上海市华师大二附中2014届高三数学综合练习试题2苏教版

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上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[3]

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[3]一、填空题 (本大题满分48分) 本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．已知集合{|||2,M x x x =≤∈R },{|N x x =∈N ﹡}，那么M N = ． 2．在ABC ∆中，“3A π=”是“sin A =”的条件．3．若函数xy a =在[1,0]-上的的最大值与最小值的和为3，则a = ． 4．设函数2211()()log 221x x x f x x x--=++++的反函数为1()f x -，则函数1()y f x -=的图象与x 轴的交点坐标是．5. 设数列{}n a 是等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且32nn S t =-⋅，那么t = ．6．若sin()242x ππ+=，(2,2)x ∈-，则x = ． 7．若函数1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式()2x f x x ⋅+≤的解集是．8．现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏．小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数．你认为中间一堆牌的张数是．9．若无穷等比数列{}n a 的所有项的和是2，则数列{}n a 的一个通项公式是n a = ．10．已知函数()y f x =是偶函数，当0x >时，4()f x x x=+；当[3,1]x ∈--时，记()f x 的最大值为m ，最小值为n ，则m n -= ．11．已知函数()sin f x x =，()sin()2g x x π=-，直线x m =与()f x 、()g x 的图象分别交于M 、N 点，则||MN 的最大值是． 12．已知函数131()log (31)2xf x abx =++为偶函数，()22x x a bg x +=+为奇函数，其中a 、b 为常数，则2233100100()()()()a b a b a b a b ++++++++= ．二、选择题 (本大题满分16分) 本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号，选对得4分，不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内)，一律得零分。

2024-2025学年上海华二附中高三上学期数学月考试卷及答案(2024.09)

1华二附中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知i 为虚数单位，复数12iz i+=，则z 的实部为________． 2．若函数()133x xf x a =⋅+为偶函数，则实a =________． 3．若事件A 、B 发生的概率分别为1()2P A =，2()3P B =，且相互独立，则()P A B =________．4．已知集合(){}2|log 1A y y x ==−，{}3|27B x x =≤，则A B =________．5．设{}n a 是等比数列，且13a =，2318a a +=，则n a =________．6．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V 与直径d 的关系式为36d V π=，当2d =时，气球体积的瞬时变化率为________． 7．已知随机变量X 的分布为123111236⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，且3Y aX =+，若[]2E Y =−，则实数a =________． 8．记函数()()()cos 0,0f x x =ω+ϕω><ϕ<π的最小正周期为T ，若()f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为________．9．若6(0)b ⎛> ⎝的展开式中含x 项的系数为60，则2a b +的最小值为________．10．顶点为S 的圆锥的母线长为60cm ，底面半径为25cm ，A ，B 是底面圆周上的两点，O 为底面中心，且35AOB π∠=，则在圆锥侧面上由点A 到点B 的最短路线长为____cm ．（精确到0.1cm ）11．已知△ABC 中，22AB BC ==，AB 边上的高与AC 边上的中线相等，则tan B =2________．12．给定公差为d 的无穷等差数列{}n a ，若存在无穷数列{}n b 满足： ①对任意正整数n ，都有1n n b a −≤②在21b b −，32b b −，…，20252024b b −中至少有1012个为正数，则d 的取值范围是________．二、单选题（本大题共4小题，共18.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 13．“1a b +>”是“33a b >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（） A ．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 B ．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 C ．两种证券的收益有同向变动的倾向 D ．两种证券的收益有反向变动的倾向15．设0k >，若向量a 、b 、c 满足::1::3a b c k =，且2()b a c b −=−，则满足条件的k 的取值可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．416．设1A ，1B ，1C ，1D 分别是四棱锥P ABCD −侧棱PA ，PB ，PC ，PD 上的点．给出以下两个命题，①若ABCD 是平行四边形，但不是菱形，则1111A B C D 可能是菱形；②若ABCD 不是平行四边形，则1111A B C D 可能是平行四边形．（） A ．①真②真 B ．①真②假 C ．①假②真 D ．①假②假三、解答题（本大题共5小题，共78.0分．）17．（本小题14.0分）如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周⊥，F是垂足．（1）求证：AF DB⊥；（2）若圆柱与三棱锥D ABE−的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABD所成角的大小．3418．（本小题14.0分）李先生是一名上班旋，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：（1）求出这40个通勤记录的中们数M ，并完成下列22⨯列联表：（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d −χ=++++，()2 3.8410.05P χ≥≈．519．（本小题14.0分）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，20AB =米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN （宽度不计），点M 在线段AD 上，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN （宽度不计）摆放，已知双人靠背直排椅的造价每米为2a 元，单人弧形椅的造价每米为a 元，记锐角NBE ∠=θ，总造价为W 元。

2014.10高三数学月考试卷(理科卷)

华师大二附中2014学年度第一学期高三数学10月月考试卷(理科卷)一. 填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z = ．2．)11141131121(lim 2222-++-+-+-∞→n n = ． 3．关于x 的不等式01log )5(log 2221>+-+x x 的解集为____________． 4．等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和为．5.()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.6．三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V =________. 7. 在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为22cos sin ρθθ=和cos 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________.8.如果关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(,)a b 和11(,)b a,那么称这两个不等式为对偶不等式.如果不等式2cos 220x θ-⋅+<与不等式224sin 210x x θ+⋅+<为对偶不等式,且(,)2πθπ∈,则cos θ=_______________. 9．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个蓝球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中. 记放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数为()1,2i i ξ=，从甲盒中取1个球是红球的概率为()1,2i p i =.则p 1与p 2、E (ξ1)与E (ξ2)的大小关系分别为．10．若集合{a ，b ，c ，d }＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：①a ＝1；②b ≠1；③c ＝2；④d ≠4中有且仅有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a ，b ，c ，d )的个数是．11．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，()[)[)12log 1,0,1()13,1,⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩x x f x x x ，则函数F (x )= f (x )-a (0<a <1)的所有零点之和为_____________．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a 、b ，1a b ==，0a b ⋅=，点Q 满足OQ ＝)a b +．曲线C ＝{P |OP ＝a cos θ＋b sin θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0＜r ≤PQ ≤R ，r ＜R }．若C ∩Ω为两段分离的曲线，则R 的取值范围是．13．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )，对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )＞g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是____________．14．对于数对序列P ：(a 1，b 1)，(a 2，b 2)，…，(a n ，b n )，记T 1(P )＝a 1＋b 1，T k (P )＝b k ＋max{T k －1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }(2≤k ≤n )，其中max{T k －1(P )，a 1＋a 2＋…＋a k }表示T k －1(P )和a 1＋a 2＋…＋a k 两个数中最大的数．在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，使T 5(P )最小的一个数对序列P 的T 5(P )的值为．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝∅”的（）A .充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 既非充分也非必要条件16．定义在R 上的函数()f x 满足：对任意,R αβ∈，总有()()()2014f f f αβαβ+-+=⎡⎤⎣⎦，则下列说法正确的是（）A ．()1f x +是奇函数B ．()1f x -是奇函数C ．()2014f x +是奇函数D ．()2014f x -是奇函数17．样本12(,,...,)n x x x 的平均数为x ，样本12(,,...,)m y y y 的平均数为y ，若样本1212(,,...,,,,...,)n m x x x y y y 的平均数为(1)z x y αα=+-，其中102α<<，则,n m 的大小关系是（）A .n m <B .n m =C .n m >D .不能确定18.如图在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，AB ＝11，AD ＝7，AA 1＝12.一质点从顶点A 射向点E (4，3，12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i －1次到第i 次反射点之间的线段记为L i (i ＝2，3，4)，L 1＝AE ，则线段L 1，L 2，L 3，L 4的长度关系为（）A. L 1=L 2=L 3=L 4B. L 1=L 2>L 3=L 4C. L 1=L 2>L 3>L 4D.L 1=L 2>L 4>L 3三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43. (1)求新桥BC 的长．(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ .(2)是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如果存在非零常数c ,对于函数()y f x =定义域R 上的任意x ,都有()()f x c f x +>成立,那么称函数()y f x =为Z 函数.(1) 求证:若()y f x =()x R ∈是单调函数,则它是Z 函数；(2) 若函数32()g x x bx =+是Z 函数.求实数b 满足的条件.22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知点P 是圆x 2+y 2=4上一动点，PD ⊥x 轴于点D ，记满足1()2OM OP OD =+的动点M 的轨迹为F ．（I ）求轨迹F 的方程；（Ⅱ）已知直线l ：y=kx+m 与轨迹F 交于不同两点A ，B ，点G 是线段AB 中点，射线OG 交轨迹F 于点Q ，且,OQ OG λλ=∈R ．①求λ、m 与k 的关系式；②求△AOB 的面积S (λ)的解析式，并计算S (λ)最大值．23．（本题满分18分）．本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于自然数数组(,,)a b c ，如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值的差.如果(,,)a b c 的极差1d ≥，可实施如下操作f ：若,,a b c 中最大的数唯一，则把最大数减2，其余两个数各增加1；若,,a b c 中最大的数有两个，则把最大数各减1，第三个数加2，此为一次操作，操作结果记为1(,,)f a b c ，其级差为1d .若11d ≥，则继续对1(,,)f a b c 实施操作f ，…，实施n 次操作后的结果记为(,,)n f a b c ，其极差记为n d .例如：1(1,3,3)(3,2,2)f =，2(1,3,3)(1,3,3)f =.（Ⅰ）若(,,)(1,3,14)a b c =，求12,d d 和2014d 的值；（Ⅱ）已知(,,)a b c 的极差为d 且a b c <<，若1,2,3,n =时，恒有n d d =，求d 的所有可能取值；（Ⅲ）若,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在n 满足0n d =.得分一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1. ；2. ；3. ；4. ；5. ；6. ；7. ；8. ；9. ；10. ；11. ；12. ；13. ；14. ；二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4小题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.19．（本题满分12分）第1小题满分6分，第2小题满分6分．20．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．21．（本题满分14分）本题共2小题，第1题6分，第2题8分．小题满分4分．。

(上海版第03期)2014届高三数学试题分省分项汇编专题13 排列组合、二项式定理理(含解析)苏教版

（上海版第03期）2014届高三数学试题分省分项汇编专题13 排列组合、二项式定理理（含解析）一．基础题组1. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知6)1(ax +的展开式中，含3x 项的系数等于160，则实数=a ．2. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】二项式291()x x-的展开式中，含3x 的项的系数是___________.3. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】在nx )3(-的展开式中，若第3项的系数为27，则=n .4. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（理）试题】已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，若43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有种.5. 【上海市黄浦区2014届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】1531⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式的常数项的值是__________．6. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】设()887872x a x a x -=++…10a x a +，则87a a ++…0a +＝．【答案】837.【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】一个五位数abcde 满足,,,a b b c d d e <>><且,a d b e >>(如37201，45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有个五位数符合“正弦规律”.8. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】若21()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为．9.【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】若nxx⎪⎭⎫⎝⎛+22展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．180 B．120 C．90 D．45。

上海市华师大二附中2014-2015学年高一数学下学期期中试卷(含解析)

