高一数学二次函数与一元二次方程教案 苏教版
二次函数与一元二次方程教学设计
二次函数与一元二次方程教学设计二次函数与一元二次方程教学设计1教学目标(一)教学知识点1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.(二)能力训练要求1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神.2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.3.通过学生共同观察和讨论,培养大家的合作交流意识.(三)情感与价值观要求1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2.具有初步的创新精神和实践能力.教学重点1.体会方程与函数之间的联系.2.理解何时方程有两个不等的实根,两个相等的实数和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标.教学难点1.探索方程与函数之间的联系的过程.2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.教学方法讨论探索法.教具准备投影片二张第一张:(记作§2.8.1A)第二张:(记作§2.8.1B)教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.Ⅱ.讲授新课一、例题讲解投影片:(§2.8.1A)我们已经知道,竖直上抛物体的高度h(m)与运动时间t的关系可以用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0(m)是抛出时的高度,v0(m/s)是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h(m)与运动时间t的关系如下图所示,那么(1)h与t的关系式是什么?(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?与同伴进行交流.[师]请大家先发表自己的看法,然后再解答.[生](1)h与t的关系式为h=-5t2+v0t+h0,其中的v0为40m/s,小球从地面被抛起,所以h0=0.把v0,h0代入上式即可求出h与t的关系式.(2)小球落地时h为0,所以只要令h=-5t2+v0t+h.中的h为0,求出t即可.还可以观察图象得到.[师]很好.能写出步骤吗?[生]解:(1)∵h=-5t2+v0t+h0,当v0=40,h0=0时,h=-5t2+40t.(2)从图象上看可知t=8时,小球落地或者令h=0,得:-5t2+40t=0,即t2-8t=0.∴t(t-8)=0.∴t=0或t=8.t=0时是小球没抛时的时间,t=8是小球落地时的时间.二、议一议投影片:(§2.8.1B)二次函数①y=x2+2x,②y=x2-2x+1,③y=x2-2x+2的图象如下图所示.(1)每个图象与x轴有几个交点?(2)一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?解方程验证一下:一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?[师]还请大家先讨论后解答.[生](1)二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴分别有两个交点,一个交点,没有交点.(2)一元二次方程x2+2x=0有两个根0,-2;方程x2-2x+1=0有两个相等的根1或一个根1;方程x2-2x+2=0没有实数根.(3)从观察图象和讨论中可知,二次函数y=x2+2x的图象与x轴有两个交点,交点的坐标分别为(0,0),(-2,0),方程x2+2x=0有两个根0,-2;二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点,交点坐标为(1,0),方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根(或一个根)1;二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴没有交点,方程x2-2x+2=0没有实数根.由此可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.[师]大家总结得非常棒.二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.三、想一想在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60m?你是如何知道的?[师]请大家讨论解决.[生]在式子h=-5t2+v0t+h0中,当h0=0,v0=40m/s,h=60m时,有-5t2+40t=60,t2-8t+12=0,∴t=2或t=6.因此当小球离开地面2秒和6秒时,高度都是60m.Ⅲ.课堂练习随堂练习(P67)Ⅳ.课时小结本节课学了如下内容:1.经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会了方程与函数之间的联系.2.理解了二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解了何时方程有两个不等的实根.两个相等的实根和没有实根.Ⅴ.课后作业习题2.9板书设计§2.8.1 二次函数与一元二次方程(一)一、1.例题讲解(投影片§2.8.1A)2.议一议(投影片§2.8.1B)3.想一想二、课堂练习随堂练习三、课时小结四、课后作业备课资料思考、探索、交流把4根长度均为100m的铁丝分别围成正方形、长方形、正三角形和圆,哪个的面积最大?为什么?解:(1)设长方形的一边长为x m,另一边长为(50-x)m,则S长方形=x(50-x)=-x2+50x=-(x2-50x+625)+625=-(x-25)2+625.即当x=25时,S最大=625.(2)S正方形=252=625.(3)∵正三角形的边长为 m,高为 m,∴S三角形= =≈481(m2).(4)∵2πr=100,∴r= .∴S圆=πr2=π・2=π・= ≈796(m2).所以圆的面积最大.二次函数与一元二次方程教学设计2教学目标一、教学知识点1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.2、理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标.二、能力训练要求1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神2、通过观察二次函数与x 轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想.3、通过学生共同观察和讨论，培养合作交流意识.三、情感与价值观要求1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.2、具有初步的创新精神和实践能力.教学重点1.体会方程与函数之间的联系.2.理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标.教学难点1、探索方程与函数之间的联系的过程.2、理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.教学方法讨论探索法教学过程：1、设问题情境，引入新课我们已学过一元一次方程kx+b=0 (k0)和一次函数y =kx+b (k0)的关系，你还记得吗?它们之间的关系是：当一次函数中的函数值y =0时，一次函数y =kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数的图像与x 轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.现在我们学习了一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的关系呢?本节课我们将探索有关问题.2、新课讲解例题讲解我们已经知道，竖直上抛物体的高度h (m )与运动时间t (s )的关系可以用公式 h =-5t 2+v 0t +h 0表示，其中h 0(m)是抛出时的高度，v 0(m/s )是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s 速度竖直向上抛起，小球的高度h(m)与运动时间t的关系如下图所示，那么(1)h 与t 的关系式是什么?(2)小球经过多少秒后落地?你有几种求解方法?小组交流，然后发表自己的看法.学生交流：(1)h 与t 的关系式是h =-5 t 2+v 0t +h 0，其中的v 0为40m/s，小球从地面抛起，所以h 0=0.把v 0,h 0带入上式即可求出h 与t 的关系式h =-5t 2+40t(2)小球落地时h为0 ，所以只要令 h =-5t 2+v 0t +h 0中的h=0求出t即可.也就是-5t 2+40t=0t 2-8t=0t(t- 8)=0t=0或t=8t=0时是小球没抛时的时间，t=8是小球落地时的时间.也可以观察图像，从图像上可看到t =8时小球落地.议一议二次函数①y=x2+2x ②y=x2-2x+1③y=x2-2x +2 的图像如下图所示(1)每个图像与x 轴有几个交点?(2)一元二次方程x2+2x=0 , x2-2x+1=0有几个根?解方程验证一下, 一元二次方程x2-2x +2=0有根吗?