无序时分类计算求和
SPSS 无序分类变量的统计推断 卡方检验
5.分层卡方检验 6.SPSS 软件部分
6.1.‘统计量’子对话框界面说明
打开方式：点击工具栏‘分析’->‘描述’-》 ‘交叉表’ ，点击选项‘统计 量’ 。项。
‘卡方’复选框：进行卡方检验。
‘Kappa’复选框：计算 Kappa 值，即内部一致性系数。原假设 H0 是无一 致性；Kappa≥0.75 表明两者一致性较好，介于 0.4 至 0.75 表明一致性一般，小 于 0.4 表明两者一致性较差。 ‘风险’复选框：计算 OR 值（比数比）和 RR 值（相对危险度） ，这些指 标用于反映交叉表的行、列变量之间的关联强度。 ‘McNemar’复选框：进行 McNemar 检验，即常用的配对卡方检验。 ‘Cochran’s and Mantel-Haenszel 统计量’复选框：为两个二分类变量进 行分层卡方检验，即层间的独立性检验和同质性（齐性）检验，同时可进行分层 因素的调整。
4.一致性检验与配对卡方检验
你得首先理解配对设计，这里略。
4.1.Kappa 一致性检验
Pearson 卡方检验并不适用于配对设计的数据， 它无法明确说明结果的一致 程度。 更准确地说， Pearson 卡方只能告诉用户两种测量结果之间是否存在关联， 但不能判断其是否具有一致性。
4.2.配对卡方检验
3.1.相对危险度
RR 值是一个概率的壁纸，是指实验组人群反应阳性概率与对照组人群反应 阳性概率的壁纸。RR=1，表明实验因子与反应阳性无关联。
3.2.优势比
OR 值是一个比值的比，是反应阳性人群中实验因素有无的比例与反应阴性 人群中实验因素有无的比例之比。OR=1，表明实验因素与反应阳性无关联。 由于优势比是两个比值的比值，因此它不太好解释，而解释相对危险度则要 容易得多， 因此在大多数情况下人们希望能够按照相对危险度的含义来解释优势 比。 当所关注的事件发生概率比较小时(<0.1)， 优势比可作为相对危险度的近似。
排列与组合,分步乘法计数原理,分类加法计数原理
排列：1、排列的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2、全排列：把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做这n个元素的一个全排列。
3、排列数的概念：从n个不同元素中取出m (mWn)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号白；表示。
4、阶乘：自然数1到n的连乘积，用n!=1X2X3X・・・Xn表示。
规定：0!=15、排列数公式：*”n (n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)='卡—活"。
组合：1、组合的概念：从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合。
2、组合数的概念：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数用符号C；表示。
b=屋=题…---掰+。
_ /3、组合数公式：1H史耀！的I一对；4、组合数性质：K - …,5、排列数与组合数的关系：量二5,排列与组合的联系与区别：从排列与组合的定义可以知道，两者都是从n个不同元素中取出m个(mWn, n, m£N) 元素，这是排列与组合的共同点。
它们的不同点是：排列是把取出的元素再按顺序排列成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可以，取出的元素与顺序无关.只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列，否则就不相同；而对于组合，只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合，如a, b与b, a是两个不同的排列，但却是同一个组合。
排列应用题的最基本的解法有:(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素，称为元素分析法，或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置，称为位置分析法;(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不符合要求的排列数。
排列的定义的理解：①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列；②只有元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，两个排列才是同一个排列，元素完全相同，但排列顺序不一样或元素不完全相同，排列顺序相同的排列，都不是同一个排列；③定义中规定了 mWn,如果m<n,称为选排列；如果m=n,称为全排列；④定义中“一定的顺序”，就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断，这一点要特别注意；⑤可以根据排列的定义来判断一个问题是不是排列问题，只有符合排列定义的说法，才是排列问题。
12-基本的组合计数公式
(4) 若r<n,且存在某个r> ni，则N没有一般的求解公式，可 以使用其他的组合方法解决。
21
实例
例 有3只蓝球、2只红球、2只黄球，排成一排，若要求黄球不相 邻，问有多少种排法？
组合数C(n,r)也称为二项式系数，记作
n r
14
推论
推论1 元素依次排成一个圆圈的排列称为 环排列 。
S 的 r- 环排列 数 =
Pnr n! r r(n r)!
15
推论
推论2 设n, r为正整数，则 (1) C(n,r)= n C(n 1,r 1)
r
(2) C(n,r) = C(n, nr) (3) C(n,r)=C(n1,r1)+C(n1,r) 证明方法：公式代入并化简；组合证明 证(2) 设 S ={1, 2, …, n}是n元集合，对于S 的任意 r 组合 A={a1, a2, …, ar}，都存在一个S 的 nr 组合SA与之对应. 显然不同的 r 组合对应了不同的 nr 组合，反之也对。 因此 S 的 r 组合数恰好与 S 的 nr 组合数相等.
nk ! 0!
n1!n2!...nk !
(2) r 个位置中的每个位置都有 k 种选法，由乘法法则得 kr 20
多重集的排列计数（续）
关于多重集排列问题小结： 设S={n1a1, n2a2, …, nk ak}， n=n1+n2+…+nk ，则S 的 r 排
列数N满足 (1) 若r >n，则N=0.
rij=1, rji=0； rij=0, rji=1； rij=rji=0. 所有这些位置元素的选择方法数为 3(n2 n)/ 2 . 再考虑到主对角 线元素的选取，由乘法法则总方法数为 2 3n (n2 n)/ 2
vba 数列 求和 排列组合 最快算法
VBA（Visual Basic for Applications）是一种用于编写宏的编程语言，我们可以利用VBA在Excel中进行各种复杂的计算和操作。
而在Excel中，经常会涉及到对数列进行求和、排列组合等操作，这就需要我们编写高效的VBA算法来实现。
本文将从简单到复杂地探讨VBA中对数列求和、排列组合等操作的最快算法。
我们来看一下数列求和操作。
在Excel中，我们常常会遇到需要对一定范围内的数列进行求和的情况。
如果数列的范围比较小，我们可以直接使用Excel自带的SUM函数进行求和，这是最简单的方法。
但当数列范围较大时，使用VBA编写的求和算法会更加高效。
我们可以利用循环结构和变量来实现对数列的累加操作，这样可以大大提高求和的效率。
我们还可以利用递归算法或者快速求和算法来进一步提升效率，这都是需要我们在VBA中灵活运用的技巧。
接下来，我们将探讨排列组合的操作。
在Excel中，排列组合通常用于对一定范围内的元素进行全排列或组合，这在某些统计学和概率论的应用中非常常见。
使用VBA编写排列组合算法同样可以提高效率。
我们可以利用递归算法或者迭代算法来实现对排列组合的计算，关键是要设计好递归的终止条件和循环的次数，这样才能确保算法的正确性和高效性。
总结回顾一下，我们在VBA中对数列求和、排列组合等操作时，可以使用循环、变量、递归、迭代等多种方法来实现最快算法。
不同的问题可能需要不同的算法来解决，我们需要根据具体情况来选择合适的算法。
我们也要考虑算法的可读性和可维护性，毕竟代码的清晰和简洁同样重要。
个人观点和理解是，VBA编程在Excel中有着非常广泛的应用，尤其是在处理复杂的计算和数据操作时，编写高效的VBA算法是非常重要的。
掌握各种求和、排列组合等算法，并灵活运用于实际问题中，可以大大提高工作效率和计算准确性。
希望通过本文的讨论，你可以对VBA中的数列求和、排列组合等操作有更深入的理解，并且在实际工作中能够更加灵活地应用这些知识。
小学奥数专题--排列组合推理篇
✧排列问题题型分类：1.信号问题2.数字问题3.坐法问题4.照相问题5.排队问题✧组合问题题型分类：1.几何计数问题2.加乘算式问题3.比赛问题4.选法问题✧常用解题方法和技巧1.优先排列法2.总体淘汰法3.合理分类和准确分步4.相邻问题用捆绑法5.不相邻问题用插空法6.顺序问题用“除法”7.分排问题用直接法8.试验法9.探索法10.消序法11.住店法12.对应法13.去头去尾法14.树形图法15.类推法16.几何计数法17.标数法18.对称法分类相加，分步组合，有序排列，无序组合一.加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，在第一类办法中有M1中不同的方法，在第二类办法中有M2中不同的方法，……，在第N类办法中有M n种不同的方法，那么完成这件事情共有M1+M2+……+M n种不同的方法。
二.乘法原理：如果完成某项任务，可分为k个步骤，完成第一步有n1种不同的方法，完成第二步有n2种不同的方法，……完成第ｋ步有ｎｋ种不同的方法，那么完成此项任务共有ｎ１×ｎ２×……×ｎｋ种不同的方法。
三.两个原理的区别⏹做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法原理。
每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)⏹做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，这件事才算完成，因此用乘法原理．任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同⏹这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．四.排列及组合基本公式1.排列及计算公式叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 P mn表示.P mn=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号C mn表示.C mn = P mn/m!=n!(n-m)!×m!一般当遇到m比较大时（常常是m>0.5n时），可用C mn = C n-mn来简化计算。
数学高考基础知识、常见结论详解(一)
数学高考基础知识、常见结论详解一、集合与简易逻辑：一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性互异性：例如：，，若A=B求；（A={-1，1，0}）（2）集合与元素的关系用符号表示。
（、）（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集；整数集；有理数集、实数集。
（4）集合的表示法：、、。
（列举法，描述法，韦恩图示法）注意：区分集合中元素的形式：例如：；；；；；（5）空集是指不含任何元素的集合。
（、和的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
注意：条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况。
如：，如果，求的取值。
（）二、集合间的关系及其运算（1）符号是表示元素与集合之间关系的，立体几何中则体现；（；点与直线（面）的关系）符号是表示集合与集合之间关系的，立体几何中则体现。
（；直线与面的关系）（2）；；（3）对于任意集合，则：①；；；（=；=；）②；；；；（）③；；（）（4）①若为偶数，则；若为奇数，则；②若被3除余0，则；若被3除余1，则；若被3除余2，则；三、集合中元素的个数的计算：若集合中有个元素，则集合的所有不同的子集个数为，所有真子集的个数是，所有非空真子集的个数是。
（）四、若；则是的充分非必要条件；若；则是的必要非充分条件；五、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的；（真假值）注意：“若，则”在解题中的运用，如：“”是“”的条件。
（充分非必要）六、反证法：当证“若，则”感到困难时，改证它的等价命题“若则”成立，步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证，得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确。
矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。
适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。