上海市华师大二附中2014-20 15学年高一下学期期中数学试卷一、填空题（每小题 3分，共36分）1. （3分）扇形的半径为1cm,圆心角为2弧度，则扇形的面积为 cmf .2. （ 3分）已知角 a 的终边过点 P （- 5, 12）,则cos a =.3. （3 分）已知虽口（兀一 □】二丄，a € （―, K ），则 sin2 a =.4 24. （3分）已知a 是锐角，则Io p 円（l + ta/口）6. ( 3 分)若 a 是第三象限角，且 '1 "J J -- ： ■- -~ =1 ：-. ■ T ■J :'-- -—，则13a =tajrif .&（ 3分）隔河测算 A , B 两目标的距离，在岸边取 C, D 两点，测得 CD=200m / ADC=105 ,/ BDC=15，/ BCD=120，/ ACD=30，贝U A , B 间的距离 mTT10.（ 3分）定义在区间上的函数y=6cosx 的图象与y=5tanx 的图象的交点为 P, 过点P 作PP 丄x 轴于点P ，直线PR 与y=sinx 的图象交于点 P 2,则线段P 1P 2的长为.TT 兀11. （ 3 分）已知函数 f （x ） =2x 2- ax+1,存在〔——f ——），使得 f （sin?） =f （cos ?）,T4 2则实数a 的取值范围是.sin 1 (TT - a) "t 1 2cos (- a )tan (7r+a). sin (肌 sin (2-n; - a)25. （3分）化简:7. （3分）在厶ABC 中，若b=1,-二.厂二二一，则 S△ABC=.9. （3分）定义则函数SLHK - 1 4COSK sins（x € R ）的值域为.43 2.12. （3分）设函数:f （尤）二4* 一2“□日X —（ x €）的最大值为 M 最小2 x 4+3cos2xi-4值为 m 贝U M+m=二、选择题(每小题 4分，共16分)13. ( 4分)已知k € Z ,下列各组角的集合中，终边相同的角是() A.丘；与 k 兀 ± £ B . 2k n + n 与 4k n±nC kM'H#与业兀士辛D•特与14. ( 4分)在厶ABC 中，若cosAcosB > sinAsinB ，则此三角形一定是() A.钝角三角形 B .直角三角形C.锐角三角形D.形状不确定15.( 4分)给出下列三个等式： f (xy ) =f (x ) +f (y ) , f (x+y ) =f ( x ) f(y ),=/ ??和玖 • •下列函数中不满足其中任何一个等式的是()1 _ f (x) f (y)A. f (x ) =3x B . f (x ) =sinx C. f (x ) =log 2X D. f (x ) =tanx16.( 4分)定义在 R 上的偶函数f (x )满足f (2 - x ) =f (x ),且在上是减函数，a,B是钝角三角形的两个锐角，且a<3，则下列不等式关系中正确的是()A. f (sin a)> f (cos 3) B . f (cos a)< f (cos 3) C. f (cos a) > f (cos 3) D. f (sin a)< f (cos 3)（本大题共 48分） 1 - tanA 1+tanA18. ( 8分)设厶ABC 的内角A 、B C 所对的边分别为 a 、b 、c ,已知a=1, b=2, cosC=-4(I) 求厶ABC 的周长； (n)求 cos (A- C )的值.19・(10 分)已知函数 f (x ) =2 I K - 1 I. -二jr(1) 求函数f (x )的最小正周期及在 J ,—— 上的单调递增区间； (2) 若f (xo )」,xo € ［卫，丄匚］,求cos2x0的值.5 L 4 2 J三、解答题 17. ( 6分)匕求Got (冷~+A )的值.20. （10分）如图，单位圆（半径为1的圆）的圆心O为坐标原点，单位圆与y轴的正半轴交于点A,与钝角a的终边OB交于点B（X B, y B），设/ BAO甲.（1）用3表示a；则昭牛号寻怎,2点评：本题考查两角和与差的正弦函数、倍角公式，考查学生灵活运用公式解决问题的能力.考点：正弦定理的应用.a:「2所以tan(2) B (X B, y B)的坐标;21. （14 分）已知函数f （Q =lo g 加-睑Ca>0. 厘i+lx的集合）.求实数m的值，并写出区间D是奇函数，定义域为区间D （使表达式有意义的实数（1）（2）若底数a满足0v a v 1，试判断函数y=f （x）在定义域D内的单调性，并说明理由;当x € A=(3)解答：解：由白sin (□十B〕cos 3 — sin B cos 'f ：-，得Sin=Sin a=■:~，. a2t an-…CL ClSsin-cos-^-.2 a 7a - 2 a [sin "rr-Hcos "TT tan是第三象限角，所以- 7T<a<2kn - k€2,贝U sin a =2sin —cos 怜解得诙冬仝或-2.2,故答案为:7. （3分）在厶ABC中，若b=1, QWX ，则&ABC.如果sin卩「，求点专题：解三角形. 分析：由正弦定理求出sinB 的值，可得B 的值，再由三角形的内角和公式求出A 的值，再由 S MBC =1、：・二二’，运算求得结果..• si nB=丄.2旷…中4.4点评：本题主要考查正弦定理的应用，三角形的内角和公式，大边对大角，属于中档题.&（ 3分）隔河测算 A , B 两目标的距离，在岸边取 C, D 两点，测得 CD=200m / ADC=105 ,/ BDC=15，/ BCD=120，/ ACD=30，贝U A , B 间的距离二一：m考点：余弦定理；正弦定理. 专题：计算题；解三角形.分析：依题意，利用正弦定理可求得 AD, BD 再利用余弦定理即可求得 AB. 解答：解：作图如下：•/ CD=200m Z ADC=105，/ ACD=30，/ BDC=15，/ BCD=120，•••/ CAD M CBD=45，/ BDA=90 ;•••在厶ACD 中，由正弦定理 ——卑——=——聖——，即一丫叫 =一笙 S1H2LCAD gin^ACD gin45sinSO• AD=100 二；在厶BCD 中，同理可求 BD=1OO. '■. 在直角三角形 BDA 中，由勾股定理得AB=二•’「［ •■= . 一「I ji -'=二―:.故A ，B 间的距离为200. m. 故答案为200 . ■:.点评：本题考查正弦定理与余弦定理，求得 AD, BD 是关键，考查作图与运算能力，属于中档题.解答:解：由于在△ ABC 中，若 b=1,|uRl ，•••贝V S^ABC=.故答案为,由正弦定理可得再由大边对大角可得 B=A ,「. A=n — B- C J .6考点：二阶行列式的定义；正弦函数的定义域和值域. 专题：新定义；三角函数的图像与性质.分析：利用新定义，展开f ( x )利用同角三角函数化为一个角的一个三角函数的二次函数的形式，根据余弦函数的值域求解即可.解答：解：由题意 f (曲二日‘门"1 =sin 2X +4COSX = - cos 2x+4cosx+仁-(cosx - 2)4cosx sim|2+5€.故答案为：.点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，新定义的应用，考查计算能力.TT t … . ......................10. ( 3分)定义在区间上的函数y=6cosx 的图象与y=5tanx 的图象的交点为 P,过点P 作PR 丄x 轴于点P i ，直线PP 与y=sinx 的图象交于点巳，则线段PQ 的长为考点：余弦函数的图象；正切函数的图象. 专题：三角函数的图像与性质.分析：先将求P 1P 2的长转化为求sinx 的值，再由x 满足6cosx=5tanx 可求出sinx 的值，从而得到答案. 解答：解：线段P 1P 2的长即为sinx 的值，且其中的x 满足6cosx=5tanx ，解得sinx=〜.线段P 1P 2的长为_3 13故答案为二.39. (3分)定义a b c d =ad 一 b<，则函数 f (x)=sinn -14cosy sinx(x € R )的值域为.点评：考查三角函数的图象、数形结合思想.11-(3分)已知函数f (x ) =2宀ax+1，存在pi 牛 9 ,使得f (sin ?) =f (cos ?), 则实数a 的取值范围是 (Z 龙迈).考函数与方程的综合运用. 专题：函数的性质及应用.分析：利用条件化简可得 2 (sin $ +cos $) =a ，禾U 用辅助角公式及角的范围，即可求实数 a 的取值范围.解答：解：根据题意： 2sin 2$— asin $ +1=2cos 2$— acos $ +1,即：2 (sin 2$ — cos 2$)(sin $ +cos $) (sin cos $) =a (sin cos $),故答案为：也纠2)点评：本题考查三角函数的化简，考查函数与方程的综合运用，考查辅助角公式的运用,考查学生的计算能力，属于中档题.12. ( 3分)设函数F&)二°’ 一力(x €)的最大值为 M 最小21 >3cos2xf4值为m 则M+m=4 考点：函数最值的应用. 专题：函数的性质及应用.将函数化简，构造新函数g ( x ) ="「"( x €),判断其为奇函数，可得g2I ^+3COS 2K +4(X )max +g (x ) min =0 ,从而可得结论.(x €),则 g (— x ) = — g (x ) , •••函数 g (x )是奇函数g ( x ) max +g ( x ) min =0• M + m=4+( x ) max +g (x ) min =4=a (sin $— cos $) 即：2 因为:7TTV.故：2 (sin $ +cos $) =a , 即：a=2 :_：sin 由*€(T-'.• €(n /2 , 3n /4 )，也就是：sin (电分析:解答:解:f &)二打-"；吩A 七皿十22 x ^3cos2x+4=2- SsLiir - 2 F 2』十3匚口旦2芸+4令 g (x ) =「"宀2x +3cos2x+4),所以 sin $— cos所以：a=2 ：sin ( .f故答案为：4点评：本题考查函数的最值，考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.二、选择题（每小题 4分，共16分）13. （ 4分）已知k € Z ,下列各组角的集合中，终边相同的角是（） A.埒牛涯兀B . 2k n + n 与4k n±nCk 兀片¥与业兀士*D•号与考点：终边相同的角. 专题：计算题.分析：把数学符号语言转化为文字语言，结合终边相同的角的表示方法，做出判断.n （ k € Z ）是终边相同的角，故 B 满足条件.k n +上=（k+丄）n 表示n 的（k 县）倍，而2k n 土卫=（2k 土丄）n 表示n 的（2k ±丄） 66 国6 国 1 倍，故两个角不是终边相同的角，故 C 不满足条件.（3k+1煜表示中非3的整数倍，故这两个角不是终边相同的角，故D 不满足条件.故选：B . 点评：本题考查终边相同的角的表示方法，把数学符号语言转化为文字语言，以及式子所表示的意义.14. （ 4分）在厶ABC 中，若cosAcosB > sinAsinB ，则此三角形一定是（）考点：三角形的形状判断. 专题：计算题.分析：先将条件等价于cos （ A+B > 0,从而可知C 为钝角，故可判断. 解答：解：由题意，T cosAcosB> sinAsinB /• cos （ A+B ）> 0••• cosC v 0•••C 为钝角故选A .点评：本题以三角函数为载体，考查三角形的形状判断，关键是利用和角的余弦公式，求得C 为钝角.解：由于k"表示兀的整数倍，而 k n±（2k ± 1）厂表示兀222 2 2解答:的奇数倍，故这两个角不是终边相同的角，故 A 不满足条件.（2k+1）n 表示 n 的奇数倍，（4k ± 1 ）n 也表示n 的奇数倍，故（2k+1）n 与（4k ± 1）由于——表示厶整数倍，而—=A.钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 形状不确定15. ( 4 分)给出下列三个等式： f (xy) =f (x) +f (y) , f (x+y) =f ( x) f (y),F (旳)H Cy)•下列函数中不满足其中任何一个等式的是()1 - f (z) f (y)A. f (x) =3xB. f (x) =sinxC. f (x) =log 2XD. f (x) =tanx考点：指数函数与对数函数的关系.分析：依据指、对数函数的性质可以发现 A C满足其中的一个等式，而D满足F (旳)H Cv)•, B不满足其中任何一个等式1 - f (z) f (y)解答：解：f (x) =3x是指数函数满足f (x+y) =f (x) f (y)，排除A. f (x) =log 2x是对数函数满足f (xy) =f (x) +f (y)，排除Cf (x ) =ta nx 满足f '，排除D.1-f (K)f W故选B点评：本题主要考查指数函数和对数函数以及正切函数的性质.16. ( 4分)定义在R上的偶函数f (x )满足f (2 - x ) =f (x)，且在上是减函数，a,B 是钝角三角形的两个锐角，且a<3，则下列不等式关系中正确的是()A. f (sin a) > f (cos 3 )B. f (cos a) < f (cos 3 )C. f (cos a )> f (cos 3 ) D. f (sin a) < f (cos 3 )考点：奇偶性与单调性的综合.专题：函数的性质及应用.分析：根据偶函数的性质和条件判断出在上是增函数，再由 f (2-x ) =f (x)和偶函数的定义得f ( x) =f ( x+2)，求出函数的周期，再判断出在上是增函数，根据a和3的范围以及余弦函数的单调性，判断出对应余弦值的大小和范围，再由函数 f (x)的单调性进行判断.解答：解：•••偶函数f (x)在上是减函数，••• f ( x)在上是增函数，又•••偶函数f ( x)满足f (2 -x ) =f (x) ,••• f (x) =f (x - 2),即f (x+2 ) =f (x)，函数的周期T=2,• f ( x)在上是增函数，-/a,3是钝角三角形的两个锐角，且a<3,•根据余弦函数在(0 ,n)上递减得，0< cos 3< cos a< 1,则f (cos a) > f (cos 3 ).故选C.点评：本题以余弦函数为载体，考查了余弦函数的单调性、抽象函数的周期性和奇偶性的应用，即根据周期函数的性质和奇偶性对应的关系式，将自变量进行转化，转化到已知范围内求解，考查了转化思想.三、解答题(本大题共48分)17. ( 6分)若 -------- =2，求的值.1+tanA 4考点：两角和与差的正切函数.专题：三角函数的求值.分析：利用1 一tanA_J可求tanA的值，再利用和角的正切公式，即可得到结论.1+tanA -解答：解：...UanA tan A=-11+t anA -31-JL二tan(K |A)=l+t価—^=14 | 1 - tanA 岸2• cat(亍"「tan (斗)=2.点评：本题考查和角的正切公式，考查学生的计算能力，属于基础题.18. (8分)设厶ABC的内角A B、C所对的边分别为a、b、c,已知a=1，b=2, cosC=：4 (I)求厶ABC的周长；(n)求cos (A- C)的值.考点：余弦定理；两角和与差的余弦函数.专题：计算题.分析： (I )利用余弦定理表示出c的平方，把a, b及cosC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；(II )根据cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a, c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C,即A为锐角，贝U根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值.解答：解：(| )•., 2=a2+b2-2abcosC=1+4- 4X 丄=4,4二c=2,•••△ ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5.(II )••• COSC计，••• sin C=Q1 一8氏+ -(¥.J15•si nA==^-=」=!'c Z 8•/ a< c,「. A v C,故A为锐角.则• cos ( A- C)=cosAcosC+sinAsinC= 4 8 4 16点评：本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题.19. ( 10分)已知函数(X)=2I.;,;.丨K - 1 1!■：-二(1)求函数f (X)的最小正周期及在上的单调递增区间(2)若f (X o) , X o€5求cos2x 0的值.考点：三角函数的周期性及其求法；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的单调性.专题：计算题；三角函数的图像与性质.分析：(1 )利用二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系可将f(x) =2 :_;sinxcosx+2cos 2x-1化为: f (x)的最小正周期及在f (x) =2sin (2x+——),从而可求函数6上的单调递增区间;3⑵由(1)知,f (xo) =2sin (2x0专)电，可求得sin (2x0专)冷，继而可求得cos4-：,而2x o= (2x o+-5(2x o+_-)6解答：解：(1)由数f (x) =2 _ ;sinxcosx+2cos f (x)=〔：'知n2x+cos2x=2sin (2x+- —6),，利用两角差的余弦即可求得cos2x o.2x- 1，得所以函数f (x)的最小正周期为n;_JTTTV•/2k n-丄-V 2x+2I T[ “,k n + —) , k€ Z 3 6V 2k n +丄2,k€ Z又x €, f (x) =2sin ( 2x+ )在上的单调递增区间为(0,TT(2)由(1)知，f (x o) =2sin (2x o+ ),6-f ( x o ) 一 ,由X o€,得2x o+—€.6从而cos ( 2X0/• cos2x 0=cos=cos (2X0+ ) cos--+sinb6)sin7T~67T)；~KM点评：本题考查二倍角的正弦与余弦及三角函数间的关系，考查正弦函数的单调性及周期性，考查两角差的余弦，属于中档题.20. (10分)如图，单位圆(半径为 1的圆)的圆心 O 为坐标原点，单位圆与 y 轴的正半轴交于占八、、■ 4(1)考点：任意角的三角函数的定义；基本不等式；圆方程的综合应用. 专题：综合题. 分析：(1 )作出图形，结合图形由 ZA0B=a- -2®，能求出- - 2P .坯 (2) 由 sin d =—, r =1，得r叶二siZ 二sin (三二-2已)=-G 曲邓二口邙- 1二(¥)- 1二丄.由此能求a2 5 25出点B (X B , y B )的坐标；兀(3)法一：耳廿—y*二GOS 口 — si 口口二 ( 口+~^~ )，由此能求出 X B - yB 的最小值.2 2 2 2 2法二：由 a 为钝角，知 X B V 0, y B >0, X B +y B =1,X B - y B = - (- X B +y B ), (- X B +y B ) <2=2,由此能求出X B - y B 的最小值. 解答：解：(1)如图，•••，「•丄…:r',A ,与钝角 a 的终边OB 交于点B (X B , y B ),设/ BAO 申. 用3表示a ；二二二「-一一，求点 B (X B , y B )的坐标；(2) 如果(2)由，又 r=1 ,点评：本题考查三角函数的性质和应用，综合性强，是认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等变换的灵活运用.21 • (14分)已知函数f (工)二皿加-［严 Ca>0. a^l)厘i+lD (使表达式有意义的实数 X 的集合).(1) 求实数m 的值，并写出区间 D(2) 若底数a 满足0V a v 1，试判断函数y=f (X )在定义域D 内的单调性，并说明理由;得 ■ i 、厂11---- -1=-遇卵二尿ijB -1二(半)1=7—5 25X B =COS CL= - 71 - sin2a = _ 刹由钝角a,知(3)法一:兀片 _ y-g=GOSa_ sin a /2C0S(又一 -- ---24cos ( a +-^) £ [ - 1,—y B 的最小值为为钝角， y B > 0,•・X B法二：a• x B V 0,2 2 .X B +y B =1, X B - y B =-44)，亍，■: • (-X B +y B ),2 2 2(—X B +y B ) w 2 ( X B +y B ) =2,2015届高考的常见题型•解题时要是奇函数，定义域为区间(3)当X€ A=集合是［1 , +s ）的要求， •必有b=1.因此，所求实数a 、b 的值是lr b=l .点评：本题从恒等式出发得到 m 另外复合函数的单调性的判断关键在于分离出单个函数, 属于中档题.曰是,当O v a v 1时，函数f (z ) =lo g 1 - X ^D= (-I, 1)上是单调增函数. (3)v x € A=[a , b ) (A? D, a 是底数)••• 0v a v 1， a v b w 1.•••由（2）知，函数f （瓷）二1□菖丄二芒在A 上是增函数，即f （“ =1, lo a 1+工解得一一 £丄- .：一.a l+l1 a,二 1+a若b v 1贝U f （x ）在A 上的函数值组成的集合为_\ / I ，不满足函数值组成的 a1+b。

