高中数学必修四111任意角
高中数学 北师大必修四 1.1.1 任意角
(2)∵α 是第二象限角， ∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)， ∴45°＋k·180°<α2<90°＋k·180°(k∈Z)． 法一：①当 k＝2n(n∈Z)时， 45°＋n·360°<α2<90°＋n·360°(n∈Z)， 即α2是第一象限角； ②当 k＝2n＋1(n∈Z)时，
β|β＝－1 910°＋k·360°，k∈Z . ∵－720°≤β＜360°， ∴ － 720°≤ － 1 910° ＋ k·360° ＜ 360°，
311≤k＜611.
36
36
返回
故 k＝4,5,6， k＝4 时，β＝－1 910°＋4×360°＝－470°. k＝5 时，β＝－1 910°＋5×360°＝－110°. k＝6 时，β＝－1 910°＋6×360°＝250°. (2)①在 0°～360°范围内，终边在直线 y＝0 上的角有两个， 即 0°和 180°，因此，所有与 0°角终边相同的角构成集合 S1＝ {β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有与 180°角终边相同的角构成 集合 S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线 y＝0 上的角的集合为 S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．
返回
[例 3] 若 α 是第二象限角，则 2α，α2分别是第几象限 的角？
[解] (1)∵α 是第二象限角， ∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)， ∴180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°， ∴2α 是第三或第四象限的角，或角的终边在 y 轴的非 正半轴上．
返回
225°＋n·360°<α2<270°＋n·360°(n∈Z)， 即α2是第三象限角． 故α2是第一或第三象限角． 法二：∵45°＋k·180°表示终边为一、三象限角平分线的 角，90°＋k·180°(k∈Z)表示终边为 y 轴的角，
精选-新人教版必修四高中数学 1.1.1 任意角课件
锐角、小于90°的角等概念．另外需要掌握判断命题真假的技巧：判 题为真时需要证明，而判断命题为假时只要举出反例即可．
跟踪训练 1．A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限角}，则A∩B＝( )
A．{锐角}
C．{第一象限角}
B．{小于90°的角}
D．以上都不对
解析：选D.小于90°的角由锐角、零角、负角组成，而第一象限的角 集合，故选D.
【名师点评】
(1)象限角的判定有两种方法：一是根据图象；二是将
0°～360°范围内，利用图象实际操作时，依据的还是终边相同的角
(2) 终边相同的角之间相差 360°的整数倍，终边在同一直线上的角
180°的整数倍，终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ踪训练
2． (1) 已知 α 是第二象限角，则 180°＋ α 是第 ________ 象限角，－ α 是 ________象限角． 答案：四 三
k· 360°≤α≤135°＋k· 360°，k∈Z}∪{α|270°＋k· 360°≤α≤315°
1．任意角 (1)角的概念 射线 角可以看成平面内一条_______绕着端点从一个位置 ______到 另一个位置所成的________ 图形． (2)角的表示
终边 如图，OA是角α的_______，OB始边 是角α的_______，O是角的_______ 角
顶点． 或简记为“___”． 角α 或“______”
原
x轴的非负半轴重合，那么角的____ 重合，角的始边与___
象限角 个角是第几____________；如果角的终边在 __________，
坐标轴上 任何一个象限．
2.判断下列说法是否正确．
(1)第一象限角都是锐角( (2)锐角都是第一象限角( (3)第一象限角一定不是负角( (4)第二象限角是钝角( ) ) ) )
高中数学人教版必修四课件：1.1.1任意角 (共20张PPT)
可构成一个集合：S { | k 360 ，k Z}. 即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角
与整数个周角的和。
注意：终边落在坐标轴上的角，不属于任何象限，
称为轴线角.
y
（1）终边在x轴上的角的集合：
{ | n 180 ，n Z}.
解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在 0°～360°范围 内，与－150°角终边相同的角是 210°角，它是第三象限角． (2)因为 650°＝360°＋290°，所以在 0°～360°范围内，与 650° 角终边相同的角是 290°角，它是第四象限角． (3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在 0°～ 360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是 129°45′角， 它是第二象限角． 小结 解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋ k·360°，k∈Z，把所给的角化归到 0°～360°范围内，然后利 用 0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角．
故
2
是第三象限的角 .
2
综上可知： 是第一或第三象限的角 .
2
0°
360° x
又 k 120 k 120 30 ，k Z .
