镇海中学2018-2019学年第二学期高一期末数学试卷
宁波市镇海中学2018-2019学年下学期开学考高一数学试卷附答案解析
宁波市镇海中学2018-2019学年下学期开学考高一数学试卷一、单选题1．已知函数2,3()3,3x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()()15f f f -的值为A ．1B ．2C ．3D ．–32．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( )A ．()0,2B ．()1,9 C ．()1,4D ．()1,23．下列函数的周期不为π的是( )A ．2sin y x = B ．y =C ．()2sin cos y x x =-D ．cos cos y x x =+4．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r方向上的投影为( )A ．165-B ．165C ．1613-D ．16135．下列关系正确的是( ) A ．tan 20sin1cos8<<< B ．0cos8sin1tan 2<<< C ．tan 2cos80sin1<<<D ．tan 20cos8sin1<<<6．若非零向量a b r r，满足a b b +=r r r ，则（ ）A ．22a a b >+r r rB ．22a a b <+r r rC ．22b a b >+r r rD ．22b a b <+r r r7．在ABC ∆中，5sin 13A =，3cos 5B =，则cosC =（ ） A ．5665 B ．3365- C ．5665或1665-D ．1665- 8．向量a r ，b r 满足2a b a b ==⋅=r r r r ，当实数1t ≥时，向量a r 和a tb -r r的夹角范围是( )A ．[0,)3π B ．2[,)33ππC ．[,)32ππ D ．[,)3ππ9．已知函数()sin cos ()f x x a x a R =+∈对任意x ∈R 都满足()()44f x f x ππ+=-，则函数()sin ()g x x f x =+的最大值为A ．5B ．3CD．10．定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(0,2)x ∈时，()cos((1))2f x x π=-，且2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，则函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为( ) A ．9 B ．8C ．7D ．6二、填空题11．函数sin y x x =的图象可由函数cos y x x =+的图象至少向左平移________个单位长度得到. 12．函数1()(2f x =________.13．已知()0,απ∈，sin α与cos α是关于x 的一元二次方程21370x x m ++=的两根，则()1tan tan 1cos 2ααα-+⋅的值为________.14．已知2a b +=r r ，4a b -=r r ，则a b +r r的范围是________.15．在ABC ∆中，AD 为BC 上的中线，1AB =，5AD =，45ABC ∠=︒，则sin ADC ∠=________，AC =________.16．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12x x <，有1212()()1f x f x x x ->--，且(1)1f =，则不等式22(log 31)2log 31x x f -<--的解集为________.17．在ABC ∆中，4AB =，5AC =，3BAC π∠=，H 为ABC ∆内一点，::2:3:5HAB HCB HAC S S S ∆∆∆=，则HA HC ⋅=u u u r u u u r________.三、解答题18．已知α，β为锐角，且1tan 7α=，sin β=. （1）求sin()αβ+； （2）求2αβ+.19．已知(2sin ,1)a x =+r ，(2,2)b =-r ，(sin 3,1)c x =-r ，(1,)(,)d k x R k R =∈∈u r.（1）若[,]22x ππ∈-，且//()a b c +r r r，求x 的值；（2）是否存在实数k 和x ，使()()a d b c +⊥+r u r r r？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.20．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知22222202b c a ca b c b c+-+=+-+. （1）求角A 的值；（2）若2a =，求三角形周长的取值范围.21．已知定义在[]22-,上的偶函数()f x 满足：当[]0,2x ∈时，()f x x =-+（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()20g x ax a a =-->，若对于任意的[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立，求实数a的取值范围.22．已知向量,cos )a x x ωω=r ，(sin ,cos )b x x ωω=-r ，且函数()f x a b =⋅r r的两个对称中心之间的最小距离为2π. （1）求()3f π；（2）若函数()1()2x G x m =+-在[0,]π上恰有两个零点，求实数m 的取值范围.解析宁波市镇海中学2018-2019学年下学期开学考高一数学试卷一、单选题1．已知函数2,3()3,3x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()()15f f f -的值为A ．1B ．2C ．3D ．–3 【答案】A【解析】根据自变量所属的取值范围代入分段函数对应的解析式求解即可. 【详解】由函数解析式可得：()1122f ==，()5532f =-=()()()()005112f f f f -===∴本题正确选项：A【点睛】本题考查分段函数的函数值的求解问题，属于基础题. 2．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( )A ．()0,2B ．()1,9 C ．()1,4D ．()1,2【答案】D【解析】集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】解：{}19P x x =<<，{}02Q x x =<<；()1,2P Q ∴⋂=.故选：D. 【点睛】本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.简单对数不等式问题的求解策略：(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0. 3．下列函数的周期不为π的是( )A ．2sin y x = B ．y =C ．()2sin cos y x x =- D ．cos cos y x x =+【答案】D【解析】利用三角函数的诱导公式、和差倍角公式，将三角函数化为标准式求解周期. 对选项,A C 运用二倍角公式化简再求周期，对B 化简降次求周期，对D 化简得2cos y x =直接求周期. 【详解】Q 函数21cos 2sin 2xy x -==的最小正周期为22ππ=，满足条件；函数tan y x ==的最小正周期为π，满足条件；函数()2sin cos 1sin 2y x x x =-=-最小正周期为22ππ=，满足条件； 函数cos cos 2cos y x x x =+=的最小正周期为221ππ=，不满足条件， 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数周期. 三角函数周期的求解方法公式法 (1)三角函数= = = y sin x y cos x y tan x ，，的最小正周期分别为22πππ，，； (2)(=)y Asin x ωϕ＋和(=)y Acos x ωϕ＋的最小正周期为2||πω，()=y tan x ωϕ＋的最小正周期为||πω 图象法 利用三角函数图象的特征求周期．如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期.4．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r方向上的投影为( )A ．165-B ．165C ．1613-D ．1613【答案】C【解析】先计算出16a b r r⋅=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b⋅r rr 可得【详解】()4,3a =r Q ，()5,12b =-r，4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r，则向量a r 在b r方向上的投影为1613a b b⋅-=r rr ，故选：C. 【点睛】本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r的夹角为θ，向量a r 在b r 方向上的投影为cos a θ⋅r 或a b b⋅r rr5．下列关系正确的是( ) A ．tan 20sin1cos8<<< B ．0cos8sin1tan 2<<< C ．tan 2cos80sin1<<< D ．tan 20cos8sin1<<<【答案】C【解析】先分别判断弧度制1,2,8所在的象限，根据三角函数的定义判断函数值的符号. 【详解】1Q 是第一象限，sin10∴>，2Q 是第二象限，tan 20∴<，且tan 21<-，()cos8cos 82π=-，82π-Q 是第二象限，()cos8cos 820π∴=-<， tan 2cos80sin1∴<<<，故选：C. 【点睛】本题主要考查利用三角函数值的符号比较大小. 利用定义求三角函数值问题的常见类型及解法:(1)已知角α终边上一点P 的坐标，根据三角函数的定义求出相应的值即可．(2)若已知角α的终边所在直线的方程求三角函数值，可以先设出终边上一点的坐标，再根据定义求相应的值． (3)若角α终边上的点的坐标中含参数，要讨论参数的各种情况，以确定角α终边所在的象限，进一步正确得出各个三角函数值．此时注意不要漏解或多解．认清角的终边所在的象限，以确定三角函数值的符号，防止出现错误．6．若非零向量a b r r，满足a b b +=r r r ，则（ ）A ．22a a b >+r r rB ．22a a b <+r r rC ．22b a b >+r r rD ．22b a b <+r r r【答案】C 【解析】【详解】由已知22()a b b r r r ＋＝，即220a b a ⋅r r r ＋＝.22222||2242a b a a b b b a ⋅r r r r r r r r Q ＋－＝＋＝－符号不能确定，∴A 、B 均不对． 222||224a b b a a b ⋅r r r r r r Q ＋－＝＋22220a a a <r r r ＝－＝－.故选C.7．在ABC ∆中，5sin 13A =，3cos 5B =，则cosC =（ ） A ．5665B ．3365- C ．5665或1665-D ．1665-【答案】D【解析】根据B 的范围和同角三角函数关系求得sin B ，由大边对大角关系可知A 为锐角，从而得到cos A ；利用诱导公式和两角和差余弦公式可求得结果. 【详解】()0,B π∈Q ，3cos 5B =4sin 5B ∴= sin sin A B <Q A ∴为锐角，又5sin 13A = 12cos 13A ∴= ABC π++=Q()1235416cos cos cos cos sin sin 13513565C A B A B A B ∴=-+=-+=-⨯+⨯=- 本题正确选项：D 【点睛】本题考查三角形中三角函数值的求解，涉及到同角三角函数关系、三角形中大边对大角的关系、诱导公式和两角和差余弦公式的应用；易错点是忽略角所处的范围，造成求解三角函数值时符号发生错误.8．向量a r ，b r 满足2a b a b ==⋅=r r r r ，当实数1t ≥时，向量a r 和a tb -r r的夹角范围是( )A ．[0,)3π B ．2[,)33ππC ．[,)32ππ D ．[,)3ππ【答案】B【解析】利用2a b a b ==⋅=r r r r 求出,3a b π<>=r r ，几何法作出=CA a tb -u u u r r r ,得,=a a C b A t O r r -∠<>，当1t =时，=3,a a tb OAB r r π<>∠=-,当t →+∞时//OC AC 即23OAC π∠< 【详解】由2a b a b ==⋅=r r r r ，得a r ，b r 的夹角为3π，不妨设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，()1OC tb t =≥u u r u r ，不妨设()1OC tb t =≥u u ru r ，则点C 在OB 的延长线上运动，向量a r 和a tb -r r 的夹角可用OAC ∠表示，由图知：2[,)33OAC ππ∠∈， 故选：B.应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可．注意加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”；减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”；数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．9．已知函数()sin cos ()f x x a x a R =+∈对任意x ∈R 都满足()()44f x f x ππ+=-，则函数()sin ()g x x f x =+的最大值为A ．5B ．3C D ．【答案】C 【解析】∵函数()()sin cos f x x a x a R =+∈对任意x R ∈都满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴函数()f x 的对称轴为4x π=，且()()f x x θ=+∴422f a π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴1a =∴函数()()()sin 2sin cos g x x f x x x x β=+=++∴函数()g x 故选C点睛：本题考查函数的对称性及辅助角公式的应用.对于函数的对称性，若函数()y f x =满足()()f a x f a x =-+或(2)()f a x f x -=，则函数图象关于直线x a =对称；研究函数()sin cos f x A x B x ωω=+的图象和性质的关键一步是利用辅助角公式将函数的形式变成()()f x x ωϕ=+的形式.10．定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(0,2)x ∈时，()cos((1))2f x x π=-，且2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，则函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为( ) A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】B【解析】先由奇函数性质求出函数()f x 在[]2,2-上的解析式，再利用1()(2)2f x f x =-.得到[2,5]-的图象，2()()F x x f x x =-的零点个数，等价于求1()f x x=的解的个数.根据两函数交点个数即可求解.当(0,2)x ∈时，()cos((1))cos()sin()2222f x x x x ππππ=-=-=，()f x Q 是奇函数，()00f ∴=，当2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-， ()()12002f f ∴==，()()14202f f ==， 若()2,0x ∈-，则()0,2x -∈，则()sin()(in ()22)s x f x f x x ππ-=-=-=-， 即()sin()2f x x π=，()2,0x ∈-即当22x -≤≤时，()sin()2f x x π=，当24x ≤≤时，022x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin()2222222f x f x x x x ππππ=-=-=-=-，当45x ≤≤时，223x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin(44)24222f x f x x x x ππππ=-=--=--=， 由2()()0F x x f x x =-=，得：当0x =时，由(0)0F =，即0x =是()F x 的一个零点，当0x ≠时，由2()0f x xx -=得1()xf x =，即1()f x x=， 作出函数()f x 与1()g x x=在，[2,5]-上的图象如图： 由图象知两个函数在[2,5]-上共有7个交点，加上一个0x =， 故函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为8个， 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用. 判断函数零点个数的方法:直接法:即直接求零点，令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点定理法:即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <g ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法:即利用图象交点的个数，画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差，根据()0()()f x h x g x Û＝＝，则函数f(x)的零点个数就是函数()y h x =和()y g x ＝的图象的交点个数性质法:即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.二、填空题11．函数sin y x x =的图象可由函数cos y x x =+的图象至少向左平移________个单位长度得到. 【答案】32π【解析】利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】Q 函数，cos 2sin()6y x x x π==+5sin 2sin()2sin()33y x x x x ππ==-=+，故把函数cos y x x =+的图象至少向左平移53362πππ-=个单位，可得sin y x x =的图象， 故答案为：32π. 【点睛】 本题主要考查函数y Asin x ωϕ=+（）的图象变换.三角函数图象变换主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x ，如果x 的系数不是1，则需把x 的系数提取后再确定平移的单位长度和方向.12．函数1()(2f x =________.【答案】1[,)2++∞ 【解析】先求出函数的定义域，利用复合函数的单调性之间的关系进行求解. 【详解】Q 函数()1()2f x =，210x x ∴--≥，求得x ≤x ≥，故函数的定义域为12x x ⎧-⎪≤⎨⎪⎩或12x +≥⎪⎭，本题即求21t x x =--在定义域内的增区间，再根据二次函数的性质可得21t x x =--在定义域内的增区间为1[,)2++∞，故答案为：1[)2++∞. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性. 复合函数单调性的规律:若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．13．已知()0,απ∈，sin α与cos α是关于x 的一元二次方程21370x x m ++=的两根，则()1tan tan 1cos 2ααα-+⋅的值为________.【答案】16949【解析】由已知结合根与系数的关系求得sin cos αα+，进一步求得sin cos αα-，联立求得sin α，cos α的值，得到tan α及cos2α的值，则问题可解． 【详解】sin αQ 与cos α是关于x 的一元二次方程21370x x m ++=的两根，7sin cos 13αα∴+=-，两边平方得：1202sin cos 169αα=-， ()0,απ∈Q ，sin 0α∴>，cos 0α<，则17sin cos 13αα-===. 联立7sin cos 1317sin cos 13αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得5sin 13α=，12cos 13α=-. 5tan 12α∴=-.则()511tan 287316912525tan 1cos 283349(1)(12)12169ααα+-===+⋅-⨯-⨯. 故答案为：16949. 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系.利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．14．已知2a b +=r r ，4a b -=r r ，则a b +r r的范围是________.【答案】【解析】设a m =r ，b n =u u r．对2a b +=r r ，4a b -=r r 两边平方，可得2210m n +=，再利用向基本不等式的性质即可得出． 【详解】设a m =r ，b n =r ，a b θ<>=r r ，. 2a b +=Q r r ，4a b -=r r， 222cos 4m n mn θ∴++=，222cos 16m n mn θ+-=， 2210m n ∴+=，则4a b ≤+≤=r ra b ∴+r r的范围是4,⎡⎣.故答案为：4,⎡⎣.【点睛】本题主要考查向量的模的运算.（1）向量的平方等于模的平方： 0a a a a cos r r r r g⋅=2a a a =⋅=，（2）基本不等式及其有关变形：0,0)2a ba b +>>当且仅当a b =时取等号. 15．在ABC ∆中，AD 为BC 上的中线，1AB =，5AD =，45ABC ∠=︒，则sin ADC ∠=________，AC =________.【解析】由已知在ABD ∆中，利用正弦定理可得sin ADB ∠，进而可求sin ADC ∠的值，在ABD ∆中，由余弦定理解得BD ，可求BC ，由余弦定理可得AC 的值.【详解】1AB =Q ，5AD =，45ABC ∠=︒， ∴在ABD ∆中，由正弦定理可得：1sin 2sin 5AB ABCADB AD⨯⋅∠∠===sin sin 10ADC ADB ∴∠=∠=. Q 在ABD ∆中，由余弦定理2222cos AD AB BD AB AD ABC =+-⋅⋅∠，可得：2251212BD BD =+-⨯⨯⨯，即：2240BD -=， ∴解得：BD =-2BC BD ∴==，∴由余弦定理可得：AC ===故答案为：10【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在平面几何中的综合应用. 平面几何中解三角形问题的求解思路:(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 16．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12x x <，有1212()()1f x f x x x ->--，且(1)1f =，则不等式22(log 31)2log 31x x f -<--的解集为________.【答案】(,0)(0,1)-∞U【解析】由条件()()12121f x f x x x ->--移项变形得112212[()][()]0f x x f x x x x +-+>-， 则()()g x f x x =+在R 上为增函数，再把问题不等式转化为()g x 函数不等式，利用单调性求解. 【详解】根据题意，设()()g x f x x =+，若函数()f x 满足对任意12x x <，有()()12121f x f x x x ->--，则112212[()][()]0f x x f x x x x +-+>-，则函数()g x 在R 上为增函数，又由(1)1f =，则(1)112g =+=，2222(log 31)2log 31(log 31)log 312x x x x f f -<--⇒-+-< 22(log 31)(1)log 311x x g g ⇒-<⇒-<，则有0312x<-<，解可得：1x <且0x ≠，即不等式的解集为(,0)(0,1)-∞U ； 故答案为：(,0)(0,1)-∞U . 【点睛】(())(())f g x f h x >不等式的解法：利用函数性质得到(())y f g x = 函数的单调性利用利用单调性去掉“f ”原不等式化为()()g x h x >或()()g x h x <从而得解. 17．在ABC ∆中，4AB =，5AC =，3BAC π∠=，H 为ABC ∆内一点，::2:3:5HAB HCB HAC S S S ∆∆∆=，则HA HC ⋅=u u u r u u u r________.【答案】92-【解析】根据题意建立平面直角坐标系，利用数形结合与面积的比求出点H 的坐标，再用坐标表示出向量，从而求出平面向量的数量积． 【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示；则(0,0)A ，(4,0)B ，(5cos 60,5sin 60)C ︒︒，即5(,22C ； 又::2:3:5HAB HCB HAC S S S ∆∆∆=，15HAB ABC S S ∆∆∴=，作HE AB ⊥于E ，则H的纵坐标15y HE ===； 又12HAC ABC S S ∆∆=，作HF AC ⊥于F ，则1sin602HF AB =⨯⨯︒= 设HAE α∠=，则sin 2HA α=，…①sin(60)HA α︒-=…②sin(60)2sin αα︒-∴=，即1sin 222sin ααα-=求得sin tan s co ααα==， ∴点H的横坐标tan 52HE x AE α====，(25H ∴，5(,22HA ∴=--u u u r ，(0,HC =u u u r ， 50()322HA HC ∴⋅=-⨯+-⨯=-u u u r u u u r .故答案为： 3-【点睛】本题考查平面向量与几何综合问题 其求解方法：(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．三、解答题18．已知α，β为锐角，且1tan 7α=，sin 10β=. （1）求sin()αβ+； （2）求2αβ+.【答案】(1)(2) 4π【解析】分析：(1) 先根据同角三角函数关系得sin α=，cos α=，cos β=，再根据两角和正弦公式化简得结果，(2) 根据二倍角公式得sin2β，cos2β，再根据两角和余弦公式得()cos 2αβ+，最后根据范围求结果.详解： 由于,αβ为锐角，1tan 7α=，sin 10β=∴sin 10α=，cos 10α=，cos 10β=，sin()sin cos cos sin 101010105αβαβαβ+=+=⨯+=（2）3sin22sin cos 25βββ===，24cos212sin 5ββ=-=，∴()43cos 255αβ+=-=由于,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴24παβ+= 点睛：在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数.①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是π(0,)2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0,π)，选余弦函数较好；若角的范围为ππ(,)22-，选正弦函数较好 19．已知(2sin ,1)a x =+r ，(2,2)b =-r ，(sin 3,1)c x =-r ，(1,)(,)d k x R k R =∈∈u r.（1）若[,]22x ππ∈-，且//()a b c +r r r，求x 的值；（2）是否存在实数k 和x ，使()()a d b c +⊥+r u r r r？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）6π-；（2）存在，[5,1]--.【解析】（1）先根据2231b c sinx =-=-r r （，），（，），求出b c +r r的坐标，再根据()a b c ⋅+r r r ，找到向量坐标满足的关系式，根据x 的范围，就可求出x 的值.（2）先假设存在实数k 和x ，使()()a d b c +⊥+r u r r r ，则可得()a d b c +⋅+r u r r r()=0，再用向量数量积的坐标公式计算，若能解出k 的值，则存在，否则不存在. 【详解】（1）(2,2)b =-r Q ，(sin 3,1)c x =-r，(sin 1,1)b c x ∴+=--r r ，//()a b c +r r r Q ，(2sin )sin 1x x ∴-+=-，2sin 1x ∴=-，1sin 2x =-，[,]22x ππ∈-Q ，6x π∴=-.（2）(3sin ,1)a d x k +=++r u r ，(sin 1,1)b c x +=--r r若()()a d b c +⊥+r u r r r ，即(3sin )(sin 1)(1)0x x k +--+=，2sin 2sin 4sin [1,1]k x x x =+-=∈-，sin 1[0,2]x +∈，()2sin 15x +-，x ∈R ，2(sin 1)[0,4]x +∈，[5,1]k ∈--，存在[5,1]k ∈--使()()a d b c +⊥+r u r r r.【点睛】本题主要考查了平面向量、三角函数有关知识.平面向量平行、垂直与三角函数综合问题求解思路：利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解．20．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知22222202b c a ca b c b c+-+=+-+. （1）求角A 的值；（2）若2a =，求三角形周长的取值范围. 【答案】（1）23π；（2）2]+. 【解析】（1）由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求cosA ，结合A 的范围可求A 的值. （2）由正弦定理可求33c sinC b sinB ==，，设周长为y，利用三角函数恒等变换的应用化简得()23y sin B π=++，可求范围2333B πππ<+<，利用正弦函数的性质可求取值范围.【详解】（1）22222202b c a ca b c b c+-+=+-+Q ， ∴由余弦定理可得：2cos 02cos 2bc A cab C b c +=+，∴由正弦定理可得：sin cos sin 0sin cos 2sin sin C A CA CB C+=+，整理可得：02sin cos sin cos cos sin B A C A C A =++， 02sin cos sin B A B ∴=+， sin 0B >Q ， ∴可得：1cos 2A =-，()0,A π∈Q ， 23A π∴=（2）2a =Q ，23A π=，22sin sin 3sin 3b c B C π===Q，sin 3c C ∴=，b B =， 设周长为y ，则y a c b =++2B C =+2sin()333B B π=++-22cos 3B B =++，)233B π=++， 03B π<<Q ，2333B πππ∴<+<，sin()123B π∴<+≤，)2(4,2]333y B π∴=++∈+. ∴周长的取值范围是2]+.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的灵活运用. 三角形中最值范围问题的解题思路：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大． 21．已知定义在[]22-,上的偶函数()f x 满足：当[]0,2x ∈时，()f x x =-+（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()20g x ax a a =-->，若对于任意的[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）()[)[]2,00,2x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩；（2）02a <<. 【解析】【详解】试题分析： （1）当[]2,0x ∈-时，[]0,2x -∈，从而()f x x -=+()f x 为偶函数可得()f x 在[]2,0-上的解析式，进而可得()f x 在[]22-,上的解析式．（2）将问题转化为()()max min g x f x <处理．由于()f x 为偶函数，故只可求出当[]2,0x ∈-时()f x 的最小值即可，可得()min 0f x =．又()()max 22g x g a ==-，由20a -<，得2a <，即为所求．试题解析： （1）设[]2,0x ∈-，则[]0,2x -∈，∴()f x x -=+∵()f x 定义[]2,2x ∈-在偶函数， ∴()()f x f x x =-=+∴()[)[]2,00,2x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩ ． （2）由题意得“对任意[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立”等价于“()()max min g x f x <”．又因为()f x 是定义在[]22-,上的偶函数. 所以()f x 在区间[]2,0-和区间[]0,2上的值域相同.当[]2,0x ∈-时，()f x x =+设t =t ⎡∈⎣令22()23(1)4,h t t t t t ⎡=+-=+-∈⎣，则当1t =时，函数()h t 取得最小值(1)0h =，所以()min 0f x =．又()()max 22gx g a ==-由20a -<，解得2a <， 因此实数a 的取值范围为()0,2.点睛：（1）利用偶函数的性质可求函数的解析式，对于偶函数的值域根据其对称性只需求在y 轴一侧的值域即可，体现了转化的思想在解题中的应用． （2）本题中，将“对任意[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立”转化为“()()max min g x f x <”来处理，是数学中常用的解题方法，这一点要好好体会和运用．（3）形如y ax b =+±22．已知向量,cos )a x x ωω=r ，(sin ,cos )b x x ωω=-r ，且函数()f x a b =⋅r r 的两个对称中心之间的最小距离为2π. （1）求()3f π；（2）若函数()1()2xG x m =+-在[0,]π上恰有两个零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）12；（2）[1,1)2--. 【解析】(1)根据向量数量积的定义结合辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性质求出的周期和ω即可.(2)求出函数()Gx 的解析式，利用参数法，结合三角函数的图象和性质进行求解即可. 【详解】（1）()21()sin cos 21cos 222f x a b x x x x x ωωωωω=⋅=-=-+r r112cos 2222ωx ωx =-- 1sin(2)62x πω=--， Q 函数()f x a b =⋅r r 的两个对称中心之间的最小距离为2π， 22T π∴=，得T π=， 即22Tππω==，得1ω=， 即()1sin(2)62f x x π=--. 则111()sin(2)1336222f πππ=⨯--=-=；（2）函数1()1()1)]0262x G x m m x π=+=+--=，得)162m x π=---，当0x π≤≤时，5666x πππ-≤-≤， 当5666x πππ≤-≤且62x ππ-≠时，sin()6y x π=-才有两个交点，此时1sin()126x π≤-<，则)26x π≤-<即0)622x π≤--<，1)11622x π-≤---<-，即112m -≤<-，即实数m 的取值范围是[1,1)2--. 【点睛】本题主要考查了三角函数图象与性质的综合问题.先将()y f x ＝化为si (n )y A x B w j ＝＋＋的形式，再借助(n )si y A x w j ＝＋的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题,注意活用辅助角公式准确化简；“x ωϕ＋”整体处理；数形结合，分离参数，活用函数图象．。