(上海版第03期)2014届高三数学试题分省分项汇编专题13 排列组合、二项式定理文(含解析)苏教版

（上海版第03期）2014届高三数学试题分省分项汇编专题13 排列组合、二项式定理文（含解析）一．基础题组1. 【上海市浦东新区2013—2014学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（文卷）】二项式291()x x-的展开式中，含3x 的项的系数是___________.2. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（文）试题】在nx )3(-的展开式中，若第3项的系数为27，则=n .3. 【2013学年第一学期十二校联考高三数学（文）考试试卷】设()887872x a x a x -=++…10a x a +，则87a a ++…0a +＝．1357a a a a +++，此题我们还可以用另外一种方法，设8878710(2)x b x b x b x b +=++++，则0128,,,,b b b b 全为正，2121(1,2,3,4)i i a b i --=-=，22(0,1,2,3,4)i i a b i ==，所以87a a +++0a =870b b b +++83=．考点：二项展开式的系数．4. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）】函数图像的对称轴方程_____________．5. 【2013学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（文科）】一个五位数abcde 满足,,,a b b c d d e <>><且,a d b e >>(如37201，45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有个五位数符合“正弦规律”.6. 【上海市长宁区2013—2014第一学期高三教学质量检测数学试卷（文科）】若n xx )2(2-的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是．7. 【虹口区2013学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知6)1(ax +的展开式中，含3x 项的系数等于160，则实数=a ．8. 【黄浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】1531⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式的常数项的值是__________．9. 【上海市嘉定区2014届高三上学期期末质量调研（一模）数学（文）试卷】若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+22展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A ．180B ．120C ．90D ．4510. 【上海市杨浦区2013—2014学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（文科）】若21()n x x+的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为．11. 【上海市普陀区2014届高三上学期12月质量调研数学（文）试题】已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，若43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有种.。

上海市华师大二附中2014届高三数学综合练习试题10苏教版

上海市华师大二附中高三年级综合练习[10]数学一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、已知集合A={(x ，y)|y=sinx ，∈x (0，2π)}，B={(x ，y)|y=a ，∈a R}，则集合A∩B的子集个数量多有个.2、若函数)(x f =x 21log 2的值域是[-1，1]，则函数)(1x f-的值域为 .3、(文)若⎩⎨⎧≥+≤≤222y x y x ，，则目标函数y x z 2+=的取值范围是 .(理)将曲线 )(sin cos R y x ∈⎩⎨⎧==θθθ，上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的21倍后，得到的曲线的焦点坐标为 . 4、在等差数列{}n a 中，中若01<a ，n S 为前n 项之和，且177S S =，则n S 为最小时的n的值为 .5、函数x x x x f cos sin 42sin )(3-=的图象上相邻二条对称轴之间的距离是 .6、设1e 和2e 是互相垂直的单位向量，且212143,23e e b e e a +-=+=，则b a ⋅= .7、若复数z 满足211=-++z z ，则1-+i z 的最小值是 .8、在正三棱锥S －ABC 中，D 为AB 中点，且SD 与BC 所成角为︒45，则SD 与底面所成角的正弦值为 .9、一动圆与两圆(x+4)2+y 2=25和(x-4)2+y 2=4都外切，则动圆圆心M 的轨迹方程是 .10、)(x f 是偶函数，且)(x f 在(0，+∞)上是增函数，若∈x [21,1]时，不等式)2()1(-≤+x f ax f 恒成立，则实数a 的取值范围是 .11、在三位数中,如果十位数字比个位和百位数字都小,则称这个三位数为凹数,如402，745等,那么各数位无重复数字的三位凹数共有个.12、对于正整数n 和m(m<n)定义!m n =(n-m)(n-2m)(n-3m)┈(n -km)其中k 是满足n>km 的最大整数,则!20!1864=________. 二、选择题 (本大题满分16分) 本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号，选对得4分，不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内)，一律得零分。

2024-2025学年上海华二附中高三上学期数学开学考试卷及答案(2024.09)

1华二附中2024学年第一学期高三年级数学开学考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知13z i =−，则z i −=________．2．已知集合251,2x A x x R x ⎧⎫+=<∈⎨⎬−⎩⎭，{}2,0,2B =−，则AB =________．3．已知1sin 23πx ⎛⎫−= ⎪⎝⎭，那么cos 2x =________．4．已知二项式()5x a +的展开式中，2x 项的系数为80，则a =________．5．函数()f x =的定义域为________．6．关于排列组合的方程23n n n P C −=的解是________．7．已知函数()221x x af x =++的最小值为5，则实数a =________． 8．某种电气设备，电路开关闭合会引发红灯或绿灯的闪动，已知开关第一次闭合，闪红灯和绿灯的概率都是12，开关第二次闭合时，若第一次闪红灯，则再次闪红灯的概率是13，闪绿灯的概率是23；若第一次闪绿灯，则再次闪红灯的概率是35，闪绿灯的概率是25，那么第二次闭合后闪红灯的概率是________．9．已知函数()2sin f x x =，()2cos 1g x k x =−，若对任意5,36ππt ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在,63ππs ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，使得等式()()f t g s =成立，则实数k 的取值范围是________． 10．在△ABC 中，BC CA CA AB ⋅=⋅，2BA BC +=，233ππB ≤≤，则BA BC ⋅的取值范围是________．11．已知双曲线22221x y a b−=的右焦点为2(,0)F c ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay −=是线段2MF 的垂直平分线，则ca=________．212．已知首项为2、公差为d 的等差数列{}n a 满足：对任意的不相等的两个正整数i ，j ，都存在正整数k ，使得i j k a a a +=成立，则公差d 的取值构成的集合是________．二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)13．在平面上，到点(1,0)A 的距离等于到直线23x y +=的距离的动点P 的轨迹是（） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线14．已知函数()y f x =，x R ∈的导数是()y f x '=，那么“函数()y f x =在R 上严格单调递增”是()0f x '≥的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件15．在棱长等于1的正方体1111ABCD A B C D −中，P 为棱1AA 上的定点，动点Q 在正方体表面上运动，满足10PQ PC ⋅=，如果动点Q 的轨迹是一个三角形，那么这个三角形是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．以上都有可能16．已知函数2()x x f x xx ⎧=⎨⎩为无理数为有理数,则以下4个命题：①函数()y f x =是偶函数；②函数()y f x =在[)0,+∞上是单调递增函数； ③函数()y f x =的值域为R ；④存在正有理数a ，使得函数()y f x a =−恰好有两个零点．其中正确命题的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33三、解答题(共5道大题,共76分)17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.) 如图，在圆柱1OO 中，它的轴截面11ABB A 是一个边长为2的正方形，点C 为棱1BB 的中点，点1C 为弧11A B 的中点．（1）求异面直线OC 与11A C 所成角的大小；（2）求直线1CC 与圆柱1OO 底面所成角的正弦值．18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 如图，矩形ABCD 是文物展览厅的俯视图，点E 在边AB 上，在梯形BCDE 内展示文物，游客只能在△ADE 区域内参观，在AE 上点P 处安放可旋转的监控摄像头，MPN ∠为监控角，其中M 、N 在线段DE 上，6AD AE ==米，2AP =米，4πMPN ∠=，记EPM ∠=θ（弧度），监控可视区域△MPN 的面积为S ．（1）用θ表示线段PM 、PN 的长度；（2）求S 与θ的函数关系式，并求S 的最小值．419.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.) 已知函数()x f x =（1）求证：函数()f x 的图像关于点11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称；（2）设1nn i i S f n =⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，数列{}n a满足4n S n a =，设n T 是数列{}n b 的前n 项和，其中()()1111n n n n a b a a ++=++，若对任意*n N ∈均有n T <λ恒成立，求λ的最小值．520.（本题满分16分.共3小题,第(1)小题4分,第（2）小题6分.第(3)小题6分)已知椭圆2212:12x y C b +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为1e ；双曲线2222:12x y C b −=的左、右焦点分别为3F 、4F ，离心率为2e，12e e ⋅=过点1F 作不垂直于y 轴的直线l 交曲线1C 于点A 、B ，点M 为线段AB 的中点，直线OM 交曲线2C 于P 、Q 两点．（1）求1C 、2C 的方程；（2）若113AF F B =，求直线PQ 的方程；（3）求四边形APBQ 面积的最小值．621.（本题满分18分.本题共3个小题,第（1）小题4分,第（2）小题6分,第(3)小题8分) 已知函数()()211ln 2f x x a x a x =−++．（其中a 为常数）（1）若2a =−，求曲线()y f x =在点()2,(2)f 处的切线方程；（2）当0a <时，求函数()y f x =的最小值；（3）当01a ≤<时，试讨论函数()y f x =的零点个数，并说明理由．7参考答案一、填空题1. 2.{}0,2−; 3.79−; 4.2; 5.10,2⎛⎤⎥⎝⎦; 6.8n =; 7.9; 8.715;9.3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭; 10.22,3⎡⎤−⎢⎥⎣⎦；11. 12.2|,,1,0d d m Z m m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=∈−≠…11．已知双曲线22221x y a b−=的右焦点为2(,0)F c ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay −=是线段2MF 的垂直平分线，则ca=________．【解析】设直线0bx ay −=交2MF 于点Q ,连接1MF ,由题意可知22MF b ==,由双曲线的定义可得12222,MF MF a b a O Q =−=−分别为122,F F MF 的中点,则1//MF OQ 因为2OQ MF ⊥,则12MF MF ⊥, 由勾股定理可得2221212MF MF F F +=, 即()222444,,2,c b a b c b a a b a a −+=∴−==∴==故，故答案为12．已知首项为2、公差为d 的等差数列{}n a 满足：对任意的不相等的两个正整数i ，j ，都存在正整数k ，使得i j k a a a +=成立，则公差d 的取值构成的集合是________．【答案】2|,,1,0d d m Z m m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=∈−≠…【解析】()21,n a n d =+−由i j k a a a +=,得()()()212121,i d j d k d +−++−=+−()12,k i j d ∴−−+=8当10k i j −−+=时,()10k i j d −−+=,矛盾,10k i j ∴−−+≠,则21d k i j =−−+,,,i j k 都是正整数,1k i j ∴−−+为整数,且不等于0,对任意的不相等的两个正整数,i j ,都存在正整数k ,使得i j k a a a +=成立, 且()3,min i j +=∴当1,2i j ==时,121m k i j k =−−+=−−… ()210d m Z ,m ,m m∴=∈−≠… ∴公差d 的所有取值构成的集合是2|,,1,0d d m Z m m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=∈−≠…,故答案为:2|,,1,0d d m Z m m m ⎧⎫⎨⎬⎩⎭=∈−≠….二、选择题13.D 14.A 15.A 16.B15．在棱长等于1的正方体1111ABCD A B C D −中，P 为棱1AA 上的定点，动点Q 在正方体表面上运动，满足10PQ PC ⋅=，如果动点Q 的轨迹是一个三角形，那么这个三角形是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．以上都有可能【答案】A【解析】如图,在平面11ACC A 中过点P 作1PM PC ⊥交AC 于点M ,（当P 在1A 时M 恰为A 点，当P 在A 点时点M 也恰为A 点,满足点Q (即A)使得10PQ PC ⋅=), 在平面ABCD 中过M 作//EF BD ,连接,PE PF由正方体的性质可得1,BD AC AA ⊥⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以1AA BD ⊥, 11,,AC AA A AC AA ⋂=⊂平面11ACC A ,所以BD ⊥平面11ACC A ,1PC ⊂平面11ACC A ,所以1PC BD ⊥,所以1PC EF ⊥,,,EF PM M EF PM ⋂=⊂平面PEF ,所以1PC ⊥平面PEF ,9因为10PQ PC ⋅=,所以1PQ PC ⊥,又动点Q 在正方体表面上运动,所以Q 在PEF ∆的边上, 显然AE AF =,所以PE PF =,所以PEF ∆为等腰三角形,又90EPF ∠<,所以PEF ∆不可能为直角三角形或钝角三角形;故选:A .三．解答题17.（1）60 （218.（1）4,sin cos PM PN ==θ+θ（2）)min 835,0,;8144214S S π⎡⎤=θ∈−=⎢⎥π⎛⎫⎣⎦θ++ ⎪⎝⎭19.（1）证明略（2）21720.（本题满分16分.共3小题,第(1)小题4分,第（2）小题6分.第(3)小题6分)已知椭圆2212:12x y C b +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率为1e ；双曲线2222:12x y C b −=的左、右焦点分别为3F 、4F ，离心率为2e，12e e ⋅=过点1F 作不垂直于y 轴的直线l 交曲线1C 于点A 、B ，点M 为线段AB 的中点，直线OM 交曲线2C 于P 、Q 两点．（1）求1C 、2C 的方程；（2）若113AF F B =，求直线PQ 的方程；（3）求四边形APBQ 面积的最小值．10【答案】（1）221:12x C y +=,2C :2212x y −=（2）12y x =−或12y x =;（3）2 【解析】(1)由题意可知:12e e ==所以12•e e ===解得:21b =, 故椭圆221:12x C y +=,双曲线2C :2212x y −= (2)由（1）知()110F ,−,因为直线AB 不垂直于y 轴,设直线AB 的方程为:1x my =−, 设点(1A x ,)()122,y B x ,y ,则()()1111221,1AF x ,y F B x ,y =−−−=+由113AF F B =,则123y y −=,即123y y =−,联立:22112x my x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩, 可得:()222210,m y my +−−=()()222442810,m m m ∆=++=+>由韦达定理可得1221222212m y y m y y m ⎪+⋅⎧⎪⎪⎨=−=+⎪⎩+，将123y y =−代入得:()222222132m y m y m −⎧=⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩,解得1m =±,当1m =时,弦AB 的中点2133M ,⎛⎫− ⎪⎝⎭,此时直线PQ 的方程为:12y x =−,当1m =−时,弦AB 的中点2133M ,⎛⎫−− ⎪⎝⎭,此时直线PQ 的方程为:12y x =,所以直线PQ 的方程为12y x =−或12y x =;(3)设AB 的中点()00M x ,y ,由（2）可得)21AB m ==+22m +且000222,122m y x my m m −==−=++,点22222m M ,m m −⎛⎫ ⎪++⎝⎭2PQ OM m k k ==−,直线PQ 的方程为:2my x =−11联立22212m y x x y ⎧=−⎪⎪⎨⎪−=⎪⎩可得:2222224,,20,22m x y m m m ==−>−−且由双曲线的对称性，不妨取点,P Q ⎛⎫⎛⎫所以点P 到直线AB 的距离为:21d ==点Q 到直线AB 的距离为:22d ==，21222m d d ++=所以四边形APBQ 的面积为()1212S AB d d =+===因为2022m <−…,所以当222m −=,即0m =时,四边形APBQ 的面积取最小值2. 21.（本题满分18分.本题共3个小题,第（1）小题4分,第（2）小题6分,第(3)小题8分) 已知函数()()211ln 2f x x a x a x =−++．（其中a 为常数）（1）若2a =−，求曲线()y f x =在点()2,(2)f 处的切线方程；（2）当0a <时，求函数()y f x =的最小值；（3）当01a ≤<时，试讨论函数()y f x =的零点个数，并说明理由．【答案】（1）2220x y ln −−=（2）12a −−（3）当01a <…时,()f x 在()0,+∞上有一个零点【解析】(1)当2a =−时,可得()2122f x x x lnx =+−,可得12()()()212'1x x f x x x x+−=+−=, 所以()'22f =且()2422f ln =−,所以切线方程为()()42222y ln x −−=−,即2220x y ln −−=,所以曲线()y f x =在点()()22,f 处的切线方程为2220x y ln −−= (2)由函数()()2112f x x a x alnx =−++,可得函数()f x 的定义域为()0,+∞, 又由()()()1'x a x f x x−−=,令()'0f x =,解得11,1x a x ==,当0a <时,()f x 与()'f x 在区间()0,+∞的情况如下表:所以函数的极小值为()112f a =−−,也是函数()f x 的最小值, 所以当0a <时,函数()f x 的最小值为12a −−; (3)当0a =时,()212f x x x =−,令()0f x =,解得122,0x x ==(舍去) 所以函数()y f x =在()0,+∞上有一个零点；当01a <<时，()f x 与()'f x 在区间()0,+∞的情况如下表:所以函数()f x 在()0,a 单调递增,在()1a,上单调递减,此时函数()f x 的极大值为()210,2f a a a alna =−−+<所以函数()y f x =在()01,上没有零点;又由()1102f a =−−<且函数()f x 在()1,+∞上单调递增,且当x →+∞时,()f x →+∞,所以函数()f x 在()1,+∞上只有一个零点,13综上可得,当01a <…时,()f x 在()0,+∞上有一个零点.。

