高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及标准方程1导学案无答案新人教B版

2.1.1椭圆及标准方程（1）

一、 学习目标及学法指导

1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；

2．通过用简易工具画椭圆的图像掌握椭圆的定义；

3．通过椭圆标准方程的推导过程掌握椭圆的标准方程的两种形式．

二、预习案

（预习教材文P 32~ P 37找出疑惑之处）

复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ．

复习2：方程22(3)(1)4x y -++=表示以 为圆心, 为半径的 ． ※ 学习探究

取一条定长的细绳，

把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．

如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动

思考：移动的笔尖（动点）

满足的几何条件是什么？

经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．

新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．

反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？

当122a F F =时，其轨迹为 ；

当0<122a F F <时，其轨迹为 ．

试试：

已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹

是 ．

小结：应用椭圆的定义注意两点：

①分清动点和定点； ②看是否满足常数122a F F ．

新知２：椭圆的标准方程：

（1）回顾求圆的标准方程的基本步骤

建系→设点→建立等量关系→代入坐标→化简

（2）如何建立坐标系可以使方程的形式简单？

当焦点在x 轴上时：

①建系：

②设点：

③建立关系式：

根据椭圆的定义，知

④代入坐标

⑤化简

指出：（1）比较,a b 的大小关系 a b 0

（2）方程()22

2210x y a b a b

+=>>叫做椭圆的标准方程，这里222c a b =- 思考：若焦点在y 轴上，椭圆的标准方程怎样建立？

归纳：明确椭圆的两种标准方程的异同点

（1）方程的右边都是1；（2）在两个方程中，总有0a b >>（3）,,a b c 的关系式

（4）怎么由椭圆的标准方程判断焦点在哪个轴上？

焦点在x 轴上的椭圆的标准方程

()22

2210x y a b a b

+=>> 其中222b a c =- 若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，

则椭圆的标准方程是

（一）基础训练：

1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程

(1)4,3a b ==,焦点在x 轴上

(2)1,b c =焦点在y 上

2.已知椭圆的方程为22

136100

x y +=,则a = ,b = ,c = ,焦点的坐标为 焦距为 ,如果此椭圆上一点P 到焦点1F 的距离为8,则点P 到另一个焦点2F 的距离等于

3.求下列椭圆的焦点坐标: (1)2

219

x y += (2)22

1312

x y += (3)22

24x y +=

(4)22169144x y +=

三、课中案

例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；

⑵4,a c ==y 轴上；

⑶10,a b c +==．

变式：方程142

2=+m

y x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ．

小结：椭圆标准方程中：222a b c =+ ；a b > ．

例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭

，求它的标准方程 ． 变式：椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．

小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ．

※ 动手试试

练1. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2

213

x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另

外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）

A ．

B ．6

C ．

D ．12

练2 ．方程192

2=-m

y x 表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的范围．

四、课后案

1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为 （ ）．

A ．椭圆

B ．圆

C ．无轨迹

D ．椭圆或线段或无轨迹

2．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 （ ）．

A ．(0,)+∞

B ．(0,2)

C ．(1,)+∞

D ． (0,1)

3.如果椭圆22

110036

x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）

A ．4

B ．14

C ．12

D ．8

4．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程

是 ．

5. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：

⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =；

⑶10,4a c a c +=-=．

6. 椭圆22

14x y n

+=的焦距为2，求n 的值．