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一(下)期末数学试卷
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期末数学试卷试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）如图是一个正四棱锥.它的俯视图是（）A.B.C.D.2.（单选题.4分）已知点（1.a）（a＞0）到直线l：x+y-2=0的距离为1.则a的值为（）A. √2B. 2−√2C. √2−1D. √2+13.（单选题.4分）如图.正方体ABCD-A1B1C1D1中.直线AB1与BC1所成角为（）A.30°B.45°C.60°4.（单选题.4分）在直角梯形ABCD中.AB || CD.AB⊥BC.AB=5.BC=4.CD=2.则梯形ABCD绕着BC旋转而成的几何体的体积为（）A.52πB. 1163πC. 1003πD. (28+4√10)3π5.（单选题.4分）已知直线倾斜角的范围是α∈[π3，π2)∪(π2，2π3] .则此直线的斜率的取值范围是（）A. [−√3，√3]B. (−∞，−√3]∪[√3，+∞)C. [−√33，√33]D. (−∞，−√33]∪[√33，+∞)6.（单选题.4分）正三角形ABC的边长为2cm.如图.△A'B'C'为其水平放置的直观图.则△A'B'C'的周长为（）A.8cmB.6cmC. (2+√6) cmD. (2+2√3) cm7.（单选题.4分）一个几何体的三视图如图所示.则该几何体的外接球的体积为（）A.24πC.8 √6 πD. √6 π8.（单选题.4分）已知m.n 表示两条不同的直线.α.β.γ表示三个不同的平面.给出下列四个命题： ① α∩β=m .n⊂α.n⊥m .则α⊥β； ② α⊥β.α∩γ=m .β∩γ=n .则m⊥n ； ③ α⊥β.α⊥γ.β∩γ=m .则m⊥α； ④ m⊥α.n⊥β.m⊥n .则α⊥β 其中正确命题的序号为（ ） A. ① ② B. ② ③ C. ③ ④ D. ② ④9.（单选题.4分）若实数x.y 满足不等式组 {y ≥0x +y ≤3x −y ≥−1 .则z=2|x|-y 的最小值是（ ）A.-1B.0C.1D.210.（单选题.4分）已知圆Γ1与Γ2交于两点.其中一交点的坐标为（3.4）.两圆的半径之积为9.x 轴与直线y=mx （m ＞0）都与两圆相切.则实数m=（ ） A. 158 B. 74 C.2√35 D. 3511.（填空题.6分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1.O 2.过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形.则该圆柱的表面积为___ .体积为___ ．12.（填空题.6分）若直线y=kx+1-2k 与曲线 y =√1−x 2 有交点.则实数k 的最大值为___ .最小值为___ ．13.（填空题.6分）若过点（1.1）的直线l 被圆x 2+y 2=4截得的弦长最短.则直线l 的方程是___ .此时的弦长为___ ．14.（填空题.6分）已知点P（2.1）和圆C：x2+y2+ax-2y+2=0.若点P在圆C上.则实数a=___ ；若点P在圆C外.则实数a的取值范围为 ___ ．.过空间一点O的直线l与直线a.b所成角均为θ. 15.（填空题.4分）异面直线a.b所成角为π3若这样的直线l有且只有两条.则θ的取值范围为___ ．16.（填空题.4分）在棱长均为2的三棱锥A-BCD中.E、F分别AB、BC上的中点.P为棱BD上的动点.则△PEF周长的最小值为___ ．17.（填空题.4分）在三棱锥P-ABC中.AB⊥BC.PA=PB=2. PC=AB=BC=2√2 .作BD⊥PC交PC于D.则BD与平面PAB所成角的正弦值是___ ．18.（问答题.14分）正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等.E为PC中点．（1）求证：PA || 平面BDE；（2）求异面直线PA与DE所成角的余弦值．19.（问答题.15分）已知圆C：（x-2）2+（y-3）2=2．（1）过原点O的直线l被圆C所截得的弦长为2.求直线l的方程；（2）过圆C外的一点P向圆C引切线PA.A为切点.O为坐标原点.若|PA|=|OP|.求使|PA|最短时的点P坐标．20.（问答题.15分）如图.在四棱锥P-ABCD中.PA⊥底面ABCD.AD⊥AB.AB ||DC.AD=DC=AP=2.AB=1.点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．21.（问答题.15分）如图.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.M是AB的中点.E在CC1上.且CE=2C1E．（1）求证：AC1⊥平面A1BD；（2）在线段DD1上存在一点P.DP=λD1P.若PB1 || 平面DME.求实数λ的值．22.（问答题.15分）已知点A（1.0）.B（4.0）.曲线C上任意一点P满足|PB|=2|PA|．（1）求曲线C的方程；（2）设点D（3.0）.问是否存在过定点Q的直线l与曲线C相交于不同两点E.F.无论直线l如何运动.x轴都平分∠EDF.若存在.求出Q点坐标.若不存在.请说明理由．2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：1501.（单选题.4分）如图是一个正四棱锥.它的俯视图是（）A.B.C.D.【正确答案】：D【解析】：该几何体直观图为一个正四棱锥.所以其俯视图轮廓为正方形.并且能够看到其四个侧棱.构成正方形的对角线.只有D选项符合．【解答】：解：该几何体直观图为一个正四棱锥.所以其俯视图轮廓为正方形.并且能够看到其四个侧棱.构成正方形的对角线.故选：D．【点评】：本题考查了由正四棱锥的直观图得到其俯视图.属于基础题．2.（单选题.4分）已知点（1.a）（a＞0）到直线l：x+y-2=0的距离为1.则a的值为（）A. √2B. 2−√2C. √2−1D. √2+1【正确答案】：D【解析】：利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】：解：点（1.a）（a＞0）到直线l：x+y-2=0的距离为1.=1.解得a=1+ √2∴ |1+a−2|√2故选：D．【点评】：本题考查了点到直线的距离公式.考查了推理能力.属于基础题．3.（单选题.4分）如图.正方体ABCD-A1B1C1D1中.直线AB1与BC1所成角为（）A.30°B.45°C.60°D.90°【正确答案】：C【解析】：由AB1 || DC1.知∠DC1B是直线AB1与BC1所成角.由此能求出直线AB1与BC1所成角．【解答】：解：∵AB1 || DC1.∴∠DC1B是直线AB1与BC1所成角.∵△BDC1是等边三角形.∴直线AB1与BC1所成角60°．故选：C．【点评】：本题考查异面直线所成角的大小的求法.是基础题.解题时要注意空间思维能力的培养．4.（单选题.4分）在直角梯形ABCD中.AB || CD.AB⊥BC.AB=5.BC=4.CD=2.则梯形ABCD绕着BC旋转而成的几何体的体积为（）A.52ππB. 1163πC. 1003πD. (28+4√10)3【正确答案】：A【解析】：梯形ABCD绕着BC旋转而成的几何体是圆台.圆台的高h=BC=4.上底面圆半径r=CD=2.下底面圆半径R=AB=5.由此能求出梯形ABCD绕着BC旋转而成的几何体的体积．【解答】：解：梯形ABCD绕着BC旋转而成的几何体是圆台.圆台的高h=BC=4.上底面圆半径r=CD=2.下底面圆半径R=AB=5.∴梯形ABCD绕着BC旋转而成的几何体的体积：V= 1πh（R2+Rr+r2）3π×4×（25+10+4）= 13=52π．故选：A．【点评】：本题考查旋转体的体积的求法.考查圆台的体积公式等基础知识.考查运算求解能力.考查数形结合思想.是中档题．5.（单选题.4分）已知直线倾斜角的范围是α∈[π3，π2)∪(π2，2π3] .则此直线的斜率的取值范围是（）A. [−√3，√3]B. (−∞，−√3]∪[√3，+∞)C. [−√33，√33]D. (−∞，−√33]∪[√33，+∞)【正确答案】：B【解析】：根据题意.由直线的斜率与倾斜角的关系k=tanα.结合正切函数的性质分析可得答案．【解答】：解：根据题意.直线倾斜角的范围是α∈[π3，π2)∪(π2，2π3] .其斜率k=tanα.则k≤- √3或k≥ √3 .即k的取值范围为（-∞.- √3）∪（√3 .+∞）；故选：B．【点评】：本题考查直线的倾斜角与斜率的关系.注意直线斜率的计算公式.属于基础题．6.（单选题.4分）正三角形ABC的边长为2cm.如图.△A'B'C'为其水平放置的直观图.则△A'B'C'的周长为（）A.8cmB.6cmC. (2+√6) cmD. (2+2√3) cm【正确答案】：C【解析】：根据平面图形的直观图画法.利用余弦定理求出B′C′和A′C′.再计算△A'B'C'的周长．【解答】：解：正△ABC 的边长为2cm.则它的直观图△A'B'C'中.A′B′=2.O′C′= 12 •2•sin60°= √32； ∴B′C′2=O′B′2+O′C′2-2O′B′•O′C′•cos45°=1+ 34 -2×1× √32 × √22 = 7−2√64 = (√6−12)2 . ∴B′C′= √6−12； 又A′C′2=O′A′2+O′C′2-2O′A′•O′C′•cos135°=1+34-2×1× √32 ×（- √22 ）= 7+2√64 = (√6+12)2. ∴A′C′=√6+12； ∴△A'B'C'的周长为2+ √6−12 + √6+12=（2+ √6 ）（cm ）． 故选：C ．【点评】：本题考查了平面图形的直观图画法与应用问题.也考查了余弦定理的应用问题.是基础题．7.（单选题.4分）一个几何体的三视图如图所示.则该几何体的外接球的体积为（ ）A.24πB.6πC.8 √6 πD. √6 π【正确答案】：D【解析】：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥.求出其外接球的半径.代入球的体积公式.可得答案．【解答】：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥. 其四个顶点是以俯视图为底面.以1为高的三棱锥的四个顶点.如图是长方体的一部分. 故其外接球.相当于一个长2.宽1.高1的长方体的外接球.故外接球的半径R 12×√12+22+12 = √62 .故球的体积V= 43π×(√62)3= √6π.故选：D．【点评】：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积.解决本题的关键是得到该几何体的形状．8.（单选题.4分）已知m.n表示两条不同的直线.α.β.γ表示三个不同的平面.给出下列四个命题：① α∩β=m.n⊂α.n⊥m.则α⊥β；② α⊥β.α∩γ=m.β∩γ=n.则m⊥n；③ α⊥β.α⊥γ.β∩γ=m.则m⊥α；④ m⊥α.n⊥β.m⊥n.则α⊥β其中正确命题的序号为（）A. ① ②B. ② ③C. ③ ④D. ② ④【正确答案】：C【解析】：根据空间线面关系的定义及几何特征.逐一分析给定四个命题的真假.可得答案．【解答】：解：① α∩β=m.n⊂α.n⊥m.则n⊥β不一定成立.进而α⊥β不一定成立.故错误；② 令α.β.γ为底面为直角三角形的三棱柱的三个侧面.且α⊥β.α∩γ=m.β∩γ=n.则m || n.即m⊥n不一定成立.故错误；③ α⊥β.α⊥γ.β∩γ=m.则m⊥α.故正确；④ 若m⊥α.m⊥n.则n || α.或n⊂α.又由n⊥β.则α⊥β.故正确；故选：C．【点评】：本题考查的知识点是空间线面关系.命题的真假判断与应用.难度中档．9.（单选题.4分）若实数x.y 满足不等式组 {y ≥0x +y ≤3x −y ≥−1.则z=2|x|-y 的最小值是（ ） A.-1B.0C.1D.2【正确答案】：A【解析】：画出可行域.求出A.B 、C 坐标.利用角点法求解即可．【解答】：解：画出实数x.y 满足不等式组 {y ≥0x +y ≤3x −y ≥−1的可行域如图所示. 可得B （1.2）A （-1.0）.C （3.0）.D （0.1）当目标函数z=2|x|-y 经过点D （0.1）时.z 的值为-1.故选：A ．【点评】：本题考查线性规划的简单应用.角点法求法具体目标函数的最值的求法的应用.考查数形结合思想以及计算能力．10.（单选题.4分）已知圆Γ1与Γ2交于两点.其中一交点的坐标为（3.4）.两圆的半径之积为9.x 轴与直线y=mx （m ＞0）都与两圆相切.则实数m=（ ）A. 158B. 74C. 2√35D. 35【正确答案】：A【解析】：设直线y=tx.设两圆与x 轴的切点分别为x 1.x 2.由题意得到 (3−x 1)2+(4−tx 1)2=(tx 1)2 .(3−x 2)2+(4−tx 2)2=(tx 2)2 . |tx 1|•|tx 2|=|x 1x 2|t 2=9 .进一步得到x 1.x 2是方程（3-x ）2+（4-tx ）2=（tx ）2的两根.求得t 值.从而求出m 的值．【解答】：解：∵两切线均过原点.∴连心线所在直线经过原点.该直线设为y=tx.设两圆与x 轴的切点分别为x 1.x 2.则两圆方程分别为： {(x −x 1)2+(y −tx 1)2=(tx 1)2(x −x 2)2+(y −tx 2)2=(tx 2)2. ∵圆Γ1与Γ2交点的坐标为P （3.4）.∴P （3.4）在两圆上．∴ (3−x 1)2+(4−tx 1)2=(tx 1)2 ① .(3−x 2)2+(4−tx 2)2=(tx 2)2 ② .又两圆半径之积为9.∴ |tx 1|•|tx 2|=|x 1x 2|t 2=9 ③ .联立 ① ② ③ .可得x 1.x 2是方程（3-x ）2+（4-tx ）2=（tx ）2的两根.化简得x 2-（6+8t ）x+25=0.即x 1x 2=25．代入 ③ .得 t 2=925 .即t= 35 ．由于所求直线的倾斜角是连心线所在直线倾斜角的两倍.即m= 2t 1−t 2 ．∴m= 158 ．故选：A ．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系.考查推理论证能力、运算求解能力.考查化归与转化思想、函数与方程思想.是中档题．11.（填空题.6分）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1.O 2.过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形.则该圆柱的表面积为___ .体积为___ ．【正确答案】：[1]6π; [2]2π【解析】：利用圆柱的截面是面积为4的正方形.求出圆柱的底面直径与高.然后求解圆柱的表面积．【解答】：解：设圆柱的底面直径为2R.则高为2R.圆柱的上、下底面的中心分别为O 1.O 2.过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形.∴4R2=4.解得R=1.∴该圆柱的表面积S=π×12×2+2×π×1×2=6π.体积V=π×12×2=2π．故答案为：6π.2π．【点评】：本题考查圆柱的表面积、体积的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．12.（填空题.6分）若直线y=kx+1-2k与曲线y=√1−x2有交点.则实数k的最大值为___ .最小值为___ ．【正确答案】：[1]1; [2]0【解析】：直线y=kx+1-2k.即y=k（x-2）+1经过定点P（2.1）．曲线y=√1−x2表示圆x2+y2=1的上半部分.A（1.0）.B（0.1）．∵直线y=kx+1-2k与曲线y=√1−x2有交点.利用斜率的意义即可得出．实数k的最大值为k PA.最小值为k PB．【解答】：解：直线y=kx+1-2k.即y=k（x-2）+1经过定点P（2.1）．曲线y=√1−x2表示圆x2+y2=1的上半部分.A（1.0）.B（0.1）．∵直线y=kx+1-2k与曲线y=√1−x2有交点.=1.最小值为k PB=0．则实数k的最大值为k PA= 1−02−1故答案为：1.0．【点评】：本题考查了直线与圆的方程、斜率的几何意义、数形结合方法.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．13.（填空题.6分）若过点（1.1）的直线l被圆x2+y2=4截得的弦长最短.则直线l的方程是___ .此时的弦长为___ ．【正确答案】：[1]x+y=2; [2] 2√2 【解析】：联立直线与圆后韦达定理求解弦长.求出k 值即可． 【解答】：解：直线I 的方程为y-1=k （x-1）.与圆联立可得出两点M.N.即x 2+（kx-k+1）2=4.韦达定理求解得 x 1+x 2=2k 2−2k k 2+1 . x 1•x 2=k 2−2k−3k 2+1 .MN= √k 2+1√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 = √43k 2+2k+3k 2+1 = 2√(k+1)2k 2+1+2 .当k=-1时.MN 最短.直线I 为x+y=2.弦长为 2√2 .故填：x+y=2； 2√2 ．【点评】：本题主要考查韦达定理的运用.以及两点间距离公式.属于中档题．14.（填空题.6分）已知点P （2.1）和圆C ：x 2+y 2+ax-2y+2=0.若点P 在圆C 上.则实数a=___ ；若点P 在圆C 外.则实数a 的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1]- 52 ; [2]-2＞a - 52 或a ＞2【解析】：根据点与圆的直角坐标关系求解即可．【解答】：解： ① P 在圆C 上.将P 点代入圆的方程.即22+12+a•2-2+2=0.解得a=- 52 .代入圆检验成立.② P 在圆C 外.则22+12+a•2-2+20.解得a - 52 .圆的方程为 (x +a 2)2+(y −1)2=a 24−1 . ∴ a 24−1＞0 .解得a ＞2或a ＜-2.∴-2＞a - 52或a ＞2.故答案为:- 52 ；-2＞a - 52 或a ＞2．【点评】：本题主要考查点与圆的直角坐标关系.熟知点在圆上和圆外的关系是解决本题的关键．15.（填空题.4分）异面直线a.b 所成角为 π3 .过空间一点O 的直线l 与直线a.b 所成角均为θ.若这样的直线l 有且只有两条.则θ的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（ π6 . π3 ）【解析】：由最小角定理可得：θ的取值范围为 π6 ＜θ＜π3 .得解．【解答】：解：由最小角定理可得：异面直线a.b所成角为π3.过空间一点O的直线l与直线a.b所成角均为θ.若这样的直线l有且只有两条.则θ的取值范围为：π6＜θ ＜π3.故答案为：（π6 . π3）．【点评】：本题考查了最小角定理.属简单题．16.（填空题.4分）在棱长均为2的三棱锥A-BCD中.E、F分别AB、BC上的中点.P为棱BD 上的动点.则△PEF周长的最小值为___ ．【正确答案】：[1]1+ √3【解析】：首先把空间图形转换为平面图形.进一步利用余弦定理的应用求出三角形的边长.最后求出三角形周长的最小值．【解答】：解：棱长均为2的三棱锥A-BCD中.E、F分别AB、BC上的中点.首先把三棱锥转换为平面图形.即转换为平面图形在平面展开图.棱长均为2的三棱锥A-BCD中.EF分别为AB.BC的中点（中位线定理）得EF=1.因为所求周长最小为PE+PF+EF的值.所以要求PE+PF的值最小故EF2=BE2+BF2-2BE•BF•cos120°.由于BE=BF=1.解得EF= √3 .由于E、F分别为AB.BC的中点（中位线定理）得EF=1.所以△PEF周长的最小值1+ √3．故答案为：1+ √3【点评】：本题考查的知识要点：空间图形和平面图形之间的转换.解三角形的应用.余弦定理的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题型．17.（填空题.4分）在三棱锥P-ABC中.AB⊥BC.PA=PB=2. PC=AB=BC=2√2 .作BD⊥PC交PC于D.则BD与平面PAB所成角的正弦值是___ ．【正确答案】：[1] √2114【解析】：取AB中点E.AC中点F.连接EF.PE.AF. AP=PB=2，AB=2√2 .可得cos ∠PAC=−PC2+AP2+AC22AP•AC = 34．PF= √AP2+AF2−2AP•AFcos∠PAC = √2 .求得点C到面ABP的距离.即可得点D到面ABP的距离.即可得BD与平面PAB所成角的正弦值．【解答】：解：如图.取AB中点E.AC中点F.连接EF.PE.AF.∵ AP=PB=2，AB=2√2 .∴PE= √2．∵AB⊥BC.AB=BC=2 √2 .∴AC=4.在△APC中.余弦定理可得cos ∠PAC=−PC 2+AP2+AC22AP•AC= 34．在△APF中.余弦定理可得PF= √AP2+AF2−2AP•AFcos∠PAC = √2 . 在△PEF中.PE=PF=EF= √2．且AB⊥面PEF.过F作FO⊥EP.易得FO⊥面ABP.且FO= √62.∴点C到面ABP的距离为√6 .∵ S△△PBC=12×2×√8−1=√7．∴ 1 2×PC×BD=√7 .∴ BD=√142.PD= √22.∴PD：PC=1：4.∴点D到面ABP的距离为√64．故BD与平面PAB√64√142= √2114.故答案为：√2114．【点评】：本题考查考查空间中线线、线面间的位置关系.考查几何法求线面角.属于难题．18.（问答题.14分）正四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等.E为PC中点．（1）求证：PA || 平面BDE；（2）求异面直线PA与DE所成角的余弦值．【正确答案】：【解析】：（1）由线面平行的判定定理得：OE || PA.又OE⊂面EBD.故AP || 面BDE. （2）由异面直线所成角的求法得：∠DEO为异面直线PA与DE所成的角.设AB=2.则EO=1.OD= √2 .DE= √3 .则cos∠DEO= OEDE =√3= √33.得解．【解答】：解：（1）连接AC. 设AC.BD的交点为O.连接OE.因为OE || PA.PA⊄面EBD.又OE⊂面EBD.故AP || 面BDE.（2）由（1）可得：∠DEO为异面直线PA与DE所成的角. 设AB=2.则EO=1.OD= √2 .DE= √3 .由勾股定理可得：△ODE为直角三角形.则cos∠DEO= OEDE = 1√3= √33.故异面直线PA与DE所成角的余弦值为√33．【点评】：本题考查了线面平行的判定定理及异面直线所成角的求法.属中档题．19.（问答题.15分）已知圆C：（x-2）2+（y-3）2=2．（1）过原点O的直线l被圆C所截得的弦长为2.求直线l的方程；（2）过圆C外的一点P向圆C引切线PA.A为切点.O为坐标原点.若|PA|=|OP|.求使|PA|最短时的点P坐标．【正确答案】：【解析】：（1）由题意设出直线方程.利用垂径定理列式求解；（2）由两点间距离公式及切线长公式.可由|PA|=|PO|得到.化简可得x= 114−32y .则|PA|=|PO|=√x2+y2 = √(114−32y)2+y2 .然后利用配方法求解．【解答】：（1）原点O在圆C：（x-2）2+（y-3）2=2外.可得直线l的斜率存在. 设直线方程为y=kx.即kx-y=0．由直线l被圆C所截得的弦长为2.得圆心（2.3）到直线的距离为1．由 |2k−3|√k 2+1=1 .解得k= 6±2√33 ． ∴直线l 的方程为y= 6−2√33x 或y= 6+2√33x ； （2）由圆的切线长公式可得|PA|2=|PC|2-R 2=（x-2）2+（y-3）2-2.由|PA|=|PO|得.（x-2）2+（y-3）2-2=x 2+y 2.即4x+6y-11=0.即x= 114−32y .此时|PA|=|PO|= √x 2+y 2 = √(114−32y)2+y 2 = 12√13(y −3326)2+12113 . ∴当y= 3326 .即P （ 1113 . 3326 ）时.|PA|最短．【点评】：本题考查直线与圆的位置关系.考查分析解决问题的能力.考查计算能力.考查数学转化思想方法.属于中档题．20.（问答题.15分）如图.在四棱锥P-ABCD 中.PA⊥底面ABCD.AD⊥AB .AB ||DC.AD=DC=AP=2.AB=1.点E 为棱PC 的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC ；（Ⅱ）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）取PD 中点M.连接EM.AM ．由已知得四边形ABEM 为平行四边形.由此能证明BE⊥CD ．（Ⅱ）连接BM.由已知条件推导出∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角.由此能求出直线BE 与平面PBD 所成的角的正弦值．【解答】：（Ⅰ）证明：如图.取PD 中点M.连接EM.AM ．由于E.M 分别为PC.PD 的中点.故EM || DC.且EM= 12DC .又由已知.可得EM || AB.且EM=AB.故四边形ABEM 为平行四边形.所以BE || AM ．因为PA⊥底面ABCD.故PA⊥CD .而CD⊥DA .从而CD⊥平面PAD.因为AM⊂平面PAD.于是CD⊥AM .又BE || AM.所以BE⊥CD ．…（6分）（Ⅱ）解：连接BM.由（Ⅰ）有CD⊥平面PAD.得CD⊥PD .而EM || CD.故PD⊥EM ．又因为AD=AP.M 为PD 的中点.故PD⊥AM .可得PD⊥BE .所以PD⊥平面BEM.故平面BEM⊥平面PBD ．所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线BM.而BE⊥EM .可得∠EBM 为锐角.故∠EBM 为直线BE 与平面PBD 所成的角．…（9分）依题意.有PD=2 √2 .而M 为PD 中点.可得AM= √2 .进而BE= √2 ．故在直角三角形BEM 中.tan∠EBM= EM BE =AB BE =√2=√22 . 所以直线BE 与平面PBD√2√2+4 = √33 ．…（12分）【点评】：本题考查异面直线垂直的证明.考查直线与平面所成角的正切值的求法.解题时要认真审题.注意空间思维能力的培养．21.（问答题.15分）如图.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中.M 是AB 的中点.E 在CC 1上.且CE=2C 1E ．（1）求证：AC 1⊥平面A 1BD ；（2）在线段DD 1上存在一点P.DP=λD 1P.若PB 1 || 平面DME.求实数λ的值．【正确答案】：【解析】：（1）以D 为原点.分别以DA.DC.DD 所在直线为x.y.z 轴.建立空间直角坐标系.利用向量法能证明AC 1⊥平面A 1BD ．（2）设DP=t （0≤t≤6）.求出平面DME 的法向量.利用向量法能求出λ的值．【解答】：证明：（1）以D 为原点.分别以DA.DC.DD 所在直线为x.y.z 轴.建立空间直角坐标系.设AB=6.则A （6.0.0）.C 1（0.6.6）.A 1（6.0.6）.B （6.6.0）.D （0.0.0）.AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-6.6.6）. DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（6.0.6）. DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（6.6.0）.AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.∴AC 1⊥DA 1.AC 1⊥DB .∵DA 1∩DB=D .∴AC 1⊥平面A 1BD ．解：（2）在线段DD 1上存在一点P.DP=λD 1P.设DP=t （0≤t≤6）.则P （0.0.t ）.B 1（6.6.6）.M （6.3.0）.E （0.6.4）.PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（6.6.6-t ）. DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（6.3.0）. DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.6.4）.设平面DME 的法向量 n ⃗ =（x.y.z ）.则 {n ⃗ •DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =6x +3y =0n ⃗ •DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =6y +4z =0.取x=1.得 n ⃗ =（1.-2.3）. ∵PB 1 || 平面DME.∴ PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •n⃗ =6-12+18-3t=0.解得t=4. ∴λ=2．【点评】：本题考查线面垂直的证明.考查实数值的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．22.（问答题.15分）已知点A （1.0）.B （4.0）.曲线C 上任意一点P 满足|PB|=2|PA|．（1）求曲线C 的方程；（2）设点D （3.0）.问是否存在过定点Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点E.F.无论直线l 如何运动.x 轴都平分∠EDF .若存在.求出Q 点坐标.若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设P （x.y ）.由|PB|=2|PA|．可得 √(x −4)2+y 2 =2 √(x −1)2+y 2 .化简即可得出．（2）设存在定点Q 满足条件.设直线l 的方程为y=kx+b ．设E （x 1.y 1）.F （x 2.y 2）．直线l 的方程与圆的方程联立化为：（1+k 2）x 2+2kbx+b 2-4=0.由无论直线l 如何运动.x 轴都平分∠EDF .可得k DE +k DF =0.可得 y 1x 1−3 + y 2x 2−3=0．（kx 1+b ）（x 2-3）+（kx 2+b ）（x 1-3）=0.利用根与系数的关系代入即可得出．直线的斜率不存在直线过定点Q 时.满足题意．【解答】：解：（1）设P （x.y ）.∵|PB|=2|PA|．∴ √(x −4)2+y 2 =2 √(x −1)2+y 2 .化为：x 2+y 2=4．（2） ① 设存在定点Q 满足条件.设直线l 的方程为y=kx+b ．设E （x 1.y 1）.F （x 2.y 2）．联立 {y =kx +b x 2+y 2=4. 化为：x 2+（kx+b ）2=4.∴（1+k 2）x 2+2kbx+b 2-4=0.△＞0．∴x 1+x 2=- 2kb 1+k 2 .x 1x 2= b 2−41+k 2 .无论直线l 如何运动.x 轴都平分∠EDF .则k DE +k DF =0.∴ y 1x 1−3+ y 2x 2−3 =0． ∴（kx 1+b ）（x 2-3）+（kx 2+b ）（x 1-3）=0.∴2kx 1x 2+（b-3k ）（x 1+x 2）-6b=0.∴2k• b 2−41+k 2 -（b-3k ） 2kb 1+k 2 -6b=0. 化为：4k+3b=0．∴k=- 34 b ．∴y=b （- 34 x+1）.可得直线经过定点（ 43 .0）．② 如果斜率不存在时.直线过定点Q 时.满足题意．∴存在过定点Q （ 43 .0）的直线l 与曲线C 相交于不同两点E.F.无论直线l 如何运动.x 轴都平分∠EDF ．【点评】：本题考查了圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、斜率计算公式、直线经过定点问题.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．。
2018-2019学年度第二学期期末学业水平诊断高一数学试题参考答案
