数学分析上册练习题

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数学分析有答案的套题

七章实数的完备性判断题：1. 1. 设11,1,2,2H n n n ⎧⎫⎛⎫==⎨⎬⎪+⎝⎭⎩⎭ 为开区间集,则H 是(0, 1 )的开复盖. 2. 2. 有限点集没有聚点.3. 3. 设S 为闭区间 [],a b , 若,x S ∈则x 必为S 的聚点.4. 4. 若lim nn a →∞存在, 则点集{}n a 只有一个聚点.5. 5. 非空有界点集必有聚点.6. 6. 只有一个聚点的点集一定是有界点集.7. 7. 如果闭区间列{}[,]n n a b 满足条件 11[,][,],1,2,n n n n a b a b n ++⊃= , 则闭区间套定理成立. 8. 8. 若()f x 在[,]a b 上一致连续, 则()f x 在[,]a b 上连续. 9. 9. 闭区间上的连续函数一定有界.10. 10. 设()f x 为R 上连续的周期函数, 则()f x 在R 上有最大值与最小值.答案: √√√√×××√√√ 证明题1. 1. 若A 与B 是两个非空数集,且,,x A y B ∀∈∈有 x y ≤, 则sup inf A B ≤.2. 证明: 若函数()f x 在(,)a b 单调增加, 且(,)x a b ∀∈, 有()f x M ≤(其中M 是常数), 则 ,c M ∃≤ 使 lim ()x b f x c-→=.3. 证明: 若E 是非空有上界数集, 设 sup ,E a =且 a E ∉, 则存在数列1,,n n n x E x x n N +∈<∈, 有 lim n n x a →∞=.4. 证明: 函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续⇔函数()f x 在开区间(,)a b 连续, 且(0)f a +与(0)f b -都存在.5.设{}n x 为单调数列,证明: 若{}n x 存在聚点,则必是唯一的, 且为{}n x 的确界.6. 证明:sin ()xf x x =在()0,+∞上一致连续.7. 证明: {}n x 为有界数列的充要条件是{}n x 的任一子列都存在其收敛子列.8. 设()f x 在[],a b 上连续, 又有{}[],n x a b ⊂, 使 lim ()n n f x A →∞=. 证明: 存在[]0,x a b ∈, 使得 0()f x A =.答案1.证明: 设sup ,inf .A a B b == 用反证法. 假设 s u pi n f A B > 即 ,b a <有2a b b a +<<, 一方面, sup ,2a b a A +<= 则存在 00,;2a b x A x +∈<另一方面,inf ,2a b b B +=< 则00,2a by B y +∃∈<. 于是, 00,x A y B ∃∈∈有002a b y x +<<, 与已知条件矛盾, 即 sup inf A B ≤.2. 证明: 已知数集{}()(,)f x x a b ∈有上界, 则其存在上确界, 设{}sup ()(,)f x x a b c M ∈=≤由上确界的定义, 00,(,)x a b ε∀>∃∈, 使得 0(),c f x c ε-<≤00,:b xx b x b δδ∃=->∀-<<; 或 0:,x x x b ∀<<有 0()()c f x f x c ε-<≤≤ 或 ()f x c ε-<. 即 l i m ()x b f x c -→=.3. 证明: 已知 sup E a =, 由确界定义, 111,x E ε=∃∈, 有 11a x a ε-<<2121min ,0,2a x x E ε⎧⎫=->∃∈⎨⎬⎩⎭, 有 12x x < , 并且22a x a ε-<<3231min ,0,3a x x Eε⎧⎫=->∃∈⎨⎬⎩⎭, 有 23x x <, 并且33a x a ε-<<于是, 得到数列{}1,,,n n n n x x E x x n N +∈<∀∈. 有 lim n n x a →∞=.4. 证明: ⇒ 已知 ()f x 在(,)a b 一致连续,即12120,0,,(,):x x a b x x εδδ∀>∃>∀∈-<, 有 12()()f x f x ε-< 显然 ()f x 在(,)a b 连续, 且 120,0,,(,)x x a b εδ∀>∃>∀∈1122()a x a x x a x a δδδ<<+⎧-<⎨<<+⎩, 有 12()()f x f x ε-<.根据柯西收敛准则,函数()f x 在a 存在右极限(0).f a +同理可证函数()f x 在b 存在左极限(0)f b -.⇐已知(0)f a +与(0)f b -存在, 将函数()f x 在a 作右连续开拓, 在b 作左连续开拓, 于是函数()f x 在闭区间[],a b 连续, 从而一致连续, 当然在(,)a b 也一致连续. 5. 证明: 不妨设{}n x 递增.(1) 先证若{}n x 存在聚点必唯一. 假定,ξη都是{}n x 的聚点, 且ξη<. 取02ηξε-=, 由η是{}n x 聚点, 必存在0(,).n x U ηε∈又因{}n x 递增, 故n N ≥时恒有002n N x x ξηηεξε+≥>-==+于是, 在0(,)U ξε中至多含{}n x 的有限多项, 这与ξ是{}n x 的聚点相矛盾. 因此{}n x 的聚点存在时必唯一.(2) 再证{}n x 上确界存在且等于聚点ξ. ()a ξ为{}n x 上界. 如果某个N x ξ>, 则 n N ≥时恒有n x ξ>, 取00,N x εξ=-> 则在0(,)U x ξ内至多含{}n x 的有限多项, 这与ξ为{}n x 的聚点相矛盾.()b 对0,ε∀>由聚点定义, 必存在N x 使N x ξεξε-<<+. 由定义{}sup n x ξ=.6. 6. 证明: 令10,()sin (0,)x F x xx x =⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩由于 00sin lim ()lim 1(0)x x x F x F x ++→→===, 而 (0,)x ∈+∞时sin ()xF x x =, 所以 ()F x 在[)0,+∞上连续, 又因lim ()0x F x →+∞=存在, 所以 ()F x 在[)0,+∞上一致连续,从而在(0,)+∞上也一致连续, 即 ()f x 在(0,)+∞上一致连续. 7. 7. 证明: ⇒ 设{}n x 为有界数列, 则{}n x 的任一子列{}kn x 也有界, 由致密性定理知{}kn x 必存在其收敛子列{}k jn x .⇐ 设 {}n x 的任一子列都存在其收敛子列. 若{}n x 无界, 则对1M =, 必存在正整数1n 使得11n x >; 对2,M =存在正整数21,n n >使得22;;n x > 一般地,对M k =, 存在正整数1,k k n n ->使得k n x k >. 于是得到{}n x 的子列{}k n x , 它满足lim k n k x →∞=∞, 从而{}kn x 的任一子列{}k jn x 必须是无穷大量, 与充分性假定相矛盾.8. 8. 证: 因{}[],n x a b ⊂为有界数列, 故{}n x 必有收敛子列{}kn x ,设lim k n k x x →∞=,由于{}[],kn x a b ⊂,故 []0,x a b ∈. 一方面, 由于()f x 在0x 连续有0l i m ()(),x x f x f x →=再由归结原则有0lim ()lim ()()k n k x x f x f x f x →∞→==; 另一方面, 由lim ()n n f x A→∞= 及{}()kn f x 是{}()nf x 的子列有lim ()lim ()k n n k n f x f x A→∞→∞==因此 0().f x A =第八章不定积分填空题1. ()()_________x ex dx ϕϕ'=⎰.2. 若函数()F x 与()G x 是同一个连续函数的原函数, 则()F x 与()G x 之间有关系式_______________.3. 若()f x '=且3(1)2f π= , 则 ()__________.f x = 4. 若()cos f x dx x C =-+⎰, 则()()___________.n f x =5.(ln )________.f x dx x '=⎰6. 若(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x =--，则作变换___________计算(sin ,cos )R x x dx ⎰.7.[1()]()__________n x x dx ϕϕ'+=⎰.()n N +∈8.3415(1)_________x x dx -=⎰9.若()(0)f x x x =>, 则 2()___________f x dx '=⎰.10. 过点(1,)4π斜率为211x +的曲线方程为___________.答案:1. ()x eC ϕ+. 2. ()()F x G x C =+ (C 为任意常数). 3. arcsin x π+. 4. sin()2n x π+. 5.(ln )f x C +. 6. tan t x =.7. 11[1()]1n x C n ϕ++++. 8. 4161(1)64x C --+. 9. 1ln 2x x C++10. arctan y x =判断题:1. 1. 有理函数的原函数是初等函数.2. 2. ()()df x dx f x dx =⎰3. 3. 若函数()f x 存在一个原函数,则它必有无限多个原函数.4. 4. 设()F x 是()f x 在区间I 上的原函数,则()F x 在区间I 上一定连续.5. 5. 函数()f x 的不定积分是它的一个原函数.6. 6. 21(1)x x x +-的有理函数分解式为: 22221(1)1(1)x A Bx C Dx Ex x xx x +++=++--- 7. 7.()()d d f x d f x =⎰8. 8. 若函数()f x 在区间I 上连续, 则它在区间I 上必存在原函数.9. 9. 存在一些函数, 采用不同的换元法, 可以得到完全不同的不定积分. 10. 10. 若()f x dx x C =+⎰, 则(1)f x dx x C -=+⎰答案: 1---10 √√√√××√√×√ 选择题：1．下列等式中（）是正确的.()().()()xx A f x dx f x Bf edx f e C ''==+⎰⎰221..(1)(1)2C f dx f C D xf x dx f x C ''=+-=--+⎰⎰2．若()f x 满足()sin 2,f x dx x C =+⎰则()(f x '= ） .4s i n 2.2c o s 2.4s i n 2.2A x B x C x Dx-- 3．若21()(0),f x x x '=>则()f x =（）.2.l n A x CB x CxCC ++++4．设函数()f x 在[,]a b 上的某个原函数为零，则在[,]a b 上（） A ．()f x 的原函数恒等于零. B. ()f x 的不定积分等于零.C. ()f x 不恒等于零但其导数恒等于零.D. ()f x 恒等于零. 5. 下列凑微分正确的是 ( )221.2.(ln 1)1x x A xe dx de B dx d x x ==++21.a r c t a n .c o s 2s i n 21C x d x d D x d xd x x ==+6. 22()()xf x f x dx '=⎰( )2222221111.().().().()2244A f x CB f x CC f x CD f x C++++.7. 若()f x dx x C =+⎰, 则 (1)f x dx -=⎰ ( )21.1......(1)2A x C B x C C x C D x C -+-++-+ 8. 函数cos (0)ax a ≠的一个原函数是 ( )111.s i n .s i n .s i n .s i n A x B a xC a xD a xa a a-9. 若()21xf x dx x C =+++⎰, 则()f x =( )2111.2..2ln 2 1..21.21ln 22x x x x A x x B C D ++++++10. 下列分部积分中对u 和v '选择正确的有 ( )22.cos ,cos ,.