数论综合练习题(2)

数论综合练习题

【练习 1】三个连续自然数的乘积等于 39270。这三个连续自然数的和等于多少？

【练习 2】两名运动员进行一场乒乓球比赛，采取三局两胜制。每局先得 11 分者为胜，如果打到 10 平，则先多得 2 分者为胜。结果三局比赛下来，单方最高得分都不超过 20 分，把每人每局得分乘在一起恰为 480480。请问：各局的比分分别是多少？（按大比小的方式写出）

【练习3】从1！，2！，3！，…，100！这100个数中去掉一个数，使得剩下各数的乘积是一个完全平方数。请问：被去掉的那个数是什么？

【练习4】已知51位数 55 55 999 能被13整除，中间方格内的数字是多少？

25 个525 个9

【练习5】在六位数11 11 中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除。

方框中的两位数是多少？

【练习 6】所有 70 的倍数中，共有多少个数恰有 70 个约数？

【练习 7】4 个运动员进行乒乓球比赛，他们的号码分别为 101、126、173、193。规定每两人之间比赛的盘数是他们号码的和除以 3 所得的余数。请问：比赛盘数最多的运动员打了多少盘？

【练习 8】有一个大于 1 的整数，用它除 300、262、205 得到相同的余数，求这个数。【练习9】已知 21! =AB0909421717094CD000 ，那么四位数ABCD是多少？

【练习10】a 、b是自然数，a 进制数(47)a和b进制数(74)b相等，a+b的最小值是多少？

【练习11】 22003与20032的和除以7的余数是________．

【练习 12】有 2 个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是 1031，第一个数各个位的数字之和是 10，第二个数的各个位数字之和是 8，求两个三位数的和。

【练习13】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是 a +5、2a 、a，求这个自然数和 a 的值.

【练习14】计算 (32003-1) 除以26的余数．

【练习15】把7位数2ABCDEF变成7位数ABCDEF2 ，已知新7位数比原7位数大3591333，求（1）原 7 位数是几，（2）如果把汉语拼音字母顺序编为 1～26 号，且以所求得原 7 位数的前四个数字组成的两个两位数2 A和BC所对应的拼音字母拼成一个汉字，再以后三个数字D，E，F分别对应的拼音字母拼成另一个汉字，请写出由这两个汉字组成的词。

答案

【答案1】39270 = 2 ⨯ 3 ⨯ 5 ⨯ 7 ⨯11⨯17 ，按大数配小数的原则，17 ⨯ 2 = 34 ,11⨯ 3 = 33, 7 ⨯ 5 = 35 ,所以这三个连续自然数的和是33+34+35=102

【答案2】 480480 = 480 ⨯1001 = 25⨯ 3 ⨯ 5 ⨯ 7 ⨯11⨯13 因为最高得分不超过20分，13只能单独，13超过了11分，所以另一得分是11或是 15,3×5=15 分，

（1）当另一得分为 15 分时，则 7 可以配 2 的 14 分，刚好剩余了 4 个 2，等于 16 分，所以三场比赛是 16:14；15:13；11:1。

（2）当另一得分为 11 分时，则超过 11 分的可以有 12 分、14 分与 15 分；无法构成。所以各局比分是：16:14；15:13；11:1。

( )

2⨯100 ， 98!⨯ 97! ( )

2⨯98

( )

2⨯ 2 ，则

【答案3】100!⨯ 99! = 99! = 97! ， 2!⨯ 1! = 1!

从 1！，2！，3！一直到 100！的乘积可转化为：

)

( ) (

1!⨯ 2!⨯ ⨯ 100! 2⨯ 2 ⨯ 4 ⨯ ⨯ 100 = 1!⨯ 2!⨯ ⨯ 100! 2⨯250 ⨯ 1⨯ 2 ⨯ ⨯50 ，

则被去掉的那个数为 50! 。

【答案4】令该51位数为 55 55 a 99 9 ，则根据能被13整除的特征，三位一段，奇数段

25 个525 个9

之和与偶数段之和的差如果是 13 的倍数，则其为 13 的倍数。

奇数段之和为： 999 + 999 + 999 + 5a9 + 555 + 555 +555 ；

偶数段之和为： 999 + 999 + 999 + 555 + 555 + 555

其差为： 5a9 ，则 5a9 应为13的倍数。则a= 5

【答案5】采用试除法.设六位数为11ab11,11ab11 = 11 ⨯ 10000 +ab00 + 11 = 110011 +ab00

如果一个数能同时被17 和19 整除，那么一定能被 323 整除．

110011 ÷ 323 = 340191，余191 也可以看成不足 323 - 191 =132 ．

所以当 ab00=132+323n 时，即ab00是100的倍数时，六位数才是323的倍数．

所以有 323n的末位只能是10 - 2 = 8 ，所以n只能是 6 ，16 ，26，

验证有 n =16时，132+323⨯16=5300，所以原题的方框中填入5，3得到的115311满足题意．

【答案 6】设 70 的 N 倍恰有 70 个约数。

70=2×5×7有：（1+1）×（1+1）×（1+1）=23=8

∵8不整除70∴N内可能有2、5、7

若有4个不同质因数，但70只能表示为2×5×7

∴N内必含2、7、5中几个

∴70N=2（a+1）×5（b+1）×7（c+1）

（a+1+1）×（b+1+1）×（c+1+1）=70

a、b、c 分别是 0，3，5 中一个

N为23×55，23×75

25×23，25×73

53×75，55×73

一共 6 组

【答案7】根据题意，101 ÷ 3 = 33 2 ，126 ÷ 3 = 42 ，173 ÷ 3 = 57 2 ；193 ÷ 3 = 64 1。而他们号码的和除以 3 所得的余数与他们除以 3 的余数的和相等。则 101 号选手分别比赛了 2 场、1 场、0 场；

126 号选手分别比赛了 2 场、2 场、1 场共计 5 场；

173 号选手分别比赛了 1 场、2 场共计 3 场；

193 号选手分别比赛了 0 场、1 场、0 场共计 1 场。

所以比赛最多的选手为 126 号选手比赛了 5 场。

【答案 8】根据题意，该整应为 300-262=38 的一个因数，也为 262-205=57 的一个因数。

也就是该数只能取 19 或者 1。所以该数只能为 19。

【答案9】由于1～21中有4个5的倍数，所以 21!的末尾有4个0，所以D=

0 ．由于 21! = 2 ⨯ 5 ⨯10 ⨯15 ⨯ 8 ⨯ 20 ⨯M= 10000 ⨯ 8 ⨯3M(M为正整数)，所

以

AB0909421717094CD000去掉末尾的4个0后得到的数是8的倍数，那么94C 是8的倍数，所以 C =4．

由于该数既是 9 的倍数，又是 11 的倍数。则该数必然为 99 的倍数。则有：

0 + 44 + 9 + 17 + 17 + 42 + 9 + 9 +AB=AB+147 为99的倍数。

所以 AB =51。

则该四位数 ABCD 为5140。