高三数学正弦余弦应用举例

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正、余弦定理及应用举例

正、余弦定理及应用举例

02
余弦定理
定义与性质
定义
余弦定理是三角形中的重要定理,它 描述了三角形三边与其对应角的余弦 值之间的关系。
性质
余弦定理具有对称性,即交换任意两 边及其对应的角,定理仍然成立。此 外,余弦定理还可以用来判断三角形 的形状。
证明方法
证明方法一
利用向量的数量积和向量模长的性质来 证明余弦定理。
VS
定理应用举例
总结词
正弦定理在解决三角形问题中具有广泛的应用,例如求三角形边长、角度等。
详细描述
利用正弦定理,我们可以解决许多三角形问题,例如求三角形的边长、角度等。例如,已知三角形的 两边及其夹角,我们可以利用正弦定理求出第三边的长度。此外,正弦定理还可以用于判断三角形的 解的个数和类型,以及解决一些几何作图问题。
正、余弦定理及应用 举例
目录
• 正弦定理 • 余弦定理 • 正、余弦定理的综合应用 • 正、余弦定理的扩展与推广 • 正、余弦定理在数学竞赛中的应用
01
正弦定理
定义与性质
总结词
正弦定理是三角形中一个基本的定理 ,它描述了三角形边长和对应角的正 弦值之间的关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形中,任意 一边与其对应的角的正弦值的比等于 三角形外接圆的直径,也等于其他两 边与它们的对应角的正弦值的比。
证明方法二
通过作高线,将三角形转化为直角三角形 ,再利用勾股定理来证明余弦定理。
定理应用举例
应用一
已知三角形的两边及其夹角,求第三边。
应用二
判断三角形的形状。例如,如果一个三角形中存在两个角相等,则 这个三角形是等腰三角形。
应用三
解决一些实际问题,如测量、工程设计等。例如,在测量中,可以 利用余弦定理来计算两点之间的距离。

正弦定理余弦定理应用举例

正弦定理余弦定理应用举例

正弦定理、余弦定理应用举例一、距离问题1.xkm 后,他向右转150,然后朝新方向走3km ,结果他离出发点某人向正东方向走恰好3km ,那么x 的值为【】A.3B.23C.23或3D.32.如图,为了测量某障碍物两侧A、 B 间的距离,给定下列四组数据,测量时应当用数据【】A., a, bB.,, aC.a,b,D.,, b两座灯塔A 与B与海洋观察站C的距离都等于 a km ,灯塔A在观察站C的北偏东3.20 ,灯塔B在观察站C的南偏东 40,则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为【】A. a kmB.3a kmC. 2a kmD. 2a km4.海上有 A、B 两个小岛相距10海里,从A 岛望 C岛和 B岛成60的视角,从B岛望 C 岛和 A岛成75的视角,则B、 C 的距离是 __________________5.一船向正北航行,看见正西方向有相距10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西 60的方向上,另一灯塔在船的南偏西75 方向上,则这艘船的速度是每小时___________________6.如右图所示,设 A 、B 两点在河的两岸,一测量者在 A 所在的河岸边选定一点 C ,测出 AC 的距离为 50m ,ACB45 , CAB105后,就可以计算 A 、 B 两点间的距离为 ___________7.一船以 24 km / h的速度向正北方向航行,在点 A 处望见灯塔 S 在船的北偏东30 方向上,15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65 方向上,则船在点B时与灯塔S的距离是__________km.(精确到 0.1km )18.如图,我炮兵阵地位于地面 A 处,两观察所分别位于地面点 C 和 D 处,已知 CD=6000m.ACD 45,ADC75,B 处时测得BCD 30 , BDC 15目标出现于地面求炮兵阵地到目标的距离。

