概率论与数理统计第一讲

另一在概率论发展史上的代表人物是法国的泊松。他 推广了伯努利形式下的大数定律，研究得出了一种新的 分布，就是泊松分布。概率论继他们之后，在19世纪后 期，其中心研究课题则集中在推广和改进伯努利大数定 律及中心极限定理。
俄国数学家切比雪夫对此做出了重要贡献。他建立 了关于独立随机变量序列的大数定律，推广了棣莫弗— 拉普拉斯的极限定理。切比雪夫的成果后被其学生马尔 可夫发扬光大，影响了20世纪概率论发展的进程。
帕斯卡与费马通信讨论这一问题，引进了递推法、差分 方程法作为解决复杂概率计算问题的有力工具，并 于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念。
在这期间，荷兰数学家惠更斯（1629~1695）恰好在巴 黎，也参与过他俩的讨论。后来，在1657年，他把讨论结果 写成了一本书《论赌博中的计算》，这是概率论发展史上的 第一本著作。书中在历史上第一次把以前的概率论知识系统 化、公式化和一般化，第一次把概率论建立在公理、命题和 问题上而构成一个较完整的理论体系。因此，该书被看着是 概率论诞生的标志。
1948年莱维出版的著作《随机过程与布朗运动》提出 了独立增量过程的一般理论，并以此为基础极大地推进了 作为一类特殊马尔可夫过程的布朗运动的研究。1934年， 辛钦提出平稳过程的相关理论。1939年，维尔(J.Ville)引 进“鞅”的概念，1950年起，杜布对鞅概念进行了系统的研 究而使鞅论成为一门独立的分支。从1942年开始，日本数 学家伊藤清引进了随机积分与随机微分方程，不仅开辟了 随机过程研究的新道路，而且为随机分析这门数学新分支 的创立和发展奠定了基础。
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教学安排
先修课程：高等数学，概率论 考试：闭卷，期末70%，平时30% 电子邮件：lishulan@bupt.edu.cn
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一、概率论与随机过程的历史及应用
1. 概率论的诞生及发展
17、18世纪，数学获得了巨大的进步。数学家 们冲破了古希腊的演绎框架，向自然界和社会生活 的多方面汲取灵感，数学领域出现了众多崭新的生 长点，而后都发展成完整的数学分支。除了分析学 这一大系统之外，概率论就是这一时期"使欧几里 得几何相形见绌"的若干重大成就之一。
Ak
PAk
k 1
（可列可加性）
称PA为事件Α的概率。
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第一章 概率空间
在初等概率论中，我们定义随机事件A为样本空间的子
集，即 A ，但事实上是不是任何一个的子集都是一个随
机事件？（见张朝金著《概率论中的反例》P48）
若把P(A)看作集合A的函数，那么象高等数学里的普通函 数一样，我们必须考虑A在何范围内，A P(A)才有定义？这 是初等概率论的遗留问题。为此，我们考虑以事件A为元素的 集合，称为集合类或事件体，记作F 。
19世纪末，一方面概率论在统计物理等领域的 应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需 要，另一方面，科学家们在这一时期发现的一些概 率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛 盾与含糊之处。这些问题强烈要求对概率论的逻辑 基础做出更加严格的考察，也就是建立概率论的公 理化体系。
贝特朗悖论
1889年，贝特朗在他的《概率论》一书中给 出了这样一个例子：在半径为1的圆内随机地取一 条弦，问其长超过该圆内接等边三角形的边长的 概率为多少?
