得.【详解】解：（1）当12a =时，2()1,[1,1]f x x x x =+-∈-，其对称轴为12x =- 由于函数()y f x =在1(1,)2--上递减，在1(,1)2-递增()f x ∴的最大值为(1)1f =()f x 的最小值为15()24f -=- （2）由2()21,f x x ax =+-其对称轴为x a =-当1a -≤-时，即1a ≥时，()y f x =在[1,1]-上是递增的min ()()(1)2f x g a f a ∴==-=-当11a -<-<时，即11a -<<时，()y f x =在(1,)a --上递减，在(,1)a -递增 2min ()()()1f x g a f a a ==-=--当1a -≥时，即1a ≤-时，()y f x =在(1,1)-上递减min ()()(1)2f x g a f a ∴===综上：22,1()1,112,1a a g a a a a a -≥⎧⎪=---<<⎨⎪≤-⎩【点睛】本题考查了二次函数的动轴定区间的最小值的求法,解题方法是按照二次函数的对称轴与区间[1,1]-的三种位置关系进行分类讨论.22．已知()2e xx a f x -=. (1)当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若()1f x x ≤-对[)1,x ∞∈+恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1)10x y --=(2)1a ≥【分析】（1）利用导数的几何意义以及直线方程的点斜式即可求解.（2）分离参数a ，转化成不等式恒成立问题，利用导数求最值即可.【详解】(1)当1a =时，()21ex x f x -=，()01f =-， ()22(1)ex x x f x --'=，(0)1k f '∴==， 所以切线方程为：11(0)y x +=⨯-，即10x y --=.(2)()1f x x ≤-恒成立，即2(1)e x a x x ≥--在[)1,x ∞∈+上恒成立，设2()(1)e x g x x x =--，()(2e )x g x x '=-，令()0g x '=，得120,ln 2x x ==，在[)1,+∞上，()0g x '<，所以函数2()(1)e x g x x x =--在[)1,+∞上单调递减， 所以max ()(1)1g x g ==，max ()a g x ∴≥，故有1a ≥.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018—2019学年度第二学期阶段性检测
高 三 数 学（文）
（2018.4.11）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题有且只有一个正确选项) 1.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，2
{|4}B x x =≥， 则下图中阴影部分所表示的集合为（ ） A.{}2,1,0,1-- B.{}0 C.{}1,0- D.{}1,0,1- 2.下面关于复数2
1i
z =--的四个命题： 1:2
p z =
2:p z 的共轭复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1--
3:p z 的虚部为-1 24:2i
p z =-
其中的真命题是（ ）
A. 23,p p
B. 12,p p
C. 24,p p
D. 34,p p 3.阅读如图所示的程序框图，若输入的9k =， 则该算法的功能是（ ）
A. 计算数列{}
12n -的前10项和
B.
计算数列{}12n -的前9项和
C. 计算数列{}
21n -的前10项和
D.
计算数列{
}
21n -的前9项和
4．若新高考方案正式实施，甲、乙两名同学要从政治、历史、物理、化学四门功课中分别选取两门功课学习， 则他们选择的两门功课都不相同的概率为（ ）
A.
16 B. 13 C. 12 D. 2
3
5.已知点)8,(m 在幂函数n
x m x f )1()(-=的图象上， 设)3
3
(
f a =，)(ln πf b =， )2
2
(
f c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．b c a << B ．c b a << C ．a c b << D ． c a b << 6.如图，网格纸上小正方形的边长为1， 粗线画出的是某三棱锥的三视图， 则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A. π25
B.