上海市华师大二附中高三数学综合练习试题2苏教版

上海市华师大二附中高三年级综合练习[2]数学一、填空题 (本大题满分48分) 本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1.不等式()()011>-+x x 的解为__________。

2.（文）条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤≤≤≤231010y x y x 下，函数()y x p +=2log 52的最小值为__________。

（理）若()()*23,11N n bx ax x x nn ∈+++++=+ΛΛ，且a ︰3=b ︰1，则=n __________。

3.设()x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，()()x x f +=1log 3，则()=-2f __________。

4.将函数a x y +=1的图像向左平移一个单位后得到()x f y =的图像，再将()x f y =的图像绕原点旋转︒180后仍与()x f y =的图像重合，则=a __________。

5.设数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，且公差均不为0，3lim=∞→nnn b a ，则=⋅+++∞→nnn a n b b b 321limΛ__________。

6.一人口袋里装有大小相同的6个小球，其中红色、黄色、绿色的球各2个。

如果任意取出3个小球，那么其中恰有2个小球同颜色的概率是__________（用分数表示）。

7.设*,N n c b a ∈>>，且c a nc b b a -≥-+-11恒成立，则n 的最大值为__________。

8.图中离散点是数列{}n a 的图像，如()4,1是第一点，表示41=a ，则从第一点起的前46个点的纵坐标之和为__________。

9.若奇函数()()0≠=x x f y ，当()+∞∈,0x 时，()1-=x x f ，则不等式()01<-x f 的解_________。

10、已知b 克糖水中含有a 克糖()0>>a b ，再添加m 克糖()0>m （假设全部溶解）糖水变甜了，试根据这一事实提炼一个不等式___________________。

上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高三上学期期中数学试卷

上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高三上学期期中数学试卷一、填空题1．数据1，4，4，67，8的第60百分位数是.2．已知数列{}n a 为无穷等比数列，若23a =-，公比12q =-，则无穷等比数列{}n a 的各项和为.3．在研究线性回归模型时，样本数据(),i i x y （1i =，2，3，L ，n ）所对应的点均在直线132y x =-+上，用r 表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则r =.4．已知椭圆2222135x y m n+=和双曲线2222123x y m n -=有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为．5．i 是虚数单位，若3i 34i z a z =+=+₁，₂，且12z z 为纯虚数，则实数a =.6．在6312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为．7．第41届全国中学生物理竞赛决赛于10月24日至10月30日由华东师范大学第二附属中学承办.根据赛事安排，组委会欲安排589名选手和各省领队参观5个不同场馆，分别为李政道研究所、中国商飞、上海交通大学张江高等研究院、上海科技大学和上海博物馆东馆.现欲将6位志愿者老师分配到5个不同场馆做带队服务.若每个场馆至少1人，则不同的分配方案的种数为.8．设随机变量X 服从正态分布()22,N σ.若()00.9P X >=，则()24P X <<=.9．已知随机事件A B 、.若()()()112|343P A P B P B A ===，，则()|P A B =.10．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ，现打算用它们和两面成直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB （假设OM 、ON 这两面墙都足够长）.已知10PA PB ==（米），π4AOP BOP ∠=∠=，OAP OBP θ∠=∠=，若θ为变量，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则四边形OAPB 面积的最大值为(平方米).11．设双曲线2214x y -=的右焦点为F ，点12,,,n P P P 是其右上方一段()20x y ≤≤≥上的点，线段k P F 的长度为k a (k =1，2，3，……，n ).若数列{}123k a k = ，，，，，n 成等差数列且公差15d ⎛∈ ⎝⎭，则n 最大取值为.12．已知ABC V 是边长为4的正三角形，平面上两动点O ，P 满足123OP OA OB OC λλλ=++ ，（1231λλλ++=且1λ，2λ，30λ≥.若1OP = ，则OA OB ⋅的最大值为.二、单选题13．设α，β为两个平面，则//αβ的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面14．以下说法错误的个数为（）①直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是[)0π，；②平面内两个非零向量的夹角的取值范围是[)0π，；③空间两条异面直线所成角的取值范围是π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，A ．0B ．1C ．2D ．315．已知函数()y f x =，x ∈R 的导数是()y f x '=.对于如下两个命题:①“函数()y f x =在R 上是严格增函数”是()0f x '≥的充分非必要条件；②“函数()y f x =在R 上是严格增函数”是()0f x '>的必要非充分条件.下列判断正确的为（）A ．①与②均为真命题B ．①与②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题16．已知n 个大于2的实数12,,,n x x x ⋅⋅⋅，对任意()1,2,,i x i n =⋅⋅⋅，存在2i y ≥满足i i y x <，且i i y x i i x y =，则使得12115n n x x x x -++⋅⋅⋅+≤成立的最大正整数n 为（）A ．14B ．16C ．21D ．23三、解答题17．设函数()()22sin 1R f x x x x =-+∈的最大值为M ，最小正周期为T .(1)若函数()f x 的图象向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递减区间：(2)设集合(){},010A x f x M x T ==<<，求集合A 中的元素个数.18．已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a (如图)，把它们拼接起来.使它们一个表面完全重合，得到一个新多面体.(1)求新多面体的表面积和体积；(2)求正八面体AEFBHC 中二面角A -BF -C 的大小.19．研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病.某医学研究小组为了解20-30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如2×2列联表.性别健康状况感冒不感冒男814女424(1)在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X ，求X 的分布和期望[]E X ；(2)依据表中数据，能否认为有95%的把握认为20-30岁年轻人的体质健康与性别有关?若把表中所有数据都扩大到原来的10倍，此时结论还一样吗?请解释其中原因，并简要说明应如何调整调查可使此研究更具有严谨性.参考数据：()2P K k >0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20．已知椭圆C 的方程为22221x y a b+=，1F 、2F 为左右焦点.(1)已知a =1b =.若P 为椭圆上的动点且12PF F 为直角三角形，求12PF F 的面积；(2)若过2F 的一条直线与C 交于A ，B 两点，且1AF AB ⊥，21BF =，求椭圆长轴长的最小值；(3)已知2a =，3b =，若P 、Q 、R 为椭圆上不同的点，直线PQ 、PR 均与圆()22201x y r r +=<<相切，记直线PQ 、PR 的斜率分别为1k 、2k ，是否存在点P 使得121k k =若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.21．已知坐标平面xOy 上的曲线Γ：()y f x =和异于原点的点P ，若存在Γ的两条过P 的切线，使得它们互相垂直，且所成直角被直线OP 平分，则称P 为Γ的一个“H 点”.(1)判断曲线cos y x =和214y x =+是否有“H 点”(无需说明理由)；(2)是否存在0r >，使()1,2P 为曲线()y x r =<的一个“H 点”?说明理由；(3)设,0a b >，且曲线()³f x ax bx =-有“H 点”.证明：b 的最小值与a 无关，并求出该最小值.。

上海市华东师范大学第二附属中学2024届高三上学期期中数学试题(含解析)