2018-2019学年度第二学期期末学业水平诊断高一数学试题参考答案一、选择题1.B2.D3.C4.A5.B6. D7.C8.C9.A 10.C 11.BC 12.ABD 13.ACD二、填空题14. 89- 15. 16. 6π- 17., 1 三、解答题18.解：（1）2(1,2)(0,2)(1,4)+=+=a b ， ……………3分所以2+==a b ……………6分（2）(1,2)m -=--a b ， ……………9分因为与-a b 共线，所以1212m --=，解得4m =. ……………13分 19.解：（1）原式 2sin 3cos 3sin cos αααα+=+………………………………4分 2tan 3183tan 113αα+==+； ……………………………6分（2）因为(0,)2πα∈，3sin 5α=，所以4cos 5α==. ………8分 又因为(0,),(,)22ππαβπ∈∈，所以(,0)αβπ-∈-，所以12sin()13αβ-==-. ……………10分于是sin sin[()]sin cos()cos sin()βααβααβααβ=--=--- ……12分3541263()51351365=⨯-⨯-=. ……………13分 20.解：（1）因为A c C a A b cos cos cos 2+=，所以由正弦定理可得 2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+,……2分即2sin cos sin()sin B A A C B =+=, ……………………………4分因为sin 0B ≠,所以1cos 2=A ，21cos =A ， ……………5分 ),0(π∈A Θ,故3π=A . ……………6分（2）由已知得1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ， ……………9分 所以222144+999AD AB AB AC AC =+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g……………11分 164443cos 99939π=+⨯⨯+⨯769=, 所以219AD =u u u r . ……………13分 21.解：（1）31()cos 2sin 2sin(2)223f x x x x πωωω=+=+， ………………2分 由πωπ=22,得1=ω. ……………3分 所以()sin(2)3f x x π=+.于是()y g x =图象对应的解析式为()2sin()23x g x π=+.……………6分 （2）由222232x k k πππππ-≤+≤+,k ∈Z 得 ……………8分 54433k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z 所以函数)(x g 的单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .………10分 由ππk x =+32，解得22()3x k k ππ=-∈Z . ……………12分 所以()g x 的对称中心为2(2,0)()3k k ππ-∈Z . ……………13分 22.解：（1）()2sin()cos sin f x x A x A =-+2sin()cos sin[()]x A x x x A =-+--2sin()cos sin cos()cos sin()x A x x x A x x A =-+---sin(2)x A =-. ……………3分 因为()f x 在512x π=时取得最大值， 所以522122A k πππ⨯-=+，k ∈Z , ………………………4分即2,3A k k Z ππ=-+∈. 因为(0,)A π∈，所以3A π=， 所以()sin(2)3f x x π=-. ………………………………………5分 因为(0,)2x π∈，所以22(,)333x πππ-∈-所以sin(2)123x π-<-≤， ……………7分 因为关于的方程()=f x t有解，所以的取值范围为(,1]2-．………8分 （2）因为5=a ，3A π=，由正弦定理sin sin sin b c a B C A ==于是sin sin ()10+=+B C b c ．又sin sin +=B C ，所以8+=b c . ……………11分 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2225=+-b c bc ，即225()3643=+-=-b c bc bc ，所以13=bc ， ……………14分所以1sin 2ABC S bc A ∆== ……………15分 23. 解：（1）因为点为靠近点的三等分点，13BP =，1tan 3PAB ∠=. ①又因为60PAQ ∠=o ，所以16tan tan(30)13DAQ PAB -∠=-∠==o ； ………3分 ②（法1）122()()339PA PQ DA BA DA CQ CQ =+-+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g , ………5分而11CQ DQ =-==u u u r u u u r ,所以219145913117PA PQ --=-+=u u u r u u u r g ； ……………7分（法2）以为坐标原点，分别以,AB AD u u u r u u u r 所在方向为,x y 轴的正方向，建立直角坐标系xAy ，则()0,0A ,1(1,)3P，6(,1)13Q ， ……………5分 所以1(1,)3PA =--u u u r，2)3PQ =u u u r ， ……………6分所以192145139117PA PQ --=-=u u u r u u u r g ； ……………7分（2）（法1）由题意[0,]6πθ∈，1cos AP θ=， 1cos()6AQ πθ=-， …………9分 所以11sin 602cos cos()6APQ S πθθ∆=⋅⋅⋅-o 1cos cos()6πθθ=⋅-.………10分而1cos cos()cos (sin )622πθθθθθ⋅-=+21sin cos 2θθθ=+112sin 2)22θθ=++1sin(2)23πθ=+, ……………12分[0,]6πθ∈Q ，22[,]333πππθ∴+∈， 当232ππθ+=，即12πθ=时cos cos()6πθθ⋅-取最大值为4，……14分此时APQ ∆的面积最小值为34. ……………15分注：θ的取值范围[0,]6πθ∈，学生写为开区间或半开半闭区间不扣分.（法2）以为坐标原点，分别以,AB AD u u u r u u u r 所在方向为,x y 轴的正方向，建立直角坐标系xAy ， 则(0,0)A ,(1,tan )P θ，(tan(),1)6Q πθ-，[0,]6πθ∈. ……………8分所以1sin 23APQ S AP AQ π∆=⋅=14cos cos()6πθθ==-，……10分 以下同解法1.。
2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷及答案解析
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2018-2019学年第二学期高一下学期期末考试数学试卷评卷人 得分一、选择题1、已知为角的终边上的一点，且，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．2、在等差数列中，,则（ ）A ．B ．C ．D ．3、若，则一定有（ ）A ．B ．C ．D ．4、已知等差数列的前项和为，若且，则当最大时的值是（ ）A ．B ．C ．D ．5、若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．6、在中，已知，则的面积等于（ ）A ．B ．C ．D ．7、各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（ ） A ．B ．C ．D ．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………8、若变量满足约束条件，且的最大值为，最小值为，则的值是（ ） A ． B ．C ．D ．9、在中，角所对的边分别为，且，若，则的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 10、当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距海里的处，有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西相距海里处的乙船，乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往处营救，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．11、已知是内的一点，且，若和的面积分别为，则的最小值是（ ）A ．B ．C ．D ． 12、已知数列满足，则（ ） A ．B ．C ．D ．评卷人 得分二、填空题13、已知，且，则__________。
浙江省宁波市镇海中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题
浙江省宁波市镇海中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．如图是一个正四棱锥，它的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知点()()1,0a a >到直线:20+-=l x y 的距离为1，则a 的值为（ ） AB．2C1 D1 3．正方体1111ABCD A B C D -中，则异面直线1AB 与1BC 所成的角是A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 4．在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，5AB =，4BC =，2CD =，则梯形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体的体积为（ ）A ．52πB ．1163πC ．1103π D．(283π+5．已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（ ） A．⎡⎣ B．(,-∞)+∞C．⎡⎢⎣⎦ D．,⎛-∞ ⎝⎦⎫+∞⎪⎪⎣⎭6．正三角形ABC 的边长为2cm ，如图，A B C '''∆为其水平放置的直观图，则A B C '''∆的周长为（ ）A ．8cmB ．6cm C．(2cm D．(2cm + 7．某几何体的三视图如图所示，其外接球体积为（ ）A ．24π B． C ．6π D8．已知,m n 表示两条不同的直线，,,αβγ表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②αβ⊥，m αγ=，n βγ=，则m n ⊥； ③αβ⊥，αγ⊥，m βγ=，则m α⊥；④m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．若实数,x y 满足不等式组031y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．210．已知圆1Γ与2Γ交于两点，其中一交点的坐标为()3,4，两圆的半径之积为9，x 轴与直线()0y mx m =>都与两圆相切，则实数m =（ ）A ．158B ．74C ．5D ．3511．已知圆柱的上、下底面的中心分别为12,O O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形，则该圆柱的表面积为________，体积为________.12．若直线12y kx k =+-与曲线y =k 的最大值为________，最小值为________.13．若过点()1,1的直线l 被圆224x y +=截得的弦长最短，则直线l 的方程是________，此时的弦长为________14．已知点()2,1和圆22:220C x y ax y ++-+=，若点P 在圆C 上，则实数a = ________；若点P 在圆C 外，则实数a 的取值范围为________.15．异面直线a ，b 所成角为3π，过空间一点O 的直线l 与直线a ，b 所成角均为θ，若这样的直线l 有且只有两条，则θ的取值范围为___________________.16．在棱长均为2的三棱锥A BCD -中，,E F 分别为,AB BC 上的中点，P 为棱BD 上的动点，则PEF ∆周长的最小值为________.17．在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，2PA PB ==，PC AB BC ===BD PC ⊥交PC 于D ，则BD 与平面PAB 所成角的正弦值是________.18．正四棱锥P ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 为PC 中点.(1)求证：//PA 平面BDE ；(2)求异面直线PA 与DE 所成角的余弦值.19．已知圆()()22:232C x y -+-=.(1)过原点O 的直线l 被圆C 所截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)过C 外的一点P 向圆C 引切线PA ，A 为切点，O 为坐标原点，若PA OP =，求使PA 最短时的点P 坐标.20．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.(1)求证：BE DC ⊥；(2)求直线PC 与平面PDB 所成角的正弦值.21．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是AB 的中点，E 在1CC 上，且12CE C E =.(1)求证：1AC ⊥平面1A BD ；(2)在线段1DD 上存在一点P ，1DP D P λ=，若1//PB 平面DME ，求实数λ的值. 22．已知点1,0A ，()4,0B ，曲线C 任意一点P 满足2PB PA =.(1)求曲线C 的方程；(2)设点()3,0D ，问是否存在过定点Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点,E F ，无论直线l 如何运动，x 轴都平分EDF ∠，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，请说明理由.。
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)_6
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑:如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案:不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收问。
第一部分选择题（60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.关于的不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】将不等式化为，等价于，解出即可。
【详解】由原式得且，解集为，故选：B。
【点睛】本题考查分式不等式的解法，解分式不等式时，要求右边化为零，等价转化如下：；；；.2.三边，满足，则三角形是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 直角三角形【答案】C【解析】【分析】由基本不等式得出，将三个不等式相加得出，由等号成立的条件可判断出的形状。
【详解】为三边，，由基本不等式可得，将上述三个不等式相加得，当且仅当时取等号，所以，是等边三角形，故选：C。
【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查基本不等式的应用，利用基本不等式要注意“一正、二定、三相等”条件的应用，考查推理能力，属于中等题。
3.设是等差数列的前项和，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据等差数列片断和的性质得出、、、成等差数列，并将和都用表示，可得出的值。
【详解】根据等差数列的性质，若数列为等差数列，则也成等差数列；又，则数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故选：D。
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一期末数学试卷
2021-2021学年浙江省宁波市镇海中学高一〔下〕期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题,每题4分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.A. 30B. 45C. 60D. 904. 〔4分〕在直角梯形ABCD中,AB//CD , AB形ABCD绕着BC旋转而成的几何体的体积为〔〕1. 〔4分〕如图是一个正四棱锥,它的俯视图是2. 〔4分〕点〔1, a〕〔a 0〕到直线l：x y 20的距离为1,那么a的值为〔〕3. 〔4分〕如图,正方体ABCD AB1C1D1中,直线AB与BC1所成角为〔BC , AB 5 , BC 4 , CD 2 ,那么梯116B .—— C.100 (28 4 10)35. 〔4分〕直线倾斜角的范围是[--〕〔-,—],那么此直线的斜率的取值范围是B.(,向U[«,)6. 〔4分〕正三角形ABC 的边长为2cm,如图,△ A B C 为其水平放置的直观图, 那么4ABC7. 〔4分〕一个几何体的三视图如下图,那么该几何体的外接球的体积为10. 〔4分〕圆1与2交于两点,其中一交点的坐标为〔3,4〕,两圆的半径之积为 9, xC.[3 _3] 3,3]D.(的周长为〔C. (2 V6) cmD. (2 2.3)cmD.娓个命题:n 表示两条不同的直线,表示三个不同的平面,给出以下四其中正确命题的序号为 A.①②B.②③C.③④D.②④9. 〔4分〕假设实数y 满足不等式组y, y... ,那么 z 2|x| 1y 的最小值是〔 〕B. 0C. 1D. 2)8. 〔4分〕 m , 6轴与直线y mx〔m 0〕都与两圆相切,那么实数m 〔D. 35二、填空题：本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.11. 〔6分〕圆柱的上、下底面的中央分别为.1,.2,过直线.1.2的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形,那么该圆柱的外表积为12. 〔6分〕假设直线y kx 1 2k与曲线y / x2有交点,那么实数k的最大值为小值为2 13. 〔6分〕假设过点〔1,1〕的直线l被圆2 .................... . .y 4截得的弦长最短,那么直线l的方程是此时的弦长为2 214. 〔6分〕点〔2,1〕和圆C:x y ax2y 2 0 ,假设点P在圆C上,那么实数a假设点P在圆C外,那么实数a的取值范围为15. 〔4分〕异面直线a, b所成角为y,过空间一点O的直线l与直线a,b所成角均为, 假设这样的直线l有且只有两条,那么的取值范围为16. 〔4分〕在棱长均为2的三棱锥A BCD中,E、F分另ij AB、BC上的中点,P为棱BD上的动点,那么PEF周长的最小值为17. 〔4分〕在三^麴t P ABC 中,AB BC , PA PB 2 , PC AB BC 272,作BD PC交PC于D ,那么BD与平面PAB所成角的正弦值是三、解做题：本大题共5小题,共74分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.18. 〔14分〕正四棱锥P ABCD的侧棱长与底面边长都相等, E为PC中点.〔1〕求证：PA//平面BDE;(1)过原点O 的直线l 被圆C 所截得的弦长为2,求直线l 的方程；(2)过圆C 外的一点P 向圆C 引切线PA, A 为切点,O 为坐标原点,假设|PA| |OP|,求 使| PA |最短时的点P 坐标.P ABCD 中,PA 底面 ABCD , AD AB, AB//DC , AD DC AP 2, AB 1,点E 为棱PC 的中点. (I )证实：BE DC ;21 .( 15分)如图,在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中,M 是AB 的中点,E 在CC i 上,且CE (1)求证：AC 1 平面ABD ；22 . (15分)点A(1,0), B(4,0),曲线C 上任意一点P 满足|PB| 2| PA| . (1)求曲线C 的方程；(2)设点D(3,0),问是否存在过定点 Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点 E , F ,无论直 线l 如何运动,x 轴都平分 EDF ,假设存在,求出Q 点坐标,假设不存在,请说明理由.20. (15分)如图,在四棱锥2C i E .(2)在线段DD 1上存在一点P, DPDF,假设PB"/平面DME ,求实数 的值.(n)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值.2021-2021学年浙江省宁波市镇海中学高一〔下〕期末数学试卷参考答案与试题解析、选择题：本大题共10小题,每题4分,共40分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 〔4分〕如图是一个正四棱锥,它的俯视图是〔〕【解答】解：该几何体直观图为一个正四棱锥,所以其俯视图轮廓为正方形,并且能够看到其四个侧棱,构成正方形的对角线,应选：D .2. 〔4分〕点〔1, a〕〔a 0〕到直线l:x y 2 0的距离为1,那么a的值为〔〕B. 2 72 C, V2 1 D.豉1【解答】解：点〔1 , a〕〔a 0〕到直线l:x y 2 0的距离为1,|1 a 2| 23. 〔4分〕如图,正方体ABCD AB1C1D1中,直线AB与BC1所成角为〔C. 60D. 90【解答】解：QAB 1//DC 1,DC i B 是直线A0与BC i 所成角, Q BDC i 是等边三角形, 直线AB 与BC i 所成角604. 〔4分〕在直角梯形 ABCD 中,AB//CD , AB 形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体的体积为 〔 〕【解答】解：梯形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体是圆台, 圆台的高h BC 4,上底面圆半径 r CD 2 ,下底面圆半径 R AB 5,梯形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体的体积: 1 22V - h(R Rr r )3 14 (25 10 4)3 52 . 应选：A.5.〔4分〕直线倾斜角的范围是[--〕〔一,2-],那么此直线的斜率的取值范围是 〔 3 22 3BC , AB 5 , BC 4 , CD 2 ,那么梯A. 52116 B. 一C.100D.(28 4 10)3应选：C .B. ( , V3]U[布,)C.[3 .31, ]3 3解：根据题意,直线倾斜角的范围是3 3D. ( , ^-]UHr,)3 324w) (万其斜率k即k的取值范围为〔△ ABC为其水平放置的直观图, 那么4 ABC 的周长为〔6. 〔4分〕正三角形ABC的边长为2cm,如图,C. (2 V6)cmD. (2 2.3) cm 【解答】解：ABC的边长为2cm , 那么它的直观图△ABC 中,__ 1 3OC -g?gsin60 — 2 2BC 2OB2OC22O B gD Cgcos45 7 2. 62BCp 2 又AC2OC 2O AgO Cgcos1357 2、6 6 12--------- ( ----------- ),4 2AC△ ABC的周长为2(2 J6)(cm).7. 〔4分〕一个几何体的三视图如下图,那么该几何体的外接球的体积为【解答】 解：由的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥, 其四个顶点是以俯视图为底面,以 1为高的三棱锥的四个顶点,如图是长方体的一局部,R 1 12—22—12 -6, 2 2 故球的体积V 4 (—)3旄,3 2C. 876D. 66故其外接球,相当于一个长1的长方体的外接球,故外接球的半径8. 〔4分〕 n 表本两条不同的直线,表示三个不同的平面,给出以下四个命题:其中正确命题的序号为A.①②B.②③C.③④D.②④r故错误;②令 ,,为底面为直角三角形的三棱柱的三个侧面, 且 那么m//n,即m n 不一定成立,故错误;③ ,,I m ,那么m,故正确;④假设m , m n ,那么n// ,或n ,又由n ,那么y 09. 〔4分〕假设实数x, y 满足不等式组 x y, 3 ,那么z 2|x| y 的最小值是〔〕x y (1)A .1 B. 0 C. 1 D. 2y 0【解答】 解：画出实数x, y 满足不等式组 x y, 3的可行域如下图, x y …1 可得 B(1 , 2)A( 1,0), C(3,0) , D(0,1)当目标函数z 2 |x | y 经过点D 〔0,1〕时,z 的值为1 , 应选：A.10. 〔4分〕圆1与2交于两点,其中一交点的坐标为 〔3,4〕,两圆的半径之积为 9,轴与直线y mx 〔m 0〕都与两圆相切,那么实数【解答】 解：Q 两切线均过原点,【解答】解：①I m , n , n m ,那么n 不一定成立,进而 不一定成立,15B.D.5连心线所在直线经过原点,该直线设为 y tx,设两圆与x 轴的切点分别为xi, X2,222那么两圆方程分别为：(X X 1)2(y *I ⑼2 , (X X 2)(y tX 2) (tX 2)Q 圆1与2交点的坐标为P(3,4), P(3,4)在两圆上. 一 2 2 2 - (3 X i ) (4 tX i ) (tX i )①, (3 X 2)2 (4 tX 2)2 (tX 2)2 ②, 又两圆半径之积为9,2|tX i |g|tX 2 | |X 1X 2 |t 9③,联立①②③,可得X i , X 2是方程(3 X)2 (4 tX)2 (tX)2的两根, 化简得 X 2 (6 8t)X 25 0 ,即 X 1X 2 25 . 代入③,得t 2 ~9■,即t 3 . 25 5由于所求直线的倾斜角是连心线所在直线倾斜角的两倍,即15 m —.8应选：A.、填空题：本大题共 7小题,多空题每题 6分,单空题每题 4分,共36分. 11. (6分)圆柱的上、下底面的中央分别为O i, O 2,过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形,那么该圆柱的外表积为 _6 体积为.【解答】 解：设圆柱的底面直径为 2R,那么高为2R, 圆柱的上、下底面的中央分别为 Q, 02,过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形,4R 2 4,解得 R 1,2该圆柱的外表积 S 1 2 2 126,体积V12 2 2 .故答案为：612. (6分)假设直线y kx 1 2k 与曲线y /T 有交点,那么实数k 的最大值为 1 ,最小值为.【解答】 解：直线y kx 1 2k ,即y k(x 2) 1经过定点P(2,1).2t 21 t曲线y J1 x1 2表示圆x2 y2 1的上半局部,A(1,0), B(0,1).Q直线y kx 1 2k与曲线y 小―x^有交点,那么实数k的最大值为k PA 1 0 1 ,最小值为k pB 0 .故答案为：1, 0.2 213. (6分)假设过点(1,1)的直线l被圆x y 4截得的弦长最短,那么直线l的方程是x y 2 此时的弦长为.【解答】解：直线I的方程为y 1 k(x 1),与圆联立可得出两点M , N ,即2 22 八 ,/、2 2k 2k k 2k 3x (kx k 1) 4 ,韦达TE理求解得x1 x2 -2 --------------------------------------------------------------------------- , --------- 2------- ,k 1 k 1 MN J k2 1 而~x2)2 4x1x2 j3、22k 3 2^(k2 1) 2 ,当k 1 时,MN 最短,直线I为x y 2 ,弦长为272 ,故填：x y 2 ; 272 .14. (6分)点(2,1)和圆C：x2 y2 ax 2y 2 0 ,假设点P在圆C上,那么实数a _假设点P在圆C外,那么实数a的取值范围为 .故答案为：〔―,_〕6 3上的动点,那么PEF周长的最小值为_243【解答】解：棱长均为2的三棱锥A BCD中, E、F分别AB、BC上的中点,首先把三棱锥转换为平面图形,即②P在圆C外,将P点代入圆的方程,即22 21 ag2 2 2- 0 ,解得a…5 ,圆的方程为2(X |)2 (y 1)2 04 0,解得a故填5；215. (4 分)异面直线a , b所成角为过空间一点O的直线l与直线a , b所成角均为,假设这样的直线l有且只有两条,那么的取值范围为【解答】解: 由最小角定理可得:b所成角为—,过空间一点O的直线l与直线a , b所成角均为,假设这样的直线l有且只有两条,那么的取值范围为：一616. 〔4分〕在棱长均为的三棱锥A BCD中, E、F分另ij AB、BC上的中点,P为棱BD在平面展开图,棱长均为2的三棱锥A BCD中,EF分别为AB, BC 理〕得EF 1 ,由于所求周长最小为PE PF EF的值,所以要求PE PF的值最小故EF2 BE3 4BF22BE gBF gsos120 ,由于由于E、F分别为AB , BC的中点〔中位线定理〕得EF 1 ,所以PEF周长的最小值EG FG EF 1 褥.故答案为：1 .3【解答】解：如图,取AB中点E , AC中点F ,连接EF , PE , AF , Q AP PB 2, AB 2拒, PE 衣.Q AB BC , AB BC 272 , AC 4 ,__ 2 _ 2 _2 _c PC AP AC 3PAC - •2APgAC 4T AP~AF^~2APgAFcos PAC 行,在PEF 中,PE PF EF 72 .且AB 面PEF ,过F作FO EP ,易得FO 面ABP,且FO —,2 点C到面ABP的距离为J6 ,Q S V PBC1 2 88~i 6.2_6 —故BD与平面PAB所成角的正弦值是一jL 上2114 143 - 、：吊4 .2一PC BD 力, BD ——,PD ——,4 2 2 的中点〔中位线定BE BF 1 ,17. 〔4分〕在三棱锥P ABC中,AB BC , PA PB 2 , PC AB BC 2y/2,作BD PC交PC于D ,那么BD与平面PAB所成角的正弦值是21 -74-在APC中,余弦定理可得cos在APF中,余弦定理可得PFPD : PC 1:4 , 点D到面ABP的距离为—4三、解做题：本大题共5小题,共74分.解容许写出文字说明、18. 〔14分〕正四棱锥P ABCD的侧棱长与底面边长都相等,〔1〕求证：PA//平面BDE；〔2〕求异面直线PA与DE所成角的余弦值.【解答】解：〔1〕连接AC ,设AC , BD的交点为O ,连接OE ,由于OE //PA,PA 面EBD ,又OE 面EBD ,故AP//面BDE,〔2〕由〔1〕可得：DEO为异面直线PA与DE所成的角,设AB 2 ,那么EO 1 , OD 夜,DE 用,由勾股定理可得:证实过程或演算步骤.E为PC中点.ODE为直角三角形,那么cos必°! £冬2 一_ _ 2 _19. (15 分)圆C ：(x 2) (y 3) 2 .(1)过原点O的直线l被圆C所截得的弦长为2,求直线l的方程;(2)过圆C外的一点P向圆C引切线PA, A为切点,O为坐标原点,假设|PA| |OP|,求使|PA|最短时的点P坐标.2)2 (y 3)2 2外,可得直线l的斜率存在,设直线方程为y kx ,即kx y由雪且1,解得k位6 2.33 x '(2)由圆的切线长公式可得|PA|2|PC|2 R2 (x 2)2 (y 3)2 2,由|PA||PO|得,(x 2)2 2(y 3)2 2 x2 y2,即4x 6y 11 0 ,即11 x —4此时| PA | | PO | x2113 、2 2(4 2y) y332「3(y26) 212113 '出33当y —,即2611P(一,13昼)时,|PA|最短. 26【解答】(1)原点O在圆C : (x由直线l被圆C所截得的弦长为2,得圆心(2,3)到直线的距离为1.直线l的方程为y20. 〔15分〕如图,在四棱锥 P ABCD 中,PA 底面ABCD , AD AB, AD DC AP 2 , AB 1 ,点E 为棱PC 的中点. 〔I 〕证实：BE DC ;【解答】〔I 〕证实：如图,取 PD 中点M ,连接EM , AM . 由于E , M 分别为PC , PD 的中点,故 EM / /DC , L 1 且 EM -DC , 2又由,可得 EM //AB ,且EM AB ,故四边形ABEM 为平行四边形,所以 BE //AM . 由于PA 底面 ABCD ,故PA CD , 而CD DA,从而CD 平面PAD , 由于AM 平面PAD ,于是CD AM , 又 BE / /AM ,所以 BE CD .〔 6 分〕〔n 〕解：连接 BM ,由〔I 〕有 CD 平面PAD ,得CD PD , 而 EM / /CD ,故 PD EM .又由于 AD AP, M 为PD 的中点,故 PD AM ,AB//DC ,〔n 〕求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值.故平面BEM 平面PBD .(1)求证：AC 1 平面ABD ；【解答】证实：(1)以D 为原点,分别以 DA, DC, DD 所在直线为x, y, z 轴,建立 空间直角坐标系, 设 AB 6,那么 A(6, 0, 0), CM .,6, 6), A(6, 0, 6), B(6 , 6, 0), D(0 , 0, 0), uuiu uuur(6, 6, 6) , DA 1 (6 ,0, 6) , DB (6 ,6, 0),所以直线BE 在平面PBD 内的射影为直线 BM , 而BE EM ,可得 EBM 为锐角, 故 EBM 为直线 BE 与平面 PBD 所成的角. 依题意,有PD 2j2,而M 为PD 中点, 可得AM 进而BE /. 故在直角三角形BEM 中,tan EBM -EM BE 9 9分)AB 1 2BE 衣 T , 走.(12分)2所以直线BE 与平面PBD 所成的角的正切值为 P 21.( 15分)如图,在正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1中,M 是AB 的中点,E 在CC 〔上,且CE 2&E .(2)在线段DD 1上存在一点P, DP DF,假设PB"/平面DME ,求实数 的值.uuu u ACuuuu uurn uuuu uur AC i gDA i 0, AC i gDB 0, AC 1 DA 1 , AC 1 DB , QDA 1I DB D ,AC 1 平面 A 1BD .解：(2)在线段DD i 上存在一点P, DP D i P,B i (6, 6, 6), M(6, 3, 0), E(0 ,6, 4),设平面DME 的法向量I (x, y, z), r uuurntt ngDM 6x 3y 0r 那么「Vur ,取 x 1 ,得 n (1 , 2,3),ngDE 6y 4z 0 Q PB 1// 平面 DME ,uuur rPB 1gn 6 12 18 3t 0 ,解得 t 4 ,22. (15分)点 A(1,0), B(4,0),曲线C 上任意一点 P 满足|PB| 2| PA| . (1)求曲线C 的方程；(2)设点D(3,0),问是否存在过定点 Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点 E , F ,无论直 线l 如何运动,x 轴都平分 EDF ,假设存在,求出Q 点坐标,假设不存在,请说明理由. 【解答】 解：(1)设 P(x,y), Q|PB| 2|PA|.7(x 4)2~y 2 2&x 1)2~y 2,化为： x 2 y 4 .(2)设存在定点Q 满足条件,设直线l 的方程为y kx b . 设 E(Xi , yj , FM, V2) .设 DP t(0釉 6),那么 P(0 ,0, t),uu ur PBuuur (6,6, 6 t) , DM uuur(6, 3, 0), DE (0,6, 4),2 .y kx b联立2 2 ,,x y 42 2化为：x (kx b) 4 ,2 2 _ 2(1 k )x 2kbx b 4 0 ,△ 0.2 kb b2 4x i x2 -------- 2, x i x2 -------------------- 尸,1k 1k无论直线l如何运动,x轴都平分EDF ,那么k DE k DF 0 ,上上0.x i 3 x2 3(kx i b)(x2 3) (kx2 b)(x i 3) 0,2kx1x2 (b 3k)(x1 x2) 6b 0, 2b 4 2kb2kg ----- 工(b 3k) ----------- 2 6b 0 ,1 k 1 k化为：4k 3b 0 .k 3b. 4,,3y b( -x 1), 4可得直线经过定点(4 , 0). 3 (4)存在过定点Q(- , 0)的直线l与曲线C相交于不同两点 E , F ,无论直线l如何运动,x 3轴都平分EDF .【解答】解：①P在圆C上,将P点代入圆的方程,即22 12 ag2 2 2 0 ,解得a -, 代入圆检验成立,。