(1)ln ,1,ln A x xdx u x v x B x xdx u x v x''==+=+=⎰⎰.,,.a r c s i n ,1,a r cx xC xe dx u x v eD xdx u v x --''====⎰⎰答案：1—10 DCCDADCBBC计算题:1.ln(x dx+⎰2. x ⎰3. dx4.44cos 2sin cos xdx x x +⎰5.ln tan cos sin x dxx x ⎰6. 7.221(1)(1)x dxx x ++-⎰. 8. 11sin cos dxx x ++⎰9. 2(1)xx xe dx e +⎰.10.2答案:1. 1. 原式=ln(x x dx+-⎰21ln(2x x =-ln(x x C =+.2. 2.原式21122x =221124x =21arctan 2x C=3. =(sin cos )2cos 2sin 2222x x x xdx C=+=-++⎰4. 4422222cos 2cos 2sin cos (sin cos )2sin cos x xdx dx x xx x x x =++-⎰⎰ 22cos 2sin 2(2)2sin 22sin 2x d xd x x x ==--⎰⎰C=+5. ln tan ln tan tan ln tan (ln tan )cos sin tan xxdx d x xd x x xx ==⎰⎰⎰2(ln tan )2x C =+.6. 2sin 2(2cos 1)cos 21cos 2cos 2x t tt dt dtt t =-=+=⎰⎰tan 2t t C =-+arcsin x C=+7. 2221111[]2(1)2(1)(1)(1)(1)x dx dx x x x x x +=+--++-+⎰⎰111ln 1ln 1221x x Cx =-+++++211ln 121x Cx =-+++.8.tan222121sin cos 211111x u dxdu x xu u uu u =⋅++-+++++=⎰⎰ln 1ln 1tan 12du xu C C u =++=+++⎰.9.21(1)111x x x x x xe x dx dx xd e e e e ⎛⎫=-=-+ ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰ln(1)111x x x x xx e dx x e C e e e ---=-+=--+++++⎰.10.sin 22221cos 2sin 2x a uua udu a du =-==⎰⎰⎰22sin 2()arcsin 222a u a x u C C a =-+=+.第九章定积分一、一、选择题（每题2分） 1、若()⎰=+122dx k x ，则=k （）（A ）1 （B ）1- （C ）0 （D ）212、若()x f 是奇函数，且在[]a a ,-上可积，则下列等式成立的有（）（A ）()()⎰⎰-=aa adxx f dx x f 02 （B ）()()⎰⎰--=aaadxx f dx x f 02（C ）()⎰-=a adx x f 0（D ）()()⎰-=a aa f dx x f 23、设()x f 在[]b a ,上连续，则下面式子中成立的有（）（A ）()()x f dt t f dx d x a =⎰ （B ）()()x f dx x f dx d ba=⎰（C ）()()⎰+=C x f dx x f dx d（D ）()()x f dx x f ='⎰4、设()x f 为连续函数，()()⎰-=104dxx f x x f ，则()⎰10dx x f =（）（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）25、函数()x f 在[]b a ,上连续是()⎰ba dx x f 存在的（）（A ）（A ）必要条件（B ）充要条件（C ）充分条件（D ）无关条件 6、()x f 在[]b a ,上连续，()()⎰=xa dt t f x F ，则正确的是（）（A ）()x F 是()x f 在[]b a ,上的一个原函数；（B ）()x f 是()x F 在[]b a ,上的一个原函数；（C ）()x F 是()x f 在[]b a ,上唯一的原函数；（D ）()x f 是()x F 在[]b a ,上唯一的原函数 7、⎰e edxx 1ln =（）（A ）0 （B ）2e-2 （C ）e 22-（D ）e e 222-+8、已知()()21210-=⎰x f dt t f x，且()10=f ，则()=x f （）（A ）2xe （B ）x e 21 （C ）x e 2 （D ）x e 2219、下列关系中正确的有（）（A ）dxe dx e x x ⎰⎰≤1102（B ）dxe dx e x x ⎰⎰≥112（C ）dxe dx e x x⎰⎰=112（D ）以上都不正确10、⎰=ba xdx dx d arcsin （）（A ）a b arcsin arcsin -（B ）211x -（C ）x arcsin （D ）011、设410I xdxπ=⎰，4230,sin I I xdxπ==⎰，则（）；（A ）123I I I >> （B ）213I I I >> （C ）312I I I >>（D ）132I I I >>12、下列积分中可直接使用牛顿—莱布尼兹公式计算其值的是（）；（A ）1201x dx x +⎰ （B）10⎰ （C）e （D ）210x e dx ⎰13、设()f x 为连续函数，则积分()ba I f x t dx=+⎰（）（A ）与,,t a b 有关（B ）与,t x 有关（C ）与,,x b t 有关（D ）仅与x 有关 14、()2x af t dt '=⎰（）（A ）()()1222f x f a -⎡⎤⎣⎦ （B ）()()222f x f a -⎡⎤⎣⎦ （C ）()()22f x f a -⎡⎤⎣⎦ （D ）()()12f x f a -⎡⎤⎣⎦15、下列积分中，使用换元积分正确的是（）（A ）1arcsin 1sin dt t x t π=+⎰令（B）10sin x t =⎰令（C）10tan x t=⎰令（D ）12111dx x xt -=+⎰令答案：ACACC ACCBD BAAAC 二、二、填空题（每题2分）1、已知⎰=Φxdtt x 02)sin()(，则=Φ')(x .；2、比较大小：⎰20πxdx⎰2s i n πx d x.3、⎰-++1142251sin dx x x xx = ；4、函数()x f 在区间[]1,2-上连续且平均值为4，则()⎰-12dxx f = ； 5、设()x f 为连续函数，则()()[]=⋅+-+⎰-dx x x x f x f 322 ；6、522cos xdx ππ-=⎰；7、()12ln 1xd t dt dx +=⎰ ；8、(211x dx -+=⎰；9、设()f x 为连续函数，且()()12,f x x f t dt =+⎰则()f x = ；10、设0a ≠，若()0120ax x dx -=⎰，则a = ；11、已知()2302xf t dt x =⎰，则()1f x dx =⎰ ；12、=⎰ ；答案：1、()2sin x 2、≥>or 3、0 4、12 5、564 6、1615 7、()2ln 1x -+ 8、2 9、1x - 10、34 11、3 12、4π三、计算题（每题5分）1、dx x x ⎰-22101解：令t x sin =，则tdt dx cos =，tx 2010π→→ dx x x ⎰-22101=⎰2022cos sin πtdt t=()⎰⎰-=202024cos 1812sin 41ππdt t tdt=16024sin 4181ππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t2、⎰2sin πxdxx 20cos xd xπ=-⎰=⎰+-20cos 02cos ππxdxx x=102sin =πx 3、dxx x x ⎰+-20232=()()⎰⎰⎰-+-=-2121111dxx x dx x x dx x x=12325201523223252523⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x =()22154+4、⎰-2121dx x x解：令tdt t dx t x tan sec ,sec ==，3021π→→t x⎰-2121dx x x =⎰302tan πtdt =()d t t ⎰-3021sec π=()3303tan ππ-=-t t5、()dx xx 21124⎰--+=()⎰--+-+11222442dxx x x x=()d xx x ⎰-+-112442=⎰-=1184dx6、⎰⋅202cos πxdx e x=⎰202sin πx d e x=⎰⋅-⋅20222sin 02sin ππdx e x x e x x=⎰⎰-+=+2022022cos 402cos 2cos 2πππππxdxe x e e x d e e x x x=2-πe则 ⎰⋅202c o s πx d x e x =()251-πe7、⎰-⋅ππxdxx sin 4解： x x sin 4⋅为奇函数，且积分区间[]ππ,-关于原点对称sin 4=⋅∴⎰-ππxdx x8、⎰+402cos 1πdx x x=⎰⎰=4402tan 21cos 2ππx xd dx x x=⎰-40tan 2104tan 21ππxdx x x =04cos ln 218ππx + =2ln 41822ln 218-=+ππ9、()⎰-+11221x dx = ()⎰+102212x dx解：令tdt dx t x 2sec ,tan ==，4010π→→t x ()⎰-+11221x dx =⎰402cos 2πtdt=()⎰+402cos 1πdt t =042sin 21π⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t =214+π10、⎰+301arcsindx x x解：令x x t +=1arcsin，t x 2tan =，则tdt t dx 2sec tan 2=，3030π→→t x ⎰+301arcsin dx x x =⎰302tan πt td =⎰-3022tan 03tan ππtdt t t=()d t t ⎰--3021sec ππ=()03tan ππt t -- 334)33(-=--=πππ11、⎰+133221x x dx解：令t x 1=,则dt t dx 21-=,13133→→tx⎰+133221x x dx =⎰+⋅-132221111t t dt t=⎰+3121t tdt=221312-=+t12、dxx ee⎰1ln =dxx e⎰-11)ln (+dxx e ⎰1ln=()()1ln 11ln e x x x e x x x -+-- … =e 22-13、⎰--1145x xdx解：令x t 45-=，则()2541t x -=，tdtdx 21-=，1311→→-t x ⎰--1145x x d x =()dt t ⎰-312581 =13315813⎪⎭⎫ ⎝⎛-t t =61 14、0xdx=20arctan 1xdx x x +=1ln 1ln 2323x -+=- 15、20π⎰20cos 2x dx π20c o s c o s 22x x dx dx πππ⎫=-⎪⎭⎰⎰ =2sin sin 022x x πππ⎫-=⎪⎭五、证明题（每题5分）1、 1、证明：若f 在[],a b 上可积，F 在[],a b 上连续，且除有限个点外有()()F x f x '=，则有()()()baf x dx F b F a =-⎰证：设除[]()()12,,,n x x x a b F x f x '∈= 外，即()()[]{}12,,\,,n F x f x x a b x x x '=∀∈ 可设 0121n n x a x x x b x +=≤<<<≤= 在[]1,i i x x +上应用N-L 公式知:()()()()()()()110i innbx i i ax i i f x dx f x dx F x F x F b F a ++====-=-∑∑⎰⎰2、 2、证明：若T T '是增加若干个分点后所得到的分割，则iiiiT Tx xωω'''∆≤∆∑∑证：由性质2知 ()()()(),S T S T s T s T ''≤≥。