（不等于；小于或等于；大于或等于；不是；不都是；至少有两个；一个也没有；存在一个）二、函数一、映射与函数：（1）映射的概念：（2）一一映射：（3）函数的概念：如：若，；问：到的映射有个，到的映射有个；到的函数有个，若，则到的一一映射有个。
高中数学高考大纲及知识点讲解
高中数学高考大纲及知识点讲解高中数学重点知识与结论分类解析一、集合与简易逻辑1.集合的元素具有确定性、无序性和互异性。
2.在求集合的交集时，必须注意到“极端”情况：当A或B 为空集时，它们的交集也为空集。
在求集合的子集时，也要注意到空集是任何集合的子集，而且是任何非空集合的真子集。
3.对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数分别为2，2^n-2，2^n-1，n。
4.交的补等于补的并，即C∪(A∩B) = (C∪A)∩(C∪B)；并的补等于补的交，即C∩(A∪B) = (C∩A)∪(C∩B)。
5.判断命题的真假关键是“抓住关联字词”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”。
6.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”。
7.四种命题中，“逆”者“交换”也，“否”者“否定”也。
原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价。
反证法分为三步：假设、推矛、得果。
注意：命题的否定是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题”。
8.充要条件。
二、函数1.指数式、对数式，a^m×a^n = a^(m+n)，m/n = logaN，a^a = N ⇔ loga N = a (a>0.a≠1.N>0)，a = 1，loga 1 = 0，loga a = 1，lg2 + lg5 = 1，loge x = ln x，loga b = logc b / logc a，logam n = n loga m。
2.(1) 映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合A中的元素必有像，但第二个集合B中的元素不一定有原像（A中元素的像有且仅有下一个，但B中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集B的子集”。
分类加法计算原理与分步乘法计算原理
各个分类之间必须是互斥的，即它们之间没有交集。这意味着每个 事件只能属于一个分类，不会出现重复计算的情况。
2. 穷尽原则
所有分类的并集必须包含所有可能的事件，即分类必须穷尽所有情况。 这样可以确保不会遗漏任何事件，从而保证计算的准确性。
分类加法计算步骤
步骤一
确定问题的所有可能结果，并将这些结果划分为 互斥且穷尽的分类。
对于某些特定类型的复杂问题，分类加法计算原理和分步乘法计算原理的应用效果可能受到限制。未来 可以针对这些特定问题进行深入研究，探索更有效的解决方法。
研究不足与展望
拓展应用领域
目前，分类加法计算原理和分步乘法计 算原理主要应用于数学和计算机科学领 域。未来可以探索将这些原理应用于其 他领域，如物理、化学、生物等，为解 决这些领域的复杂问题提供新的思路和 方法。
积分计算
在微积分学中，分步乘法原理可以应用于复合函数的积分计算，通过 将复合函数拆分成多个简单函数进行积分，再相乘得到最终结果。
在物理中的应用
运动学
在运动学中，分类加法原理可以应用于速度和加速度的合成与分解。例如，平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线 运动和竖直方向的自由落体运动。
动力学
在动力学中，分步乘法原理可以应用于力的合成与分解。例如，求解物体在多个力作用下的加速度时，可以先分别求 出每个力产生的加速度，再相乘得到最终结果。
探讨两种计算原理在实际问题中的综合应用
汇报范围
01 分类加法计算原理的定义、公式及应用举例
02 分步乘法计算原理的定义、公式及应用举例
03
两种计算原理的比较分析
04
综合应用两种计算原理解决实际问题的案例 分析
02 分类加法计算原理
四种分组求和方法，操作简单效率又高的竟然是这个！PowerQuery实战
四种分组求和方法，操作简单效率又高的竟然是这个！PowerQuery实战这个问题很常见，解决起来也不难，即按“型号+序号”进行分组，对后面各“日期”列求和：这个问题的方法很多，当数据量不大的时候，各种方法在效率上不会有多大的差异，但是，如果数据量很大，可能就会体现出来较大的差别。
以下随机生成一个近19万行、经分组后仍然超过18万行的数据，通过4种常见的方法做操作和效率对比，供大家参考。
直接分组法直接分组法很简单，就是直接选中“型号”和“序号”列，然后“分组”，在分组里通过多次“添加聚合”，完成对每个日期列的求和：这种方法从理解上来说最简单，而且，经测试，也是运行效率最高的！但是，这个方法在处理这个问题上并不好，因为需要对每一列手工添加聚合，不仅繁琐，而且无法适应后续再增加列的情况。
直接分组扩展聚合法直接分组扩展聚合法，是在分组的基础上，对分组结果表进行展开，并在展开的过程中进行聚合的方法。
具体操作方法如下：Step-01 选定“型号”和“序号”，分组，操作中选择“所有行”，即分组取得各组项下的明细内容：Step-02 展开分组得到的表列，并选择“聚合”，勾选除分组用的“型号”、“序号”等列的聚合内容，单击确定，即可得到最终结果：这种方法操作也不复杂，实际是利用了表展开时的“聚合”功能，背后调用了Table.AggregateTableColumn函数。
关于这个函数，我曾经在以前的文章《合并查询，一个严重的效率问题以及简单的解决办法 | PQ优化实战》里提到过，效率比较低，尽量避免使用。
在这个例子里，最后测试的结果也是，这种方式的效率是最低的。
逆透视分组再透视法逆透视分组再透视，应该是这类问题可能采用的最常规做法。
因为每个日期作为一列的数据，从数据建模的角度来说，一般建议转换为每一行（逆透视），后续也没有必要进行汇总后横着放。
但这个问题既然都在Power Query里处理，那么，逆透视后，可以对“型号”、“序号”及“日期（属性）”三列进行分组求和，然后再透视即得结果。
第6章 分类变量的统计描述与参数估计
6.1.2 多个分类变量的联合描述 分类变量的联合描述使用列联表； 列联表是因分类变量的各类别交叉而成的复合频 数表，被称为行×列表； 列联表的分析结果直观、易比较； 应用列联表进行变量的交叉分析是数据分析报告 中分析结果显示的主要方式之一； 列联表分二维表和多维表（或n维表）； 单元格内可给出原始频数、行与列百分比和总百 分比。
（3）率（Rate） 率是一个具有时间、速度、强度含义 的概念或指标，用于说明某个时期内某个 事件发生的频率或强度，其计算公式为： 某事件的发生率=观察期内发生某事件的对 象数/该时期开始时的观察对象数
相对数在使用时应当注意适用条件： 样本量较大时相对数比较稳定； 基数不同相对数不能直接相加求和。
第6章 分类变量的统计描述 与参数估计
2013.10
离散变量是把取值范围为有限个数或者是 一个数列构成的变量。 分类变量是表示分类情况的离散变量。 根据类别的有序性，分类变量可分为有序 分类变量（Ordinal Variable）和无序分类 变量（Nominal Variable），这两类变量 在统计描述上没有差别。
（2）构成比（Proportion） 构成比是把观察对象分为k个部分，其中 某一个/多个部分的例数占总例数的比例。它 描述某个事物内部各构成部分所占的比重，其 计算公式为： 构成比=某一组成部分的样本数/总样本数 构成比的分子必须是分母的一部分，所以 其取值0-1，百分比是一个标准的构成比，而 累计频率则是构成比概念的直接延伸。
6.1 指标体系概述
6.1.1 单个分类变量的统计描述 1.频数分布 频数（绝对频数）是指本类别出现的次数； 百分比（构成比）是指本类别出现的次数占 总次数的百分比，即本类别出现次数/总次 数×100%。
信息增益的计算公式
信息增益的计算公式信息增益是一种用于衡量特征对于分类任务的重要性的指标。
在机器学习和数据挖掘领域，信息增益常被用于决策树算法中的特征选择。
本文将介绍信息增益的计算公式及其应用。
在讲解信息增益之前，我们首先需要了解熵（Entropy）的概念。
熵是衡量一个系统无序程度的指标，用于描述系统的混乱程度。
在信息论中，熵被定义为信息的期望值的负数。
对于一个二分类问题，熵的计算公式如下：熵 = -p1 * log2(p1) - p2 * log2(p2)其中，p1和p2分别表示两个类别的概率。
当一个系统的熵越大，代表其无序程度越高，反之亦然。
在决策树算法中，我们希望找到一个最优的特征，使得在该特征的条件下，样本的分类结果尽可能纯净。
信息增益就是用来衡量特征对于分类任务的纯净度提升程度的指标。
假设我们有一个数据集D，其中包含N个样本，每个样本具有一个特征X和对应的类别标签Y。
我们希望通过特征X来对样本进行分类。
为了计算特征X对于分类任务的信息增益，我们需要计算在特征X的条件下，数据集D的熵和每个可能取值的熵，并将它们加权求和。
具体而言，信息增益的计算公式如下：信息增益 = 熵(D) - Σ(|Di|/|D|) * 熵(Di)其中，熵(D)表示数据集D的熵，|Di|表示特征X取值为i的样本数，|D|表示数据集D的样本总数，熵(Di)表示在特征X取值为i的条件下，数据集D的熵。
Σ表示对所有特征X的取值求和。
通过计算不同特征的信息增益，我们可以选择具有最大信息增益的特征作为决策树的根节点，并继续递归地选择子节点的特征，直到所有样本都被正确分类或无法继续划分。
信息增益的应用不仅局限于决策树算法，还可以用于特征选择、特征权重的计算等领域。
在特征选择中，我们可以通过计算每个特征的信息增益来评估其对于分类任务的重要性，从而选择最具有代表性的特征进行模型训练。
需要注意的是，信息增益存在一个问题，即偏向于具有较多取值的特征。
当一个特征的取值较多时，其对应的熵也会较大，从而导致信息增益较大。
r语言 矩阵分类求和
r语言矩阵分类求和矩阵分类求和是一种常见的数据分析方法，它可以帮助我们更好地理解和探索数据集中的信息。
在R语言中，我们可以使用一些函数和技巧来实现矩阵分类求和的操作。
本文将介绍如何在R语言中进行矩阵分类求和，并给出一些实际应用的例子。
我们需要了解什么是矩阵分类求和。
简单来说，矩阵分类求和就是将矩阵按照某种分类方式进行分组，并对每个组的元素进行求和。
这个过程可以帮助我们在数据中发现不同组别之间的差异和关系，从而得到更全面的数据分析结果。
在R语言中，可以使用函数tapply()来实现矩阵分类求和的操作。
该函数的基本用法是tapply(X, INDEX, FUN)，其中X是待求和的矩阵，INDEX是用于分类的变量，FUN是要应用的求和函数。
下面我们通过一个例子来详细说明。
假设我们有一个矩阵data，包含了某公司的销售数据，其中包括产品类别、销售额和销售量三个变量。
我们想要按照产品类别对销售额和销售量进行求和。
首先，我们需要加载数据，可以使用read.csv()函数从csv文件中读取数据。
```{r}data <- read.csv("sales_data.csv")```接下来，我们可以使用tapply()函数对销售额和销售量进行求和。
假设产品类别保存在变量category中，销售额保存在变量sales中，销售量保存在变量quantity中。
```{r}category <- data$categorysales <- data$salesquantity <- data$quantitysales_sum <- tapply(sales, category, sum)quantity_sum <- tapply(quantity, category, sum)```上述代码中，sales_sum保存了按照产品类别求和后的销售额，quantity_sum保存了按照产品类别求和后的销售量。
《Excel应用》期末考试真题试题选择判断题