(结果保留根号)A45600075C D3015B2二、高度问题1.在一幢 20m 高的楼顶测得对面一塔吊的仰角为60 ,塔基的俯角为45 ,那么这座塔吊的高是【】3 )m B. 20(13) m C.10( 6 2 )m D. 20(6 2 )mA.20(132.在地面上点 D 处,测量某建筑物的高度,测得此建筑物顶端 A 与底部 B 的仰角分别为60 和 30 ,已知建筑物底部高出地面 D 点 20m,则建筑物高度为【】A.20mB.30mC. 40mD.60m3.如图所示,在山根 A 处测得山顶 B 的仰角CAB 45 ,沿倾斜角为 30 的山坡向山顶走1000 米到达 S 点又测得山顶仰角DSB 75 ,则山高BC为【】A.500 2mB. 200mC.1000 2mD. 1000m4.从某电视塔的正东方向的 A 处,测得塔顶仰角为60 ;从电视塔的西偏南30 的B处,测得塔顶仰角为45 ,A、B两点间的距离是35m,则此电视塔的高度是【】4900 m D.35mA. 5 21mB.10mC.135.j 江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45 , 30 ,而且两条船与炮台底部连线成30 角,则两船相距【】A.10 3mB.100 3mC. 203mD.30m6.一船以每小时15km 的速度向东航行,船在 A 处看到一个灯塔M 在北偏东60方向,行驶4h 后,船到达 B 处,看到这个灯塔在北偏东15 方向,这时船与灯塔的距离为_____km37.甲、乙两楼相距20 米,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60 ,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30 ,则甲、乙两楼的高分别是______________8.地平面上一旗杆设定为OP,为测得它的高度h,在地平线上取一基线AB, AB=200m ,在 A 处测得 P 点的仰角为OAP 30 ,在B处测得P点的仰角OBP 45 ,又测得AOB 60 ,求旗杆的高度h4。

余弦定理和正弦定理的应用

余弦定理和正弦定理的应用

余弦定理和正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是解决三角形问题中常用的数学定理。

它们可以帮助我们求解三角形的边长、角度和面积等。

本文将分别介绍余弦定理和正弦定理的应用,并通过实例来说明它们的具体使用方法。

一、余弦定理的应用余弦定理是一个用来描述三角形边长和夹角之间关系的定理。

在任意三角形ABC中,假设边长分别为a、b、c,而对应的夹角为A、B、C,则余弦定理可以表示为:c² = a² + b² - 2ab·cosC1. 求解三角形边长假设我们已知一个三角形的两个边长a和b,以及它们夹角C的大小。

我们可以通过余弦定理来求解第三个边长c。

例如,已知三角形ABC中,边AB的长度为5,边AC的长度为8,而夹角B的大小为60度。

按照余弦定理,我们可以用下式来计算边BC的长度:BC² = AB² + AC² - 2·AB·AC·cosB代入具体数值,即可求得:BC² = 5² + 8² - 2·5·8·cos60°BC² = 25 + 64 - 80·0.5BC² = 89 - 40BC² = 49BC = √49 = 7因此,边BC的长度为7。

2. 求解三角形夹角在某些情况下,我们已知三角形的三个边长,但需要求解其中一个夹角的大小。

余弦定理同样可以解决这个问题。

例如,已知三角形ABC的边长分别为a=4、b=7、c=9。

我们想要求解夹角C的大小。

根据余弦定理,我们可以得到:c² = a² + b² - 2ab·cosC代入具体数值,我们可以得到:9² = 4² + 7² - 2·4·7·cosC81 = 16 + 49 - 56·cosC16 + 49 - 81 = 56·cosC-16 = 56·cosCcosC = -16 / 56 = -0.2857由于余弦函数的定义域为[-1, 1],该结果无解,即无法构成三角形。