七年级数学上册数据分析题专项练习含答案

七年级数学上册数据分析题专项练习含答
案
本文档将为七年级学生提供一些数据分析题的专项练，以帮助学生巩固和提高在数学上册数据分析方面的能力。

练题包含试题和答案，供学生自行练和检查答案。

1. 数据的收集和整理
练题将包括一些实际情境，要求学生收集和整理相关的数据。

学生可以根据给定情境，收集适当的数据，并按照一定的方式进行整理。

2. 数据的表达和分析
练题将要求学生使用适当的图表或图形来表达和分析收集到的数据。

学生需要选择合适的图表，并根据数据的特点进行分析，从图表中得出相关结论。

3. 核对答案
每个练题都会提供答案，供学生核对结果。

学生可以先自行完成题目，然后对照答案进行核对，找出自己的错误并进行纠正。

4. 反思和巩固
练题综合了数据收集、整理、表达和分析的能力，学生在练过程中不仅可以提升自己的数学能力，还可以培养自己的思考和分析问题的能力。

学生在解析答案时应反思自己的错误，并巩固掌握的知识。

5. 附加资源
除了练题和答案外，本文档还提供一些附加资源，包括数学数据分析的相关书籍推荐和在线研究平台推荐。

学生可以进一步扩展和深化自己的数学数据分析能力。

希望这份练题可以帮助七年级学生提高在数学上册数据分析方面的能力。

祝学生们研究顺利，取得好成绩！
参考资料：
- 高中数学数据分析教材。

数学分析上册练习题及答案第四,五章

一元函数的连续性第四章函数的连续性 1连续性概念1. 按定义证明下列函数在其定义域内连续:(1)xx f 1)(=;(2) x x f =)(. 证明(1) xx f 1)(=的定义域是R x ∈且0≠x ,取00≠x ,由函数极限四则运算可知)(11lim)(lim 0000x f x x x f x x x x ===→→,所以)(x f 在0x 连续.由0x 在定义域内的任意性知)(x f 在其定义域内连续.(2) )(x f 的定义域是R x ∈,任取R x ∈0,由于00x x x x -≤-,所以对任给的0>ε,取εδ=,使得当δ<-0x x 时有ε<-≤-=-000)()(x x x x x f x f .按函数在一点连续的δε-定义, )(x f 在0x 连续,由0x 在R 中的任意性知)(x f 在定义域R 内连续.2. 指出下列函数的间断点并说明其类型: (1) xx x f 1)(+=;(2) x x x f sin )(=;(3) ]cos [)(x x f =;(4) x x f sgn )(=;(5))sgn(cos )(x x f =;(6) ⎩⎨⎧-=;,,)(为无理数为有理数x x x x x f(7) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<--≤≤--<<∞-+=.1,11sin )1(,17,,7,71)(x x x x x x x x f解(1)因)(x f 仅在0=x 处无定义,故0=x 为函数的间断点,又因+∞=+→)(lim 0x f x ,-∞=-→)(lim 0x f x ,所以0=x 为第二类间断点.(2)因)(x f 仅在0=x 处无定义,故0=x 为函数的间断点, 又因,1sin lim sin lim )(lim ,1sin lim )(lim 0000-=-=-===---++→→→→→xxx x x f x x x f x x x x x 所以0=x 是)(x f 的第一类间断点,且为跳跃间断点.(3)由于,,0]cos [lim Z n x n x ∈=→π而0]1[])1([]cos [)(≠=-==n n n f ππ,所以)(Z n n x ∈=π为该函数的可去间断点.(4)由于,0,00,1sgn ⎩⎨⎧=≠=x x x 故1)(lim 0=→x f x ,而0)0(=f ,所以0=x 为函数的可去间断点.(5)由于⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++∈-±=+-∈==)232,22(1220)22,22(1)sgn(cos )(ππππππππππk k x k x k k x x x f 故,1)(lim,1)(lim ,1)(lim ,1)(lim )22()22()22()22(-===-=-+-+-→-→+→+→x f x f x f x f k x k x k x k x ππππππππ所以),2,1,0(22 ±±=±=k k x ππ皆为函数的跳跃间断点.(6)当00≠x 时,由于存在有理数列{}n x '和无理数列{}n x ''使得: 0x x n <'且)(0∞→→'n x x n;0x x n <''且)(0∞→→''n x x n , 故,)(lim )(lim ,lim )(lim 00x x x f x x x f n n n n n n nn -=''-=''='='∞→∞→∞→∞→而且,00x x -≠ 据函数极限的归结原则, )(lim 0x f x x -→不存在,同理)(lim 0x f x x +→也不存在,所以0≠x 的点皆为函数的第二类间断点.(7)因为,71lim )(lim)7()7(+∞=+=---→-→x x f x x 所以7-=x 为函数的第二类间断点.因为,01sin )1(lim )(lim ,1lim )(lim 1111=⋅-===++--→→→→x x x f x x f x x x x 即),01()01(+≠-f f 所以1=x 为函数的跳跃间断点.综上, 7-=x 是该函数的第二类间断点, 1=x 是该函数的跳跃间断点. 3. 延拓下列函数,使其在R 上连续:(1) 28)(3--=x x x f ;(2) 2cos 1)(xx x f -=;(3) x x x f 1cos )(=. 分析:如果函数)(x f 在R 上无定义的点皆为可去间断点,那么只需在每个无定义的点0x 处补充定义)(lim )(00x f x f x x →=,就可以使)(x f 的定义扩大到R 上且处处连续.解(1) )(x f 在2=x 时无定义,而12)42(lim 28lim)(lim 22322=++=--=→→→x x x x x f x x x ,故2=x为)(x f 的可去间断点,令,2,122),()(⎩⎨⎧=≠=x x x f x F 则)(x F 为)(x f 在R x ∈上的延拓,且在),(+∞-∞上连续.(2) )(x f 在0=x 时无定义,而2122sin 21lim 2sin 2lim cos 1lim)(lim 0220200=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅==-=→→→→x x x x xxx f x x x x ,所以0=x 为该函数的可去间断点.令,0,210),()(⎪⎩⎪⎨⎧=≠=x x x f x F 则)(x F 为)(x f 在R x ∈上的延拓,且在),(+∞-∞上连续.(3) )(x f 在0=x 时无定义, 而01coslim )(lim 0=⋅=→→xx x f x x ,所以0=x 为该函数的可去间断点. 令,0,00),()(⎩⎨⎧=≠=x x x f x F 则)(x F 为)(x f 在R x ∈上的延拓.4. 证明:若f 在点0x 连续,则f 与2f 也在点0x 连续.又问:若f 或2f 在I 上连续,那么f在I 上是否必连续?分析将)()(0x f x f -和)()(022x f x f -与)()(0x f x f -的不等式关系找出,从而利用极限定义求证其连续,即运用极限理论讨论可得结论.证明(1)因为)(x f 在点0x 连续,所以)()(lim 00x f x f x x =→,则根据极限的δε-定义,对任给的0>ε,存在0>δ,使得当δ<-0x x 时有ε<-)()(0x f x f .又因,)()()()(00x f x f x f x f -<-所以当δ<-0x x 时也有.所以)()(lim 00x f x f x x =→,即可知f 在点0x 连续.(2) 因)(x f 在0x 连续,即)()(lim 00x f x f x x =→,所以由函数极限的局部有界性知,存在0>M ,01>δ使得当10δ<-x x 时,有M x f x f ≤-)()(0.取},m in{1δδδ=',当δ'<-0x x 时,有)()()()()()(00022x f x f x f x f x f x f +⋅-=- ()εεM M x f x f x f x f 22)()()()(00=⋅<-⋅-≤.所以2f 在0x 连续.但是,当f 或2f 在I 上连续时, f 在I 上不一定连续.例如,,1,1)(⎩⎨⎧-=为无理数为有理数x x x f 则f ,2f 为常数1,故处处连续,但)(x f 却处处不连续.5. 设当0≠x 时, )()(x g x f ≡,而)0()0(g f ≠.证明: f 与g 两者中至多有一个在0=x 连续.证明:反证法假设)(x f 和)(x g 都在0=x 连续,即)0()(lim 0f x f x =→,)0()(lim 0g x g x =→,又因0≠x 时,)()(x g x f ≡,所以)(lim )(lim 0x g x f x x →→=,从而有)0()0(g f =,这与题设)0()0(g f ≠相矛盾.因此假设错误. )(x f 与)(x g 两者中至多有一个在0=x 连续.6. 设f 为区间I 上的单调函数.证明:若I x ∈0为f 的间断点,则0x 必是f 的第一类间断点.证明:设)(x f 在I 上递增,当I x ∈0且0x 不是I 的端点时,必存在0x 的某邻域I x U ⊂)(0,因)(x f 在)(0x U -内递增且以)(0x f 为上界,在)(0x U +内递增且以)(0x f 为下界,据函数极限的单调有界原理知)(lim 0x f x x +→与)(lim 0x f x x -→都存在,从而0x 是)(x f 的第一类间断点.当I x ∈0且为I 的左(右)端点时, )(x f 在0x 处的右(左)极限存在,所以0x 仍为第一类间断点.7. 设函数f 只有可去间断点,定义)(lim )(y f x g xy →=.证明g 为连续函数.证明:设f 的定义域为I ,则对任意的I x ∈0,因为)(lim )(00y f x g x y →=,所以对任意的0>ε,存在0>δ,当),(0δx U y ∈时,有ε<-)()(0x g y f .对任意的),(0δx U x ∈,因为)(lim )(y f x g xy →=,所以对同一ε,存在0>'δ,使),(),(0δδx U x U ⊂',且对任意的),(δ'∈x U y 时,有ε<-)()(x g y f .从而有ε2)()()()()()()()()()(000<-+-≤-+-=-x g y f y f x g x g y f y f x g x g x g .从而得)()(lim 00x g x g x x =→,所以)(x g 在点0x 处连续.由0x 的任意性知, )(x g 在I 上连续.8. 设f 为R 上的单调函数,定义)0()(+=x f x g .证明g 在R 上每一点都右连续.证明:假定f 为R 上的单调函数.对任意的R x ∈0,因)0(0+x f 存在,即)0()(lim 00+=+→x f x f x x ,所以对任意的0>ε,存在0>δ,当δ+<<00x x x 时,有ε<+-)0()(0x f x f .取x '使δ+<'<<00x x x x ,有ε<+-')0()(0x f x f .又由f 在R 上的单调增加性有εε++≤'≤+≤≤+≤-+)0()()0()()0()0(000x f x f x f x f x f x f ,即有εεεε+=++≤=+≤-+=-)()0()()0()0()(0000x g x f x g x f x f x g .由此可知,对一切),(00δ+∈x x x 有ε<-)()(0x g x g .因此点0x 是g 的右连续点,再由0x 在R 上的任意性,推得g 为R 上的右连续函数.9. 举出定义在]1,0[上分别符合下述要求的函数:(1) 只在31,21和41三点不连续的函数; (2) 只在31,21和41三点连续的函数;(3) 只在),3,2,1(1=n n上间断的函数;(4) 只在0=x 右连续,而在其它点都不连续的函数.解(1) .121,42131,33141,2410,1)(⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≤≤<≤<≤<≤=x x x x x f (2) .,0),41)(31)(21()(⎪⎩⎪⎨⎧---=为无理数为有理数x x x x x x f (3) .sin1)(xx f π=(4) .,0,)(⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x x f2连续函数的性质1. 讨论复合函数g f 与f g 的连续性,设 (1) 21)(,sgn )(x x g x x f +==; (2) .)1()(,sgn )(2x x x g x x f -==解(1)由于01)(2>+=x x g ,故1)1sgn())(())((2≡+==x x g f x g f ,所以g f 在所有点上都连续.又,0,20,1)(sgn 1))(())((2⎩⎨⎧≠==+==x x x x f g x f g 且)0)((2)(lim 0f g f g x ≠=→,所以0=x 为f g 的可去间断点,其余点均为f g 的连续点.(2)由于()⎪⎩⎪⎨⎧<<<---=<<-<=-=101,11,1,0,0101,1)1(sgn ))((2x x x x x x x x g f 或或 ,且,1)(lim 1=-→g f x ,1)(lim 1-=→g f x ,1)(lim 0-=-→g f x ,1)(lim 0=+→g f x ,1)(lim 1=-→g f x ,1)(lim 1-=+→g f x 所以))((x g f 在1,0,1-=x 处有跳跃间断点,在其它点连续.又0sgn ])(sgn 1[))((2≡-=x x x f g ,所以f g 处处连续. 2. 设g f ,在点0x 连续,证明:(1) 若)()(00x g x f >,则存在);(0δx U ,使在其内有)()(x g x f >; (2) 若在某)(00x U 内有)()(x g x f >,则)()(00x g x f ≥. 证明(1)令)()()(x g x f x F -=,则0)()()(000>-=x g x f x F ,又因为g f ,在点0x 连续,由定理4.4知F 在点0x 连续.由连续函数的局部保号性,对任何正数)(0x F r <,存在某)(0x U ,使得对一切)(0x U x ∈,有0)(>>r x F ,即存在)(0x U ,使得对一切)(0x U x ∈,有0)()()(>-=x g x f x F ,即)()(x g x f >.(3) 由)(),(x g x f 在点0x 连续可知,有)()(lim 00x f x f x x =→,)()(lim 00x g x g x x =→,又因为在)(00x U 内有)()(x g x f >,则有极限保号不等式性有)()(lim )(lim )(000x g x g x f x f x x x x =≥=→→.3. 设g f ,在区间I 上连续.记{}{})(),(m in )(,)(),(m ax )(x g x f x G x g x f x F ==. 证明F 和G 也都在I 上连续.证明:法一利用第一章总练习题1的结论. 因)(),(x g x f 在I 上连续,而])]()([)()([21])()()()([21)(2x G x f x g x f x G x f x g x f x F -++=-++=,是由)(),(x g x f 经过加,减,乘运算及其幂函数的复合运算所得,故)(x F 也在I 上连续.法二利用max 和min 的性质,由g f ,的连续性推出F 和G 的连续性. 对区间I 上任意一点0x ,g f ,在点0x 连续,则对任给0>ε,存在正数21,δδ,使得当10δ<-x x 时,有εε+<<-)()()(00x f x f x f ,当20δ<-x x 时,有εε+<<-)()()(00x g x g x g .取},m in{21δδδ=,则有εε+<<-)()()(00x f x f x f ,εε+<<-)()()(00x g x g x g 同时成立. 从而有{}ε+<)()(),(m ax 0x f x g x f 且{}ε+<)()(),(m ax 0x g x g x f .即{}{}ε+<)(),(m ax )(),(m ax 00x g x f x g x f .又有{}ε->)()(),(m ax 0x f x g x f 且{}ε->)()(),(m ax 0x g x g x f ,即{}{}ε->)(),(m ax )(),(m ax 00x g x f x g x f .综合以上得{}{}{}εε+<<-)(),(m ax )(),(m ax )(),(m ax 0000x g x f x g x f x g x f .由ε的任意性得{}{})(),(max )(),(max lim 000x g x f x g x f x x =→.即).()(lim 00x F x F x x =→同理可证).()(lim 00x G x G x x =→4. 设f 为R 上连续函数,常数0>c .记⎪⎩⎪⎨⎧>≤-<-=.)(,,)(),(,)(,)(c x f c c x f x f c x f c x F 若若若证明F 在R 上连续.证明:令{})}(,m in{,m ax )(x f c c x F -=,因常数c ,)(x f 都在R 上连续,所以由3题结论知)}(,min{x f c 在R 上连续,又因c -也在R 上连续,再由3题结论知{})}(,m in{,m ax x f c c -在R 上连续,即F 在R 上连续.5. 设⎩⎨⎧>+≤-==.0,0,)(,sin )(x x x x x g x x f ππ证明复合函数g f 在0=x 连续,但g 在0=x 不连续.证明:因⎩⎨⎧>+≤-=,0),sin(0),sin())((x x x x x g f ππ 所以0)sin(lim ))((lim 00=-=--→→πx x g f x x ,0)sin(lim ))((lim 00=+=++→→πx x g f x x .又0)0)((=g f ,故g f 在0=x 连续,但是ππ-=-=→→-)(lim )(lim 00x x g x x ,ππ=+=++→→)(lim )(lim 0x x g x x ,因)(lim )(lim 0x g x g x x +-→→≠,故)(x g 在0=x 不连续.6.设f 在),[+∞a 上连续,且)(lim x f x +∞→存在.证明: f 在),[+∞a 上有界,又问f 在),[+∞a 上必有最大值或最小值吗?证明(1)由于)(lim x f x +∞→存在，设A x f x =+∞→)(lim ，则根据极限定义，对1=ε，存在a M >，使得当M x >时，有1)(<-A x f ，从而A A A x f A A x f x f +<+-≤+-=1)()()(。