π425
C. π29
D. π4
29
7.若变量x ，y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，且3z ax y =+最小值为7，
则a 的值为（ ）
A. 1
B. 2
C.-2
D.-1 8.已知函数)2ln(ln )(x x x f -+=,则（ ）
A.)(x f 在)2,0(单调递增
B.)(x f 在)2,0(单调递减
C.)(x f y =的图像关于直线1=x 对称
D.)(x f y =的图象关于点)0,1(对称 9.函数2
()(
1)cos 1x
f x x e
=-+图象的大致形状是（ ） A ． B ． C ． D ．
高三数学（文） 第3页,共4页 高三数学（文） 第4页,共4页
密 封 线 内 不 得 答 题
10.若双曲线
)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 上存在一点P 满足以OP 为边长的正方形的面 积等于ab 2（其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A . ]25,
1( B . ]27,1( C . ),25[+∞ D . ),2
7
[+∞ 11.已知函数()()sin (0,0,)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><的
图象如图所示，令()()()'g x f x f x =+，
则下列关于函数()g x 的说法中不正确的是（ ） A. 函数()g x 图象的对称轴方程为()12
x k k Z π
π=-∈
B. 函数()g x 的最大值为22
C. 函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线:31l y x =-平行
D. 方程()2g x =的两个不同的解分别为1x ，2x ，则12x x -最小值为2
π
12.已知函数x x a x f ln 2)1)(2()(---=，若函数)(x f 在)2
1
,0(上无零点，则（ ）
A. ),2ln 42[+∞-∈a
B. ),2ln 42(+∞-∈a
C. ),2ln 21[+∞-∈a
D. ),2ln 21(+∞-∈a
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13.已知e 1、e 2是互相垂直的单位向量，若e 1－3e 2与e 1＋λe 2夹角为30o ，
则λ的值为 ．
14.埃及数学家发现了一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他形如2
n
(n ＝5，
7，9，…)的分数都可写成若干个单分数(分子为1的分数)和的形式，例如25＝13＋1
15.
我们可以这样理解：假定有2个面包，要平均分给5人，如果每人得1
2
，不够分，
每人得13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得13＋1
15．故我们可以得
出形如2n (n ＝5，7，9，11，…)的分数的分解：25＝13＋115，27＝14＋128，29＝15＋1
45，…，
按此规律2
11
＝________．
15.若圆锥的内切球和外接球的球心重合，且内切球的半径为1，
则圆锥的体积为 ．
16.各项均为正数的数列{}n a 和{}n b 满足：n a ，n b ，1+n a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b
成等比数列，且11=a ，32=a ，则数列{}n a 的通项公式为__________． 三、解答题(本大题5小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（12分）如图，在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，
已知4c =，2b =，2cos c C b =，D ，E 分别为线段BC 上的点， 且BD CD =，BAE CAE ∠=∠． （1）求线段AD 的长； （2）求ADE ∆的面积．
18.（12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，3AB =，22AD =，
45ABC ∠=︒，P 点在底面ABCD 内的射影E 在线段AB 上，且2PE =，
2BE EA =，M 在线段CD 上，且2
3
CM CD =．
（1）证明：CE ⊥平面PAB ；
（2）在线段AD 上确定一点F ，使平面PMF ⊥平面PAB ，
并求三棱锥P AFM -的体积．
19.（12分）某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站
的数量实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表：
现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下车的可能性是相同的.
（1）若甲、乙两人共付费2元，则甲、乙下车方案共有多少种？ （2）若甲、乙两人共付费4元，求甲比乙先到达目的地的概率.
20.（12分）已知抛物线x y 42
=，直线:l b x y +-
=2
1
与抛物线交于A ，B 两点． （1）若以AB 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的方程；
（2）若直线l 与y 轴负半轴相交，求AOB ∆(O 为坐标原点)面积的最大值．
21.（12分）已知函数)0)(ln (ln )(2
>+=a a x x x f .
（1）当1=a 时，设函数x x f x g )
()(=
，求函数)(x g 的单调区间和极值； （2）设)(x f '是)(x f 的导函数，若1)
(2
≤'x
x f 对任意的0>x 恒成立，求a 的取值范围； （3）若1x ，)1,1(2e
x ∈，121<+x x ，求证：4
2121)(x x x x +<．
说明：请在22、23题中任选一题做答，写清题号．如果多做，则按所做第一题记分． 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为⎩
⎨
⎧=+=θθ
θ2sin cos sin y x （θ为参数），
若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的
极坐标方程为：sin 42
πρθ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭（其中t 为常数）. （1）若曲线N 与曲线M 有两个不同的公共点，求t 的取值范围； （2）当2t =-时，求曲线M 上的点与曲线N 上点的最小距离.
23．（10分）选修4-5：不等式选讲
设函数a a x x f 22)(+-=.
（1）若不等式6)(≤x f 的解集为{}
46≤≤-x x ，求实数a 的值；
（2）在（1）的条件下，若不等式5)1()(2
--≤x k x f 的解集非空，
求实数k 的取值范围.。