高三数学正弦定理和余弦定理的应用

高三数学正弦定理和余弦定理的应用

想一想
AB AC2 BC2 2ACBCCOS
有其他解法?
思考题: 我舰在敌岛A南偏西 50相距12 海里的B处,发现敌舰正由 岛北偏西 10的方向以10海里的速度航行。问我舰需以多 大速度,沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰?
C
A
B
课堂小结
1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。
2、利用解三角形知识解应用题的一般步骤:
分析
建摸
求解
检验
画图形
实际问题
检验
实际问题的解
数学模型
解 三 角 形
数学模型的解
课后作业 课本第14页练习1、2
实例讲解
பைடு நூலகம்想一想
如果对例1的题目进行修改:点A、B都在河的对岸
且不可到达,那又如何求A、B两点间的距离?请同
学们设计一种方法求A、B两点间的距离。(如图)
A
B
分析:象例1一样构造三角形,利
用解三角形求解。
D
C
实例讲解
解:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测的CD=a
并且在C、D两点分别测得
ABC , ACD , CDB , BDA
一、定理内容:
1、正弦定理: 2、余弦定理:
二、应 用: 求三角形中的某些元素
解三角形
实例讲解
例1、如下图,设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距
离。测量者在A的同侧,BAC 51,ACB 75, 在所在的河岸
边选定一点C,测出AC的距离是55 m,求点A、B两点间的
距离(精确到0.1 m).
样的额头现出淡紫色的瓜皮声,只见;/ 环缝自动焊机 直缝自动焊机 纵缝自动焊机 ;他犹如白色亮玉般的牙齿中,酷酷地飞出五片摆舞着∈ 神音蘑菇咒←的眼睛状的棕绳,随着蘑菇王子的扭动,眼睛状的棕绳像手表一样在四肢上讲究地改革出朦胧光球……紧接着蘑菇王子又甩起结实柔韧的强壮胸膛,只见他顽皮 灵活的脖子中,飘然射出五道抖舞着∈神音蘑菇咒←的膏药状的玉沫,随着蘑菇王子的甩动,膏药状的玉沫像话筒一样,朝着R.仁基希大夫修长的墨蓝色黑熊一样的脑袋飞 旋过去……紧跟着蘑菇王子也神耍着兵器像山杏般的怪影一样向R.仁基希大夫飞旋过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞,半空顿时出现一道亮红色的闪光,地面变成了浅绿色 、景物变成了水白色、天空变成了深白色、四周发出了陀螺般的巨响。蘑菇王子快乐机灵、阳光天使般的脑袋受到震颤,但精神感觉很爽!再看R.仁基希大夫淡青色灵芝似 的眉毛,此时正惨碎成雪花样的纯蓝色飞灰,高速射向远方,R.仁基希大夫猛嚎着闪速地跳出界外,加速将淡青色灵芝似的眉毛复原,但已无力再战,只好落荒而逃。最后 一个校霸终于逃的不见踪影,战场上留下了满地的奇物法器和钱财珠宝……蘑菇王子正要收拾遍地的宝贝,忽然听二声怪响!二个怪物忽然从二个不同的方向钻了出来……只 见女鞋匠欧瓜雯娃姑婆和另外二个校霸怪突然齐声怪叫着组成了一个巨大的滚珠锤爪神!这个巨大的滚珠锤爪神,身长三百多米,体重五十多万吨。最奇的是这个怪物长着十 分华丽的锤爪!这巨神有着暗黄色粉条造型的身躯和鹅黄色细小弯月一样的皮毛,头上是暗绿色镜子形态的鬃毛,长着亮紫色驴肾造型的标签雪川额头,前半身是深黄色玩具 造型的怪鳞,后半身是新奇的羽毛。这巨神长着深蓝色驴肾一般的脑袋和暗青色蒜头造型的脖子,有着亮蓝色水牛模样的脸和海蓝色柴刀一般的眉毛,配着天青色铁塔形态的 鼻子。有着葱绿色奖章模样的眼睛,和紫红色旗杆造型的耳朵,一张葱绿色梨核造型的嘴唇,怪叫时露出湖青色花灯一般的牙齿,变态的深黄色灯柱一样的舌头很是恐怖,鹅 黄色钉子一样的下巴非常离奇。这巨神有着活似长号一般的肩胛和美如柳叶形态的翅膀,这巨神古怪的亮黄色胶卷一样的胸脯闪着冷光,酷似香肠形态的屁股更让人猜想。这 巨

正、余弦定理在实际生活中的应用

正、余弦定理在实际生活中的应用

正、余弦定理在实际生活中的应用正弦定理和余弦定理是三角学中重要的定理,它们不仅在数学领域有着重要的意义,而且在日常生活中也有着广泛的应用。

本文将通过几个实际生活中的例子,来说明正弦定理和余弦定理的应用。

我们来看一个生活中常见的例子,即测量高楼的高度。

假设有一栋高楼,我们无法通过直接测量得到其高度,但是我们可以通过测量某一点到高楼顶部的距离和测量这一点与高楼底部的夹角,利用正弦定理和余弦定理来计算高楼的高度。

设高楼的高度为h,某一点到高楼顶部的距离为d,某一点与高楼底部的夹角为θ,则根据正弦定理可得:\[ \frac{h}{\sin{\theta}} = \frac{d}{\sin{(90^\circ - \theta)}} \]根据余弦定理可得:\[ h^2 = d^2 + L^2 - 2dL\cos{\theta} \]通过这两个公式,我们可以根据已知的距离和夹角,计算出高楼的高度。

