博弈论讲义2

13
尽管许多博弈中重复剔除的占优均衡是一个合理 的预测，但并不总是如此，尤其是大概支付是某 些极端值的时候。
参与人B
L
参与人A
R -1000，9
U
8，10
D
7， 6
6， 5
U是A的最优选择，但是，只要有1/1000的概率B选R， A就会选D
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斗鸡博弈
进 A 独木桥 纳什均衡：A进，B退；A退，B进 对于相当多的博弈，我们无法运用重复剔除劣战略的 方法找出均衡解。
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●标准式表述
1、players：厂商1和厂商2 向市场提供无差 异的同质的产品；面临的决策是 qi=？ qi Q p ui， 博弈
p是市场出清价格，假设是市场供应量Q的减函数： p=p(Q)=a-Q=a-(qi + qj)
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2、策略：产出水平qi ，策略集Si={qi ： qi ≥0} 3、支付函数： ui(si,sj)= ui(qi,qj) = qip – cqi =qi[a-(qi+qj)] – cqi =- qi2+(a-c- qj) qi 假定两厂商均无固定 成本，只有常数边际 成本c。
M优于L 列先生 L M R
1，0
0，3
1，2
0，1
0，1 2，0
行：没有占优战略
D
列：M严格优于R
剔除 R
行：U优于D
列：无占优战略 剔除 D
（U，M）是重复剔 除的占优均衡，但不 是上策均衡
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练习：在下列战略式表达中，找出重复剔除的占 优均衡
C1 R1 R2
4，3 2，1 3，0
C2
5，1 8，4 9，6
第二章
完全信息静态博弈
2.1 基本分析思路和方法 2.2 纳什均衡
2.3 无限策略博弈分析和反应函数
2.4 混合策略和混合策略纳什均衡
2.5 纳什均衡的存在性
2.6 纳什均衡的选择和分析方法扩展
1
完全信息静态博弈
完全信息：每个参与人对所有其他参与人的特
征（包括战略空间、支付函数等）完全了解
2，2 0，-6
死了
-6，0 0，0
妻子
活着
相互仇恨夫妻丈夫 活着 死了
0，0 0，6
Biblioteka Baidu死了
6，0 0，0
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一群赌徒在赌钱，每个 人将钱放在自己身边 （每个人都知道自己的 钱有多少），忽然吹来 一阵风将所有的钱都混 在一起，使他们无法分 辨哪些钱是自己的，纳 什均衡为他们解决这个 问题。
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纳什均衡与占优战略均衡及重复剔除的占优均衡：

B
退 2，0
进 退
-3，-3
0，2
0，0
为了找出这些博弈的均衡解，需要引入纳什均衡。
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3、划线法
L U 行先生 D 1，0 0，3
列先生 M 1，2 0，1
夫 妻 之 争
R 0，1 2，0
囚 徒 困 境 猜 硬 币
-5， -5 -8， 0
0， -8 -1， -1
2， 1 0， 0
0， 0 1， 2
22
通俗地说，纳什均衡的含义就是：
给定你的策略，我的策略是最好的策略； 给定我的策略，你的策略也是你的最好的 策略。即双方在给定的策略下不愿意调整 自己的策略。
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需求大的情况 开发商A 开发 不开发 需求小的情况
开发商B 开发 不开发
4000，4000 8000，0
0，8000
0，0
开发商B 开发 不开发
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●无限策略博弈NE的求解
按NE定义的条件，如果策略组合（ qi* ，qj*） 是NE，那么对于qj*， qi*是下列优化问题的解：
Max ui(qi ，qj*) =Max [-q 2 +(a-c-q *)q ] i j i qi∈Si qi∈Si
d ui d qi
-2qi+ (a-c-qj*)
上述均衡概念是1951年由数学家约翰· 纳什 （John Nash）首先解释清楚的，所以将他 所解释的均衡称为纳什均衡。
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定 义 3.6
对 于 n 人 战 略 式 表 述 博 弈 G {S1 ,, S n ; u1 ,, un } ， 若 战 略 组 合
