离散数学期末考试题(附答案和含解析3)

A一、单项选择题2.设集合A={1，2，3}，下列关系R 中不是等价关系的是（ D ）A.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>}； B.R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3,2>,<2,3>}；C. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>}；D. R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2 >}.3．在公式（）F （x ，y ）→（ y ）G （x ，y ）中变元x 是（ B ）x ∀∃A ．自由变元；(前面无∀或∃量词) B ．既是自由变元，又是约束变元；C ．约束变元；(前面有∀或∃量词) D ．既不是自由变元，又不是约束变元.4．设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列选项正确的是（　C ）A ．1∈A ；B ．{1，2，3}A ；C ．{{4，5}}A ；D ．∅∈A.⊆⊆5.设论域为{l ，2}，与公式等价的是( A ))()(x A x ∃A.A (1)A (2)； B. A (1)A (2)； C.A (1)∧A (2)；D. A (2)A (1).∨→→6.一棵树有5个3度结点，2个2度结点，其它的都是l 度结点，那么这棵树的结点数是( B )A.13；B.14 ；C.16 ；D.17 .//设一度结点数为n,则有：5×3+2×2+n=2[(5+2+n)-1]解得：n=7, 所以这棵树的结点数为：m=5+2+7=14.7．设A 是偶数集合，下列说法正确的是（　A ）A ．<A ,+>是群；B ．<A ,×>是群；C ．<A ,÷>是群；D ．<A ,+>, <A ,×>,<A ,÷>都不是群。

8．下列图是欧拉图的是（ D）10.下面不满足结合律的运算是( C )A.；B.；C.；D.),min(b a b a = ),max(b a b a = )(2b a b a+= abb a 2= 二、填空题12.设f ∶R→R,f(x)=x+3,g∶R→R,g(x)=2x+1,则复合函数 ,=))(g (fx 42+x=)x )(f (g 72+x //f(g(x))=f(2x+1)=(2x+1)+3=2x+4=))(g (f x //=g(f(x))=g(x+3)=2(x+3)+1=2x+7=))(f (g x//备注：f g=f g(x)=g(f(x))13．设S 是非空有限集，代数系统<P （S ），∪>中，其中P （S ）为集合S 的幂集，则P （S ）对∪运算的单位元是，零元是 S 。

φ14．设<A ，≤>是格，其中A={1，2，3，4，6，8，12，24}，≤为整除关系，则3的补元是8 。

//（注：什么是格？ 即任意两个元素有最小上界和最大下界的偏序）15.命题公式的成真指派为 00，01，11 ，成假指派为 10 。

)(Q P P ∧→16.设A={<2,2>，<3,4>,<3,5>}，B={<1,3>，<2,5>,<3,4>}，那么dom (A∩B)={3} , ran (A∪B)= {2,3,4,5}//关系R 的定义域：domR={∃x|y(<x,y>∈R)},即R 中所有有序对的第一元素构成的集合。

关系R 的值域：ranR={∃y|x(<x,y>∈R)},即R 中所有有序对的第二元素构成的集合。

关系R 的域：fldR=domR ∪ranR17. 在根树中，若每一个结点的出度 最多为（或≤）m,则称这棵树为m 叉树。

如果每一个结点的出度都为（或=）m 或0，则称这棵树为完全m 叉树。

如果这棵树的叶 都在同一层 ，那么称为正则m 叉树。

18．<Zn, >是一个群，其中Zn={0,1,2,……,n-1}，，则在⊕n y x y x mod )(+=⊕<Z6, >中，1的阶是 6 ，4的阶是 3 。

