函数性质综合习题及答案

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函数的性质练习题

函数的性质练习题1.已知函数$f(x)=x^2+2(a-1)x+2$在区间$(-\infty,4]$上是减函数，则实数$a$的取值范围是（）。

答案：$a\leq 3$。

2.下列函数中，在区间$(0,1)$上是增函数的是（）。

A。

$y=x$；B。

$y=3-x$；C。

$y=\frac{2}{x}$；D。

$y=-x+4$。

答案：B。

$y=3-x$。

3.若函数$f(x)=4x-kx-8$在$[5,8]$上是单调函数，则$k$的取值范围是（）。

答案：$[40,64]$。

4.已知函数$y=x$的值域是$[1,4]$，则其定义域不可能是（）。

A。

$[1,2]$；B。

$[-2,2]$；C。

$[-2,-1]$；D。

$[-2,-1]\cup\{1\}$。

答案：C。

$[-2,-1]$。

5.函数$y=\frac{x}{x+1}$的图像是（）。

答案：略。

6.设$M=\{y|y=3-x,x\in\mathbb{R}\}$，$N=\{y|y=x+3,x\in\mathbb{R}\}$，则$M\cap N=$（）。

答案：$(3,4]$。

7.用单调性定义证明：函数$f(x)=\frac{2}{x}-x$在$(0,+\infty)$上为减函数。

答案：对于$x_1>x_2>0$，有$f(x_1)-f(x_2)=\frac{2}{x_1}-\frac{2}{x_2}-(x_1-x_2)=\frac{2x_2-2x_1}{x_1x_2}-(x_1-x_2)<0$，故函数$f(x)=\frac{2}{x}-x$在$(0,+\infty)$上为减函数。

8.若$f(x)$是定义在$(0,+\infty)$上的增函数，且$f(1)=2$，则（）。

⑴求$f(1)$的值；⑵若$f(6)=1$，解不等式$f(x+3)-f(x)<2$。

答案：⑴$2$；⑵$x\in(0,3)$。

9.已知函数$f(x)=x^2+2ax+2$，$x\in[-5,5]$。

函数性质综合练习(含详解答案)

函数性质综合练习（含详解答案）一、选择题1.若函数1y ax =+在[]1,2上的最大值与最小值的差为2,则实数a 的值是( )A. 2B. 2-C. 2或2-D. 02.若函数()()2212f x x a x =+-+在区间[)4,+∞上单调递增.则a 的取值范围是( ) A. [3,)-+∞B. (,3]-∞-C. (,5]-∞D. [)3,+∞3.已知定义在R 上的奇函数()f x ,当0x >时, ()21f x x x =+-,那么当0x <时, ()f x 的解析式为( )A. ()21f x x x =++ B. ()21f x x x =--+C. ()21f x x x =-+- D. ()21f x x x =-++ 4.函数282y x x =-+的增区间是( )A.(],4-∞-B.[)4,-+∞C.(],4-∞D.[)4,+∞5.函数11y x =-在区间[]2,3上的最小值为( ) A.2 B.12 C.13D.12- 6.设()f x 为定义在(),-∞+∞上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上为增函数，则()()()2,π,3f f f --的大小顺序是( )A.()()()π32f f f ->>-B.()()()π23f f f ->->C.()()()π32f f f -<<-D.()()()π23f f f -<-<7.函数()1f x x x =-的图象关于( ) A.y 轴对称B.直线y x =-对称C.原点对称D.直线y x =对称二、填空题 8.已知22()1x f x x=+,那么111(1)(2)()(3)()(4)()234f f f f f f f ++++++=__________。

9.已知函数()132f x x +=+,则函数()f x 的解析式为__________.10.若函数()[)22,2,4f x x x x =-∈则f x 的值域是__________.11.若函数()211f x x +=-,则()2f =12.已知函数()y f x =为奇函数,若()()321f f -=,则()()23f f ---=__________.13.若函数()()22121f x mx m x =++-是偶函数,则m =__________.14若函数,,则的最小值是。

高一数学函数综合试题答案及解析

高一数学函数综合试题答案及解析1.定义运算:，对于函数和，函数在闭区间上的最大值称为与在闭区间上的“绝对差”，记为，则= ．【答案】.【解析】记，，于是构造函数，则当时，；当或时，所以.即为所求.【考点】函数的最值及其几何意义.2.设，那么（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】观察题意所给的递推式特征可知：，所以，故选B.【考点】数列的递推公式.3.函数y＝－xcosx的部分图象是（）.【答案】D.【解析】选判断函数的奇偶性，此时,有，可知此函数为奇函数，排除A,C；又当x>0时，取时，可知此时，易知图像与x轴交于，而当时，，故选D.【考点】函数图像的辨析与识别，奇偶函数的定义与性质，排除法，特殊角的三角函数值.4.方程在区间内的所有实根之和为 .（符号表示不超过的最大整数）.【答案】2.【解析】设，当时，；当时，；当时，；当时，；即；令，得；令，得；的所有根为0,2，之和为2.【考点】新定义题、函数图像的交点.5.若不等式对任意的上恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D.【解析】∵，又∵，，∴，又∵，根据二次函数的相关知识，可知当，时，，综上所述，要使不等式对于任意的恒成立，实数的取值范围是.【考点】1.函数求最值；2.恒成立问题的处理方法.6.下列四个命题：①方程若有一个正实根，一个负实根，则；②函数是偶函数，但不是奇函数；③函数的值域是，则函数的值域为；④一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是．其中正确的有________________（写出所有正确命题的序号）．【答案】①④【解析】,故①正确；根据定义域,,所以,所以也是奇函数;故②不正确；仅是定义域变了，值域没有改变；故③不正确；是关于对称轴对称的图像，所以与其交点个数只能是偶数个，不可能是1.故④正确.【考点】1.方程根与系数的关系；2.函数奇偶性；3.抽象函数；4.函数图像.7.已知函数,则下列说法中正确的是（）A．若，则恒成立B．若恒成立，则C．若，则关于的方程有解D．若关于的方程有解，则【答案】D.【解析】绝对值不等式，当时，则，此时，所以A错误；当恒成立时，有，此时假设，则由绝对值不等式可知恒成立，此时与恒成立矛盾，再结合对A选项的分析，可知，所以B选项错误；当时，则，此时，方程，左边是正数，右边是负数，无解，所以C错误；对于D，当关于的方程有解时，由上述C选项的分析可知不可能小于0，当时，，也不满足有解，所以，此时由有解，可得，所以，所以，选项D正确，故选D.【考点】函数与绝对值不等式.8.如果二次函数不存在零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵二次函数不存在零点，二次函数图象向上，∴，可得，解得，故选D．【考点】1、函数零点；2、函数与方程的关系．9.已知函数是定义在上的奇函数，当时的解析式为.（Ⅰ）求函数的解析式;（Ⅱ）求函数的零点.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）零点为【解析】（Ⅰ）先利用奇函数的性质求时的解析式，再求时的解析式，最后写出解析式. 本小题的关键点：（1）如何借助于奇函数的性质求时的解析式；（2）不能漏掉时的解析式.（Ⅱ）首先利用求零点的方法：即f（x）=0，然后解方程，同时注意限制范围.试题解析：（Ⅰ）依题意，函数是奇函数，且当时，，当时，， 2分又的定义域为，当时， 2分综上可得， 2分（Ⅱ）当时，令，即，解得，(舍去) 2分当时，， 1分当时，令，即，解得，(舍去) 2分综上可得，函数的零点为 1分【考点】1、奇函数的性质；2、求方程的零点.10.函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】因为函数的定义域为大于零的实数。