2024届浙江省镇海中学数学高一下期末考试模拟试题含解析
2024届浙江省镇海中学数学高一下期末考试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．函数12xy x=-的零点所在的区间是（ ） A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．3(1,)2D ．3(,2)22．如图，PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任意一点，AE PC ⊥垂足为E ，点F 是PB 上一点，则下列判断中不正确的是（ ）﹒A ．BC ⊥平面PACB ．AE EF ⊥C ．AC PB ⊥D ．平面AEF ⊥平面PBC3．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，P 是对角线AC 上一点，25AP AC =，过点P 的直线分别交DA 的延长线，AB ，DC 于点M ，E ，N .若,DM mDA DN nDC == (m >0，n >0)，则2m ＋3n 的最小值是( )A ．65B ．125 C ．245D ．4854．．在各项均为正数的等比数列{}n b 中，若783b b ⋅=，则3132log log b b ++…314log b +等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．85．函数()()2f x sin x ωϕ+＝（0ω＞，22ππϕ-<<）的部分图象如图所示，则ωϕ，的值分别是（ ）A ．2,3π-B ．2,6π-C ．4,6π-D ．4,3π6．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA 、OB满足，则实数a 的值是（ ） A ．2B ．2-C ．6或6-D ．2或2-7．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线 8．设cos2019a ︒=，则( )A ．3222a ⎛∈-- ⎝⎭B ．21,22a ⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．12,22a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭D ．23,22a ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭9．若函数f （x ）=log a （x 2–ax +2）在区间（0，1]上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2，3）B ．（2，3）C ．[2，+∞）D ．（2，+∞）10．将函数()22cos 23sin cos 1f x x x x =+-的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若当0,4x x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时， ()g x 的图象与直线()12y a a =≤<恰有两个公共点，则0x 的取值范围为（ ）A ．75,124ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．7,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．75,124ππ⎛⎤⎥⎝⎦ D ．5,34ππ⎛⎤⎥⎝⎦ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2018—2019学年下期期末考试高一数学参考答案
2018—2019学年下期期末考试 高中一年级 数学 参考答案一、选择题1—5 BACCC 6—10 BDDAD 11—12 CB 二、填空题13、 14.π3 15.1016.三、计算题17.解：（1）∵,a b ∴1221-=0x y x y 可得x ＝﹣1．……………………（4分） （2）依题意a ﹣2＝（2﹣2x ，4）．∵a ⊥（a ﹣2）， ∴a •（a ﹣2）＝0，即4﹣4x +8＝0，解得x ＝3，∴b ＝（3，﹣1）．……………………（8分） 设向量a 与的夹角为θ，∴5cos 5a b a bθ==．……………………（10分）18.【解答】解：（1）由题意可得cos α＝﹣，sin α＝，tan α＝＝﹣，……（2分）∴＝＝＝﹣．……（6分）（2）若•＝|OP |•|OQ |•cos （α﹣β）＝cos （α﹣β）＝，即 cos （α﹣β）＝，∴sin （α﹣β）＝＝． ……（9分）∴sin β＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sin αcos （α﹣β）﹣cos αsin （α﹣β）＝﹣（﹣）•＝．……（12分）19.解：Ⅰ)∑∑∑===----=ni ni ii ni iiy yx x y y x x r 11221)()()(）（=. ……………………（2分）Ⅱ依题意得,∑==--6130.80)(i i i y y x x ）（，∑==-61230.14i i x x ）（, 所以61621()()80.30ˆ 5.6214.30()iii ii x x y y bx x ==--==≈-∑∑. 又因为ˆˆ29.23-5.62 3.97.31a y bx=-=⨯≈, 故线性回归方程ˆˆˆ=5.62+7.31ya bx x =+ . ……………………（9分）当时，根据回归方程有：y，发生火灾的某居民区与最近的消防站相距千米，火灾的损失千元．………（12分）20.解：解：（1）由图象可知，可得：A ＝2，B ＝﹣1，……………………（2分）又由于＝﹣，可得：T ＝π，所以，……………………（3分）由图象知1)12(=πf ，1)122sin(=+⨯ϕπ，又因为3263πϕππ<+<-所以2×+φ＝， φ＝，所以f （x ）＝2sin （2x +）﹣1． ……………………（4分）令2x +＝k π，k ∈Z ，得x ＝﹣，k ∈Z ， 所以f （x ）的对称中心的坐标为（﹣，﹣1），k ∈Z ．…（6分）（2）由已知的图象变换过程可得：g （x ）＝2sin x ……………………（8分）由g （x ）＝2sin x 的图像知函数在0≤x ≤上的单调增区间为]2,0[π， 单调减区间]672[ππ，……………………（10分）当2π=x 时，g （x ）取得最大值2；当67π=x 时，g （x ）取得最小值1-. ………………（12分） 21解：（Ⅰ）依题意得（a +b +0.008+0.027+0.035）×10＝1，所以a +b ＝0.03，又a ＝4b ，所以a ＝0.024，b ＝0.006. ………………（2分）（Ⅱ）平均数为550.08650.24750.35850.27950.0674.9⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=, 中位数为0.50.080.247075.14.0.035--+≈众数为7080752+=.………………（5分） （Ш）依题意，知分数在[50，60）的市民抽取了2人，记为a ，b ，分数在[60，70）的市民抽取了6人，记为1，2，3，4，5，6，所以从这8人中随机抽取2人所有的情况为：（a ，b ），（a ，1），（a ，2），（a ，3），（a ，4），（a ，5），（a ，6），（b ，1），（b ，2），（b ，3），（b ，4），（b ，5），（b ，6），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共28种， ……………（8分） 其中满足条件的为（a ，b ），（a ，1），（a ，2），（a ，3），（a ，4），（a ，5），（a ，6），（b ，1），（b ，2），（b ，3），（b ，4），（b ，5），（b ，6）共13种， ……………（11分） 设“至少有1人的分数在[50，60）”的事件为A ，则P （A ）＝．……………（12分）22.解：（Ⅰ）()f x a b =＝cos ωx sin ωx ﹣cos 2ωx ＝sin2ωx ﹣（1+cos2ωx ）═sin2ωx ﹣cos2ωx ﹣＝sin （2ωx ﹣）﹣， ……………（2分）∵函数()f x a b =的两个对称中心之间的最小距离为，∴＝，得T ＝π，ω>0,即T ＝＝π，得ω＝1，即f （x ）＝sin （2x ﹣）﹣． ……………（5分） 则f （）＝sin （2×﹣）﹣＝1﹣＝， ……………（6分）（Ⅱ）函数g （x ）＝a +1﹣f （）＝a +1﹣[sin （x ﹣）﹣]＝0，得a ＝sin （x ﹣）﹣﹣1， ……………（8分）当0≤x≤π时，﹣≤x﹣≤，当≤x﹣≤且x﹣≠时，y＝sin（x﹣）才有两个交点，此时≤sin（x﹣）＜1，则，≤sin（x﹣）＜，……………（10分）即0≤sin（x﹣）﹣＜，﹣1≤sin（x﹣）﹣﹣1＜﹣1，即﹣1≤a＜﹣1，即实数a的取值范围是[﹣1，﹣1）．……………（12分）。
2018~2019学年度高一下学期数学期末试卷(含答案)
2018~2019学年度高一下学期数学期末试卷（含答案）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.若角α的终边经过点(1,−√3)，则sinα=()A. −12B. −√32C. 12D. √322.已知a⃗=(1,x)和b⃗ =(2x+3,−3)，若a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |=()A. 10B. 8C. √10D. 643.已知sin(α+π6)=2√55，则cos(π3−α)=()A. √55B. −√55C. 2√55D. −2√554.函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移π6个单位后所得的图象关于原点对称，则φ可以是()A. π6B. π3C. π4D. 2π35.已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则12sin2α+cos2α=()A. 25B. −15C. 14D. −1206.某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕以后才发现有位同学的卷子还未登分，只好重算一次．已知原平均分和原方差分别为x−、s2，新平均分和新方差分别为x1−、s12，若此同学的得分恰好为x−，则()A. x−=x1−，s2=s12B. x−=x1−，s2<s12C. x−=x1−，s2>s12D. ，s2=s127.某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成，现从这些运动员中抽取1个容量为n的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样，则都不用剔除个体；当样本容量为n+1个时，若采用系统抽样，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为()A. 5B. 6C. 12D. 188.执行如图的程序框图．若输入A=3，则输出i的值为()A. 3B. 4C. 5D. 69. 已知△ABC 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 是( )A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形10. “勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为4的大正方形，若直角三角形中较小的锐角α=15°，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在图中区域1或区域2内的概率是( )A. 12B. 58C. 34D. 7811. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<ϕ<π2)的部分图象如图所示，则f(0)的值是( )A. √32B. √34C. √62D. √6412. 已知a ⃗ =(sin ω2x,sinωx),b ⃗ =(sin ω2x,12)，其中ω>0，若函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ −12在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是( ) A. (0,18]B. (0,58]C. (0,18]∪[58,1]D. (0,18]∪[14,58]二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，它们的环数方差分别为s 甲2=2.1，s 乙2=2.6，则射击稳定程度较高的是______(填甲或乙)．14. 执行如图的程序框图，若输入的x =2，则输出的y =______．15. 《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长(弧长)为20米，径长(两段半径的和)为24米，则该扇形田的面积为______平方米．16. 已知点P(4m,−3m)(m <0)在角α的终边上，则2sinα+cosα=______．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.2018年3月19日，世界上最后一头雄性北方白犀牛“苏丹”在肯尼亚去世，从此北方白犀牛种群仅剩2头雌性，北方白犀牛种群正式进入灭绝倒计时．某校一动物保护协会的成员在这一事件后，在全校学生中组织了一次关于濒危物种犀牛保护知识的问卷调查活动．已知该校有高一学生1200人，高二1300人，高三学生1000人．采用分层抽样从学生中抽70人进行问卷调查，结果如下：完全不知道知道但未采取措施知道且采取措施高一8x y高二z133高三712m在进行问卷调查的70名学生中随机抽取一名“知道但未采取措施”的高一学生的概率是0.2．(Ⅰ)求x，y，z，m；(Ⅱ)从“知道且采取措施”的学生中随机选2名学生进行座谈，求恰好有1名高一学生，1名高二学生的概率．18.为增强学生体质，提升学生锻炼意识，我市某学校高一年级外出“研学”期间举行跳绳比赛，共有160名同学报名参赛．参赛同学一分钟内跳绳次数都在区间[90,150]内，其频率直方图如右下图所示，已知区间[130,140)，[140,150]上的频率分别为0.15和0.05，区间[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)上的频率依次成等差数列．(Ⅰ)分别求出区间[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率；(Ⅱ)将所有人的数据按从小到大排列，并依次编号1，2，3，4…160，现采用等距抽样的方法抽取32人样本，若抽取的第四个的编号为18．(ⅰ)求第一个编号大小；(ⅰ)从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)上的概率是多少？19.已知a⃗=(1,2)，b⃗ =(−3,4)．(1)若|k a⃗+b⃗ |=5，求k的值；(2)求a⃗+b⃗ 与a⃗−b⃗ 的夹角．，且α为第二象限角．20.已知sinα=35(1)求sin2α的值；)的值．(2)求tan(α+π4)(x∈R)．21.设函数f(x)=4cosx⋅sin(x+π6(1)求函数y=f(x)的最小正周期和单调递增区间；]时，求函数f(x)的最大值．(2)当x∈[0,π2)，f(0)=0，且函数f(x) 22.已知f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,0<|φ|<π2．图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是π2)的值；(1)求f(π8(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求函数6g(x)的解析式，并求g(x)在x∈[π6,π2]上的最值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：角α的终边经过点(1,−√3)，则sinα=yr =−√32．故选：B．直接利用任意角的三角函数的定义，求解即可．本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力．2.【答案】A【解析】解：a⃗=(1,x)和b⃗ =(2x+3,−3)，若a⃗⊥b⃗ ，可得：2x+3−3x=0，解得x=3，所以a⃗+b⃗ =(10,0)，所以|a⃗+b⃗ |=10．故选：A．利用向量的垂直，求出x，然后求解向量的模．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，向量的垂直条件的应用，是基本知识的考查．3.【答案】C【解析】解：∵已知sin(α+π6)=2√55，∴cos(π3−α)=cos[π2−(α+π6)]=sin(α+π6)=2√55，故选：C．由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．本题主要考查利用诱导公式进行化简三角函数式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移π6个单位后，可得y=sin(2x−π3+φ)，∵图象关于原点对称，∴φ−π3=kπ，k∈Z，可得：φ=kπ+π3．当k=0时，可得φ=π3．故选：B．根据图象变换规律，可得解析式，图象关于原点对称，建立关系，即可求解φ值．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律和对称问题，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵直线3x −y +1=0的倾斜角为α，∴tanα=3， ∴12sin2α+cos 2α=12⋅2sinαcosα+cos 2α=sinαcosα+cos 2αsin 2α+cos 2α=tanα+1tan 2α+1=3+19+1=25，故选：A ．由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题． 6.【答案】C【解析】解：设这个班有n 个同学，数据分别是a 1，a 2，…，a i,…，a n ， 第i 个同学没登分，第一次计算时总分是(n −1)x −，方差是s 2=1n−1[(a 1−x −)2+⋯+(a i−1−x −)2+(a i+1−x −)2+⋯+(a n −x −)2]第二次计算时，x 1−=(n−1)x −+x−n=x −，方差s 12=1n [(a 1−x −)2+⋯(a i−1−x −)2+(x −x)2+(a i+1−x −)2+⋯+(a n −x −)2]=n−1ns 2， 故s 2>s 12， 故选：C ．根据平均数和方差的公式计算比较即可．本题考查了求平均数和方差的公式，是一道基础题． 7.【答案】B【解析】解：由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体； 如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时， 需要在总体中先剔除1个个体， ∵总体容量为6+12+18=36．当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ， 分层抽样的比例是n36，抽取的乒乓球运动员人数为n36⋅6=n6， 篮球运动员人数为n36⋅12=n3，足球运动员人数为n36⋅18=n2， ∵n 应是6的倍数，36的约数， 即n =6，12，18．当样本容量为(n +1)时，总体容量是35人， 系统抽样的间隔为35n+1， ∵35n+1必须是整数，∴n 只能取6．即样本容量n =6． 故选：B ．由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，算出总体个数，根据分层抽样的比例和抽取的乒乓球运动员人数得到n 应是6的倍数，36的约数，由系统抽样得到35n+1必须是整数，验证出n 的值．本题考查分层抽样和系统抽样，是一个用来认识这两种抽样的一个题目，把两种抽样放在一个题目中考查，加以区分，是一个好题． 8.【答案】C【解析】解：运行步骤为：i =1，A =7 i =2，A =15； i =3，A =31； i =4，A =63； i =5，A =127； 故输出i 值为5， 故选：C ．根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量的加减法则，数量积的运算性质，三角形形状的判断，属于中档题．根据向量的加减运算法则，将已知化简得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.结合向量数量积的运算性质，可得CA ⊥CB ，得△ABC 是直角三角形．【解答】解：∵△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CA ⊥CB ， ∴△ABC 是直角三角形， 故选C ． 10.【答案】B【解析】解：小正方形的边长为4sin750−4cos750=(√6+√2)−(√6−√2)=2√2， 故小正方形与大正方形的面积之比为(2√24)2=12，因此剩下的每个直角三角形的面积与大正方形的面积之比为12÷4=18， ∴飞镖落在区域1或区域2的概率为12+18=58． 故选：B ．由已知求出小正方形的边长，得到小正方形及直角三角形与大正方形的面积比，则答案可求．本题考查几何概型概率的求法，求出小正方形及直角三角形与大正方形的面积比是关键，是中档题．11.【答案】C【解析】解：由图知，A=√2，又ω>0，T 4=7π12−π3=π4，∴T=2πω=π，∴ω=2，∴π3×2+φ=2kπ+π(k∈Z)，∴φ=2kπ+π3(k∈Z)，∵0<ϕ<π2，∴φ=π3，∴f(x)=√2sin(2x+π3)，∴f(0)=√2sinπ3=√62．故选：C．由图知，A=√2，由T4=π4，可求得ω，π3ω+φ=2kπ+π(k∈Z)，0<ϕ<π2可求得φ，从而可得f(x)的解析式，于是可求f(0)的值．本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，求得φ是难点，考查识图能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：a⃗=(sinω2x,sinωx),b⃗ =(sinω2x,12)，其中ω>0，则函数f(x)=a⃗⋅b⃗ −12=sin2(ω2x)+12sinωx−12=12−12cosωx+12sinωx−12=√2sin(ωx−π4)，可得T=2πω≥π，0<ω≤2，f(x)在区间(π,2π)内没有零点，结合三角函数可得，{πω−π4≥02πω−π4≤π或{πω−π4≥−π2πω−π4≤0，解得14≤ω≤58或0<ω≤18，故选：D．利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．本题考查函数的零点个数的判断，三角函数的化简求值，考查计算能力．13.【答案】甲【解析】解：方差越小越稳定，s 甲2=2.1<s 乙2=2.6，故答案为：甲．根据方差的大小判断即可．本题考查了方差的意义，掌握方差越小越稳定是解决本题的关键，是一道基础题． 14.【答案】7【解析】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出y ={2x x >23x +1x ≤2的值，∵输入结果为2，∴y =3×2+1=7． 故答案为：7．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出y ={2x x >23x +1x ≤2的值，由已知代入计算即可得解．本题主要考查选择结构的程序框图的应用，关键是判断出输入的值是否满足判断框中的条件，属于基础题． 15.【答案】120【解析】解：由题意可得：弧长l =20，半径r =12， 扇形面积S =12lr =12×20×12=120(平方米)，故答案为：120．利用扇形面积计算公式即可得出．本题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】25【解析】解：点P(4m,−3m)(m <0)在角α的终边上，∴x =4m ，y =−3m ，r =|OP|=√16m 2+9m 2=−5m ， ∴sinα=y r=35，cosα=x r =−45，∴2sinα+cosα=65−45=25，故答案为：25．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，可得2sinα+cosα的值． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)采用分层抽样从3500名学生中抽70人，则高一学生抽24人，高二学生抽26人， 高三学生抽20人．“知道但未采取措施”的高一学生的概率=x70=0.2， ∴x =14，∴y =24−14−8=2，z=26−13−3=10，m=20−12−7=1，∴x=14，y=2，z=10，m=1；(Ⅱ)“知道且采取措施”的学生中高一学生2名用A，B表示，高二学生3名用C，D，E表示，高三学生1名用F表示．则从这6名学生中随机抽取2名的情况有：(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)共15种，其中恰好1名高一学生1名高二学生的有6种．∴P=615=25，即恰好有1名高一学生，1名高二学生的概率为25．【解析】(Ⅰ)根据分层抽样先求出x，即可求出y，z，m．(Ⅱ)知道且采取措施”的学生中高一学生2名用A，B表示，高二学生3名用C，D，E 表示，高三学生1名用F表示．根据古典概率公式计算即可．本题考查等可能事件的概率，古典概型概率计算公式等知识，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率之和为：1−10×0.035−0.15−0.05=0.45，且前三个频率成等差数列(设公差为d)，故[100,110)上的频率为：0.453=0.15，从而2d=0.35−0.15=0.2，解得d=0.1，∴[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率分别为0.05，0.15，0.25.……(5分) (Ⅱ)(ⅰ)从160人中抽取32人，样本距为5，故第一个编号为18−3×5=3.……(7分) (ⅰ)抽取的32人的编号依次成等差数列，首项为3，公差为5，设第n个编号为a n，则a n=3+(n−1)×5=5n−2，……(9分)由(1)可知区间[90,100)，[100,110)上的总人数为160×(0.05+0.15)=32人，[110,120)，[120,130)上的总人数为160×(0.25+0.35)=96人，[90,130)共有128人，令33≤a n≤128，解得7≤n≤26，∴在[110,120)，[120,130)上抽取的样本有20人，……(11分)故从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)的概率是p=2032=58.……(12分)【解析】(Ⅰ)先求出[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率之和，再由前三个频率成等差数列，得[100,110)上的频率为0.15，由此能求出[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率．(Ⅱ)(ⅰ)从160人中抽取32人，样本距为5，由此能求出第一个编号．(ⅰ)抽取的32人的编号依次成等差数列，首项为3，公差为5，设第n个编号为a n，则a n=3+(n−1)×5=5n−2，由此能求出从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)的概率．本题考查频率的求法，考查第一个编号、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．19.【答案】解：(1)根据题意，k a⃗+b⃗ =k(1,2)+(−3,4)=(k−3,2k+4)，由|k a ⃗ +b ⃗ |=5，得√(k −3)2+(2k +4)2=5，解得：k =0或k =−2；(2)根据题意，设a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角为θ，a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−3,4)，则a ⃗ +b ⃗ =(−2,6)，a ⃗ −b ⃗ =(4,−2)；∴cosθ=40×20=−√22， ∵θ∈[0,π]；∴a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 夹角为3π4．【解析】(1)根据题意，求出k a ⃗ +b⃗ 的坐标，进而由向量模的计算公式可得√(k −3)2+(2k +4)2=5，解可得k 的值，即可得答案；(2)设a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角为θ，求出a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的坐标，由向量数量积的计算公式可得cosθ的值，结合θ的范围计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积、模的计算公式． 20.【答案】解：(1)∵sinα=35，且α为第二象限角，∴cosα=−√1−sin 2α=−45， ∴sin2α=2sinαcosα=2×35×(−45)=−2425；(2)由(1)知tanα=sinαcosα=−34， ∴tan(α+π4)=tanα+tan π41−tanαtan π4=−34+11−(−34)=17．【解析】(1)由已知利用平方关系求得cosα，再由二倍角公式求得sin2α的值；(2)由(1)求出tanα，展开两角和的正切求得tan(α+π4)的值．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和的正切，是基础的计算题． 21.【答案】解：(1)f(x)=4cosx ⋅sin(x +π6)=2√3sinxcosx +2cos 2x=√3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π6)+1，∴函数f(x)的周期T =π，∴当2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2时，即kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，函数单调增， ∴函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)； (2)当x ∈[0,π2]时，2x +π6∈[π6,7π6]， ∴sin(2x +π6)∈[−12,1]，∴当sin(2x +π6)=1，f(x)max =3．【解析】(1)对f(x)化简，然后利用周期公式求出周期，再利用整体法求出单调增区间； (2)当x ∈[0,π2]时，sin(2x +π6)∈[−12,1]，然后可得f(x)的最大值．本题考查了三角函数的化简求值和三角函数的图象与性质，考查了整体思想和数形结合思想，属基础题．22.【答案】解：(1)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=√2sin(ωx+φ+π4)，故2πω=2×π2，求得ω=2．再根据f(0)=sin(φ+π4)=0，0<|φ|<π2，可得φ=−π4，故f(x)=√2sin2x，f(π8)=√2sinπ4=1．(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y=g(x)=√2sin2(x−π6)=√2sin(2x−π3)的图象．∵x∈[π6,π2]，∴2x−π3∈[0,2π3]，当2x−π3=π2时，g(x)=√2sin(2x−π3)取得最大值为√2；当2x−π3=0时，g(x)=√2sin(2x−π3)取得最小值为0．【解析】(1)由条件利用两角和差的正弦公式化简f(x)的解析式，由周期求出ω，由f(0)= 0求出φ的值，可得f(x)的解析式，从而求得f(π8)的值．(2)由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域求得g(x)在x∈[π6,π2]上的最值．本题主要考查两角和差的正弦公式，由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由f(0)=0求出φ的值，可得f(x)的解析式；函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．。
浙江省宁波市镇海中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题
是第一象限， ，
是第二象限， ，且 ，
，
是第二象限， ，
，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查利用三角函数值的符号比较大小.