(3)二次函数的图像y=ax2+bx+c 与x 轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0 的根有什么关系?学生讨论后，解答如下：(1)二次函数①y=x2+2x ②y=x2-2x+1③y=x2-2x +2 的图像与x 轴分别有两个交点、一个交点，没有交点.(2)一元二次方程x 2+2x=0有两个根0，-2 ;x2-2x+1=0有两个相等的实数根1或一个根1 ;方程x2-2x +2=0没有实数根(3)从图像和讨论知，二次函数y=x2+2x与x 轴有两个交点(0,0),(-2,0) ，方程x2+2x=0有两个根0，-2;二次函数y=x2-2x+1的图像与x 轴有一个交点(1,0),方程 x2-2x+1=0 有两个相等的实数根1或一个根1二次函数y=x2-2x +2 的图像与x 轴没有交点, 方程x2-2x +2=0没有实数根由此可知，二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.小结：二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有焦点.当二次函数y=ax2+bx+c 的图像与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y =0时自变量x 的值，即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.基础练习1、判断下列各抛物线是否与x轴相交，如果相交，求出交点的坐标.(1)y=6x2-2x+1 (2)y=-15x2+14x+8 (3)y=x2-4x+42、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ;若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是3、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是 .4、已知抛物线y=x2+px+q与x 轴的两个交点为(-2，0)，(3，0)，则p= ，q= .5. 已知抛物线 y=-2(x+1)2+8 ①求抛物线与y轴的交点坐标;②求抛物线与x 轴的两个交点间的距离.6、抛物线y=a x2+bx+c(a0)的图象全部在轴下方的条件是(A) a0 b2-4ac0(B)a0 b2-4ac0(B) (C)a0 b2- 4ac0 (D)a0 b2-4ac0想一想在本节一开始的小球上抛问题中，何时小球离地面的.高度是60 m?你是怎样知道的?学生交流：在式子h =-5t 2+v 0t +h 0中v 0为40m/s， h 0=0，h=60 m，代入上式得-5t 2+40t=60t 28t+12=0t=2或t=6因此当小球离开地面2秒和6秒时，高度是6 0 m.课堂练习 72页小结：本节课学习了如下内容：1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c 与x轴的两个交点坐标分别是A(x1，0 )， B( x2，0 )2、一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c 这三个二次之间互相转化的关系.体现了数形结合的思想3、二次函数y=ax2+bx+c 何时为一元二次方程?二次函数与一元二次方程教学设计3一、教学目标：1。
高中数学必修一 (教案)二次函数与一元二次方程、不等式
二次函数与一元二次方程、不等式【教材分析】三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是高中数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法。
【教学目标】课程目标1．通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
2．使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题。
3．渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养1．数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；2．逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；3．数学运算：解一元二次不等式；4．数据分析：一元二次不等式解决实际问题；5．数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系。
【教学重难点】重点：一元二次函数与一元二次方程的关系，利用二次函数图像求一元二次方程的实数根和不等式的解集；难点：一元二次方程根的情况与二次函数图像与x轴位置关系的联系，数形结合思想的运用。
【教学准备】【教学方法】以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
【教学过程】一、情景导入在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。
类似地，能否从二次函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察。
研探。
二、预习课本，引入新课阅读课本，思考并完成以下问题1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系。
2．解一元二次不等方的步骤？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式Δ=b 2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函数y=ax 2+bx+c（a>0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0）的根有两相异实根x1，x2（x1<x2）有两相等实根x1=x2没有实数根ax2+bx+c>0（a>0）的解集{x|x>x2或x<x1}{x|x≠−2ba}Rax2+bx+c<0（a>0）的解集{x|x1<x<x2}∅∅ab2-=2．一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）的求解的算法。
二次函数与一元二次方程(第一课时)教案
Being with positive people can make us feel good.（页眉可删）
二次函数与一元二次方程(第一课时)教案【教学目标】
1、知识与技能：
（1）体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法；
（2）理解二次函数图象与x轴（横轴）交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的`实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征；（3）理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）图象交点的横坐标。
2、过程与方法：
（1）由一次函数与一元一次方程根的联系类比探求二次函数与一元二次方程之间的联系；（2）经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想。
3、情感、态度与价值观：
培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物之间的联系与转化、体验探究的乐趣和学会用辨证的观点看问题的思维品质。
【重点与难点】
重点：经历“类比--观察--发现--归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程。
难点：准确理解二次函数与一元二次方程的关系。
【教法与学法】
教法(=)：命题课，采用“发现式学习”的方式，注重“最近发展区”，寻根问源，以旧知识为基础创设问题情境，引导学生经历“类比—猜想—观察—发现—归纳—应用”的探究过程。
学法：探究式学习。
【课前准备】
多媒体、PPT课件。
【教学过程】
附：板书设计：。
《二次函数与一元二次方程》word教案 (公开课获奖)2022苏教版
二次函数和方程课型：新授一、学习目标：1、使学生能熟练地画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，并能结合图象初步能判断a、b、c的符号。
2、结合二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象感受二次函数与不等式、方程的关系。
二、〔一〕复习旧知：1、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是_______，顶点坐标是___________。
