电网络理论第三 章五节撕裂法

0 0
0 0 1⎤ Vn ⎥ 1 − 1 0⎦
e τ = D τn Vn
d
+ em −
bτ × n
[ Va , Vb , Vc , Vd , Ve ]
T
⎧ − 1 , 支路j与节点i关联且指向 i； ⎪ d ji = ⎨ 1 , 支路j与节点i关联且背离 i; ⎪ 0 , 支路j与节点i无关。 ⎩
D τn = − C
T Z τ i τ = − Cn τ Vn
(2)
0⎤ ⎥ 为被撕裂支路的阻抗矩 阵 Zm ⎦
Y n V n = J n + jn
Y n Vn = J n + Cnτ i τ
Z τiτ
(1)
(3)
(2)
+ = −C V
T nτ
n
⎡Y n ⎢ T ⎢ ⎣ C nτ
- Cnτ ⎤ ⎡ Vn ⎤ ⎡ J n ⎤ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ i 0 Zτ ⎥ ⎣ ⎦ τ ⎣ ⎦ ⎦
[
]
T
jn = Cnτ i τ
n × bτ
被撕裂支路中 电流列向量
⎧ 1 , 支路j与节点i关联且指向 i； ⎪ C ij = ⎨ − 1 , 支路j与节点i关联且背离 i; ⎪ 0 , 支路j与节点i无关。 ⎩
il a
Zl
im e c
Zm
− el +
+ em −
d
若在这两条支路分别联接的两个节点之间引进一个假 想的电压源，其电压大小和方向与原电路相应节点之 间的电压完全一样，则支路电流il和im将保持不变。
0 3 −1 0 −1 3 0 −1 −1 0 0 −1 0 −1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0
⎡ 4 −1 ⎢− 1 4 ⎢ ⎢− 1 − 1 −1 T Y n + C nτ Z τ C nτ = ⎢ ⎢ 0 −1 ⎢− 1 0 ⎢ 0 ⎢ ⎣ 0
0 −1 0 −1 0 0 −1 −1 3 0 0 0 0 4 −1 −1 0 −1 4 −1 0 −1 −1 3
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
这恰好就是原电路(a)的节点导纳矩阵，不难直接从 图(a)得出相同的结果；但是这个矩阵不再具有分块 对角形式。 以上讨论局限于撕裂后的各部分电路具有一个共同 节点的情况，或者说，当一些支路被撕裂后剩下的 是一个可断图。
图示连通图，当移去b1， b2 ， b3后，原来的连通图 成为两个分离的子图，被移去的支路称为撕裂支路。 其余支路称为剩余支路（remainder branches）
T
= Y J n − Y C nτ Z C Y J n ⎡− 7⎤ ⎡ 3 ⎤ ⎡5 ⎤ ⎢ − 2⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢6 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 ⎢ 21 ⎥ 1 ⎢ − 3⎥ ⎢ 6 ⎥ = ⎢ ⎥− ⎢ ⎥= ⎢ ⎥V 4⎢6 ⎥ 4⎢ 2⎥ ⎢1 ⎥ ⎢ 7⎥ ⎢7⎥ ⎢ 35 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎣ 3⎥ ⎦ ⎢ ⎣4⎥ ⎦ ⎣19 ⎥ ⎦
⎡ Y11 ⎢ ⎢ L ⎢ Y jj ⎢ ⎢ L ⎢ ⎢ ⎢ T C nτ ⎣
Y mm
⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ - Cnτ ⎢ Vn ⎥ ⎢ J n ⎥ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥⎢ ⎣0 ⎥ ⎦ ⎦ ⎢ Z τ ⎦ ⎣i τ ⎥
1 2 1 0 0 0
1 1 2 0 0 0
0 0 0 2 1 1
0 0 0 1 2 1
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎥ 1 ⎥ ⎥ 2 ⎥ ⎦ 0 0 0
il
− 3A
− 2A
− 9A
20 A
e
f
im
a
c
13 A
b
d
4A
(a )
⎡ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 C nτ = ⎢ ⎢ 0 ⎢− 1 ⎢ ⎢ ⎣ 0
⎤ ⎡Va ⎤ ⎡ J a + ja ⎤ ⎥ ⎥⎢ ⎥ ⎢ − Y2 ⎥ ⎢Vb ⎥ = ⎢ J b + 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ Y2 + Y7 ⎥ V ⎦ ⎣ c ⎦ ⎣ J c + jc ⎦ 0
Y 11V1 = J n1 + j1
jd d
Y8 e
je
Jd
Y9
Je
Y10
Y11
⎡Y8 +Y 9 ⎢ ⎣ − Y8
− Y8 Y8 + Y10 +Y 11
⎤ ⎡Vd ⎤ ⎡ J d + j d ⎤ ⎥ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎦ ⎣Ve ⎦ ⎢ ⎣J e + j e ⎥ ⎦
Y 22 V2 = J n2 + j2