华二附中高三期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.不等式221x x -≥-的解集为___________.【答案】[)0,1【解析】【分析】根据移项，通分，将分式不等式化为()10x x -≤且1x ≠，即可求解.【详解】有已知得2201x x --≥-，()212011x x x x ---≥--，01x x -≥-，01x x ≤-,即()10x x -≤且1x ≠，则不等式的解集为[)0,1，故答案为：[)0,1.2.已知3,0,cos 225ππαα⎛⎫⎛⎫∈--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α=________．【答案】2425-##0.96-【解析】【分析】先求得3sin 5α=-，4cos 5α=，再利用二倍角正弦公式即可求得sin 2α的值.【详解】因为π,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且5os 3si 2n παα⎛⎫-= ⎪=-⎝⎭，则4cos 5α=，则3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯-⨯=- ⎪⎝⎭故答案为：2425-.3.设252i1i iz +=++，则z =________．【答案】12i +##2i 1+【解析】【分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-，则12i z =+.故答案为：12i +.4.钝角ABC 中，3,60a b A === ，则ABC 的面积是__________.【答案】4【解析】【分析】利用余弦定理与面积公式即可得【详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，代入数据2793c c =+-，解得1c =或2c =，因为ABC 是钝角三角形，22222cos 022a c b c B ac ac+--==<，所以1c =，所以ABC 的面积是133sin 24bc A =.故答案为：3345.圆2222210x y ax ay a a +++++-=的半径的最大值为______.【答案】233【解析】【分析】化为圆的标准方程求出半径，根据a 的范围利用抛物线的单调性可得答案.【详解】由2222210x y ax ay a a +++++-=可得()2223124a x y a a a ⎛⎫+++-⎝=-+ ⎪⎭，当23104a a --+>表示圆，即解得a 的取值范围是22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，=，2324433y a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭是开口向下对称轴为23a =-的抛物线，在22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在22,33⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，所以23a =-时最大值为233.故答案为：233．6.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =_______．【答案】85-【解析】【分析】由题意知公比1q ≠，设首项为1a ，由6221S S =求出2q ，再代入4S 求出11a q-，由此求得8S ．【详解】等比数列{}n a 中，45S =，6221S S =，显然公比1q ≠，设首项为1a ，则41(1)51a q q-=--①，6211(1)21(1)11a q a q q q --=--②，化简②得42200q q +-=，解得24q =或25q =-（不合题意，舍去），代入①得1113=-a q ，所以844118(1)1(1)(1)(15)(116)85113a q a S q q q q -==-+=⨯-⨯+=---．故答案为：85-7.已知a b 、满足21a b += ，且()1,1a =- ，则b 在a 上数量投影的最小值为________．【答案】122+-【解析】【分析】据题意设(,)b x y = ，代入条件可推得点(,)x y 在以11(,)22-为圆心，半径为12的圆上运动，再根据数量投影概念得出数量投影与x y -有关，利用直线和圆的位置关系求得x y -的范围，进而求出数量投影最小值．【详解】设(,)b x y = ，则2(21,21)a b x y +=+-，由|2|1a b +=，可得22(21)(21)1x y ++-=，即22111()()224x y ++-=，所以点(,)x y 在以11(,)22-为圆心，半径为12的圆上，又b 在a上数量投影为a b a b b a a b⋅⋅⋅==，令x y t -=，则由直线0x y t --=与圆22111()()224x y ++-=有公共点，12≤，即212t +≤，解得222112112222t +---≤≤-+⇒-≤，故b在a上数量投影的最小值为12+-．故答案为：12+-．8.正四面体ABCD 的棱长为2，则所有与A ，B ，C ，D 距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为______．3【解析】【分析】根据题意知，到正四面体ABCD 四个顶点距离相等的截面分为两类：一类是由同一顶点出发的三条棱的中点构成的三角形截面，这样的截面有4个；另一类是与一组相对的棱平行，且经过其它棱的中点的四边形截面，这样的截面有3个；求出所有满足条件的截面面积之和即可．【详解】设E 、F 、G 分别为AB 、AC 、AD 的中点，连结EF 、FG 、GE ，则EFG 是三棱锥A BCD -的中截面，可得平面//EFG 平面BCD ，点A 到平面EFG 的距离等于平面EFG 与平面BCD 之间的距离，A ∴、B 、C 、D 到平面EFG 的距离相等，即平面EFG 是到四面体ABCD 四个顶点距离相等的一个平面；正四面体ABCD 中，象EFG 这样的三角形截面共有4个．正四面体ABCD 的棱长为2，可得1EF FG GE ===，EFG ∴ 是边长为1的正三角形，可得13sin6024EFG S EF FG =⋅⋅=；取CD 、BC 的中点H 、I ，连结GH 、HI 、IE ，EI 、GH 分别是ABC 、ADC 的中位线，∴1//2EI AC ,1//2GH AC 得//EI GH ∴四边形EGHI 为平行四边形；又AC BD = 且AC BD ⊥，1//2EI AC ，1//2HI BD EI HI ∴=且EI HI ⊥，∴四边形EGHI 为正方形，其边长为112AB =，由此可得正方形EGHI 的面积1EGHI S =；BC 的中点I 在平面EGHI 内，B ∴、C 两点到平面EGHI 的距离相等；同理可得D 、C 两点到平面EGHI 的距离相等，且A 、B 两点到平面EGHI 的距离相等；A ∴、B 、C 、D 到平面EGHI 的距离相等，∴平面EGHI 是到四面体ABCD 四个顶点距离相等的一个平面，且正四面体ABCD 中，象四边形EGHI 这样的正方形截面共有3个，因此，所有满足条件的正四面体的截面面积之和等于34343134EFG EGHI S S +=⨯+⨯= ．3．【点睛】本题主要考查了正四面体的性质、点到平面距离的定义、三角形面积与四边形形面积的求法等知识，属于难题．9.设n ∈N *，a n 为(x ＋4)n －(x ＋1)n 的展开式的各项系数之和，1222...555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()()222n n t b t -+-+(t ∈R )的最小值为____.【答案】12【解析】【分析】根据展开式求出系数和得52nnn a =-，求出22n n n b -=，将()()222n n t b t -+-+转化为点2,2n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭到(),2t t -的距离的平方，结合几何意义即可得解.【详解】a n 为(x ＋4)n －(x ＋1)n 的展开式的各项系数之和，即52n n n a =-，522155n n n n-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，考虑()20,,2255nf n n n N n n *⎛⎫=>∈+< ⎪⎝⎭，()()()()12112151525n nn f n n f n nn +⎛⎫+ ⎪++⎝⎭==<⎛⎫⎪⎝⎭，所以()20,5nf n n n N *⎛⎫=>∈ ⎪⎝⎭递减，所以()220,55nf n n ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以2155n n n na n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，212...12n n n b n -=+++-=，()()()22222222n n n n t b t n t t ⎛⎫--+-+=-+-+ ⎪⎝⎭，可以看成点2,2n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭到(),2t t -的距离的平方，即求点2,2n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线2y x =-的距离最小值的平方，由图可得即求点()1,0或()2,1到直线20x y +-=的距离的平方，即212=故答案为：12【点睛】此题考查求二项式系数，数列增减性与求和，通过几何意义转化求解代数式的最值，涉及转化与化归思想和数形结合思想.10.已知抛物线2(0)y ax a =>，在y 轴正半轴上存在一点P ，使过P 的任意直线交抛物线于M N 、，都有2211||||MP NP +为定值，则点P 的坐标为________．【答案】10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】设直线MN 的解析式为y kx m =+，联立方程组，利用一元二次方程根与系数的关系和两点间的距离公式，化简整理，即可得到点P 的坐标．【详解】设(0,)P m ．设直线MN 的解析式为y kx m =+，联立2(0)y axa =>得到：22ax kx m ax m kx =+-=，，整理，得20ax kx m --=，则1212,k m x x x x a a+==-设221122(,),(,),M x ax N x ax 则()()222222222222111222()1,()1PMx m ax k x PN x m ax k x =+-=+=+-=+∴22122222212111||||1,x x MP NP k x x ++=⨯+()2121222212211,x x x x k x x +-=⨯+222211k m a a k m a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯+⎛⎫- ⎪⎝⎭222121k am k m +=⨯+即存在12m a=时，222114||||a MP NP +=，即存在10,2P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得2211||||MP NP +为定值24a故答案为：10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭．11.某学校有如图所示的一块荒地，其中60m AB =，40m AD =，45m BC =，π2DAB ∠=，2π3ABC ∠=，经规划以AB 为直径做一个半圆，在半圆外进行绿化，半圆内作为活动中心，在以AB 为直径的半圆弧上取,E F 两点，现规划在OEF 区域安装健身器材，在OBE △区域设置乒乓球场，若BOE EOF ∠=∠，且使四边形AOEF 的面积最大，则cos EOF ∠=______．【答案】3318-【解析】【分析】设O BOE E F θ∠∠==，先求得四边形OEFA 面积的表达式，然后利用导数求得当1cos 8θ-=时，四边形AOEF 的面积最大.【详解】设O BOE E F θ∠∠==，根据题意易知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∵OF OA =，OAF △为等腰三角形，且OFA OAF ∠=∠，又∵BOF OFA OAF ∠=∠+∠，∴EOF OFA OAF θ∠=∠=∠=，∴//OE FA ，∴四边形OEFA 为梯形，则四边形OEFA 面积：()()13030sin π2sin 450sin sin 22S θθθθ⎡⎤=⨯⨯⨯-+=+⎣⎦，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()2450cos 2cos 24504cos cos 2S θθθθ=+=+-'，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令0S '=，则24cos cos 20θθ+-=，解得331cos 8θ=（舍）或1cos 8θ-=，设为φ为1cos 8θ-=所对应的角，∵cos y θ=在π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，∴()0,θϕ∈时，331cos ,18θ⎛⎫-∈ ⎪⎪⎝⎭，()24504cos cos 20S θθ'=+->，S 单调递增，∴π,2θϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，331cos 0,8θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()24504cos cos 20S θθ'=+-<，S 单调递减．∴当1cos 8θ-=时，面积最大，即331cos 8EOF -∠=．故答案为：18．【点睛】方法点睛：求解面积最大值或最小值有关问题，可先将面积的表达式求出，然后根据表达式选取合适的方法来求最值.可以考虑的方向有函数的单调性、二次函数的性质、基本不等式、三角函数值域、导数等知识.12.M 是正整数集的子集，满足：1,2022,2023M M M ∈∈∉，并有如下性质：若a 、b M ∈，则M ∈，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则M 的非空子集个数为________．【答案】202221-【解析】【分析】根据题意，先判断M 中相邻两数不可能大于等于2，可得2，3，⋯，2021M ∈，从而求出M ，再根据子集的个数与集合元素个数之间的关系即可得答案．【详解】由题意可知：若x ，()y M x y ∈<，则1x +，2x +，⋯，1y -均属于M ，而事实上，若2y x -≥，中12x y x y ++≤<<，所以11x y +≤≤-，故[x ，]y 中有正整数，从而M 中相邻两数不可能大于等于2，故2，3，⋯，2021M ∈，若2024p ≥，p M ∈，则有2023M ∈，与2023M ∉矛盾，当2022a b ==2022=，当1a b ==时，则1=，所以[1∈，2022]，所以{1M =，2，⋯，2022}，所以非空子集有202221-个．故答案为：202221-．【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知集合{3,2,0,1,2,3,7},{,}A B xx A x A =--=∈-∉∣，则B =（）A.{0,1,7}B.{1,7}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3,7}【答案】B 【解析】【分析】根据集合的描述法及元素与集合的关系求解.【详解】因为{3,2,0,1,2,3,7}A =--，{,}B xx A x A =∈-∉∣，所以{1,7}B =.故选：B.14.对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）A.2431r r r r <<<B.4231r r r r <<<C.4213r r r r <<<D.2413r r r r <<<【答案】A 【解析】【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出，图1和图3是正相关，相关系数大于0，图2和图4是负相关，相关系数小于0，图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以1r 接近于1，2r 接近于1-，由此可得24310r r r r <<<<．故选:A.15.已知函数()sin2f x x π=，任取t ∈R ，记函数()f x 在[,1]t t +上的最大值为t M ，最小值为t m ，设()t t h t M m =-，则函数()h t 的值域为（）A.12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.1,122⎡-+⎢⎣⎦C.12⎡-⎢⎣D.,122+⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】考虑一个周期内()h t 的情况，根据t 的取值，求得()h t 的解析式，结合三角函数的值域，求该函数值域即可.