3
y
90°
当 k 3n(n Z)时，
n 360 n 360 30 ，k Z ， 180°
故
3 是第一象限的角 .
O
当
3
k
3n 1(n Z)时，
跟踪训练 1 判断下列角的终边落在第几象限内： (1)1 400°； (2)－2 010°.
解 (1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角， ∴1 400°也是第四象限角．
高中人教版数学必修4课件：第1章 1.1.1 任意角
2．运用终边相同的角的注意点 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α， k∈Z表示，在运用时需注意以下四点： (1)k是整数，这个条件不能漏掉． (2)α是任意角．
(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋ (－30°)，k∈Z.
(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边 相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．
终边相同的角的表示及应用
【例2】 (1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形 式是________．
(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不 等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．
思路点拨：利用终边相同的角的集合与角 α 终边相同的角的集合 为 S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
－670° [由题意知，所得角是50°－2×360°＝－670°.]
3．已知0°≤α＜360°，且α与600°角终边相同，则α＝ ________，它是第________象限角．
240° 三 [因为600°＝360°＋240°，所以240°角与600°角终边 相同，且180°＜240°＜270°，故α＝240°，它是第三象限角．]
合作 探究 释疑 难
任意角和象限角的概念 【例1】 (1)给出下列说法： ①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于 180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角． 其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)． (2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重 合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角． ①420°，②855°，③－510°.
人教A版高中数学必修4-.1任意角精品PPT课件
｛偶数｝∪｛奇数｝ ＝｛整数｝
终边落在ｙ轴非正半轴上的角的集合为
900+K∙3600
S2={β| β=2700+K∙3600,K∈Z}
Y
={β| β=900+1800+2K∙1800,K∈Z} ={β| β=900+（2K+1）1800 ，K∈Z}
={β| β=900+1800 的奇数倍}
X O
所以 终边落在ｙ轴上的角的集合为
P5练习：5
人教A版高中数学必修4：.1任意角课 件-精品 课件pp t(实用 版)
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• 小结：
正角：射线按逆时针方向旋转形成的角
1.任意角的概念 负角：射线按顺时针方向旋转形成的角
零角：射线不作旋转形成的角
1)置角的顶点于原点 2.象限角 2)始边重合于X轴的正半轴
不唯一
y
o
x
那么终边相同的角在大小上有什么关系?
320,3280, 3920
320
3280
3 9 2 0
320 3600
3 2 0 3 6 0 0
320 03600
320 13600
3 2 0（ - 1 ） 3 6 0 0
320 2 3600 320 （ -2） 3600
……
……
与 - 3 2 0 终 边 相 同 的 角 可 表 示 为 ：
7200的元素 写出来
解:终边在直线y=x上的角的集合:
S{ 4 5 0 K1 8 0 0,KZ }
当K=-2，-1，0，1，2，3时符合条件
S 中 适 合 3 6 0 0 7 2 0 0 的 元 素 是 :
高中数学苏教版必修4《第1章1.11.1.1任意角》课件
思路点拨：(1)把 α 写成 β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式后，判断 β 所在的象限即可．
(2)将 θ 写成 θ＝β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，用观察法验证 k 的不同取值即可．
[解] (1)法一：∵－1 910°＝－6×360°＋250°， ∴－1 910°角与 250°角终边相同， ∴α＝－6×360°＋250°，它是第三象限的角． 法二：设 α＝β＋k·360°(k∈Z)， 则 β＝－1 910°－k·360°(k∈Z)． 令－1 910°－k·360°≥0，解得 k≤－1396100＝－53116. k 的最大整数解为 k＝－6，相应的 β＝250°， 于是 α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．
1．(变条件)若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的 角的集合如何表示？
[解] 在 0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为 60°≤β<105°与 240°≤β<285°，所以所有满足题意的角 β 为{β|k·360°＋ 60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360° ＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z} ∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝ {β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．
故角 β 的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．
2．(变条件)若将本例改为如图所示的图形，那么与阴影部分(包括边 界)表示的终边相同的角的集合如何表示？
高中数学苏教版必修4《1.1.1任意角》课件
（2）-150°=-360°+210° 所以-150°的角与210°的角终边相同，是第三象限角。
（3）-990°15′ = -3×360°+89°45′ 所以-990°15′的角与89°45′的角终边相同，是第一象限角。 总结例1的求解方法。
在0°到360°的范畴内，找出与下列各角终边相同的角， 并判定它们是第几象限角： （1）-50°（2）390 °5′ （3） 零角； 2、象限角； 3、终边相同角。
思想方法： 1、数形结合
2、化归转化
课时作业：课本P7，练习T4，5。 课后摸索：写出终边落在x轴上的角的集合.