2、无论x取任何实数，函数y=x2+2x-3中，函数值y的取值范围是〔〕A、y≥-4B、y≤-4C、y≥-3D、取任何实数3、当0≤x≤5时，函数y=3x2-12x+5的取值范围是________________4、在右图中：〔1〕当x满足_________时，y=0 〔2〕当x满足_________时，y＞0〔3〕当x满足_________时，y＜0〔二〕自主探究问题1：想一想，如何根据图象确定二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中a、b、c的符号，〔1〕a的符号与抛物线的___________有关，有什么结论？______________________________________〔2〕抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴的交点坐标是________因此抛物线与y轴的交点:①在y轴正半轴上时，c与0的大小关系是___________；②在y轴负半轴上时，c与0的大小关系是___________；③在原点时，c与0的大小关系是___________。
〔3〕对称轴与_____ 有关，如何确定b的符号?〔4〕二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如下图，那么〔〕A、a＜0，b＞0，c＜0B、a＜0，b＜0，c＞0，C、a＜0，b＜0，c＜0，D、a＜0，b＞0，c＞0三、例1、〔1〕二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如下图，那么你能判断出以下量的符号吗？a___0;b___0;c____0;abc___0、2a+b___0、a+b+c___0、a-b+c___0、b2-4ac___0 、4a+2b+c____0。
二次函数与一元二次方程教案
二次函数与一元二次方程教案教案标题：探索二次函数与一元二次方程教案目标：1. 了解二次函数与一元二次方程的定义和基本性质；2. 掌握解一元二次方程的方法；3. 掌握二次函数的图像特征和性质；4. 能够应用二次函数和一元二次方程解决实际问题。
教案步骤：一、引入（5分钟）1. 利用实例引出学生对于二次函数和一元二次方程的初步认识。
2. 引导学生思考二次函数与一元二次方程的联系，并提出学习的目标。
二、理论讲解（15分钟）1. 介绍二次函数的定义和一般形式，解释二次函数图像的特征。
2. 讲解一元二次方程的定义和一般形式，介绍解一元二次方程的方法。
三、解题演练（20分钟）1. 给学生提供一些简单的一元二次方程，引导学生运用所学方法解题。
2. 给学生提供一些简单的二次函数图像，要求学生根据图像特征写出函数的表达式。
四、拓展应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，引导学生将问题转化为一元二次方程，并解答问题。
2. 提供一些实际问题，引导学生根据问题描述绘制对应的二次函数图像，并分析解决问题的方法。
五、总结归纳（10分钟）1. 学生总结二次函数与一元二次方程的基本性质和解题方法。
2. 教师对本节课的重点内容进行总结，并强调学生在课后的复习重点。
六、作业布置（5分钟）1. 布置一些练习题，要求学生巩固所学的知识和解题方法。
2. 鼓励学生积极思考，提出问题并准备下节课的讨论。
教案评估：1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的积极参与程度；2. 练习题表现：检查学生对于二次函数和一元二次方程的掌握情况；3. 实际问题解决能力：评估学生运用所学知识解决实际问题的能力。
教案扩展：1. 可以引入二次函数的最值问题，进一步拓展学生对于二次函数的理解；2. 可以引入一元二次方程的根与系数之间的关系，加深学生对于一元二次方程的理解。
教案注意事项：1. 确保学生已经掌握一元一次方程的解法和基本概念，为学习二次函数和一元二次方程打下基础；2. 鼓励学生多做练习，加深对于二次函数和一元二次方程的理解；3. 教师要及时给予学生反馈，帮助他们纠正错误和提高解题能力。
高中数学教案《二次函数与一元二次方程、不等式》
教学计划：《二次函数与一元二次方程、不等式》一、教学目标1、知识与技能：学生能够理解并掌握二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的概念、性质及其相互关系;能够熟练求解一元二次方程和一元二次不等式，并能根据二次函数的图像判断不等式的解集。
2、过程与方法：通过案例分析、图形辅助、探究学习等方法，培养学生的观察、分析和解决问题的能力;通过小组合作、讨论交流，提升学生的协作学习能力和语言表达能力。
3、情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养探索数学规律的精神和严谨的科学态度;通过解决实际问题，让学生感受到数学在现实生活中的应用价值。
二、教学重点和难点重点：一元二次方程的求解方法(公式法、因式分解法、配方法);一元二次不等式的解法及与二次函数图像的关系;二次函数的性质(开口方向、顶点、对称轴)。
难点：一元二次不等式解法中根据判别式判断解的存在性;将一元二次不等式转化为二次函数图像下的区域问题;灵活运用二次函数的性质解决实际问题。
三、教学过程1. 导入新课（5分钟）生活实例引入：以医院中病人的病情随时间变化的例子(如体温变化、药物浓度变化)，引导学生思考这些变化可能呈现出的二次函数形态，从而引出二次函数的概念。
提出问题：当病情达到某个临界点时(如体温过高或过低)，医生需要采取相应措施。
这实际上涉及到一元二次方程和不等式的求解问题。
明确目标：介绍本节课将要学习的内容，即二次函数与一元二次方程、不等式的相互关系及其求解方法。
2. 讲解新知（20分钟）二次函数概念：回顾一次函数的概念，通过类比引出二次函数的一般形式及其图像特征(开口方向、顶点、对称轴)。
一元二次方程求解：详细介绍一元二次方程的三种求解方法(公式法、因式分解法、配方法)，并通过实例演示每种方法的应用。
一元二次不等式：结合二次函数图像，讲解一元二次不等式的解法及其与函数图像的关系。
强调根据判别式判断不等式的解集情况，并引导学生掌握将不等式转化为图像下区域问题的方法。
二次函数与一元二次方程教案
二次函数与一元二次方程教案二次函数与一元二次方程教学目标(一)教学知识点1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.2.进一步发展估算能力.(二)能力训练要求1.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验.2.利用图象法求一元二次方程的近似根,重要的是让学生懂得这种求解方程的思路,体验数形结合思想.(三)情感与价值观要求通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根,进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系,提高估算能力.教学重点1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.教学难点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.教学方法学生合作交流学习法.教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系,懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标,就是y=0时的一元二次方程的根,于是,我们在不解方程的情况下,只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可.但是在图象上我们很难准确地求出方程的解,所以要进行估算.本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根.Ⅱ.讲授新课一、利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根.下图是函数y=x2+2x-10的图象.[师]从图象上来看,二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴交点的横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,所以方程x2+2x-10=0的两个根一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.这只是大概范围,究竟更接近于哪一个数呢?请大家讨论解决.[生]有关估算问题我们在前面已学习过了,即是用试一试的方法进行的.既然一个根在-5与-4之间,那这个根一定是负4点几,所以个位数就确定下来了,接着确定十分位上的数,这时可以用试一试的方法,即分别把x=-4.1,-4.2,…,-4.9代入方程进行计算,哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立),则这个值就是方程的根(或近似根).[师]由于计算比较烦琐,所以大家可以用计算器进行计算.[生]从图象上看,x的取值应大于-4.5,所以可以只代入-4.1,-4.2,-4.3,-4.4这四个数进行计算,利用计算器进行探索.x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4y -1.39 -0.76 -0.11 0.56从上表可知,当x取-4.1,-4.2,-4.3,-4.4时,y的值都不等于0,所以x的取值还不准确,应继续估计百分位上的数,十分位上的数字应取y的值和零最接近的数字.所以x应取负的4点3几.再按同样的方法求百分位上的数字.依次类推,即可求出比较准确的x的值.[师]大家的分析非常到位、确实应按这样的步骤进行,但我们的重点是求解方程的思路,而不是求解的结果.因此本书规定用图象法求一元二次方程的近似根时,结果只取到十分位.