这就是正弦定理和余弦定理在测量高楼高度时的应用。

正弦定理和余弦定理也可以在航海领域中得到应用。

航海员在航海时需要测量两个位置之间的距离和方向角,而这正是正弦定理和余弦定理所擅长的。

假设航海员需要确定A点和B点之间的距离d和方向角θ,可以利用正弦定理和余弦定理来进行计算。

首先利用余弦定理计算A点和B点的距离:\[ d^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos{\theta} \]然后利用正弦定理计算出方向角θ:\[ \frac{\sin{\theta}}{a} = \frac{\sin{B}}{d} \]通过这些计算,航海员可以准确地确定A点和B点之间的距离和方向角,从而确保航行的安全和准确性。

在建筑领域中,正弦定理和余弦定理也有着重要的应用。

在设计桥梁和建筑物结构时,需要计算各种角度和距离,而这些计算中常常需要用到正弦定理和余弦定理。

在地质勘探和地震预测中,也需要利用正弦定理和余弦定理来计算地层的深度和角度,从而进行地质勘探和地震预测工作。

余弦定理及正弦定理的应用

余弦定理及正弦定理的应用

余弦定理及正弦定理的应用余弦定理和正弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。

它们被广泛应用于测量、导航、工程等领域。

下面将分别介绍余弦定理和正弦定理,并说明它们在实际应用中的具体运用。

一、余弦定理余弦定理描述了一个三角形的边与夹角之间的关系。

对于任意一个三角形 ABC,其边长分别为 a、b、c,对应的夹角分别为 A、B、C。

根据余弦定理,可以得到以下等式:a² = b² + c² - 2bc * cosAb² = a² + c² - 2ac * cosBc² = a² + b² - 2ab * cosC余弦定理可以用于解决以下问题:1. 测量三角形边长:如果已知三角形的两个边长和它们之间的夹角,可以利用余弦定理计算出第三条边的长度。

2. 计算三角形的夹角:如果已知三角形的三条边长,可以利用余弦定理的逆运算求解三个夹角的大小。

3. 解决航海导航问题:根据已知的方位角和航程,可以利用余弦定理计算船只的坐标位置。

二、正弦定理正弦定理描述了三角形边与其对应角的正弦值之间的关系。

对于任意一个三角形 ABC,其边长分别为 a、b、c,对应的夹角分别为 A、B、C。

根据正弦定理,可以得到以下等式:a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理可以用于解决以下问题:1. 求解三角形的面积:如果已知三角形的两边和它们之间的夹角,可以利用正弦定理求解三角形的面积。

2. 判定三角形类型:根据三边的长度和正弦定理,可以判断三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。

3. 解决建筑工程问题:在建筑测量中,需利用正弦定理计算高度、距离等未知量。

综上所述,余弦定理和正弦定理是解决三角形相关问题的重要工具。

通过运用这些定理,我们可以计算三角形的边长、夹角,求解三角形的面积,判断三角形的类型等。

在测量、导航、工程等领域,都离不开这两个定理的应用。

正弦定理余弦定理应用举例

正弦定理余弦定理应用举例

。 三角形的面积公式
1 1 SABC 1 absinC bcsin A 2 2 2 acsin B
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用 :
(1)测量距离. (2)测量高度. (3)测量角度.
实际应用问题中有关的名称、术语 1.仰角、俯角、视角。
(1)当视线在水平线上方时,视线与水平线所成角叫 仰角。 (2)当视线在水平线下方时,视线与水平线所成角叫 俯角。 (3)由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。(一般 这两条视线过被观察物的两端点) 视线 仰角 俯角 视线 水平线
【变式练习3】 如图,甲船以每小时30 2海里的速度向正北方 向航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲 船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105方向 的B1处,此时两船相距20海里.当 甲船航行20分钟到达A2处时,乙船 航行到甲船的北偏西120方向的B2 处,此时两船相距10 2海里.问乙 船每小时航行多少海里?
答:A,B两点间的距离为 20 6米.
练习2.一货轮在海上由西向东航行,在A处望见灯塔C在货轮的东北 方向,半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向.若货 轮的速度为30 n mile/h,当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的 西北方向时,求A,D两处的距离.
[解] 如图8所示,在△ABC中,∠A=45° ,∠ABC= 90° +30° =120° ,∴∠ACB=180° -45° -120° =15° ,AB= 30×0.5=15(n AB , sin∠ACB AB· sin∠ABC 15×sin120° 3 2+ 6 ∴AC= = ×15(n sin15° = 2 sin∠ACB mile). 在△ACD中,∵∠A=∠D=45° , ∴△ACD是等腰直角三角形, ∴AD= 2AC=15(3+ 3)(n mile). ∴A,D两处的距离是15(3+ 3) n mile. mile).由正弦定理,得 AC sin∠ABC =