零角：如果射线没有旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角。
1、你认为在本节中触及到了哪些新的数学概念？ （2）象限角：角的终边（除端点外）在第几象限就说这个角是第几象 限角。
规定： 1）角的顶点与原点重合； 2）角的始边与x轴的非负半轴重合. （3）终边相同角
1、始边和终边重合的角一定是零角吗？ 2、锐角是第一象限角吗？第一象限角一定是锐角吗？
解：由 k • 360 240 (k Z ), 可得
k •180 120(k Z ).
2
若k为偶数，设k 2n，n Z，则
n • 360 120(k Z )，
2 与120角的终边相同，是第二象限角；
2
若k为奇数，设k 2n 1，n Z，则
n • 360 300(k Z )，
S=S1∪S2
谢谢大家
2 与300角的终边相同，是第四象限角。
2
变式训练：已知α与240°角的终边相同，判定2α是第几象限角。 解 2α=2k•360˚+480˚ =(2k+1)•360˚+120˚,kϵZ 所以2α是第二象限角
高中数学 必修四 1.1.1任意角
1. 1.1任意角1．角的定义：一条射线绕着它的端点O ，从起始位置OA 旋转到终止位置OB ，形成 一个角α，点O 是角的顶点，射线,OA OB 分别是角α的终边、始边。
说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可以简记为α． 2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角； 负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角。
说明：零角的始边和终边重合。
3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则 （1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
例如：30,390,330-都是第一象限角；300,60-是第四象限角。
（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
例如：90,180,270等等。
说明：角的始边“与x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”。
因为 x 轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线。
4．终边相同的角的集合：由特殊角30看出：所有与30角终边相同的角，连同30角 自身在内，都可以写成30360k +⋅()k Z ∈的形式；反之，所有形如30360k +⋅()k Z ∈的角都与30角的终边相同。
从而得出一般规律：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}|360,S k k Z ββα==+⋅∈，即：任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。
5．例题分析：例 1 在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？ （1）120- （2）640 （3）95012'- 解：（1）120240360-=-，所以，与120-角终边相同的角是240，它是第三象限角； （2）640280360=+，所以，与640角终边相同的角是280角，它是第四象限角； （3）95012129483360''-=-⨯，所以，95012'-角终边相同的角是12948'角，它是第二象限角。
高中数学 必修四 1.1.1 任意角
第一章 三角函数1.1.1 任意角【自主学习】一、复习引入问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？______________________________________________________所学的角的范围是什么？______________________________________________________问题2：在体操、跳水中，有“转体0720”这样的动作名词，这里的“0720”，怎么刻画？______________________________________________________二、建构数学1．角的概念角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。
射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。
2．角的分类按__________方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。
如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。
这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。
3. 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个_________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 。
4．象限角、轴线角的概念我们常在 直角坐标系 内讨论角。
为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。
那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。
如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________。
象限角的集合（1）第一象限角的集合：_______________________________________（2）第二象限角的集合：_______________________________________（3）第三象限角的集合：_______________________________________（4）第四象限角的集合：_______________________________________轴线角的集合（1）终边在x 轴正半轴的角的集合：_______________________________________（2）终边在x 轴负半轴的角的集合：_______________________________________（3）终边在y 轴正半轴的角的集合：_______________________________________（4）终边在y 轴负半轴的角的集合：_______________________________________（5）终边在x 轴上的角的集合：_______________________________________（6）终边在y 轴上的角的集合：_______________________________________（7）终边在坐标轴上的角的集合：_______________________________________三、课前练习在直角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。
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y
x o
3.终边相同的角
一般地，所有与角 终边相同的角，连同角 在内所构 成的集合S可以表示为：
即任一与 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和.
注3：
问：终边与始边重合的角是零角吗？表示出符合条件的 所有角构成的集合.
练习2：作出 300， 390 0， -330 0
角
，
提示：先画一条射线作为角的始边（在直角坐标系
中，以x轴正半轴为始边），再由角的正负确定角的
旋转方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，
y 最后画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.