《Excel应用》第一套试卷总共50题共100分一、单选题（共20题,共40分）1. 在EXCEL2003中，在单元格中输入=6+16+MIN（16，6），将显示（2分）A.38B.28C.22D.44★标准答案：B2. 在Excel文档使用的默认扩展名是（2分）A.DOCB.TXTC.XLSD.DOT★标准答案：C3. 当在Excel 中进行操作时，若某单元格中出现“#V ALUE！”的信息时，其含义是（2分）A.在公式单元格引用不再有有效B.单元格中的数字太大C.计算结果太长超过了单元格宽度D.公式中使用了错误的数据类型★标准答案：D4. Excel中，公式=SUM(9,11)的值是（2分）A.9B.11C.20D.2★标准答案：C5. 不能利用“设置单元格格式”完成的是（2分）A.隐藏B.下标C.插图表D.预制边框6. 在Excel工作簿中，有关移动和复制工作表的说法正确的是（2分）A.工作表只能在所在工作簿内移动不能复制B.工作表只能在所在工作簿内复制不能移动C.工作表可以移动到其它工作簿内，不能复制到其它工作簿内D.工作表可以移动到其它工作簿内，也可复制到其它工作簿内★标准答案：D7. 在EXCEL中，如果我们只需要数据列表中记录的一部分时，可以使用EXCEL提供的（2分）A.自动筛选B.排序C.分类汇总D.以上全部★标准答案：A8. 在文明班级卫生得分统计表中，总分和平均分是通过公式计算出来的，如果要改变二班卫生得分，则（2分）A.要重新修改二班的总分和平均分B.重新输入计算公式C.总分和平均分会自动更正D.会出现错误信息★标准答案：C9. Excel的高级筛选中，条件区域中不同行的条件是（2分）A.或的关系B.与的关系C.非的关系D.异或的关系★标准答案：A10. Excel工作表中B12表示（2分）A.第B行12列B.第12行B列C.第B1行第2列D.第2行B1列★标准答案：B11. 在EXCEL中，对数据库进行分类汇总之前必须先（2分）A.使数据库中的数据无序B.设置筛选条件C.对数据库的分类字段进行排序D.使用记录单★标准答案：C12. 在Excel工作表中，不正确的单元格地址是（2分）A.C$66B.$C66C.C6$6D.$C$66★标准答案：C13. 在EXCEL中，在单元格F3中，求A3、B3和C3三个单元格数值的和，不正确的形式是（2分）A.=$A$3+$B$3+$C$3B.SUM(A3，C3)C.=A3+B3+C3D.=SUM(A3：C3)★标准答案：B14. 在EXECEL表格中，A2和B3单元格里的数字分别是4和6，如果C3单元格的编辑框中输入“=A2*B3”并回车，那么C3单元格显示的内容是（2分）A.21B.24C.10D.A2*B3★标准答案：B15. 想快速找出“成绩表”中成绩前20名学生，合理的方法是（2分）A.给成绩表进行排序B.成绩输入时严格高低分录入C.一条一条看D.进行分类汇总★标准答案：A16. 公式“=A VEAGE(C3：C5)”等价于下面公式（2分）A.=C3+C4+C5/3B.=(C3+C4+C5)/3C.=(C3 +C5)/3D.都不对★标准答案：B17. 在EXCEL电子表格的操作中，如果要直观的反应数据的发展趋势，应采用（2分）A.柱形图B.折线图C.饼图D.气泡图★标准答案：B18. 在EXCEL表格中，“D3”表示该单元格位于（2分）A.第4行第3列B.第3行第4列C.第3行第3列D.第4行第4列★标准答案：B作表位置，建立副本③点击“移动或复制工作表”④点击“确定” （2分）A.②①③④B.③②①④C.②③④①D.①③②④★标准答案：D20. 下面哪个文件可用EXCEL进行编辑（2分）A.昆虫.pptB.走进新时代.mp3C.车间产量.xlsD.实用工具.zip★标准答案：C二、多选题（共10题,共20分）1. DELETE和”编辑“菜单中的清除命令的区别在于（2分）A.DELETE删除单元格的内容，格式和批注B.DELETE仅能删除单元格的内容C.清楚命令可删除单元格的内容，格式或批注D.清楚命令仅能删除单元格的内容★标准答案：B,C2. 在EXCEL中,若查找内容为“e?c*,则可能查到的单词为（2分）A.excelB.excellentcationD.etc★标准答案：A,B,D3. 在Excel中建立工作表时, 下列哪些不能将工作表F列删除？（2分）A.单击列号F，选择"文件"菜单下的"删除"B.单击列号F，选择"编辑"菜单下的"删除"C.单击列号F，选择工具条上的"剪切""按钮"D.单击列号F，选择"编辑"菜单下的"清除"下的"全部"★标准答案：A,C,D4. 若要对A1至A4单元格内的四个数字求平均值，可采用的公式或函数有（2分）A.SUM(A1:A4)/4B.(A1+A2:A4)/4C.(A1+A2+A3+A4)/4D.(A1:A4)/4★标准答案：A,C5. 在Excel中，对于选中的数据清单，利用"数据"选项卡可以完成的操作包括（2分）A.排序B.筛选C.分类汇总D.插入图表★标准答案：A,B,D6. Excel数据分析工具可以分析的是（2分）A.指数平滑分析B.移动平均分析C.回归分析D.傅里叶分析★标准答案：A,B,C,D7. 在EXCEL中，要查找工作薄，可以基于（2分）A.文件名B.文件位置C.作者D.其他摘要信息★标准答案：A,B,C,D8. 单变量求解必须输入的内容是（2分）A.目标单元格B.目标值C.可变单元格D.可变值★标准答案：A,B,C9. Excel中，下面关于单元格的描述中，正确的包括（2分）A.C4表示对第四行第三列所在的单元格的相对引用B.A1:C4单元格区域共包含16个单元格C.$D$5表示对第五行第二列所在单元格的绝对引用D.$E3表示对第三行第五列所在单元格的混合引用★标准答案：A,B,C10. Excel数据填充时，默认可以使用快捷方式填充的是（2分）A.向上填充B.向下填充C.向左填充D.向右填充★标准答案：B,D三、判断题（共20题,共40分）2. 在EXCEL中，要选定多个单元格，就必须使用鼠标。
(完整版)高中数学易错重点知识点梳理
高中数学知识易错点梳理一、集合、简易逻辑、函数1． 研究集合必须注意集合元素的特征即三性(确定,互异,无序); 已知集合A={x,xy,lgxy},集合B={0,｜x ｜,y},且A=B,则x+y=2． 研究集合,首先必须弄清代表元素,才能理解集合的意义。
已知集合M={y ｜y=x 2 ,x ∈R},N={y ｜y=x 2+1,x ∈R},求M ∩N ；与集合M={（x,y ）｜y=x 2 ,x ∈R},N={(x,y)｜y=x 2+1,x∈R}求M ∩N 的区别。
3． 集合 A 、B ，∅=⋂B A 时，你是否注意到“极端”情况：∅=A 或∅=B ；求集合的子集B A ⊆时是否忘记∅. 例如：()()012222<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，求a 的取植范围，你讨论了a ＝2的情况了吗？4． 对于含有n 个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n如满足条件}4,3,2,1{}1{⊂⊆M 的集合M 共有多少个5． 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有10名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其中7人会唱歌跳舞5人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人，表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有多少种不同的选法？ 6． 两集合之间的关系。
},14{},,12{Z k k x x N Z k k x x M ∈±==∈+==7． (C U A)∩( C U B) = C U (A ∪B) (C U A)∪( C U B) = C U (A ∩B)；B B A = A B ⊆⇒； 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或”、“且”和“非”. p 、q 形式的复合命题的真值表:9、否 原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.10、你对映射的概念了解了吗？映射f ：A →B 中，A 中元素的任意性和B 中与它对应元素的唯一性，哪几种对应能够成映射？ 11、函数的几个重要性质：①如果函数()x f y =对于一切R x ∈，都有()()x a f x a f -=+或f （2a-x ）=f （x ），那么函数()x f y =的图象关于直线a x =对称.②函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=x 对称； 函数()x f y =与函数()x f y -=的图象关于直线0=y 对称； 函数()x f y =与函数()x f y --=的图象关于坐标原点对称.③若奇函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上也是递增函数．④若偶函数()x f y =在区间()+∞,0上是递增函数，则()x f y =在区间()0,∞-上是递减函数．⑤函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的；函数()a x f y +=()0(<a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向右平移a 个单位得到的；函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的;函数()x f y =+a )0(<a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向下平移a 个单位得到的.12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，你标注了该函数的定义域了吗？ 13、求函数的定义域的常见类型记住了吗？函数y=2)3lg()4(--x x x 的定义域是 ；复合函数的定义域弄清了吗？函数)(x f 的定义域是[0,1],求)(log 5.0x f 的定义域. 函数)(x f 的定义域是[b a ,],,0>->a b 求函数)()()(x f x f x F -+=的定义域14、含参的二次函数的值域、最值要记得讨论。
分类计数原理与分步计数原理、排列
分类计数原理与分步计数原理、排列【高考导航】分类计数原理与分步计数原理又称加法原理和乘法原理,它不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且是最基本的思想方法，这种思想方法贯穿在解决本章应用问题的始终.在高考中，运用分类计数原理和分步计数原理结合排列组合知识解决排列组合相关的应用题，通常不单独命题.【学法点拨】对两个原理的掌握和运用，是学好本单元知识的一个关键.从思想角度看，分类计数原理的运用是将一个问题进行“分类”的思考，分步计数原理是将问题进行“分步”的思考，从而达到分析问题、解决问题的目的.从集合的角度看，两个基本原理的意义及区别就显得更加清楚了.完成一件事有A、B两类办法，即集合A、B互不相交，在A类办法中有m1种方法，B类办法中有m2种方法，即card(A)=m1，card(B)=m2，那么完成这件事的不同方法的种数是card(A∪B)=m1+m2.这就是n=2时的分类计数原理.若完成一件事需要分成A、B两个步骤，在实行A步骤时有m1种方法，在实行B步骤时有m2种方法，即card(A)=m1;card(B)=m2，那么完成这件事的不同方法的种数是card(A·B)=card(A)·card(B)=m1·m 2.这就是n=2时的分步计数原理.两个原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数.它们的区别在于：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事;分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成.初学时，应结合实例，弄清两个原理的区别，学会使用两个原理.【基础知识必备】一、必记知识精选1.分类计数原理：做一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.2.分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.二、重点难点突破本节重点是准确理解和灵活运用分类计数原理和分步计数原理.难点是两个原理的恰当运用.两个原理的区别在于“分类”与“分步”，完成一件事的方法种数若需“分类”思考，则这n类办法是相互独立的，且无论哪一类办法中的哪一个方法都能单独完成这件事，则用加法计数.若完成这件事需分为n个步骤，这n个步骤相互依存.具有连续性，当且仅当这n个步骤依次全都完成后，这件事才完成，那么完成这件事的方法总数用乘法计算.处理具体问题时,首先要弄清是“分类”还是“分步”,简单地说是“分类互斥、分步互依”,因此在解题时,要搞清题目的条件与结论,且还要注意分类时,要不重不漏,分步时合理设计步骤、顺序,使各步互不干扰.对于一些较复杂的题目,往往既要分类又要分步,也就是说既要应用分类计数原理又要运用分步计数原理.三、易错点和易忽略点导析由于对两个原理理解不清,解题时,易发生分类不全和分类时各类有叠加现象的错误,即“遗漏”或者“重复”.【例1】有红、黄、蓝旗各3面,每次升一面、二面、三面在某一旗杆上纵向排列，表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号?错解：可组成3×3×3=27种不同的信号.正确解法：每次升1面旗可组成3种不同的信号;每次用2面旗可组成3×3=9种不同的信号;每次升3面旗可组成3×3×3=27种不同的信号.根据分步计数原理得共可组成3+9+27=39种不同的信号.错解分析：错解忽略了信号可分为使用的旗数分别可以为1面、2面、3面这3类.本题综合应用了乘法原理和加法原理.【例2】在3000到8000之间有多少个无重复数字的奇数?错解：分三步完成，首先排首位有5种方法，再排个位有5种方法，最后排中间两位有8×7种方法，所以共有5×5×8×7=1400个.正确解法：分两类;一类是以3、5、7为首位的四位奇数，可分三步完成：先排首位有3种方法，再排个位有4种方法，最后排中间两个数位有8×7种方法，所以共有3×4×8×7=672个.另一类是首位是4或6的四位奇数，也可以3步完成，共有2×5×8×7=560个.由分类计数原理得共有672+560=1232个.错解分析：由题意，3、5、7这三个数既可以排在首位，也可以排在个位，因此，首位是用3、5、7去填.还是用4、6去填，影响到第二步，即填个位的方法数，遇到此类情形,则要分类处理.错解中有重复排上同一个奇数的四位数而产生错误.【例3】编号为1～25的25个球摆成五行五列的方阵，现从中任选3个球，要求3个球中任意两个都不在同一行也不在同一列，有多少种不同的选法?