【详解】因为()444t t h t M m +++=-，其中44,t t M m ++分别是指()f x 在区间[]4,5t t ++上的最大值和最小值，因为()f x 的周期242T ππ==，故()f x 在区间[]4,5t t ++的图象与在区间[],1t t +上的图象完全相同，故44,t t t t M M m m ++==，故()()4h t h t +=，即()h t 是周期为4的函数，故(),R h t t ∈的值域与()[],2,2h t t ∈-时的值域相同；又()f x 在[]2,1--单调递减，[]1,1-单调递增，在[]1,2单调递减，故当32,2t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()sin 2f t t π=，最小值为1-，此时()sin12h t t π=+；当3,12t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()1sin cos 222f t t t πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，最小值为1-，此时()cos12h t t π=+；当[)1,0t ∈-时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()1cos2f t t π+=，最小值为()sin 2f t t π=，此时()cossin 22h t t t ππ=-24t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为1，最小值为()sin 2f t t π=，此时()1sin 2h t t π=-；当1,12t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为1，最小值为()1cos 2f t t π+=，此时()1cos 2h t t π=-；当[]1,2t ∈时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()sin2f t t π=，最小值为()1cos 2f t t π+=，此时()sincos 22h t t t ππ=-24t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；故()h t 在[]22-,的函数图象如下所示：数形结合可知，()h t 的值域为12⎡-⎢⎣.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数值域的求解，涉及三角函数值域的求解；处理问题的关键是能够根据题意，找到()h t 的周期，同时要对t 进行分类讨论求()h t 的解析式，属综合困难题.16.已知曲线:1(0,)n nx yC n n a b+=>∈R ．当4,2,1n a b ===时，①曲线C 所围成的封闭图形的面积小于8；②曲线C 上的点到原点O 的距离的最大值为1417．则（）A.①成立②成立B.①成立②不成立C.①不成立②成立D.①不成立②不成立【答案】A 【解析】【分析】根据曲线在一个长为4，宽为2的矩形内部判断①正确，利用三角换元计算得到②正确，【详解】因为曲线:1(0,)n nx yC n n a b+=>∈R ．所以，当4,2,1n a b ===时，曲线44:116xC y +=，对①：因为44121162x y x ≤⇒-≤-≤=，当且仅当0y =时取等号，44611111x y y -⇒-=≤≤≤，当且仅当0x =时取等号，故曲线在一个长为4，宽为2的矩形内部，故曲线C 所围成的封闭图形的面积小于248⨯=，正确；对②：设曲线上一点为(,)M x y ，则44116x y +=，设224cos sin x y θθ⎧=⎨=⎩，M 到原点的距离的平方为224cos sin )x y θθθϕ+=+=+，[0,2πθ∈，tan 4ϕ=，当sin()1θϕ+=时，距离平方有最大值为，故距离的最大值为1417，正确．故选：A ．三、解答题（本大题共有5题满分78分）解下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.甲乙两人进行乒乓球比赛，现约定：谁先赢3局谁就赢得比赛，且比赛结束．若每局比赛甲获胜的概率为13，乙获胜的概率为23．（1）求甲赢得比赛的概率；（2）记比赛结束时的总局数为X ，写出X 的分布列，并求出X 的期望值．【答案】（1）1781（2）分布列见详解，()10727E X =.【解析】【分析】（1）根据题意，求出甲胜共进行3局，4局，5局的概率，再利用互斥事件的概率公式求解；（2）X 的可能值为3，4，5，分别求出每种情况的概率，按照步骤求分布列即可.【小问1详解】比赛采用5局3胜，甲赢得比赛有以下3种情况：①甲连赢3局：3111327P ⎛⎫== ⎪⎝⎭；②前3局2胜1负，第4局甲赢：22231212C 33327P 骣骣骣琪琪琪==琪琪琪桫桫桫;③前4局甲2胜2负，第5局甲赢：222341218C 33381P 骣骣骣琪琪琪==琪琪琪桫桫桫，所以甲赢得比赛的概率为1231781P P P ++=.【小问2详解】X 可以取3，4，5所以()331213333P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()22241285C 3327P X 骣骣琪琪===琪琪桫桫,()18104132727P X ==--=,由此可得X 的分布列为：X345P131027827所以()11081073453272727E X =⨯+⨯+⨯=.18.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PC B --的大小．【答案】（1）证明见解析（2）π3【解析】【分析】（1）先由线面垂直的性质证得PA BC ⊥，再利用勾股定理证得BC PB ⊥，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC 与平面PBC 的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【小问1详解】因为PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，同理PA AB ⊥，所以PAB 为直角三角形，又因为PB ==1,BC PC ==所以222PB BC PC +=，则PBC 为直角三角形，故BC PB ⊥，又因为BCPA ⊥，PA PB P = ，所以BC ⊥平面PAB .【小问2详解】由（1）BC ⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，则BC AB ⊥，以A 为原点，AB 为x 轴，过A 且与BC 平行的直线为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)A P C B ，所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)AP AC BC PC ====-，设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z = ，则0m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即1110,0,z x y =⎧⎨+=⎩令11x =，则11y =-，所以(1,1,0)m =-，设平面PBC 的法向量为()222,,x n y z = ，则0n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200y x y z =⎧⎨+-=⎩，令21x =，则21z =，所以(1,0,1)n =，所以1cos ,222m n m n m n⋅===⨯，又因为二面角A PC B --为锐二面角，所以二面角A PC B --的大小为π3.19.已知函数()()cos2,sin f x x g x x ==．（1）判断函数()ππ42H x f x g x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的奇偶性，并说明理由；（2）设函数()()πsin 0,02h x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭，若函数π2h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，将满足条件的ω按从小到大的顺序组成一个数列{}n a ，求{}n a 的通项公式．【答案】19.非奇非偶函数，理由见解析20.*2N 3n a n n =∈，【解析】【分析】（1）函数()sin 2cos H x x x =-+，为非奇非偶函数．运用奇偶性的定义即可得到；（2）由奇函数和诱导公式可得ππ2k ωϕ+=，()ππ,Z l k l ϕω-=∈，解得2()3k l ω=-，即可得到所求通项公式【小问1详解】函数()ππππcos 2sin 4222H x f x g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 2cos x x =-+，为非奇非偶函数．理由：定义域为R ，()sin 2()cos()sin 2cos ()H x x x x x H x -=--+-=+≠，且()()H x H x -≠-，即有()H x 为非奇非偶函数；【小问2详解】函数π2h x ⎛⎫+⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，即有πsin 2x ωωϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭和()sin πx ωϕω+-均为奇函数，则ππ2k ωϕ+=，()ππ,Z l k l ϕω-=∈，解得2()3k l ω=-，由于0ω>，k ，Z l ∈，则*2N 3n n ω=∈，．故数列{}n a 的通项公式为*2N 3n a n n =∈，20.过坐标原点O 作圆22:(2)3C x y ++=的两条切线，设切点为,P Q ，直线PQ 恰为抛物2:2,(0)E y px p =>的准线.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点,,,A B M N 满足：2,2TA TM TB TN ==，设AB 中点为D .（i ）求直线TD 的斜率；（ii ）设TAB △面积为S ，求S 的最大值.【答案】（1）22y x =（2）（i ）0；（ii ）48【解析】【分析】（1）设直线PQ 与x 轴交于0,02p P ⎛⎫-⎪⎝⎭，由几何性质易得：20CP CP CO =⋅，即可解决；（2）设()()()001122,,,,,T x y A x y B x y ，（i ）中，由于TA 中点M 在抛物线E 上，得20101222y y x x ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，将()()1122,,,A x y B x y ，代入联立得D 点纵坐标为1202y y y +=，即可解决；（ⅱ）由（i ）得点200034,2y x D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1213222S TD y y =⋅-=又点T 在圆C 上，得2200041y x x =---，可得：2S =即可解决.【小问1详解】设直线PQ 与x 轴交于0,02p P ⎛⎫-⎪⎝⎭.由几何性质易得：0CPP 与OCP △相似，所以CP CO CP CP=，20CP CP CO =⋅，即：3222p ⎛⎫- ⎝+⎪⎭=⋅，解得：1p =.所以抛物线E 的标准方程为：22y x =.【小问2详解】设()()()001122,,,,,T x y A x y B x y （i ）由题意，TA 中点M 在抛物线E 上，即20101222y y x x ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，又2112y x =，将2112y x =代入，得：2210100240y y y x y -+-=，同理：2220200240y y y x y -+-=，有1202120024y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩，此时D 点纵坐标为1202y y y +=，所以直线TD 的斜率为0.（ⅱ）因为()222212120012122342442y y y y y x x x y y +--++===，所以点200034,2y x D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时1212S TD y y =⋅-，2200000343222y x TD x y x -=-=-，12y y -=所以322S =又因为点T 在圆C 上，有()220023x y ++=，即2200041y x x =---，代入上式可得：323222S ==由022x -≤-≤+，所以03x =-时，S取到最大价32482=.所以S 的最大值为48.21.已知函数()()ln 1f x x =+，2()1(g x x bx b =++为常数)，()()().h x f x g x =-（1）若函数()f x 在原点的切线与函数()g x 的图象也相切，求b ；（2）当2b =-时，[]12,0,1x x ∃∈，使12()()h x h x M -≥成立，求M 的最大值；（3）若函数()h x 的图象与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<，证明：1202x x h +⎛⎫' ⎪⎝⎭＜【答案】（1）3b =或1-；（2）ln 21+；（3）证明过程见解析.【解析】【分析】（1）计算()f x 在原点的切线方程，然后与()g x 联立，利用Δ0=，计算即可.（2）求得()h x '，判断函数()h x 单调性，根据条件等价于()()max min h x h x M -≥，简单计算即可.（3）利用()()1200h x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求得()()211221ln 1ln 1x x x x b x x +-+++=-，然后计算122x x h +⎛⎫' ⎪⎝⎭，并利用等价条件可得()21221121ln021x x x x x x -+-<+++，构建新函数并采取换元2111x t x +=+，求导计算即可.【小问1详解】由()11f x x '=+，所以()()01,00f f ='=，所以函数()f x 在原点的切线方程为：y x =，将该切线方程代入()g x 可得：()2110x b x +-+=，依据题意可得()21403b b ∆=--=⇒=或1-，所以3b =或1-；【小问2详解】当2b =-时，()2()ln 121h x x x x =+-+-，()21322211x h x x x x -=-+='++，当[]0,1x ∈时，()0h x '>，所以()h x 在[]0,1单调递增，则()()()()max min 1ln 2,01h x h h x h ====-，由题可知：[]12,0,1x x ∃∈使得()()12h x h x M -≥成立等价于()()max min h x h x M -≥，所以ln 21M ≤+，所以M 的最大值为ln 21+；【小问3详解】由题可知：()()()()2111122222ln 110ln 110h x x x bx h x x x bx ⎧=+---=⎪⎨=+---=⎪⎩，所以两式相减可得：()()211221ln 1ln 1x x x x b x x +-+++=-，由1()21h x x b x '=--+，所以()121212222x x h x x b x x +⎛⎫'=-++ ⎪++⎝⎭，所以()()21121221ln 1ln 1222x x x x h x x x x +-++⎛⎫'=- ⎪++-⎝⎭，由120x x <<，要证1202+⎛⎫'< ⎪⎝⎭x x h ，即证()21221121ln 021x x x x x x -+-<+++，即()()()()2122112111ln 0111x x x x x x +-+⎡⎤+⎣⎦-<++++，令()21111x t t x +=>+，所以即证明：22ln 01t t t --<+，令()()22ln 11t m t t t t -=->+，所以()()()2211t m t t t '--=+，当1t >时，()0m t '<，所以()m t 在()1,+∞单调递减，所以()()10m t m <=，所以1202+⎛⎫'< ⎪⎝⎭x x h .【点睛】关键点睛：第（1）问关键在于求得切线方程；第（2）问在于使用等价转化()()max min h x h x M -≥；第（3）问在于化简得到()()211221ln 1ln 1x x x x b x x +-+++=-，然后进行换元计算.。