1 代数小题之函数的图像与性质综合答案详解

第一讲代数小题之函数的图像与性质综合知识讲解：【例题1】答案：D思路：根据奇函数，画出函数图像，结合图像分析不等式大于等于0的条件解析：f(x)是奇函数，所以f(x)在(-∞，0)上单调减，在(0，+∞)上单调递减，且f(2)=f(-2)=0，由xf(x-1)>=0可得，x>0时，f(x-1)>=0,因为f(2)=0，由单调性可得0<=x-1<=2,所以1<=x<=3,当x<=0时，f(x-1)<=0,由f(-2)=0结合单调性，可得-2<=x-1<=0,所以-1<=x<=0,综上，答案为D总结：利用奇函数分析对称区域得单调性，再通过对变量的分类讨论去解不等式【例题2】思路：由偶函数判断f(x)的对称性，由图像平移、f(x+1)的单调性、f(x)的对称性判断出f(x)的单调性，结合条件画出f(x)的图像，根据图像求出不等式的解集解析：因为f(x+1)是偶函数，所以f(x+1)=f(-x+1)，所以f(x)的图像关于直线x=1对称，f(x+1)在(-∞,0)上减，所以f(x)在(-∞,1)上减，在(1,+∞)上增，且f(2)=f(0)=0,画出函数图像，当x>1时，f(x)<=0,1<x<=2,当x<1时，f(x)>=0,x<=0，但是由于f(x+1)的定义域为(-∞,0)U(0,+∞),所以x不能取1，综上，解集为(-∞,0)U(1,2] 总结：利用偶函数结合平移的特性分析原来函数的图像，再根据原函数的图像去解不等式【例题3】答案：A思路：首先分析函数的对称性，再求出函数的就行，将不等式转换为自变量的不等式进行求解解析：f(x)的定义域为(-1,1),f(-x)+f(x)=0,所以f(x)是奇函数，又因为f(x)=ln(-1-2/(x-1))+sinx在(-1,1)是单调增的，所以f(a-2)+f(a^2-4)<0可以转换为-1<a-2<1,-1<a^2-4<1,a^2-4<2-a,解得√3<a<2,选A总结：本题主要考察函数的概念与性质，对数与对数函数，三角函数以及解不等式。