错解：分以下三步完成：(1)选取第一个球，可在25个球中任意选取，有25种选法;(2)选取第二个球，为了保证两球不在同一行也不在同一列，将第一个球所在的行和列划掉，在剩余的16个球中任取一个，有16种选法;(3)选取第三个球，应从去掉第一、二个球所在的行和列后所剩余的9个球中选取有9种选法.根据乘法原理，有25×16×9=3600种方法.正确解法：分以下三个步骤：(1)先从5行5列中选出3行有10种选法;(2)从一行的5个球中选出3个球,有10种选法;(3)最后从所选出的3个球中按照它所在列放在第(1)步选出3行的每一行上有6种方法.根据乘法原理有10×10×6=600种选法.错解分析：错解中先选一球,假定此球为①,第二步去掉球①所在的行和列，在剩余的16个球中任选一个球，假定选取了球(25),第三步在去掉球①与(25)所在的两行、两列16个球，在剩余的9个球中任选一球，假定为球(13),则此选法为①(25)(13)，若第一步选(13)，第二步选①,第三步选(25)，显然这两种选法是相同结果.这说明上述解法中有许多重复之处.所以,解法是错误的,每一不同取法在错解中都被重复了6次.【综合应用创新思维点拨】一、学科内综合思维点拨【例1】三边长均为整数，且最大边长为11的三角形共有( )A.25个B.26个C.36个D.37个思维入门指导：设另两边长分别为x,y，且不妨设1≤x≤y.由三角形的特性，必须满足x+y≥12，以下可以分类考虑.解：当y取11时，x=1，2，3，…，11，可有11个三角形.当y取10时，x=2，3，…，10，可有9个三角形.当y取6时，x=6可有1个三角形.因此，所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36个，故应选C.点拨：本题应用了“穷举法”，这也是解决排列组合应用题的一个基本方法.二、学科间综合思维点拨【例2】 DNA分子多样性表现在碱基的排列顺序的千变万化上.若一个DNA分子有8000个碱基，则由此组成的DNA 的碱基对的排列方式共有( )种.A.2100B.24000C.48000D.44000解：选D.点拨：每个碱基可互配对及自配对.三、应用思维点拨【例3】 (1)有5名同学报名参加4个课外活动小组，若每人限报1个，共有多少种不同的报名方法?(2)5名同学争夺4项竞赛冠军，冠军获得者共有多少种可能?思维入门指导：(1)每名同学确定参报课外活动小组项目可依次让每个同学去报.因此，可划分为五个步骤.(2)可依次为四项冠军确定人选，这样，可分4步完成.解：(1)每名同学在四个项目中可任报一项，即每一步有4种方法，根据分步计数原理，不同的报名方法共有：N=4×4×4×4×4=45=1024种.(2)为每一个冠军寻找人选均有5种可能,因此,根据分步计数原理,冠军获得者共有：N=5×5×5×5=54=625种.四、创新思维点拨【例4】 (1)有面值为五分、一角、二角、五角、一元、二元、五十元、一百元人民币各一张,共可组成多少种不同的币值?(2)有一角、二角、五角人民币各一张,一元人民币3张,五元人民币2张,一百元人民币2张,由这些人民币可组成多少种不同的币值?思维入门指导：(1)中的8张人民币的面值各不相同,并且这8张人民币中任意几张的面值之和各不相同.因此，8张人民币所组成的不同币值的数种就是人民币所有可能取法的数种.对每一张人民币而言，都有“取”与“不取”两种可能.因此，可按这样的程序：(2)中这10张人民币一元的有3张，五元的有2张，一百元的有2张.因此取人民币的程序应该是：解：(1)每张人民币均有“取”与“不取”两种可能，所以有2×2×2×2×2×2×2&t imes;2=28.而其中每一张都不取，不组成币值，所以不同的币值数为;N=28-1=255(种).(2)第一、二、三步都只有“取”与“不取”这两种情况，第四步取一元的3张中，可分“不取”、“取一张”、“取二张”、“取三张”这四种情况，第五步与第六步都有3种情况，且每步都不取不构成币值.所以不同的币值数：N=2×2×2×4×3×3-1=287种.点拨：此题若“分类”思考，特别是第(2)问，则较麻烦.此法为“间接法”.五、高考思维点拨【例5】 (2019，河南)将3种作物种植在如图10-1-1所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有______ 种(以数字作答).解：设从左到右五块田中要种a、b、c三种作物，不妨先设第一块种a,则第2块可种b或c，有两种选法.同理，如果第二块种b，则第三块可种a和c，也有两种选法，由乘法原理共有：1×2×2×2×2=16.其中要去掉ababa和acaca两种方法，故a种作物种在第1块田时有16-2=14种方法.同样b和c也可种在第1块田中，故共有：14×3=42种.点拨：本小题主要考查运用乘法原理分析解决问题的能力.六、经典类型题思维点拨【例6】如图10-1-2所示，从A地到B地有3条不同的道路,从B地到C地有4条不同的道路，从A地不经B地直接到C地有2条不同的道路.(1)从A地到C地共有多少种不同的走法?(2)从A地到C地再回到A地有多少种不同的走法?(3)从A地到C地再回到A地，但回来时要走与去时不同的道路，有多少种走法?(4)从A地到C地再回到A地，但回来时要走与去时完全不同的道路，有多少种走法?思维入门指导：要综合应用两个原理.解：(1)从A到C地的走法分为两类：第一类经过B，第二类不经过B.在第一类中分两步完成，第一步从A到B，第二步从B到C，所以从A地到C地的不同走法总数是3×4+2=14种.(2)该事件发生的过程可以分为两大步，第一步去，第二步回.由(1)可知这两步的走法都是14种，所以去后又回来的走法总数是14×14=196种.(3)该事件的过程与(2)一样可分为两大步，但不同的是第二步即回来时的走法比去时的走法少1种，所以，走法总数是14×13=182种.(4)该事件同样分去与回两大步，但须对去时的各类走法分别讨论：若去时用第一类走法，则回来时，用第二类方法或用第一类中的部分走法，即第一类中的两步各去掉1种走法中的走法，这样的走法数是：3×4×(2+3×2)=96种;若去时用第2类走法，则回来时可用第一类走法或用第二类中的另一种走法.这样的走法数是：2×(4×3+1)=26种.所以，走法总数为96+26=122种.点拨：正确区分“不同”与“完全不相同”两种含义是解题的另一个关键，前者的含义是回来时不能原路返回，但允许有部分是原路，后者的含义是去时走过的路，回来时都不能走，前者包含后者.七、探究性学习点拨允许元素重复出现的排列，叫做有重复的排列.在m个不同的元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排,那么第一，第二，…，第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同的元素中,每次取出n个元素的可重复的排列数为=mn.【例7】有数学、物理、文学3个课外活动小组,6个同学报名,每人限报一组,一共有多少种报名的方法?解：这就是有重复的排列.第一个同学有3种报名的方法,无论他报了哪一个组,第二个同学还是有3种报名的方法,其余类推.所以,一共有36=729种报名的方法.思考题：用0,1,2,…,9共10个数字中的4个数字组成电话号码,但0000不能作号码,问可编成多少个号码?【强化练习题】A卷：教材跟踪练习题(100分 45分钟)一、选择题(每题5分，共50分)1.把10个苹果分成三堆，每堆至少1个，至多5个，则不同的分堆方法共有( )A.4种B.5种C.6种D.7种2.现有四种不同款式的上衣与三件不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的选法数为( )A.7B.64C.12D.813.有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位教师均不在本班监考，则安排监考的方法总数是( )A.8B.9C.10D.114.某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成1注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花( )A.3360元B.6720元C.4320元D.8640元5.如图10-1-3，在儿童公园中有四个圆圈组成的连环道路，从甲走到乙，不同路线的走法有( )A.2种B.8种C.12种D.16种6.将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有( )A.34种B.43种C.18种D.36种7.设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球投入这五个盒内，要求每个盒内投放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为( )A.20B.30C.60D.1208.已知集合A={1,-2,3}，B={-4,5,6,-7}，从两集合中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中第一、第二象限内不同点的个数有( )A.18B.16C.10D.149.北京某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到两台，不同送法的种数共有( )A.10种B.9种C.8种D.6种10.某大学的信息中心A与大学各部门、各院系B、C、D、E、F、G、H、I之间拟建立信息联网工程，实际测算的费用如图10-1-4所示(单位：万元)，若不建立部分网线也能使中心与各部门、各院系都能相通(直接或中转)，则最小的建网费用(万元)是( )A.12B.13C.14D.16二、填空题(每题5分，共10分)11.已知集合A={a，b，c，d，e}，B={-1，0，1}，则从集合A到集合B的不同映射有____个.12.72的正约数(包括1与72)有________个.三、解答题(每题20分，共40分)13.(1)由数字1，2，3可组成多少个三位数?(2)由0，1，2，…，9可组成多少个不同的四位数码?(数字可重复使用)(3)由0，1，2，…，9可组成多少个不同的四位数码?(数字不可重复使用)14.用n种不同颜色为下列两广告牌着色(如图10-1-5)，要求①②③④个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色.(1)n=6时，为甲着色时，共有多少种不同方法?(2)若为乙着色时，共有120种不同方法，求n的值.B卷：综合应用创新练习题(100分 60分钟)一、学科内综合题(每题8分，共16分)1.从{-3，-2，-1，0，1，2，3｝中任取3个不同的数作为抛物线方程y=ax2+bx+c(a≠0)的系数，如果抛物线过原点且顶点在第一象限,则这样的抛物线共有多少条?2.正方体ABCD一A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有( )A.3条B.12条C.6条D.9条二、学科间综合题(6分)3.如图10-1-6为一电路图，从A到B共有______条不同的单线路可通电.4.用1克砝码1个,2克码1个，5克码5个，50克码4个，共可称量多少种不同重量(按天平使用规则，砝码只能放在右边)?四、创新题(54分)(一)教材变型题(12分)5.(P85例1变型)设有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的油彩画.(1)从中任选一幅布置房间，有多少种不同的选法?(2)从这些画中，各选一种不同类的三幅画布置房间，有几种不同的选法?(3)从这些画中，选出两种不同类的各一幅画布置房间，有多少种不同的选法?(二)一题多解(8分)6.甲、乙、丙、丁4人各写一张贺年卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺年卡，共有多少种不同取法?(三)一题多变(9分)7.某组有3名男生，4名女生.(1)从中选男生、女生各一名去开会，有多少种不同选法?(2)从中选一人去领奖，有多少种选法?(3)从中选正副组长各一人，男女不限，有多少种不同的选法?(四)新解法题(9分)8.如图10-1-7，在某个城市中，M、N两地之间有整齐的道路网，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N不同的走法总数有多少种?(五)新情境题(每题8分，共16分)9.用10元，5元,1元来支付20元，不同支付方法共有多少种?10.如图10-1-8，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可以沿不同路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为( )A.26B.24C.20D.19五、高考题(每题8分，共16分)11.(2019，北京)某班试用电子系统选举班干部候选人,全班k名同学都有选举权和被选举权;他们的编号分别为1，2,3，…，k,规定：同意按“1”,不同意(舍弃权)按“0”，令aij=其中i=1，2，…，k,j=1，2，…，k，则同时同意第1、2号同学当选的人数为( )A.a11+a12+…+a1k+a21+a22+…+a2kB.a11+a21+…+ak1+a12+a22+…+ak2C.a11a12+a21a22+…+ak1ak2D.a11a21+a12a22+…+a1k a2k12.(2019，上海)从集合{0，1，2，3，5，7，11}中任选3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过原点的直线有______ 条(结果用数值表示).