//单位元是e =0⊕19. n 点完全图记为K n ，那么当 n ≤ 4 时，K n 是平面图，当 n ≥ 5 时，K n 是非平面图。

20. 若图中存在 回路 ，它经过图中所有的结点恰好 一次 ，则称该图为汉密尔顿图(哈密顿图) 。

// 欧拉图三、计算题21. 求命题公式的主析取范式。

)()(P Q Q P ∨⌝→→⌝解：)()(P Q Q P ∨⌝→→⌝⇔)()(P Q Q P ∨⌝→∨⇔)()(P Q Q P ∨⌝∨∨⌝⇔)()(P Q Q P ∨⌝∨⌝∧⌝⇔))(())(()(Q Q P Q P P Q P ⌝∨∧∨⌝∧⌝∨∨⌝∧⌝⇔))()()()()(Q P Q P Q P Q P Q P ⌝∧∨∧∨⌝∧⌝∨⌝∧∨⌝∧⌝==⇔))()()(Q P Q P Q P ∧∨⌝∧∨⌝∧⌝111000m m m ∨∨∑)3,2,0(22. 设A ={1,2,3,4}，给上的二元关系R ={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>}，求R 的A 传递闭包。

解：由R ={<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,4>}，得，从而，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100001010010R M ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000000101001012MR， ，于是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000000010110103MR ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000000101001014MR ={<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>}，={<1,2>,<1,4>,<2,1>,<2,3>}，2R 3R ={<1,1>,<1,3>,<2,2>,<2,4>}=，故4R 2R =｛<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,1>,<2,2>，<2,3>，432)(R R R R R t =<2,4>，<3,4>}23.设A={1，2，3，4，6，8，12，24}，R 为A 上的整除关系，试画<A ，R>的哈斯图，并求A 中的最大元、最小元、极大元、极小元。

解：<A ，R>的哈斯图如右图所示：A 中的最大元为24、最小元为1、极大元为24、极小元为1。

24.求下图所示格的所有5元子格。

解：所有5元子格如下：26.用矩阵的方法求右图中结点v 1，v 3之间长度为2的路径的数目。

//教材P289、290r e o 所以，图中结点v 1，v 3之间长度为2的路径的数目有3条。

//备注：邻接矩阵中所有元素之和等于边数。

通路（v1->v1,v2,v3,v4…）与回路（v1->v1,v2->v2,v->v3…）四、证明题27. 在整数集Z 上定义：，证明：<Z ，>是一个群。

Z ,,1∈∀++=b a b a b a 证明：（1）对于，有，所以运算是封闭的。

Z b a ∈∀,Z 1∈++=b a ba （2）对于，有Z c b a ∈∀,,，2c b a 1c 1b a c )1()(+++=++++=++= b a c b a ，2c b a 11c b a )1()(+++=+++++=++=c b a c b a 即，故运算是可结合的。

)()(c b a cb a = （3）是单位元，因为，，.1-Z a ∈∀a a a=+-=-11)1( a a a =++-=-11)1( （4），由，Z a ∈∀112)2(-=+--=--a a a a ，可知 是的逆元。

112)2(-=++--=--a a a a a --2a 综上所述，<Z ，>是一个群。

28. 设R 为N ×N 上的二元关系，，NN d c b a ⨯>∈<><∀,,,，证明R 为等价关系。

d b d c R b a =>⇔<><,,证明：因为，，所以，故R 具有自反性。

N N b a ⨯>∈<∀,b b =><><b a R b a ,,，若，则，即，N N d c b a ⨯>∈<><∀,,,><><d c R b a ,,d b =b d =故，所以R 具有对称性。

><><b a R d c ,,，若，，N N f e d c b a ⨯>∈<><><∀,,,,,><><d c R b a ,,><><f e R d c ,,则，从而，故，所以R 具有对称性。

d b =f d =f b =><><fe R b a ,,综上所述，R 为等价关系。

五、综合应用题29．在谓词逻辑中构造下面推理的证明：每个在学校读书的人都获得知识。

所以如果没有人获得知识就没有人在学校读书。

（个体域：所有人的集合）证明：设S （x ）:x 是 在学校读书的人， G （x ）：x 是获得知识的人。

前提：（）；x ∀))()((x G x S →结论：→∃⌝)()(x G x )()(x S x ∃⌝推理过程如下：（1）（） P x ∀))()((x G x S →（2）US （1）)()(c G c S →（3）P （附加前提）)()(x G x ∃⌝（4） T(3)E )()(x G x ⌝∀ (5) US(4))(c G ⌝(6) T(2)(5)I )(c S ⌝(7) UG(6))()(x S x ⌝∀(8)T(7)E)()(x S x ∃⌝。