* s * (s1* ,, sn ) 满足如下条件，则称 s * 是一个纳什均衡：
u i ( s1*…, sn-1* , si* , sn+1*
,…, sn* )
≥ u (i s1*…, sn-1* , si , sn+1* ,…, sn* ) ……………………………………….(NE)
19
for every feasible strategy si in Si; That is , si*solves max ui( s1*…, sn-1* , si, sn+1* ,…, sn* ). si∈Si
7
注意：
与占优战略均衡中的占优战略和劣战略不同，
这里的占优战略或劣战略可能只是相对于另一个
特定战略而言。
8
案例1-智猪博弈
小猪 按 大猪 按 5，1 等待 9，-1 等待 4，4 4大于1
0，0
0大于-1
按是小猪的严格 劣战略-剔除 “按”是大猪的占优战略，纳什均衡：大猪按，小猪等待
9
案例2
U 行先生
静态：所有参与人同时选择行动且只选择一次。
同时：只要每个参与人在选择自己的行动时不
知道其他参与人的选择，就是同时行动
博弈分析的目的是预测均衡结果
2
2.1 基本思路和方法
1、上策均衡（占优战略均衡）
案例1-囚徒困境
囚徒A
坦白
囚徒 B
抵赖
坦白
-5，-5
0，-8
-5大于-8 0大于-1
抵赖
-8，0
s * 是一个纳什均衡： 或者用另一种表达方式： 当且仅当 si* 是下述最大化问题的解时，
* si* argmaxui (s1* ,, si*1 , si , si*1 ,, sn ) ， i 1,, n
si S i
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假设n个参与人在博弈之前达成一个协议， 规定每一个参与人选择一个特定的战略， * * * * s ( s , , s , , s 另 1 i n ) 代表这个协议，在没有 外在强制力的情况下，如果没有任何人有 积极性破坏这个协议，则这个协议是自动 实施的。这个协议就构成了一个纳什均衡。
组合肯定是所有博弈方愿意选择的，是一个比较稳 定的结果，这样的策略组合为该博弈的一个“上策
均衡” （ dominant strategy Equilibrium） 。
4
注意： 如果所有人都有（严格）占优战略存在，那么占 优战略均衡就是可以预测的唯一均衡。 占优战略只要求每个参与人是理性的，而不要求 每个参与人知道其他参与人是理性的（也就是说， 不要求理性是共同知识）。为什么？ 占优战略均衡要求每个局中人的战略在任何情况 下都是最优的，但有时不一定存在。有时存在另 一种占优均衡。
-1， 1 1， -1
1， -1 -1， 1
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请用上述划线法寻找下列纳什均衡
C1 R1
2，12 0，12 0，12
C2
1，10 0，10 0，10
C3
1，12 0，11 0，13
R2
R3
剔除顺序：C2、R2、C1、R3，战略组合（R1，C3） 剔除顺序：R3、C3、C2、R2，战略组合（R1，C1）
-5大于-8 0大于-1
-1，-1
抵赖是A的严 格劣战略
3
抵赖是B的严格劣战略
上策（占优战略）：不论其他人选择什么战略，
参与人的最优战略是唯一的，这样的最优战略称为
“上策或占优战略”(dominant strategy)。
上策均衡：如果一个博弈的某个策略组合中的所
有策略都是各个博弈方各自的上策，那么这个策略
* * ） ui (si* , s ) u ( s , s i i i i ) ， si S i , i 1,, n （符号“ ”表示“任意的”
即 是 说 如 果 对 于 每 一 个 i 1,, n ， si* 是 给 定 其 他 局 中 人 选 择
* * * * * i s ( s , , s , s , , s i 1 i 1 i 1 n ) 的情况下第 个局中人的最优战略。
开发商A
开发
不开发
-3000，-3000 0，1000
1000，0 0，0
博弈的战略式表述
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寻找纳什均衡
参与人B C1 R1 参与人A R2 R3
0，4 4，0
C2
4，0 0，4
C3
5 ，3 5 ，3
3，5
3，5
6，6
（R3，C3）是纳什均衡
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练习： 找出下列两对夫妻的纳什均衡
妻子 活着 恩爱夫妻 丈夫 活着 死了
5
案例2-智猪博弈
小猪 按 大猪 等待 4，4 4大于1 0大于-1
按
5，1
等待 9，-1
0，0
等待是小猪的严 格占优战略
大猪有无严格占优战略？
6
2、严格下策反复消去法 （重复剔除的占优均衡）