【课堂内外】费马大定理1637年左右,17世纪最伟大的数学家之一费马，在阅读古希腊人丢番图的巨著《算术》中第二卷的第八个问题“将一个平方数分为两个平方数”时，在问题旁边的空白处，写道“然而此外，一个立方数不能分拆成两个立方数，一个四次方数不能分拆成两个四次方数，一般地说，任何次数大于二的高次方数都不可分拆成两个幂次相同的数.我已经找到这一定理的绝妙证明，可惜这里空白太狭小，写不下”用现代数学术语描述就是“xn+yn=zn，当n>2时，无整数解”.这一段看似平淡的注解就是著名的费马大定理.自1665年费马大定理发表后，多少数学家为之花费了大量时间乃至毕生精力，他们的研究或是失败或是将定理向前推进，但一直未彻底解决，直到有了高速计算机后，费马大定理的证明才有了突破性进展.1955年前后，三位日本数学家曾猜想：“有理数域上所有椭圆曲线都是模曲线”.到了80年代中期，德国数学家费雷证明了若干猜想成立,则可以推出费马大定理.1994年普林顿大学的数学教授维尔斯成功地证明了此猜想，从而证明了这一千古难题.参考答案A卷一、1.A 点拨：按每堆苹果的数量可分为4类，即1，4，5;2，3，5;3，3，4;2，4，4，且每类中只有一种分法，故选A.2.C 点拨：因为在四件上衣中任取一件有4种不同的方法，再在三件长裤中任取一件有3种不同的取法，要完成配套，由分步计数原理可得有4×3=12种不同的方法.3.B 点拨：由分步计数原理可得3×3=9种.此题也可以用穷举法把情况一一列举出来.4.D 点拨：这种特殊要求的号共有8×9×10×6=4320注，因此至少需花钱4320×2=8640元.5.D 点拨：在每圆圈两侧均各有一条路可供选择，因此从甲地到乙地共有2×2×2×2 =16种不同的路线.6.D 点拨：将4个不同的小球放入3个盒子中，每个盒子至少放1个，则必有一个盒子放两个球，另两个盒子各放入1个球.因此可先将4个球分为2，1，1的三堆，设四个小球为A，B，C，D，则可分为：AB，C，D;AC，B，D;AD，B，C;BC，A，D;BD，A，C;CD，A，B共6种.又将它们装入三个不同的盒子中，选一种情况放入编号盒中，1，2，3，AB，C，D;AB，D，C;C，AB，D;C，D，AB;D，AB，C;D，C，AB共6种放法.故共有6×6=36种放法.7.A 点拨：先从5个球中选出2个球放入与它们编号相同的盒子中，有10种方法，再把余下的三个球放入与它们编号不相同的3个盒子中，有2种放法，根据分步计数原理知共有2×10=20种放法.8.D 点拨：第一、第二象限点须y>0，这些点可分为x∈A，y∈B与x∈B，y∈A的两类.前者有3×2=6种，后者有2×4=8种，所以共有6+8=14种.9.A 点拨：每所学校可得电视台数有3类情形：①5，2，2台，有3种送法;②4，3，2台，有6种送法;③3，3，3台，有1种送法.所以一共有3+6+1=10种不同的送法.10.B 点拨：最小费用时信息联网工程如答图10-1-1，还有其他情形未画出.二、11.243 解：由映射定义，A中每一个元素在B 中的象都有3个可能，所以可建立不同映射个数为35=243.12.12 解：72=22×32，72的正因数具有形式为2a3b的数，其中a∈{0，1，2，3}，b∈{0，1，2}，因此，共有正因数4×3=12个.三、13.解：(1)利用填框图的方法，分三步完成填得一个三位数，百位数，十位数，个位数每一个数位均有3个填法，依分步计数原理，共有33=27个三位数.(2)可组成104=10000个四位数码.(3)因数字不可重复使用，故可组成10×9×8×7=5040个四位数码.14.解：(1)完成着色这件事共分四个步骤：为①着色有6种，为②着色有5种，为③着色有4种，为④着色也有4种，故共有着色方法6×5×4×4=480种.(2)与(1)不同在于④有三块相邻的区域了，则不同的着色是n(n-1)(n-2)(n-3).由题设，n(n-1)(n-2)(n-3)=120，(n2-3n)(n2-3n+2)=120.令n2-3n=t，则t2+2t-12×10=0，∴t=10.∴n2-3n=10.∴n=5.(n=-2舍去)B卷一、1.解：抛物线y=ax2+bx+c过原点，且顶点在第一象限，a、b、c应满足所以分三步，a=-3，-2，-1，b=1，2，3，c=0.所以，抛物线的条数为3×3×1=9.2.C 解：在底面有BC，CD，B1C1，C1D1，在侧面有BB1，DD1与对角线AC1异面.二、3.解：从A到B共有3+1+2×2=8条不同的单线路可通电.三、4.解：每一重量只能由砝码的一种组合构成，因不同的重量数仅仅与所选用的不同砝码的个数有关，不同的砝码数构成不同的重量数，同一重量数不会有多种称法.这样本题可转化为怎样选取这些砝码.对1克的砝码有取与不取两种方法，对2克砝码也有2种，对5克砝码有6种取法，50克砝码有5种取法，但均不取是无法称重的，所以.可称重的不同质量数为2×2×6×5-1=119种.四、(一)5.解：(1)做完这件事有三类方法：选国画、油画或选水彩画，根据分类计数原理，一共有5+2+7=14种方法.(2)完成选三幅不同的画布置房间有三个步骤：第一步选国画，第二步选油画，第三步选水彩画.根据分步计数原理，共有5×2×7=70种方法.(3)一共有5×2+5×7+2×7=59种方法.(二)6.解：如下表：人甲乙丙丁卡乙甲丙丁丁丁甲丙甲丙思路1：排出所有的分配方案，用穷举法得本题解.思路2：甲取乙卡分配方案如表所示，此时乙有甲、丙、丁3种取法，若乙取甲，则丙取丁，丁取丙，故有3种分配方案.由分类计数原理，共有3+3+3=9种.思路3：分步法：第一步甲取1张不是自己的卡，有3种取法，第2步由甲取出的那张贺卡的供卡人取，也有3种取法，第三步由剩余两人中任一人去取，此时，只有一种取法，第四步最后一人取也只有一种取法，所以共有3×3×1×1=9种.点拨：这类问题一般情况是：n个编号为1，2，…，n的小球放入编号为1，2，…，n的盒子中，而限制第i(i=1，2，…，n)个球不放入第i个盒子里，问共有多少种放法?一般结论是A-A+A-…+(-1)nA.(此点用到下节排列的知识)(三)7.解：(1)3×4=12种.(2)3+4=7种.(3)7×6=42种.(四)8.解：如答图10-1-2，从M到A1，A2，A3，A4，A5的走法分别有1，2，3，4，5种，然后从Ai(i=1，2，3，4，5)到N的走法都只有一种，所以，由两个原理得从M到N 的走法共有1×1+2×1+3×1+4×1+5×1=1 5种.点拨：本题求解的关键是把M到N分成两步走.(五)9.解：支付方法可分为三类：第一类为只使用10元或只使用5元或只用1元来支付，有3种方法;第二类是使用其中的两样，使用10元和5元的支付与使用10元和1元的支付，都各有1种方法，使用5元和1元的支付有3种方法，若使用10元、5元，1元三样支付，则只有1个方法，所以共有3+5+1=9种支付方法.10.D 点拨：该题是规划问题，对于我们是一个陌生情境，其实只要把“传递的最大信息量”类比成“水流量”的“瓶颈”问题，即一条水管所流过的水量等于水管中最窄。
等差数列及其求和精讲精析篇(含解析)
等差数列及其求和精讲精析点点突破热门考点01 数列的概念与通项公式1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列{}n a.对数列概念的理解(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列1n na a+>其中n∈N＋递减数列1n na a+<常数列1n na a+=按其他标准分类有界数列存在正数M ，使n a M ≤摆动数列n a 的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…3．数列是一种特殊的函数数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集N *和正整数集N *的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. 4.数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即()n a f n =,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式. 5.数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩【典例1】（2020·安徽蚌埠 高三其他（文））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，121n S n n+=+，则17a a +=（ ） A ．30 B ．29C ．28D ．27【答案】B 【解析】121n S n n+=+，∴ 221n S n n =+-， ∴ 21121112a S ==⨯+-=，22776(2771)(2661)27a S S =-=⨯+--⨯+-=, ∴ 1729a a +=，故选：B【典例2】（2017·上海高考真题）已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =________【答案】2 【解析】由2n a n =，若对于任意{},n n N b +∈的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则2()n n a b n b a b ==，则22221429311641()(),(),,()b b b b b b b b ===== 所以2149161234()b b b b b b b b =，所以21491612341234123412341234lg()lg()2lg(2lg()lg()()lg )b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b ===. 【总结提升】1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用()1n-或()11n +-来调整．2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.热门考点02 数列的性质数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，因此，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 数列的性质主要指：1.数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列；2.数列的周期性.【典例3】（2019·内蒙古高二期中（文））已知数列{}n a 中，2n a n n λ=-，若{}n a 为递增数列，则λ的取值范围是（ ） A ．(),3-∞ B ．(],3-∞ C ．(),2-∞ D ．(],2-∞【答案】A【解析】由已知得221(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+-+-+=+-，因为{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，即210n λ+->恒成立， 所以21n λ<+，所以只需()min 21n λ<+，即2113λ<⨯+=， 所以3λ<， 故选：A.【典例4】（2020·全国高考真题（理））0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12na a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i +==成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ）A ．11010B ．11011C ．10001D ．11001【答案】C 【解析】由i m i a a +=知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m =，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k +===∑对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=≤∑52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a +===++++=++++=∑，不满足；故选：C 【总结提升】1.解决数列的单调性问题可用以下三种方法(1)用作差比较法，根据a n ＋1－a n 的符号判断数列{a n }是递增数列、递减数列或是常数列． (2)用作商比较法，根据1n na a ＋ (a n ＞0或a n ＜0)与1的大小关系进行判断． (3)结合相应函数的图象直观判断． 2.解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 3.求数列最大项或最小项的方法(1)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)找到数列的最大项； (2)利用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≥a n ，a n ≤a n ＋1(n ≥2)找到数列的最小项． 3.