小学奥数-几何五大模型(相似模型)

模型四 相似三角形模型

(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型

G

F E A

B

C

D

A

B C

D

E

F G

①AD AE DE AF AB AC BC AG

===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。

【例 1】

如图，已知在平行四边形ABCD 中，16AB =，10AD =，4BE =，那么FC 的长度是多少？

F

E

D

C

B

A

【解析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为AB 平行于CD ，

任意四边形、梯形与相似模型

所以::4:161:4BF FC BE CD ===，所以4

10814

FC =⨯

=+．

【例 2】 如图，测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为15厘米，AC 被分为60等份。

如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB )，那么小玻璃管口径DE 是多大？

60

5040

30

2010

E

A D C B

【解析】 有一个金字塔模型，所以::DE AB DC AC =，:1540:60DE =，所以10DE =厘米。

【例 3】

如图，DE 平行BC ，若:2:3AD DB =，那么:ADE ECB S S =△△________。 A E

D C

B

【解析】 根据金字塔模型

:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=，

22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，

设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，255315BEC S =÷⨯=△份，所以

:4:15ADE ECB S S =△△。

【例 4】

如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==， 则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 。

E

G

F A D C

B

【解析】 设1ADE

S =△份，根据面积比等于相似比的平方，

所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△，22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△，因此

4AFG S =△份，9ABC S =△份，

进而有3DEGF S =四边形份，5FGCB S =四边形份，所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形

【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长。

A E

D C

B

【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===，所以42510AC =÷⨯=

【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，

则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 。

Q E G

N

M

F P

A D C

B

【解析】 设1ADE S =△份，22::1:4ADE AFG

S S AD AF ==△△，因此4AFG S =△份，进而有

3DEGF S =四边形份，同理有5FGNM S =四边形份，7MNQP S =四边形份，9PQCB S =四边形份．

所以有::::1:3:5:7:9ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形

【总结】继续拓展，我们得到一个规律：平行线等分线段后，所分出来的图形的面积成等差数列。

【例 5】 已知ABC △中，DE 平行BC ，

若:2:3AD DB =，且DBCE S 梯形比ADE S △大28.5cm ，求ABC S △。

A E

D C

B

【解析】 根据金字塔模型::2:(23)2:5AD AB DE BC ==+=，

22:2:54:25ADE ABC S S ==△△，设4ADE S =△份，则25ABC S =△份，25421DBCE S =-=梯形份，DBCE S 梯形比ADE S △大17份，恰好是28.5cm ，所以212.5cm ABC S =△

【例 6】

如图：MN 平行BC ， :4:9MPN BCP S S =△△，4cm AM =，求BM 的长度 N

M

P

A C B

【解析】 在沙漏模型中，因为:4:9MPN BCP S S =△△，所以:2:3MN BC =，在金字塔模型中有： ::2:3AM AB MN BC ==，因为4cm AM =，4236AB =÷⨯=cm ，所以

642cm BM =-=

【巩固】如图，已知DE 平行BC ，:3:2BO EO =，那么:AD AB =________。

O

E

D C B

A

【解析】 由沙漏模型得::3:2BO EO BC DE ==，再由金字塔模型得

::2:3AD AB DE BC ==．

【例 7】 如图，ABC ∆中，14AE AB =，1

4

AD AC =，ED 与BC 平行，EOD ∆的面积是1

平方厘米。那么AED ∆的面积是 平方厘米。

A B C

D

E

O

【解析】 因为14AE AB =

，1

4

AD AC =，ED 与BC 平行， 根据相似模型可知:1:4ED BC =，:1:4EO OC =，44COD EOD S S ∆∆==平方厘米， 则415CDE S ∆=+=平方厘米，

又因为::1:3AED CDE S S AD DC ∆∆==，所以15

533

AED S ∆=⨯=(平方厘米)．

【例 8】 在图中的正方形中，A ，B ，C 分别是所在边的中点，CDO V 的面积是ABO V 面

积的几倍？