函数基本概念及性质测试卷含详解答案

函数基本概念及性质测试卷姓名：_______________ 班级：______________ 得分：______________ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如下图可作为函数()y f x =的图象的是（）A ．B ．C ．D ．2．下列各组函数()f x 和()g x 表示同一函数的是（）A ．()2f x x =与()3xg x x=B ．()f x x =与()()()00xx g x xx ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩C ．()2f x =与()g x =D ．()0f x x =与()1g x =3．集合{0x x >且}2x ≠用区间表示出来（） A ．()0,2 B ．()0,∞+C ．()()0,22,+∞ D ．()2,+∞4．函数1()2f x x =-的定义域为（） A ．(1,)-+∞ B ．[1,)-+∞ C ．(1,2)(2,)-+∞D ．[1,2)(2,)-+∞5．已知函数11y x =--，其中{}0,1,2,3x ∈，则函数的值域为（） A ．{}0,1,2,3 B ．{}1,0,1-C ．{}11y y -≤≤D ．{}02y y ≤≤6．若集合{A x y ==，{}22B y y x ==+，则A B 等于（）A ．[1,)+∞B ．(1,)+∞C ．[2,)+∞D ．(0,)+∞7．已知1,(1)()3,(1)x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，那么12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值是（） A ．52 B ．32C ．92D ．12-8．已知()f x 是一次函数，且(())41f f x x =-，则()f x 的解析式为（） A ．1()23f x x =-或()21f x x =-+ B ．()21f x x =+或()21f x x =-- C ．()21f x x =-或1()23f x x =-+D ．()21f x x =+或()21f x x =-9．下列函数中，是奇函数且在区间(0,)+∞上单调递减的是（） A ．2y x =-B ．12y x =C ．1y x -=D ．3y x =10．下列函数中是偶函数，且满足“1x ∀，()20x ∈+∞，，12x x >时，都有()()12f x f x <”的是（） A ．1y x =+B ．1y x x=-C ．4y x -=D ．3x y =11．函数2()2f x ax bx =+-是定义在[]1,2a +上的偶函数，则()f x 在区间[]1,2上是（） A ．增函数B ．减函数C ．先增后减函数D ．先减后增函数12．已知2()355f x ax bx a b =+-+是偶函数，且其定义域为[]31,a a -，则a b +=（） A ．17B ．12C ．14D ．7二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．函数1()ln(1)2f x x x =-+-的定义域是___________. 14．函数()2f x x x=+，[]1,2x ∈，则函数值域为______ 15．函数312x y x +=-的值域为_____． 16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，2()f x x x =-；则当0x <时，()f x =__________.三、解答题：共70分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤.17．已知函数22()1x f x x=+．（1）求11(2),(3)23f f f f ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）求证：1()f x f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是定值．18．已知函数22,1(),122,2x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩.（1）求(f f 的值；（2）若()3f a =，求a 的值. 19．求下列函数的值域．（1）211x y x -=+，x ∈[3，5]；（2）y x =．20．（1）已知2(1)23f x x x +=-+，求()f x .（2）已知()49f f x x =+⎡⎤⎣⎦，且()f x 为一次函数，求()f x . （3）已知函数()f x 满足12()f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()f x . 21．已知函数()f x ax b =+是R 上的奇函数，且()12f =．（1）求a ，b ；（2）用函数单调性的定义证明()f x 在R 上是增函数． 22．已知函数()()()ln 3ln 3f x x x =++-的定义域为()3,3-. （∈）证明：函数()f x 是偶函数；（∈）求函数()f x 的零点.参考答案1．D 【分析】根据函数的概念，进行判定，即可求解. 【详解】根据函数的概念，可知对任意的x 值，有唯一的y 值相对应，结合选项，可得只有选项D 可作为函数()y f x =的图象. 故选：D. 2．B 【分析】比较各项中函数的定义域与对应法则后可得正确的选项. 【详解】对于A ，()f x 的定义域为R ，而()g x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，故两者不是同一函数，故A 错误．对于B ，两个函数的定义域均为R ，且()g x x =，故两个函数的对应法则也相同，故B 正确．对于C ，()f x 的定义域为[)0,+∞，而()g x 的定义域为R ，故两者不是同一函数，故C 错误．对于D ，()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，而()g x 的定义域为R ，故两者不是同一函数，故D 错误．故选：B ． 3．C 【分析】根据集合的区间表示可得选项. 【详解】由集合{0x x >且}{202x x x ≠=<<或}()()20,22,x >=⋃+∞, 故选:C. 【点睛】本题考查集合的区间表示,属于基础题. 4．D 【分析】函数1()2f x x =-的定义域满足1020x x +≥⎧⎨-≠⎩,得到答案. 【详解】函数1()2f x x =-的定义域满足1020x x +≥⎧⎨-≠⎩ 则1x ≥-且2x ≠ 故选：D 5．B 【分析】分别求出当0x =、1x =、2x =、3x =时对应的函数值，由此可得出原函数的值域. 【详解】11y x =--，{}0,1,2,3x ∈.当0x =时，0y =；当1x =时，1y =-；当2x =时，0y =；当3x =时，1y =. 因此，原函数的值域为{}1,0,1-. 故选：B. 6．C 【分析】先求出集合A ，B ，再根据交集的定义即可求出. 【详解】{{}1A x y x x ===≥，{}{}222B y y x y y ==+=≥，{}[)22,A B x x ∴⋂=≥=+∞.故选：C. 7．B 【分析】先根据12所在区间计算出12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的结果，然后再根据12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭所在区间计算出12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值.【详解】因为112≤，所以1131222f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又因为312>，所以133332222f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B. 8．A 【分析】设()()0f x kx b k =+≠，由题意可得()(())()41f f x f kx b k kx b b x =+=++=-，即()2411k b k ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩，求出k 和b 的值，即可得()f x 的解析式. 【详解】设()()0f x kx b k =+≠，则()(())()41f f x f kx b k kx b b x =+=++=-，即241k x kb b x ++=-对任意的x 恒成立，所以()2411k b k ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩，解得：213k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或21k b =-⎧⎨=⎩，所以()f x 的解析式为1()23f x x =-或()21f x x =-+，故选：A 【点睛】方法点睛：求函数解析式的方法（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出()f x ，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；（2）换元法：主要用于解决已知复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的表达式求()f x 的解析式的问题，令()g x t =，解出x ，然后代入()f g x ⎡⎤⎣⎦中即可求得()f t ，从而求得()f x ，要注意新元的取值范围；（3）配凑法：配凑法是将()f g x ⎡⎤⎣⎦右端的代数式配凑成关于()g x 的形式，进而求出()f x 的解析式；（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解. 9．C 【分析】根据函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可. 【详解】对A ，函数2y x =-的图象关于y 轴对称，故2y x =-是偶函数，故A 错误；对B ，函数12y x =的定义域为[)0,+∞不关于原点对称，故12y x =是非奇非偶函数，故B 错误；对C ，函数1y x -=的图象关于原点对称，故1y x -=是奇函数，且在(0,)+∞上单调递减，故C 正确；对D ，函数3y x =的图象关于原点对称，故3y x =是奇函数，但在(0,)+∞上单调递增，故D 错误. 故选：C. 10．C 【分析】根据题中条件，确定函数()f x 在()0,∞+上单调递减，根据函数奇偶性与单调性，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为“1x ∀，()20x ∈+∞，，12x x >时，都有()()12f x f x <” 所以函数()f x 在()0,∞+上单调递减；A 选项，当0x >时，11y x x =+=+显然单调递增，故A 错；B 选项，对于1y x x =-，()()111x x x x x x ⎛⎫--=-+=-- ⎪-⎝⎭，所以1y x x =-是奇函数，不满足题意，故B 错； C 选项，对于4y x -=，()44x x ---=，所以4y x -=是偶函数，且4y x -=在()0,∞+上显然单调递减，满足题意，故C 正确；D 选项，当0x >时，33x x y ==显然单调递增，不满足题意；故D 错. 故选：C. 11．B 【分析】由偶函数可得定义域对称，可求得3a =-，由二次函数的性质即可判断. 【详解】2()2f x ax bx =+-是定义在[]1,2a +上的偶函数，12a ∴+=-，解得3a =-，()f x ∴的对称轴为y 轴，开口向下，∴()f x 在区间[]1,2上是减函数.故选：B. 12．C 【分析】由()f x 是偶函数，可得0a ≠且0b =，又由定义域[]31,a a -关于原点对称，可得31410a a a -+=-=，所以14a =，即可得解. 【详解】根据偶函数的性质，由2()355f x ax bx a b =+-+是偶函数，可得0b =，又由定义域[]31,a a -关于原点对称，可得31410a a a -+=-=，所以14a =，所以14a b +=，故选：C. 【点睛】本题考查了偶函数的性质，考查了利用偶函数图像的对称性以及定义域的对称性求值，属于基础题.13．{1x x >且2}x ≠ 【分析】根据真数大于0，分母不为0，即可求得答案. 【详解】由题意得1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，所以定义域为：{1x x >且2}x ≠故答案为：{1x x >且2}x ≠14．【分析】利用基本不等式确定其最小值，结合端点值确定最大值，即可知值域. 【详解】由[]1,2x ∈，()2f x x x=+≥x =时等号成立，而(1)(2)3f f ==，所以()f x ∈，故答案为： 15．{}|3y R y ∈≠ 【分析】将函数分离常数，进行整理，得到反比例函数平移的形式，从而得到y 的取值范围，得到答案. 【详解】函数()3273173222x x y x x x -++===+---，可以看作是将函数7y x=向右平移2个单位，再向上平移3个单位，因为函数7y x=的值域为{}|0y R y ∈≠ 所以原函数的值域为{}|3y R y ∈≠. 故答案为：{}|3y R y ∈≠. 16．2x x -- 【分析】当0x <时，根据奇函数的性质转到0x >时的解析式可求得结果. 【详解】当0x <时，0x ->,2()()[()()]f x f x x x =--=----2x x =--. 故答案为：2x x --17．（1）1，1；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据函数解析式代入即可求解. （2）根据解析式，代入整理即可求解. 【详解】（1）因为()221x f x x=+，所以()2222112221212112f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ()2222113331313113f f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+= ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭．（2）()22222222211111111111x x x x f x f x x x x x x ⎛⎫ ⎪+⎛⎫⎝⎭+=+=+== ⎪++++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，是定值． 18．（1）6；（2【分析】（1）逐步代入求值即可；（2）分段讨论每一段范围下对应的函数解析式，然后求解即可.【详解】解：（1）23,f ==((3)23 6.f f f ==⨯=（2）当a ≤-1时，f (a )=a +2=3得a =1舍去.当-1<a <2时，f (a )=a 2=3得a =或a =)当a ≥2时，f (a )=2a =3得a =1.5舍去综上所述得a19．（1）53,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1,12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．【分析】（1）分离常数法将该函数变成321y x =-+，由x ∈[3，5]，即可得出该函数值域；（2）令0t =≥，则223t x +=，把原函数转化为关于t 的二次函数即可求值域．【详解】（ 1）212(1)332111x x y x x x -+-===-+++，因为x ∈[3，5]，所以416x ≤+≤，所以133214x ≤≤+，331412x -≤-≤-+，即5332412x ≤-≤+，所以211x y x -=+的值域为53,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）令0t =≥，则223t x +=，则222232131333212t t t y t t +-+⎛⎫=-==-- ⎪⎝⎭（t ≥0），当32t =时，函数有最小值为112-. ∈函数的值域为1,12⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 20．（1）()2256f x x x =-+；（2）()23f x x =+或()29f x x =--；（3）21()33f x x x=-. 【分析】（1）用换元法，设1x t 求出x ，表示出()f t ，可得出()f x 的解析式.（2）通过()f x 为一次函数可设()f x kx b =+，然后再通过()f f x ⎡⎤⎣⎦的解析式，可求出,k b 的值.（3）由12()f x f x x ⎛⎫+=⎪⎝⎭可得出112()f f x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将两个方程联立可得出()f x 的解析式.【详解】（1）令1t x =+则1x t =-. 2()2(1)(1)3f t t t ∴=---+224213t t t =-+-++2256t t =-+.()2256f x x x ∴=-+（2）()f x 为一次函数∴设()(0)f x kx b k =+≠.()()()f f x f kx b k kx b b ∴=+=++⎡⎤⎣⎦249k x kb b x =++=+.249k kb b ⎧=∴⎨+=⎩23k b =⎧∴⎨=⎩或29k b =-⎧⎨=-⎩ ()23f x x ∴=+或()29f x x =--.（3）12()f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∈112()f f x x x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭∈. 联立∈式，∈式则21()33f x x x=-. 21．（1）2a =，0b =；（2）证明见详解.【分析】（1）根据函数是奇函数，得到()00f b ==，根据()12f =求出a ，再验证函数奇偶性，即可得出结果；（2）任取12x x <，作差比较()1f x 与()2f x ，根据函数单调性的定义，即可得出结论.【详解】（1）因为()f x ax b =+是R 上的奇函数，所以()00f b ==，则()f x ax =；又()12f =，所以2a =，则()2f x x =，此时()()2f x x f x -=-=-，所以()2f x x =是奇函数，满足题意；故2a =，0b =；（2）任取12x x <，则()()()121220f x f x x x -=-<显然成立，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上是增函数.【点睛】方法点睛：定义法判定函数()f x 在区间D 上的单调性的一般步骤：1.取值：任取1x ，2x D ∈，规定12x x <，2.作差：计算()()12f x f x -；3.定号：确定()()12f x f x -的正负；4.得出结论：根据同增异减得出结论.22．（∈）证明见解析；（∈）-和【分析】（∈）利用函数奇偶性定义证明，先求得函数的定义域，再判断()(),f x f x -的关系.（∈）将函数变形为()()2ln 9f x x=-，令()()2ln 90f x x =-=求解. 【详解】（∈）由3030x x +>⎧⎨->⎩，解得33x -<<，所以函数的定义域为{}|33x x -<<关于原点对称，又∈()()()()ln 3ln 3f x x x f x -=-++=， ∈()f x 是偶函数.（∈）()()()()2ln 3ln 3ln 9f x x x x =-++=-. 令()()2ln 90f x x =-=，∈291x -=，解得x =±.∈函数()f x 的零点为-和。