前n 项和最值的求法(1)先求出数列的前n 项和n S ，根据n S 的表达式求解最值；(2)根据数列的通项公式，若0m a ≥，且10m a +<，则m S 最大；若0m a ≤，且10m a +>，则m S 最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.热门考点03 由递推公式推导通项公式【典例5】（2018·上海市第二中学高一月考）在数列{}n a 中，11a =，()*11nn na a n N a +=∈+，则这个数列的通项n a ，可以是（ ） A ．1nB ．121n - C ．12n n+ D ．2n 【答案】A 【解析】∵11n n n a a a +=+，等式两边同时取倒数得：1111n n a a +=+，则()*1111n nn a a N +∈-=， ∴132211-121111111111+n n n n n a a a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 111111+1nn a ⇒=++++=，1n a n⇒=， 当1n = 时，1111a == 亦成立，综上所述()*1n a n N n=∈ 故选：A.【典例6】（2020·全国高三二模（文））已知数列{}n a 满足：11a =，2123n n a a a a n a ++++=.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n a 的前n 项和n S . 【答案】（1）2(1)n a n n =+，（2）21n nS n =+ 【解析】（1）令123n n S a a a a =++++，则2n n S n a =，当2n ≥时，211(1)n n S n a --=-，所以2211(1)n n n n S S n a n a ---=--，即221(1)(1)n n n a n a --=-，所以221(1)111n n a n n a n n ---==-+， 所以32412311231,,,,3451n n a a a a n a a a a n --===⋅⋅⋅=+， 所以3241231123213451n n a a a a n n a a a a n n ---⋅⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯+， 因为 11a =，所以2(1)n a n n =+，1a 满足此式，所以2(1)n a n n =+；（2）因为2112(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以12311111212231n n S a a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝=⎭++⎣++⎦122111n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭【总结提升】递推公式推导通项公式方法： （1）累加法：1()n n a a f n +-=（2）累乘法：1()n na f n a += （3）待定系数法：1n n a pa q +=+（其中,p q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. （4）待定系数法： n n n q pa a +=+1（其中,p q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）. （或1n n n a pa rq +=+其中,,p q r 均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以1+n q ，得：111n n n na a p q q q q++=⋅+，令n n n q a b =，得：q b q p b n n 11+=+，再按第（3）种情况求解.（5）待定系数法：b an pa a n n ++=+1(100)p a ≠≠，， 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列.（6）待定系数法：21(0,1,0)n n a pa an bn c p a +=+++≠≠解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令221(1)(1)()n n a x n y n z p a xn yn z ++++++=+++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}2n a xn yn z +++是公比为p 的等比数列.（7）待定系数法：n n n qa pa a +=++12（其中,p q 均为常数）.解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中,s t 满足s t pst q +=⎧⎨=-⎩，再按第（4）种情况求解.（8）取倒数法：1()()()nn n g n a a f n a t n +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.（11()()()0n n n n g n a t n a f n a a +++-=，解法：等式两边同时除以1n n a a +⋅后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数rn n pa a =+1)0,0(>>n a p解法：这种类型一般是等式两边取以p 为底的对数，后转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.热门考点04 由前n 项和公式推导通项公式，即n a 与n S 的关系求通项n a【典例7】（2019·榆林市第二中学高二期中（理））已知数列{a n }的前n 项和21n S n n =-+，则这个数列的通项公式为（ ） A ．21n a n =- B ．12n naC ．22n a n =-D ．1,122,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩【答案】D 【解析】当1n =时，111111a S ==-+=当2n ≥时，()()221111122n n n a S S n n n n n -=-=-+--+--=-1a 不满足22n a n =- 1,122,2n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩故选：D 【规律方法】已知S n 求a n 的三个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1.(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式． (3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．．热门考点05 等差数列的有关概念1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示.用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥.2.等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-；说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列.3.等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项,其中2a bA +=. a ，A ，b 成等差数列⇔2a bA +=. 4.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 5.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．【典例8】（2019·山东高三期中）已知等差数列{}n a 中，()12n n n a a -≥>，若324314a a a ==，，则1a =( ) A ．1- B ．0 C ．14D ．12【答案】B 【解析】设公差为d ，则2224333()().a a a d a d a d =-+=-因为324314a a a ==，，所以23=14d -，则214d =.由()12n n n a a -≥>，可得0d >，所以12d =.所以13121202a a d =-=-⨯=.故选：B.【典例9】（2018·北京高考真题（理））设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为__________． 【答案】63n a n =- 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，13334366a d d d =∴+++=∴=，，，36(1)6 3.n a n n ∴=+-=-【总结提升】1.等差数列的四种判断方法(1) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列; (3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔{}n a 是等差数列;(4)前n 项和公式：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔{}n a 是等差数列;(5){}n a 是等差数列⇔n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件.2..运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算．热门考点06 等差数列的前n 项和等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 【典例10】（2020·全国高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若1262,2a a a =-+=，则10S =__________．【答案】25 【解析】{}n a 是等差数列，且12a =-，262a a +=设{}n a 等差数列的公差d根据等差数列通项公式：()11n a a n d +-= 可得1152a d a d +++= 即：()2252d d -++-+= 整理可得：66d = 解得：1d =根据等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N -=+∈ 可得：()1010(101)1022045252S ⨯-=-+=-+=∴1025S =.故答案为：25.【典例11】（2020·海南省高考真题）将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________． 【答案】232n n - 【解析】因为数列{}21n -是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列{}32n -是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{}n a 是以1为首项，以6为公差的等差数列， 所以{}n a 的前n 项和为2(1)16322n n n n n -⋅+⋅=-， 故答案为：232n n -. 【总结提升】1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足100n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设n a 为最大项，则有11n n nn a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设n a 为最小项，则有11n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.5.等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-及前n 项和公式11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题.6.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+；四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++.这对已知和,求数列各项,运算很方便.热门考点07 等差数列的相关性质1.等差数列的性质：（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠；（4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+,特殊地，2m p q =+时，则2m p q a a a =+，m a 是p q a a 、的等差中项.（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即232,,n n n n n S S S S S --成等差数列. （6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． （7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．2．