-3300
3900 o
300 x
“四要素”是：顶点、始边、终边和旋转方向.
终边
顶点 o
A
始边
在不引起混淆的情况下，角 或∠ ，可简记成 ；
注1：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，角的 四个“要素”是：顶点、始边、终边和旋转方向.
思考2：一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方 向旋转，也可以按顺时针方向旋转.
你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600所形 成的角，与按顺时针方向旋转600所形成的角是否相等？
初中角的定义： ①从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形(图1)
.在平面几何中，角的取值范围如何？ 角的范围: 00~3600
●
锐角
●
直角
●
钝角
╭●╮
平角
●
周角
②也可以说角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置 旋转到另一个位置所组成的图形（图2）.
图1
图2
体操运动员，跳水运动员旋转的周数如何用角度计算 来表示？
1.1.1 任意角
第一课时
（1）推广角的概念；理解并掌握正角、负角、零角的定义； （2）理解任意角以及象限角的概念； （3）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法； （4）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；
思考：那么工人在拧紧或拧松螺丝时，转动的角度 如何表示才比较合适？
逆时 针
4、下列结论中正确的是( ) A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等
5：任意两个角的数量大小可以相加、相减.
例如50°＋80°=130°, 50°－80°=－30°， 你能解释一下这两个式子的几何意义吗？
130°是以50°角的终边为始边，逆时针旋转80°所成的角. －30°是以50°角的终边为始边，顺时针旋转80°所成的角.
终边和始边重合的角不一定是零角，又如360°, －720°等.
| k 360, k Z
例题1 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中在 360 ~720 范围的角写出来.
(1)60 ; (2) 21 ; (3)363 14
解: (1)S { | k 360 60 , k Z } 300 ,60 ,420 (2)S { | k 360 21 ,k Z } 21 ,339 ,699 (3)S { | k 360 363 14,k Z }356 46,3 14,363 14
1.任意角的概念 2.象限角 3.终边相同的角；
思考：
1.终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示？ 2.终边在坐标轴上的角如何表示？
思考:在直角坐标系中，与135°角的终边相同的角有多 少个呢？这些角之间存在什么内在联系？
， 585， 225，135，495，855，
这些角与135°在数量上相差多少度？
→终边相同的角，度数相差360°的整数倍
可用集合S={α|α=135°+ k·360°, k∈Z}来 表示所有与135°的角终边相同的角：
60° －60°
如果一条射线没有作任何旋转，它还形成一个角吗？
1.任意角的定义：
正角：按逆时针方向旋转形成的角 任 意 负角：按顺时针方向旋转形成的角 角
零角：一条射线没有作任何旋转形成的角 (零角的始边与终边重合)
注2：①角度的范围不再限于00~3600 ； ②确定任意角的度数要抓住旋转方向及旋转圈数；
③当角的始边相同时，角相等则终边相同，但终边相同的角 不一定相等. ④引入正、负角的概念后，角的加减运算类似于实数的加减运算.
2.象限角和轴线角
为进一步研究角的需要，常在直角坐标系内讨论角：
我们使角α的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合，
角α的终边落在第几象限，则称角α 为第几象限角； 角α的终边落在坐标轴上，则称角α 为轴线角；
顺时 针
旋转方向也有顺时针与逆时针
❖ 请同学们认真阅读教材P2-3页，思考并回答以下问题： ❖ 1.什么是正角，反角，零角? ❖ 2.什么是任意角，任意角的取值范围是多少? ❖ 3.什么是象限角，第一象限角取值为0-90度对么？
任意角：一条射线绕着它的端点在平 面内旋转形成的图形
B
“旋转”形成角
第二象限的角一定比第一象限的角大吗？ y
o
“第一象限角”一定是“锐角”？
x
☆象限角只能反映角的终边所在象限， 不能反映角的大小.
练习1：-50°，405°，210°, -200°， - 450°分别
是第几象限的角？
y
y
y
x
o － 50°
x o
405°
210° xoy来自yxo －200°
x o －450°
1．α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在 A．第一或第三象限 C．第二或第四象限
(A)
B．第一或第二象限 D．第三或第四象限
2、下列角中终边与330°相同的角是（ ） A．30° B．-30° C．630° D．-630°
3、把－1485°转化为α＋k·360° （0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（ ） A．45°－4×360° B．－45°－4×360° C．－45°－5×360° D．315°－5×360°