自学初中数学资料-中考b-c课程之函数性质综合(资料附答案)

自学资料一、二次函数综合复习【知识探索】第1页共14页自学七招之日计划护体神功：每日计划安排好，自学规划效率高非学科培训1．2．【错题精练】例1．四位同学在研究函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数）时，甲发现当x=−1时函数的最小值为－1；乙发现4a−2b+c=0成立；丙发现当x<1时，函数值y随x的增大而增大；丁发现当x=5时，y=−4．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（）A. 甲；B. 乙；C. 丙；D. 丁．【答案】A例2．已知，二次函数y=x2+2mx+n（m，n为常数且m≠0）．（1）若n=0，请判断该函数图像与x轴的交点个数，并说明理由；第2页共14页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训（2）若点A（n+5，n）在该函数图像上，试探索m，n满足的条件；（3）若点（2，p），（3，q），（4，r）均在该函数图像上，且p＜q＜r，求m的取值范围．【解答】（1）当n=0时，原函数为y=x2+2mx，∵m≠0∴Δ=4m2>0，∴该函数图像与x轴有两个交点．（2）将点A（n+5，n）代入函数y=x2+2mx+n可得：n=(n+5)2+2m(n+5)+n，∴(n+5)(n+2m+5)=0，∴n=5或n+2m=－5（3）对称轴是直线x=－m①当2，3，4在对称轴的一侧时，－m≤2，∴m≥－2②当2，3，4在对称轴两侧时，2<−m<52，∴−52<m<−2综上：m>−52．【答案】（1）有两个交点；（2）n=5或n+2m=－5；（3）m>−52．例3．点P（x1，y1）和点Q（x2，y2）是关于x的函数y=mx2−(2m+1)x+m+1（m为实数）图象上两个不同的点．对于下列说法：①不论m为何实数，关于x的方程mx2−(2m+1)x+m+1=0必有一个根为x=1；②当m=0时，(x1−x2)(y1−y2)<0成立；③当x1−x2=0时，若y1+y2=0，则m=−1；第3页共14页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训第4页共14页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训第5页共14页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训第6页共14页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训第7页共14页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训第8页共14页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训∴y =(x −3)2−(x −3)将x =72入函数求得n =−14；（3）解： ∵y =(x −m )2−(x −m )=x 2−2mx +m 2−x +m =x 2−(2m +1)x +m 2+m ∴y min =4(m 2+m )−(2m+1)24=4m 2+4m−4m 2−4m−14=−14∴把二次函数图像向上平移k 个单位，最小值为−14+k∵使得对于任意的x 都有y 大于0，即−14+k ＞0；∴k ＞14．【答案】（1）两个，理由如下；（2）m =32，n =−14；（3）略．例9．设二次函数y 1=a (x −x 1)(x −x 2)（a ≠0，x 1≠x 2）的图象与一次函数y 2=dx +e （d ≠0）的图象交于点（x 1，0），若函数y =y 1+y 2的图象与x 轴仅有一个交点，则（）A. a (x 1−x 2)=d ；B. a (x 2−x 1)=d ；C. a (x 1−x 2)2=d ；D. a (x 1+x 2)2=d ．【答案】B例10．在平面直角坐标系中，设二次函数y 1=mx 2−6mx +8m （m 为常数）．（1）若函数y 1经过点（1，3），求函数y 1的表达式；（2）若m ＜0，当x ＜a2时，此二次函数y 随x 的增大而增大，求a 的取值范围；（3）已知一次函数y 2=x −2，当y 1⋅y 2＞0时，求x 的取值范围．【解答】第9页共14页自学七招之预习轻身术：预习习惯培养好，课堂轻松没烦恼非学科培训【答案】（1）y 1=x 2−6x +8；（2）a ≤6；（3）当m ＞0时，x ＞4；当m ＜0时，x ＜4且x ≠2．【举一反三】1．在平面直角坐标系中，二次函数y =x 2+bx +c （b ，c 都是常数）的图象经过点（1，0）和（0，2）．（1）当−2≤x ≤2时，求y 的取值范围．（2）已知点P （m ，n ）在该函数的图象上，且m +n =1，求点P 的坐标．【解答】（1）解：将（1，0），（0，2）代入y =x 2+bx +c 得：{1+b +c =0c =2解得：{b =−3c =2∴这个函数的解析式为：y =x 2−3x +2=(x −32)2−14；把x =−2代入y =x 2−3x +2得，y =12，∴y 的取值范围是−14≤y ≤12；（2）解： ∵点P （m ，n ）在该函数的图象上，∴n =m 2−3m +2，∵m +n =1，∴m 2−2m +1=0，解得m =1，n =0，∴点P 的坐标为（1，0）．【答案】（1）−14≤y ≤12；（2）（1，0）．2．已知二次函数y =ax 2+bx +1（a ≠0）的图象过点(1,0)，且顶点在第二象限，设P =a −b ，则P 的取值范围是（）A. −1b，求x0的取值范围．【解答】（1）解：把（2，6）代入y1=(x−m)(x+m+1)，得m2+m=0，∴m1=−1或m2=0（舍去），∴函数y1的表达式是y1=(x+1)x=x2+x；（2）解：当y2=mx+n=0时，x=−nm，当y1=(x−m)(x+m+1)时，x=m或x=−m−1，又∵一次函数y2=mx+n的图象与y1的图象经过x轴上同一点，∴x=m=−nm 或x=−m−1=−nm，∴m2+n=0或m2+m−n=0；（3）解：若a>b，则(x0−m)(x0+m+1)>(−1−m)(−1+m+1)，化简得：x02+x0>0，由二次函数y=x2+x的草图，解得：x0>0或x0<−1．【答案】（1）y1=x2+x；（2）m2+n=0或m2+m−n=0；（3）x0>0或x0<−1．4．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：下列结论：①ac＜0；②当x＜1时，y的值随x的增大而增大；③x=1，函数的最大值是5；④−1＜x＜3时，ax2+(b−1)x+c＞0其中正确的个数为（）A. ①②；B. ①②④；C. ①③④；D. ①②③④．【答案】B1．已知函数y1=x2−(m+2)x+2m+3，y2=nx+k−2n（m，n，k为常数且n≠0）．（1）若函数y1的图象经过点A(2,5)，B(−1,3)两个点中的其中一个点，求该函数的表达式．（2）若函数y1，y2的图象始终经过同一定点M．①求点M的坐标和k的值．②若m≤2，当−1≤x≤2时，总有y1≤y2，求m+n的取值范围．第10页共14页自学七招之提前完卷飞刀：考场控时莫紧张，跳跃答卷心不慌非学科培训4．已知m，n满足m−n=4，mn=k−7，设y=(m+n)2．（1）当k被3整除时，求证：y能被12整除；（2）若m，n都为非负数，y是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：当k被3整除时，设k=3t（t是整数），∵m−n=4，mn=k−7=3t−7，∴y=(m+n)2=(m−n)2+4mn=42+4(3t−7)=12t−12=12(t−1)∵12(t−1)÷12=t−1，∴y能被12整除．（2）解：∵m，n都为非负数，∴mn≥0，∴k−7≥0，解得k≥7；∵mn≤(m−n2)2=4，∴k−7≤4，解得k≤11，∴7≤k≤11，∴y=(m+n)2=(m+n)2+4mn=42+4(k−7)=4k−12∵7≤k≤11，∴28≤4k≤44∴16≤4k−12≤32，∴y存在最大值和最小值，最大值是32，最小值是16．【答案】（1）略；（2）存在，16．。