[生]因此,x=-4.3是方程的一个近似根.[师]有了上面的分析和结果,求另一个近似根就不困难了,请大家继续.[生]另一个根在2与3之间,应是2点几,再用计算器进行探索.x 2.1 2.2 2.3 2.4y -1.39 -0.76 -0.11 0.56由于当x=2.3时,y的值最接近0,所以另一个根的近似值为x=2.3.[师]还有其他的方法吗?[生]有,可以把-5与-4之间的线段十等分再判断交点更接近于哪一个分点.如上题中的两个根可以这样求:二、做一做利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.[师]我们可以根据上面的方法来求方程的近似根.但是还与上面的题型不太一样.上面的题是利用二次函数y=x2+2x-10的图象估计方程x2+2x-10=0的根,现在我们应该利用哪一个函数图象求方程x2+2x-10=3的根呢?[生甲]利用函数y=x2+2x-13的图象求方程x2+2x-10=3的近似根.[生乙]也可以在上题的基础上进行,利用函数y=x2+2x-10的图象与直线y=3的交点的横坐标求方程x2+2x-10=3的解.[师]究竟哪一种方法正确呢?我们下面就来验证一下.[生甲]函数y=x2+2x-13的图象如下图由图可知,图象与x轴的两个交点的横坐标中,一个在-5与-4之间,一个在2与3之间,因此两个根分别为负4点几和2点几,下面用计算器进行探索.x -4.5 -4.6 -4.7 -4.8 -4.9y -1.75 -1.04 -0.31 0.44 1.21因此x=-4.7是方程的一个近似根.另一个根可以类似地求出:x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9y -1.75 -1.04 -0.31 0.44 1.21因此x=2.7是方程的另一个近似根.[生乙]分别画出函数y=x2+2x-10的图象和直线y=3,找它们交点的横坐标即可.由图可知两根分别为x=-4.7和x=2.7.Ⅲ.课堂练习P71随堂练习Ⅳ.课时小结本节课学习的内容:1.经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会了方程与函数之间的联系;2.经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得了用图象法求方程近似根的体验.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标,发展估算能力.Ⅴ.课后作业习题2.10Ⅵ.活动与探究一元二次方程x2-4x+2=-1的根与二次函数y=x2-4x+2的图象有何关系?请你把方程的根在图象上表示出来.解:一元二次方程x2-4x+2=-1的根可以看成函数y=x2-4x+2的图象与直线y=-1的交点的横坐标.图象略.板书设计§2.8.2二次函数与一元二次方程(二)一、1.利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10的根2.做一做(利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根)二、课堂练习三、课时小结四、课后作业。
二次函数与一元二次方程教案
21、3二次函数与一元二次方程一、教学目标1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的关系.2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时函数有两个交点、一个交点和没有没有交点.3、理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.二、教学重点和难点重点：探索二次函数图象与x轴的交点及一元二次方程的根的情况.难点：利用图象法探究交点个数的判别方法.三、教学方法自主探究、合作交流四、教学设计（一）旧知回顾：（1）一次函数y＝x＋2的图象与x轴的交点为（，）一元一次方程x＋2＝0的根为________（2）一次函数y＝－3x＋6的图象与x轴的交点为（，）一元一次方程－3x＋6＝0的根为________通过观察对比，一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与一元一次方程kx＋b＝0的根有什么关系？结论：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx ＋b＝0的根（二）新课引入：课题6.3二次函数与一元二次方程1、问题导出：二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有什么关系？动手操作：请每位同学在方格纸中画出二次函数y＝x2－2x－3的图象观察思考：你的图象与x轴的交点坐标是什么？解一元二次方程：x2－2x－3＝0你发现了什么？发现的结论：（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标就是当y＝0时一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根（2）二次函数的问题可以转化为一元二次方程去解决反馈练习1：求下列二次函数与x轴的交点坐标（1）y＝x2-2x+1；（2）y＝x2-2x+3；（2）通过计算发现问题：不是所有的二次函数与x轴都有两个交点！有的函数只有一个交点，有的没有交点（借助图象的平移说明这个事实）2、设想：二次函数与x轴的交点个数与一元二次方程的解的个数有关系我们在学习一元二次方程时是用什么来判断解的个数的？回顾判别式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0b2－4ac＞0 方程有两个不相等的实数根b2－4ac＝0 方程有两个相等的实数根b2－4ac＜0 方程没有实数根那么，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，判别式又能给我们什么样的结论？学生归纳：b2－4ac＞0 函数与x轴有两个交点b2－4ac＝0 函数与x轴有一个交点b2－4ac＜0 函数与x轴没有交点反馈练习2：判断下列二次函数图象与x轴的交点情况（1）y＝x2－1；（2）y＝－2x2＋3x－9；（3）y＝x2－4x＋4；（4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，a≠0）（三）基础训练1、已知抛物线y=x2-6x+a的顶点在x轴上，则a= ；若抛物线与x轴有两个交点，则a的范围是；若抛物线与坐标轴有两个公共点，则a的范围是；2、已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一个交点，则a的范围是。
二次函数与一元二次方程_教案
二次函数与一元二次方程【教学目标】1．使学生经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。
2．理解二次函数的图象和横轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不相等的实数根、两个相等的实数根和没有实数根。
3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h为实数）交点的横坐标。
【教学重点】二次函数的图象与x轴交点和一元二次方程的根的个数之间的关系。
【教学难点】一元二次方程的根与二次函数的联系【教学方法】1．多媒体课件辅助教学2．引导探究法【教学过程】一、创设情景，导入新课1．通过多媒体课件展示一个物体向上抛出落地的过程。
2．我们已经知道，竖直上抛物体的高度h（m）与运动时间t（s）的关系可用公式h=-5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是抛出时的高度，v0（m/s）是抛出时的速度。
一个小球从地面以40m/s的速度竖直向上抛出起，小球的高度h（m）与运动时间t （s）的关系如图所示，那么h和t的关系式是什么？（1）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流。
二、师生互动，探究关系1．二次函数y=x2+2x，y=x2-2x+1，y=x2-2x+2的图象如图所示。
（1）每个图象与x轴有几个交点？（2）一元二次方程？x2+2x=0，x2-2x+1=0有几个根？验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗？2．归纳结论：二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系？二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点情况一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac的符号三、运用提高，形成技能1．抛物线y= x2－16与x轴的交点坐标是。
2．抛物线y= x2＋2x－8与x轴的交点坐标是。
3．抛物线y=5x2－2x＋1与x轴是否有交点，若有请求出交点坐标，若没有请说明理由。
二次函数与一元二次方程优秀教案
例 2：已知抛物线 y x2 6x a 的顶点在 x 轴上，则 a =_________；若抛物线与 x 轴有两
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个交点，则 a 的范围是_________；与 x 轴最多只有一个交点，则 a 的范围是_________ 例 3：已知关于 x 的函数 y ax2 x 1 （ a 为常数）
