软件设计-Smith纯滞后补偿PID控制算法

一、题目题目5：以中等纯度的精馏塔为研究对象，考虑到不等分子溢流的影响和非理想的汽液平衡，可以得到塔顶产品轻组分含量Y 与回流量L 之间的传递函数为：s e s s s s L s Y 12)15.17)(13.28()19.0(4.3)()(-⋅+++= 控制要求：1、采用Smith 纯滞后补偿PID 控制算法将塔顶轻组分含量控制在0.99。

2、采用继电法整定PID 参数。

3、整定效果验证：当被控过程参数时变时，如滞后时间由12→24，开环增益由3.4→6时，讨论PID 控制的响应速度及鲁棒性问题，考察当系统参数发生改变时，上述PID 参数是否选取合适。

二、Smith 纯滞后补偿控制原理针对纯滞后系统闭环特征方程含的影响系统控制品质的纯滞后问题，1957年Smith 提出了一种预估补偿控制方案，即在PID 反馈控制基础上，引入一个预估补偿环节，使闭环特征方程不含有纯滞后项，以提高控制质量。

如果能把图2-1中假想的变量B 测量出来，那么就可以按照图2-1所示的那样，把B 点信号反馈到控制器，这样就把纯滞后环节移到控制回路外边。

图2-1 反馈回路的理想结构示意图由图2-1可以得出闭环传递函数为G (s )=D (s )G P (s)e −τs1+D(s)G P (s)由上式可见，由于反馈信号B 没有延迟，闭环特征方程中不含有纯滞后项，所以系统的响应将会大大地改善。

但是由于B 点信号是一个不可测(假想)的信号，所以这种方案是无法实现的。

为了实现上面的方案，假设构造了一个过程的模型，并按图2-2所示那样把控制量U(S)加到该模型上去。

在图 2-2中，如果模型是精确的，那么虽然假想的过程变量B 是得不到的，但能够得到模型中的B m 。

如果不存在建模误差和负荷扰动，那么B m 就会等于B ， E m (s )= Y (s )−Y m (s )=0 ，可将B m 点信号作为反馈信号。

但当有建模误差和负荷扰动时，则E m (s )= Y (s )−Y m (s )≠0 ，会降低过程的控制品质。

为此，在图2-2中又用E m (s )实现第二条反馈回路，以弥补上述缺点。

以上便是Smith 预估器的控制策略。

图2-2 Smith 预估器控制系统结构图实际工程上设计Smith 预估器时，将其并联在控制器D(s)上，对图2-2作方框图等效变换，得到图2-3所示的形式。

扰动)(s N扰动)(s N图2-3 Smith 预估器控制系统等效图图中虚线部分是带纯滞后补偿控制的控制器，其传递函数为)1)(()(1)()()()(s p e s G s D s D s E s U s D ττ--+==经过纯滞后补偿控制后系统的闭环传递函数为)1)(()(1)()(1)1)(()(1)()( )()(1)()()()()(s p s p sp sp sp s p e s G s D es G s D e s G s D e s G s D e s G s D e s G s D s R s Y s ττττττττ-------++-+=+==Φ)()(1)()((s) s G s D e s G s D p s p +=Φ-τ这说明，经过补偿后系统已消除了纯滞后对系统的影响，纯滞后环节e −τs 已在闭环控制回路之外，它将不会影响系统的稳定性。

它将控制作用在时间坐标上推移了一个时间τ，控制器可以按无纯滞后的对象进行设计。

1、具有纯滞后补偿的数字控制器纯滞后补偿的数字控制器由数字PID 控制器（由Φ(s)离散化得到）和Smith 预估器两部分组成。

系统中的滞后环节使信号延迟，为此，在内存中专门设定N 个单元作为存放信号p(k)的历史数据。

存储单元的个数由下式决定：N=τ/T 式中：T 为采样周期。

每采样一次，就把p(k)记入0 单元，同时把0单元原来存放数据移到1单元，1单元原来存放数据移到2单元，依次类推。

从单元N 输出的信号就是滞后N 个采样周期的P(k-N)信号。

史密斯预估器的输出可按图2的顺序计算。

图2-4中u(k)是PID 数字控制器的输出、Smith 预估器的输入。

（1）计算控制器输出u(k) u (k )=u (k −1)+∆u (k )=u (k −1)+k c [e 2(k )−e 2(k −1)]+k i e 2(k )+k d [e 2(k )−2e 2(k −1)+e 2(k −2)] 式中，k c 为比例系数；k i 为积分系数，K i= K c T/T i ；k d 为微分系数，K d =K c T d /T 。

