数学兴趣小组活动资料收集

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分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较

c

a b ab 1

,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。

例4、 在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。 提示：P=n

a

b a -+

（n 为大于是 的自然数） 注：P 的表示方法不是唯一的。 2、 符号和括号

在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。

例5、 在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所

得可能的最小非负数是多少？ 提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0

注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧

例6、 计算 -1-2-3-…-2000-2001-2002

提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)⨯项数÷2。 例7、 计算 1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002 提示：仿例5，造零。结论：2003。 例8、 计算

9

9

9

9991999999个个个n n n +⨯ 提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n +99…9，99…9=10n -1。 例9、 计算

-+++⨯----)200213121()2001131211( )2001

13121()2002131211(+++⨯----

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二、绝对值问题解题关键：

（1）去掉绝对值符号； （2）运用性质； （3）分类讨论。 三、例题示范

例1 已知a <0，化简|2a-|a||。

提示：多重绝对值符号的处理，从内向外逐步化简。

例2 已知|a|=5，|b|=3，且|a-b|=b-a ，则a+b= ，满足条件的a 有几个？

例 3 已知a 、b 、c 在数轴上表示的数如图，化简：|b+c|-|b-a|-|a-c|-|c-b|+|b|+|-2a|。

例 4 已知a 、b 、c 是有理数，且a+b+c=0，abc >0，求

|

|||||c b

a b a c a c b +++++的值。 注：对于轮换对称式，可通过假设使问题简化。

例5 已知：

例6 已知3

π

-

=x ，

化简：m=|x+1|-|x+2|+|x+3|-|x+4|。

例7 已知|x+5|+|x-2|=7，求x 的取值范围。 提示：1、根轴法；2、几何法。

例8 是否存在数x,使|x+3|-|x-2|>7。

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应满足的条件。

例4 解关于x 的方程1)1(2+=-ax x a .

提示：整理成字母系数方程的一般形式，再就a 进行讨论

例5 k 为何值时，方程9x-3=kx+14有正整数解？并求出正整数解。 提示：整理成字母系数方程的一般形式，再就k 进行讨论。 例6（1982年天津初中数学竞赛题）已知关于x ，y 的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5－2a=0，当a 每取一个值时就有一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解，并证明对任何a 值它都能使方程成立吗？

分析 依题意，即要证明存在一组与a 无关的x ，y 的值，使等式

(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0恒成立，令a 取两个特殊值（如a=1或a=-2），可得两个方程，解由这两个方程构成的方程组得到一组解，再代入原方程验证，如满足方程则命题获证， 本例的另一典型解法

例7（1989年上海初一试题），方程

并且abc ≠0，那么x____

提示：1、去分母求解；2、将3改写为

b

b a a

c c ++。 例8（第4届美国数学邀请赛试题）若x 1,x 2,x 3,x 4和x 5满足下列方程组：

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++=++++=++++96

2482242122625

43214321543215432154321x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

确定3x 4+2x 5的值.

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2(a-b)(a-c)+2(b-c)(b-a)+2(c-a)(c-b)=(b-c)2+(c-a)2+(a-b)2。

提示：1、两边化简。2、左边配方。

例6、设x+2z=3y,试判断x2-9y2+4z2+4xz的值是不是定值，如果是定值，求出它的值；否则，请说明理由。

例7、

例7、已知a+b+c=3, a2+b2+c2=3，求a2002+b2002+c2002的值。

例8、证明：对于任何四个连续自然数的积与1的和一定是某个整数的平方。

提示：配方。

例9 、已知a2+b2=1,c2+d2=1,ac+bd=0,求ab+cd的值。

提示：根据条件，利用1乘任何数不变进行恒等变形。

例10、（1984年重庆初中竞赛题）设x、y、z为实数，且

(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.

求的值.

例11、设a+b+c=3m,求证:(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.