二次函数与一元二次方程
【教学目标】
1．经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，体会方程与函数之间的关系。 2．理解二次函数的图象与 x 轴公共点的个数与相应的一元二次方程根的对应关系。 3．进一步体验数形结合的数学思想。
【教学重点】
体会方程与函数之间的联系。
【教学难点】
数形结合的数学思想。
【教学过程】
一、问题情景： 1．一次函数 y 2x 5 与 x 轴的交点坐标是什么？它与一元一次方程 2x 5 0 有什么关
系？ 2．解下列方程： ① x2 2x 3 0
② x2 6x 9 0
③ x2 2x 3 0
3．下列三个二次函数：① y x2 2x 3 ② y x2 6x 9 ③ y x2 2x 3 与上述相应的一
10．已知关于 x 的二次函数 y x2 (2m 1)x m2 3m 4
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（1）探究 m 满足什么条件时，二次函数的图象与 x 轴的交点的个数； （2）设二次函数的图象与 x 轴的交点为 A(x1, 0), B(x2 , 0) ，且 x12 x22 5 ， 求二次函数的解析式。 四、课外作业 1．已知一元二次方程 x2 px q 1 0 的一根为 2． （1）求 q 关于 p 的关系式； （2）求证：抛物线 y x2 px q 与 x 轴有两个交点； （3）设抛物线 y x2 px q 的顶点为 M ，且与 x 轴相交于 A(x1, 0)、B(x2, 0) 两点，求使△ AMB 面积最小时的抛物线的解析式。 2．已知抛物线 y x2 kx 3 k 2 （ k 为常数，且 k 0 ）。
2019-2020年高一数学二次函数与一元二次方程教案 苏教版
2019-2020年高一数学二次函数与一元二次方程教案苏教版知识目标:（1）会用判别式的符号解释二次函数图象与x轴交点及一元二次方程的根。
（2）理解解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间。
能力目标：体验并理解函数与方程相互转化的数学思想培和数形结合的数学思想。
情感目标：培养学生积极探索，主动参与，大胆创新，勇于开拓的精神教学过程:一、引入等式是关于的一元二次方程，关系式则是关于自变量的二次函数。
今天我们将进一步研究它们之间的关系。
二、新授观察思考：1、几个具体的一元二次方程及其对应的二次函数，如①方程与函数；②方程与函数；③方程与函数。
研讨探究问题：一元二次方程的根与二次函数图象和x轴交点坐标有什么关系？探究点一：二次函数图象与一元二次方程根的关系。
⑴以①为例（幻灯片）结论：一元二次方程的判别式＞0 一元二次方程有两个不相等的实数根对应的二次函数的图象与轴有两个交点为（3，0），（–1，0）。
（2）再研究②③，能得类似的结论吗？结论：一元二次方程判别式=0一元二次方程有两等根对应的二次函数的图象与轴有唯一的交点为（1，0）。
一元二次方程判别式﹤0 一元二次方程方程无实数根对应的二次函数的图象与轴没有交点。
联想发散2、一元二次方程（＞0）根的个数及其判别式与二次函数（＞0）图象与轴的位置之间有什么联系？）方程无实根思考：当二次函数（﹤0）时，是否也有类似的结论呢？探究点二：函数的零点一元二次方程的的实数根就是二次函数的值为零时自变量的的值，也就是二次函数的图象与轴交点的横坐标，因此一元二次方程的的实数根也称为二次函数的零点。
一般地，对于函数，把使的实数叫做函数的零点。
函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的根、函数y=f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标之间的关系： 函数的零点方程实数根函数的图象与轴的交点横坐标。
探究点三：函数的零点的求解与判定练习:说出几个具体一元二次方程的根并指出其相应的二次函数的零点情况：①方程与函数；②方程与函数；③方程与函数注:(1)函数的零点是数，不是一个点。
二次函数与一元二次方程 优秀教学设计(教案)
二次函数与一元二次方程【教学目标】1．知识与技能：理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点个数、掌握方程与函数间的转化。
2．过程与方法：逐步探索二次函数与一元二次方程之间的关系，函数图象与x轴的交点情况。
由特殊到一般，提高学生的分析、探索、归纳能力。
3．情感态度：培养合作的良好意识和大胆探索数学知识间联系的好习惯，体会到二次函数广泛意义。
【教学重点】探索一次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况。
【教学难点】函数→方程→x轴交点，三者之间的关系的理解与运用。
【教学过程】一、问题导入。
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。
如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系。
考虑以下问题：（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）小球从飞出到落地需要多少时间？2205h t t=-二、探索新知。
1．从上面的问题可以看出，二次函数与一元二次方程有如下关系：函数，当函数值y为某一确定值m时，对应自变量x的值就是方程的根。
特别是y=0时，对应的自变量x的值就是方程的根。
以上关系，反过来也成立。
利用以上关系，可以解决两个方面问题。
其一，当y为某一确定值时，可通过解方程来求出相应的自变量x值；其二，可以利用函数图象来找出相应方程的根。
2．二次函数的图象与x轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系。
观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？方程的根是，。
方程的根是。
方程无实数根。
3．归纳总结。
一般地，从二次函数的图象可得如下结论：如果抛物线与x轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数值是0，因此是方程的一个根。
二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。
《二次函数与一元二次方程》优秀教案
二次函数与一元二次方程导学案1一、学习目标:1、经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，体会方程与函数之间的关系。
2、理解二次函数的图象与轴公共点的个数和相应的一元二次方程根的对应关 系。
3、进一步体验数形结合的数学方法。
4、重点：二次函数的图象与轴公共点的个数和相应的一元二次方程根的对应 关系。
5、难点：二次函数与一元二次方程关系的应用。
二、知识准备：1、一元二次方程的一般形式：2、怎样判断一元二次方程根的情况？当Δ=ac b 42->0时，一元二次方程a 2bc=0的根的情况是 。
当Δ=ac b 42-=0时，一元二次方程a 2bc=0的根的情况是 。
当Δ=ac b 4-<0时，一元二次方程a 2bc=0的根的情况是 。
思考：当Δ= ≥0时，一元二次方程a 2bc=0有实根。
3、二次函数的一般形式：4怎样求二次函数=a 2bc 与轴的交点坐标？如： =2-2-3三、学习过程: （一）、思考与探索：二次函数=2-2-3与一元二次方程2-2-3=0有怎样的关系？1、从关系式看二次函数=2-2-3成为一元二次方程2-2-3=0的条件是什么？2、反应在图象上：观察二次函数=2-2-3的图象，你能确定一元二次方程2-2-3=0的根吗？3、结论：二次函数=2-2-3的图象与轴有两个公共点 ,那么一元二次方程2-2-3=0有两个不相等的实数根。
（二）思考与探索：（1）观察函数= 2-69与= 2-23的图象与轴的公共点的个数。
（2）判断一元二次方程2-69=0和2-23=0的根的情况。
（3）你能利用图象解释一元二次方程的根的不同情况吗？（三）、归纳提高：一般地，二次函数=a2bc图象与一元二次方程a2bc=0的根有如下关系：1、如果二次函数=a2bc图象与轴有两个交点（m,0）、n,0,那么一元二次方程a2bc=0有实数根1= ,2= 。
2、如果二次函数=a2bc图象与轴有一个交点（m,0）,那么一元二次方程a2bc=0有实数根1=2= 。
二次函数与一元二次方程教案
二次函数与一元二次方程教案教学目标一、知识与技能1、经历复习二次函数与一元二次方程关系的过程，进一步体会方程与函数之间的互相转化，能够用函数的观点看方程。
2、掌握二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，掌握何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根，并熟练的用于解题中。
3、掌握一元二次方程的根就是二次函数与y =m 交点的横坐标.二、过程与方法1、经历复习二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的综合解题能力。