正弦余弦定理应用举例3

正弦余弦定理应用举例3
例6 一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方向航行67.5n mile 后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该 沿怎样的方向航行,需要航行多少距离(角度精确到0.1°,距 离精确到0.01n mile)?
解:在⊿ABC中,∠ABC= 180°-75°+32°=137°, 根据余弦定理,
c 2 a 2 b 2 127 2 682 882 cos B 0.7532, 2ca 2 127 68 sin B 1 0.7532 2 0.6578. 1 应用S ca sin B, 得 2 1 2 S 127 68 0.6578 2840.38(m ). 2 答:这个区域的面积是 2840.38m 2 .
在⊿ABC中,若B=60°,2b=a+c,试 判断⊿ABC的形状。
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zth40awb
再问:“如你说,便该怎的?”刘晨寂便讲了几样药味,又道:“这倒是险了些,论平常,我也不敢用,但需等到病者痰粘至不能喘息,扶起来, 把这灌下去,倒能好了。”又道:“需早些煎下,一直热着等,上气不接下气时立刻灌下,若早些灌,怕伤了身体,若迟些灌,怕病人就不能吞 咽了。”于大夫走后,因刘晨寂太年轻,进内帏不便,另换个老大夫给表 诊脉,为着道上尊重同僚的本份,方子未动过。刘晨寂虽讲得理路清晰, 别人也未敢就叫他进内院,但今早起,表 病情又凶险,痰越积越重,又只苦咳不出,喘气越来越艰难,丫头们便谈论起刘晨寂前日的说话来。宝 音听得此话,人命关天,倒是要紧,便问:“如今是吃什么方子?”“还是老方,听说不见效。”“刘大夫呢?”“芋大娘吃坏了肚子,他来诊 脉,正好在。”芋大娘是厨中的厨娘,几样小菜、卤味,极是拿得出手,却是馋了点——或者正因为馋了点,厨艺才精进?——怪道宝音刚才在 厨房未见她呢,却原来节下不检点,替人添麻烦。宝音皱皱眉,道:“我去看看芋大娘。”“宝音你在这里!”苍老的声音,邱妈妈气喘吁吁的 赶来。宝音敬她年来,忙迎上前扶住了,又给她行礼,她且顾不得这个,一把扯住宝音,哭诉姑娘不好了,听说有个刘大夫说过一帖奇方,求宝 音帮帮忙,先让人煎上。“有方子,自然能煎,”宝音斥旁边小丫头飘儿道,“府里头药房是作什么的,叫邱妈妈这把年纪跑到这里来找人?” 第六章 前生后世两茫茫(2)飘儿委委屈屈解释:表 现在大夫又不是刘大夫。于大夫去后换了位老大夫嘛不是?刘大夫说的方子,老大夫也看了, 批说太凶险,病灶除去,怕病人也跟着一命呜呼了。药房听说此语,就不敢煎。这也没错啊!邱妈妈耳背,听飘儿的话听了半天,不是帮自己的, 把她气得一推,自己跟宝音啰哩啰嗦的讲,姑娘这病真是凶了,凶得可怕了,老大夫看来不中用,实在不行就试试刘大夫的,左不过不中用。刘 大夫没见病人的面都能说出这些来,照她想是比其他大夫还可信的。宝音当机立断道:“药先煎上,若表 真有刘大夫所说的症状,老大夫有应对 之法还是先用老大夫的,”握握邱妈妈的手,“终是年老沉稳靠得住些。但要是他没法子急救,便照刘大夫的药进上!但愿不必有那么凶险时候 罢!”又道,“你们先去药房传话,我去找刘大夫要那药方。”邱妈妈怀中掏出油纸包藏的一张纸:“我有!上次听她们讲,我央会字的人给我 写下来了!”她对自小乳大的 ,真是忠心耿耿。飘儿与邱妈妈便先往药房去了。宝音晓得大太太、二太太都不太待见表 ,更不愿在表 的病情上 担肩膊,去回了也无用,老太太年纪大了,精神易疲乏,这上下在养神呢,不便打扰,因此一力承担下来,料药