利用定义求三角函数值问题的常见类型及解法:
(1)已知角 终边上一点 的坐标，根据三角函数的定义求出相应的值即可．
(2)若已知角 的终边所在直线的方程求三角函数值，可以先设出终边上一点的坐标，再根据定义求相应的值．
【详解】
根据题意建立平面直角坐标系，如图所示；
则 ， ， ，
即 ；
又 ，
，作 于E，
则H的纵坐标 ；
又 ，作 于F，
则 ；
设 ，则 ，…①
，…②
，
即
求得 ，
点H的横坐标 ，
，
， ，
.
故答案为：
【点睛】
本题考查平面向量与几何综合问题
其求解方法：
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
【详解】
解： ， ；
.
故选：D.
【点睛】
本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.
简单对数不等式问题的求解策略：
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按 和 进行分类讨论．
当 时，由 得 ，即 ，
作出函数 与 在， 上的图象如图：
由图象知两个函数在 上共有7个交点，加上一个 ，
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一(下)期初数学试卷(2月份)
2018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期初数学试卷（2月份）试题数：22.满分：01.（单选题.4分）已知函数f（x）= {2x，x≤3x−3，x＞3.则f（f（1）-f（5））的值为A.1B.2C.3D.-32.（单选题.4分）已知集合P={x|0＜lgx＜2lg3}.Q={x| 22−x＞1}.则P∩Q为（）A.（0.2）B.（1.9）C.（1.4）D.（1.2）3.（单选题.4分）下列函数的周期不为π的是（）A.y=|sin2x|B.y= √tan2xC.y=（sinx-cosx）2D.y=cosx+cos|x|4.（单选题.4分）已知a⃗ =（4.3）. b⃗⃗ =（5.-12）则向量a⃗在b⃗⃗方向上的投影为（）A. −165B. 165C. −1613D. 16135.（单选题.4分）下列关系正确的是（）A.tan2＜0＜sin1＜cos8B.0＜cos8＜sin1＜tan2C.tan2＜cos8＜0＜sin1D.tan2＜0＜cos8＜sin16.（单选题.4分）若非零向量 a ⃗ . b ⃗⃗ 满足| a ⃗ + b ⃗⃗ |=| b ⃗⃗ |.则（ ） A.|2 a ⃗ |＞|2 a ⃗ + b ⃗⃗ | B.|2 a ⃗ |＜|2 a ⃗ + b ⃗⃗ | C.|2 b ⃗⃗ |＞| a ⃗ +2 b ⃗⃗ | D.|2 b ⃗⃗ |＜| a ⃗ +2 b⃗⃗ | 7.（单选题.4分）在△ABC 中.sinA= 513.cosB= 35.则cosC=（ ） A.- 1665B.- 5665C.± 1665D.± 56658.（单选题.4分）向量 a ⃗ . b ⃗⃗ 满足| a ⃗ |=| b ⃗⃗ |= a ⃗ •b ⃗⃗ =2.当实数t≥1时.向量 a ⃗ 和 a ⃗ −tb ⃗⃗ 的夹角范围是（ ） A.[0. π3 ） B.[ π3，2π3 ） C.[ 2π3，π ） D.[ π3，π ）9.（单选题.4分）已知函数f （x ）=sinx+acosx （a∈R ）对任意x∈R 都满足 f (π4+x)=f (π4−x) .则函数g （x ）=sinx+f （x ）的最大值为（ ） A.5 B.3 C. √5 D. √310.（单选题.4分）定义在R 上的奇函数f （x ）满足.当x∈（0.2）时.f （x ）=cos （ π2 （x-1））.且x≥2时.有f （x ）= 12f （x-2）.则函数F （x ）=x 2f （x ）-x 在[-2.5]上的零点个数为（ ） A.9 B.8 C.7 D.611.（填空题.5分）函数y=sinx- √3 cosx 的图象可由函数y=cosx+ √3 sinx 的图象至少向左平移___ 个单位长度得到．12.（填空题.5分）函数f （x ）=（ 12 ） √x2−x−1的单调递减区间为___ ．13.（填空题.5分）已知α∈（0.π）.sinα与cosα是关于x 的一元二次方程13x 2+7x+m=0的两根.则 1−tanα(tanα+1)•cos2α 的值为___ ．14.（填空题.5分）已知| a ⃗ +b ⃗⃗ |=2.| a ⃗ −b ⃗⃗ |=4.则| a ⃗ |+| b ⃗⃗ |的范围是___ ． 15.（填空题.5分）在△ABC 中.AD 为BC 上的中线.AB=1.AD=5.∠ABC=45°.则sin∠ADC=___ .AC=___ ．16.（填空题.5分）已知函数f （x ）的定义域为R.对任意x 1＜x 2.有 f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2＞-1.且f （1）=1.则不等式f （log 2|3x -1|）＜2-log 2|3x -1|的解集为___ ．17.（填空题.5分）在△ABC 中.AB=4.AC=5.∠BAC= π3 .H 为△ABC 内一点.S △HAB ：S △HCB ：S △HAC =2：3：5.则 HA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 18.（问答题.0分）已知α.β为锐角.且tan α=17 .sin β=√1010． （Ⅰ）求sin （α+β）； （Ⅱ）求α+2β．19.（问答题.0分）已知 a ⃗ =（2+sinx.1）. b ⃗⃗ =（2.-2）. c ⃗ =（sinx-3.1）. d ⃗ =（1.k ）（x∈R .k∈R ）．（Ⅰ）若 x ∈[−π2，π2] .且 a ⃗ || （ b ⃗⃗+c ⃗ ）.求x 的值；（Ⅱ）是否存在实数k 和x.使（ a ⃗ + d ⃗ ）⊥（ b ⃗⃗+c ⃗ ）？若存在.求出k 的取值范围；若不存在.请说明理由．20.（问答题.0分）在△ABC 中.a.b.c 分别为角A.B.C 的对边.已知 b 2+c 2−a 2a 2+b 2−c 2 +c2b+c =0．（1）求角A 的值；（2）若a=2.求三角形周长的取值范围．21.（问答题.0分）已知定义在[-2.2]上的偶函数f（x）满足：当x∈[0.2]时. f(x)=−x+2√3−x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数g（x）=ax-2-a（a＞0）.若对于任意的x1.x2∈[-2.2].都有g（x1）＜f（x2）成立.求实数a的取值范围．22.（问答题.0分）已知向量a⃗ =（√3cosωx.cosωx）. b⃗⃗ =（sinωx.-cosωx）.且函数f（x）= a⃗．•b⃗⃗的两个对称中心之间的最小距离为π2）；（1）求f（π3）在[0.π]上恰有两个零点.求实数m的取值范围．（2）若函数G（x）=m+1- √2 f（x22018-2019学年浙江省宁波市镇海中学高一（下）期初数学试卷（2月份）参考答案与试题解析试题数：22.满分：01.（单选题.4分）已知函数f （x ）= {2x ，x ≤3x −3，x ＞3.则f （f （1）-f （5））的值为A.1B.2C.3D.-3【正确答案】：A【解析】：推导出f （1）=2.f （5）=2.由此能求出f （f （1）-f （5））．【解答】：解：∵函数f （x ）= {2x ，x ≤3x −3，x ＞3 .∴f （1）=2. f （5）=5-3=2.∴f （f （1）-f （5））=f （0）=20=1. 故选：A ．【点评】：本题考查函数值的求法.考查函数性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题． 2.（单选题.4分）已知集合P={x|0＜lgx ＜2lg3}.Q={x| 22−x ＞1}.则P∩Q 为（ ） A.（0.2） B.（1.9） C.（1.4） D.（1.2） 【正确答案】：D【解析】：可解出集合P.Q.然后进行交集的运算即可．【解答】：解：P={x|1＜x＜9}.Q={x|0＜x＜2}；∴P∩Q=（1.2）．故选：D．【点评】：考查描述法、区间的定义.对数函数的单调性.分式不等式的解法.以及交集的运算．3.（单选题.4分）下列函数的周期不为π的是（）A.y=|sin2x|B.y= √tan2xC.y=（sinx-cosx）2D.y=cosx+cos|x|【正确答案】：D【解析】：由题意根据三角函数的周期性.得出结论．【解答】：解：∵函数y=|sin2x|=| 1−cos2x2 |的最小正周期为2π2=π.满足条件；函数y= √tan2x =|tanx|的最小正周期为π.满足条件；函数y=（sinx-cosx）2=1-sin2x 的最小正周期为2π2=π.满足条件；函数y=cosx+cos|x|=2cosx的最小正周期为2π1=2π.不满足条件.故选：D．【点评】：本题主要考查三角函数的周期性.属于基础题．4.（单选题.4分）已知a⃗ =（4.3）. b⃗⃗ =（5.-12）则向量a⃗在b⃗⃗方向上的投影为（）A. −165B. 165C. −1613D. 1613【正确答案】：C【解析】：由向量a⃗在b⃗⃗方向上的投影为a⃗⃗•b⃗⃗|b⃗⃗|.根据向量数量积的性质的坐标表示代入可求．【解答】：解：∵ a⃗ =（4.3）. b⃗⃗ =（5.-12）.a⃗•b⃗⃗ =4×5-3×12=-16.则向量a⃗在b⃗⃗方向上的投影为a⃗⃗•b⃗⃗|b⃗⃗| = −1613.故选：C．【点评】：本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示.属于基础试题．5.（单选题.4分）下列关系正确的是（）A.tan2＜0＜sin1＜cos8B.0＜cos8＜sin1＜tan2C.tan2＜cos8＜0＜sin1D.tan2＜0＜cos8＜sin1【正确答案】：C【解析】：根据三角函数的图象和函数值的关系.分别判断角2.1.8的象限即可．【解答】：解：∵1是第一象限.∴sin1＞0.∵2是第二象限.∴tan2＜0.且tan2＜-1.cos8=cos（8-2π）.∵8-2π是第二象限.∴cos8=cos（8-2π）＜0.∴tan2＜cos8＜0＜sin1.故选：C．【点评】：本题主要考查三角函数值的大小比较.利用条件判断角的象限是解决本题的关键．6.（单选题.4分）若非零向量a⃗ . b⃗⃗满足| a⃗ + b⃗⃗ |=| b⃗⃗ |.则（）A.|2 a⃗ |＞|2 a⃗ + b⃗⃗ |B.|2 a⃗ |＜|2 a⃗ + b⃗⃗ |C.|2 b⃗⃗ |＞| a⃗ +2 b⃗⃗ |D.|2 b⃗⃗ |＜| a⃗ +2 b⃗⃗ |【正确答案】：C【解析】：本题是对向量意义的考查.根据|| a⃗ |-| b⃗⃗||≤| a⃗ + b⃗⃗|≤| a⃗ |+| b⃗⃗ |进行选择.题目中注意| a⃗ +2 b⃗⃗ |=| a⃗ + b⃗⃗ + b⃗⃗ |的变化.和题目所给的条件的应用．【解答】：解：∵| a⃗ +2 b⃗⃗ |=| a⃗ + b⃗⃗ + b⃗⃗|≤| a⃗ + b⃗⃗ |+| b⃗⃗ |=2| b⃗⃗ |.∵ a⃗ . b⃗⃗是非零向量.∴必有a⃗ + b⃗⃗≠ b⃗⃗ .∴上式中等号不成立．∴|2 b ⃗⃗ |＞| a ⃗ +2 b ⃗⃗ |. 故选：C ．【点评】：大小和方向是向量的两个要素.分别是向量的代数特征和几何特征.借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．7.（单选题.4分）在△ABC 中.sinA= 513 .cosB= 35 .则cosC=（ ） A.- 1665 B.- 5665 C.± 1665 D.± 5665【正确答案】：A【解析】：由B 为三角形的内角.以及cosB 的值大于0.可得出B 为锐角.由cosB 的值.利用同角三角函数间的基本关系求出sinB 的值.由sinB 的值大于sinA 的值.利用正弦定理得到b 大于a.根据大角对大边可得B 大于A.由B 为锐角可得出A 为锐角.再sinA.利用同角三角函数间的基本关系求出cosA 的值.最后利用诱导公式得到cosC=-cos （A+B ）.再利用两角和与差的正弦函数公式化简后.将各自的值代入即可求出值．【解答】：解：∵B 为三角形的内角.cosB= 35 ＞0.∴B 为锐角. ∴sinB= √1−cos 2B = 45 .又sinA= 513 . ∴sinB ＞sinA.可得A 为锐角. ∴cosA= √1−sin 2A = 1213 .则cosC=cos[π-（A+B ）]=-cos （A+B ）=-cosAcosB+sinAsinB=- 1213 × 35 + 513 × 45 =- 1665 ． 故选：A ．【点评】：此题考查了两角和与差的余弦函数公式.诱导公式.同角三角函数间的基本关系.以及正弦定理.熟练掌握定理及公式是解本题的关键．8.（单选题.4分）向量 a ⃗ . b ⃗⃗ 满足| a ⃗ |=| b ⃗⃗ |= a ⃗ •b ⃗⃗ =2.当实数t≥1时.向量 a ⃗ 和 a ⃗ −tb ⃗⃗ 的夹角范围是（ ） A.[0. π3） B.[ π3，2π3 ）C.[ 2π3，π ） D.[ π3，π ） 【正确答案】：B【解析】：由共线向量得：不妨设 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = tb ⃗⃗ （t≥1）.则点C 在OB 的延长线上运动. 由数量积表示两向量的夹角得：向量 a ⃗ 和 a ⃗ −tb ⃗⃗ 的夹角可用∠OAC 表示.由图知：∠OAC∈[ π3. 2π3）.得解【解答】：解：由| a ⃗ |=| b ⃗⃗ |= a ⃗ •b ⃗⃗ =2. 得 a ⃗ . b ⃗⃗ 的夹角为 π3. 不妨设 OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = a ⃗ . OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗⃗ . OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = tb ⃗⃗ （t≥1）. 不妨设 OC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = tb ⃗⃗ （t≥1）. 则点C 在OB 的延长线上运动.向量 a ⃗ 和 a ⃗ −tb ⃗⃗ 的夹角可用∠OAC 表示. 由图知：∠OAC∈[ π3 . 2π3 ）. 故选：B ．【点评】：本题考查了共线向量、数量积表示两向量的夹角.属中档题9.（单选题.4分）已知函数f （x ）=sinx+acosx （a∈R ）对任意x∈R 都满足 f (π4+x)=f (π4−x) .则函数g （x ）=sinx+f （x ）的最大值为（ ） A.5 B.3 C. √5 D. √3【正确答案】：C【解析】：由题意可得f（π4）=± √1+a2 .求出a=1.可得函数g（x）=2sinx+cosx.从而得到g （x）的最大值．【解答】：解：∵函数f（x）=sinx+acosx（a∈R）对任意x∈R都满足f(π4+x)=f(π4−x) .∴f（x）的图象关于直线x= π4对称.∴f（π4）=± √1+a2 = √22+ √22a.解得a=1．则函数g（x）=sinx+f（x）=2sinx+cosx 的最大值为√22+12 = √5 .故选：C．【点评】：本题考查三角函数的最大值的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意三角函数性质的合理运用．10.（单选题.4分）定义在R上的奇函数f（x）满足.当x∈（0.2）时.f（x）=cos（π2（x-1））.且x≥2时.有f（x）= 12f（x-2）.则函数F（x）=x2f（x）-x在[-2.5]上的零点个数为（）A.9B.8C.7D.6【正确答案】：B【解析】：根据函数奇偶性和递推关系.分别取出f（x）在[-2.5]上解析式和图象.利用数形结合确定两个图象的交点个数即可．【解答】：解：当x∈（0.2）时.f（x）=cos（π2（x-1））=cos（π2x- π2）=sin（π2x）.∵f（x）是奇函数.∴f（0）=0.当x≥2时.有f（x）= 12f（x-2）.∴f（2）= 12f（0）=0.f（4）= 12f（2）=0.若x∈（-2.0）.则-x∈（0.2）.则f（-x）=sin（- π2 x）=-sin（π2x）=-f（x）.即f（x）=sin（π2x）.x∈（-2.0）即当-2≤x≤2时.f（x）=sin（π2x）.当2≤x≤4时.0≤x-2≤2.此时f（x）= 12f（x-2）= 12sin[ π2（x-2）]= 12sin（π2x-π）=- 12sin（π2x）.当4≤x≤5时.2≤x-2≤3.此时f（x）= 12f（x-2）=- 14sin[ π2（x-2）]=- 14sin（π2x-π）= 14sin（π2x）.由F（x）=x2f（x）-x=0.得：当x=0时.由F（0）=0.即x=0是F（x）的一个零点.当x≠0时.由x2f（x）-x=0得xf（x）=1.即f（x）= 1x.作出函数f（x）与g（x）= 1x在.[-2.5]上的图象如图：由图象知两个函数在[-2.5]上共有7个交点.加上一个x=0.故函数F（x）=x2f（x）-x在[-2.5]上的零点个数为8个.故选：B．【点评】：本题主要考查函数与方程的应用.利用函数奇偶性和递推关系求出函数的解析式和图象.利用函数与方程的关系转化为两个函数图象交点个数问题是解决本题的关键．综合性较强.运算量较大.有一定的难度．11.（填空题.5分）函数y=sinx- √3 cosx的图象可由函数y=cosx+ √3 sinx的图象至少向左平移___ 个单位长度得到．【正确答案】：[1] 3π2【解析】：利用两角和差的三角公式化简函数的解析式.再根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律.得出结论．【解答】：解：∵函数y=cosx+ √3 sinx=2sin （ π6 +x ）.y=sinx- √3 cosx=2sin （x- π3 ）=2sin （x+ 5π3）.故把函数y=cosx+ √3 sinx 的图象至少向左平移 5π3 - π6 = 3π2个单位.可得y=sinx- √3 cosx 的图象.故答案为： 3π2 ．【点评】：本题主要考查两角和差的三角公式.函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律.属于基础题．12.（填空题.5分）函数f （x ）=（ 12） √x 2−x−1的单调递减区间为___ ．【正确答案】：[1][1+√52.+∞） 【解析】：先求出函数的定义域.再利用二次函数、指数函数的性质可得.本题即求t=x 2-x-1在定义域内的增区间.再根据二次函数的性质可得结论．【解答】：解：∵函数f （x ）=（ 12 ） √x 2−x−1.∴x 2-x-1≥0.求得x≤1−√52 .或 x≥ 1+√52. 故函数的定义域为{x|x≤1−√52 .或 x≥ 1+√52}.本题即求t=x 2-x-1在定义域内的增区间.再根据二次函数的性质可得t=x 2-x-1在定义域内的增区间为[ 1+√52.+∞）. 故答案为：[ 1+√52.+∞）．【点评】：本题主要考查复合函数的单调性.二次函数、指数函数的性质.属于中档题． 13.（填空题.5分）已知α∈（0.π）.sinα与cosα是关于x 的一元二次方程13x 2+7x+m=0的两根.则 1−tanα(tanα+1)•cos2α 的值为___ ． 【正确答案】：[1]16949【解析】：由已知结合根与系数的关系求得sinα+cosα.进一步求得sinα-cosα.联立求得sinα.cosα的值.得到tanα的值.则 1−tanα(tanα+1)•cos2α的值可求．【解答】：解：∵sinα与cosα是关于x 的一元二次方程13x 2+7x+m=0的两根. ∴sin α+cosα=−713 .两边平方得： 2sinαcosα=−120169 . ∵α∈（0.π）. ∴sinα＞0.cosα＜0.则sinα-cosα= √(sinα−cosα)2=√1−2sinαcosα = 1713 ． 联立 {sinα+cosα=−713sinα−cosα=1713.解得sinα= 513 .cosα= −1213． ∴tanα= −512 ．则 1−tanα(tanα+1)•cos2α = 1+512(1−512)×(1−2×25169)= 2873833 = 16949 ． 故答案为： 16949 ．【点评】：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值.考查同角三角函数基本关系式的应用.是中档题．14.（填空题.5分）已知| a ⃗ +b ⃗⃗ |=2.| a ⃗ −b ⃗⃗ |=4.则| a ⃗ |+| b ⃗⃗ |的范围是___ ． 【正确答案】：[1]（4.2 √5 ]【解析】：设 |a ⃗| =m.| b ⃗⃗ |=n. ＜a ⃗，b ⃗⃗＞ =θ．根据| a ⃗ +b ⃗⃗ |=2.| a ⃗ −b⃗⃗ |=4.可得m 2+n 2+2mncosθ=4.m 2+n 2-2mncosθ=16.利用向量三角形法则、基本不等式的性质即可得出．【解答】：解：设 |a ⃗| =m.| b ⃗⃗ |=n. ＜a ⃗，b ⃗⃗＞ =θ． ∵| a ⃗ +b ⃗⃗ |=2.| a ⃗ −b ⃗⃗ |=4. ∴m 2+n 2+2mncosθ=4. m 2+n 2-2mncosθ=16. ∴m 2+n 2=10.则4＜| a ⃗ |+| b ⃗⃗ |≤ √2(m 2+n 2) =2 √5 . ∴| a ⃗ |+| b ⃗⃗ |的范围是（4.2 √5 ]． 故答案为：（4.2 √5 ]．【点评】：本题考查了向量三角形法则、基本不等式的性质.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．15.（填空题.5分）在△ABC 中.AD 为BC 上的中线.AB=1.AD=5.∠ABC=45°.则sin∠ADC=___ .AC=___ ． 【正确答案】：[1] √210 ; [2] √113【解析】：由已知在△ABD中.利用正弦定理可得sin∠ADB.进而可求sin∠ADC的值.在△ABD中.由余弦定理解得BD.可求BC.由余弦定理可得AC的值．【解答】：解：∵AB=1.AD=5.∠ABC=45°.∴在△A BD中.由正弦定理可得：sin∠ADB= AB•sin∠ABCAD = 1×√225= √210．∴sin∠ADC=sin∠ADB= √210．∵在△ABD中.由余弦定理AD2=AB2+BD2-2AB•AD•cos∠ABC.可得：25=1+BD2-2× 1×BD×√22.即：BD2- √2 BD-24=0.∴解得：BD=4 √2 .或-3 √2（舍去）.∴BC=2BD=8 √2 .∴由余弦定理可得：AC= √AB2+BC2−2AB•BC•cos∠ABC= √1+128−2×1×8√2×√22= √113 .故答案为：√210. √113．【点评】：本题主要考查了正弦定理.余弦定理在解三角形中的综合应用.考查了计算能力和数形结合思想.属于中档题．16.（填空题.5分）已知函数f（x）的定义域为R.对任意x1＜x2.有f(x1)−f(x2)x1−x2＞-1.且f（1）=1.则不等式f（log2|3x-1|）＜2-log2|3x-1|的解集为___ ．【正确答案】：[1]（-∞.0）∪（0.1）【解析】：根据题意.设g（x）=f（x）+x.将f(x1)−f(x2)x1−x2＞-1变形可得[f(x1)+x1]−[f(x2)+x2]x1−x2＞0.分析可得函数g（x）在R上为增函数.结合f（1）的值可得g（1）的值.则f（log2|3x-1|）＜2-log2|3x-1|可以转化为g（log2|3x-1|）＜g（1）.进而可得log2|3x-1|＜1⇒|3x-1|＜2.解可得x的值.即可得答案．【解答】：解：根据题意.设g（x）=f（x）+x.若函数f（x）满足对任意x1＜x2.有f(x1)−f(x2)x1−x2＞-1.则[f(x1)+x1]−[f(x2)+x2]x1−x2＞0.则函数g（x）在R上为增函数.又由f（1）=1.则g（1）=1+1=2.f （log 2|3x -1|）＜2-log 2|3x -1|⇒f （log 2|3x -1|）+log 2|3x -1|＜2 ⇒g （log 2|3x -1|）＜g （1）⇒log 2|3x -1|＜1. 则有0＜|3x -1|＜2.解可得：x ＜1且x≠0.即不等式的解集为（-∞.0）∪（0.1）； 故答案为：（-∞.0）∪（0.1）．【点评】：本题考查函数单调性的判断.关键是构造新函数.并分析函数的单调性.属于综合题． 17.（填空题.5分）在△ABC 中.AB=4.AC=5.∠BAC= π3 .H 为△ABC 内一点.S △HAB ：S △HCB ：S △HAC =2：3：5.则 HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =___ ． 【正确答案】：[1]-3【解析】：根据题意建立平面直角坐标系.利用数形结合与面积的比求出点H 的坐标. 再用坐标表示出向量.从而求出平面向量的数量积．【解答】：解：根据题意建立平面直角坐标系.如图所示； 则A （0.0）.B （4.0）.C （5cos60°.5sin60°）. 即C （ 52 .5√32）； 又S △HAB ：S △HCB ：S △HAC =2：3：5. ∴S △HAB = 15 S △ABC .作HE⊥AB 于E. 则H 的纵坐标y=HE= 15 ×5√32 = √32； 又S △HAC = 12 S △ABC .作HF⊥AC 于F. 则HF= 12 ×AB×sin60°= √3 ； 设∠HAE=α.则HAsinα= √32 .… ① HAsin （60°-α）= √3 .… ② ∴sin (60°−α)sinα=2. 即√32cosα−12sinαsinα=2.求得tanα= sinαcosα = √35 . ∴点H 的横坐标x=AE= HE tanα = √32√35 = 52.∴H （ 52 . √32 ）.∴ HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（- 52.- √32）. HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.2 √3 ）.∴ HA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =- 52 ×0+（- √32 ）×2 √3 =-3． 故答案为：-3【点评】：本题考查了平面向量的数量积与应用问题.也考查了三角形面积计算问题.是难题． 18.（问答题.0分）已知α.β为锐角.且tan α=17 .sin β=√1010． （Ⅰ）求sin （α+β）； （Ⅱ）求α+2β．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意利用同角三角函数的基本关系求得α的正弦、余弦.再求出β的余弦.利用两角和的正弦公式求出sin （α+β）的值．（Ⅱ）先求出α+2β的余弦值.再根据α+2β的范围.求出α+2β的值．【解答】：解：（Ⅰ）∵α.β为锐角.且tan α=17 = sinαcosα .sin 2α+cos 2α=1.∴sinα=1√50= √210 .cosα= √50= 7√210 ． ∵sin β=√1010.∴cosβ= √1−sin 2β =3√1010 . 求sin （α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ= √210•3√1010 + 7√210•√1010 = √55． （Ⅱ）∴sin2β=2sinβcosβ= 35 .cos2β=2cos 2β-1= 45 .∴2β还是锐角.∴0＜α+2β＜π． ∴cos （α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β=7√210 • 45 - √210 • 35 = √22.∴α+2β= π4 ．【点评】：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的三角公式.二倍角公式的应用.根据三角函数的值求角.属于中档题．19.（问答题.0分）已知 a ⃗ =（2+sinx.1）. b ⃗⃗ =（2.-2）. c ⃗ =（sinx-3.1）. d ⃗ =（1.k ）（x∈R .k∈R ）．（Ⅰ）若 x ∈[−π2，π2] .且 a ⃗ || （ b ⃗⃗+c ⃗ ）.求x 的值；（Ⅱ）是否存在实数k 和x.使（ a ⃗ + d ⃗ ）⊥（ b ⃗⃗+c ⃗ ）？若存在.求出k 的取值范围；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（I ）先根据 b ⃗⃗ =（2.-2）. c ⃗ =（sinx-3.1）.求出 b ⃗⃗+c ⃗ 的坐标.再根据 a ⃗∥ (b ⃗⃗+c ⃗) .找到向量坐标满足的关系式.根据x 的范围.就可求出x 的值．（II ）先假设存在实数k 和x.使（ a ⃗+d ⃗ ）⊥（ b ⃗⃗+c ⃗ ）.则可得（ a ⃗+d ⃗ ）•（ b ⃗⃗+c ⃗ ）=0.再用向量数量级积的坐标公式计算.若能解出k 的值.则存在.否则.不存在．【解答】：解：∵ b ⃗⃗ =（2.-2）. c ⃗ =（sinx-3.1）. ∴ b ⃗⃗+c ⃗ =（sinx-1.-1）.∵ a ⃗∥ (b ⃗⃗+c ⃗) .∴-（2+sinx ）=sinx-1. ∴2sinx =−1，sinx =−12，∵x ∈[−π2，π2]， ∴ x =−π6．（II ） a ⃗+d ⃗ =（3+sinx.1+k ）. b ⃗⃗+c ⃗ =（sinx-1.-1）若（ a ⃗+d ⃗ ）⊥（ b ⃗⃗+c ⃗ ）.则即（3+sinx ）（sinx-1）-（1+k ）=0.k=sin 2x+2sinx-4=（sinx+1）2-5.x∈R . sinx ∈[−1，1]，sinx +1∈[0，2]，(sinx+1)2∈[0，4]，k ∈[−5，−1]，存在k∈[-5.-1]使（ a ⃗+d ⃗ ）⊥（ b ⃗⃗+c ⃗ ）．【点评】：本题考查了向量共线以及向量平行的充要条件.两者不要混淆．20.（问答题.0分）在△ABC 中.a.b.c 分别为角A.B.C 的对边.已知 b 2+c 2−a 2a 2+b 2−c 2 +c2b+c =0． （1）求角A 的值；（2）若a=2.求三角形周长的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）由正弦定理.余弦定理化简已知等式可求cosA.结合A 的范围可求A 的值． （2）由正弦定理可求c= 4√33 sinC.b= 4√33sinB.设周长为y.利用三角函数恒等变换的应用化简得y= 4√33 sin （B+ π3 ）+2.可求范围 π3 ＜B+ π3 ＜ 2π3.利用正弦函数的性质可求取值范围．【解答】：（本题满分为12分） 解：（1）∵ b 2+c 2−a 2a 2+b 2−c 2 +c2b+c =0. ∴由余弦定理可得： 2bccosA 2abcosC +c2b+c =0. ∴由正弦定理可得： sinCcosA sinAcosC + sinC2sinB+sinC =0. 整理可得：0=2sinBcosA+sinCcosA+cosCsinA. ∴0=2sinBcosA+sinB . ∵sinB ＞0. ∴可得：cosA=- 12 . ∵A∈（0.