2、通过观察二次函数与x 轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想.3、通过学生共同学习和讨论，培养合作交流意识.三、情感态度与价值观1、经历复习二次函数与一元二次方程的关系的过程，认识到事物的联系与转化，体验探究的乐趣。
2、学会用辨证的观点看问题，具有初步的创新精神和实践能力.教学重点1.掌握方程与函数之间的联系.2. 掌握一元二次方程的实数根个数与二次函数与x轴公共点个数的对应关系，根据具体的函数图像解决有关问题；3.掌握二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象与直线y=m公共点的横坐标,就是一元二次方程ax²+bx+c=m（a≠0）的根。
教学难点1、掌握二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.探索方程与函数之间的联系的过程.2、掌握由方程根来求待定系数，或由待定系数的取值决定方程根的解题套路.教学方法讲练法，教师引导启发，学生合作探索【教学过程】课前复习二次函数与一元二次方程的关系课前练习1.抛物线y=-3x2-x+4与x轴的公共点个数是（）个。
A．3 B．2 C．1 D．02. 二次函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是_______。
2y ax bx c =++20ax bx c ++=的关系二次函数y=ax例题讲解例1.二次函数y=x²+bx+c的图象如图所示，则函数值y＜0时，对应x的取值范围是__________。
第30课时——二次函数与一元二次方程 苏教版 高中数学必修1教案 教师版
第三十课时二次函数与一元二次方程【学习导航】1．能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2．了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间；3．体验并理解函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想．自学评价1.二次函数的零点的概念一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠的根也称为二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的零点．2. 二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系（1）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个不相等的实数根1x ，2x ⇔判别式0∆>⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴有两个交点为()1,0x ，()2,0x ⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）有两个不同的零点1x ，2x ；（2）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个相等的实数根1x =2x ⇔判别式0∆=⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴有唯一的交点为（1x ，0）⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）有两个相同零点1x =2x ； （3）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）没有实数根⇔判别式0∆<⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴没有交点⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）没有零点． 3. 推广 ⑴函数的零点的概念 一般地，对于函数()y f x =()x D ∈，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x = ()x D ∈的零点． ⑵函数的零点与对应方程的关系 方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点． 【精典范例】 例1：求证：一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根． 【解】证法1 ∵∆=()23427650-⨯⨯-=> ∴一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根． 证法2 设2()237f x x x =+-， ∵函数的图象是一条开口向上的抛物线，且2(0)2030770f =⨯+⨯-=-<∴函数()f x 的图象与x 轴有两个不同的交点，即一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根． 点评:例1还可用配方法将方程化为2365()416x +=再证明．也可仿照证法2，由抛物线开口向上及(1)23720f =+-=-<来推证． 例2：右图是一个二次函数()y f x =的图象． （1）写出这个二次函数的零点； （2）写出这个二次函数的解析式； （3）试比较(4)(1)f f --，(0)(2)f f 与0的大小关系． 【解】（1）由图象可知此函数的零点是：13x =-，21x =． 听课随笔（2）由（1）可设()f x =(3)(1)a x x +- ∵(1)4f -= ∴1a =∴()(3)(1)f x x x =-+-．即这个二次函数的解析式为2()23f x x x =--+．（3）∵(4)5f -=-，(1)4f -=， (0)3f =，(2)5f =-，∴(4)(1)200f f --=-<，(0)(2)150f f =-<．点评:例2进一步体现了利用函数图象研究函数性质的思想．例3：当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围：（1）方程2270x ax a -+-=的两个根一个大于2，另一个小于2；（2）方程2340ax x a ++=的两根都小于1；（3）方程22(4)2530x a x a a -+-++=的两根都在区间[1,3]-上；（4）方程227(13)20x a x a a -++--=的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上；（5）方程022=++ax x 至少有一个实根小于1-．分析：可将方程的左端设为函数，结合二次函数图象，确定a 的不等式（组）．【解】⑴ 设22()70f x x ax a =-+-=，其图象为开口向上的抛物线．若要其与x 轴的两个交点在点(2,0)的两侧，只需(2)0f <，即24270a a -+-<，∴ 13a -<<．⑵ 当0a =时，0x =满足题意． 当0a ≠时，设2()34f x ax x a =++. 若要方程两根都小于1，只要2339160443310223(1)005a a a a a af a a ⎧-≤≤⎪⎧∆=-≥⎪⎪⎪⎪-<⇒><-⎨⎨⎪⎪>⎪⎪⎩><-⎪⎩或或 304a ⇒<≤综上，方程的根都小于1时，304a ≤≤⑶ 设22()(4)253f x x a x a a =-+-++则方程两个根都在[1,3]- 上等价于： 222(1)0340(3)004136224(32)0()02f a a f a a a a a a f -≥⎧⎪⎧--≤≥⎪⎪-≤⎪⎪+⇒⎨⎨-≤≤-≤≤⎪⎪⎪⎪+-≥⎩≤⎪⎩ ∴01a ≤≤． （4）设22()7(13)2f x x a x a a =-++--，则方程一个根在(0,1)上，另一根在(1,2)上等价于22220(0)0(1)0280(2)030a a f f a a f a a ⎧-->>⎧⎪⎪<⇒--<⎨⎨⎪⎪>->⎩⎩ 122403a a a a a <->⎧⎪⇒-<<⎨⎪<>⎩或或21a -<<- 或34a <<． （5）设2()2f x x a x =++，若方程的两个实根都小于1-，则有2801223(1)0a a a a a a f ⎧-≥⎧≤-≥⎪⎪⎪-<-⇒>⎨⎨⎪⎪<⎩->⎪⎩3a ⇒≤< 若方程的两个根一个大于1-，另一个小于-1，则有(1)30f a -=-<, ∴3a >． 若方程的两个根中有一个等于1-，由根与系数关系知另一根必为2-， ∴12a -=--， ∴3a =． 综上程至少有一实根小于1-时，a ≥ 点评：二次函数是高中知识与大学知识的主要纽带，函数综合题往往以二次函数为载体，考查函数的值域、奇偶性、单调性及二次方程实根分布问题、二次不等式的解集问题等，考查形式灵活多样，考查思想涉及到数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等，高考在此设计的难度远远高于课本要求，在学习中一方面要加强训练，一方面要提高分析问题、解决问题的能力． 追踪训练一 1. 函数2()2f x x ax =--(01)x ≤≤的最大值是2a ，则 （ D ） 听课随笔A ．01a ≤≤B ．02a ≤≤C ．20a -≤≤D ．10a -≤≤2. 设2()f x x bx c =-+，(0)4f =, (1)(1)f x f x +=-，则 （ B ） A ． ()()x x f b f c ≥ B ． ()()x x f b f c ≤ C ．()()x x f b f c > D ． ()()x x f b f c <3. 