设数列{}n a 是等差数列，且公差为d ，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有2n 项，则①-S S nd =奇偶； ②1n n S a S a +=奇偶；（Ⅱ）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S S -偶奇n a a ==中(中间项)；②1S nS n =-奇偶. 3.(),p q a q a p p q ==≠,则0p q a +=,m n m n S S S mnd +=++.4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．5.若{}n a 与{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 与'n S ，则2121'm m m m a S b S --=. 6．等差数列的增减性：0d >时为递增数列，且当10a <时前n 项和n S 有最小值．0d <时为递减数列，且当10a >时前n 项和n S 有最大值．【典例12】（2020·哈尔滨德强学校高一期末）在等差数列{}n a 中，若34567750a a a a a ++++=，则28a a +=（ ）A ．360B ．300C ．240D ．200【答案】B 【解析】因为34567750a a a a a ++++=，37465282a a a a a a a ++==+= 所以28300a a += 故选：B【典例13】（2019·榆林市第二中学高二期中（理））等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝20，S 20＝15，则S 30＝（ ） A ．10 B ．30-C ．15-D ．25【答案】C 【解析】由题意知：10S ，1200S S -，3020S S -成等差数列()()20101030202S S S S S ∴-=+-，即30102015S -=+-，解得：3015S =-故选：C【典例14】（2014·北京高考真题（理））若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =__________时，{}n a 的前n 项和最大．【答案】8 【解析】由等差数列的性质，，，又因为，所以所以，所以，，故数列的前8项最大.【温馨提醒】等差数列的性质主要涉及“项的性质”和“和的性质”，因此，要注意结合等差数列的通项公式、前n 项和公式求解．热门考点08 等差数列综合问题【典例15】（2020·河南林州一中高二月考（理））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，318S =. （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1302n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最小值. 【答案】（1）42n a n =-；（2）225- 【解析】（1）方法一：由()1333182a a S +==， 又因为12a =，所以310a =. 所以数列{}n a 的公差31102422a a d --===， 所以()()1121442n a a n d n n =+-=+-⨯=-. 方法二：设数列的公差为d . 则3113322S a d =+⨯⨯. 32318d =⨯+=.得4d =.所以()()1121442n a a n d n n =+-=+-⨯=-. （2）方法一：由题意知()1130423023122n n b a n n =-=--=-. 令10,0.n n b b +≤⎧⎨>⎩得()2310,21310.n n -≤⎧⎨+->⎩解得293122n <≤. 因为*n N ∈，所以15n =. 所以n T 的最小值为()()()151215...2927...1225T b b b =+++=-+-++-=-.方法二：由题意知()1130423023122n n b a n n =-=--=-. 因为()[]121312312n n b b n n +-=+---=⎡⎤⎣⎦， 所以数列{}n b 是首项为129b =-，公差为2的等差数列. 所以()()22129230152252n n n T n n n n -=-+⨯=-=--. 所以当15n =时，数列{}n b 的前n 项和n T 取得最小值， 最小值为15225T =-.【典例16】（2019·甘肃兰州一中高二期中）已知数列{}n a 中148,2a a ==，且满足212n n n a a a +++=. (1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 设n S 是数列{}na 的前n 项和，求nS.【答案】(1) *210()n a n n N =-+∈；(2) 229(5)940(6)n n n n S n n n ⎧-+≤=⎨-+≥⎩ . 【解析】（1）由题意得数列｛n a ｝是等差数列，4141a a d -==-－2， *210()n a n n N ∴=-+∈；（2）令0,5n a n ≥≤得,即当5n ≤时，0n a ≥，6n ≥时，0n a <， ∴当5n ≤时，n 12S a a =++…＋n a =12+n a a a ++=－29n n +当6n ≥时， 12n n S a a a =+++=125+a a a ++－（67+n a a a ++）12=(+)n a a a -++125+2(+)a a a ++()229220940n n n n =--++⨯=-+229(5)940(6)n n n n S n n n ⎧-+≤∴=⎨-+≥⎩ .【典例17】（2019·全国高考真题（文））记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围． 【答案】（1）210n a n =-+； （2）110()n n N *≤≤∈. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意有111989(4)224a d a d a d ⨯⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩， 解答182a d =⎧⎨=-⎩，所以8(1)(2)210n a n n =+-⨯-=-+，所以等差数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+； （2）由条件95S a =-，得559a a =-，即50a =，因为10a >，所以0d <，并且有5140a a d =+=，所以有14a d =-， 由n n S a ≥得11(1)(1)2n n na d a n d -+≥+-，整理得2(9)(210)n n d n d -≥-， 因为0d <，所以有29210n n n -≤-，即211100n n -+≤， 解得110n ≤≤，所以n 的取值范围是：110()n n N *≤≤∈【总结提升】求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足10n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小值.2.利用等差数列的前n 项和：2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设n a 为最大项，则有11n n nn a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方法：设n a 为最小项，则有11n n nn a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =依次看成数列{}n S ，利用数列中最大项和最小项的求法即可.4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.热门考点09 等差数列与数学文化【典例18】（2020·浙江平阳 高三其他）我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少?在这个问题中，最下面一节容量是______，九节总容量是______. 【答案】9566 20122【解析】设由下到上九节容量分别记为129,,...,a a a ，则129,,...,a a a 成等差数列，设公差为d ，且1234a a a ++=，67893a a a a +++=，即1231334a a a a d ++=+=，678914263a a a a a d +++=+=，所以19566a =，766d =-，故91982019222S a d ⨯=+= 故答案为：9566；20122【典例19】（2020·浙江湖州 高二期末）《张丘建算经》卷上有一题：今有女善织，日益功疾，初日织五尺，金一月日织九匹三丈意思就是说：有一位善于纺织的女子，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织了5尺布，现在一个月共织了390尺布（按30天计），记该女子第n 天织布的量为n a ，则1318a a +=_________，每天比前一天多织布________尺.【答案】26 1629【解析】由题数列{}n a 是公差为d 等差数列，则1303030()3902a a S +==，得13026a a +=，故1318a a +=13026a a +=，又15a =，得3021a =129a d =+，得21529d =+， 得1629d =. 故答案为：26；1629. 【规律总结】数学文化中的等差数列，主要涉及通项公式、求和公式基本量的计算，认真阅读题干，注意转化是关键.巩固提升1．（2020·全国高三课时练习（理））已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138 B ．135C ．95D ．23【答案】C 【解析】 ∵24354{10a a a a +=+=，∴1122{35a d a d +=+=，∴14{3a d =-=， ∴1011091040135952S a d ⨯=+⨯=-+=． 2.（北京高考真题（理））已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么10a 等于（ ） A ．165- B ．33- C ．30- D ．21-【答案】C 【解析】∵对任意的p ，q ∈N *，满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，∴p ＝q ＝n 时，有a 2n ＝2a n ． 又a 2＝－6，∴a 8＝2a 4＝4a 2＝－24，故a 10＝a 2＋a 8＝－30．3．（2020·全国高三二模（文））已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，248a a ⋅=，515S =，则10a =（ ） A ．10 B ．4-C ．10或4-D ．10-或4【答案】C 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则()()()()1111383385101532a d a d d d a d a d⎧⎧++=-+=⇔⎨⎨+==-⎩⎩211d d ⇒=⇒=或1d =-. 当1d =时，11a =，所以n a n = 当1d =-时，15a =，所以6n a n =- 所以1010a =或4-. 故选：C4．（2020·全国高三三模（文））记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若311a =，675S =，则12a =（ ） A ．28 B ．31C ．38D ．41【答案】C 【解析】由题知：3161211656752a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，解得153a d =⎧⎨=⎩. 所以12511338=+⨯=a . 故选：C5．（2020·全国高三其他（理））已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若77217S a =-，则10S =（ ） A ．12 B ．15C ．18D ．21【答案】B 【解析】解：由17747772172a a S a a +=⨯==-，得473a a +=， 所以4710310101522a a S +=⨯=⨯=.故选：B .7. （2019·河北高三月考（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若20200a >，且201920200a a +<, 则满足0n S >的最小正整数n 的值为（ ） A ．2019 B ．2020C ．4039D ．4040【答案】C 【解析】20200a >，且201920200a a +<， 20190a ∴<．14039403920204039()403902a a S a +∴==>，140384038201920204038()2019()02a a S a a +==+<，则满足0n S >的最小正整数n 的值为4039． 故选：C.8．（2019·甘肃兰州一中高二期中）已知等差数列{}n a ，,,n m a m a n ==则m n a +=（ ） A ．