数列的单调性及其判定

数列的单调性及其判定

河北省武安市邯郸学院武安分院 056300 贾书银

数列是指按照一定规律排列的一列数，这种规律体现于数列的项与项数之间的关系，我们通常用通项公式去描述它；体现于数列的项与项之间的关系，我们通常用递推公式去描述它；体现于数列的整体趋势，我们通常用极限去描述它。而为了确定某个数列是否存在极限，当然不可能将每个实数依定义一一验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来做出判断。例如运用柯西收敛准则来判断；例如对于一个单调数列来说，如果它有界那么必然存在极限。所以能够对一个数列的单调性做出正确的判断，具有至关重要的作用。下面将对数列的单调性及其判定方法详加论述。

定义：如果数列{}n x 满足1n n x x +≤ 1,2,3n =则称数列{}n x 为单调增加数列；如果

数列{}n x 满足1n n x x +≥ 1,2,3

n =则称数列{}n x 为单调减少数列。

判定方法一：定义法

例1 判断数列11n n x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1

11n n y n +⎛⎫

=+ ⎪

⎝⎭

的单调性。

12n

a a a n

++

+≤

()0i a >

或12

12

n

n n a a a a a a n +++⎛⎫

≤ ⎪⎝⎭

111n n x n ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭

1

1111n n n n +⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭

⎪≤+ ⎪ ⎪⎝⎭ 1

111n n +⎛

⎫=+ ⎪+⎝⎭

1n x +=

∴数列{}n x 为单调增加数列。

1111n n n y n +⎛⎫=⋅ ⎪+⎝⎭()2

1112n n n n n +⎛⎫++ ⎪+≤ ⎪+ ⎪

⎝⎭

2

12n n n ++⎛⎫

= ⎪+⎝⎭

2

1111n n +=

⎛⎫+ ⎪+⎝⎭

1

1n y +=

∴1n n y y +≥∴数列{}

n y 为单调减少数列。

判定方法二：作差法

例2 已知数列{}n x 满足：11x =，1n x +=1,2,3

n =

试判断数列

{}n x 的单调性。

解：首先，1014x <=<；假设04k x <<，则104k x +<=<=，

所以由数学归纳法可知：任意n N +∈，04n x <<。

其次，221n n x x +-=2

43n n x x +-=()()410n n x x -+>，所以1n n x x +>

∴数列{}n x 为单调增加数列。

判定方法三：作商法

例3已知数列{}n x 满足：11x =，1132n n n x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

，1,2,3n =

试判断数列{}n x 的单调性。

解：显然()01,2,3n x n >= 1132n n n x x x +⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭

12⋅=121313111223n n n x x x +⎛⎫⎛⎫

=+≤+= ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭，即1n n x x +≤ ∴数列{}n x 为单调减少数列。

判定方法四：数学归纳法

例4已知数列{}n x

满足：1x =

1n x +=，1,2,3n =

试判断数列{}n x 的单调性。

解：21x x =

=>=；假设1k k x x ->

>，

即1k k x x +>。由数学归纳法可知，数列{}n x 为单调增加数列。

判定方法五：作差法和数学归纳法的综合运用 例5已知数列{}n x 满足：1,x k = 1121n

n n

x x x ++=+，1,2,3n =

试判断数列{}n x 的单调性。

解：显然10121n

n n

x x x +<=+

<+，1,2,3n =

22112111k k k x x k k k

++--=-=++

，解得当1122k -+<<时，21x x >

；当12k +>

或12

k -<

时，21x x <

。首先考虑1122k -+<<时，21x x >；假设1n n x x ->，则

()()

11

111111111n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x --+--⎛⎫⎛⎫--=+-+=

⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭>0，即1n n x x +> 由数学归纳法可知：数列{}n x 为单调增加数列。

同理可得：12k +>

或12

k <时，数列{}n x 为单调减少数列。