若关于x 的方程2(2)210x m x m +-+-=有一根在(0,1)内，则m ∈__1223m <<___．4.若二次函数2()(1)5f x x a x =--+在区间1(,1)2上是增函数，则(2)f 的取值范围是_______[)7,+∞__________．【选修延伸】一、二次函数与一元二次方程根的关系例4:已知m ，n 是方程22(2)x k x k +-++ 350k +=(k R ∈)的两个实根，求22m n +的最大值和最小值．分析:一元二次方程与二次函数有很多内在联系．要求22m n +的最值，首先要考虑根与系数的关系，并由此得到以k 为自变量的22m n +的函数解析式．【解】因为方程22(2)350x k x k k +-+++=(k R ∈)有两个实根，所以22(2)4(35)k k k ∆=--++2316160k k =---≥，解得443k -≤≤-又(2)m n k +=--，235m n k k ⋅=++， 所以222()2m n m n mn +=+-22(2)2(35)k k k =--++22106(5)19k k k =---=-++． 而()()2451943f k k k ⎛⎫=-++-≤≤- ⎪⎝⎭是减函数，因此当4k =-时，22m n +取最大值18，当43k =-时，22m n +取最小值509． 点评：这是一个与一元二次方程根有关的问题，必须先确定k 的取值范围，否则无法确定函数()f k 的单调性． ． 追踪训练二 1． 若方程2210ax x --=在()0,1内恰有 一解，则a 的取值范围是（ B ） A ．1a <- B ．1a > C ．11a -<< D ．01a ≤< 2．已知()()()2f x x a x b =---()a b <，并且α、β是方程()0f x =的两个根()αβ<，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是（ A ） A ．a b αβ<<< B ．a b αβ<<< C ．a b αβ<<< D ．a b αβ<<< 3．不等式223222x kx k x x >＋＋＋＋对一切实数x 都立，则k 的取值范围是210k <<. 4． 已知二次函数2()f x ax bx c =++和一次函数()g x ax b =+，其中a b c >>，且(1)0f =， （1）求证：两函数()f x 、()g x 的图象交于不同两点A 、B ； （2）求线段AB 在x 轴上投影11A B 长度的取值范围． 答案：（1）∵(1)0f a b c =++=，a b c >>，∴0a >,0c <．由2y ax bx c y ax b ⎧⎨⎩＝＋＋＝＋ 得2()0ax b a x c b +-+-=， 因为2()40b a ac ∆=+->． 所以两函数()f x 、()g x 的图象必交于不同的两点； （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则211||A B = 2212()(2)4cx x a -=--．∵0a b c ++=，听课随笔 听课随笔a b c >>，∴122c a -<<-． ∴11||A B ∈（23，32）．。
40.苏教版·高中数学必修Ⅰ教案_§2.5.1 二次函数与一元二次方程(2)
§2.5.1 二次函数与一元二次方程(2)教学目标：1.让学生熟练掌握二次函数的图象，并会判断一元二次方程实根的分布情况2.能够通过图象分析法,求一元二次方程实数分布中字母参数的取值范围.3. 培养分类讨论、转化的能力，综合分析、解决问题的能力；4. 激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神. 教学重点：一元二次方程的实根分布. 用韦达定理解“含参二次方程的实根分布”问题的基本方法.教学难点：通过问题情境的分析,明确一般要考虑哪些因素以及如何使所列出的代数关系式与图象提供的信息是等价的. 教学过程：引入问题(课时训练P61练习1) (课时训练P51练习3)当||1x ≤时, 函数21y ax a =++的值有正也有负,则实数a 的取值范围是( )A.13a ≥- B.1a ≤- C.113a -<<- D.113a -≤≤-分析:“值有正也有负”是什么意思? 说明该函数的图象有什么样的特征?突破1: 该函数的图象与x 轴必有一个交点且非两个端点1±. 突破2: 该函数图象是一条线段,其两个端点的函数值必一正一负! 解析: 设()21f x ax a =++, 则由已知条件可得(1)0,10,11(1)0,310,3f a a f a ->+>⎧⎧⇒⇒-<<-⎨⎨<+<⎩⎩ 或(1)0,10,(1)0,310,f a f a -<+<⎧⎧⇒⎨⎨>+>⎩⎩此不等式组无解.(舍去) 故应选C.问题1.一次函数的实根是可由特征点的函数值确定,二次函数呢?方程的根的求解问题,需要构建一个与之相应的函数去进行研究,这体现了方程与函数之间的一种必然的联系!实根分布的题型:例1.(1)方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，则实数a 的范围是____________． (2)方程x 2－2ax ＋4＝0的一根大于1 ,一根小于1 ，则实数a 的范围是________． (3)方程x 2－2ax ＋4＝0的一根在(0,1)内, 另一个根在(6,8)内，则实数a 的范围是________．解析：(1)方法一：利用韦达定理，设方程x 2－2ax ＋4＝0的两根为x 1、x 2，则⎪⎩⎪⎨⎧≥∆．，＞－＋－，＞－－00)1()1(0)1)(1(2121x x x x 解之得2≤a ＜25．方法二：利用二次函数图象的特征， 设f （x ）＝x 2－2ax ＋4，则⎪⎩⎪⎨⎧≥∆．＞，＞，10)1(0a f 解之得2≤a ＜25．(2) 方法一：利用韦达定理，设方程x 2－2ax ＋4＝0的两根为x 1、x 2，则12(1)(1)00x x ⎧⎨∆>⎩－－<，．解之得a >25．方法二：利用二次函数图象的特征，设f （x ）＝x 2－2ax ＋4，则(1)0f <解之得a >25．(3) 利用二次函数图象的特征， 设f （x ）＝x 2－2ax ＋4，则(0)0(1)0,(6)0(8)0.f f f f >⎧⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩， 解之得101734a << .反思领悟: 判断二次函数的零点分布的关键在于作出二次函数的图象的草图 , 根据草图列出不等式组, 要注意二次函数的对称轴与△的同时存在性问题.练习:(1)方程ax2－2x＋4＝0的两根均大于1，则实数a的范围是_______．(2)方程ax2－2x＋4＝0的一根大于1 ,一根小于1 ，则实数a的范围是_______．(3)方程ax2－2x＋4＝0的一根在(-1,0)内, 另一个根在(0,1)内，则实数a的范围是____．答案:(1)设f（x）＝ax2－2x＋4，则(1)0,11,0.afa>⎧⎪>⎪⎪⎨>⎪⎪∆≥⎪⎩，或(1)0,11,0.afa<⎧⎪<⎪⎪⎨>⎪⎪∆≥⎪⎩，解之得14a<≤;(2)设f（x）＝ax2－2x＋4，则(1)0.af>⎧⎨<⎩，或(1)0.af<⎧⎨>⎩，解之得20a-<<;(3)设f（x）＝ax2－2x＋4，则0,(1)0(0)0,(1)0.afff>⎧⎪->⎪⎨<⎪⎪>⎩，或0,(1)0(0)0,(1)0.afff<⎧⎪-<⎪⎨>⎪⎪<⎩，解之得2a<-.小结:设二次方程ax2－bx＋c =0 (a≠0), 对应的二次函数 f (x)＝ax2－bx＋c(a≠0)①若方程两个根都大于m,则0,()0,20.af mbma>⎧⎪>⎪⎪⎨<-⎪⎪∆≥⎪⎩，或0,()0,20.af mbma<⎧⎪<⎪⎪⎨<-⎪⎪∆≥⎪⎩，;2a2a②若方程一个根大于m ,另一个根小于m ,则0,()0.a f m >⎧⎨<⎩或0,()0()0.a a f m f m <⎧⇔⋅<⎨>⎩.③若方程有两个实根,一个在(,)a b , 另一个在(,)m n 内, 且b m <, 则0,()0()0,()0,()0.a f a f n f b f m >⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪<⎪<⎪⎩，或0,()0()0,()0,()0.a f a f n f b f a <⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪>⎪>⎪⎩，2a2a2a2a④若方程有两个实根在(,)m n 内, 则0,()0()0,,20.a f m f n b m n a ⎧⎪>⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎪∆≥⎩，或0,()0()0,,20.a f m f nb m n a ⎧⎪<⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎪∆≥⎩，练习1.(课时训练P61例2)当k 为何值时,关于x 的一元二次方程2230kx kx k ++-=的两个根都是负数?提示: ①若方程两个根都大于m ,则0,()0,20.a f m b m a >⎧⎪>⎪⎪⎨<-⎪⎪∆≥⎪⎩，或0,()0,20.a f mb m a <⎧⎪<⎪⎪⎨<-⎪⎪∆≥⎪⎩， ;解析: 设2()23f x kx kx k =++- ,由题意可得, 20,(0)020,244(3)0.k f k k k k k >⎧⎪>⎪⎪-⎨<-⎪⋅⎪∆=--≥⎪⎩，或20,(0)020,244(3)0.k f k k k k k <⎧⎪<⎪⎪-⎨<-⎪⋅⎪∆=--≥⎪⎩， 解之得3k > .2.