解法一：任何弦交圆周两点。不失一般性，先固定其中 一点于圆周上，以此点为顶点作一内接等边三角形。显 然只有落入此三角形的弦才满足要求，而这种弦的长度 为整个圆周的1/3，故所求概率为1/3。
解法二：弦被其中点唯一确定，当且仅当其中点属于半径 为1/2的同心圆时，弦长大于内接等边三角形边长，而此小 圆面积为大圆面积的1/4,故所求概率为1/4。
若 A ，且A，A ，则集合类A, A,,
是一个-代数。
设是一非空集合，F是由的一切子集组成的集合类，则 F是一个-代数。
同一时期还出现了许多悖论，“这类悖论说明概率的 概念是以某种确定的试验为前提的，这种试验有时由问 题本身所明确规定,有时则不然。因此贝特朗等悖论的矛 头直指概率概念本身”，正是这些问题促使人们开始深 入思考概率论的基础问题。
俄国数学家伯恩斯坦和奥地利数学家冯•米西斯 (R.von Mises,1883-1953)对概率论的严格化做了最早的尝 试。但他们提出的公理理论并不完善。事实上，真正严 格的公理化概率论只有在测度论和实变函数理论的基础 上才可能建立。测度论的奠基人，法国数学家博雷尔 (E.Borel,1781-1956)首先将测度论方法引入概率论重要问 题的研究，并且他的工作激起了数学家们沿这一崭新方 向的一系列搜索。特别是原苏联数学家科尔莫戈罗夫的 工作最为卓著。
第一节 集合代数和-代数
一、集合代数和-代数
定义1.1.1 设是任一非空集合， A是由的一些子集组成 的非空集合类，若A 满足： 1. ∈ A ；
2. 若A∈ A ，有A∈A （余运算封闭）； 3. 若A，B∈ A ，有A∪B∈ A （有限并运算封闭）； 则称A是上的一个集合代数，简称集代数。 容易证明集代数对有限交运算也封闭，即：
2. 概率论的应用
概率论与随机过程是数学的一个分支，它研究 随机现象的数量规律， 概率论的应用几乎遍及所 有的科学领域，例如天气预报、 地震预报、产品 的抽样调查，在通讯工程中概率论可用以进行信 号检测、信道估计等等.
例：试构造随机试验证明：
Cr mn
Cnr Cm0
Cnr
C 1 1 m
r min(m, n)
到了1730年，法国数学家棣莫弗（1667~1754）出版其著 作《分析杂论》，当中包含了著名的“棣莫弗—拉普拉斯定 理”。这就是概率论中第二个基本极限定理的原始初形。棣 莫弗历史上第一次提出了正态分布（标准正态分布）。
接着拉普拉斯（1749~1827）在1812年出版的《概率的分 析理论》中，首先明确地对概率作了古典的定义。拉普拉斯 以强有力的分析工具处理了概率论的基本内容，实现了从组 合技巧向分析方法的过渡，使以往零散的结果系统化，开辟 了概率论发展的新时期。
概率论与随机过程
黎淑兰
学时数：54 教材：王玉孝，《概率论与随机过程》，北邮出版社 参考书： 1. 陆大琻，《随机过程及其应用》，清华大学出版社 2. 严士健等，《测度与概率》，北京师范大学出版社 3. 张朝金著，《概率论中的反例》 4. 王玉孝，《概率论与随机过程习题解答》，北邮教材
中心
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概率论起源于对赌博问题的研究。早在16世 纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学 角度研究过赌博问题。他们的研究除了赌博外还 与当时的人口、保险业等有关，但由于卡丹等人 的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确， 于是很快就被人淡忘了。概率概念的要旨在17世 纪中叶法国数学家帕斯卡（1623~1662）与费 马（1601~1665）的讨论中才比较明确。
(1) 交换律 A B B A, AB BA.
(2) 结合律 ( A B) C A (B C ), ( AB)C A(BC ).
(3) 分配律 ( A B) C AC BC,
( A B) C ( A C ) (B C ) ( A C )(B C ).
(4)德 摩根律 : A B A B, A B A B.