m B ．nC ．0D ．m n +【答案】C 【解析】设等差数列的公差为d ， 由题得111(1),1,1(1)a n d md a m n a m d n +-=⎧∴=-=+-⎨+-=⎩.所以1(1)(1)0m n a m n m n +=+-++-⨯-=. 故选：C9.（2019·全国高考真题（理））记为等差数列的前n 项和．已知，则（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】分析：等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，，，排除B ，对C ，，排除C ．对D ，，排除D ，故选A ．详解：由题知，，解得，∴，故选A ．10.（2009·宁夏高考真题（文））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m m a a a -++-=，2138m S -=，则m =（ ） A ．38 B ．20 C ．10 D ．9【答案】C 【解析】因为{}n a 是等差数列，所以112m m m a a a -++=，则由2110m m m a a a -++-=可得220m m a a -=，解得0m a =或2m a =.因为12121(21)(21)382m m m a a S m m a --+=⨯-=-=，所以0m a ≠，故2m a =.代入可得，2(21)38m -=，解得10m =11．（2020·江苏盐城 高二期末）【多选题】设d ，n S 分别为等差数列{}n a 的公差与前n 项和，若1020S S =，则下列论断中正确的有（ ） A ．当15n =时，n S 取最大值 B ．当30n =时，0n S = C ．当0d >时，10220a a +> D ．当0d <时，1022a a >【答案】BC 【解析】因为1020S S =，所以111092019102022a d a d ⨯⨯+=+，解得1292a d =-. 对选项A ，因为无法确定1a 和d 的正负性， 所以无法确定n S 是否有最大值，故A 错误. 对选项B ，13030292930301529022a d S d d ⨯⎛⎫=+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭，故B 正确.对选项C ，()10221612921521502a a a a d d d d ⎛⎫+=2=+=-+=> ⎪⎝⎭， 故C 正确.对选项D ，1012918119222a a d d d d =+=-+=-， 22129421321222a a d d d d =+=-+=，因为0d <，所以10112a d =-，22132a d =-，1022a a <，故D 错误.故选：BC12．（2020·诸城市教育科学研究院高二期中）【多选题】已知n S 是等差数列{}n a (n *∈N )的前n 项和，且564S S S >>，以下有四个命题，其中正确的有（ ）A ．数列{}n S 中的最大项为10SB ．数列{}n a 的公差0d <C ．100S >D ．110S <【答案】BCD 【解析】564S S S >>，故60a <，50a >且560a a +>，故数列{}n S 中的最大项为5S ，A 错误； 数列{}n a 的公差0d <，B 正确；()()110105610502a a S a a +⨯==+>，C 正确；()111116111102a a S a+⨯==<，D 正确；故选：BCD .13．（2020·河北新华 石家庄二中高一期中）【多选题】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（ ）A ．14S 是唯一最小值B ．15S 是最小值C ．290S =D ．15S 是最大值【答案】CD 【解析】1118S S =，∴0d <，设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上，抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，∴1514S S =且为n S 的最大值，1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=，∴129291529()2902a a S a +===，故选：CD.14．（2020·山东烟台三中高二期中）【多选题】已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）. A ．100a = B ．10S 最小C ．712S S =D ．190S =【答案】ACD 【解析】13611112323661590a a S a a d a d a d +=∴++=+∴+=即100a =，A 正确；当0d <时，n S 没有最小值，B 错误；127891011121012750S S a a a a a a S S -=++++==∴=，C 正确；1191910()191902a a S a +⨯===，D 正确.故选：ACD15.（2019·全国高考真题（文））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________. 【答案】100 【解析】317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩ 101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯= 16.（2019·北京高考真题（理））设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________． 【答案】0. -10. 【解析】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得322,3a a =-=-,公差321d a a =-=,5320a a d =+=, 由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-. 17.（2018·全国高考真题（理））记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【答案】（1）a n =2n –9，（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16． 【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．18.（2017·全国高考真题（文））设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前项和． 【答案】（1）221n -；（2）221n n + 【解析】（1）数列{a n }满足a 1+3a 2+…+（2n ﹣1）a n ＝2n ．n ≥2时，a 1+3a 2+…+（2n ﹣3）a n ﹣1＝2（n ﹣1）． ∴（2n ﹣1）a n ＝2．∴a n 221n =-． 当n ＝1时，a 1＝2，上式也成立． ∴a n 221n =-． （2）21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-+-+-+． ∴数列{21n a n +}的前n 项和1111113352121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1122121n n n -=++．。
00和值到27和值的算法书
00和值到27和值的算法书随机选取一组数字并计算它们的和值是一种常见的算法。
和值是指数字的总和，通常用于统计分析和数据处理中。
本文将介绍如何使用算法计算从00和值到27和值的范围内的和值。
首先，让我们定义和值范围为从00到27。
这意味着和值的最小值为00，最大值为27。
我们需要找到一组数字的组合，使得它们的和值落在这个范围内。
一种简单的方法是使用嵌套循环来生成所有可能的数字组合。
我们可以从00开始，逐个增加数字，直到27为止。
假设我们使用两个数字作为组合的长度，我们将需要两个嵌套循环来遍历所有可能的数字。
首先，我们初始化两个循环变量i和j，它们的初始值都为0。
然后，我们开始第一层循环，从0逐个增加到27。
在每次循环中，我们开始第二层循环，从0逐个增加到27。
这样，我们就可以得到所有可能的两个数字组合。
在每次循环中，我们计算两个数字的和值，并检查它是否落在00到27的范围内。
如果是，则将组合添加到结果中。
否则，继续下一次循环。
下面是使用嵌套循环计算00和值到27和值的算法的示例代码：```result = [] # 保存结果的列表for i in range(28):for j in range(28):total = i + j # 计算两个数字的和值if total >= 0 and total <= 27: # 判断和值是否在00到27的范围内combination = (i, j) # 保存组合result.append(combination) # 将组合添加到结果列表print(result) # 输出结果```运行上述代码，我们将得到一组数字组合，它们的和值在00到27的范围内。
这些组合可以用于各种统计分析和数据处理任务。
使用嵌套循环的方法虽然可以计算从00和值到27和值的范围内的和值，但在大范围的计算中可能会显得效率较低。
因此，我们可以考虑其他算法来提高计算效率。
一种改进的方法是使用动态规划。
二维数组当中如何求每列之和的方法
二维数组当中如何求每列之和的方法1. 引言1.1 概述二维数组在许多编程领域中都是非常常见和重要的数据结构。
它由行和列组成，形成一个二维的表格。
在实际应用中，我们经常需要对二维数组进行各种操作，其中之一就是求每列的和。
求每列之和的操作在数据分析、图像处理、矩阵计算等领域中都有广泛的应用。
通过求每列之和，我们可以获取到二维数组中每列元素的总和，从而得到对整个数据集在纵向上的汇总信息。
本篇文章将介绍如何有效地求解二维数组中每列之和的方法。
我们将从定义二维数组的基本概念开始，重点探讨两种不同的方法来求解每列之和。
第一种方法是使用循环求和，通过遍历数组的每一列，将每个元素相加得到每列的总和。
第二种方法则是利用数组库函数，直接对整个数组进行求和操作。
通过本文的学习，读者将能够掌握求解二维数组每列之和的两种方法，并能够根据实际情况选择最适合的方法来进行实现。
无论是初学者还是有一定编程经验的读者，都可以通过本文的指导轻松理解和运用这些方法。
最后，我们还将总结本文的内容，并展望二维数组求和方法在其他领域中的更广泛应用。
文章结构部分的内容可以按照以下方式进行编写：1.2 文章结构本文将从引言、正文和结论三个部分进行论述。
引言部分首先概述了二维数组的定义与特点，介绍了二维数组在编程中的常见应用场景。
接下来，文章引出了求每列之和的问题，并提出了解决该问题的目的。
正文部分包括两个主要的内容，分别是二维数组的定义与特点以及求每列之和的方法。
在二维数组的定义与特点部分，介绍了什么是二维数组以及其在内存中的存储方式。
同时，还解释了二维数组的行和列的概念，并说明了二维数组在程序中的使用方法。
在求每列之和的方法部分，详细介绍了两种方法来计算二维数组每列的和。
第一种方法是使用循环求和，通过遍历二维数组的每一列，并将列中的元素相加得到列的和。
第二种方法是使用数组库函数求和，通过调用数组库函数来实现对每列元素的求和操作。
结论部分对整篇文章的内容进行了总结，提出了针对二维数组求每列之和方法的应用推广建议。
高考数学专题复习(数形结合、分类讨论思想)
1 3 1 时， 要使 P 点落在指定区域内， 即 P 点应落在 DE 上， CD= OB， CE= OB， 2 2 2
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∴ y 的取值范围是(
1 3 ， )。 2 2
点评： 平面向量经常和平面图形结合到一块， 利用平面图形的几何意义以及具有几何性 质的平面向量基本定理处理实际问题。 y 满足条件 x y 1 （2） (福建省仙游一中 2008 届高三第二次高考模拟测试)当 x 、
1 谁大谁小的问题，因而又需作一次分类讨论。故而解 a
四．示范性题组
题型 1：利用数轴、韦恩图，图像解决集合与函数问题 例 1．（1）已知集合 A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|x≥a}，且 A B，则实数 a 的取值范围 是_____. （2）如图所示，I 是全集，M、P、S 是 I 的 3 个子集，则阴影部分所表 示的集合是（ ） B.（M∩P）∪S
（如图中 AB 位置）。因此 log a (uv ) 的最大值是 2 2 2 ，最小值是 1 3 。
点评：数形结合的思想方法，是研究数学问题的一个基本方法。深刻理解这一观点，有 利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。 题型 3：代数式的几何意义应用 例 3．（1）（06 湖南卷）如图，OM∥AB，点 P 在由 P 射线 OM、线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内(不含 B M 边 界 ) 运 动 , 且 OP xOA yOB , 则 x 的 取 值 范 围 是 是 ；当 x
1 时, y 的取值范围 2
O A
。 解析：如图， OM // AB , 点 P 在由射线 OM ，线段