高数第三章
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第二章 一元函数微分学
§2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念
1．导数：
)(x f y =在0x 的某个邻域内有定义，
x
x f x x f x y
x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000
0)()(lim 0x x x f x f x x --=→ 0
0)(0x x x x dx
dy x f y ===
'='
2．左导数：
00)
()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-
→- 右导数：0
00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+
→+
定理：
)(x f 在0x 的左（或右）邻域上连续在
其内可导，且极限存在；
则：
)
(lim )(0
0x f x f x x '='-→-
（或：
)(lim )(0
0x f x f x x '='+→+）
3.函数可导的必要条件：
定理：
)(x f 在0x 处可导⇒)(x f 在0x 处连续
4. 函数可导的充要条件：
定
理
：
)
(00
x f y x x '='
=存在
)()(00x f x f +-'='⇒，
且存在。 5.导函数：
),(x f y '=' ),(b a x ∈
)(x f 在),(b a 内处处可导。 y )(0x f '
6.导数的几何性质：
y ∆
)(0x f '
是曲线
)(x f y =上点 x ∆
()00,y x M 处切线的斜率。 o x 0
㈡求导法则
1.基本求导公式：
2.导数的四则运算： 1o
v u v u '±'='±)（
2o
v u v u v u '⋅+⋅'='⋅)（
3o
2v v u v u v u '⋅-⋅'='
⎪⎭
⎫
⎝⎛ )0(≠v 3.复合函数的导数：
)]([),
(),(x f y x u u f y ϕϕ===
dx
du du dy dx dy ⋅=，或
)()]([})]([{x x f x f ϕϕϕ'⋅'='
☆注意
})]([{'x f ϕ与)]([x f ϕ'的区别：
})]([{'x f ϕ表示复合函数对自变量x 求导；
)]([x f ϕ'表示复合函数对中间变量)(x ϕ求导。
4.高阶导数：
)(),(),
()
3(x f
x f x f 或'''''
)4,3,2(,])([)()
1()
(Λ='=-n x f
x f
n n
函数的n 阶导数等于其n-1导数的导数。 ㈢微分的概念 1.微分：
)(x f 在x 的某个邻域内有定义，
)()(x o x x A y ∆+∆⋅=∆
其中：
)(x A 与x ∆无关，)(x o ∆是比x ∆较高
阶的无穷小量，即：0
)(lim 0=∆∆→∆x
x o x
则称)(x f y =在x 处可微，记作：
x x A dy ∆=)(
dx x A dy )(= )0(→∆x
2.导数与微分的等价关系：
定理：
)(x f
在
x 处可微)(x f ⇒在x 处可导，
且：
)()(x A x f ='
3.微分形式不变性：
du
u f dy )('=
不论u 是自变量，还是中间变量，函数的
微分dy 都具有相同的形式。
一、
例题分析
例1.设
)(x f '存在，且1)()2(lim 000=∆-∆+→∆x
x f x x f x ，
则
)(0x f '等于
A.1,
B.0,
C.2,
D.
2
1
. [ ]
解：x
x f x x f x ∆-∆+→∆)()2(lim 000
1)(22)
()2(lim 200002='=∆-∆+=→∆x f x
x f x x f x
∴
2
1
)(0='x f （应选D ）
例2．设
),()()(2
2x a x x f ϕ-=其中)(x ϕ在a x =处连
续；求
)(a f '。
解：
a
x a f x f a f a x --='→)
()(lim
)( a
x a a a x a x a x ----=→)
()()()(lim 2
2
2
2
ϕϕ
)()(lim )())((lim x a x a x x a x a x a x a x ϕϕ+=-+-=→→
)(2a a ϕ=
误解：
)()()(2)(2
2x a x x x x f ϕϕ'-+='
∴
)(2)()()(2)(2
2a a a a a a a a f ϕϕϕ='-+='
结果虽然相同，但步骤是错的。因为已知条件并没说
)(x ϕ可导，所以)
(x ϕ'不一定存在。 例3．设
)(x f 在1=x 处可导，且2)1(='f ，求：
1
)1()34(lim 1---→x f x f x