数学分析上册第四版教材精选题汇总(含答案解析)

p2.例1 设x ,y 为实数，x y <.证明:存在有理数r 满足 x r y <<.证由于x y <,故存在非负整数n ,使得n n x y <.令 ()12n n r x y =+ , 则r 为有理数，且有n n x x r y y ≤<<≤ ,即得x r y <<. p3.1.实数具有阿基米德性，即对任何,a b R ∈, 若0b a >>，则存在正整数n ，使得na b >. 证明:+,a b R ∀∈，n N +∃∈, 使得nb a >, 设012.n a a a a a = ,0a k N =∈ ,则1+110k a k +≤<，设012n b b b b b =，p b 为第一个不为0的正整数，令+110p k n +=，则+110k nb a >>，即nb a >.2.实数集R 具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，也有无理数。

证若a b <，则存在n N +∈，使)(112b a n <- ，)(2b a n<- ，设k 是满足k a n ≤ 的最大正整数，即+1k a n >，0ka n -≤ , 于是122k k k k ab a b n n n n n ++<<=+<+-≤ ，则1k n + ，2k n+ 是a 与b 之间的有理数，14k n nπ++ 是a 与b 之间的无理数。

.4P1.设a 为有理数，x 为无理数，证明：(1)a x +是无理数；(2)当a 0≠时，ax 是无理数.分析：根据有理数集对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算的封闭性，用反证法证. 证明：(1)假设a x +是有理数，则()a x a x +-=是有理数，这与题设x 是无理数相矛盾，故a x +是无理数.(2)假设ax 是有理数，则当0a ≠时，axx a=是有理数，这与题设x 为无理数相矛盾，故ax 是无理数.8.设p 为正整数.证明：若p .分析：本题采用反证法，联想到互质、最大公约数以及辗转相除法的有关知识点，可得结论.证明：用反证法.为有理数，则存在正整数m 、n mn=，且m 与n 互质.于是2m 22,(),pn m n pn ==⋅可见n 能整除2m ，由于m 与n 互质，从而它们的最大公约数为1，由辗转相除法知：存在整数u 、v 使1mu mv +=，则2m u mnv m +=.因n 既能整除2m u 又能整除mnv ，故能整除其和，于是n 能整除m ，这样1n =，所以2p m =.这与p 不是完全平方数相矛盾.小结：本题证明过程比较独特，先假设有理数为互质的两个数的商，利用这两个数与p 之间的关系，运用辗转相除法得出结论，注意知识点之间的内在联系.P7定理1.1（确界原理）设s 为非空数集.若s 有上界,则s 必有上确界;若s 有下界,则s 必有下确界.证我们只证明关于上确界的结论,后一结论可类似地证明.为叙述的方便起见,不妨设s 含有非负数.由于s 有上界,故可找到非负整数n ,使得 1）对于任何x S ∈有1x n <+； 2）存在0a S ∈,使0a n ≥.再对半开区间[),1n n +作10等分,分点为.1,.2,.9n n n ,则存在0,1,2,…,9中的一个数1n ,使得1）对于任何x S ∈有1110.n x n <+； 2）存在1a S ∈,使11.a n n ≥. 再对半开区间111.10,.n n n n ⎡⎫⎪⎢⎣⎭+作10 等分,则存在0,1,2,…,9中的一个数2n ,使得 1）对于任何x S ∈有1221.10n n n x +<； 2）存在2a S ∈,使212.a n n n ≥.继续不断地10等分在前一步骤所得到的半开区间,可知对任何1,2,k =,存在0,1,2,…,9中的一个数k n ,使得1）对于任何x S ∈有121.10k kx n n n n <+；（1） 2）存在k a S ∈,使12.k k a n n n n ≥.将上述步骤无限地进行下去,得到实数12.kn n n n η=.以下证明sup S η=.为此只需证明：（i ）对一切x S ∈有x η≤；（ii ）对任何αη<,存在a S '∈使a α<'.倘若结论（i ）不成立,即存在x S ∈使x η>,则可找到x 的k 位不足近似k x ,使121.10k k k kx n n n n η>=+,从而得121.10k kx n n n n >+, 但这与不等式（1）相矛盾.于是（i ）得证.现设αη<,则存在k 使η的k 位不足近似k k ηα>,即12.k k n n n n α>.根据数η的构造,存在a S '∈使k a η'≥，从而有k k >a ηαα≥≥'即得到<a α'. 这说明（ii ）成立 P.130例3 用数列的柯西收敛准则证明确界原理.证设S 为非空有上界数集，由实数的阿基米德性，对任何正数α,存在整数k α，使得k ααλα=为S 的上界，而(1)k ααλαα-=-不是S 的上界，即存在'αS ∈,使得'(1).k ααα>-分别取1,1,2,,n nα==则对每一个正整数n ，存在相应的,n λ使得n λ为S 的上界，而1n nλ-不是S 的上界，故存在',S α∈使得 1'n nαλ>- （6）又对正整数,m m λ是S 的上界，故有'm λα≥.结合（6）式得1n m nλλ-<；同理有1m n mλλ-<.从而得 11||max{,}.m n m nλλ-<于是，对任给的0,ε>存在0N >，使得当,m n N >时有||m n λλε-<由柯西收敛准则，数列{}n λ收敛.记lim n n λλ→∞=. （7）现在证明λ就是S 的上确界，首先，对任何S α∈和正整数n 有n αλ≤，由（7）式得,αλ≤即λ是S 的一个上界.其次，对任何0,δ>由1n→∞()n →∞及（7）式，对充分大的n 的同时有 1,.22n n δδλλ<>- 又因1n n λ-不是S 的上界。

数学分析(上册)答案-张勇杨光崇-第六章一元函数积分学

思考与练习 6-11. 回答下列问题:① 定积分作为积分和的极限,能否表示为()∑=∞→∆nk kkn xf 1lim ξ?答：不能.因为n →∞并不能推出0T →.② 积分和()∑=∆nk k k x f 1ξ的值与哪些因素有关?定积分()⎰badx x f 的值与哪些因素有关?答：()∑=∆nk k k x f 1ξ与函数，区间和区间的分割和取的点有关。

()⎰badx x f 只与函数和区间有关.③ 将区间[]b a ,n 等分,[].,,2,1,,,1n k x x n ab x k k k k =∈-=∆-ξ,积分和()∑=∆nk k k x f 1ξ是否为定值?答：不是.因为和()∑=∆nk kkxf 1ξ还与k ξ的取法有关.④ 在定积分的定义给出之前,如下说法是否合理?为什么?“曲边梯形()x f y ≤≤0”,[]b a x ,∈的面积不大于矩形[]b a x M y ,,0∈≤≤的面积,其中[](){}x f M b a x ,max ∈=.答: 不合理.因为在定积分定义给出之前,曲边梯形的面积没有定义,当然也就不能与矩形的面积比较大小.⑤ 0→T 是什么意思?当0→T 时,积分和()∑=∆nk kkxf 1ξ的极限是J 是什么意思?答：}{max 1i ni x T ∆=≤≤，0→T 表示对区间分割后最大的区间的长度都趋于0.设f 是定义在],[b a 上的一个有界函数,J 是一个确定的实数.若对任给的正数ε,总存在某一正数δ,使得对],[b a 的任何分割T ,以及在其上任意选取的点集}{i ξ,只要δ<T ,就有εξ<-∆∑=ni iiJ xf 1)(,则称函数f 在区间],[b a 上可积或黎曼可积;数J 称为f 在],[b a 上的定积分或黎曼积分,记作()baJ f x dx =⎰.2. 按定积分定义证明:⎰-=baa b k kdx )(.证明：0ε∀>，对[,]a b 作任意分割T ，并在其上任意选取点集{}i ξ，因为111(),[,],()()n n ni i i i i i i f x k x a b f x k x k x k b a ξ===≡∈∆=∆=∆=-∑∑∑,对任意的0ε>,任意取定0δ>，当T δ<时,有()1()()()0niii f x k b a k b a k b a ξε=∆--=---=<∑,所以函数()f x k =在[,]a b 上可积，且()bakdx k b a =-⎰3. 通过对积分区间作等分分割,并取适当的点集}{i ξ,把定积分看作是对应的积分和的极限,来计算下列定积分:①⎰13dx x ； ②⎰<<bab a x dx)0(2, 提示:()i i i i i i i i x x x x x x x x 111112212-=-+∆---; ()i i i i i i i i x x x x x x x x 1111212121-=-+∆----. 解 ①将[0,1]n 等分，分点为，0,1,2,,1k n =-.在区间1,k k n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取k n 作为k ξ 而 313011l i m nn k k x d x n n →∞=⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭∑⎰3411l i m n n k k n →∞==∑224111lim (1)44n n n n →∞=⋅+=.②取i ξ=后211110111111()nn i i i i i i n x x x x x x a b -==-⎛⎫⎛⎫-=-=-=-⎪⎝⎭∑∑ 将[,]a b n 等分，分点为()ka b a n+-，0,1,2,,k n =.在区间1[,]k k x x -作为k ξ则212111lim ()n b k k a n k dxx x x a b -→∞=⎛⎫=-=-∑⎰ 4. 已知一质量不均匀分布的棒的线密度x =ρ,长为l ,试求该棒的质量.解：所求质量为：22l xdx M l==⎰思考与练习 6-21．计算下列积分:①⎰+10)32(dx x ; ②⎰+10211dx x ; ③⎰22e e x dx ; ④⎰--102dx e e xx ; ⑤⎰-3211πdx x; ⑥⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+942123dx x x ; ⑦()⎰+π0sin 2cos dx x x . ⑧⎰1dx a x; ⑨⎰22sin πxdx ; ⑩ ⎰+21211dx x.解①()()112(23)313004x dx x x +=+=+-+=⎰；②4arctan 111102π==+⎰x dx x ； ③()()22222ln 2ln ln 2212e e e e dx x e e x==-=-=⎰；④()()111001001111()122222x x x x e e dx e e e e e e e e -----=+=+-+=+-⎰；⑤3arcsin arcsin 1130302πππ==-⎰x dx x；⑥()93131319222222449944301020dx x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-+=-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰； ⑦()()()00cos 2sin (sin 2cos )sin 2cos sin02cos04x x dx x x ππππ+=-=---=⎡⎤⎣⎦⎰； ⑧aa a a dx a x xln 1ln 1010-==⎰；⑨()22011sin 2cos2cos cos0122xdx x πππ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭⎰；⑩()2211ln ln(2ln(1x =+=+-+=⎰。

