2021年新高考数学总复习第7讲：函数的奇偶性与周期性

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1．(2020·重庆一中月考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是减函数的是( )

A ．y ＝x －1

B ．y ＝lnx 2

C ．y ＝cosx x

D ．y ＝－x 2

答案 D

解析 由函数的奇偶性排除A 、C ，由函数的单调性排除B ，由y ＝－x 2的图象可知当x>0时，此函数为减函数，又该函数为偶函数．故选D.

2．(2020·唐山市高三测试)设函数f(x)＝x(e x ＋e －x )，则f(x)( )

A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增

B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增

C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减

D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减

答案 A

解析 方法一：由条件可知，f(－x)＝(－x)(e －x ＋e x )＝－x(e x ＋e －x )＝－f(x)，故f(x)为奇函数．f ′(x)＝e x ＋e －x ＋x(e x －e －x )，当x>0时，e x >e －x ，所以x(e x －e －x )>0，又e x ＋e －x >0，所以f ′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．故选A.

方法二：根据题意知f(－1)＝－f(1)，所以排除B 、D.易知f(1)

3．(2020·浙江宁波十校联考)函数f(x)＝x 3＋sinx ＋1(x ∈R )．若f(m)＝2，则f(－m)的值为( )

A ．3

B ．0

C ．－1

D ．－2 答案 B

解析 把f(x)＝x 3＋sinx ＋1变形为f(x)－1＝x 3＋sinx.令g(x)＝f(x)－1＝x 3＋sinx ，则g(x)为奇函数，有g(－m)＝－g(m)，所以f(－m)－1＝－[f(m)－1]，得到f(－m)＝－(2－1)＋1＝0.

4．(2020·南昌市联考)函数f(x)＝9x ＋13x 的图象( ) A ．关于x 轴对称

B ．关于y 轴对称

C ．关于坐标原点对称

D ．关于直线y ＝x 对称 答案 B

解析 因为f(x)＝9x ＋13x ＝3x ＋3－x ，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y 轴对称． 5．(2020·皖南八校联考)设f(x)是定义在R 上周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f(x)＝x 2

－x ，则f ⎝⎛⎭

⎫－52＝( )