空间向量的夹角和距离公式(讲课)

3

,
O
∴点 M的坐标是

2
,
3 2
,
3
.
dA,B (1 3)2 (0 3)2 (5 1)2 29 .
例2 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1

D1F1

A1B1 4
，求
BE1
与
DF1
所成的角的余弦值。
z
解：设正方体的棱长为1，如图建
三、应用举例
例1 已知A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：A 线段 AB 的中点坐标和长度；
M
B
解：设 M(x , y , z) 是 AB的中点，则
uuuur OM

1 2
uuur (OA

uuur OB)

1 2
(3 ,
3
, 1)

1 ,
0
,
5


2
,
3 2
,
练习一：
1.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) a (2 , 3 , 3) , b (1, 0 , 0) ; (2) a (1, 1,1) , b (1, 0 ,1) ;
2.求下列两点间的距离：
(1) A(1,1, 0) , B(1,1,1) ;
(2) C(3 ,1, 5) , D(0 , 2 , 3) .
30 .
4
10
课堂练习：
1.若正方体ABCD uAur1Bu1uCur1D1的边长为1, E, F分别是 CC1,D1A1的中点.求(1)<FE, FA ,(2)点A到直线EF的距离.
解: 连结AE,作AM FE.
z
uuur 由(1)知 | FA |
5
,
|
uuur FE
|
6.
2uuur uuur 2 cos FE , FA
,
例2 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1

D1F1

A1B1 4
，求
BE1
与
DF1
所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
A1
E1 B1
uuuur DF1

0
,
1 4
，1
(0
,
0
,
0)

0
,
1 4
，1 .
uuuur uuuur BE1 gDF1

0

0



1 4


1 4
11

15 16
,
D
O
A
x
B
C
cos
y
uuuur BE1
uuuur | BE1 uuuur , DF1
|
|
17 uuuur 4 , | DF1 | uuuur uuuur uuBuuEr 1gDuFuu1ur BE1 | | DF1 |
5 g 30
6 . 故点A到直线EF的距离为
6.
2 10 4
4
课堂练习：
1.若正方体ABCD uAur1Bu1uCur1D1的边长为1, E, F分别是
CC1,D1A1的中点.求(1)<FE, FA ,(2)点A到直线EF的距离.
思路二: 连结AE,作AM FE, z
在直角三角形AFM中
rr
rr
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向；
rr
rr
（2）当 cos a , b 1 时，a 与 b 反向；
rr
rr
（3）当cos a , b 0 时，a b 。
思考：当
0

cos

r a
,
r b

1及
1

cos

r a
,
r b

0时，
的夹角在什么范围内？
二、距离与夹角 （1）空间两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，已知 A(x1 , y1 , z1) 、
B(x2 , y2 , z2 )，则
uuur AB
( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)
uuur | AB |
uuur uuur ABgAB
(x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
D1
F1
C1
立空间直角坐标系 O xyz ，则
A1
E1 B1
B(1,1, 0)
,
E1 1,
3 4
, 1
,
D
O
A
x
Cy
D(0 , 0 , 0)
,
F1

0
,
1 4
，1 .
B
uuuur BE1

1 ,
3 4
, 1
(1,1,
0)

0
,

1 4
, 1
a (a1,a2,a3),( R) ;
a b a1b1 a2b2 a3b3 ;
a // b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
a b a1b1 a2b2 a3b3 0 ;
§9.6 空间向量的夹角和距离公式
莱州市第十三中学
孙兴文
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2 , a3 ), b (b1, b2 , b3 )则 a b (a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 ) ; a b (a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 );
17 . 4 15
16 17
17
15 . 17
44
课堂练习：
正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是C1A， D1 A1的中点，1）求cos<AF, EF>. 2）求点A到直线EF的距离。（用向量法）
D1
F A1
C1 B1
E
D A
Baidu Nhomakorabea
C B
课堂练习：
1.若正方体ABCD uAur1Bu1uCur1D1的边长为1, E, F分别是 CC1,D1A1的中点.求(1)<FE, FA ,(2)点A到直线EF的距离. 解: 建立如图的空间直角坐标系O xyz,得
11
z
A(1, 0, 0), E(1,1, ), F( , 0,1).
uuur FA

(
1
,
0,
1),
uu2ur
FE

(
2
1 ,1,

1
).
2
22
D A F1
1
DO
C1
B1 E
C y
uuur | FA |
5
,|
uuur FE
|
6.
A
B
x
uuur uuu2r FEgFA

3
.
2
uuur uuur cos FE , FA
uuuur
D
A F1
M
C1 B1 E
sin

uuur AF ,
uuur FE

|
AuuMur
|
| FA |
uuuur uuur
1
D
O
A
uuur uuuxr
C y
B
| AM || FA |gsin AF, FE
uur uuur uuur
点A到直线EF的距离公式d= | AF | sin AF, FE
30 .
uuur uuur sin FE , FA
30 .
10
D
A F1
M
1
D
O
A
x
C1
B1 E
C y
B
1 uuur uuur10 uuur uuur 1 uuuur uuur
SAEF 2 | FA |g| FE | sin FA, FE 2 | AM || FE |
uuuur | AM |
d A,B ( x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2
（2）.两个向量夹角公式
rr cos a,b
rr ra br

a1b1 a2b2 a3b3
;
| a || b |
a12 a22 a32 b12 b22 b32
注意：
四、课堂小结：
1.基本知识： （1）向量的长度公式与两点间的距离公式； （2）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题 时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐 标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或 证明。
作业与练习
P74：1、2、4