(完整word版)数学分析复习题及答案(word文档良心出品)

数学分析复习题及答案一.单项选择题1. 已知, 则=（）A. B. C. D.2. 设, 则（）A. B. C. D.3. （）A. B. C. D.4. 下列函数在内单调增加的是（）A. B. C. D.二、填空题1. 设函数2.3．在处连续, 则三、判断题1. 若函数在区间上连续, 则在上一致连续。

（）2. 实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点。

（）3．设为定义在上的单调有界函数, 则右极限存在。

（）四、名词解释1. 用的语言叙述函数极限的定义2. 用的语言叙述数列极限的定义五、计算题1. 根据第四题第1小题证明2. 根据第四题第2小题证明3. 设, 求证存在, 并求其值。

4．证明：在上一致连续, 但在上不一致连续。

5. 证明: 若存在, 则6. 证明: 若函数在连续, 则与也在连续, 问: 若在或在上连续, 那么在上是否必连续。

一、1.D 2.C 3.B 4.C二、1. 2. 3.三、1.× 2.√ 3.√四、1.函数极限定义: 设函数在点的某个空心邻域内有定义, 为定数。

, , 当时, , 则。

2.数列极限定义：设为数列, 为定数, , , 当时, 有, 则称数列收敛于。

五、1.证明:, , 当时, ；得证。

2.证明:令, 则, 此时, ,, , 当时,3.证明：⑴，⑵)1)(1(1111111----+++-=+-+=-n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x 而, 由数学归纳法可知, 单调增加。

综合⑴, ⑵可知存在,设, 则由解得=A 215+（负数舍去）4.证明: 先证在上一致连续。

, 取, 则当且有时, 有 []δ•''+'≤''-'''+'=''-'x x x x x x x f x f ))(()()(εε<+⋅++≤)(2)1(2b a b a故2)(x x f =在[]b a ,上一致连续。

(完整word版)数学分析上册练习题(word文档良心出品)

2、设函数在区间满足利普希茨条件，即存在常数，使得
任意两点都有证明
（1）函数在区间上一致连续；ห้องสมุดไป่ตู้
（2）函数在区间上一致连续。
六、
1.在上的连续函数为一致连续的充要条件是都存在.
2.用有限覆盖定理或者用闭区间套定理证明根的存在定理。
3、设函数在上满足方程且.
证明: ,
6给定两正数与 ( ),作出其等差中项与等比中项 ,
令 , .证明: 与皆存在且相等。
7设为正数，，证明：方程
在区间与内各有一个根。
8.若在上连续，在上可导，，证明：
，使得：。
五、1、设
（1）证明：是的极小值点；
（2）说明的极小值点处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。
三、解答题
.
2.设，计算。
3.已知求和 .
4.求极限
5.求极限 ..6.设，计算。
7.求极限；8.求极限
四、
1.证明：当时，。
2.设 .证明数列收敛，并求其极限.
3.按定义证明 .
4.设在内有二阶导数，且，有，
证明：在内至少存在一点，使得：。
5.证明：当时，。
5.函数在点处（）．
(A)有定义且有极限；(B)无定义但有极限；
(C)有定义但无极限；(D)无定义且无极限
6.设，则是函数的（）
(A)连续点；(B)跳跃间断点；(C)可去间断点；(D)第二类间断点。
7.若函数在上连续，则函数在（）
(A) 有界；(B) 无界；(C) 有界(D) 的任一闭区间上有界。
A．函数在点处有定义B．，但

数学分析(上册)答案-张勇杨光崇-第一章-实数集与函数

第一章实数集与函数思考与练习 1-11. 下述命题哪些成立?哪些不成立?①任何两个有理数的差是有理数. （成立） ②任何两个无理数的差是无理数. （不成立） ③两个不同无理数之间,总有别的无理数. （成立）2. 可以写成两个整数的比的数称为有理数 .3. 任何两个实数之间都有别的实数，这个性质称为实数的稠密性 .4. 在 9999.0和1之间还有别的数吗？（没有）5. 0111213141234567891.0是有理数还是无理数？(你将看到在一个给定数字序列中的模型).0.12345678910111213141516171819202199100101102103104105106107108是无理数6. 求两个无理数,使其和是有理数. (0=∈ ）7.“如果P 则Q ”的逆否命题是 “如果非Q 则非P ” .8. 公理和定义是已被认可的,而定理则必须证明.9. 设a 为有理数,x 为无理数,证明:①x a +是无理数; ②当0≠a 时,x a ⋅是无理数. 证：① 用反证法：若x a +是有理数，则由有理数对四则运算的封闭性，知()x a x a =+-∈ ，与已知矛盾，所以x a +是无理数。

②用反证法：若a x ⋅是有理数，则由有理数对四则运算的封闭性，知()0axx a a=∈≠ ，与已知矛盾，所以a x ⋅是无理数。

10. 证明:在任意两个不同的实数之间,一定存在一个有理数;也一定存在无穷多个有理数(提示:如果b a <,则0>-a b ,所以存在一个自然数n 使得a b n-<1.考虑整数集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧>b n k k 并注意到有下界的整数集一定有最小数). 证法1 (1) 由题目条件，可设b a <，则0>-a b ，由欧基米德定律，存在一个自然数n 使得a b n -<1，所以1a b b n <-<，又⎭⎬⎫⎩⎨⎧>b n k k 有下界，故有最小整数0k k k b n ⎧⎫∈>⎨⎬⎩⎭，所以当0m k <时，有mb n≤，因而有01k b n -≤,且01k a b n -≤≤,01k n -∈ .(事实上,如果0011k ka ab n n n->⇒+>>,此为矛盾) (2) 同上可证,在a 与01k c n -=(或01k n-与b )之间一定有另一个有理数d ,不妨设c d <,则()()(),,,1d cc cd a b n n n+-+∈⊂∈> ,即,a b 之间有无穷多个有理数. 证法2 由题目条件，可设b a <,由第1节的命题可知,存在非负整数n ,使得n n b b a a >>>,而,n n b a ∈ ,第一个结论得证.又因而()1,2n nn n n b a b a b +=∈⋂ ,而()12,2n n nn n b a b a b +=∈⋂ ,()1,,2k kn n n n n b a b a b -+=∈⋂ ,即,a b 之间有无穷多个有理数.第二个结论的另一证法:因为()()(),,,1n nn n n b a a a b a b n n n+-+∈⊂∈> ,即,a b之间有无穷多个有理数.11. 写出下述命题的逆命题、否命题和逆否命题,并指出哪些命题是真命题. ① 如果今天下雨,我就在家里工作; ╳② 如果这个候选人符合所有的条件,她就能被聘用; √③ 设c b a ,,是三角形的边长,如果222c b a =+,则这个三角形是直角三角形; √ ④ 如果角ABC 是锐角,则<00角ABC 090<;√ ⑤ 如果b a <,则22b a <.╳①逆命题: 今天我在家工作,是因为天下雨. ╳ 否命题: 如果今天不下雨,我就不在家工作. ╳ 逆否命题: 今天我不在家工作,是因为天没下雨. ╳②逆命题: 如果这个候选人能被聘用,是因为她符合所有的条件; ╳ 否命题: 如果这个候选人不符合某些条件,她就不能被聘用; ╳逆否命题: 如果这个候选人没被聘用,那就是因为她不符合某些条件. √ ③逆命题: 设c b a ,,是直角三角形的边长,则222c b a =+;√否命题: 设c b a ,,是三角形的边长,如果222a b c +≠,则这个三角形不是直角三角形; √逆否命题: 设c b a ,,是三角形的边长,如果这个三角形不是直角三角形, 则222a b c +≠;√④逆命题: 如果<00角ABC 090<,则角ABC 是锐角; √ 否命题: 如果角ABC 不是锐角,则角ABC 090≥.√ 逆否命题: 如果角ABC 090≥,则角ABC 不是锐角; √ ⑤逆命题: 如果22b a <,则b a <.╳否命题: 如果a b ≥,则22a b ≥.╳ 逆否命题: 如果22a b ≥,则a b ≥.╳ 12.若ε,x 和y 都是实数,下述命题哪些为真? ① 对任何00,2>⇒>x x x ; √ ② 对任何00,2>⇔>x x x ; ╳ ③ 对任何x x x >2,; ╳④ 对任何x ,存在y 使得2x y >; √⑤ 对任何正数y ,存在另一个正数x ,使得y x <<0; √ ⑥ 对任何的1,+<x x x ; √⑦ 存在一个自然数N ,使得N 大于任何素数; ╳⑧ 对任何的0>x ,存在一个y ,使得x y 1>; √ ⑨ 对任何的正数x ,存在一个自然数n ,使得x n <1; √⑩ 对任何的正数ε,都存在一个正整数n ,使得ε<n 21. √思考与练习 1-21. 下述命题成立的有:①由不等式z y y x ≤≤,和x z ≤可得z y x ==.√ ②如果x 和y 是实数,则()()0≤--x y y x .√ ③如果0<<b a ,则ba 11>.√ ④如果对任意的正数ε,都有ε<x ,则0=x .√ ⑤如果y x <,则y x <. ╳⑥如果实数x 和y 同号,则y x y x +=+√ ⑦如果1<r ,则r r r -≤-≤+111111.√ ⑧如果1>r ,则rr r +≤-≤-111111.√ 2. 下述等式成立的有①x x =-; ②22x x =; ③y x xy =; ④ x x =2.答: ②, ③.3. 不等式()4202≤-≤x 与220≤-≤x 所表示的实数范围是否相同?答:不相同, ()4202≤-≤x 所表示的实数范围是区间[]0,4,而220≤-≤x 所表示的实数范围是区间[2,4].4. 2<x 与42<x 表示的实数范围相同吗?答:相同,都是开区间()2,2-.5. 与32≤-x 等价的不等式是 -1 ≤≤x 5 .6. 如果b a ≤,则下列哪些结论为正确的:①ab a ≤2 ②33-≤-b a ③b a a 23≤ ④b a -≤-. 答: ②, ③.7. 试在数轴上表示出下列不等式的解:① 112+≥-x x ②31-<-x x ③23121-≥---x x x .解 ① 由⎩⎨⎧<<-<⎩⎨⎧⎩⎨⎧>-<>⇒>->⇒>-1101100100)1(22x x x x x x x x x 或或如图2-1； ② 两边平方得29612)3()1(22<⇒+-<+-⇒-<-x x x x x ，如图2-2；③ 两边平方得1210)12)(1(223)12)(1(223==⇒≥---⇒-≥----x x x x x x x x 且，此为矛盾，故解集为空集；用图形法给出数轴表示，如图2-3图2-1 图2-2 图2-3 8. 设R b a ∈, 证明:对任何正数ε有ε<-b a ,则b a =.证用反证法.若b a ≠,则令00>-=b a ε,由已知得b a b a -=<-0ε,此为矛盾.故b a =.9. 求δ(依赖于ε),使下述的蕴涵关系成立:①εδ<-⇒<-1535x x ; ② εδ<+⇒<+3666x x .解: ①3εδ=,②6εδ=10. 证明92922+≤+-x x x . (提示:用绝对值的三角形不等式,并注意到ab b a 110<⇒<<) 证 22222999x x x x x ++-≤≤++.11. 若0≠a ,则2122≥+a a . (提示:考虑21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a )证 2222211110220a a a a a a a a ⎛⎫-≥⇒-⋅+=-+≥⇒ ⎪⎝⎭2122≥+a a .12. 解不等式019922≤+++++xx x x .解 1002299111x x x x x x-+++++=- ,故不等式的为1x <.13. 如果3211111R R R R ++=,且4030,3020,2010321≤≤≤≤≤≤R R R ,求R 的取值范围.解131********=12020304010203060R ++≤≤++=。

