第六章 空间解析几何要求与练习(含答案)

第六章 要求与练习

一、学习要求

1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.

2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法.

3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.

7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程.

二、练习

1、一向量起点为A （2，－2，5），终点为B （－1，6，7），求

（1）AB u u u r

分别在x 轴、y 轴上的投影，以及在z 轴上的分向量； （2）AB u u u r 的模；（3）AB u u u r 的方向余弦；（4）AB u u u r 方向上的单位向量.

解：（1）()3,8,2AB =-u u u r ，AB u u u r 分别在x 轴的投影为-3，在y 轴上的投影为8，在z 轴上的

分向量2k r ；（2）AB =u u u r ；（3）AB u u u r

（4）AB u u u r 382)

i j k -++r r r . 2、设向量a r 和b r 夹角为60o

，且||5a =r ，||8b =r ，求||a b +r r ，||a b -r r .

解：||a b +==r r

||a b -=

=r r =7.

3、已知向量{2,2,1}a =r

，{8,4,1}b =-r ，求

（1）平行于向量a r

的单位向量； （2）向量b r 的方向余弦.

解（1）3a =

=r

平行于向量a r

的单位向量221{,,}333

±；

（2）9b ==r ，向量b r 的方向余弦为：841,,999

-.

4、一向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标.

解：AB u u u r

=(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）；

5、已知{2,2,1}a =-r

，{3,2,2}b =r ，求

（1）垂直于a r 和b r 的单位向量； （2）向量a r 在b r

上的投影； （3）以a r 、b r

为边的平行四边形的面积以及夹角余弦.

解（1）(

)6,1,10,c a b c =⨯=--=r r r r

6,1,10)c --u u r ； （2）(

)

cos ,a b a b a b

⋅==⋅r r

r r r r ；

（3）(

)

sin ,S a b a b a b =⨯=⋅=r r r r r r (

)

cos ,a b =r r

6、设0a b c ++=r r r ，||3a =r ，||2b =r ，||4c =r

，求a b b c c a ++r r r r r r g

g g . 解：(

)

222220a b c a b c a b b c c a ++=+++++=r r r r r r r r r r r r g g g ，所以a b b c c a ++r r r r r r

g g g =29/2-；

7、求参数k ，使得平面29x ky z +-=分别适合下列条件： （1）经过点(5,4,6)--； （2）与平面2433x y z ++=垂直； （3）与平面230x y z -+=成

4

π

的角； （4）与原点相距3个单位； 解：7、（1）2； （2）1； （3

）； （4）2±； 8、已知平面平行于y 轴，且过点(1,5,1)P -和(3,2,1)Q -，求平面的方程.

解：设平面方程为：0Ax By D ++=，将(1,5,1)P -和(3,2,1)Q -代入求得

1,1, 2.A B D ===-该平面方程为：20x z +-=.

9、已知平面过(0,0,0)O 、(1,0,1)A 、(2,1,0)B 三点，求该平面方程.

解：设平面方程为：0Ax By Cz ++=，将(1,0,1)A 、(2,1,0)B 代入平面方程得，

1,2,1,A B C ==-=-，该平面方程为20x y z --=.

10、求过点(1,2,1)M ，且垂直于已知两平面0x y +=与510y z +-=的平面方程.

解：两平面的法向量为：()()121,1,0,0,5,1n n ==u r u u r

，所示平面的法向量为：

()()()121,1,00,5,11,1,5n n n =⨯=⨯=-r u r u u r

，则所示的平面方程为：540x y z -+-=.

11、把直线1

24

x y z x y z -+=⎧⎨

++=⎩化为对称式方程及参数方程.

解：两平面的法向量为：()()121,1,1,2,1,1n n =-=u r u u r

，则直线的方向向量为：()()()121,1,12,1,12,1,3s n n =⨯=-⨯=-r u r u u r

，取直线上一点为：(1，1，1)，则直线对称式方

程为：111,213x y z t ---===-参数方程为:12113x t

y t z t

=-⎧⎪=+⎨⎪=+⎩

.

解二：若取点为：(0，-3/2,5/2) ,则直线对称式方程为：3/25/2

213

x y z --==

- ， 参数方程为:2,3/2,35/2x t y t z t =-=+=+.

12、求过点(0,2,4)且与平面21x z +=及32y z -=都平行的直线方程.

解：两平面的法向量为：()()121,2,2,0,1,3n n ==-u r u u r

，则直线的方向向量为：()()()111,2,20,1,32,3,1s n n =⨯=⨯-=-r u r u r ，则直线方程为：24

231

x y z t --===-，或2234x t

y t z t =-⎧⎪

=+⎨⎪=+⎩

13、一直线过点(2,3,4)A -且和y 轴垂直相交，求其方程.

解：过点(2,3,4)A -的直线与y 轴垂直相交的交点为(0，-3，0)，直线的方向向量为：

(2，0，4)，所以直线方程为：231204x y z -++==

，即30

2124

y x z +=⎧⎪

⎨-+=⎪⎩. 14．将xoz 坐标面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。

解：由坐标面上的曲线绕一坐标轴旋转时生成的曲面方程的规律，所得的旋转曲面的方程为()x z y 52

2

2=+±，即x z y

522

=+。