数学分析上册练习题

一、填空题

1. _______sin lim =+∞→x

x

x x 2. 已知25lim

232n an bn n →∞++=+，则a =________，b =______; 3. 若)3)(2)(1(---=x x x x y ，则y '(0) =_____

；

4. 设函数)(x f 在),(∞+-∞上可导，且0)(='x f ,3)0(=f ,则=)(x f 。

5. =∞

→x

x x 1

sin

lim ______. 6. 若函数⎩⎨

⎧>+≤+=0

),ln(,0,

)(x e x x a x x f 在),(∞+-∞连续，则 =a

二、选择题

1．下列函数在给定区间上不满足拉格朗日中值定理的有（ ）。

A ．x y = []2,1- ； B. 1542

3

-+-=x x x y []1,0 ；

C ．(

)2

1ln x

y += []3,0 ； D. 2

12x

x

y +=

[]1,1-。 2．若函数)(x f 在点0x 处可导，则( )是错误的．

A ．函数)(x f 在点0x 处有定义

B ．A x f x x =→)(lim 0

，但)(0x f A ≠

C ．函数)(x f 在点0x 处连续

D ．函数)(x f 在点0x 处可微 3．设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos ' C ． x x x f d22sin )2(cos '- D ．x x x f d 2sin )2(cos 2'

4．当()00>'>x f x x 时，；当()00<'

A. 极大值点

B. 极小值点

C. 驻点

D.以上都不对 5．设a x n n =∞

→||lim ，则 （ ）

(A) 数列}{n x 收敛； (B) a x n n =∞

→lim ；

(C) a x n n -=∞

→lim ； (D) 数列}{n x 可能收敛，也可能发散。

6．设|

|sin )(x x

x f =

，则0=x 是f 的 （ ） (A) 连续点； (B) 可去间断点； (C) 跳跃间断点； (D) 第二类间断点。 7．若函数)(x f 在),(b a 上连续，则)(x f （ ）

(A) 在),(b a 有界； (B) 在),(b a 的任一闭区间上有界； (C) 在),(b a 无界； (D) 在],[b a 有界。 8．设)(x f 是奇函数，且0)

(lim

=→x

x f x ，则 （ ） (A) 0=x 是f 的极小值点； (B) 0=x 是f 的极大值点；

(C) )(x f y =在0=x 的切线平行于x 轴；(D) )(x f y =在0=x 的切线不平行于x 轴。 9．设)(x f y =在0x 可微，记0x x x -=∆，则当0→∆x 时，dy y -∆ （ ）

(A) 是x ∆的高阶无穷小； (B) 与x ∆是同阶无穷小； (C) 与x ∆是等价无穷小； (D) 与x ∆不能比较。

三、解答题

1

．2

1

lim n n →∞

⎛⎫

+

+； 2．设()()sin 1cos x a t t y a t =-⎧⎪⎨=-⎪⎩

，求22d y dx 3．设ψϕ,为可导函数，22))(())((x x y ϕϕ+=,求y '; 4．)122(lim n n n n ++-+∞

→

四、1. 设()()

,00,0g x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩

，且已知()()000g g '==

，()04g ''=,

试求()0f '． 2. 设1a 1n a +1,2,

n =，证明: 数列{}n a 的极限存在并求其值。

3. 设0>k ,试问k 为何值时,方程0arctan =-kx x 存在正实根.

五、1. （1）若函数)(x f 在],[b a 上可导，且m x f ≥')(，证明；)()()(a b m a f b f -+≥；

（2）若函数)(x f 在],[b a 上可导，且M x f ≤'|)(|，证明：)(|)()(|a b M a f b f -≤-， （3）证明：对任意实数21,x x ，都有|||sin sin |1221x x x x -≤-。

2. 设函数a x 在点)(ϕ连续，)()(),()(a f a f x a x x f +-

''-=和求ϕ，问在什么条件下)(a f '存在。

六、 按函数作图步骤，作函数()2arctan f x x x =-的图像。

一、填空题

1. 20lim

____;1cos x x x →=- 2. 1

cos sin y x x

=函数的连续区间为 ; 3. 数集{|S x x =为（0，1）内的无理数｝，其上下确界分别为______ ； 4. 数列{}(1)1

n

n

n -+的全体聚点为 ;

5. 设函数)(x f 在),(∞+-∞上可导，且()cos f x x '=,(0)1f =,则=)(x f

6. =-++∞

→)1(lim 2

x x x x __________; 7 =→x

x x 1

sin

lim 0

8. 设曲线2

ax y = 与曲线x y ln = 相切，则 =a ;

9 设}2|{2

<=x x E ，则 =E sup ；=E inf 10. 若函数⎩⎨

⎧>+≤+=0

),ln(,0,

)(x e x x a x x f 在),(∞+-∞连续，则 =a .

二、选择题

1. 设 a u n n =∞

→lim ，则当n →∞时，n u 与a 的差是（ ）

(A)无穷小量 (B)任意小的正数 (C)常量 (D) 给定的正数

2. 设函数)(x f 在),(b a 内连续，),(0b a x ∈，且0)()(00=''='x f x f ，则函数在0x x = 处（ ）. （A ）取得极大值 （B ）取得极小值

（C ）一定有拐点))(,(00x f x （D ）可能有极值，也可能有拐点。 3. 设)(x f 是偶函数，在0点可导，则=')0(f （ ） (A) 1 (B)-1 (C) 0 (D) 以上都不对. 4. 函数328)(x x x f -=，则

(A) 在任意区间[a,b]上罗尔定理成立；（B ）在[0,8]上罗尔定理不成立； （C ）在[0,8]上罗尔定理成立； (D)在任意闭区间上罗尔定理不成立. 5. 函数f x x x

()sin

=1

在点x =0处（ ）． (A)有定义且有极限； (B)无定义但有极限； (C)有定义但无极限； (D)无定义且无极限 6. 设|

|sin )(x x

x f =

，则0=x 是函数f 的 （ ） (A) 连续点； (B) 跳跃间断点； (C) 可去间断点； (D) 第二类间断点。 7. 若函数f 在),(b a 上连续，则函数f 在 （ ） (A) ),(b a 有界；(B) ),(b a 无界；(C) ],[b a 有界 (D) ),(b a 的任一闭区间上有界。