数学分析考试题

数学分析考试题一、选择题1. 函数 $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ 的定义域是：A. $(-\infty, -1) \cup (-1, 1)$B. $(-\infty, 1) \cup (1, \infty)$C. $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$D. 全体实数集 $\mathbb{R}$2. 极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ 的值为：A. 0B. 1C. $\infty$D. 不存在3. 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，且 $f(a) = f(b)$，则 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上：A. 必定有一个零点B. 必定有一个极值点C. 必定有一个拐点D. 必定有一个最大值和一个最小值4. 定积分 $\int_{0}^{1} x^n dx$ ($n \neq 1$) 的值为：A. $\frac{1}{n+1}$B. $\frac{1}{n}$C. $\frac{1}{n-1}$D. 不能确定5. 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 交错收敛的二、填空题6. 求函数 $g(x) = |x-2| + |x-4|$ 的最小值。

7. 计算极限 $\lim_{x \to 2} \frac{(x^2 - 4)}{(x-2)^2}$。

8. 求定积分 $\int_{0}^{\pi/2} \sin x \, dx$。

9. 求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 的和。

10. 设 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$，求 $f(x)$ 的单调递增区间。

三、计算题11. 求函数 $h(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ 的导数。

工科数学分析上册基本题型练习

极限题1、求.)(cos lim 21x x x → 2、6sin )1(lim22xdt e x tx ⎰-→求极限。

3、、)(arctan sin arctan lim 20x x xx x -→ 4、210sin lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛→ 5、⎰⎰+∞→xt xt x dte dt e 020222)(lim 6、)1ln(1lim -→+x e x x7、xx x e x cos 1120)1(lim -→+ 8、 xx x x xx ln 1lim 1+--→9、)1ln()2(sin )1)((tanlim2302x x e x x x +-→ 10、10lim()3x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞→xx e x 12、)cot 1(lim 220x x x -→ 13、[])1(3sin 1lim 11x e x x ---→ 14、210)sin (lim x x xx → 15、()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0021)(3x Ax x x f x在0=x 点连续，则A =___________导数题1、.sin 2y x x y ''=，求设2、.),(0y x y y e e xy yx'==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(23的单调区间与极值求函数-=x x x f4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小，这时底直径与高的比是多少？5、)()2)(1()(n x x x x f ---= .求)()(x fn6、yx y x = 求dy 7、⎰=x xdt t x F 1sin 12sin )( 求)(x F '8、设⎩⎨⎧≤+>+=0401)(x b ax x e x f x 求b a ,使)(x f 在0=x 点可导.9、设)(x f 可导且1)1()0(==f f .若)2(sin 2sin 2)2(x f x f y = 求0=x dy10、设xxxee e y 221ln arctan +-=, 求y '. 11、设yy x =, 求dy .12、设xn e n x x x x f -++++=)!!21()(2 ，n 为正整数，求)(x f 的极值. 13、设)(x f 在0=x 点连续，0)0(≠f ，又)(2x f 在0=x 点可导且)0(|])([02f x f x ='=，求)0(f '.14、设)(x f 在]1,0[上连续，)1,0(内可导，0)1()0(==f f ，1)21(=f . 证明：)1,0(∈∃ξ使1)(='ξf15、设函数0)(>x f 且二阶可导，)(ln x f y =，则=''y __________ 16、0)cos(sin =--y x x y ，则=dy __________ 17、xxy sin =，求y '18、求函数21x xy +=的极值19、()y x y +=sin ，求22dxyd20、()xx y cos sin =，求dxdy 21、求过原点且与曲线59++=x x y 相切的切线方程。

数学分析(上)_习题集(含答案)

《数学分析（上）》课程习题集一、单选题1. 设)(x f 在D 内有界，并且0)(>x f ，则（）（A ）0)(inf >x f （B ）{}0)(inf ≥x f （C ）{}0)(inf =x f（D ）A 、B 、C 都不对2. 函数][)(x x f =在97.3-的值为（）（A ）3 （B ）4 （C ）3-（D ）4-3. 函数1sin )1()(--=x x xx x f ，则0=x 是)(x f 的（）（A ）连续点（B ）可去间断点（C ）跃度非0的第一类间断点（D ）第二类间断点4. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f 在0=x 处的导数为（）（A ）1-（B ）0 （C ）1 （D ）不存在5. 当x ∆充分小，0)('≠x f 时，函数的改变量y ∆与微分y d 的关系是（）（A ）y y d =∆（B ）y y d <∆（C ）y y d >∆（D ）y y d ≈∆6. 与x y 2=相同的函数有（）（A ）x y 210lg = （B ）x y 2lg 10= （C ）)sin(arcsin 2x y =（D ）xy 211=（E ）2)2(x y =7. 设数列}{n x 单调有界，则其极限（）（A ）是上确界（B ）是下确界（C ）可能是上确界也可能是下确界（D ）不是上、下确界8. 当0→x 时，下列变量为等价无穷小量的是（）（A ）)1ln(x +与x ；（B ）x cos 1-与2x ；（C ）x+11与x -1 ；（D ）11-+x 与x9. 下面哪个极限值为0（）（A ）x x x 1sin lim ∞→ （B ）x x x sin lim ∞→ （C ）x x x 1sinlim0→ （D ）x x x sin lim 0→ 10. 函数)(x f 连续（）（A ）必可导（B ）是)(x f 可导的充分条件（C ）是)(x f 可导的必要条件（D ）是)(x f 可导的充要条件11. 函数)1ln(2x x y ++=是（）（A ）偶函数（B ）奇函数（C ）非奇非偶函数（D ）奇、偶函数12. 给数列}{n x ，若在),(εε+-a a 内有无穷多个数列的点，（其中ε为一取定的正数），则（）（A ）数列}{n x 必有极限，但不一定等于a （B ）数列}{n x 极限存在且一定等于a （C ）数列}{n x 的极限不一定存在（D ）数列}{n x 的极限一定不存在13. 设⎩⎨⎧≥+<=0,0,)(x x a x e x f x ，要使)(x f 在0=x 处连续，则a =（）（A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）1-14. 设)(x f 是连续函数，)(x F 是)(x f 的原函数，则下列结论正确的是（）（A ）当)(x f 是奇函数时，)(x F 必是偶函数（B ）当)(x f 是偶函数时，)(x F 必是奇函数（C ）当)(x f 是周期函数时，)(x F 必是周期函数（D ）当)(x f 是单调增函数时，)(x F 必是单调增函数15. 设⎰-=xdt t x f cos 102sin )(，65)(65x x x g +=，则当0→x 时)(x f 是)(x g 的（）（A ）低阶无穷小（B ）高阶无穷小（C ）等价无穷小（D ）同阶但非等价无穷小16. 设点a 是)(x f 的连续点，是)(x g 的第一类间断点，则点a 是函数)()(x g x f +的（）（A ）连续点（B ）可能是连续点，亦可能是间断点（C ）第一类间断点（D ）可能是第一类间断点，亦可能是第二类间断点17. 下列函数相同的是（）（A ）xxx f =)(与1)(=x g （B ）x x f lg 2)(=与2lg )(x x g =（C ）x x f 2)(π=与)arccos (arcsin )(x x x x g +=（D ）x x f =)(与2)(x x g = （E ）11)(24+-=x x x f 与1)(2-=x x g18. 设⎰-=xa dt t f ax x x F )()(2，其中)(x f 为连续函数，则=→)(lim x F a x （）（A ）2a （B ）)(2a f a（C ）0 （D ）不存在19. 若)(x f 的导函数是x sin ，则)(x f 有一个原函数为（）（A ） 1+x sin（B ）1-x sin （C ）1+x cos（D ）1-x cos20. 设数列0)(lim =∞→n n n n n y x y x 满足与，则下列断言正确的是（）（A ）若n x 发散，则n y 必发散（B ）若n x 无界，则n y 必有界；（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小（D ）若nx 1为无穷小，则n y 必为无穷小 21. 设[x]表示不超过x 的最大整数，则][x x y -=是（）（A ）无界函数（B ）周期为1的周期函数（C ）单调函数（D ）偶函数22. 当0→x 时，下列4个无穷小量中比其它3个更高阶的无穷小量是（）（A ）)1ln(x + （B ）1-xe （C ）x x sin tan -（D ）x cos 1-23. 设及)(lim 0x f x x →)(lim 0x g x x →均存在，则)()(limx g x f x x →（）（A ）存在（B ）存在但非零（C ）不存在（D ）不一定存在24. 若))(()(+∞<<-∞=-x x f x f ，在)0,(-∞内,0)(>'x f 且0)(<''x f 。

苏教版四年级数学上册数据分析练习题

苏教版四年级数学上册数据分析练习题
一、选择题
1. 下图中，小红使用一把尺量出了不同物体的长度，她对比后得出了下面的结论，哪个结论是正确的？
A. 手指的长度是铅笔头的两倍
B. 铅笔的长度是纸片的两倍
C. 铅笔的长度是手指的两倍
2. 一支笔和一支橡皮共重30克，如果笔比橡皮重15克，那么橡皮的重量是多少？
A. 5克
B. 10克
C. 15克
二、填空题
1. 下表是小明家的人口统计表，请根据数据填写下面的空格：
0-18岁男性人口数：`2`
19-45岁女性人口数：`1`
46岁及以上男性人口数：`1`
2. 小华和小明比赛跳远，小华跳了3米8，小明跳了4米2，小华距离小明还差多少米？
距离差：`0.4米`
三、解答题
1. 用一根5厘米的铅笔和一根15厘米的尺测量一张20厘米长的纸条的长度，请描述你的方法和测量结果。