思路：首先找到某个参与人的劣战略（假定存 在），把这个劣战略剔除掉，重新构造一个不包 含已剔除战略的新的博弈，然后再剔除这个新的 博弈中的某个参与人的劣战略，一直重复这个过 程，直到只剩下唯一的战略组合为止。 这个唯一剩下的战略组合就是这个博弈的均 衡解，称为“重复剔除的占优均衡”。
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令：-2qi+ (a-c-qj*) = 0 得：qi*= (a-c-qj*) /2
于是有方程组：q1*= (a-c-q2*) /2 q2*= (a-c-q1*) /2
q1* = q2*= (a-c) /3 此时， u1*=u2*=（a-c)2 /9
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考虑关系式：qi*= (a-c-qj*) /2 无论qj是否最优，由 qi= (a-c-qj) /2决定的qi总是 厂商i针对厂商j产出水平的最优反应；我们称 关系式qi= (a-c-qj) /2为厂商i针对厂商j的策略的 反应函数，并记为：qi*= Ri(qj)= (a-c-qj) /2.由此 NE（ qi* ， qj* ）必须是方程组： q1= (a-c-q2) /2 q2= (a-c-q1) /2 的解。-------------------------反应函数法
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4、箭头法
1， 0 0， 3 1， 2 0， 1 0， 1 2， 0
囚 徒 困 境 猜 硬 币
-5， -5 -8， 0
0， -8 -1， -1
夫 妻 之 争
2， 1 0， 0
0， 0 1， 2
-1， 1 1， -1
1， -1 -1， 1
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2.2 纳什均衡
Definition
In the n-player normal-form game * G={S1 ,… ,Sn ; u1, … , un}, the strategies( S1* …, Sn ) are a Nash equilibrium, if for each player i, si* is (at least tied for （至少不劣于）) player i’s best response to the strategies specified for the n-1 other players, ( s1*…, sn-1* , sn+1* ,…, sn* ):
（1）每一个占优战略均衡及重复剔除的占优均衡一定是 纳什均衡，但并非每一个纳什均衡都是占优战略均衡或重 复剔除的占优均衡； （2）纳什均衡一定是在重复剔除严格劣战略过程中没有 被剔除掉的战略组合，但没有被剔除掉的组合不一定是纳 什均衡，除非它是唯一的（不适用于严格弱劣战略的情况）
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2.3 无限策略博弈分析和反应函数
1、Cournot Model of Duopoly
按竞争程度划分的市场类型（就卖方来说）：
A 完全竞争市场 B 寡头竞争市场 C 独家垄断市场
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市场类型不同，厂商之间行为特征不同，A与C 类型中，厂商的决策都是个体优化决策，而B类 型中寡头垄断竞争的本质就构成博弈，他们都 是理性的决策者，他们的行为既影响自身，又 影响对方。尽管两寡头由于垄断能给他们带来 一些共同的利益，但是他们的根本利益并不是 完全一致的。如果两寡头之间可以签定有约束 力的协议，彼此之间达成合作，形成完全垄断， 此时的博弈是一种合作博弈。然而在大多数情 况下，彼此之间很难达成有约束力的协议，这 样就是非合作博弈。
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举例：
剔除顺序：R3、C3、C2、R2，战略组合（R1，C1）
C1
R1
2，12
C2
1，10
C3
1，12
R2
R3
0，12
0，12
0，10
0，10
0，11
0，13
剔除顺序：C2、R2、C1、R3，战略组合（R1，C3）
故一般使用严格劣战略剔除，可以看到，（R1，C3） （R1，C1）都是纳什均衡，但在这里是不可解的。
C3
6，2 3，6 2，8
R3
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注意：
1、重复剔除的占优均衡结果与劣战略的剔除顺 序是否有关取决于剔除的是否是严格劣战略。 2、重复剔除的占优均衡要求每个参与人是理性 的，而且要求“理性”是参与人的共同知识。 即：所有参与人知道所有参与是理性的，所有参 与人知道所有参与人知道所有参与是理性的