2020年国家开放大学电大考试《数学思想与方法》题库

《数学思想与方法》综合复习
一、填空题（每题3分，共30分）
1．在数学中建立公理体系最早的是几何学，而这方面的代表著作是古希腊欧几里得的（《几何原本》）。

2．随机现象的特点是（在一定条件下，可能发生某种结果，也可能不发生某种结果）。

3．演绎法与（归纳法）被认为是理性思维中两种最重要的推理方法。

4．在化归过程中应遵循的原则是（简单化原则、熟悉化原则、和谐化原则）。

5．（数学思想方法）是联系数学知识与数学能力的纽带，是数学科学的灵魂，它对发展学生的数学能力，提高学生的思维品质都具有十分重要的作用。

6．三段论是演绎推理的主要形式，它由（大前提、小前提、结论）三部分组成。

7．传统数学教学只注重（形式化数学知识）的传授，而忽略对知识发生过程中（数学思想方法）的挖掘。

8．特殊化方法是指在研究问题中，（从对象的一个给定集合出发，进而考虑某个包含于该集合的较小集合）的思想方法。

9．分类方法的原则是（不重复、无遗漏、标准同一、按层次逐步划分）。

10．数学模型可以分为三类：（概念型、方法型、结构型）。

二、判断题（每题2分，共10分。

在括号里填上是或否）
1．数学模型方法在生物学、经济学、军事学等领域没应用。

（否）2．在解决数学问题时，往往需要综合运用多种数学思想方法才能取得效果。

（是）3．如果某一类问题存在算法，并且构造出这个算法，就一定能求出该问题的精确解。

（否）4．分类可使知识条理化、系统化。

（是）5．在建立数学模型的过程中，不必经过数学抽象这一环节。

（否）三、简答题（每题6分，共30分）
1．我国数学教育存在哪些问题？
答：①数学教学重结果，轻过程；重解题训练，轻智力、情感开发；不重视创新能力培养，虽然学生考试分数高，但是学习能力低下；②重模仿，轻探索，学习缺少主动性，缺乏判断力和独立思考能力；③学生学业负担过重。

原因是课堂教学效益不高，教学围绕升学考试指挥棒转，不断重复训练各种题型和模拟考试，不少教师心存以量求质的想法，造成学生学业负担过重。

2．《几何原本》贯彻哪两条逻辑要求？
答：《几何原本》贯彻了两条逻辑要求。

①第一，公理必须是明显的，因而是无需加以证明的，其是否真实应受推出的结果的检验，但它仍是不加证明而采用的命题；初始概念必须是直接可以理解的，因而无需加以定义。

②第二，由公理证明定理时，必须遵守逻辑规律与逻辑规则；同样，通过初始概念以直接或间接方式对派生概念下定义时，必须遵守下定义的逻辑规则。

3．简述数学抽象的特征。

答：数学抽象有以下特征：①数学抽象具有无物质性；②数学抽象具有层次性；③数学抽象过程要凭借分析或直觉；④数学的抽象不仅有概念抽象还有方法抽象
4．什么是算法的有限性特点？试举一个不符合算法有限性特点的例子。

①算法得有限性是指一个算法必须在有限步之内终止。

②例如，对初始数据20和3，计算过程为
无论怎样延续这个过程都不能结束，同时也不会出现中断。

如果在某一处中断过程，我们只能得到一个近似的、不准确的结果。

而且如果在某一步中断计算过程已经不是执行原来的算法。

可见，十进小数除法对于20和3这组数不符合算法的“有限性”特点。

5．简述将“化隐为显”列为数学思想方法教学的一条原则的理由。

答：①由于数学思想方法往往隐含在知识的背后，知识教学虽然蕴含着思想方法，但是如果不是有意识地把数学思想方法作为教学对象，在数学学习时，学生常常只注意到处于表层的数学知识，而注意不到处于深层的思想方法。

②因此，进行数学思想方法教学时必须以数学知识为载体，把隐藏在知识背后的思想方法显示出来，使之明朗化，才能通过知识教学过程达到思想方法教学之目的。

四、解答题
1．(1)什么是类比推理？(2)写出类比推理的表示形式。

(3)怎样才能增加由类比得出的结论的可靠性？
解答：
①类比推理是指，由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法。

②类比推理的表示形式为：
A 具有性质；及，，，d a a a n 21
B 具有性质；，，，n
a a a 21 因此，B 也可能具有性质d 。

③尽量满足下列条件可增加类比结论的可靠性：
● A 与B 共同(或相似)的属性尽可能多些；
● 这些共同(或相似)的属性应是类比对象A 与B 的主要属性；
● 这些共同(或相似)的属性应包括类比对象的不同方面，并且尽可能是多方面的；
可迁移的属性d 应是和n a a a ，，
， 21属于同一类型。

2．一个星级旅馆有150个房间。

经过一段时间的经营实践，经理得到数据：如果每间客房定价为160元，住房率为55%；如果每间客房定价为140元，住房率为65%；如果每间客房定价为120元，住房率为75%；如果每间客房定价为100元，住房率为85%。

欲使每天收入提高，问每间住房的定价应是多少？
答：①弄清实际问题加以化简。

经分析，为了建立旅馆一天收入的数学模型，可作如下假设：
● 设每间客房的最高定价为160元；
● 根据题中提供的数据，设随着房价的下降，住房率呈线性增长；
● 设旅馆每间客房定价相等。

②建立数学模型。

根据题意，设y 表示旅馆一天的总收入，x 为与160元相比降低的房价。

由假设②，可得每降低1元房价，住房率增加为
005.020
%10 因此一天的总收入为
)005.055.0)(160(150x x y （1）
由于9001005.055.0 x x ，可知。

于是问题归结为：当900 x 时，求y 的最大值点，即求解
)005.055.0)(160(150max 900x x y x
(③模型求解。

将(1)左边除以(150×0.005)得
17600502 x x y ，
由于常数因子对求最大值没有影响，因此可化为求，y 的最大值点。

利用配方法得
18225)25(2 x y ，
易知当x =25时，y 最大，因此可知最大收入对应的住房定价为
160元－25元=135元。