上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题(含解析)

2025届华二附中高三10月月考数学试卷一、填空题1．若集合，则__________．2．已知复数，则__________．3．展开式中的系数为60，则实数__________．4．己知是单调递增的等比数列，，则公比q 的值是__________．5．已知，则_________．6．已知函数，若在定义域内为增函数，则实数p 的最小值为__________．7．己知双曲线，左，右焦点分别为，关于C 的一条渐近线的对称点为P ．若，则的面积为__________．8．己知，则的最小值为__________．9．已知函数是上的奇函数，则__________．10．对平面直角坐标系中两个点和，记，称，为点与点之间的“距离”，其中表示p ，q 中较大者．设是平面中一定点，．我们把平面上到点的“距离”为r 的所有点构成的集合叫做以点为圆心，以r 为半径的“圆”．以原点O 为圆心，以为半径的“圆”的面积为__________．11．长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：{23},{(4)(2)0}A xx B x x x =<<=+->∣∣A B = 1i z =+|2i |z -=5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x a ={}n a 453824,128a a a a +==π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭()2ln p f x px x x=--()f x 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12F F 2F 12PF =12PF F △0,0,23x y x y >>+=23x y xy+tan tan()()12tan()x f x x θθθ-+=-+ππ,20242024⎡⎤-⎢⎥⎣⎦tan θ=()111,P x y ()222,P x y 1212121212max ,11x x y y PP x x y y ⎧⎫--⎪⎪=⎨⎬+-+-⎪⎪⎩⎭12PP 1P 2P t -max{,}p q ()000,P x y 0r >0P t -0P t -12t -100=⨯水库实际蓄水里水库总蓄水里（i ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；（ii ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；（iii ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变记x 为调度前某水库的蓄满指数，y 为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y 关于x 的函数解析式：①；②；③；④．则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是__________．12．将棱长为1的正方体的上底面绕着其中心旋转得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为__________．二、单选题13．“”是“对任意的正整数x ，均有的（）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件14．己知随机变量服从正态分布，且，则等于（）A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.315．已知函数不是常数函数，且满足对于任意的，，则（）A ．B ．一定为周期函数C ．不可能为奇函数D ．存在16．如图，将线段AB ，CD 用一条连续不间断的曲线连接在一起，需满足要求：曲线经过点B ，C ，并且在点B ，C 处的切线分别为直线AB ，CD ，那么下列说法正确的是（）命题甲：存在曲线满足要求命题乙：若曲线和满足要求，则对任意实数，当时，曲线满足要求[0,100]21620y x x =-+y =5010x y =π100sin 200y x =1111ABCD A B C D -1111A B C D 45︒ABCD EFGH -1a =2a x x+≥ξ()22,N σ(0)0.2P ξ≤=(24)P ξ<≤()f x ,R a b ∈()()2()()f a b f a b f a f b ++-=(0)0f =()f x ()f x ()00R,2x f x ∈=-()y f x =()y f x =sin cos (,,)2ax bx y c a b c +=+∈R 1()y f x =2()y f x =,λμ1λμ+=12()()y f x f x λμ=+A ．甲命题正确，乙命题正确B ．甲命题错误，乙命题正确C ．甲命题正确，乙命题错误D ．甲命题错误，乙命题错误三、解答题17．如图，在正三棱柱中，分别是的中点，的边长为2．（1）求证：平面；（2）若三棱柱的高为1，求二面角的正弦值．18．放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．己知2023年该机场飞往A 地，B 地及其他地区（不包含A ，B 两地）航班放行准点率的估计值分别为和、2023年该机场飞往A 地，B 地及其他地区的航班比例分别为0.2，0.2和0.6试解决一下问题：（1）现在从2023年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率；（2）若2023年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往A 地、B 地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由．19．在中，，内有一点M ，且．（1）若，求的面积；（2）若，求BM 的长．20．己知圆，直线过点且与圆交于点B ，C ，BC 中点为D ，过中点E 且平行于的直线交于点P ，记P 的轨迹为（1）当到直线时，求直线方程；（2）求的方程；（3）坐标原点O 关于的对称点分别为，点关于直线的对称点分别为，过的直线与交于点M ，N ，直线相交于点Q ，求的面积．111ABC A B C -1,,D D F 1111,,BC B C A B 4,BC BE ABC = △EF ∥11ADD A 1B EF C --84%80%，75%84%，ABC △π10,3BC ABC =∠=ABC △2,π3BM CM AMB ⊥∠=BM =ABC △14AC =221:(1)16A x y ++=1l 2(1,0)A 1A 2A C 1A D 1AC Γ1A 1l 1l Γ12,A A 12,B B 12,A A y x =12,C C 1A 2l Γ12,B M B N 12QC C △21．对于函数，定义域R ，为若存在实数，使，其中，则称为“倒数函数”，为“的倒数点”．己知．（1）如果对成立．求证：为周期函数；（2为“关于倒数点”，且只有两个不同的解，求函数m 的值；（3）设，若函数恰有3个“可移1倒数点”，求a 的取值范围．()f x 0x ()()001f x f x λ+=0λ≠()f x 0x ()f x λ()e ,()(0)x g x h x x a a ==+>()(1)1f x f x +=x R ∈()h x 2-2()()m h x g x =(),0()1,0()g x x x x h x ω>⎧⎪=⎨<⎪⎩()x ω2025届华二附中高三10月月考数学试卷参考答案一、填空题1．【答案】2．3．【答案】12【解析】展开式的通项为，令，则，所以展开式中的系数为，解得．4．【答案】2【解析】由等比数列性质知，联立，解得或，因为是单调递增的等比数列，所以，即．5．【答案】6．【答案】1【解析】函数．要使在定义域内为增函数，只需在上恒成立即可，即在上恒成立，即在上恒成立．，当且仅当，即时等号成立，，即实数p 的最小值为1．7．【答案】4{23}xx <<∣5a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭552155C C kk k k k k k a T x a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭523k -=1k =5ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭3x 15C 60a =12a =3645a a a a =454524128a a a a +=⎧⎨=⎩45816a a =⎧⎨=⎩45168a a =⎧⎨=⎩{}n a 45816a a =⎧⎨=⎩542a q a ==725- 22222()2ln ,(0,),()p p px x p f x px x x f x p x x x x-+'=--∈+∞=+-=()f x (0,)+∞()0f x '≥(0,)+∞220px x p -+≥(0,)+∞221x p x ≥+(0,)+∞222111x x x x =≤=++ 1x x =1x =1p ∴≥【解析】设与渐近线交于M ，则，所以，由O ，M 分别与的中点，知且，即，由，所以．8．【答案】【解析】9．【答案】【解析】2PF b y x a=222,tan ,sin b b F M OM MOF MOF a c⊥∠=∠=222sin ,F M OF MOF b OM a =⋅∠===12F F 2PF 1OM PF ∥1112OM PF ==1a =e =2c b ==1221442142PF F OMF S S ==⨯⨯⨯=△△1+223(2)211x y x x y y x y xy xy y x+++==++≥+2-tan tan()()12tan()x f x x θθθ-+=-+tan tan tan 1tan tan tan tan 121tan tan x x x x θθθθθ+--=+-⨯-tan (1tan tan )(tan tan )1tan tan 2(tan tan )x x x x θθθθθ--+=--+()2tan 1tan 12tan (tan 2)tan xxθθθ-+=--+上的奇函数，又上的奇函数．10．【答案】4【解析】设是以原点O为圆心，以为半径的圆上任一点，则．若，则；若，则有．由此可知，以原点O 为圆心，以为半径的“圆”的图形如下所示：则“圆”的面积为．11．【答案】②④【解析】①，该函数在时函数值为180，超过了范围，不合题意；②为严格增函数，且，则，符合题意；③，当时，不合题意④，当时，，故该函数在上严格递增，又ππ(),20242024f x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()2tan 1tan y x θ=-+⋅tan 20,tan 2θθ∴+=∴=-(,)P x y 12t -||||1max ,1||1||2x y x y ⎧⎫=⎨⎬++⎩⎭||||11||1||2y x y x ≤=++||1||1x y =⎧⎨≤⎩||||11||1||2x y x y ≤=++||1||1y x =⎧⎨≤⎩12t -t -224⨯=()2221116120(60)180202020y x x x x x =-+=--=--+60x =y =[0,100],[0,100]x y ∈∈10≤x ≤5010xy =50x =50101050x=<π100sin 200y x =[0,100]x ∈ππ0,2002x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[0,100]π100sin[0,100]200y x =∈设即即，易知在上为严格减函数令，则存在，有当；当；故在严格递增，在严格递减．故上即上，故④符合题意12．【解析】如图作出原正方体，与HE ，EF 的交点分别为M ，N ，HE 与的交点为P ，上底面非重叠部分是8个全等的等腰直角三角形，设每个等腰直角三角形的边长为a ，则，所以，π()100sin ,[0,100]200g x x xx =-∈ππ()100cos 1,[0,100]200200g x x x '=⋅⋅-∈ππ()cos 12200g x x '=⋅-ππ()cos 12200g x x =⋅-[0,100]()0g x '=0[0,100]x ∈()0g x '=[]00,,()0x x g x '∈>[]0,100,()0x x g x '∈<()g x []00,x []0,100x (0)0,(100)0g g ==[0,100]()0g x ≥[0,100]π100sin 200x x ≥1111ABCD A B C D -11A B 11A D 21a =a =所以，设该十面体的体积为V ，二、单选题13．【答案】A【解析】对任意的正整数x ，均有，所以，当时，取最大值1，所以．因为时，一定成立；时，不一定成立．所以“”是“对任意的正整数x ，均有”的充分不必要条件．14．【答案】B【解析】因为服从正态分布，且，所以，所以15．【答案】C【解析】由题意，函数满足对于任意的，令，解得或．若，令，则，故，与题设不为常数函数矛盾，所以A 错误；所以，此时令，得，即，所以必然为偶函数，所以C 正确；||1MN ==-1111144ABCD A B D A MP E ABNMC V V V V --=-+11111144||332A MP ABNM S A A S MN =-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯△四边形211114141323=-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=2a x x +≥222,2x a x a x x +≥∴≥-+1x =22x x -+1a ≥1a =1a ≥1a ≥1a =1a =2a x x +≥ξ()22,N σ(0)0.2P ξ≤=(4)0.2P ξ>=11(24)[12(0)](120.2)0.322P P ξξ<≤=-≤=⨯-⨯=()f x ,R,()()2()()a b f a b f a b f a f b ∈++-=0a b ==(0)0f =(0)1f =(0)0f =,0a x b ==()()0f x f x +=R,()0x f x ∀∈=(0)1f =0,a b x ==()()2()f x f x f x +-=()()f x f x -=()f x再令，则，所以D 错误；例如，函数符合题意，此时函数在上严格递增，且不为周期函数，所以B 错误．故选：C ．16．【答案】B【解析】由图知点，所以直线AB 的方程为，直线CD 的方程为，所以，对于命题甲：曲线的导函数为，当时，，当时，，代入得，即，又由，得，方程组中a ，b 不可解，故命题甲不正确；对于命题乙：当时，有，即，故当时，曲线满足要求，故命题乙正确，综上，故选B三、解答题17．【答案】（1）见解析；（2）2x a b ==2()2112x f x f ⎛⎫=-≥- ⎪⎝⎭e e ()2x xf x -+=()f x (0,)+∞(0,4),(1,3),(2,1),(4,0)A B C D 4y x =-+122y x =-+11,2AB CD k k =-=-sin cos (,,)2ax bx y c a b c +=+∈R 1(cos sin )2y a ax b bx '=-1x =1y =-2x =12y =-1(cos sin )2y a ax b bx '=-1( c o s s i n )1211( c o s 2 s i n 2)22a ab b a a b b ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩cos sin 2cos 2sin 21a a b b a a b b -=-⎧⎨-=-⎩sin cos 32sin 2cos 212a b c a b c +⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩(sin cos )(sin 2cos 2)4a b a b +-+=1λμ+=121122(1)(1)()11111(2)(2)()2222x x y f f y f f λμλμλμλμλμλμ=='''⎧=+=--=-+=-⎪⎨'''=+=--=-+=-⎪⎩12112x x y y =='⎧=-⎪⎨'=-⎪⎩1λμ+=12()()y f x f x λμ=+25【解析】（1）证明：取的中点G ，连接FG ，DG ，根据题意可得，且，由三棱柱得性质知，所以，则四边形DGEF 是平行四边形，所以，因为面，面，所以面．（2）因为是等边三角形，且边长为2，所以，因为三棱柱的高为1，以D 为坐标原点，的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系：所以，所以，设平面BEF的法向量11A D 11FG B D ∥1111,22FG B D DE BD ==11BD B D ∥FG BD ∥EF DG ∥EF ⊄11ADD A DG ⊂11ADD A EF ∥11ADD A ABC △AD BC ⊥1,,DB AD DD111,0,0,,,(1,0,0),(1,0,1)22E F B C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭113,0,0,0,,,0,122BE EF EC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111,,m x y z =则，令，所以，设平面的一个法向量为，所以，令，则，所以，设二面角为，所以，所以，所以二面角的正弦值为．18．【解析】（1）设"该航班飞往A 地"， "该航班飞往B 地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"，则，由全概率公式得，，所以该航班准点放行的概率为0.778（2）（2），11111110020x m BE x z y m EF y z ⎧=⋅=-=⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⋅=+=⎩⎪⎩ 1y =113,02z x ==32m ⎛⎫= ⎪⎝⎭1C EF ()222,,n x y z =122222222330220n EC x z z x n EF y z z y ⎧⎧⋅=-+==⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪⋅=+==⎪⎪⎩⎩22y =22x z ==n = 1B EF C --([0,π])θθ∈|||cos |||||m n m n θ⋅= 2sin 5θ==1B EF C --251A =2A =3A =C =()()()1230.2,0.2,0.6P A P A P A ===()()()1230.84,0.8,0.75P C A P C A P C A ===∣∣∣()()()()()()112232()P C P A P C A P A P C A P A P C A =++∣∣∣0.840.20.80.20.750.60.778=⨯+⨯+⨯=()()()()11110.20.84()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣因为，所以可判断该航班飞往其他地区的可能性最大．19．【答案】（1；（2【解析】（1）在直角中，，可得，因为，则在中，，则，所以，解得，则（2）在中，，即，即，解得或（舍去），设，则，()()()()22220.20.8()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣()()()()33330.60.75()()0.778P A P C A P A C P A C P C P C ⨯===∣∣0.60.750.20.840.20.8⨯>⨯>⨯BMC △BM =ππ,63MBC BCM ∠=∠=10BC =BM =ABM △π2π,63ABM AMB ∠=∠=π6BAM ∠=2ππsin sin 36AB BM ==15AB =11sin 151022ABC S AB BC ABC =⋅∠=⨯⨯=△ABC △222π2cos 3AC AB BC AB BC =+-⋅211961002102AB AB =+-⋅⨯210960AB AB --=16AB =6AB =-CBM θ∠=π2ππ,π333ABM BAM θθθ⎛⎫∠=-∠=---= ⎪⎝⎭在中，可得，可得，即，则，则20．【答案】（1）；（2）；（3）见解析【解析】（1）（2）由题意得，．因为D 为BC 中点，所以，即，又，所以，又E 为的中点，所以，所以，所以点P 的轨迹是以为焦点的椭圆（左、右顶点除外）．设，其中．则故．（3）思路一：由题意得，，且直线的斜率不为0，ABM △10cos 2πsin sin sin 3AB BM θθθ==10cos sin θθ=16sin θθ=tan θ=cos θ==cos BM BC θ=⋅=1)y x =-22:1(2)43x y x Γ+=≠±1)y x =-12(1,0),(1,0)A A -1A D BC ⊥12A D A C ⊥1PE A D ∥2PE A C ⊥2A C 2||PA PC =121112||4PA PA PA PC AC A A +=+==>Γ12,A A 2222:1()x y x a a bΓ+=≠±2220,a b a b c >>-=24,2,1,a a c b =====22:1(2)43x y x Γ+=≠±1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l可设直线，且．由，得，所以，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，，解得．故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．思路二：由题意得，，且直线的斜率不为0，可设直线，且．由，得，所以，()()21122:1,,,,l x my M x y N x y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++()121223my y y y =-+1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()21122222y x x x y x ++=--()()()()12212211221212112112331112223933333222y y y y y y my my y y y my my y y y y y y y -++--++=====---+---4x =-4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l ()()21122:1,,,,l x my M x y N x y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．思路三：由题意得，，且直线的斜率不为0．()121223my y y y =-+1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++-=⎢⎥+--⎣⎦()()()()21121221211221132322133y my y my my y y y y my y my y y ⎡⎤++-⎛⎫+-==⎢⎥ ⎪+--+⎝⎭⎣⎦()()121221212323243my y y y y y y y ++-+⎡⎤==-⎢⎥+⎣⎦4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l（i ）当直线垂直于x 轴时，，由得或．不妨设，则直线的方程为：，直线的方程为：，由，得，所以，故Q 到的距离，此时的面积是．（ii ）当直线不垂直于x 轴时，设直线，且．由，得，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，由，得．下证：．即证，即证，2l 2:1l x =-221431x y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩132x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩132x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩331,,1,22M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1B M 3(2)2y x =+2B N 1(2)2y x =-3(2)21(2)2y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩43x y =-⎧⎨=-⎩(4,3)Q --12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=2l ()()21122:(1),,,,l y k x M x y N x y =+122,2x x ≠±≠±22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()()22224384120k x k x k +++-=221212228412,4343k k x x x x k k --+==++1MB 11(2)2y y x x =++2MB 22(2)2y y x x =--1122(2)2(2)2y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩()()()()2112211222222y x y x x y x y x ⎡⎤++-=⎢⎥+--⎣⎦()()()()()()()()2112121221121212124262121234k x x k x x x x x x k x x k x x x x ⎡⎤++++--+==⎢⎥++-+-++⎣⎦121212426434x x x x x x -+=-++()121212426434x x x x x x -+=-++()121241016x x x x =-+-即证，即证，上式显然成立，故点Q 在直线，所以Q 到的距离，此时的面积是定值，为．由（i ）（ii ）可知，的面积为定值．思路四：由题意得，，且直线的斜率不为0，可设直线，且．由，得，所以．直线的方程为：，直线的方程为：，因为，所以，故直线的方程为：22224128410164343k k k k ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()22244121081643k k k -=---+4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=12QC C △1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)B B C C --2l ()()21122:1,,,,x my M x y N x l y =-122,2x x ≠±≠±221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2234690m y my +--=12122269,3434m y y y y m m -+==++1B M 11(2)2y y x x =++2B N 22(2)2y y x x =--2222143x y +=22222324y x x y ⎛⎫+=- ⎪-⎝⎭2B N 2223(2)4x y x y ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭由，得，解得．故点Q 在直线，所以Q 到的距离，因此的面积是定值，为．21．【答案】（1）递增区间为，递减区间为；（2）；（3）．【解析】（1）对成立，得，所以2为函数的周期．（2为"关于倒数点"，得，即，即，得，设的定义域为R，求导得，当时，严格递增；时，严格递减；时，严格递增，所以的单调递增区间为，递减区间为，成立，（舍）（3）依题意，，1122(2)223(2)4y y x x x y x y ⎧=+⎪+⎪⎨⎛⎫+⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩()()1212422322y y x x x x -=-+++()()()()12122222121212444933113139634y y y y mx my m y y m y y m m m ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥=-=-=-=⎢⎥+++++-+++⎢⎥⎣⎦⎣⎦4x =-4x =-12C C 4d =12QC C △121124422C C d ⋅=⨯⨯=(,3),(1,)-∞--+∞(3,1)--34e -(2,e)()(1)1f x f x +=x R ∈1()(2)(1)f x f x f x ==++()f x ()h x 2-2)1h h =22)1,2)10a a a a ++=+-+-=(1)(1)0a a +--=1a =2()e (1)x x x ϕ=+2()e (1)2e (1)e (1)(3)x x x x x x x x ϕ'=+++=++(,3)x ∈-∞-()0,()x x ϕϕ'>(3,1)x ∈--()0,()x x ϕϕ'<(1,)x ∈-+∞()0,()x x ϕϕ'>()x ϕ(,3),(1,)-∞--+∞3(3,1).(3)4m e ϕ---=-=(1)0m ϕ=-=e ,0()1,0x x x x x a ω⎧>⎪=⎨<⎪+⎩由恰有3个“可移1倒数点”，得方程恰有3个不等实数根，①当时，，方程可化为，解得，这与不符，因此在内没有实数根；②当时，，方程可化为，该方程又可化为．设，则，因为当时，，所以在内严格递增，又因为，所以当时，，因此，当时，方程在内恰有一个实数根；当时，方程在内没有实数根．③当时，没有意义，所以不是的实数根．④当时，，方程可化为，化为，于是此方程在内恰有两个实数根，则有，解得因此当时，方程在内恰有两个实数根，当在内至多有一个实数根，综上，a 的取值范围为．()x ϕ()(1)1x x ωω+=0x >10x +>()(1)1x x ωω+=21e 1x +=12x =-0x >(0,)+∞()(1)0x x ωω+=10x -<<10x +>()(1)1x x ωω+=11x e x a+=+1ex a x +=-1()e x k x x +=-1()e 1x k x +'=-(1,0)x ∈-()0k x '>()k x (1,0)-(1)2,(0)e k k -==(1,0)x ∈-()(2,e)k x ∈(2,e)a ∈()(1)1x x ωω+=(1,0)-(0,2][e,)a ∈+∞ ()(1)1x x ωω+=(1,0)-1x =-10,(1)x x ω+=+1x =-()(1)1x x ωω+=1x <-10x +<()(1)1x x ωω+=1111x a x a ⋅=+++22(21)10x a x a a ++++-=(,1)-∞-()222(21)41021121(21)10a a a a a a a ⎧+-+->⎪+⎪-<-⎨⎪-+++->⎪⎩a >a >()(1)1x x ωω+=(,1)-∞-0a <≤()(1)1x x ωω+=(,1)-∞-(2,e)(2,e)⎫+∞=⎪⎪⎭。