《函数的概念与性质》测试卷及答案解析

2020-2021学年高中数学必修一第三章《函数的概念与性质》测试卷一．选择题（共10小题）1．已知函数f （x ）的定义域是[﹣1，1]，则函数g （x ）=1−x的定义域是（） A ．[0，1]B ．（0，1）C ．[0，1）D ．（0，1]【解答】解：∵f （x ）的定义域是[﹣1，1]； ∴g （x ）需满足：{−1≤2x −1≤11−x ＞0；解得：0≤x ＜1；∴g （x ）的定义域是[0，1）．故选：C ．2．函数f （x ）满足f （x ）﹣2f （1﹣x ）＝x ，则函数f （x ）等于（） A ．x−23B ．x+23C ．x ﹣1D ．﹣x +1【解答】解：因为f （x ）﹣2f （1﹣x ）＝x ，所以f （1﹣x ）﹣2f （x ）＝1﹣x ，联立可得，f （x ）=x−23．故选：A ．3．函数f （2x ﹣1）的定义域是[1，2]，则函数f （x +1）的定义域是（） A ．[1，3]B ．[2，4]C ．[0，1]D ．[0，2]【解答】解：∵函数f （2x ﹣1）的定义域为[1，2]，∴1≤2x ﹣1≤3，即函数f （x ）的定义域为[1，3]，∴函数f （x +1）的定义域需满足1≤x +1≤3，即0≤x ≤2，函数f （x +1）的定义域为[0，2]，故选：D ．4．若当x ∈[0，m ]时，函数y ＝x 2﹣3x ﹣4的值域为[−254，﹣4]，则实数m 的取值范围是（） A ．（0，4]B ．[32，4]C ．[32，3]D ．[32，+∞]【解答】解：函数y ＝x 2﹣3x ﹣4＝（x −32）2−254，所以当x =32时，函数有最小值−254．当y ＝x 2﹣3x ﹣4＝﹣4时，即y ＝x 2﹣3x ＝0，解得x ＝0或x ＝3．因为函数的定义域为[0，m ]，要使值域为[−254，﹣4]，则有32≤m ≤3，故选：C ．5．函数f （x ）=√2x −x 2的单调递增区间为（） A ．（﹣∞，1）B ．（1，2）C ．（0，1）D ．（1，+∞）【解答】解：由题意可得2x ﹣x 2≥0，解可得0≤x ≤2，根据二次函数及复合函数的性质可知，f （x ）=√2x −x 2的单调递增区间为（0，1），故选：C ．6．函数f （x ）=3x+22x+1，x ∈[3，+∞）的值域是（） A ．[117，+∞)B ．[32，+∞)C ．[117，2)D ．(32，117]【解答】解：f （x ）=3x+22x+1=32(2x+1)+122x+1=32+14x+2，∵x ∈[3，+∞）∴f （x ）为减函数∴当x ＝3时，f （x ）=117，取得最大值；当x 接近+∞时，f （x ）接近32，所以f （x ）的值域为（32，117]．故选：D ．7．已知函数f （x ）＝x 5+ax 3+bx ﹣8，若f （﹣3）＝10，则f （3）＝（） A ．﹣26B ．26C ．18D ．10【解答】解：令g （x ）＝x 5+ax 3+bx ，由函数奇偶性的定义，易得其为奇函数；则f （x ）＝g （x ）﹣8，所以f （﹣3）＝g （﹣3）﹣8＝10，得g （﹣3）＝18，又因为g （x ）是奇函数，即g （3）＝﹣g （﹣3），所以g （3）＝﹣18，则f （3）＝g （3）﹣8＝﹣26．故选：A ．8．设函数f （x ）＝x 3+（a ﹣1）x 2+ax ，若f （x ）为奇函数，则a 的值为（） A ．0B ．1C ．﹣1D ．1或0【解答】解：由奇函数的性质可知，f （﹣x ）＝﹣f （x ）恒成立，故﹣x 3+（a ﹣1）x 2﹣ax ＝﹣x 3﹣（a ﹣1）x 2﹣ax ，整理可得，（a ﹣1）x 2＝0即a ﹣1＝0，所以a ＝1．故选：B ．9．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销售中发现，这种商品每天的销量m （件）与每件的售价x （元）满足一次函数：m ＝162﹣3x ．若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为（） A ．30元B ．42元C ．54元D ．越高越好【解答】解：设每天获得的销售利润为y 元，则y ＝mx ﹣30m ＝（162﹣3x ）（x ﹣30）＝﹣3x 2+252x ﹣4860＝﹣3（x ﹣42）2+432，当x ＝42时，y 有最大值，为432，所以若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为42元．故选：B ．10．已知定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x ）＝f （2﹣x ），且x ∈[0，1]时，f （x ）＝x 2，则f(−112)=（） A ．14B ．12C ．34D ．1【解答】解：由f （x ）＝f （2﹣x ）＝f （﹣x ），可可得f （x ）＝f （x +2）即f （x ）为周期为2的函数，所以f(−112)=f(−112+6)=f(12)=14，故选：A ．二．多选题（共2小题）11．已知函数f （x ），g （x ）的定义域都为R ，且f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，则下列结论正确的是（） A ．f （x ）|g （x ）|是奇函数 B ．|f （x ）|g （x ）是奇函数C ．f （x ）g （x ）是偶函数D ．|f （x ）g （x ）|是偶函数【解答】解：因为f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，所以f （﹣x ）＝﹣f （x ），g （﹣x ）＝g （x ），f （﹣x ）|g （﹣x ）|＝﹣f （x ）|g （x ）|，故f （x ）|g （x ）|为奇函数，A 正确；|f （﹣x ）|g （﹣x ）＝|﹣f （x ）|g （x ）＝|f （x ）|g （x ），故|f （x ）|g （x ）为偶函数，B 不正确；f（﹣x）g（﹣x）＝﹣f（x）g（x）|，故f（x）g（x）为奇函数，C不正确；|f（﹣x）g（﹣x）|＝|﹣f（x）g（x）|＝|f（x）g（x）|，故|f（x）g（x）|为偶函数，D正确；故选：AD．12．已知幂函数y＝xα（α∈R）的图象过点（2，8），下列说法正确的是（）A．函数y＝xα的图象过原点B．函数y＝xα是偶函数C．函数y＝xα是单调减函数D．函数y＝xα的值域为R【解答】解：幂函数y＝xα的图象过点（2，8），所以2α＝8，解得α＝3，所以幂函数为y＝x3；所以所以幂函数y＝x3的图象过原点，A正确；且幂函数y＝x3是定义域R上的奇函数，B错误；幂函数y＝x3是定义域R上的增函数，C错误；幂函数y＝x3的值域是R，所以D正确．故选：AD．三．填空题（共4小题）13．函数f（x）=√2+x−x2的定义域为[﹣1，2]．【解答】解：要使函数有意义，须满足2+x﹣x2≥0，解得：﹣1≤x≤2，所以函数的定义域为[﹣1，2]，故答案为：[﹣1，2]．14．已知函数f(x)=2x−1，g（x）＝3x2，则f（g（1））＝1．【解答】解：根据题意，g（x）＝3x2，则g（1）＝3，又由f(x)=2x−1，则f（g（1））＝f（3）=23−1=1，故答案为：115．若f（x）是R上单调递减的一次函数，若f[f（x）]＝4x﹣1，则f（x）＝﹣2x+1．【解答】解：由于f（x）是单调递减的一次函数，故可设f（x）＝kx+b（k＜0），于是f[f（x）]＝k（kx+b）+b＝k2x+kb+b，又f [f （x ）]＝4x ﹣1，∴{k 2=4kb +b =−1，又k ＜0， ∴k ＝﹣2，b ＝1， ∴f （x ）＝﹣2x +1．故答案为：﹣2x +1．16．已知函数f(x)={2x (x ＜−1)3x −2(x ≥−1)，则f （f （﹣2））＝ −54 ．【解答】解：∵函数f(x)={2x (x ＜−1)3x −2(x ≥−1)，∴f(−2)=2−2=14，∴f(f(−2))=f(14)=3×14−2=−54．故答案为：−54．四．解答题（共6小题）17．已知函数f （x ）＝ax 2+bx +c ，且满足f （0）＝1，对任意的实数x 都有f （x +1）﹣f （x ）＝x +1成立．（1）求f （x ）的解析式；（2）若g （x ）＝f （x ）﹣mx 在[2，4]上是单调递减函数，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，函数f （x ）＝ax 2+bx +c ，且满足f （0）＝1，即f （0）＝c ＝1，又由f （x +1）﹣f （x ）＝a （x +1）2+b （x +1）+c ﹣（ax 2+bx +c ）＝2ax +a +b ＝x +1，则有{c =12a =1a +b =1，解可得a ＝b =12，c ＝1，则函数f （x ）的解析式为：f(x)=12x 2+12x +1，（2）由（1）知f(x)=12x 2+12x +1，则g(x)=f(x)−mx =12x 2+(12−m)x +1，函数g （x ）的对称轴x =m −12，若函数g （x ）在[2，4]上是单调减函数，则有m −12≥4，解可得m ≥92，即m 的取值范围为{m |m ≥92}． 18．已知函数f （x ）＝x 2+（2a ﹣1）x ﹣3．（1）当a ＝2，x ∈[﹣2，3]时，求函数f （x ）的值域．（2）若函数f （x ）在[﹣1，3]上单调递增，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝2，x ∈[﹣2，3]时，函数f （x ）＝x 2+（2a ﹣1）x ﹣3＝x 2+3x ﹣3=(x +32)2−214，故当x =−32时，函数取得最小值为−214，当x ＝3时，函数取得最大值为15，故函数f （x ）的值域为[−214，15]．（2）若函数f （x ）在[﹣1，3]上单调递增，则1−2a 2≤−1，∴a ≥32，即实数a 的范围为[32，+∞）19．已知函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （2+x ），当x ≤2时，f （x ）＝﹣x 2+kx +2．（1）求f （x ）的解析式；（2）求f （x ）在[2，4]上的最大值．【解答】解：（1）函数f （x ）满足f （2﹣x ）＝f （2+x ），所以函数f （x ）＝f （4﹣x ）．当x ＞2时，4﹣x ＜2，则f （x ）＝f （4﹣x ）＝﹣（4﹣x ）2+k （4﹣x ）+2＝﹣x 2+（8﹣k ）x +4k ﹣14，故函数的关系式为f （x ）={−x 2+kx +2(x ≤2)−x 2+(8−k)x +4k −14(x ＞2)．（2）当x ∈[2，4]时，f （x ）＝﹣x 2+（8﹣k ）x +4k ﹣14=−(x −8−k 2)2+k 2+84．①当8−k 2≥4时，即k ≤0，所以函数f （x ）在[2，4]上单调递增，则f （x ）max ＝f （4）＝2， ②当8−k 2≤2时，即k ≥4时，函数f （x ）在[2，4]上单调递减，则f （x ）max ＝f （2）＝2k ﹣2．③当2＜8−k 2＜4时，即0＜k ＜4时，f(x)max =f(8−k 2)=k 2+84．所以f(x)max ={2(k ≤0)k 2+84(0＜k ＜4)2k −2(k ≥4)． 20．已知函数f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8在定义域[5，20]内是单调的．（1）求实数k 的取值范围；（2）若f （x ）的最小值为﹣8，求k 的值．【解答】解：（1）由题意，可知f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8的对称轴为x =k8，而函数f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8，x ∈[5，20]是单调函数， ∴k8≤5或k8≥20，即k ≤40或k ≥160，∴实数k 的取值范围是（﹣∞，40]∪[160，+∞）；（2）当k ≤40时，由f(x)min =f(5)=4×52−5k −8=−8，解得k ＝20；当k ≥160时，由f(x)min =f(20)=4×202−20k −8=−8，解得k ＝80（舍去）．综上，k ＝20．21．已知y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+2ax +3．（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）当a ＝1时，写出函数y ＝|f （x ）|的单调递增区间（只写结论，不用写解答过程）；（Ⅲ）若f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，设x ＜0，则﹣x ＞0，则f （﹣x ）＝﹣（﹣x ）2+2a （﹣x ）+3＝﹣x 2﹣2ax +3，又由f （x ）为奇函数，则f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣（﹣x 2﹣2ax +3）＝x 2+2ax ﹣3，又由y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （0）＝0，则f(x)={x 2+2ax −3，x ＜00，x =0−x 2+2ax +3，x ＞0；（Ⅱ）a ＝1时，f(x)={x 2+2x −3，x ＜00，x =0−x 2+2x +3，x ＞0；此时y ＝|f （x ）|的单调递增区间为（﹣3，﹣1），（0，1），（3，+∞）；（Ⅲ）根据题意，x ＜0时，f （x ）＝x 2+2ax ﹣3＝（x +a ）2﹣a 2﹣3，若f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，必有﹣a ≥0，解可得a ≤0，即a 的取值范围为（﹣∞，0]．22．已知函数f （x ）＝ax 2﹣（a +2）x +1﹣b ．（1）若a ＝﹣2，b ＝9，求函数y =f(x)x （x ＜0）的最小值；（2）若b ＝﹣1，解关于x 的不等式f （x ）≥0．【解答】解：（1）若a＝﹣2，b＝9，则y=f(x)x=−2x2−8x=−2x−8x，∵x＜0，∴y＝﹣2x−8x≥2√(−2x)⋅(−8x)=8，当且仅当−2x=−8x，即x＝﹣2时y取得最小值8；（2）若b＝﹣1，则f（x）＝ax2﹣（a+2）x+2＝（x﹣1）（ax﹣2）．若a＝0，f（x）≥0化为﹣2x+2≥0，即x≤1；若a≠0，f（x）＝0的两根为1，2a．若a＝2，f（x）≥0化为2（x﹣1）2≥0，x∈R；若0＜a＜2，则1＜2a，则不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]∪[2a，+∞）；若a＜0，则2a ＜1，则不等式f（x）≥0的解集为[2a，1]；若a＞2，则2a ＜1，则不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，2a]∪[1，+∞）．综上，当a＜0时，f（x）≥0的解集为[2a，1]；当a＝0时，f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]；当0＜a＜2时，f（x）≥0的解集为（﹣∞，1]∪[2a，+∞）；当a＝2时，f（x）≥0的解集为R；当a＞2时，f（x）≥0的解集为（﹣∞，2a]∪[1，+∞）．。