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第一节 集合代数和-代数
例 设 ={1,2,3,4}，试构造一个集代数A ，使得{1} A，{2} A.来自百度文库解：A={，，{1}，{2,3,4}, {2}, {1,3,4}, {1,2} , {3,4}}
例 设 =R，令：
n
A A R, A Ak , A1, A2,An形如a,b R, a b
在公理化基础上，现代概率论取得了一系列理论突 破。公理化概率论首先使随机过程的研究获得了新的起 点。1931年，科尔莫戈罗夫用分析的方法奠定了一类普 通的随机过程——马尔可夫过程的理论基础。
科尔莫戈罗夫之后，对随机过程的研究做出重大贡 献而影响着整个现代概率论的重要代表人物有莱维 (P.Levy,1886-1971)、辛钦、杜布(J.L.Dob)和伊藤清等。
他们三人提出的解法中，都首先涉及了数学期望这一概 念，并由此奠定了古典概率论的基础。
使概率论成为数学一个分支的真正奠基人是 瑞士数学家雅各布·伯努利（1654~1705），他的 重要贡献是建立了概率论中的第一个极限定理， 即伯努利大数定律，发表在1713出版的遗著《猜 度术》中。美国概率史专家海金（Hacking）称 此书标志着“概率漫长的形成过程的终结与数学 概率论的开端”。
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第一节 集合代数和-代数
定理1.1.1 设A是由的一些子集组成的非空集合类，则： 1. 若A是上的集代数 A是包含且对余运算和有限交
运算封闭； 2. 若A是上的集代数 A是包含且对差运算封闭。
集代数
包含，对余运算、有限并运算封闭 包含，对余运算、有限交运算封闭 包含，对差运算封闭
1. A
2. 若A∈ A ，有A∈A （余运算封闭）；
A k
3. 若 Ak A k ，有 Ak A（可列并运算封闭）
k 1
则称A是上的一个-代数。
-代数A包含的元素可能是有限多个，也可能是无限多个！
例 集合类, 是一个-代数。
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第一节 集合代数和-代数
1651年,一个名叫梅累的骑士和朋友保罗各出30枚金 币作为赌金，两人事先选好一个点数，梅累选择了 “5”，保罗选择了“3”，游戏规则是：如果谁先掷 出了3次自己所选的点数，谁就赢得全部60个金币。游 戏进行到梅累掷出2次“5”点，保罗掷出1次“3”点 时，由于发生一个紧急事情，梅累必须马上离开，游 戏因此中断，两人为赌本的分配问题争执不下，恰逢 帕斯卡经过梅累他们所在的小镇，于是梅累就“分赌 金问题”求教于帕斯卡。
1933年，科尔莫戈罗夫出版了他的著作《概 率论基础》，这是概率论的一部经典性著作。其 中，科尔莫戈罗夫给出了公理化概率论的一系列 基本概念，提出了六条公理，整个概率论大厦可 以从这六条公理出发建筑起来。科尔莫戈罗夫的 公理体系逐渐得到数学家们的普遍认可。由于公 理化，概率论成为一门严格的演绎科学，并通过 集合论与其它数学分支密切地联系着。
Cn0Cmr
随机试验：设有m+n个球，其中m个红球，n 个白球，从中取出r个球。
第一章 概率空间
概率的定义——若对E 的每一个事件A，有一个实数
与之对应，记为P(A)，且满足：
1. 0 P A 1 （非负性）
2.P 1（归一性）
3.若事件A1, A2 ,两两互不相容，则有：
P
k 1
解法三：弦长只跟它与圆心的距离有关，而与方向无关 ，因此可假定它垂直于某一直径。对于这种弦，当且仅 当它与圆心的距离小于1/2时，其长才大于内接等边三角 形的边长。因此所求概率为1/2。
悖论的根源在于，无论三种情形下的哪一种，都假 定各自的参数均匀地分布在给定的区域里。解法1中，假 定一端固定而另一端点在圆周上均匀分布；解法2中，又 假定弦的中点在圆内均匀分布；而解法3中，假定弦的中 点在直径上均匀分布。因此事实上三个问题都被解出。
当b=+时，(a,
k 1
b]=(a,+
)。
则：
A是集代数。
分析：(1)a=- , b=+时，(a, b]=(- ,+ )= A
(2) 对余运算和有限并运算封闭
集代数A包含的元素可能是有限多个，也可能是无限多个！
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第一节 集合代数和-代数
定义1.1.2 设是任一非空集合， A是由的一些子集组成的 非空集合类，若A 满足：
F的结构？在F上的概率如何构造？这是本章将要讨论的主 要问题，为此我们必须引入测度论的概念。
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集合 A 与 B 的差
图示 A 与 B 的差. B A
AA B
B
A B AB A AB
B A
B
A AB
集合的运算规律 设 A, B, C 为的子集, 则有