(课时训练P61例3) 已知关于x 的方程2(2)210xm x m +-+-=有两个不等的实根,且较小的根1x 在区间(0,1)内,求m 的取值范围.分析: ③若方程有两个实根,一个在(,)a b , 另一个在(,)m n 内(,)a b , 则0,()0()0,()0,()0.a f a f n f b f m >⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪<⎪<⎪⎩，或0,()0()0,()0,()0.a f a f n f b f a <⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪>⎪>⎪⎩，解析:令2()(2)21f x x m x m =+-+- , 由题意可得函数()f x 较小的零点0(0,1)x ∈, ∴(0)0,(1)0.f f >⎧⎨<⎩ ∴210,1(2)210.m m m ->⎧⎨+-+-<⎩∴1,22.3m m ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩∴1223m <<.3.( 课时训练P61练习2 P61练习5)设关于x 的方程22430kx x k --=的两个实根一个小于1,另一个大于1,则实数的取值范围是( )A. 0k >B. 1k >C. 4k <-D. 4k <-或0k >分析: ②若方程一个根大于m ,另一个根小于m ,则0,()0.a f m >⎧⎨<⎩或0,()0()0.a a f m f m <⎧⇔⋅<⎨>⎩.解析: 令2()243f x kx x k =-- 由题意可得20,20,(1)0,(1)0.k k f f ><⎧⎧⎨⎨<>⎩⎩或 即20,20,40,40.k k k k ><⎧⎧⎨⎨--<-->⎩⎩或 解之得40k k <->或.故选D.开放探究题型:例2.已知()()()2f x x a x b =--- (a b <) ,并且,αβ是方程()0f x =的两个根(αβ<),则实数,,a b ,αβ的大小关系可能是( )A. a b αβ<<<B.a b αβ<<<C.a b αβ<<<D.a b αβ<<< 解析设()()()g x x a x b =--, 则()()2f x g x =-, 分别作出此两个函数的图象,如右图所示, 可得a b αβ<<<,故应选A.例3.设函数lg |2|,2,()1, 2,x x f x x -≠⎧=⎨=⎩若关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=恰有4个不同的实数解1234,,,x x x x ,则1234()f x x x x +++等于( ) A. 0 B. lg 2 C. lg 4 D. lg 6 解析:由右图可得,当()1f x =时,方程仅有三个不同的 实数解不合题意.由方程有四个不同的实数解可得方程20t bt c ++=有两个不同的实数根12,t t ,且12,1t t ≠.令141232()(),()()f x f x t f x f x t ====, 则14234x x x x +=+=, ∴1423()(8)lg6f x x x x f +++==.故应选D.。
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高一数学二次函数与一元二次方程教案
高邮市送桥中学
知识目标:（1）会用判别式的符号解释二次函数图象与x 轴交点及一元二次方程的根。
（2）理解解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间。
能力目标：体验并理解函数与方程相互转化的数学思想培和数形结合的数学思想。
情感目标：培养学生积极探索，主动参与，大胆创新，勇于开拓的精神 教学过程: 一、引入
等式2
0ax bx c ++=()0a ≠是关于x 的一元二次方程，关系式2
y ax bx c =++()0a ≠则
是关于自变量x 的二次函数。
今天我们将进一步研究它们之间的关系。
二、新授 观察思考：
1、 几个具体的一元二次方程及其对应的二次函数，如
①方程2230x x --=与函数2
23y x x =--；
②方程2
210x x -+=与函数2
21y x x =-+； ③方程2
230x x -+=与函数223y x x =-+。
研讨探究
问题：一元二次方程的根与二次函数图象和x 轴交点坐标有什么关系 ？ 探究点一：二次函数图象与一元二次方程根的关系。
⑴以①为例（幻灯片）
结论：一元二次方程2230x x --=的判别式∆＞0 ⇔一元二次方程2
230x x --=有两个
不相等的实数根⇔对应的二次函数2
23y x x =--的图象与x 轴有两个交点为（3，0），（–1，0）。
（2）再研究②③，能得类似的结论吗？
结论：一元二次方程2210x x -+=判别式∆=0一元二次方程2
210x x -+=⇔有两
等根⇔对应的二次函数2
21y x x =-+的图象与x 轴有唯一的交点为（1，0）。
一元二次方程判别式2230x x -+=∆﹤0 ⇔一元二次方程2
230x x -+= 方程无实数根⇔对应的二次函数2
23y x x =-+的图象与x 轴没有交点。
联想发散
2、一元二次方程2
0ax bx c ++=（a ＞0）根的个数及其判别式与二次函数
2y ax bx c =++（a ＞0）图象与x 轴的位置之间有什么联系？）
以a ＞0为例,如下表所示:
思考：当二次函数2
y ax bx c =++（a ﹤0）时，是否也有类似的结论呢？ 探究点二：函数的零点
一元二次方程2
0ax bx c ++=()0a ≠的的实数根就是二次函数c bx ax y ++=2
的值
为零时自变量的x 的值，也就是二次函数2
y ax bx c =++的图象与x 轴交点的横坐标，因此一元二次方程2
0ax bx c ++=()0a ≠的的实数根也称为二次函数
2y ax bx c =++()0a ≠的零点。
一般地，对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点。
函数y=f(x)的零点、方程f(x)=0的根、函数y=f(x)的图象与x 轴的交点的横坐标之间的关系：
函数()y f x =的零点⇔方程()0f x =实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴的交点横坐标。
探究点三：函数的零点的求解与判定
练习:说出几个具体一元二次方程的根并指出其相应的二次函数的零点情况：
①方程2230x x --=与函数2
23y x x =--；
②方程2
210x x -+=与函数2
21y x x =-+； ③方程2
230x x -+=与函数322+-=x x y
注:(1)函数的零点是数，不是一个点。
（2）并不是所有函数都有零点。
例1、 求证：一元二次函数 7322
++=x x y 有两个零点 小结：函数零点的求解与判断
①（代数法）求方程 f(x)=0的实数根；
②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并
利用函数的性质找出零点．
例2 如图（幻灯片）是一个二次函数()y f x =的图象。
⑴写出这个二次函数的零点； ⑵写出这个二次函数的解析式；
⑶试比较(4)(1)f f --，(0)(2)f f 与0的大小关系。
解：⑴由图象可知此函数的零点是：1x =–3，2x =1。
⑵由⑴可设()f x =(3)(1)a x x +- ∵(1)4f -=∴1a = ∴()(3)(1)f x x x =-+-。
即这个二次函数的解析式为2
()23f x x x =--+。
⑶∵(4)5,(1)4,(0)3,(2)5f f f f -=--===-， ∴(4)(1)20f f --=-﹤0，(0)(2)15f f =-﹤0。
设问1:已知二次函数f(x)的图象，判断f(-2)、f(0)、f(4)、f(6)与0的大小；如果
开口向下呢？
设问2:如果二次函数y ＝f(x)的零点是－1和5，如图3，试判断f(-2)f(0)、f(4)f(6)
与0的大小。
设问3:如果不知道二次函数y ＝f(x)的零点，但是有f(-2)f(0)<0、f(4)f(6)<0，我们可以
得出什么样的结论？你能否画出它的大致图像？根据图像你能够得到什么样的式子？（幻灯片）
结论：如果二次函数y=f(x)对于实数m,n,m<n,有f(m)·f(n)<0,则存在x 0∈ (m,n),使
得f(x 0)=0,即函数在区间(m,n)上有一个零点.
练习:二次函数2
()()f x ax bx c x R =++∈的部分对应值如下表：
不求a 、b 、c 的值，可以判断方程2
0ax bx c ++=的两根所在的区间是（）
()A ()3,1--和()1,1- ()B ()3,1--和()2,4 ()C ()1,1-和()1,2 ()D (),3-∞-和()4,+∞
三、课堂小结
◆函数零点与方程根的联系；
◆一元二次方程根的分布与函数图象之间的关系及处理方法； ◆本节课运用了哪些数学思想方法. 四、作业 课本 P81习题1、2。
备用：若方程2
210ax x --=在()0,1内恰有一解，则a 的取值范围是（B ）
()A a ﹤
1
- ()B a ﹥1 ()
C 1
-﹤a ﹤1 ()D 0≤a ＜1
解：设2
()21f x ax x =--
由题意得：(0)(1)f f ＜0 ∴(1)(211)a ---＜0解得a ﹥1 ∴选B。