（2）预估器的输出从图中可知，必须先计算传递函数的输出后才能计算预估器的输出：)()()(N k p k p k y --=τ2、数字Smith 预估控制数字Smith 预估控制系统的框图如图2-5所示由上图可以得到：)()()()()()()()(12k y k b k y k r k y k b k e k e m m m m +--=+-=若模型是精确的，则有：)()(k y k y m = )()()(2k b k r k e m -=)(2k e 为数字控制器)(z D 的输入，)(z D 采用PID 控制算法。

三、继电法整定PID 参数基于继电反馈进行自动整定PID 参数的基本思路是用具有继电特性的非线性环节代替稳定边界法中的纯比例调节器，使系统产生稳定的极限环振荡，从而可以直接获得所需的临界振荡周期u T 。

由于过程的基本性质由极限环的特征确定，所以PID 控制参数整定值可以通过简单的计算得到。

图2-6给出了采用继电反馈控制的自动整定原理框图。

其整定过程是通过人工控制使系统进入稳定工况，按下整定按钮，开关S 接通T ，启动自动整定。

这时系统处于闭环的继电控制状态。

图2-5 数字Smith 预估控制系统框图图2-4 Smith 预估器方框图观测继电控制下产生的稳定极限环振荡，由测试得到的系统振荡周期和极限环幅值，可计算出PID 控制器参数。

整定完成后，开关S 自动切换值A 侧，进行正常的PID 控制。

1、对于理想继电器的非线性有：XMN π4=对于具有滞环特性（具有继电器非线性的控制系统见图2-7）的继电器非线性有：22414X Mh j X h X M N ππ-⎪⎭⎫⎝⎛-=只要满足方程：Nj G 1)(-=ω 就会出现极限环振荡。

即N1-轨线和)(ωj G 轨线相交，可以得到交点处的X 和ωc的值，得到临界增益为：NMXK u 14==π 式中，u K 可以看成是继电特性在传输幅度为X 的正弦信号时的等价增益。

2、继电法整定PID 参数的计算图2-7 具有继电器非线性的控制系统图2-6 基于继电反馈控制的自动整定原理框图2211414X Mh j X h X M X jA B N ππ-⎪⎭⎫⎝⎛-=+= M h jX h M X N 41412ππ-⎪⎭⎫⎝⎛--=- 设继电特性h=1，M=1，则N1-虚部为785.04-=-M hπ。

编程画出Nyquist 曲线如下图，由N 1-轨线和)(ωj G 轨线相交可得交点坐标（-0.952，-0.785j ），振荡频率s rad c /0582.0=ω。

临界增益可以计算出来638.01==N K u ，s T cu 9.1072==ωπ。

PID 的参数可能根据经验公式得到控制器参数383.06.0==c c K K ，s T T u i 95.535.0==，s T T u d 948.1212.0==。

②PID 控制器参数值的确定：三、程序设计（程序见附录）四、结果展示与分析1、系统控制效果图由上图可知采用此种Smith纯滞后补偿PID控制能将塔顶轻组分含量控制在0.99，系统最后没有稳态误差。

2、系统参数变化的控制结果（1）系统纯滞后时间tol变大，结果曲线：由上图可以得出，系统参数变化时，反应曲线基本一样，这说明参数变化时原来的PID比较适合，不用重新整定。

（2）开环增益变大结果曲线如下：Tol=4Tol=5Tol=6由上面三幅图可以看出当开环增益变大时系统性能参数基本没有变化，因此原来的PID参数可以继续使用，也能保证控制质量。

五、体会通过这次软件设计，让我理解了Smith纯滞后补偿PID控制的原理，实际生产中不可能将滞后消除，但是可以通过建模将纯滞后消除，使其不会影响系统的稳定性，以及时反馈实时信息及时控制。