函数性质的综合应用例题精选

（答案）C
3．已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意给定的不等实数，不等式恒成立，则不等式的解集为（）
A. B. C. D.
（答案）C
4．已知是上的减函数，那么的取值范围是( )
A． B． C． D．
（答案）C
5．偶函数满足 = ，且在时，，则关于的方程，在上解的个数是（）
(4) 的符号由口诀“同正异负”记忆;
2. 指数、对数值的大小比较：
（1）化同底后利用函数的单调性；（2）作差或作商法；（3）利用中间量（0或1）；（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。
基本思维程序是：
中间量（0再1）
化为同底利用单调性（可引进中间量：以保证同底、同真或同指）
作差或作商法（必要时可转化）
例5.已知函数满足：对任意，都有成立，且时，。
（1）求的值，并证明：当时，；
（2）判断的单调性并加以证明。
（3）若函数在上递减，求实数的取值范围。
（答案）解：（1）
若
则与已知条件时，相矛盾，所以
设，则，那么 .
又
从而．
（２）函数在上是增函数．设，则
由（１）可知对任意
又
即
函数在上是增函数。
（３）由（２）知函数在上是增函数，
函数在上也是增函数，若函数在上递减，
则时，，即时，．
时，
函数
1．下列函数中，既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的是
（A）（B）
（C）（D）
（答案）D
2．函数在上为减函数，则实数的取值范围
A. B. C. D.
(Ⅲ)当时,若函数的值域为 ,求的值.