方法：首先将铅笔和尺对齐，以铅笔的长度为单位，在纸条上标记出每个5厘米的位置，接着数一数标记的个数，即为纸条的长度。

测量结果：纸条的长度为4个5厘米，即20厘米。

参考答案
一、选择题
1. C
2. B
二、填空题
1. 2
2. 0.4
三、解答题
1. 方法：首先将铅笔和尺对齐，以铅笔的长度为单位，在纸条上标记出每个5厘米的位置，接着数一数标记的个数，即为纸条的长度。

测量结果：纸条的长度为4个5厘米，即20厘米。

数学分析上册练习题及答案第三章函数极限

第三章函数极限1．函数极限概念1．按定义证明下列极限：（1）65lim 6x x x→+∞+=；（2）22lim(610)2x x x →-+=；（3）225lim 11x x x →∞-=-;（4）2lim 0x -→=；（5）00lim cos cos x x x x →=.证明（1）任意给定0ε>，取5M ε=，则当x M >时有65556x x x Mε+-=<=.按函数极限定义有65lim6x x x→+∞+=.（2）当2x ≠时有，2(610)2(2)(4)24x x x x x x -+-=--=--.若限制021x <-<，则43x -<.于是，对任给的0ε>，只要取min{1,}3εδ=，则当02x δ<-<时，有2(610)2x x ε-+-<.故有定义得22lim(610)2x x x →-+=.(3)由于22254111x x x --=--.若限制1x >，则2211x x -=-，对任给的0ε>，取max M ⎧⎪=⎨⎪⎩，则当x M >时有22225441111x x M x ε--=<=---，所以225lim 11x x x →∞-=-.(4)0==若此时限制021x <-<，==<=0ε>，取2min{1,}4εδ=，当02x δ<-<022εε<≤⋅=，故由定义得2lim 0x -→=.（5）因为sin ,x x x R ≤∈，则0000000cos cos 2sinsin 2sin sin 222222x x x x x x x x x x x x x x -+-+--=-=≤⋅=-.对任给的0ε>，只要取δε=，当00x x δ<-<时，就有00cos cos x x x x δε-≤-<=，所以按定义有00lim cos cos x x x x →=.2．叙述0lim ()x x f x A →≠。

数学分析第四版上册答案

数学分析第四版上册答案第一章环境建立1.1 算术基础在数学分析中，我们需要对数学中的基本运算进行复习和巩固。

这包括四则运算、乘方和开方等。

在本节中，我们将回顾这些基本算术技巧，并解答一些相关问题。

1.1.1 四则运算四则运算是我们进行数学计算的基本方法。

它包括加法、减法、乘法和除法。

在本节中，我们将通过一些例题来练习四则运算，并解答相应的问题。

例题1.1.1计算下列算式的结果：a) 2 + 3 * 4b) (5 - 2) * 7c) 10 / 5 + 3d) 8 - 6 / 2解答：a) 2 + 3 * 4 = 2 + 12 = 14b) (5 - 2) * 7 = 3 * 7 = 21c) 10 / 5 + 3 = 2 + 3 = 5d) 8 - 6 / 2 = 8 - 3 = 5计算下列算式的结果：a) 5 + 6 * 2 - 3b) 8 / 2 * (4 + 3)c) 7 - 4 / 2 + 5 * 3解答：a) 5 + 6 * 2 - 3 = 5 + 12 - 3 = 14 - 3 = 11b) 8 / 2 * (4 + 3) = 4 * 7 = 28c) 7 - 4 / 2 + 5 * 3 = 7 - 2 + 15 = 201.1.2 乘方与开方乘方和开方是我们在数学中经常用到的运算符。

乘方表示多次相乘，开方则相反，表示求一个数的平方根。

在本节中，我们将练习一些乘方和开方的计算，并解答相关问题。

例题1.1.3计算下列算式的结果： a) 2^3b) 4^0.5c) (23)2d) (32)3解答：a) 2^3 = 2 * 2 * 2 = 8 b) 4^0.5 = √4 = 2 c) (23)2 = 8^2 = 64 d) (32)3 = 9^3 = 729计算下列算式的结果：a) √9b) √(4^2)c) √(3^2 + 4^2)d) (√2 + 1)^2解答：a) √9 = 3 b) √(4^2) = √16 = 4 c) √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5 d) (√2 + 1)^2 = (1.414 + 1)^2 = 2.414^2 = 5.8291.2 方程与不等式在数学分析中，方程和不等式是我们经常遇到和解决的问题。