π）.∴A= 2π3 ．-----（6分） （2）∵a=2.A= 2π3 . ∵ bsinB =csinC =2sin2π3=4√33. ∴c=4√33 sinC.b= 4√33sinB.----（7分）设周长为y.则y=a+c+b =2+ 4√33 sinB+ 4√33sinC =2+4√33 sinB+ 4√33 sin （ π3-B ）=2+2cosB+ 2√33sinB.----（8分） =4√33 sin （B+ π3）+2.-------（9分）∵0＜B ＜ π3 . ∴ π3 ＜B+ π3 ＜ 2π3 . ∴ √32＜sin （B+ π3）≤1. ∴y=4√33 sin （B+ π3 ）+2∈（4. 4√33+2]． ∴周长的取值范围是（4. 4√33+2]．-------（12分）【点评】：本题主要考查了正弦定理.余弦定理.三角函数恒等变换的应用.正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用.考查了转化思想.属于中档题．21.（问答题.0分）已知定义在[-2.2]上的偶函数f （x ）满足：当x∈[0.2]时. f (x )=−x +2√3−x ．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）设函数g （x ）=ax-2-a （a ＞0）.若对于任意的x 1.x 2∈[-2.2].都有g （x 1）＜f （x 2）成立.求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据题意.设x∈[-2.0].则-x∈[0.2].由函数的解析式可得f （-x ）的解析式.进而利用函数奇偶性的性质分析可得f （x ）的表达式.综合即可得答案；（2）根据题意.求出函数f （x ）的最小值与g （x ）的最大值.分析可得f （x ）min ＞g （x ）max .解即可得答案．【解答】：解：（1）根据题意.设x∈[-2.0].则-x∈[0.2]. 从而 f (−x )=x +2√3+x . 因为f （x ）定义x∈[-2.2]在偶函数. 所以 f (x )=f (−x )=x +2√3+x 因此. f (x )={x +2√3+x ，x ∈[−2，0)−x +2√3−x ，x ∈[0，2]（2）因为对任意x1.x2∈[-2.2].都有g（x1）＜f（x2）成立.所以g（x）max＜f（x）min又因为f（x）是定义在[-2.2]上的偶函数．所以f（x）在区间[-2.0]和区间[0.2]上的值域相同．当x∈[-2.0]时. f(x)=x+2√3+x．设t=√3+x .则t∈[1，√3]函数化为y=t2+2t−3，t∈[1，√3] .则f（x）min=0又g（x）max=g（2）=a-2所以a-2＜0即a＜2.因此.a的取值范围为0＜a＜2．【点评】：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用.涉及函数的恒成立问题.注意将恒成立问题转化为函数的最值问题．22.（问答题.0分）已知向量a⃗ =（√3cosωx.cosωx）. b⃗⃗ =（sinωx.-cosωx）.且函数f（x）= a⃗•b⃗⃗的两个对称中心之间的最小距离为π2．（1）求f（π3）；（2）若函数G（x）=m+1- √2 f（x2）在[0.π]上恰有两个零点.求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）根据向量数量积的定义结合辅助角公式进行化简.结合三角函数的对称性质求出的周期和ω即可．（2）求出函数G（x）的解析式.利用参数法.结合三角函数的图象和性质进行求解即可．【解答】：解：（1）f（x）= a⃗•b⃗⃗ = √3cosωxsinωx-cos2ωx= √32sin2ωx- 12（1+cos2ωx）= √32sin2ωx- 12cos2ωx- 12=sin（2ωx- π6）- 12.∵函数f（x）= a⃗•b⃗⃗的两个对称中心之间的最小距离为π2.∴T 2 = π2.得T=π.即T= 2π2ω=π.得ω=1.即f（x）=sin（2x- π6）- 12．则f（π3）=sin（2× π3- π6）- 12=1- 12= 12.（2）函数G（x）=m+1- √2 f（x2）=m+1- √2 [sin（x- π6）- 12]=0.得m= √2 sin（x- π6）- √22-1.当0≤x≤π时.- π6≤x- π6≤ 5π6.当π6≤x- π6≤ 5π6且x- π6≠ π2时.y=sin（x- π6）才有两个交点.此时12≤sin（x- π6）＜1.则. √22≤ √2 sin（x- π6）＜√2 .即0≤ √2 sin（x- π6）- √22＜√22.-1≤ √2 sin（x- π6）- √22-1＜√22-1.即-1≤m＜√22-1.即实数m的取值范围是[-1. √22-1）．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质.利用向量数量积的定义结合辅助角公式进行化简是解决本题的关键．运算量较大．。
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)_6
2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：必修1，必修2占30%，必修3，必修4占70%.第I卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据交集的定义直接计算即可得解.【详解】集合，，.故选：A.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.下列各角中，与126°角终边相同的角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出与126°的角终边相同的角的集合，取k=1得答案．【详解】解：与126°的角终边相同的角的集合为{α|α=126°+k•360°，k∈Z}．取k=1，可得α=486°．∴与126°的角终边相同的角是486°．故选B．【点睛】本题考查终边相同角的计算，是基础题．3.已知样本数据为3，1，3，2，3，2，则这个样本的中位数与众数分别为（）A. 2，3B. 3，3C. 2.5，3D. 2.5，2【解析】【分析】将样本数据从小到大排列即可求得中位数，再找出出现次数最多的数即为众数.【详解】将样本数据从小到大排列：1，2，2，3，3，3，中位数为，众数为3.故选：C.【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，属于基础题.4.下列函数，是偶函数的为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】逐项判断各项的定义域是否关于原点对称，再判断是否满足即可得解.【详解】易知各选项的定义域均关于原点对称.，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B.【点睛】本题考查了诱导公式的应用和函数奇偶性的判断，属于基础题.5.已知，则等于（）A. B. C. D. 3【答案】C【解析】【分析】等式分子分母同时除以即可得解.【详解】由可得.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数商数关系的应用，属于基础题.6.在集合且中任取一个元素，所取元素x恰好满足方程的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出集合中的元素，分别判断是否满足即可得解.【详解】集合且的元素，,，，，，.基本事件总数为，满足方程的基本事件数为.故所求概率.故选：B.【点睛】本题考查了古典概型概率的求解，属于基础题.7.已知向量，，则，的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得，即可得，再结合即可得解.【详解】由题意知，则.，则，的夹角为.故选：A.【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于基础题.8.一个几何体的三视图如图（图中尺寸单位：m），则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图判断几何体的形状，计算即可得解.【详解】该几何体是一个半径为1的球体削去四分之一，体积为.故选：C.【点睛】本题考查了三视图的识别和球的体积计算，属于基础题.9.设函数，则满足的x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别解和时条件对应的不等式即可.【详解】①当时，，此时，不合题意；②当时，，可化为即，解得.综上，的x的取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查了分段函数不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于基础题.10.已知函数的部分图象如图所示，则函数的表达式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的最值求得，根据函数的周期求得，根据函数图像上一点的坐标求得，由此求得函数的解析式.【详解】由题图可知，且即，所以，将点的坐标代入函数，得，即，因，所以，所以函数的表达式为．故选D.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数的解析式，属于基础题.11.在面积为S的平行四边形ABCD内任取一点P，则三角形PBD的面积大于的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】转化条件求出满足要求的P点的范围，求出面积比即可得解.【详解】如图，设P到BD距离为h，A到BD距离为H，则，，满足条件的点在和中，所求概率.故选：A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题.12.关于的方程在内有相异两实根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将问题转化为与有两个不同的交点；根据可得，对照的图象可构造出不等式求得结果.【详解】方程有两个相异实根等价于与有两个不同的交点当时，由图象可知：，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查正弦型函数的图象应用，主要是根据方程根的个数确定参数范围，关键是能够将问题转化为交点个数问题，利用数形结合来进行求解.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，若，则实数________.【答案】2或【解析】【分析】根据向量平行的充要条件代入即可得解.【详解】由有：，解得或.故答案为：2或.【点睛】本题考查了向量平行的应用，属于基础题.14.按照如图所示的程序框图，若输入的x值依次为，0，1，运行后，输出的y值依次为，，，则________.【答案】5【解析】【分析】根据程序框图依次计算出、、后即可得解.【详解】由程序框图可知，；，；，.所以.故答案为：.【点睛】本题考查了程序框图的应用，属于基础题.15.圆与圆的公共弦长为________.【答案】【解析】【分析】先求出公共弦方程为，再求出弦心距后即可求解.【详解】两圆方程相减可得公共弦直线方程为，圆的圆心为，半径为，圆心到的距离为，公共弦长为.故答案为：.【点睛】本题考查了圆的一般方程以及直线与圆位置关系的应用，属于基础题.16.把函数的图象向左平移个单位长度，所得图象正好关于原点对称，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】根据条件先求出平移后的函数表达式为，令即可得解.【详解】由题意可得平移后的函数表达式为，图象正好关于原点对称，即，又，的最小值为.故答案：.【点睛】本题考查了函数图像的平移以及三角函数的图像与性质，属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知函数.求：（1）函数的最大值、最小值及最小正周期；（2）函数的单调递增区间.【答案】（1）最大值，最小值为，最小正周期；（2）【解析】【分析】（1）根据即可求出最值，利用即可求出最小正周期；（2）根据复合函数的单调性，令即可得解.【详解】（1），函数的最大值为，最小值为；函数的最小正周期为.（2）令，得：，故函数的增区间为.【点睛】本题考查了三角函数的性质以及单调区间的求解，属于基础题.18.如图，在三棱锥中，，分别为棱，上的三等份点，，.（1）求证：平面；（2）若，平面，求证：平面平面.【答案】(1)见证明；(2)见证明【解析】【分析】（1）由，，得，进而得即可证明平面. （2）平面得，由，，得，进而证明平面，则平面平面【详解】证明：（1）因为，，所以，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，平面，所以.因为，，所以，又，所以平面.又平面，所以平面平面.【点睛】本题考查线面平行的判定，面面垂直的判定，考查空间想象及推理能力，熟记判定定理是关键，是基础题19.某小型企业甲产品生产的投入成本x（单位：万元）与产品销售收入y（单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次该产品的相关数据.（1）求y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大（毛利率）？相关公式：，【答案】（1）；（2）12万元毛利率更大【解析】【分析】（1）根据题意代入数值分别算出与即可得解；（2）分别把与代入线性回归方程算出再算出毛利率即可得解.【详解】（1）由题意，.，，，故y关于x的线性回归方程为.（2）当时，，对应的毛利率为，当时，，对应的毛利率为，故投入成本12万元的毛利率更大.【点睛】本题考查了线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于基础题.20.已知向量，.函数的图象关于直线对称，且.（1）求函数的表达式：（2）求函数在区间上的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）转化条件得，由对称轴可得，再结合即可得解；（2）根据自变量的范围可得，利用整体法即可得解.【详解】（1）由题意，函数图象关于直线对称，.即.又，，得，由得，故.则函数的表达式为（2），.，，则函数在区间上的值域为.【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算、函数表达式和值域的确定，考查了整体意识，属于基础题.21.有n名学生，在一次数学测试后，老师将他们的分数（得分取正整数，满分为100分），按照，，，，的分组作出频率分布直方图（如图1），并作出样本分数的茎叶图（如图2）（图中仅列出了得分在，的数据）.（1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（2）分数在的学生中，男生有2人，现从该组抽取三人“座谈”，求至少有两名女生的概率.【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1）利用之间的人数和频率即可求出，进而可求出、；（2）列出所有基本事件，再找到符合要求的基本事件即可得解.【详解】（1）由题意可知，样本容量，，.（2）由题意知，分数在的学生共有5人，其中男生2人，女生3人，分别设编号为，和，，，则从该组抽取三人“座谈”包含的基本事件：，，，，，，，，，，共计10个.记事件A“至少有两名女生”，则事件A包含的基本事件有：，，，，，，，共计7个.所以至少有两名女生的概率为.【点睛】本题考查了频率分布直方图和古典概型概率的求法，属于基础题.22.已知函数.（1）证明函数在定义域上单调递增；（2）求函数的值域；（3）令，讨论函数零点的个数.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当时，没有零点；当时，有且仅有一个零点【解析】【分析】（1）求出函数定义域后直接用定义法即可证明；（2）由题意得，对两边同时平方得，求出的取值范围即可得解；（3）转化条件得，令，利用二次函数的性质分类讨论即可得解.【详解】（1）证明：令，解得，故函数的定义域为令，由，可得，所以，，故即，所以函数在定义域上单调递增.（2）由，，故，，当时，，有，可得：，故，由，可得，故函数的值域为，（3）由（2）知，则，令，则，令，①当时，，此时函数没有零点，故函数也没有零点；②当时，二次函数的对称轴为，则函数在区间单调递增，而，，故函数有一个零点，又由函数单调递增，可得函数也只有一个零点；③当时，，二次函数开口向下，对称轴，又，，此时函数没有零点，故函数也没有零点.综上，当时，函数没有零点；当时，函数有且仅有一个零点.【点睛】本题考查了函数单调性的证明、值域的求解和零点问题，考查了转化化归思想和分类讨论思想，属于中档题.2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：必修1，必修2占30%，必修3，必修4占70%.第I卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据交集的定义直接计算即可得解.【详解】集合，，.故选：A.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.下列各角中，与126°角终边相同的角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出与126°的角终边相同的角的集合，取k=1得答案．【详解】解：与126°的角终边相同的角的集合为{α|α=126°+k•360°，k∈Z}．取k=1，可得α=486°．∴与126°的角终边相同的角是486°．故选B．【点睛】本题考查终边相同角的计算，是基础题．3.已知样本数据为3，1，3，2，3，2，则这个样本的中位数与众数分别为（）A. 2，3B. 3，3C. 2.5，3D. 2.5，2【答案】C【解析】【分析】将样本数据从小到大排列即可求得中位数，再找出出现次数最多的数即为众数.【详解】将样本数据从小到大排列：1，2，2，3，3，3，中位数为，众数为3.故选：C.【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，属于基础题.4.下列函数，是偶函数的为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】逐项判断各项的定义域是否关于原点对称，再判断是否满足即可得解.【详解】易知各选项的定义域均关于原点对称.，故A错误；，故B正确；，故C错误；，故D错误.故选：B.【点睛】本题考查了诱导公式的应用和函数奇偶性的判断，属于基础题.5.已知，则等于（）A. B. C. D. 3【答案】C【解析】【分析】等式分子分母同时除以即可得解.【详解】由可得.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数商数关系的应用，属于基础题.6.在集合且中任取一个元素，所取元素x恰好满足方程的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】写出集合中的元素，分别判断是否满足即可得解.【详解】集合且的元素，,，，，，.基本事件总数为，满足方程的基本事件数为.故所求概率.故选：B.【点睛】本题考查了古典概型概率的求解，属于基础题.7.已知向量，，则，的夹角为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得，即可得，再结合即可得解.【详解】由题意知，则.，则，的夹角为.故选：A.【点睛】本题考查了向量数量积的应用，属于基础题.8.一个几何体的三视图如图（图中尺寸单位：m），则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三视图判断几何体的形状，计算即可得解.【详解】该几何体是一个半径为1的球体削去四分之一，体积为.故选：C.【点睛】本题考查了三视图的识别和球的体积计算，属于基础题.9.设函数，则满足的x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分别解和时条件对应的不等式即可.【详解】①当时，，此时，不合题意；②当时，，可化为即，解得.综上，的x的取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查了分段函数不等式的解法，考查了分类讨论思想，属于基础题.10.已知函数的部分图象如图所示，则函数的表达式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的最值求得，根据函数的周期求得，根据函数图像上一点的坐标求得，由此求得函数的解析式.【详解】由题图可知，且即，所以，将点的坐标代入函数，得，即，因，所以，所以函数的表达式为．故选D.【点睛】本小题主要考查根据三角函数图像求三角函数的解析式，属于基础题.11.在面积为S的平行四边形ABCD内任取一点P，则三角形PBD的面积大于的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】转化条件求出满足要求的P点的范围，求出面积比即可得解.【详解】如图，设P到BD距离为h，A到BD距离为H，则，，满足条件的点在和中，所求概率.故选：A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，属于基础题.12.关于的方程在内有相异两实根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将问题转化为与有两个不同的交点；根据可得，对照的图象可构造出不等式求得结果.【详解】方程有两个相异实根等价于与有两个不同的交点当时，由图象可知：，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查正弦型函数的图象应用，主要是根据方程根的个数确定参数范围，关键是能够将问题转化为交点个数问题，利用数形结合来进行求解.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，若，则实数________.【答案】2或【解析】【分析】根据向量平行的充要条件代入即可得解.【详解】由有：，解得或.故答案为：2或.【点睛】本题考查了向量平行的应用，属于基础题.14.按照如图所示的程序框图，若输入的x值依次为，0，1，运行后，输出的y值依次为，，，则________.【答案】5【解析】【分析】根据程序框图依次计算出、、后即可得解.【详解】由程序框图可知，；，；，.所以.故答案为：.【点睛】本题考查了程序框图的应用，属于基础题.15.圆与圆的公共弦长为________.【答案】【解析】【分析】先求出公共弦方程为，再求出弦心距后即可求解.【详解】两圆方程相减可得公共弦直线方程为，圆的圆心为，半径为，圆心到的距离为，公共弦长为.故答案为：.【点睛】本题考查了圆的一般方程以及直线与圆位置关系的应用，属于基础题.16.把函数的图象向左平移个单位长度，所得图象正好关于原点对称，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】根据条件先求出平移后的函数表达式为，令即可得解.【详解】由题意可得平移后的函数表达式为，图象正好关于原点对称，即，又，的最小值为.故答案：.【点睛】本题考查了函数图像的平移以及三角函数的图像与性质，属于基础题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.已知函数.求：（1）函数的最大值、最小值及最小正周期；（2）函数的单调递增区间.【答案】（1）最大值，最小值为，最小正周期；（2）【解析】【分析】（1）根据即可求出最值，利用即可求出最小正周期；（2）根据复合函数的单调性，令即可得解.【详解】（1），函数的最大值为，最小值为；函数的最小正周期为.（2）令，得：，故函数的增区间为.【点睛】本题考查了三角函数的性质以及单调区间的求解，属于基础题.18.如图，在三棱锥中，，分别为棱，上的三等份点，，.（1）求证：平面；（2）若，平面，求证：平面平面.【答案】(1)见证明；(2)见证明【解析】【分析】（1）由，，得，进而得即可证明平面. （2）平面得，由，，得，进而证明平面，则平面平面【详解】证明：（1）因为，，所以，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）因为平面，平面，所以.因为，，所以，又，所以平面.又平面，所以平面平面.【点睛】本题考查线面平行的判定，面面垂直的判定，考查空间想象及推理能力，熟记判定定理是关键，是基础题19.某小型企业甲产品生产的投入成本x（单位：万元）与产品销售收入y（单位：万元）存在较好的线性关系，下表记录了最近5次该产品的相关数据.（1）求y关于x的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大（毛利率）？相关公式：，【答案】（1）；（2）12万元毛利率更大【解析】【分析】（1）根据题意代入数值分别算出与即可得解；（2）分别把与代入线性回归方程算出再算出毛利率即可得解.【详解】（1）由题意，.，，，故y关于x的线性回归方程为.（2）当时，，对应的毛利率为，当时，，对应的毛利率为，故投入成本12万元的毛利率更大.【点睛】本题考查了线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于基础题.20.已知向量，.函数的图象关于直线对称，且.（1）求函数的表达式：（2）求函数在区间上的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）转化条件得，由对称轴可得，再结合即可得解；（2）根据自变量的范围可得，利用整体法即可得解.【详解】（1）由题意，函数图象关于直线对称，.即.又，，得，由得，故.则函数的表达式为（2），.，，则函数在区间上的值域为.【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算、函数表达式和值域的确定，考查了整体意识，属于基础题.21.有n名学生，在一次数学测试后，老师将他们的分数（得分取正整数，满分为100分），按照，，，，的分组作出频率分布直方图（如图1），并作出样本分数的茎叶图（如图2）（图中仅列出了得分在，的数据）.（1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（2）分数在的学生中，男生有2人，现从该组抽取三人“座谈”，求至少有两名女生的概率.【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1）利用之间的人数和频率即可求出，进而可求出、；（2）列出所有基本事件，再找到符合要求的基本事件即可得解.【详解】（1）由题意可知，样本容量，，.（2）由题意知，分数在的学生共有5人，其中男生2人，女生3人，分别设编号为，和，，，则从该组抽取三人“座谈”包含的基本事件：，，，，，，，，，，共计10个.记事件A“至少有两名女生”，则事件A包含的基本事件有：，，，，，，，共计7个.所以至少有两名女生的概率为.【点睛】本题考查了频率分布直方图和古典概型概率的求法，属于基础题.22.已知函数.（1）证明函数在定义域上单调递增；（2）求函数的值域；（3）令，讨论函数零点的个数.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当时，没有零点；当时，有且仅有一个零点【解析】【分析】（1）求出函数定义域后直接用定义法即可证明；（2）由题意得，对两边同时平方得，求出的取值范围即可得解；（3）转化条件得，令，利用二次函数的性质分类讨论即可得解.【详解】（1）证明：令，解得，故函数的定义域为令，由，可得，所以，，故即，所以函数在定义域上单调递增.（2）由，，故，，当时，，有，可得：，故，由，可得，故函数的值域为，（3）由（2）知，则，令，则，令，①当时，，此时函数没有零点，故函数也没有零点；②当时，二次函数的对称轴为，则函数在区间单调递增，而，，故函数有一个零点，又由函数单调递增，可得函数也只有一个零点；③当时，，二次函数开口向下，对称轴，又，，此时函数没有零点，故函数也没有零点.综上，当时，函数没有零点；当时，函数有且仅有一个零点.【点睛】本题考查了函数单调性的证明、值域的求解和零点问题，考查了转化化归思想和分类讨论思想，属于中档题.。
浙江省宁波市镇海中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题卷(解析版)
