人教新课标版数学高二A必修5练习 3.1 不等关系与不等式

课时训练15不等关系与不等式

一、不等式性质的直接应用与判断

1.若1

a <1

b

<0,则下列结论不正确的是()

A.a2

B.ab

C.b+a>2

D.b<1

答案:D

解析:由1<1<0可知,b

2.(2015山东威海高二期中,1)已知a>b,则下列不等式中成立的是()

A.a2>b2

B.1<1

C.1>1

D.a3>b3

答案:D

解析:A.虽然-1>-2,但(-1)2>(-2)2不成立;

B.虽然3>-2,但是1

3<1

-2

不成立;

C.虽然2>-3,但是1

2-(-3)>1

2

不成立;

D.∵a>b,∴a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)>0.

(∵a2+ab+b2=(a+1

2b)

2

+3

4

b2>0)成立.

综上可知,只有D正确.故选D.

3.已知下列说法:

①若aab;②若a≥b,ac≥bc,则c≥0;③若a>b>0,c<0,则c

a >c

b

;④若0

log a(1+a)>log a(1+1

a

)

其中正确的有.

答案:①③④

解析:对于①,由aab,故①正确;

对于②,当a=b时,c可以为负数,故②错误;

对于③,当a>b>0时,得0<1

a <1

b

,

又c<0,∴c a >c b

,故③正确;

对于④,当0

>1,则1+a<1+1a

,

∴log a (1+a )>log a (1+1

a ),故④正确. 二、利用不等式的性质比大小

4.(2015山东威海高二期中,2)不等式:①a 2+2>2a ;②a 2+b 2≥2(a-b-1);③a 2+b 2≥ab 恒成立的个数是( ) A.0 B.1

C.2

D.3

答案:D

解析:①a 2+2-2a=(a-1)2+1≥1,∴a 2+2>2a ,正确;

②∵a 2+b 2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0, ∴a 2+b 2≥2(a-b-1),正确; ③a 2+b 2-ab=

(a -1

2b)

2+3

4b 2≥0,当且仅当a=b=0时取等号,正确.

综上可得:①②③都恒成立.故选D . 5.若A=a 2+3ab ,B=4ab-b 2,则A ,B 的大小关系是 ( )

A.A ≤B

B.A ≥B

C.AB

D.A>B

答案:B

解析:∵A-B=a 2+3ab-4ab+b 2=a 2-ab+b 2=(a -b 2)2

+3

4

b 2≥0,

∴A ≥B.

6.(2015河南郑州高二期末,16)现有甲、乙两人相约爬山,若甲上山的速度为v 1,下山的速度为v 2(v 1≠v 2),乙上山和下山的速度都是

v 1+v 2

2

(甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回),则甲、乙两人上下山所用的时间t 1,t 2的大小关系为 . 答案:t 1>t 2

解析:由题意知,甲用的时间t 1=S v 1+S v 2=S ·v 1+v

2

v 1v 2

,

乙用的时间t 2=2×S

v

1+v 22

=4S

v 1+v 2

. ∵t 1-t 2=S ·v 1

+v 2

v

1v 2

−4S

v 1+v 2

=S (v 1+v 2v 1v 2-4v 1+v 2)=S (v 1-v 2)2

v 1v 2(v 1+v 2

)>0.∴t 1>t 2.

7.已知a ,b ,x ,y 均为正实数,且1a >1b ,x>y ,试判断x x+a 与y y+b

的大小关系. 解:因为

x x+a −y y+b

=

bx -ay

(x+a )(y+b )

,

又1

a >1

b 且a>0,b>0,所以b>a>0. 又x>y>0,所以bx>ay ,即bx-ay>0. 又x+a>0,y+b>0, 所以

bx -ay (x+a )(y+b )>0,即

x

x+a

>

y

y+b

. 三、利用不等式的性质求代数式范围

8.设x ,y 为实数,满足3≤xy 2≤8,4≤x 2

y ≤9,则x 3

y 4的最大值是 . 答案:27

解析:∵4≤x 2

y ≤9,∴16≤x 4

y 2≤81.

① ∵3≤xy 2≤8,∴18≤1xy 2≤1

3.

②

由①②可得2≤x 4

y 2·1

xy 2≤27,即2≤x 3

y 4≤27.

∴x 3

y 4的最大值为

27.

9.已知1

.

解:(1)因为1

又3

4<1

b <1

3. 又1

4

b <23.

四、利用不等式的性质证明

10.已知a>b>0,c

<√b

c 3

.