《数学分析》（上册）第一章实数集与函数试题和答案

第一章实数集与函数§1实数1、设a 为有理数，x 为无理数，试证明：⑴x a +是无理数.⑵当0≠a 时，ax 是无理数.证： ⑴ 假设x a +是有理数，则x a x a =-+)(是有理数，这与题设x 为无理数相矛盾，故x a +是无理数.⑵假设ax 是有理数，则x aax=为有理数，这与题设x 为无理数相矛盾故ax 是无理数.1、试在数轴上表示出下列不等式的解： ⑴ 0)1(2>-x x ；⑵⑶2、设a 、R b ∈.证明：若对任何正数ε有ε<-b a ，则b a =. 证:用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集有序性,有b a >或b a <; 若b a >,则又由绝对值定义知:b a b a -=-.令b a -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-b a b a 矛盾; 若b a <,则又由绝对值定义知:a b b a -=-.令a b -=ε,则ε为正数,但这与ε<-=-a b b a 矛盾; 从而必有b a =. 3、设0≠x ,证明21≥+xx ,并说明其中等号何时成立. 证:因x 与x 1同号,从而21211=⋅≥+=+xx x x x x , 等号当且仅当xx 1=,即1±=x 时成立.4、证明:对任何R x ∈,有⑴ 121≥-+-x x ；⑵2321≥-+-+-x x x 证: ⑴因为21111-=+-≤--x x x ,所以121≥-+-x x .⑵因为21132-+-≤-≤--x x x x , 所以2321≥-+-+-x x x5、设a 、b 、+∈R c (+R 表示全体正实数的集合),证明:c b c a b a -≤+-+2222证:对任意的正实数a 、b 、c 有)(22222c b a bc a +≤,两端同时加244c b a +,有224222222242c b a c a b a bc a c b a +++≤++, 即))(()(222222c a b a bc a ++≤+bc c a b a a 2))((2222222-≤++-,两端再同加22c b +,则有c b c a b a -≤+-+2222其几何意义为:当c b ≠时,以),(b a ,),(c a ,)0,0(三点为顶点的三角形,其两边之差小于第三边. 当c b =时,此三角形变为以),(c a ,)0,0(为端点的线段,此时等号成立6、设0,0>>b x ,且b a ≠,证明x b x a ++介于1与ba之间. 证:因为x b a b x b x a +-=++-1,)()(x b b a b x b a x b x a +-=-++,且0,0>>b x 所以当b a >时, b ax b x a <++<1; 当b a <时, 1<++<xb xa b a ; 故x b x a ++总介于1与ba 之间.7、设p 为正整数,证明:若p 不是完全平方数,则p 是无理数证:假设p 是有理数,则存在正整数m 、n 使nmp =，且m 与n 互素. 于是22m p n =.可见n 能整除2m .由于m 与n 互素,从而它们的最大公因数为1,由辗转相除法知:存在整数u 、v 使1=+nv mu .从而m mnv u m =+2因n 能整除2m ,又能整除mnv ,故能整除其和,于是n 可整除m ,这样1=n 因此2m p =.这与p 不是完全平方数相矛盾, 故p 是无理数8、设a 与b 为已知实数，试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解： ⑴ b x a x -<-；⑵b x a x -<-；⑶b a x <-2.解: ⑴原不等式等价于11<---bx ba 这又等价于20<--<b x b a 即⎩⎨⎧-<-<>b x b a b x 220或⎩⎨⎧->-><b x b a bx 220即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+>>b a b a x b x 2或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+<<ba b a x b x 2故当b a >时,不等式的解为2ba x +>当b a <时,不等式的解为2ba x +<当b a =时,不等式无解.⑵原不等式等价于⎩⎨⎧-<->b x a x b x 且⎩⎨⎧-<->b x x a bx即⎩⎨⎧>>b a b x 且⎪⎩⎪⎨⎧+>>2b a x bx 故当b a >时,21bx +>; 当b a ≤时,不等式无解. ⑶当0≤b 时,显然原不等式无解,当0>b 时原不等式等价于b a x b a +<<-2因此①当0≤+b a 或0≤b 时,无解②当0>+b a 且0>b 时,有解 Ⅰ 如果b a ≥,则解为b a x b a +<<-即b a x b a +<<-或b a x b a +>>--Ⅱ 如果b a <,则解为b a x +< 即b a x b a +<<+-§2数集确界原理1、用区间表示下列不等式的解: ⑴01≥--x x ;⑵61≤+xx ; ⑶0))()((>---c x b x a x (a 、b 、c 为常数,且c b a <<)⑷22sin ≥x 解 ⑴原不等式等价于以下不等式组⎩⎨⎧≥--<011x x x 或⎩⎨⎧≥--≥011x x x前一不等式组的解为21≤x ，后一不等式组无解. 所以原不等式的解为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-∈21,x ⑵不等式61≤+xx 等价于616≤+≤-x x这又等价于不等式组⎩⎨⎧≤+≤->x x x x 61602或⎩⎨⎧-≤+≤<xx x x 61602前一不等式组的解为]223,223[+-∈x ，后一不等式组解为]223,223[+---∈x . 因此原不等式解为 ]223,223[]223,223[+-+---∈x⑶令))()(()(c x b x a x x f ---=,则由c b a <<知:⎪⎩⎪⎨⎧∞+∈>-∞∈<= ;),(),(,0;),(),(,0)(c b a x c b a x x f因此0)(>x f 当且仅当 ;),(),(∞+∈c b a x因此原不等式的解为 ),(),(∞+∈c b a x .⑷当]43,4[ππ∈x 时22sin ≥x .由正弦函数的周期性知22sin ≥x 的解是]432,42[ππππ++∈k k x ,其中k 是整数2、设S 为非空数集,试给出下列概念的定义:⑴数集S 没有上界; ⑵数集S 无界.解: ⑴设S 为一非空数集,若对任意的0>M ,总存在S x ∈0,使M x >0,则称数集S 没有上界 ⑵设S 为一非空数集,若对任意的0>M ,总存在S x ∈0,使M x >0,则称数集S 无界3、证明:由(3)式确定的数集有上界,无下界. 证:{}22R x x y y S ∈-==.对任意的R x ∈,222≤-=x y 所以数集S 有上界2而对任意的0>M ,取m x +=31,则S M M x y ∈--=--===1322211, 但M y -<1,因此数集S 无下界4、求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证. ⑴{}22<=x x S⑵{},!为自然数n n x x S ==; ⑶{})1,0(内的无理数为x x S =; ⑷⎩⎨⎧=-==},2,1,211 n x x S n 解: ⑴2sup =S ,2inf -=S ,以下依定义加以验证.由22<x 知22<<-x ,因之对任意的S x ∈,有2<x 且2->x ,即2,2-分别是S 的上、下界.又对任意的0>ε,不妨设22<ε,于是存在220ε-=x ,221ε+-=x使0x 、1x S ∈，但ε->20x ，ε+-<21x ，所以2sup =S ,2inf -=S⑵+∞=S sup ,1inf =S ,以下依定义加以验证. 对任意的S x ∈，+∞<≤x 1，所以1是S 的下界.对任意的自然数n ,+∞<!n ,所以+∞=S sup ;对任意的0>ε,存在S x ∈==1!11,使ε+<11x ,所以1inf =S ⑶1sup =S ,0inf =S ,以下依定义加以验证.对任意的S x ∈，有10<<x ，所以1、0分别是S 的上、下界.又对任意的0>ε,取εη<<0，且使η-1为无理数，则η-1S ∈，εη->-11 所以1sup =S ；由η的取法知η是无理数，S ∈η，εεη+=<0，所以0inf =S⑷1sup =S ,21inf =S ,以下依定义加以验证. 对任意的S x ∈，有121≤≤x ，所以1、21分别是S 的上、下界.对任意的0>ε，必存在自然数k ，使S x k k ∈-=211，且ε->-=1211k k x所以1sup =S又S x ∈=-=21211,ε+<=-=2121211x 所以21inf =S5. 设S 为非空有下界数集.证明:S S S min inf =⇔∈=ξξ证:设S S ∈=inf ξ,则对一切S x ∈有ξ≥x ,而S ∈ξ,故ξ是数集S 中最小的数,即S min =ξ. 设S min =ξ,则S ∈ξ,下面验证S inf =ξ. Ⅰ 对一切S x ∈,有ξ≥x ,即ξ是S 的下界. Ⅱ 对任何ξβ>,只须取S x ∈=ξ0,则β<0x ,从而ξ不是S 的下界,故S inf =ξ.6.设S 为非空数集,定义}{S x x S ∈-=-,证明:⑴S S sup inf -=-⑵S S inf sup -=-证: ⑴设-=S inf ξ,由下确界的定义知,对任意的-∈S x ,有ξ≥x ,且对任意的0>ε,存在-∈S x 0,使εξ+<0x由}{S x x S ∈-=-知, 对任意的S x ∈-,ξ-≤-x ,且存在S x ∈-0,使εξ-->-0x ,由上确界的定义知ξ-=-S sup ,即S S sup inf -=-. 同理可证⑵式成立.7.设B A 、皆为非空有界数集,定义数集},,{B y A x y x z z B A ∈∈+==+. 证明: ⑴B A B A sup sup )sup(+=+ ⑵B A B A inf inf )inf(+=+ 证: ⑴设1sup η=A ,2sup η=B .对任意的B A z +∈,存在A x ∈,B y ∈,使y x z +=. 于是1η≤x ,2η≤y ,从而21ηη+≤z对任意的0>ε,必存在A x ∈0,B y ∈0且210εη->x ,220εη->y ,则存在B A y x z +∈+=000,使εηη-+>)(210z ,所以B A B A sup sup )sup(21+=+=+ηη ⑵同理可证8.设x a a ,1,0≠>为有理数,证明:{{⎪⎩⎪⎨⎧<>=<<,1}inf ,1}sup a r a a r a a rxr r x r x ，当为有理数，当为有理数证: 只证1>a 的情况, 1<a 的情况可以类似地予以证明.设}{x r r a E r<=，为有理数.因为1>a ,r a 严格递增,故对任意的有理数x r <,有x r a a <,即x a 是E 的一个上界.对任意的0>ε,不妨设x a <ε,于是必存在有理数x r <0,使得xr x a a a <<-0ε.事实上,由x a log 递增知:xx a a <-<ε0等价于x a a xa x a =<-log )(log ε取有理数0r ,使得x r a xa <<-0)(log ε.所以E a xsup =,即}{sup 为有理数r aa rxr x<=§4具有某些特征的函数1、证明:21)(x xx f +=是R 上的有界函数. 证: 利用不等式212x x +≤有2112211)(22≤+=+=x x xx x f 对一切的),(∞+-∞∈x 都成立故21)(x xx f +=是R 上的有界函数2、⑴证明陈述无界函数的定义; ⑵证明:21)(x x f =为)1,0(上的无界函数. ⑶举出函数f 的例子,使f 为闭区间]1,0[上的无界函数.解: ⑴设)(x f 在D 上有定义,若对任意的正数M ,都存在D x ∈0,使M x f >)(0,则称函数)(x f 为D 上的无界函数.⑵对任意的正数M ,存在)1,0(110∈+=M x ,使M M x x f >+==11)(2所以21)(xx f =为)1,0(上的无界函数. ⑶设⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,0]1,0(,1)(x x x x f .下证)(x f 为无界函数0>∀M ,]1,0(110∈+=∃M x ,使得M M x f >+=1)(0 所以⎪⎩⎪⎨⎧=∈=0,0]1,0(,1)(x x x x f 是闭区间[0,1]上的无界函数.3、证明下列函数在指定区间上的单调性: ⑴13-=x y 在),(∞+-∞内严格递增; ⑵x y sin =在]2,2[ππ-上严格递增;⑶x y cos =在],0[π上严格递减.证: ⑴任取1x 、),(2∞+-∞∈x ，21x x <，则0)(3)13()13()()(212121<-=---=-x x x x x f x f ，可见)()(21x f x f <，所以13-=x y 在),(∞+-∞内严格递增. ⑵任取1x 、]2,2[2ππ-∈x ，21x x <，则有22221ππ<+<-x x ,02221<-≤-x x π, 因此02cos21>+x x ,02sin 21<-x x , 从而02sin 2cos 2sin sin )()(21212121<-+=-=-x x x x x x x f x f , 故)()(21x f x f <,所以x y sin =在]2,2[ππ-上严格递增.⑶任取1x 、],0[2π∈x ，21x x <,则π<+<2021x x ,02221<-≤-x x π, 从而02sin21>+x x ,02sin 21<-x x 02sin 2sin2cos cos )()(21212121>-+-=-=-x x x x x x x f x f 故)()(21x f x f >,所以x y cos =在],0[π上严格递减.4、判别下列函数的奇偶性:(1)12)(24-+=x x x f ;(2) x x x f sin )(+=;(3)22)(x e x x f -=; (4))1lg()(2x x x f -+=解(1)因)(121)(2)()(2424x f x x x x x f =-+=--+-=-, 故12)(24-+=x x x f 是偶函数. (2)因),()sin ()sin()()(x f x x x x x f -=+-=-+-=-故x x x f sin )(+=是奇函数.(3)因)()()(222)(2x f e x e x x f x x ==-=----,故22)(x e x x f -=是偶函数. (4))()1lg(11lg)1lg())(1lg()(2222x f x x x x x x x x x f -=++-=++=++-=-++-=-故)1lg()(2x x x f -+=是奇函数.5、求下列函数的周期:(1)x x f 2cos )(=;(2)x x f 3tan )(=;(3)3sin 22cos )(xx x f +=. 解 (1) )2cos 1(21cos )(2x x x f +==,而x 2cos 1+的周期是π,所以x x f 2cos )(=的周期是π. (2))3tan(x 的周期是3π,所以x x f 3tan )(=的周期是3π. (3)2cos x 的周期是π4,3sin x 的周期是π6,所以3sin 22cos )(xx x f +=的周期是π12.6、设)(x f 为定义在],[a a -上的任一函数,证明: (1) ],[),()()(a a x x f x f x F -∈-+=为偶函数; (2) ],[),()()(a a x x f x f x G -∈--=为奇函数; (3) f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.证 (1)由已知函数)(x F 的定义域关于原点对称且],,[a a x -∈∀)()()()()()(x F x f x f x f x f x F =-+=+-=-.故)(x F 为],[a a -的偶函数.(2) 由已知函数)(x G 的定义域关于原点对称且],,[a a x -∈∀有)()]()([)()()(x G x f x f x f x f x G -=---=--=-.故)(x G 为],[a a -的奇函数.(3)由(1)(2)知: ),(2)()(x f x G x F =+从而)(21)(212)()()(x G x F x G x F x f +=+=,而)(x F ,)(x G 分别是偶函数和奇函数.显然)(21x F 也是偶函数, )(21x G 也是奇函数.从而f 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和.7、设)(x f ,)(x g 为定义在D 上的有界函数,且对任一)()(,x g x f D x ≤∈,证明:(1))(sup )(sup x g x f Dx D x ∈∈≤;(2) )(inf )(inf x g x f Dx D x ∈∈≤. 证 (1)假设)(sup )(sup x g x f Dx D x ∈∈>. 令))(sup )(sup (21x g x f D x D x ∈∈-=ε,则0>ε 由上确界定义知,存在D x ∈0,))(sup )(sup (21)(sup )(0x g x f x f x f Dx D x D x ∈∈∈+=->ε,又对任意的D x ∈,<)(x g ))(sup )(sup (21)(sup x g x f x g D x D x D x ∈∈∈+=+ε. 由此知)()(0x g x f >,这与题设)()()(D x x g x f ∈∀≤相矛盾,所以)(sup )(sup x g x f D x D x ∈∈≤.(2)同理可证结论成立.8、设f 为定义在D 上的有界函数,证明:(1) )(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-=-;(2) )(sup )}({inf x f x f Dx D x ∈∈-=- 证: (1)令ξ=∈)(inf x f Dx .由下确界的定义知,对任意的D x ∈,ξ≥)(x f ,即ξ-≤-)(x f , 可见ξ-是)(x f -的一个上界;对任意的0>ε,存在D x ∈0,使εξ+<)(0x f ,即εξ-->-)(0x f ,可见ξ-是)(x f -的上界中最小者.所以)(inf )}({sup x f x f Dx D x ∈∈-=-=-ξ(2)同理可证结论成立.9、证明:函数x x f tan )(=在)2,2(ππ-内为无界函数,但在)2,2(ππ-内任一闭区间[]b a ,上有界.证: (1)对任意的正数M ,取)1arctan(0+=M x , 则220ππ<<-x ,M M M x >+=+=1)1(tan(arctantan 0 所以x x f tan )(=在)2,2(ππ-内是无界函数. (2)任取[]b a ,)2,2(ππ-∈,由于x tan 在[]b a ,上是严格递增的,从而b x a tan tan tan ≤≤对任意的[]b a x ,∈都成立.令}tan ,tan max{a a M =,则对一切的[]b a x ,∈,有M x ≤tan ,所以x x f tan )(=在)2,2(ππ-内任一闭区间[]b a ,上有界.10、讨论狄利克雷函数⎩⎨⎧=为无理数时当为有理数时当x x x D ,0,1)(的周期性、单调性、有界性。

数学分析上考试题及答案

数学分析上考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+3x-4在区间(-∞, -2)上是：A. 增函数B. 减函数C. 常数函数D. 非单调函数答案：B2. 极限lim(x→0) (x^2/sin x)的值是：A. 0B. 1C. ∞D. -∞答案：B3. 以下哪个级数是收敛的？A. 1/n^2B. 1/nC. n/n^2D. 1/n^(1/2)答案：A4. 函数f(x)=e^x的导数是：A. e^xB. -e^xC. 0D. 1答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x^2+2的极值点是______。

答案：x=1, x=22. 函数f(x)=|x|在x=0处的导数是______。

答案：不存在3. 函数f(x)=x^2+2x+1在区间[-1, 1]上的定积分是______。

答案：4/34. 函数f(x)=sin x的不定积分是______。

答案：-cos x + C三、解答题（每题15分，共40分）1. 证明函数f(x)=x^3在R上是增函数。

证明：设任意x1, x2∈R，且x1 < x2，则f(x1)-f(x2)=x1^3-x2^3=(x1-x2)(x1^2+x1x2+x2^2)。

由于x1 < x2，所以x1-x2 < 0，x1^2+x1x2+x2^2 > 0，因此f(x1)-f(x2) < 0，即f(x1) < f(x2)，所以函数f(x)=x^3在R上是增函数。

2. 计算极限lim(x→∞) (1/x)^x。

解：lim(x→∞) (1/x)^x = lim(x→∞) e^(x*ln(1/x)) =lim(x→∞) e^(-x*ln x)。

由于ln x的增长速度慢于x的增长速度，所以-x*ln x→-∞，因此e^(-x*ln x)→0，即lim(x→∞) (1/x)^x = 0。