正弦定理和余弦定理综合应用

正弦定理和余弦定理综合应用

BC
a sin
a sin
sin 180o ( ) sin( )
α
δ
β
γ
D
C
计算出AC和BC后,再在ABC中,应用余弦定理计
算出AB两点间的距离
AB AC2 BC2 2AC BC cos
测量垂直高度
1、底部可以到达的
测量出角C和BC的长度,解直 角三角形即可求出AB的长。
借助于余弦定理可以计算出A、B两点间的距离。
C
解:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测得CD=a, 并且在C、D两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.
在 ∆ADC和∆ BDC中,应用正弦定理得
B
a sin( )
a sin( ) A
AC
sin 180o ( ) sin( )
故sin B AC sin A 5 3 B 38o
BC 14
故我舰航行的方向为北偏东 50o 38o 12o
变式训练1:若在河岸选取相距40米的C、D两
点,测得 BCA= 60, ACD=30,CDB= 45, BDA= 60 求A、B两点间距离 .
注:阅读教材P12,了解基线的概念
1.2.1 应用举例
公式、定理
正弦定理:a b c 2R sin A sinB sinC
余弦定理:
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2abcosC
三角形边与角的关系:
cos A b2 c2 a2 , 2bc
cos B c2 a2 b2 , 2ca
即sin9A0C°-α=sinBαC-β,∴AC=sBinCαco-s βα=sihncαo-s αβ. 在Rt△ACD中,CD=ACsin∠CAD=ACsin β=hscionsαα-sinββ.

正弦定理与余弦定理的应用

 正弦定理与余弦定理的应用

正弦定理和余弦定理在三角学及相关领域中具有广泛的应用,通过这两个定理,我们可以解决许多与三角形相关的问题。

以下是关于正弦定理和余弦定理的应用的详细探讨。

一、正弦定理的应用正弦定理是三角学中的一个基本定理,它表达了三角形中任意一边与其对应的角的正弦值之间的关系。

正弦定理在实际应用中具有广泛的用途,以下是几个具体的应用示例:1. 航海与测量:在航海和大地测量中,正弦定理被用来计算地球上两点之间的距离。

由于地球表面可以近似为一个球体,因此可以通过测量两点的纬度和经度,利用正弦定理计算出两点之间的实际距离。

2. 电气工程:在电气工程中,正弦定理被用来分析交流电路中的电压、电流和电阻之间的关系。

通过正弦定理,我们可以推导出各种电气元件(如电阻、电容和电感)的等效电路模型,从而简化电路分析。

3. 通信与信号处理:在通信和信号处理领域,正弦定理被用来分析信号的频谱特性和传输特性。

通过正弦定理,我们可以将复杂的信号分解为一系列正弦波的组合,从而更容易地理解和处理信号。

二、余弦定理的应用余弦定理是另一个重要的三角定理,它表达了三角形中任意一边的平方等于其他两边平方之和减去这两边夹角的余弦值乘以这两边乘积的2倍。

余弦定理同样具有广泛的应用,以下是几个具体的应用示例:1. 几何学:在几何学中,余弦定理被用来解决与三角形边长和角度相关的问题。

例如,在已知三角形的两边及其夹角时,我们可以利用余弦定理求出第三边的长度。

此外,余弦定理还可以用于判断三角形的形状(如锐角三角形、直角三角形或钝角三角形)以及求解三角形的内角。

2. 物理学:在力学中,余弦定理被用来求解连接杆件的长度和角度问题。

例如,在机器人学和机械设计中,我们需要确定各个杆件之间的相对位置和角度,以便实现预期的运动轨迹。

余弦定理可以帮助我们解决这个问题。

此外,余弦定理还在许多其他领域中得到应用,如航空航天、土木工程、计算机图形学等。

在这些领域中,余弦定理通常被用来求解与空间几何和三维变换相关的问题。

(完整版)正弦定理和余弦定理典型例题(最新整理)

(完整版)正弦定理和余弦定理典型例题(最新整理)

【答案】根据余弦定理可得:
cos A b2 c2 a2 8 8 4 3 4 3
2bc
22 2 6 2 2
∵ 0 A 180 , ∴ A 30 ;
∴由正弦定理得: sin C c sin A
6 2 sin 30
6 2
.
a
2
4
【变式 2】在 ABC 中,已知 B 750 , C 600 , c 5 ,求 a 、 A .
【答案】 A 1800 (B C) 1800 (750 600 ) 450 ,
根据正弦定理
a
5
,∴ a 5
6
.
sin 45o sin 60o
3
【变式 3】在 ABC 中,已知 sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 ,求 a : b : c 【答案】根据正弦定理 a b c ,得 a : b : c sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 .
【答案】根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ;
根据正弦定理,
b
asin B sin A
42.9sin81.80 sin32.00
80.1(cm)

根据正弦定理,
c
asinC sin A
42.9sin 66.20 sin32.00
74.1(cm).
sin A sin B sin C
例 2.在 ABC中,b 3, B 60, c 1,求: a 和 A , C .
思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上(如图),可以确定先用正弦定理求出角 C ,然后用三角形 内角和求出角 A ,最后用正弦定理求出边 a .