函数性质综合(习题及答案)

函数性质综合(习题及答案)Modified by JEEP on December 26th, 2020.函数性质综合（习题）1. 若f (x )为R 上的奇函数，给出下列结论：①f (x )+ f (-x )=0；②f (x )-f (-x )=2f (x )；③()()0f x f x ⋅-≤；④()1()f x f x =--．其中不正确的有（） A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个2. 已知函数21()0f x x x=≠（），则这个函数（）A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数3. 若设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是（） A ．()()f x g x ⋅是偶函数B ．()()f x g x 是奇函数C ．()()f x g x 是奇函数D ．()()f x g x 是奇函数4. 已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且(1)(1)2f g -+=，(1)(1)4f g +-=，则g (1)的值为（） A ．4B ．3C ．2D ．15. 已知偶函数f (x )在区间[0，+∞)上单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值范围是（）A ．12[)23， B ．12[)33，C ．12()23，D ．12()33，6. 若偶函数()f x 在区间(-∞，0]上单调递增，则当*n ∈N 时，有（）A ．()(1)(1)f n f n f n -<-<+B ．(1)()(1)f n f n f n -<-<+C ．(1)()(1)f n f n f n +<-<-D ．(1)(1)()f n f n f n +<-<-7. 若奇函数()f x 在区间(0，+∞)上为增函数，且f (1)=0，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（）A ．(-1，0)∪(1，+∞)B ．(-∞，-1)∪(0，1)C ．(-∞，-1)∪(1，+∞)D ．(-1，0)∪(0，1)扫一扫看视频对答案8. 若偶函数f (x )满足f (x )=x 3-8（x ≥0），则{x |f (x -2)>0}=（）A ．{x |x <-2或x >4}B ．{x |x <0或x >4}C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <-2或x >2}9. 如果偶函数在[a ，b ]具有最大值，那么该函数在[-b ，-a ]有（）A ．最大值B ．最小值C ．没有最大值D ．没有最小值10. （1）已知函数2()2f x ax x =+是奇函数，则实数a =________．（2）若定义在(-1，1)上的奇函数2()1x mf x x nx +=++，m ，n 为常数，则m =__________，n =__________．11. （1）已知()g x 是奇函数，()()9g x f x =+，且(2)5g =，则f (-2)=_________．（2）已知53()8f x x ax bx =+++（其中a ，b 是实常数），且 f (-2)=10，则f (2)=__________．（3）设函数20()()0x x f x g x x <⎧=⎨>⎩（）（），若f (x )是奇函数，则g (2)=________．12. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，若当x >0时，f (x )=x 2-4x ，则当x <0时，f(x )=________________．13. （1）若函数f (x )的定义域为[1，4]，则函数22()1f x y x =-的定义域为__________________．（2）若函数f (2x +1)的定义域为1(2)2-，，则函数f (x )的定义域为___________．（3）若函数(1)f x -的定义域为(3，4]，则函数f 的定义域为_______________．14. （1）已知f (x )=-x -3，2()2g x x x =-，则函数(())y f g x =的单调递增区间是___________，单调递减区间是_________．（2）已知2()2f x x x =-，g (x )=-x -3则函数(())y f g x =的单调递增区间是___________，单调递减区间是__________．15. （1）已知函数2(1)f x +的单调递减区间是[2，3]，则函数f (x )的单调递减区间是______________．（2）函数21()46f x x x =-+的单调递增区间是___________．阅读材料常见函数图象的画法一、初中常见函数图象的画法 1. 一次函数y =kx +b （k ≠0）画一次函数y =kx +b （k ≠0）草图的步骤如下： ①根据k 的正负判断函数图象的倾斜程度； ②根据b 的值判断图象与y 轴交点位置． 2. 二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）画二次函数2y ax bx c =++（a ≠0①根据a 的正负判断函数图象开口方向； ②结合ab 的正负，利用口诀“左同右异” 判断图象对称轴的位置；③根据c 的值判断图象与y 轴交点位置． 3. 反比例函数ay x =（a ≠0）画反比例函数ay x=（a ≠0）草图需注意：若a >0，则函数图象在一、三象限；若a <0，则函数图象在二、四象限．二、分段函数的画法例1：211 1(1) x x y x x -+<⎧=⎨-⎩≥，，例2：223 11221 13 x y x x x x x --⎧⎪=+--=--<⎨⎪>⎩≤≤，，，【说明】分别画出每一段函数的图象，注意端点值的取值．三、函数图象变换 1. 函数图象的平移变换（1）函数1y x=图象的平移变换（2）函数2y x =图象的平移变换图1 图2 图3 图4其中，图1：2y x =的图象向左平移1个单位得到2(1)y x =+的图象；图2：2y x =的图象向右平移1个单位得到2(1)y x =-的图象；图3：2y x =的图象向上平移1个单位得到21y x =+的图象；图4：2y x =的图象向下平移1个单位得到21y x =-的图象．【总结】已知函数y =f (x )的图象，若a >0，则有以下结论：①函数y =f (x +a )的图象是由函数y =f (x )的图象向左平移a 个单位得到的； ②函数y =f (x -a )的图象是由函数y =f (x )的图象向右平移a 个单位得到的；③函数y =f (x )+a 的图象是由函数y =f (x )的图象向上平移a 个单位得到的；④函数y =f (x )-a 的图象是由函数y =f (x )的图象向下平移a 个单位得到的．说明：函数图象的平移口诀为“左加右减，上加下减”．2. 函数图象的翻折变换例1：y x = 例2：221y x x =+-例3：222021 2121 0x x x y x x x x x ⎧+-⎪=+-=⎨--<⎪⎩≥，，【总结】（1）已知函数y =f (x )的图象，那么函数y =|f (x )|的图象的画法如下： ①保证函数y =f (x )在x 轴上方的图象不变； ②将位于x 轴下方的图象沿x 轴翻折；（2）已知函数y =f (x )的图象，那么函数y =f (|x |)的图象的画法如下： ①保证函数y =f (x )在y 轴右侧的图象不变； ②将y 轴右侧的图象沿y 轴翻折； 3. 函数图象的对称变换（1）函数11y x=+图象的对称变换（2）函数22y x x =+图象的对称变换图5 图6 图7其中，图5：22y x x =+的图象与22y x x =-的图象关于y 轴对称；图6：22y x x =+的图象与22y x x =--的图象关于x 轴对称；图7：22y x x =+的图象与22y x x =-+的图象关于原点对称．【总结】已知函数y =f (x )的图象，则有以下结论：①函数y =f (-x )的图象与函数y =f (x )的图象关于y 轴对称； ②函数y =-f (x )的图象与函数y =f (x )的图象关于x 轴对称； ③函数y =-f (-x )的图象与函数y =f (x )的图象关于原点对称．【参考答案】1. A2. B3. C4. B5. D6. C7. D8. B9. A10. （1）0；（2）0，0 11. （1）-14；（2）6；（3）412. （1）[21)(12]--，，；（2）(32)-，；（3）(49]， 13. （1）(1)(1)+∞-∞，，，（2）(4)(4)-∞--+∞，，， 14. （1）[510]，；（2）(2)-∞，。

高考数学复习基础知识专题讲解与练习04 函数的性质综合应用(解析版)