实际生产中大部分都要将系统的模拟信号转为数字信号，以方便用电脑进行数据处理，这里采样时间要合适。

继电法整定PID参数，可以通过简单的计算得出合适的PID控制参数整定值，其原理简单，整定讯速。

这次可设也让我对Matlab编程有了更进一步的熟悉，能用循环控制出图比较参数不同取值的性能。

这次的软件设计，让我学到了很多知识，了解如何将理论知识与实际结合运用。

六、参考文献1、自动控制原理.北京：化学工业出版社.厉玉鸣，马召坤，王晶2、过程控制工程.北京：高等教育出版社.孙洪程，李大字，翁维勤3、先进PID控制Matlab仿真.北京：电子工业出版社.刘进先附录：程序设计详单（1）函数离散化T=1;Kp=3.4;Td=0.9;Ti1=28.3;Ti2=17.5;tol=12; %被控过程参数sys=tf([Kp*Td,Kp],[Ti1*Ti2,Ti1+Ti2,1],'inputdelay',tol); %系统传递函数dsys=c2d(sys,T,'zoh')（2）继电法整定PID参数画Nyquist曲线程序T=1;Kp=3.4;Td=0.9;Ti1=28.3;Ti2=17.5;tol=12;sys=tf([Kp*Td,Kp],[Ti1*Ti2,Ti1+Ti2,1],'inputdelay',tol);nyquist(sys)（3）Smith纯滞后补偿PID控制程序clear allclose allclcrin=0.99; %设定值为0.99T=1; %采样时间1sKp=3.4;Td=0.9;Ti1=28.3;Ti2=17.5;tol=12; %被控过程参数sys=tf([Kp*Td,Kp],[Ti1*Ti2,Ti1+Ti2,1],'inputdelay',tol); %系统传递函数dsys=c2d(sys,T,'zoh'); %求离散化传递函数[num,den]=tfdata(dsys,'v'); %得到离散传函的分子分母系数Kc=0.383;Ti=53.95;Td=12.948; %由继电法整定得到的PID参数Ki=Kc*T/Ti;Kd=Kc*Td/T;u0=0;u(1)=0;u(2)=0;u(3)=0;u(4)=0;u(5)=0;u(6)=0;u(7)=0;u(8)=0;u(9)=0;u(10)=0;u(11)=0;u(12)=0;u(13)=0; u(14)=0; %输入初值e2=0;e1=0;e=0; %偏差初值ym2=0;ym1=0;ym=0; bm2=0;bm1=0;bm=0;y2=0;y1=0;y=0; %输出初值for k=1:400 %循环采样400次观察响应过程e2=e1;e1=e;e=rin-bm; %计算偏差值i=tol+2;while(i>1) %依次把i单元的数据转移到u(i)=u(i-1); %i+1单元中，以便下次运算i=i-1;endu(1)=u0;u0=u(1)+Kc*(e-e1)+Ki*e+Kd*(e-2*e1+e2); %对偏差进行PID运算bm2=bm1;bm1=bm; %计算Smith预估器输出值bm=-den(2)*bm1-den(3)*bm2+num(2)*u(1) +num(3)*u(2);y2=y1;y1=y; %计算输出值y=-den(2)*y1-den(3)*y2+num(2)*u(1+tol)+num(3)*u(2+tol);R(k)=rin; %对输入信号0.99画图Y(k)=y; %画输出曲线time(k)=k*T; %确定时间坐标endplot(time,R,'k--',time,Y,'r-');legend('设定值0.99','输出值');grid on;title('Smith纯滞后补偿PID控制实现轻组分含量控制');xlabel('time(s)');ylabel('R,Y')（4）系统纯滞后时间tol变大此时控制程序如下：clear allclose allclcrin=0.99; %设定值为0.99T=1; %采样时间1sKp=3.4;Td=0.9;Ti1=28.3;Ti2=17.5; %被控过程参数for tol=12:2:24 %tol由12步进2到24 sys=tf([Kp*Td,Kp],[Ti1*Ti2,Ti1+Ti2,1],'inputdelay',tol);%系统传递函数dsys=c2d(sys,T,'zoh'); %求离散化传递函数[num,den]=tfdata(dsys,'v'); %得到离散传函的分子分母系数Kc=0.383;Ti=53.95;Td=12.948; %由继电法整定得到的PID参数Ki=Kc*T/Ti;Kd=Kc*Td/T;u0=0; %输入初值for i=1:(tol+2) %循环设定输入初值u(i)=0;ende2=0;e1=0;e=0; %偏差初值ym2=0;ym1=0;ym=0; bm2=0;bm1=0;bm=0;y2=0;y1=0;y=0; %输出初值for k=1:400 %循环采样400次观察响应过程e2=e1;e1=e;e=rin-y+ym-bm; %计算偏差值i=tol+2;while(i>1) %依次把i单元的数据转移到u(i)=u(i-1); %i+1单元中，以便下次运算i=i-1;endu(1)=u0;u0=u(1)+Kc*(e-e1)+Ki*e+Kd*(e-2*e1+e2); %对偏差进行PID运算bm2=bm1;bm1=bm; %计算Smith预估器输出值bm=-den(2)*bm1-den(3)*bm2+num(2)*u(1) +num(3)*u(2);y2=y1;y1=y; %计算输出值y=-den(2)*y1-den(3)*y2+num(2)*u(1+tol)+num(3)*u(2+tol);R(k)=rin; %对输入信号0.99画图Y(k)=y; %画输出曲线time(k)=k*T; %确定时间坐标endplot(time,R,'k--',time,Y,'r-');hold onendlegend('设定值0.99','输出值');grid on;title('Smith纯滞后补偿PID控制实现轻组分含量控制');xlabel('time(s)');ylabel('R,Y')。