高考数学必考点 等差数列与等比数列 计算题专项

等差数列与等比数列测试题

1.在等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5=84，a 9=73. （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；

（Ⅱ）对任意m ∈N ﹡，将数列{a n }中落入区间（9m ，92m

）内的项的个数记为bm ，求数列{b m }的前m 项和S m 。

2.已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且2052a a =.

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；

(Ⅱ)对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中不大于27

m

的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m 项和

m

S

.

3、设{}n a 是等差数列，1()2n a

n b =，已知123218b b b ++=

，12318

b b b =， 求等差数列{}n a 的通项公式。

4、设数列{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7157,75S S ==,n T 为数列{n

S n

}的前n 项和，求n T 。

5、设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数． （I ） 求1a 及n a ；

（II ）若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值．

6、设数列{}n a 的通项公式为(,0)n a pn q n N P *=+∈>. 数列{}n b 定义如下：对于正整数m ，

m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值.

（Ⅰ）若11

,23

p q =

=-，求3b ；

（Ⅱ）若2,1p q ==-，求数列{}m b 的前2m 项和公式； （Ⅲ）是否存在p 和q ，使得32()m b m m N *=+∈？如果存在，求p 和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由.

7、等比数列{n a }的前n 项和为n S ， 已知对任意的n N +∈ ，点(,)n n S ，均在函数

(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上.

（1）求r 的值； （11）当b=2时，记 1

()4n n

n b n N a ++=∈ 求数列{}n b 的前n 项和n T

8、已知{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列

（1）若 31n a n =+，是否存在*

,m n N ∈，有1m m k a a a ++=？请说明理由；

（2）若n n b aq =（a 、q 为常数，且aq ≠0）对任意m 存在k ，有1m m k b b b +⋅=，试求a 、q 满

足的充要条件；

（3）若21,3n n n a n b =+=试确定所有的p,使数列{}n b 中存在某个连续p 项的和是数列中

{}n a 的一项，请证明.

参考答案

1. （Ⅰ）因为{}n a 是等差数列，由a 3+a 4+a 5= 4384,a =得428,a =设数列的公差为d ，由a 9=73，得9,45549==-=d a a d ，12728341=-=-=d a a ，于是899)1(1-=⨯-+=n n a n ，即89-=n a n .

（Ⅱ）对任意m ∈N ﹡，m m n 29899<-<，则899892+<<+m m n ， 即9

8

9989121+<<+

--m m n ，而*N n ∈，由题意可知11299---=m m m b ， 于是)999(999110123121--+++-+++=+++=m m m m b b b S

89801980191098198099919191991212122

12m

m m m m m m m -+=+⋅-=---=-----=++++， 即8

9801912m

m m S -

+=+. 2. 解：(I)设数列的公差为d ，前n 项和为n T ，则由5105,T =2052a a =得：111

510105,92(4),a d a d a d +=⎧⎨

+=+⎩ 解得17

,7a d ==, 所以通项公式为7(1)77n

a n n =+-⋅=. (II) 任意*m ∈N ，若27

7m

n a n =≤，则217m n -≤，即217m m b -=. ∵211217497

m k m k b b ++-==，∴{}m b 是首项为7，公比为49的等比数列，

∴7(149)7(491)14948

m m

m

S -==--.

3、解：∵ {a n }为等差数列 ∴ {b n }为等比数列 ∵ b 1b 3=b 22

∴ b 23=81

∴ b 2=2

1

∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

==+41b b 8

17b b 2131 ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==81b 2b 31 或 ⎪⎩⎪⎨

⎧==2

b 81b 21 ∴ n 231n n 2)41(2b --== 或 5n 21n n 248

1

b --=⋅=

∵ n a n )21

(b = ∴ n 2

1n b log a =

∴ a n =2n-3 或 a n =-2n+5

4、解：法一：利用基本元素分析法

设{a n }首项为a 1，公差为d ，则⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

=⨯+==⨯+=75d 21415a 15S 7d 267a 7S 11517 ∴ ⎩⎨⎧=-=1d 2a 1

∴ 2

)

1n (n 2S n -+-= ∴ 252n 21n 2n S n -=-+

-= 此式为n 的一次函数 ∴ {

n S n }为等差数列 ∴ n 4

a

n 41T 2n -= 法二：{a n }为等差数列，设S n =An 2

+Bn

∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=+⨯==+⨯=75

B 1515A S 7B 77A S 2

152

7 解之得：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

-==25B 21A ∴ n 2

5

n 21S 2n -=

，下略 5、解：（Ⅰ）当1,111+===k S a n ，

12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*）

经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 42

2.=∴，

即)18)(12()14(2

+-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ， 对任意的*∈N m 成立， 10==∴k k 或 6、解：（Ⅰ）由题意，得1123n a n =-，解11323n -≥，得20

3

n ≥

. ∴

11

323

n -≥成立的所有n 中的最小整数为7，即37b =. （Ⅱ）由题意，得21n a n =-，对于正整数，由n a m ≥，得1

2

m n +≥. 根据m b 的定义可知

当21m k =-时，()

*m b k k N =∈；当2m k =时，()

*1m b k k N =+∈. ∴()()

1221321242m m m b b b b b b b b b -+++=+++++++

()()1232341m m =+++

+++++++⎡⎤⎣⎦