镇海中学2023学年第二学期期末考试高一数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 点P 是椭圆2212x y +=上一动点，则点P 到两焦点的距离之和为（ ） A. 2B.C. D. 4【答案】C 【解析】【分析】由椭圆定义求解即可.【详解】由2212x y +=可得：a =，由椭圆的定义可知：点P到两焦点的距离之和为2a =. 故选：C .2. 若{,,}a b c是空间中的一组基底，则下列可与向量,2a c a c +−构成基底的向量是（ ） A. aB. 2a b +C. 2a c +D. c【答案】B 【解析】【分析】借助空间中基底定义，计算该向量能否用,2a c a c +−表示即可得.【详解】由{,,}a b c是空间中的一组基底，故,,a b c 两两不共线，对A ：有()()1223a a c a c =++−，故A 错误； 对B ：设()()22a b m a c n a c +=++− ，则有()()22a b m n a m n c +=++−， 该方程无解，故2a b +可与,2a c a c +−构成基底，故B 正确；对C ：有()()12423a c a c a c +=+−−，故C 错误； 对D ：有()()123c a c a c =+−−，故D 错误. 故选：B.的3. l 为直线，α为平面，则下列条件能作为l α∥的充要条件的是（ ） A. l 平行平面α内的无数条直线 B. l 平行于平面α的法向量 C. l 垂直于平面α的法向量 D. l 与平面α没有公共点【答案】D 【解析】【分析】根据直线与平面平行的定义，由于定义是充要条件得到选项． 【详解】对A ：没有强调l α⊄，故A 错误；对B ：l 平行于平面α的法向量，可得l α⊥，故B 错误； 对C ：同A 一样，没有强调l α⊄，故C 错误；对D :根据直线与平面平行的定义：直线与平面没有公共点时，直线与平面平行. 所以“直线l 与平面α没有公共点”是“l α∥”的充要条件.故D 正确. 故选：D 4. 己知 (2,2,1)(1,1,0)ab =，，则a 在b上的投影向量的坐标为（ ）A. (1,1,0)B. (1,2,0)C. (2,2,0)D. (1,1,1)【答案】C 【解析】.【详解】向量a 在b上的投影向量为：()()21,1,02,2,0a b b b b⋅×==，故选：C5. 点()()1122,,,P x y Q x y 为直线20kx y −+=上不同的两点，则直线111:1l x x y y −=与直线222:1l x x y y −=的位置关系是（ ）A. 相交B. 平行C. 重合D. 不确定【答案】A 【解析】【分析】利用这两直线的斜率来结合已知条件，即可以作出判断.【详解】由点()()1122,,,P x y Q x y 为直线20kx y −+=上不同的两点， 则直线111:1l x x y y −=与直线222:1l x x y y −=的斜率存在时一定为1212x x y y ，，可以把这两个斜率看成直线上两点到原点的斜率的倒数， 由已知可得OP OQ k k ≠，则1212x x y y ≠，即两直线不可能平行与重合，则只能相交; 若直线111:1l x x y y −=与直线222:1l x x y y −=的斜率有一个不存在，则另一个斜率必存在，也能判定两直线相交； 故选：A.6. 如图，平行六面体各棱长为1，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=°，动点P 在该几何体内部，且满足1(1)(,R)AP xAB y AD x y AA x y =++−−∈ ，则||AP的最小值为（ ）A.B.C.D.12【答案】B 【解析】【分析】由平面向量共面定理可知：点P 在平面1BDA 内，则||AP的最小值即为点P 到平面1BDA 的距离，求出三棱锥1A A BD −为正四面体，过点A 作AH ⊥平面1BDA ，求解AH 即可得出答案.【详解】因为1(1)(,R)AP xAB y AD x y AA x y =++−−∈， 则()()111AP AA x AB AA y AD AA −=−+− ，即111A P xA B y A D =+ ，由平面向量共面定理可知：点P 在平面1BDA 内，则||AP的最小值即为点P 到平面1BDA 的距离，连接11,,,BD DA A B 因为平行六面体各棱长为1，且1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=°，所以111BD DA A B===， 所以三棱锥1A A BD −为正四面体，过点A 作AH ⊥平面1BDA ，因为1A H ⊂平面1BDA ，所以AH ⊥1A H ，如图，所以12233A H ==所以AH =，所以||AP的最小值为AH =故选：B .7. 实数,x y 满足2222x y x y +=−，则|3|x y −+的最小值为（ ）A. 3B. 7C.D. 3+【答案】A 【解析】【分析】化简2222x y x y +=−可得()()22112x y −++=，|3|x y −+表示为圆上点到直线30x y −+=倍，运用几何法求解即可.【详解】化简2222x y x y +=−可得()()22112x y −++=，即(),x y 在圆上，则|3|x y −+表示为圆上点到直线30x y −+=倍，圆心()1,1−到直线距离为d =则|3|x y −+3=. 故选：A8. 在棱长为2的正四面体O ABC −中，棱,OA BC 上分别存在点,M N （包含端点），直线MN 与平面ABC ，平面OBC 所成角为θ和ϕ，则sin sin θϕ+的取值范围是（ ）A. 23B. 23C.D. 【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，然后利用空间向量得到sin sin θϕ+，最后根据,a b 范围求sin sin θϕ+的取值范围即可.【详解】如图，取ABC 的中心1O ，连接1OO ，取BC 中点F ，连接1O F ，过点1O 作1O E BC ∥交AB 于点E ，以1O 为原点，分别以111,,O E OF O O 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，因为O ABC −为正四面体，所以1O A =1O F =，1O O =()10,0,0O，B，C −，O，1O O = ，OB =，OC − ，设0,M a，N b，a ∈ ，[]1,1b ∈−，则(),MNb a =−， 由题意得1O O可以作为平面ABC 的一个法向量，则11sin MN O O MN O Oθ⋅== ，设平面OBC 的法向量为(),,m x y z =，00m OB x y z m OC x y z ⋅==⋅=−=，则0x =，令y =，则z =所以m = ，sin m MN m MNϕ⋅==sin sin θϕ+=因为a ∈，[]1,1b∈−，所以[]2332,3a −+∈，[]20,1b ∈，2，sin sin θϕ+=故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用相似设出点M 的坐标，然后利用空间向量的方法求出线面角，最后求范围即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分．9. 已知椭圆222:14x y C a +=的焦点分别为12,F F ，焦距为P 为椭圆C 上一点，则下列选项中正确的是（ ）A.椭圆CB. 12F PF △的周长为3C. 12F PF ∠不可能是直角D. 当1260F PF ∠=°时，12FPF △【答案】AD.【解析】【分析】先确定椭圆的方程，再根据方程分析椭圆的性质.【详解】由题意，焦距为2c =⇒c =，又2<，所以椭圆焦点必在x 轴上， 由245a −=3a ⇒=.所以椭圆的离心率ce a ==，故A 正确； 根据椭圆的定义，12F PF △的周长为226a c +=+，故B 错误； 如图：取()0,2M 为椭圆的上顶点，则()()123,23,250MF MF ⋅=−⋅−−=−<,所以12F MF ∠为钝角，所以椭圆上存在点P ，使得12F PF ∠为直角，故C 错误； 如图：当1260F PF ∠=°时，设11PF t =，22PF t =， 则1222121262cos 6020t t t t t t += +−°= ⇒12221212620t t t t t t += +−= ⇒12163t t =，所以12121116sin 60223F PF S t t =°=× ，故D 正确. 故选：AD10. 已知圆221:(1)(2)9C x y a −+−=，圆2222:82120,C x y x ay a a +−+++=∈R ．则下列选项正确的是（ ）A. 直线12C C 恒过定点(3,0)B. 当圆1C 和圆2C 外切时，若,P Q 分别是圆12,C C 上的动点，则max ||10PQ =C. 若圆1C 和圆2C 共有2条公切线，则43a <D. 当13a =时，圆1C 与圆2C 【答案】ABD 【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心，可求出直线12C C 的方程，即可判断A ；根据圆1C 和圆2C 外切求出a 的值，数形结合，可判断B ；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解判断C ；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长，判断D.【详解】对于A ，由圆221:(1)(2)9C x y a −+−=，圆2222:82120,C x y x ay a a +−+++=∈R ， 可知()()121,2,4,C a C a −，故直线12C C 的方程为(4)y a a x +=−−， 即()3y a x =−−，即得直线12C C 恒过定点(3,0)，A 正确； 对于B ，2222:82120,C x y x ay a a +−+++=∈R 即()()222:44,C x y a a −++=∈R ，当圆1C 和圆2C 32=+，解得43a =±，当43a =时，如图示，当12,,,P C C Q 共线时,max 12||32510PQ C C =++=+=；同理求得当43a =−时，max ||10PQ =，B 正确； 对于C ，若圆1C 和圆2C 共有2条公切线，则两圆相交，则123232C C −<<+，即15<<，解得4433a −<<，C 错误对于D ，当13a =时，两圆相交， 2212:(1)()93C x y −+−=，()2221:443C x y −++=， 将两方程相减可得公共弦方程596203x y −−=， 则121,3C到596203x y −−=则圆1C 与圆2C相交弦的弦长为，D 正确， 故选：ABD11. 埃舍尔是荷兰著名的版画家，《哈利波特》《盗梦空间》《迷宫》等影片的灵感都来源于埃舍尔的作品．通过著名的《瀑布》（图1）作品，可以感受到形状渐变、几何体组合和光学幻觉方面的魅力．画面中的两座高塔上方各有一个几何体，右塔上的几何体首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2），其可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造．如图4，,,,(1,2,3)n n n n A B C D n =分别为埃舍尔多面体的顶点，,(1,2,3)n n P Q n =分别为正方形边上的中点，埃舍尔多面体的可视部分是由12个四棱锥构成．为了便于理解，图511122A PE P E −与22131,,(1,2)n n A P E P F E F n −=分别为线段的中点．左塔上方是著名的“三立方体合体”（图3），取棱长为2的正方体ABCD A B C D −′′′′的中心O ，以O 为原点，,,x y z 轴均平行于正方体棱，建立如图6所示的空间直角坐标系，将正方体分别绕,,x y z 轴旋转45°，将旋转后的三个正方体,1,2,3n n n n nn n n A B C D A B C D n ′′′′−=（图7，8，9）结合在一起便可得到“三立方体合体”（图10），下列有关“埃舍尔多面体”和“三立方体合体”的说法中，正确的是（ ）A. 在图5中，1322A P E P ⊥B. 在图5中，直线12Q A 与平面122A E PC. 在图10中，设点nA ′的坐标为(),,,1,2,3n n n x y z n =，则()122239n n n n x y z =∑++=D. 在图10中，若E 为线段22B C 上的动点（包含端点），则异面直线2D E 与23A A 所成角余弦值的最大值【答案】BCD 【解析】【分析】利用建立空间直角坐标系，结合空间向量法可以解决各个问题.【详解】对A ，在图5中，如图建系，设1231OP OP OP ===， 则()10,1,1A ，()31,0,0P ，()20,1,0P ，2111,,222E−， 所以()13221111,1,1,,,222A P E P−−−，则()132********1,1,1,,02222222A P E P ⋅=−−⋅−=−+=≠， 13A P 与22E P 不垂直，故A 错误；对B ，由图知：()10,0,1Q −，()21,1,0A ，()10,1,1A ，1111,,222E，()20,1,0P 则()121,1,1Q A =，()120,0,1A P =− ，22111,,222E P=−−，设平面122A E P 的法向量为(),,n x y z = ，则122200n A P n E P ⋅=⋅= ，得01110222z x y z −= −+−= ，令1y =得，01z x ==，， 即()01,1n =，，又由121212cos ,Q A n Q A n Q A n⋅==， 所以直线12Q A 与平面122A E P，故B 正确； 对C ，在平面直角坐标系中，正方形绕中心旋转45°，1A 坐标由()11，变为()，所以结合图形可知：点1A ′的坐标为(1,0,,点2A ′的坐标为(0,1,,−点3A ′的坐标为)1,−则()()()()322211212129nn n n xy z =++=+++++=∑，故C 正确；对D，由图知：)21,0A −，)2B，(2C,(20,D −,)3A ,则()2301,1A A =，， 由E 为线段22B C 上的动点（包含端点），则可设222C E C B λ=，[]0,1λ∈， 所以())222222220,2,0,2,D E D C C E D C C B λλ+++，则22cos,D E At λ−=，t ∈−，则22cos ,D E A =，由11,t ∈+，得2211,18t −≥−=即223cos ,D E A A =≤所以异面直线2D E 与23A A，故D 正确； 故选：BCD.【点睛】关键点点睛：就是针对旋转后的点的空间坐标表示，这里先通过借助平面旋转时的坐标变化关系，再来写空间旋转后的点的坐标表示，只有表示出各点坐标，再就是借助空间向量的运算就能求解各选项问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 在空间直角坐标系中，点(2,0,0)A 为平面α外一点，点(0,1,1)B 为平面α内一点．若平面α的一个法向量为(1,1,2)−，则点A 到平面α的距离是_______．【解析】【分析】根据条件，利用点到面的距离的向量法，即可求出结果. 【详解】由题知(2,1,1)AB − ，又平面α的一个法向量为(1,1,2)n =−， 所以点A 到平面α的距离为d13. 已知点P 是直线80−+=x y 上的一个动点，过点P 作圆()()22:114C x y −+−=的两条切线，与圆切于点,M N ，则cos MPN ∠的最小值是_______． 【答案】34##0.75 【解析】【分析】结合切线性质与二倍角公式可将求cos MPN ∠的最小值转化为求sin MPC ∠的最大值，结合三角函数定义与点到直线距离公式计算即可得.【详解】由题意可得PM CM ⊥、PN CN ⊥，MPC NPC ∠=∠， 设MPC α∠=，则2MPN α∠=，则2cos cos 212sin MPN αα∠==−，由()()22:114C x y −+−=可得圆心为()1,1C ，半径为2r =，则2sinMCPCPC α==，又min PC =， 则()max min 2sin PC α== 的则()22min 3cos 12sin 124MPN α∠=−=−×=. 故答案为：34.14. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别是12(,0),(,0)F c F c −，下顶点为点()0,M b −，直线2MF 交椭圆C 于点N ，设1△MNF 的内切圆与1NF 相切于点E ，若122NE F F ==，则椭圆C 的离心率为_______，1△MNF 的内切圆半径长为_______．【答案】 ①. 12##0.5 ②.【解析】【分析】借助切线长定理与椭圆性质可得12F E FF =，从而可结合椭圆定义得到a 的值，即可得其离心率；借助余弦定理的推论可得三角形各边长，结合面积公式运用等面积法即可求取内切圆半径. 【详解】设1△MNF 的内切圆与NM 、1MF 相切于点F ，G ， 由切线长定理可得11F E FG =，MF MG =，NE NF =， 又12MF MF a ==，则12FG FF =，故12F E FF =， 由椭圆定义可知122NF NF a +=， 即122222NE EF NF NE FF NF NE a ++=++==,故2a NE ==，又1222F F c ==，则12c e a ==； 则2π6OMF ∠=，故12π3F MF ∠=，设1EF m =，则2422NF m m =−−=−， 即12NF m =+，4NM m =−，则有()()()22222111442πcos32224m m MF MN NF MF MN m +−−++−=×⋅××−， 计算可得45m =，则()11π24sin 23MNF S m =××−=又184MNF C a == ，则11412MNF MNF S r C r =⋅= ，即有4r=r =.故答案为：12【点睛】关键点点睛：本题关键点一个是借助切线长定理与椭圆性质得到12F E FF =，从而可结合椭圆定义得到a 的值，第二个是借助等面积法求取内切圆半径.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤．15. 已知直线l 经过点(4,4)A ，且点(5,0)B 到直线l 的距离为1． （1）求直线l 的方程；（2）O 为坐标原点，点C 坐标为(6,3)−，若点P 为直线OA 上的动点，求||||PB PC +的最小值，并求出此时点P 的坐标．【答案】（1）4x =或158920x y +−=（2）10，1515,77P【解析】【分析】（1）考虑直线l 的斜率存在和不存在情况，存在时，设直线方程，根据点到直线的距离求出斜率，即得答案.（2）确定(6,3)−关于直线OA 的对称点，数形结合，利用几何意义即可求得答案.的【小问1详解】由题意知直线l 经过点(4,4)A ，当直线斜率不存在时，方程为4x =， 此时点(5,0)B 到直线l 的距离为1，符合题意；当直线l 斜率存在时，设方程为4(4)y k x −=−，即440kx y k −−+=， 则由点(5,0)B 到直线l 的距离为11，解得158k =−，即得15604088x y −−++=，即158920x y +−=， 故直线l 的方程为4x =或158920x y +−=； 【小问2详解】由点(4,4)A ，可得直线OA 的方程为y x =， 故点(5,0)B 关于y x =的对称点为1(0,5)B ， 连接1PB ，则1PB PB =，则11||||||||||10PB PC PB PC B C +=+≥=，当且仅当1,,B P C 共线时，等号成立， 即||||PB PC +的最小值为10，此时1B C 的方程为53455063y x x +=+=−+−，联立y x =， 解得157xy ==，即151577P ,. 16. 如图，正三棱柱111ABC A B C 所有的棱长均为2，点D 在棱11A B 上，且满足11123A D AB =，点E 是棱1BB 的中点．（1）证明：//EC 平面1AC D ；（2）求直线AE 与平面1AC D 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行，也可利用空间向量求线面角的大小. 【小问1详解】 如图：取AB 的中点O ，因为三棱柱是正三棱柱且棱长为2，故以O 为原点，建立空间直角坐标系，则()1,0,0A −，()C，()12C ，1,0,23D，()1,0,1E ， 所以4,0,23AD =，113DC =−，()1EC =−− . 设平面1AC D 法向量为(),,n x y z =，的由1n AD n DC ⊥⊥ ⇒()()4,,,0,2031,,03x y z x y z ⋅=⋅−=⇒4600x z x += −+= ，取()6n−.因为()()16EC n ⋅=−−⋅−9360=−++=，又直线EC ⊄平面1AC D ，所以//EC 平面1AC D . 【小问2详解】因为()2,0,1AE =，设直线AE 与平面1AC D 所成的角为θ，则sin θcos,n AE n AE n AE ⋅===⋅=. 17. 已知圆C 的圆心在x轴上，且过(−． （1）求圆C 的方程；（2）过点(1,0)P −的直线与圆C 交于,E F 两点（点E 位于x 轴上方），在x 轴上是否存在点A ，使得当直线变化时，均有PAE PAF ∠=∠A 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）224x y += （2）存在，且()4,0A − 【解析】【分析】（1）设出圆的方程，借助代入所过点的坐标计算即可得；（2）圆问题可转化为在x 轴上是否存在点A ，使0AE AF k k +=，设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与斜率公式计算即可得. 【小问1详解】设圆C 为()222x a y r −+=，则有()()2222212a r a r −−+=−=，解得204a r == ，故圆C 的方程为224x y +=；【小问2详解】由题意可得，直线EF 斜率不为0，故可设:1EF l x my =−，()11,E x y ，()22,F x y ， 联立2214x my x y =−+=，有()221230m y my +−−=， 2224121216120m m m ∆=++=+>， 12221my y m +=+，12231y y m −=+， 设(),0A t ，1t ≠−，由PAE PAF ∠=∠，则有0AE AF k k +=， 即()()()()12211212120y x t y x t y y x t x t x t x t −+−+==−−−−， 即()1221120y x y x t y y +−+=， ()()()()12211212211211y x y x t y y y my y my t y y +−+=−+−−+ ()()()()1212222216216210111m t m m t m my y t y y m m m +−−+−−++=−==+++， 即()()621240m m t m t ++=+=， 则当4t =−时，0AE AF k k +=恒成立， 故存在定点()4,0A −，使得当直线变化时，均有PAE PAF ∠=∠.18. 如图，三棱柱111ABC A B C 中，ABC 为等边三角形，1π4B BC ∠=，平面11ABB A ⊥平面11CBB C ．（1）求证：1AC BB ⊥；（2）若12BB =，点E 是线段AB 的中点， （i ）求平面1ECC 与平面1ACC 夹角的余弦值；（ii ）在平面11ABB A 中是否存在点P ，使得1||4PB PB +=且1||PC PC =P 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）答案见解析 （2）（i；（ii ）存在，(2,0,0)P − 【解析】【分析】（1）用线面垂直的判定定理证明BB 1⊥平面AOC ，后转移到线线垂直即可．（2）（i ）空间向量解题，先求出平面1ECC 与平面1ACC 的法向量，后按照夹角公式求解即可．（ii ）设假设存在(,0,)P x z ,若1PC PC =22560x z x +++=（∗）.1142PB PB BB +=>=,则根据椭圆定义知道P 的轨迹为椭圆，求出轨迹方程为：22143x z +=，整理得22334z x =−,联立（∗），解出即可 【小问1详解】 如图，过A 作1BB 的垂线AO ，交1BB 于O ，连接OC ，则,AO OB AO OC ⊥⊥．ABC 为等边三角形，则AB AC =，又AO AO =，则Rt Rt AOB AOC ≅ ，则BO CO =，则π4OCB ∠=，则π2COB ∠=，即11,,B B CO B B AO CO AO O ⊥⊥=， ,CO AO ⊂平面AOC ，则1BB ⊥平面AOC ，AC ⊂平面AOC ，则1AC BB ⊥．【小问2详解】（i ）由(1)可知OB ,OA ,OC 两两垂直，则可以O 为原点，建立如图所示空间坐标系O -xyz.12BB =,点E 是线段AB的中点，则AB BC CA ===1OAOB OC ===． 1111(0,0,1),(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(2,1,0),(,0,)22A B C B C E −−，111(2,0,0),(0,1,1),(,1,)22CC CA CE =−=−=− . 设平面1ECC 法向量(,,)m x y z =，则100m CE m CC ⋅=⋅=即1102220x y z x −+= −= 解得012x y z = = = ，故(0,1,2)m = ； 同理平面1ACC 法向量(0,1,1)n =.则cos ,m n m n m n⋅==⋅， 设平面1ECC 与平面1ACC 夹角θ,则cos θ=． （ii ）平面11ABB A 中,假设存在(,0,)P x z ,若1PC PC ==，整理得，22560x z x +++=（∗）.1142PB PB BB +=>=, 则根据椭圆定义知道P 在以1BB 为焦距的椭圆上，且1142,22PB PB a c BB +====，解得2,1,a c b===则P 的轨迹方程为：22143x z +=，整理得22334z x =−,与（∗）联立方程组. 2222560334x z x z x+++==−，解得120x z =−= ，22180)x z =−<（ ，舍去．故在平面11ABB A 中存在点P ，使得14PB PB +=且1PCPC =P 坐标为(2,0,0)−．19. 在空间直角坐标系O xyz −中，己知向量(,,)u a b c = ，点()0000,,P x y z ．若直线l 以u为方向向量且经过点0P ，则直线l 的标准式方程可表示为000(0)x x y y z z abc a b c−−−==≠；若平面α以u 为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程可表示为()()()0000a x x b y y c z z −+−+−=，一般式方程可表示为0ax by cz d +++=． （1）若平面1:210x y α+−=，平面1:210y z β−+=，直线l 为平面1α和平面1β的交线，求直线l 的单位方向向量（写出一个即可）；（2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为22αβγ、、，其中平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)−，(1,5,2)−，平面2:4y z β+=，平面:(1)(2)30mx m y m z γ+++++=，求实数m 的值； （3）若集合{}(,,)|4,4,4M x y z x y y z z x =+≤+≤+≤，记集合M 中所有点构成的几何体为S ，求几何体S 的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小． 【答案】（1）212,,333−−（2）1m =−（3）体积为128，相邻两个面（有公共棱）所成二面角为2π3【解析】【分析】（1）记平面1α，1β的法向量为11(1,2,0),(0,2,1)αβ==− ，设直线l 的方向向量(,,)l x y z =，由直线l 为平面1α和平面1β的交线，则1l α⊥ ，1l β⊥，列出方程即可求解；（2）设2:α10ax by cz +++=，由平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)−，(1,5,2)−，列出方程中求得2:4x y α+=，记平面22αβγ、、的法向量为22(1,1,0),(0,1,1),(,1,2)m m m αβγ===++ ，求出2α与2β交线方向向量为()1,1,1p =− ，根据p γ⊥，即可求得m 的值；（3）由题可知，S 由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，即可计算出体积，设几何体S 相邻两个面（有公共棱）所成二面角为()0,πθ∈，由题得出平面EBC 和平面ECD 的法向量，根据两平面夹角的向量公式计算即可． 【小问1详解】记平面1α，1β的法向量为11(1,2,0),(0,2,1)αβ==− ，设直线l 的方向向量(,,)l x y z =，因为直线l 为平面1α和平面1β的交线，所以1l α⊥ ，1l β⊥ ，即112020l x y l y z αβ ⋅=+= ⋅=−=，取2x =，则(2,1,2)l =−− ， 所以直线l 的单位方向向量为212,,333−−． 【小问2详解】设2:α10ax by cz +++=， 由平面2α经过点(4,0,0),(3,1,1)−，(1,5,2)−，所以4103105210a a b c a b c += +−+=−+++= ，解得14140a b c=−=− = ，即2:4x y α+=， 所以记平面22αβγ、、的法向量为22(1,1,0),(0,1,1),(,1,2)m m m αβγ===++，与（1）同理，2α与2β确定的交线方向向量为()1,1,1p=−， 所以p γ⊥，即()1210p m m m m γ⋅=−+++=+= ，解得1m =−．【小问3详解】由集合{}(,,)|4,4,4M x y z x y y z z x =+≤+≤+≤知，S 由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，如图所示，13224433V =×××=正四棱锥，3244461283S V =××+×=， 设几何体S 相邻两个面（有公共棱）所成二面角为()0,πθ∈，平面:40EBC x z +−=，设平面EBC 法向量1(1,0,1)n =，平面:40ECD y z +−=，设平面ECD 法向量2(0,1,1)n =，所以121cos cos ,2n n θ==， 所以几何体S 相邻两个面（有公共棱）所成二面角为2π3．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是作出空间图形，求出相关法向量，利用二面角的空间向量求法即可.。
浙江省宁波市镇海中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题(解析版)