Y 11V1 = J n1 + j1 ⎡ Y 11 ⎢ ⎢ ⎣0
+
Y 22 V2 = J n2 + j2
0 ⎤ ⎡ V1 ⎤ ⎡ J n1 + j1 ⎤ ⎥ ⎥⎢ ⎥=⎢ V Y 22 ⎥ ⎣ ⎦ 2⎦ ⎢ ⎣ J n2 + j2 ⎥ ⎦ (1)
b1 b5 b4 b6 b7
b2 b10 b3 b8 b9 b11
n+1个节点，b条支路网 络，将其支路分为两类：
1．撕裂支路 用下标d表示 2．剩余支路 用下标r表示
若移去撕裂支路后，剩余支路形成的子网络的图仍是 连通的，但是可断的，且仅有一个断点，以断点为参 考节点，则关联矩阵A按剩余和断裂支路可分块为
(5) Cnτ Z C Y J n = [− 4 , 1 , 0 , − 1 , 4 , 0]
−1 τ T nτ −1 n
⎡ 2 ⎢ −1 T ( 3 ) Z τ ≡ Z τ + C nτ Y n C nτ = ⎢ ⎢− 1 ⎢ 1⎤ ⎣ 2 ⎡ 2 ⎥ ⎢ 4 2 1 Z− ⎥ ⎢ τ = 15 ⎢ 1 2⎥ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣2 −1 T −1 ⎡ − 4⎤ ( 4 ) Z τ C nτ Y n J n = ⎢ ⎥ ⎣− 1 ⎦
A = [Ar
0 ⎡ A r1 ⎢ 0 A r2 ⎢ Ad ] ⎢M ⎢ L ⎢ ⎣0
L O 0
0 M 0 A rk
⎤ ⎥ ⎥ Ad ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
设剩余支路形成k个子网络，由于除共同的参考节点 外，各子网络既无公共支路，又无公共节点，因此Ar 可以写为分块对角阵的形式， Ar1 ，…， Ark分别表示 各子网络的关联矩阵。 将支路电流向量、支路电压向量、支路电流源向量 和支路电压源向量按同样方式分块，即
⎡e l ⎤ ⎡ − 1 eτ = ⎢ ⎥ = ⎢ 0 e ⎣ ⎢ ⎥ m ⎣ ⎦
0 0
0 0 1⎤ Vn ⎥ 1 − 1 0⎦
[ Va , Vb , Vc , Vd , Ve ]
T
il a im c
Zl
a
b
c
d
e
− el +
Zm
⎡e l ⎤ ⎡ − 1 eτ = ⎢ ⎥ = ⎢ e 0 e ⎣ ⎢ ⎥ ⎣ m⎦
例
用撕裂法求图(a)所示电路的各节点电压，所有支 路电阻均为1Ω，注入各节点的电流均用A表示。
il
− 3A
− 2A
− 9A
20 A
e
f
im
a
c
13 A
b
d
4A
(a )
解
a
c
b
d
f
(b)
e
⎡ 3 −1 ⎢ Y11 = Y 22 = ⎢ − 1 3 ⎢ ⎣− 1 − 1
−1 ⎤ ⎥ −1 ⎥ 3⎥ ⎦
Y7
Jd
Y9 Y10
Je
Y11
Y5
j a = il
j d = im
j c = − im
j e = − il
jn = j a , j b , j c , j d , j e
a b jn = c d e
⎡ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣− 1 0⎤ ⎥ 0⎥ ⎡ il ⎤ - 1⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎣ im ⎦ 1⎥ 0⎥ ⎦
(4)
矩阵 Y n 具有分块对角形式，每一块表示一个部分 电路的节点导纳矩阵。整个方程的系数矩阵则具有 “加边分块对角形式”（BDDF）。这是撕裂法独特 的地方，也可以说，撕裂法的目的就是获得具有这 种特殊形式系数矩阵的电路方程。 方程（4）的求解可以按照下列步骤来进行：
Vn = Y
由于
−1 n
(J n + Cnτ i τ )
一、支路撕裂法
a
Y1Y4 Jຫໍສະໝຸດ bilbZl Y2 c im Z m Y6 J
c
d
Y8
e
Ja
Y3
Y7
Jd
Y9 Y10
Je
Y11
Y5
撕裂支路(tearing branches) 剩余支路(remainder branches)
ja
a
Ja
Y3
Y1
Y4 J b
b
Y2 c
Y6 J
c
jc
jd d
Y8 e
je
0⎤ − 1⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ ⎦
⎡ 1 C =⎢ ⎣ 0
T nτ
0 −1
0 0
0 1
−1 0
0⎤ 0⎥ ⎦
⎡ 1 Zτ = ⎢ ⎣ 0
0⎤ 1⎥ ⎦
−1 n
J n = [ − 3 − 2 13 − 9
20
4]
T
用式（5）求解，具体步骤如下：
1 T (1) Y J n = [5 , 6 , 21 , 6 , 35 , 19] 4 −1 1 T T ( 2) Cnτ Y n J n = [− 30 , 0] 4
§2—8
撕裂法
撕裂法（diakopics）或分裂法是G.Kron在本世纪50 年代提出的一种分析大型电路的方法。 基本思想：把一个大型网络撕裂成若干个较小的子网 络。对每一个网络可以单独分析和求解，不必考虑其 他部分的存在。然后把各个子网络的解“相互联接”构 成原网络的整体解。 Kron提出的撕裂法可按节点分析法、回路分析法或混 合分析法来进行。这里主要讨论一种将部分支路撕裂 后如何建立节点方程的方法，称为支路撕裂法。