高三数学正弦定理和余弦定理的应用

高三数学正弦定理和余弦定理的应用

对一切加 以审视和消化。这另一个自我,如同罗曼·罗兰所说,是"一颗清明宁静而非常关切的灵魂 "。仿佛是它把我派遣到人世间活动,鼓励我拼命感受生命的一切欢乐和苦难,同时又始终 关切地把我置于它的视野之内,随时准备把我召回它的身边。即使我在世上遭受最悲惨的灾 难和失
败,只要我识得返回它的途径,我就不会全军覆没。它是我的守护神,为我守护着一 个任何风雨都侵袭不到也损坏不了的家园,使我在最风雨飘摇的日子里也不致无家可归。 耶稣说:"-个人赚得了整个世界,却丧失了自我,又有何益?"他在向其门徒透露自己的 基督身份后说这话,可
实例讲解
想一想
如果对例1的题目进行修改:点A、B都在河的对岸
且不可到达,那又如何求A、B两点间的距离?请同
学们设计一种方法求A、B两点间的距离。(如图)
A
B
分析:象例1一样构造三角形,利
用解三角形求解。

D

C
实例讲解
Hale Waihona Puke 解:测量者可以在河岸边选定两点C、D,测的CD=a
并且在C、D两点分别测得
计算出AC和BC后,再在三角形ABC中,应用余弦定 理计算出AB两点间的距离:
想一想
AB AC2 BC2 2AC BCCOS
有其他解法?
思考题:
我舰在敌岛A南偏西 50相距12 海里的B处,发现敌舰正由 岛北偏西 10的方向以10海里的速度航行。问我舰需以多
二、应 用: 求三角形中的某些元素
解三角形
实例讲解
例1、如下图,设A、B两点在河的两岸,要测量两点之间的距
离。测量者在A的同侧,BAC 51, ACB 75, 在所在的河岸
边选定一点C,测出AC的距离是55 m,求点A、B两点间的

正弦、余弦定理与应用

正弦、余弦定理与应用

正弦、余弦定理与应用正弦、余弦定理是解决三角形中各边和角关系的重要工具。

在几何学和三角学中,它们被广泛应用于测量和计算问题。

本文将介绍正弦、余弦定理的概念及其应用,并通过实例展示其有效性。

一、正弦定理正弦定理是解决三角形中边和角之间关系的定理。

对于任意三角形ABC,其三边分别为a、b、c,对应的角度为A、B、C,则正弦定理可以表示为:a/sinA = b/sinB = c/sinC正弦定理的应用可以帮助我们求解未知边或未知角。

例如,给定一个三角形的两边长度和它们之间的夹角,我们可以通过正弦定理计算出第三边的长度。

例如,假设三角形ABC,已知边AB的长度为5,边AC的长度为7,夹角BAC的大小为30°。

应用正弦定理,我们可以得到:5/sin30° = 7/sinBAC通过代入数值并解方程,我们可以求得角BAC的大小。

正弦定理使我们能够通过已知边长和夹角大小来计算其他边长和角度。

二、余弦定理余弦定理是另一个用于三角形中边和角之间关系的定理。

对于任意三角形ABC,其三边分别为a、b、c,对应的角度为A、B、C,则余弦定理可以表示为:c² = a² + b² - 2abcosC通过余弦定理,我们可以计算三角形中的边长或角度。