2024年上海市华师大二附中数学高三第一学期期末监测试题含解析

2024年上海市华师大二附中数学高三第一学期期末监测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且2AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于C ，ACF ∆的面积为AB =（）A ．6B ．9C ．D ．2．己知四棱锥-S ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ︒∠=，ΔSAD 是等边三角形，且SA AB ==P 在四棱锥-S ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为（）A 1B 2C 1D 23．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．110 4．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（）A B ．1) C ．D ．45．函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，可将()f x 的图象（）A ．向右平移6π个单位B ．向右平移12π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向左平移6π个单位 6．若关于x 的不等式1127k x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（） A ．9 B ．8 C ．7 D ．67．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．240B ．264C ．274D ．2828．已知3sin 2cos 1,(,)2παααπ-=∈，则1tan 21tan 2αα-=+（） A ．12- B ．2- C ．12 D ．2 9．设i 为数单位，z 为z 的共轭复数，若13z i =+，则z z ⋅=（） A ．110B ．110iC ．1100D ．1100i 10．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（） A ．且 B ．且 C ．且D ．且11．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（）种. A ．360 B ．240 C ．150 D ．12012．函数1()1xx e f x e+=-（其中e 是自然对数的底数）的大致图像为（） A ． B ． C ． D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市华东师范大学二附中高三数学上学期暑假测试试题(含解析)

上海市华东师范大学二附中高三数学上学期暑假测试试题（含解析）一.填空题1．（3分）（2014秋•崇川区校级期中）i 是虚数单位，3(1)1i i i +=- ．2．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）5(x-的展开式中，2x 的系数是．3．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）“a b >”是“22a b >”的条件4．（3分）（2016•上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是（米）．5．（3分）（2008•天津）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为． 6．（3分）已知函数10()1x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是． 7．（3分）已知数列{}n a 中，11111,(*)3n n n a a a n N ++=-=∈，则lim n n a →∞= ．8．（3分）已知ABC ∆的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于． 9．（3分）（2008•天津）设1a >，若仅有一个常数c 使得对于任意的[x a ∈，2]a ，都有[y a ∈，2]a 满足方程log log a a x y c +=，这时a 的取值的集合为．10．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有．11．（3分）（2016•上海）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A ⋯的中心，1(1,0)A 任取不同的两点i A ，j A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是．12．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数；③若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为奇函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是奇函数；④若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +的值域均是R ，则()f x 、()g x 、()h x 均是值域为R 的函数，其中所有正确的命题是．二.选择题13．（3分）（2008•天津）设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是( )A ．a α⊥，//b β，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，//αβC ．a α⊂，b β⊥，//αβD ．a α⊂，//b β，αβ⊥14．（3分）（2008•天津）设函数22()cos ()sin (),44f x x x x R ππ=+-+∈，则函数()f x 是()A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 15．（3分）（2008•天津）设函数()1)1f x x x=<-的反函数为1()f x -，则( )A ．1()f x -在其定义域上是增函数且最大值为1B ．1()f x -在其定义域上是减函数且最小值为0C ．1()f x -在其定义域上是减函数且最大值为1D ．1()f x -在其定义域上是增函数且最小值为016．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）下列命题中正确的命题有几个( )（1）1423a a a a +=+是1a ，2a ，3a ，4a 依次构成等差数列的必要非充分条件．（2）若{}n a 是等比数列，212k k k b a a -=+，*k N ∈，则{}k b 也是等比数列．（3）若a ，b ，c 依次成等差数列，则a b +，a c +，b c +也依次成等差数列．（4）数列{}n a 所有项均为正数，则数列，*)n N ∈构成等比数列的充要条件是{}n a 构成等比数列． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个三.解答题17．（2019秋•浦东新区校级月考）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，60DAB DBF ∠=∠=︒，且FA FC =，AC 与BD 交于O 点．（1）求证：FO ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A FC B --的余弦值．18．（2011•无锡模拟）如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即)OB 为2m ，在圆环上设置三个等分点1A ，2A ，3A ．点C 为OB 上一点（不包含端点O 、)B ，同时点C 与点1A ，2A ，3A ，B 均用细绳相连接，且细绳1CA ，2CA ，3CA 的长度相等．设细绳的总长为ym ．（1）设1()CAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式；（2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时BC 应为多长．19．（2019•北京）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-．（Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．20．（2008•浦东新区一模）由函数()y f x =确定数列{}n a ，()n a f n =，若函数()y f x =的反函数1()y f x -=能确定数列{}n b ，1()n b f n -=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“反数列”．（1）若函数()f x ={}n a 的反数列为{}n b ，求{}n b 的通项公式；（2）对（1）中{}n b1log (12)2a a ⋯+>-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设()()()()111132122n n c n λλλ+---=⋅+⋅-为正整数，若数列}{n c 的反数列为{}n d ，{}n 与{}n d 的公共项组成的数列为{}n t ，求数列{}n t 前n 项和n S ．21．（2019秋•浦东新区校级月考）若函数()f x 定义在区间A 上时存在反函数，那么就称区间A 为函数()f x 的“单射区间”，如果不存在单射区间B ，使得A B ⊂，那么就称A 为函数()f x 的“极大单射区间”，例如[1，2]是函数2()f x x =的“单射区间”， [0，)+∞是函数2()f x x =的“极大单射区间”．（1）求()sin g x x =的所有极大单射区间(k k A A 表示包含k π的区间，)k Z ∈；（2）求()sin g x x =的所有极大单射区间k A 上的反函数1()k g x -，用arcsin x 表示；（3）判断1((2019))kg g -，1((2019))k g g -是否有意义，若有意义，求出它的值，若没有意义，请说明理由．2019-2020学年上海市浦东新区华师大二附中高三（上）8月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）（2014秋•崇川区校级期中）i 是虚数单位，3(1)1i i i +=- 1- ．【解答】解：3(1)(1)(1)(1)211(1)(1)(1)2i i i i i i i i i i +-+----====----+--．故答案为：1-．2．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）5(x-的展开式中，2x 的系数是 40【解答】解：根据题意，5(x的展开式的通项为515((2)rrr rr T C x-+=⨯⨯=-10325r r C x-，令10322r-=，解可得2r =，则有21(2)r T +=-222540C x x =，即2x 的系数是40，故答案为：40．3．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件【解答】解：当0a =，1b =-时，满足a b >，但22a b <；当2a =-，1b =-时，满足22a b >，但a b <，所以a b >是22a b >的充分也不必要条件．故答案为：既不充分也不必要．4．（3分）（2016•上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是 1.76 （米)．。

上海市华东师范大学第二附属中学2024届高三上学期质量调研数学试题

上海市华东师范大学第二附属中学 2024 届高三上学期质量调研数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知全集U ,1 2, ，集合 A 1,1 3, ，则 A
.
2．已知复数 z 满足 z i 1 i （ i 为虚数单位），则 Im z
个命题：①若 0 f x0, y0 1，则曲线上必存在两点 A, B ，使得 P 为线段 AB 的中点；
②若 f x0 , y0 0 ，则对曲线上任一点 A ，上必定存在另外一点 B ，使得 PA PB .
其中（） A．①是假命题，②是真命题 C．①②都是假命题
B．①是真命题，②是假命题 D．①②都是真命题
试卷第 4页，共 4页
(1)当漏诊率 p c 0.5 ％时，求临界值 c 和误诊率 q c ； (2)设函数 f c p c q c ，当 c 95,105 时，求 f c 的解析式，并求 f c 在区间
95,105 的最小值．
20．已知 F 为抛物线： y2 4x 的焦点，O 为坐标原点.过点 P p, 4 且斜率为 1 的直线
.
3．设常数 a 0 且 a 1，若函数 y loga x 1 在区间0,1上的最大值为 1，最小值为 0，
则实数 a
.
4．已知圆锥的底面半径为 3 ，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为 2π 的扇形， 3
则该圆锥的高为
.
5．已知 2x 14 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 a4 x4 ，则 a1 a2 a3 a4
4 OA4
，其中
0
i
1i
1,

上海市华师大二附中高三数学综合练习试题5苏教版

上海市华师大二附中高三数学综合练习试题5苏教版上海市华师大二附中高三数学综合练习试题 5 苏教版一、填空 ( 本大分 48 分 ) 本大共有 12 ，只需求直接填写果，每个空格填得 4 分，否一律得零分。

1、已知会合A=x y lg(x 2),B=y y2x。

, A B=2、若 sin= -5, cos 2=。

53、方程lg2x - 2lgx - 3 0的解是。

4、已知函数 f(x)的象与函数y3x的象对于直y=x 称， f(9)= 。

5、复数z5的共复数z ＝。

34i6、在数列a n中 a 1 = -13,且 3a n =3a n1-2,目前 n 和 s n取最小 n 的是。

7．会合A2, 4, 6,8,10 ,B1,3, 5,7, 9，在 A 中任取一元素 m和在 B 中任取一元素n,所取两数 m>n的概率是 _。

8、在△ ABC中三之比 a:b:c=2:3:19, △ ABC中最大角 =。

9、（理）在(1ax )7的睁开式中，x3的系数是x2和x4的系数的等差中，若数 a 1 ，那么 a。

（文）某工程由以下工序成，工程数天。

10、在无等比数列1,1,1，⋯中找出一个无等比的子数列（由原数列中部分按原2 4 8来序次摆列的数列），使它全部的和1，此子数列的通公式。

7a211、在 R 上定运算△： x△y=x(1 -y)若不等式 (x-a) △(x+a)<1, 随意数x 恒建立，数 a 的取范是。

a4 12、已知数列a n，a n 2 ( 13 ) n，把数列a n的各排成三角形状，如 a 7 a 8所示． A (m, n) 表示第m行，第n列的， A (10,8) =。

．．．．．．a1a3a 5 a 6a 9a10．．．．．．．．二、 ( 本大分 16 分 ) 本大共有 4 ，每都出代号 A、 B、 C、 D 的四个，此中有且只有一个是正确的，必把正确的代号写在后的括号，得 4 分，不、或许出的代号超一个( 不能否都写在括号内) ，一律得零分。