镇海中学2018学年第二学期高一年级数学期末试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图是一个正四棱锥，它的俯视图是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据正四棱锥的特征直接判定即可.【详解】正四棱锥俯视图可以看到四条侧棱与顶点,且整体呈正方形. 故选：D【点睛】本题主要考查了正四棱锥俯视图,属于基础题.2.已知点()()1,0a a >到直线:20+-=l x y 的距离为1，则a 的值为（ ） A.2 B. 22- C.21D.21【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式列式求解参数即可.【详解】由题11a =⇒=因为0a >,故1a =.故选：D【点睛】本题主要考查了点到线的距离公式求参数的问题,属于基础题. 3.正方体1111ABCD A B C D -中，则异面直线1AB 与1BC 所成的角是 A. 30° B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C 【解析】连接A 1D ，易知：1BC 平行 A 1D ，∴异面直线1AB 与1BC 所成的角即异面直线1AB 与A 1D 所成的角， 连接11B D ，易知△11AB D 为等边三角形， ∴异面直线1AB 与1BC 所成的角是60° 故选C4.在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB BC ⊥，5AB =，4BC =，2CD =，则梯形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体的体积为（ ） A. 52πB. 1163πC.1103πD.(283π+【答案】A 【解析】 【分析】易得梯形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体为圆台,再根据圆台的体积公式求解即可.【详解】易得梯形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体为圆台,圆台的高4h BC ==,上底面圆半径2r CD ==,下底面圆半径5h AB ==.故该圆台的体积()()222211455445233V h R Rr r πππ=++=⋅⋅+⋅+=故选：A【点睛】本题主要考查了旋转体中圆台的体积公式,属于基础题. 5.已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭U 2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（ ） A. 3,3⎡⎤-⎣⎦B. (,3⎤-∞-⎦U )3,⎡+∞⎣C. 33,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 3,⎛⎤-∞- ⎥ ⎝⎦U 3,⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的斜率等于倾斜角的正切值求解即可.【详解】因为直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭U 2,23ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦,又直线的斜率tan k α=,,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭U 2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦.故tan tan 33πα≥=或2tan tan33πα≤=-. 故(,3k ⎤∈-∞-⎦U )3,⎡+∞⎣.故选：B【点睛】本题主要考查了直线斜率与倾斜角的关系,属于基础题.6.正三角形ABC 的边长为2cm ，如图，A B C '''∆为其水平放置的直观图，则A B C '''∆的周长为（ ）A. 8cmB. 6cmC. (26cm +D. (223cm +【答案】C【解析】 【分析】根据斜二测画法以及正余弦定理求解各边长再求周长即可.【详解】由斜二测画法可知,''''1O A O B ==,'''45C O B ∠=︒, 13''2sin 322C O π=⨯⨯=. 所以222''''''2''''cos 45B C O C O B O C O B =+-⋅︒2332726611214⎛⎫--=+-⨯⨯⨯== ⎪ ⎪⎝⎭.故61''2B C -=. 222''''''2''''cos135A C O C O A O C O A =+-⋅︒2332726611214⎛⎫++=++⨯⨯⨯== ⎪ ⎪⎝⎭.故61''2A C +=. 所以A B C '''∆的周长为()6161262cm -+++=+.故选：C【点睛】本题主要考查了斜二测画法的性质以及余弦定理在求解三角形中线段长度的运用.属于基础题. 7.某几何体的三视图如图所示，其外接球体积为（ ）A. 24πB. 86πC. 6πD.6π【答案】D 【解析】 分析】易得该几何体为三棱锥,再根据三视图在长方体中画出该三棱锥,再根据此三棱锥与长方体的外接球相同求解即可.【详解】在长方体中画出该几何体,易得为三棱锥,且三棱锥与该长方体外接球相同.又长方体体对角线等于外接球直径22226R AD CD BC =++=,故62R =. 故外接球体积33446633V R πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题主要考查了三视图还原几何体以及求外接球体积的问题,属于基础题. 8.已知,m n 表示两条不同的直线，,,αβγ表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①m αβ=I ，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥； ②αβ⊥，m αγ=I ，n βγ=I ，则m n ⊥； ③αβ⊥，αγ⊥，m βγ=I ，则m α⊥； ④m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥ 其中正确的命题个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据线面和线线平行与垂直的性质逐个判定即可.【详解】对①, m αβ=I ,n ⊂α,n m ⊥不一定有n β⊥,故αβ⊥不一定成立.故①错误.对②,令,,αβγ为底面为直角三角形的直三棱柱的三个侧面,且αβ⊥,m αγ=I ,n βγ=I ,但此时m n P ,故m n ⊥不一定成立.故②错误.对③, αβ⊥,αγ⊥,m βγ=I ,则m α⊥成立.故③正确.对④,若m α⊥,m n ⊥,则n αP ,或n ⊂α,又n β⊥,则αβ⊥.故④正确. 综上,③④正确. 故选：B【点睛】本题主要考查了根据线面、线线平行与垂直的性质判断命题真假的问题,需要根据题意举出反例或者根据判定定理判定,属于中档题.9.若实数,x y 满足不等式组031y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2【答案】A 【解析】 【分析】画出不等式组031y x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩的可行域,再根据线性规划的方法,结合2y x z =-的图像与z 的关系判定最小值即可.【详解】画出可行域,又2z x y =-求最小值时, 故2y x z =-的图形与可行域有交点,且2y x z =-往上方平移到最高点处.易得此时在()0,1处取得最值2011z =⨯-=-.故选：A【点睛】本题主要考查了线性规划与绝对值函数的综合运用,需要根据题意画图,根据函数的图形性质分析.属于中档题.10.已知圆1Γ与2Γ交于两点，其中一交点的坐标为()3,4，两圆的半径之积为9，x 轴与直线()0y mx m =>都与两圆相切，则实数m =（ ）A.158B.74C.5D.35【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的切线性质可知连心线过原点,故设连心线y tx =,再代入()3,4,根据方程的表达式分析出12,x x 是方程()()()22234x tx tx -+-=的两根,再根据韦达定理结合两圆的半径之积为9求解即可.【详解】因为两切线均过原点,有对称性可知连心线所在的直线经过原点,设该直线为y tx =,设两圆与x 轴的切点分别为12,x x ,则两圆方程为：()()()()()()222111222222x x y tx tx x x y tx tx ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩,因为圆1Γ与2Γ交于两点,其中一交点的坐标为()3,4. 所以()()()22211134x tx tx -+-=①,()()()22222234x tx tx -+-=②. 又两圆半径之积为9,所以212129tx tx x x t ⋅==③联立①②可知12,x x 是方程()()()22234x tx tx -+-=的两根,化简得()268250x t x -++=,即1225x x =.代入③可得2925t =,由题意可知0t >,故35t =.因为y tx =的倾斜角是连心线所在的直线的倾斜角的两倍.故221tm t =-,故158=m . 故选：A【点睛】本题主要考查了圆的方程的综合运用,需要根据题意列出对应的方程,结合韦达定理以及直线的斜率关系求解.属于难题.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.已知圆柱的上、下底面的中心分别为12,O O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形，则该圆柱的表面积为________，体积为________. 【答案】 (1). 6π (2). 2π 【解析】 分析】根据题意可知正方形的边长为2,从而计算出圆柱的底面半径与高即可.【详解】由题,因为过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形,故此正方形的边长为2.故圆柱底面半径为1,高为2.故圆柱的表面积221226S πππ=⨯⨯+⨯=,体积2122V ππ=⨯⨯=.故答案为：(1)6π；(2)2π【点睛】本题主要考查了圆柱截面以及表面积体积的计算,属于基础题.12.若直线12y kx k =+-与曲线21y x -k 的最大值为________，最小值为________. 【答案】 (1). 1 (2). 0 【解析】 【分析】易得曲线21y x -为半圆, 直线12y kx k =+-过定点()2,1,再数形结合分析可知直线与半圆相切时斜率k 最小,过右顶点时斜率最大再计算即可.【详解】直线()1221y kx k k x =+-=-+,过定点()2,1.()2221,01x y y x y +=-⇒≥=为以()0,0为圆心,1为半径的上半圆.由图可知,当直线过()1,0时斜率k 最大,此时10121k -==-. 当直线120kx y k -+-=与半圆相切时k 最小,()21213401k k k k-=⇒-=+,由图可知0k =.即此时k最小为0故答案为：(1)1；(2)0【点睛】本题主要考查了直线与圆相切的问题,需要数形结合确定临界条件,包括相切与过定点求解斜率的方法,属于中档题.13.若过点()1,1的直线l 被圆224x y +=截得的弦长最短，则直线l 的方程是________，此时的弦长为________【答案】 (1). 20x y +-= (2). 22 【解析】 【分析】因为点()1,1在圆内,故当过圆心与()1,1的直线与直线l 垂直时截得的弦长最短,再根据垂径定理求解即可.【详解】由垂径定理可知, 若过点()1,1P 的直线l 被圆224x y +=截得的弦长最短,则圆心到直线l 的距离d 最长,又d OP ≤,故当d OP =即直线OP 与l 垂直时弦长最短.此时10110OP k -==-,111l k -==-.故直线l 的方程是()11120y x x y -=--⇒+-=. 此时弦长24222-=.故答案为：(1)20x y +-=；(2)22【点睛】本题主要考查了过圆内一点的弦长最值问题,需要根据题意判断出直线的位置再求解.属于基础题.14.已知点()2,1和圆22:220C x y ax y ++-+=，若点P 在圆C 上，则实数a = ________；若点P 在圆C 外，则实数a 的取值范围为________. 【答案】 (1). 52- (2). 522a -<<-或2a >【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系,将点()2,1代入圆的方程左边,再解其等于0与大于0的解集即可. 【详解】由题, ()222222201124a a x y ax y x y ⎛⎫++-+=⇒++-=- ⎪⎝⎭, 故2104a ->,解得2a >或2a <- 当点P 在圆C 上时, 22212220a ++-+=,解得52a =-.满足2a <- 当点P 在圆C 外时, 22212220a ++-+>,解得52a >-.故此时522a -<<-或2a >故答案为：(1) 52-；(2) 522a -<<-或2a >【点睛】本题主要考查了根据点与圆的位置关系求解参数的问题,属于基础题. 15.异面直线a ，b 所成角为3π，过空间一点O 的直线l 与直线a ，b 所成角均为θ，若这样的直线l 有且只有两条，则θ的取值范围为___________________.【答案】,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】将直线a ，b 平移到交于O 点，设平移后的直线为a '，b '，如图，过O 作a Ob ''∠及其外角的角平分线，根据题意可以求出θ的取值范围.【详解】将直线a ，b 平移到交于O 点，设平移后的直线为a '，b '，如图，过O 作a Ob ''∠及其外角的角平分线，异面直线a ，b 所成角为3π，可知3a Ob π''∠=，所以16l Ob π'∠=，23l Oa π'∠=所以在1l 方向，要使l 有两条，则有：6πθ>，在2l 方向，要使l 不存在，则有3πθ<，综上所述，63ππθ<<.故答案为：,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查了异面直线的所成角的有关性质，考查了空间想象能力.16.在棱长均为2的三棱锥A BCD -中，,E F 分别为,AB BC 上的中点，P 为棱BD 上的动点，则PEF ∆周长的最小值为________. 【答案】31+ 【解析】 【分析】易证明PEF ∆中PE PF =,且PEF ∆周长为PE PF EF ++,其中EF 为定值,故只需考虑PE 的最小值即可. 【详解】由题, 棱长均为2的三棱锥A BCD -,故该三棱锥的四个面均为正三角形. 又因为,,60PB PB BE BF EBP FBP ==∠=∠=︒,故PBE PBF ≅V V .故PE PF =. 且,E F 分别为,AB BC 上的中点,故112EF AC ==. 故PEF ∆周长为21PE PF EF PE ++=+. 故只需求PE 的最小值即可.易得当PE DB ⊥时PE 取得最小值为3sin 60BE ⋅︒=. 故PEF ∆周长的最小值为32131⨯+=+.1【点睛】本题主要考查了立体几何中的距离最值问题,需要根据题意找到定量以及变量的最值情况即可.属于中档题.17.在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，2PA PB ==，PC AB BC ===，作BD PC ⊥交PC 于D ，则BD 与平面PAB 所成角的正弦值是________.【解析】 【分析】取AB 中点E ,AC 中点F ,易得AB ⊥面PEF ,再求出,F C 到平面PAB 的距离,进而求解:PD PC 再得出D 到平面PAB 的距离.从而算得BD 与平面PAB 所成角的正弦值即可.【详解】如图,取AB 中点E ,AC 中点F ,连接,,EF PE PF .因为2PA PB ==,AB =所以PE =.因为AB BC ⊥,AB BC ==所以4AC =.在APC △中,余弦定理可得2223cos 24AP AC PC PAC AP AC +-∠==⋅.在APF V 中,余弦定理可得2222cos 2PF AP AF AP AF PAC =+-⋅∠=,故PF =在PEF V 中,PE PF EF ===且AB ⊥面PEF .故F 到面PAB 的距离1sin 60d EF =⋅︒=.C 到面PAB 的距离22d ==又因为122PBC S =⨯=V 所以12PC BD BD ⨯⨯==,所以2PD =,所以:1:4PD PC =,故D 到面PAB 的距离34d =.故BD 与平面PAB 所成角的正弦值是314d BD =故答案为：21 【点睛】本题主要考查了空间中线面垂直的性质与运用,同时也考查了余弦定理在三角形中求线段与角度正余弦值的方法,需要根据题意找到点到面的距离求解,再求出线面的夹角.属于难题.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.正四棱锥P ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 为PC 中点.(1)求证：//PA 平面BDE ；(2)求异面直线PA 与DE 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)3【解析】 【分析】(1)连接AC 交BD 于O ,连接EO ,再证明PA EO P 即可.(2)根据(1)中的PA EO P 可知异面直线PA 与DE 所成角的为DEO ∠,再计算DEO V 的各边长分析出DEO V 为直角三角形,继而求得cos DEO ∠即可.【详解】(1) 连接AC 交BD 于O ,连接EO .则O 为AC 中点因为,O E 分别为,AC PC 中点,故OE 为APC △中位线,故PA EO P . 又PA ⊄面BED ,EO ⊂面BED . 故//PA 平面BDE .(2)由(1)有异面直线PA 与DE 所成角即为OE 与DE 所成角即DEO ∠,设正四棱锥P ABCD -的各边长均为2,则112OE AP ==,22122222OD BD +===,sin 603DE PD =⋅︒=因为222OE OD DE +=,故EO OD ⊥.则3cos 33OE DEO DE ∠===.即异面直线PA 与DE 3【点睛】本题主要考查了线面平行的证明以及异面角的余弦求解,需要根据题意找到中位线证明线面平行,同时要将异面角利用平行转换为平面角,利用三角形中的关系求解.属于基础题. 19.已知圆()()22:232C x y -+-=.(1)过原点O 的直线l 被圆C 所截得的弦长为2，求直线l 的方程；(2)过C 外的一点P 向圆C 引切线PA ，A 为切点，O 为坐标原点，若PA OP =，求使PA 最短时的点P 坐标.【答案】(1) 623y x +=或623y x -=;(2) 1133,1326P ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)利用垂径定理求出圆心到直线l 的距离,再分过原点O 的直线l 的斜率不存在与存在两种情况,分别根据点到线的距离公式求解即可.(2)设(),P x y ,再根据圆的切线长公式以及PA OP =求出关于关于,x y 的关系,再代入PA 的表达式求取得最小值时的(),P x y 即可.【详解】(1) 圆()()22:232C x y -+-=圆心为()2,3,2.当直线l 的斜率不存在时,圆心到直线的距离22d =>故不存在.当直线l 的斜率存在时,设l 的方程：y kx =,即0kx y -=.则圆心()2,3到l 的距离2231k d k -=+,由垂径定理得()2222+22d ⎛⎫=⎪⎝⎭,即()222311k k -=+,即231280k k -+=,解得6233k ±=. 故l的方程为6233y x +=或6233y x -= (2) 如图,设(),P x y , 因为PA OP =,故22PA OP =,则222CP CA OP -=, 即()()2222232x y x y -+--=+,化简得46110x y +-=,即11342x y =-. 此时22222113112113334224PA OP x y y y y y ⎛⎫==+=-+=-+⎪⎝⎭, 故当333321326y ==⨯,即1133,1326P ⎛⎫⎪⎝⎭时PA 最短.此时1133,1326P ⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,包括垂径定理以及设点根据距离公式求距离最值的问题.需要根据题意列出关系式化简,并用二次函数在对称轴处取最值的方法.属于中档题.20.在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.(1)求证：BE DC ⊥；(2)求直线PC 与平面PDB 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2)2 3【解析】【分析】(1)取PD中点M,连接,EM AM,可得四边形ABEM为平行四边形.再证明AB⊥平面PAD得到AB AM⊥,进而得到BE DC⊥即可.(2)利用等体积法,求出三棱锥P BCD-的体积,进而求得C到平面PDB的距离,再得出直线PC与平面PDB所成角的正弦值即可.【详解】(1) 取PD中点M,连接,EM AM,则12ME DCP.又12AB DC∥,故AB MEP.故四边形ABEM为平行四边形.故BE AMP.又2AD AP==,故AM PD⊥,又PA⊥底面ABCD,DC⊂平面ABCD,故PA DC⊥.又AD AB⊥,//AB DC,故PA AB⊥,又PA AD A⋂=,故AB⊥平面PAD.又AM⊂平面PAD,故AB AM⊥.又AB DCP,AM BEP,故BE DC⊥(2)因为PA⊥底面ABCD,故114323P BCDV DC AD PA-=⨯⋅⋅=.又222PD AP AD=+=225PB AP AB=+=225BD AB AD=+=故1225262PDBS=⨯-=V设C到平面PDB的距离为d,则41633P BCDV d-==,解得63d=.故直线PC与平面PDB所成角的正弦值为2226233dPC PA AC==+【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明以及利用等体积法求点到面的距离以及线面角的求解,需要根据题意利用线面线线垂直的判定与性质证明,同时也需要在等体积法时求解对应的面的面积等.属于中档题. 21.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是AB 的中点，E 在1CC 上，且12CE C E =.(1)求证：1AC ⊥平面1A BD ；(2)在线段1DD 上存在一点P ，1DP D P λ=，若1//PB 平面DME ，求实数λ的值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 2λ=【解析】 【分析】(1)分别证明11AC A B ⊥与11AC A D ⊥即可.(2)设平面DME 与1BB 的交点为F ,利用线面与面面平行的判定与性质可知只需满足1//PB DF ,再利用平行所得的相似三角形对应边成比例求解即可.【详解】(1)连接11,AB AD .因为正方体1111ABCD A B C D -,故11AD A D ⊥,且111C D A D ⊥,又1111C D AD D ⋂=.故1A D ⊥平面11AD C .又1AC ⊂平面11AD C ,故11A D AC ⊥.同理11AB A B ⊥,111C B A B ⊥,1111AB C B B ⋂=,故11A B AC ⊥. 又111A D A B A ⋂=,11,A D A B ⊂平面1A BD .故1AC ⊥平面1A BD .(2) 设平面DME 与1BB 的交点为F ,连接111,,DF PB D B .因为1111ABB A CDD C P ,平面11ABB A DMFE MF ⋂=,11CDD C DMFE DE ⋂=, 故MF DE P .又,MB DC BF CE P P ,故MBF DCE V :V . 设正方体边长为6,则因为12CE C E =,故 故32DC MB CE BF ==, 所以223BF MB ==. 又1//PB 平面DME 则只需1//PB DF 即可.此时又因为1DP FB P ,故四边形1DPB F 为平行四边形.故114DP FB BB BF ==-=.此时12D P =.故12DP D P =.故2λ=【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明以及根据线面平行求解参数的问题,需要根据题意找到线与所证平面内的一条直线平行,并利用平面几何中的相似方法求解.属于中档题. 22.已知点()1,0A ，()4,0B ，曲线C 任意一点P 满足2PB PA =. (1)求曲线C 的方程；(2)设点()3,0D ，问是否存在过定点Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点,E F ，无论直线l 如何运动，x 轴都平分EDF ∠，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 224x y +=；(2) 4,03Q ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)设(),P x y ,再根据2PB PA =化简求解方程即可.(2)设过定点Q 的直线l 方程为y kx b =+,根据x 轴平分EDF ∠可得0DE DF k k +=.再联立直线与圆的方程,化简0DE DF k k +=利用韦达定理求解y kx b =+中参数的关系,进而求得定点Q 即可.【详解】(1)设(),P x y ,因为2PB PA =,=即()()22224441x y x y -+=+-,整理可得224x y +=.(2)当直线l 与x 轴垂直,且Q 在圆内时,易得,E F 关于x 轴对称,故必有x 轴平分EDF ∠. 当直线l 斜率存在时,设过定点Q 的直线l 方程为y kx b =+.设()()1122,,,E x y F x y .联立()2222212404y kx b k x kbx b x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩, 2121222240,,11kb b x x x x k k--∆>+=⋅=++. 因为无论直线l 如何运动,x 轴都平分EDF ∠,故0DE DF k k +=, 即1212033y y x x +=--,所以1212033kx b kx b x x +++=--,()()()()1221330kx b x kx b x +-++-=. 所以()()12122360kx x b k x x b +-+-=代入韦达定理有()22242236011b kb k b k b k k -⋅---=++,化简得430k b +=. 故4433y kx b kx k k x ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭,恒过定点4,03⎛⎫⎪⎝⎭.即4,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求解方法以及联立直线与圆的方程,利用韦达定理代入题中所给的关系式,化简求直线中参数的关系求得定点的问题.属于难题.。
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镇海中学2018学年第二学期高一年级数学期末试卷
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.如图是一个正四棱锥,它的俯视图是 A. B. C. D.
2.已知点(1,a)(a>0)到直线l :x+y-2=0的距离为1,则a 的值为 A.2 B.2-2 C. 2-1 D.2+1
3.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,异面直线AB 1与BC 1所成的角是
A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
4.在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD,AB ⊥BC,AB=5,BC=4,CD=2,则梯形ABCD 绕着BC 旋转而成的几何体的体积为
A.π52
B.π3116
C. π3
100 D.3)10428(π+ 5.已知直线倾斜角的范围是]3
2,2()2,3[ππππα ∈,则此直线的斜率的取值范围是 A.]3,3[- B.),3[]3,(+∞--∞ C.]3
3,33[- D. ),33[]33,(+∞--∞ 6.正三角形ABC 的边长为2cm,如图,△A'B'C'为其水平放置的直观图,则△A'B'C'的周长为
A 8cm B.6cm C.)62(+cm D. )322(+cm
7.某几何体的三视图如图所示,其外接球体积为
A.π24
B.π68
C.π6
D.π6
8.已知m,n 表示两条不同的直线,α,β,γ表示三个不同的平面,给出下列四个命题 ①α∩β=m,n ⊂α,n ⊥m,则α⊥β
②α⊥β,α∩γ=m, β∩γ=n,则m ⊥n
③α⊥β,α⊥γ,β∩γ=m,则m ⊥α;
④m ⊥α,n ⊥β,m ⊥n,则α⊥β
其中正确的命题个数是
A.1
B.2
C.3
D.4
9.若实数xy 满足不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧-≥-≤+≥130y x y x y ,则z=2|x|-y 的最小值是
A.1-
B.0
C.1
D.2
10.已知圆1Γ与2Γ交于两点,其中一交点的坐标为(3,4),两圆的半径之积为9,x 轴与直线y=mx(m>0)都与两圆相切,则实数m= A.815 B.47 C.532 D.5
3 非选择题部分(共110分)
二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。
11.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1,O 2,过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形,则该圆柱的表面积为_____________,体积为_____________.
12.若直线y=kx+1-2k 与曲线y=21x -有交点,则实数k 的最大值为____________, 最小值为_____________.
13.若过点(1,1)的直线l 被圆x 2+y 2=4截得的弦长最短,则直线l 的方程是______________,此时的弦长为_____________.
14.已知点(2,1)和圆C:x 2+y 2+ax-2y+2=0,若点P 在圆C 上,则实数a=_________,若点P 在圆C 外,则实数a 的取值范围为_______________.
15.异面直线a,b 所成角为3
π,过空间一点O 的直线l 与直线a,b 所成角均为θ,若这样的直线l 有且只有两条,则θ的取值范围为_______________
16.在棱长均为2的三棱锥A-BCD 中,E,F 分别为AB,BC 上的中点,P 为棱BD 上的动点,则 △PEF 周长的最小值为______________.
17.在三棱锥P-ABC 中,AB ⊥BC,PA=PB=2,PC=AB=BC=22,作BD ⊥PC 交PC 于D,则BD 与平面PAB 所成角的正弦值是_____________.
三、解答题:本大题共5小题,共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18.(本题满分14分)正四棱锥P-ABCD 的侧棱长与底面边长都相等,E 为PC 中点, (I)求证:PA ∥平面BDE;
(Ⅱ)求异面直线PA 与DE 所成角的余弦值
19.(本题满分15分)已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=2
(I)过原点O 的直线l 被圆C 所截得的弦长为2,求直线l 的方程
(Ⅱ)过圆C 外的一点P 向圆C 引切线PA,A 为切点,O 为坐标原点,若|PA|=|OP|,求使|PA|最短时的点P 坐标
20.(本题满分15分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥底面ABCD,AD ⊥AB,AB ∥DC, AD=DC=AP=2,AB=1,点E 为棱PC 的中点
(I)求证:BE ⊥DC
(Ⅱ)求直线PC 与平面PDB 所成角的正弦值.
21.(本题满分15分)如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 是AB 的中点,E 在CC 1上,且
CE=2C 1E
(I)求证:AC 1⊥平面A 1BD;
(Ⅱ)在线段DD 1上存在一点P,DP=AD 1,若PB 1∥平面DME,
求实数λ的值
22.(本题满分15分)已知点A(10),B(4,0),曲线C 上任意一点P 满足|PB|=2|PA|
(1)求曲线C 的方程;
(Ⅱ)设点D(3,0),问是否存在过定点Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点E,F,无论直线l 如何运动,x 轴都平分∠EDF,若存在,求出Q 点坐标,若不存在,请说明理由。