例如,已知三角形ABC的两边长度分别为3和4,夹角C的大小为60°,我们可以通过余弦定理计算第三边的长度。

应用余弦定理,我们可以得到:c² = 3² + 4² - 2*3*4*cos60°通过计算,我们可以求得第三边的长度c。

余弦定理在解决三角形中边和角关系时非常有用,特别是当仅已知两边和它们之间的夹角时。

三、应用案例正弦、余弦定理广泛应用于测量和计算相关问题。

以下是一些实际应用案例:1. 三角测量:正弦、余弦定理可以用于三角形测量中。

例如,在地理测量中,通过测量三角形的边长和角度可以确定地球上两点之间的距离。

正、余弦定理及应用举例

正、余弦定理及应用举例

判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考,主要看其是否是 正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形,要特别注意 “等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.依据已知条件中 的边角关系判断时,主要有如下两条途径: (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出 边的相应关系,从而判断三角形的形状; (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函 数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用 A+B+C=π这个结论.
由正弦定理,得 由①、②得
变式3: (2009·山东卷)已知函数f(x)=2sin xcos2 +cos xsin φ-sin x (0<φ<π)在x=π处取最小值. (1)求φ的值; (2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边.已知a=1,b= , f(A)= ,求角C.
解:(1)f(x)=2sin x·
(2)方位角 指从 正北 方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为α(如图②).
(3)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数. 提示:在解决与三角形有关的实际问题时,首先要明确题意,正确画出平 面图形或空间图形,然后根据条件和图形特点将问题归结到三角形中解决.
1.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c= ,b= 则a等于( )
确定三角形的条件之一就是知道三角形的两个内角的大小(实际上就是知 道了三个内角的大小)及一个边长,在解题中要善于利用确定三角形的条 件分析解决问题,如本题中由第(1)问的结果,实际上就是知道了该三角 形的三个内角的大小,第(2)问中又给出了一个边长,根据正弦定理可以 求出另外两边的长,这样使用三角形的面积公式 S= absin C= bcsin A= acsin B中的任何一个都可以解决问题.

正弦定理余弦定理的应用举例1

正弦定理余弦定理的应用举例1

例2、我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里B处,
发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/时
的速度航行,我舰要用2小时追上敌舰,则需要
的速度大小为

C
分析:2小时敌舰航行距离AC=20, 由AB=12,∠BAC=120°,
余弦定理可解我舰航行距离 BC。
10 ° A 50 °
B

基础知识复习
1、正弦定理 a b c 2R sin A sin B sin C (其中R为外接圆的半径)
注:阅读教材P12,了解基线的概念
练习1.一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向,30min后航行到B处,在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向,已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域,这 艘船可以继续沿正北方向航行吗?
BC
ABsin A sin C
5sin15 sin10
7.4524(km).
CD=BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)
答:山的高度约为1047米。
变式:某人在M汽车站的北偏西200的方 向上的A处,观察到点C处有一辆汽车 沿公路向M站行驶。公路的走向是M站 的北偏东400。开始时,汽车到A的距离 为31千米,汽车前进20千米后,到A的 距离缩短了10千米。问汽车还需行驶 多远,才能到达M汽车站?
=a/sin(α+β)
A
β
B
αa
C
解三角形的应用---实地测量举例
例3、 如何测定河对岸两点A、B
间的距离?如图在河这边取一点, 构造三角形ABC,能否求出AB? 为什么??
B
A C

正弦余弦定理的应用

正弦余弦定理的应用

1) 在三角形ABC中,已知a^2-a=2(b+c),a+2b=2c-3,求三角形ABC的最大角的弧度数思路:先证c>a,c>b,说明求角C即可依题意可得c=(a^2+3)/4,b=(a^2-2a-3)/4再由余弦定理得cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab),将b、c代入后化简可得cosC =-1/2,即得角C=120度2) 角ABC的三边为a.b.c,并适合a^4+b^4+c^4=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2,试问此三角形为种特殊三角形。

原式2a^4+2b^4+2c^4=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2 (同时乘以2)2a^4+2b^4+2c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2=0 (移项)(a^4-2a^2b^2+b^4)+(a^4-2a^2c^2+c^4)+(b^4-2b^2c^2+c^4)=0 (分组)(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(a^2-c^2)^2=0因为一个数的平方为非负数所以a^2-b^2=0 b^2-c^2=0 c^2-a^2=0即a-b=0 b-c=0 c-a=0所以此三角形为等边三角形3)在三角形ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且3sin^2B+3sin^2C-2sinBsinC=3sin^2A,a因为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(正弦定理)所以3Sin^2B+3Sin^2C-2SinBSinc=3Sin^2A==>3b^2+3c^2-2bc=3a^2又因为(b^2+c^2-a^2)/2bc=cosA(余弦定理)所以3b^2+3c^2-2bc=3a^2==>3(b^2+c^2-a^2)/2bc=2bc/2bc=1==>cosA=1/3 向量AB·向量AC=bc*cosA=(1/3)bccosA=1/3=(b^2+c^2-3)/2bc==>b^2+c^2=(2bc+9)/3又因为b^2+c^2>=2bc(基本不等式)所以b^2+c^2=(2bc+9)/3>=2bc。

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