高考数学复习基础知识专题讲解与练习专题04函数的性质综合应用一、单选题1．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（文））已知函数(1)f x +的定义域为(－2,0)，则(21)f x -的定义域为（） A ．(－1,0) B ．(－2,0) C ．(0,1)D ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】由题设函数的定义域，应用换元法求出()f t 的定义域，进而求(21)f x -的定义域即可. 【详解】由题设，若1t x =+，则(1,1)t ∈-，∴对于(21)f x -有21(1,1)x -∈-，故其定义域为(0,1). 故选：C.2．（2021·湖南·高三月考）已知函数()f x 满足22()()326f x f x x x +-=++，则（） A ．()f x 的最小值为2B ．x R ∃∈，22432()x x f x ++>C ．()f x 的最大值为2D ．x R ∀∈，22452()x x f x ++>【答案】D 【分析】先求得()f x ，然后结合二次函数的性质确定正确选项.【详解】因为22()()326f x f x x x +-=++（i ），所以用x -代换x 得22()()326f x f x x x -+=-+（ii ）. （i ）×2-（ii ）得23()366f x x x =++，即22()22(1)1f x x x x =++=++，从而()f x 只有最小值，没有最大值，且最小值为1.()2222222221243243122()222222x x x x x x f x x x x x x x ++-++++===-<++++++， ()2222222221245245122()222222x x x x x x f x x x x x x x +++++++===+>++++++. 故选：D.3．（2021·河南·孟津县第一高级中学高三月考（理））若函数()2021x x f x x ππ-=-+，则不等式(1)(24)0f x f x ++-≥的解集为（） A ．[1,)+∞ B ．(,1]-∞ C ．(0,1] D ．[1,1]-【答案】A 【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，再利用其性质解不等式即可【详解】()f x 的定义域为R ,因为()2021(2021)()x x x x f x x x f x ππππ---=-=--+=--，所以()f x 是奇函数，所以不等式(1)(24)0f x f x ++-≥可化为(1)(42)f x f x +≥-，因为,,2021x x y y y x ππ-==-=在R 上均为增函数，所以()f x 在R 上为增函数，所以142x x +≥-，解得1x ≥，故选：A.4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x 2+1）＝x 4，则函数y ＝f （x ）的解析式是（）A ．()()21,0f x x x =-≥B ．()()21,1f x x x =-≥C ．()()21,0f x x x =+≥D ．()()21,1f x x x =+≥【答案】B 【分析】利用凑配法求得()f x 解析式. 【详解】()()()2242211211f x x x x +==+-++，且211x +≥，所以()()22211,1f x x x x x =-+=-≥. 故选：B.5．（2021·湖南省邵东市第一中学高三月考）已知函数()f x 满足()()()222f a b f a f b +=+对,a b ∈R 恒成立，且(1)0f ≠，则(2021)f =（） A ．1010 B ．20212C ．1011D ．20232【答案】B 【分析】利用赋值法找出规律，从而得出正确答案. 【详解】令0a b ==，则()()()()20020,00f f f f =+=，令0,1a b ==，则()()()()()221021,121f f f f f =+=，由于()10f ≠，所以()112f =.令1a b ==，则()()()221211f f f =+=，令2,1a b ==，则()()()2133221122f f f =+=+=，令3,1a b ==，则()()()23144321222f f f =+=+=，以此类推，可得()202120212f =.故选：B.6．（2021·安徽·六安二中高三月考）设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()21x f x =-，则当0x <时，()f x =（） A ．21x -- B ．21x -+C ．21x ---D ．21x --+【答案】D 【分析】根据题意，设0x <，则0x ->，由函数的解析式可得()21x f x --=-，结合函数的奇偶性分析可得答案．【详解】根据题意，设0x <，则0x ->，则()21x f x --=-，又由()f x 为奇函数，则()()21x f x f x ---=-+=，故选：D.7．（2021·河南·高三月考（理））||||2()x x x e f x e-=的最大值与最小值之差为（）A ．4-B ．4eC ．44e-D ．0【答案】B 【分析】利用函数为奇函数，且其图像的对称性，利用导数可得函数的单调性和最值. 【详解】22()1xx xx e x f x ee-==-，设2()xx g x e=，则()()1g x f x =+则()g x 为奇函数，图像关于原点对称，其最大值与最小值是互为相反数，max max ()()1g x f x =+min ()()1min g x f x =+ max min ()()0g x g x +=max min max min max min max ()()(()1)(()1)()()2()f x f x g x g x g x g x g x ∴-=---=-=即()f x 的最大值与最小值之差为max 2()g x ，当0x >时2()xxg x e =，222(1)()x x x x g x e e --'==，故2()xxg x e =的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,)+∞，所以max 2()(1)g x g e==，所以()f x 的最大值与最小值之差为4e故选：B.8．（2021·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三月考（理））已知减函数()332f x x x =--，若()()320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为（） A ．(),3-∞ B ．()3,+∞ C ．(),3-∞- D ．()3,-+∞【答案】C 【分析】根据函数奇偶性和单调性，列出不等式即可求出范围. 【详解】易知()f x 为R 上的奇函数，且在R 上单调递减，由()()320f m f m -+-<，得()()()322f m f m f m -<--=，于是得32m m ->，解得3m <-. 故选:C.9．（2021·陕西·西安中学高三期中）已知函数()(1ln 31xx a x f x x a +=++++-（0a >，1a ≠），且()5f π=，则()f π-=（） A ．5- B ．2 C ．1D ．1-【答案】C 【分析】令()()3g x f x =-，由()()0g x g x -+=，可得()g x 为奇函数，利用奇函数的性质即可求解. 【详解】解：令()()(1ln 13x x a x g x f x x a +++=--+=，因为()()((11ln ln 011xxx x a a g x x x x x x aa g --++-++-++++=---+=，所以()g x 为奇函数，所以()()0g g ππ-+=，即()()330f f ππ--+-=，又()5f π=，所以()1f π-=，故选：C.10．（2021·北京通州·高三期中）已知函数()f x 的定义域为R ，()54f =，()3f x +是偶函数，[)12,3,x x ∀∈+∞，有()()12120f x f x x x ->-，则（）A ．()04f D ．()30f <【答案】B 【分析】根据条件可得()f x 关于直线3x =对称，()f x 在[)3,+∞上单调递增，结合()54f =可判断出答案. 【详解】由()3f x +是偶函数可得()f x 关于直线3x =对称因为[)12,3,x x ∀∈+∞，有()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在[)3,+∞上单调递增因为()54f =，所以()()064f f =>，()()154f f ==，()()244f f =< 无法比较()3f 与0的大小故选：B.11．（2021·北京朝阳·高三期中）若函数()()221x f x a a R =-∈+为奇函数，则实数a =（）.A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】D【分析】由奇函数的性质()00f =求解即可【详解】因为函数()()221x f x a a R =-∈+为奇函数，定义域为R ，所以()00f =，即02021a -=+，解得1a =，经检验符合题意，故选：D.12．（2022·上海·高三专题练习）函数()2020sin 2f x x x =+，若满足()2(1)0f x x f t ++-≥恒成立，则实数t 的取值范围为（） A ．[2,)+∞ B ．[1,)+∞C ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．(,1]-∞【答案】C 【详解】∵()2020sin 2()f x x x f x -=--=-，且()20202cos20f x x '=+>， ∴函数()f x 为单调递增的奇函数．于是，()2(1)0f x x f t ++-≥可以变为()2(1)(1)f x x f t f t +--=-，即21x x t +≥-，∴21t x x ≤++，而221331244x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，可知实数34t ≤，故实数t 的取值范围为3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．故选：C.13．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）已知定义在R 上的可导函数()f x ，对任意的实数x ，都有()()4f x f x x --=，且当()0,x ∈+∞时，()2f x '>恒成立，若不等式()()()1221f a f a a --≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 【答案】D 【分析】由题意可得()()()f x x f x x -=---，令()()2F x f x x =-，根据奇偶性的定义，可得()F x 为偶函数，利用导数可得()F x 的单调性，将题干条件化简可得()2(1)2(1)f a a f a a -≥---，即()(1)F a F a ≥-，根据()F x 的单调性和奇偶性，计算求解，即可得答案.【详解】由()()4f x f x x --=，得()2()2()f x x f x x -=---，记()()2F x f x x =-，则有()()F x F x =-，即()F x 为偶函数，又当(0,)x ∈+∞时，()()20F x f x ''=->恒成立，所以()F x 在(0,)+∞上单调递增，所以由()()()1221f a f a a --≥-，得()2(1)2(1)f a a f a a -≥---，即()(1)F a F a ≥-(||)(|1|)F a F a ⇔-，所以|||1|a a -，即2212a a a ≥+-，解得12a ，故选：D.14．（2021·黑龙江·哈尔滨三中高三期中（文））设函数222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数()1y f x =-的零点个数为（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．0个【答案】B【分析】由已知函数()f x 的解析式作出图象，把函数()1y f x =-的零点转化为函数()f x 与1y =的交点得答案．【详解】由函数解析式222,0()lg ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩由图可知，函数()1y f x =-的零点的个数为2个．故选：B ．15．（2020·广东·梅州市梅江区嘉应中学高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足1(2)()f x f x +=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()2log (31)f x x =-+，则()2021f 等于（） A ．4 B ．2C ．2-D ．2log 7【答案】C 【分析】求得()f x 是周期为4的周期函数，从而求得()2021f . 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()11(4)(2)2()1(2)()f x f x f x f x f x +=++===+，其最小正周期为4，所以()()2021450511)()1(f f f f ⨯+===--.因为31,02⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()2log (31)f x x =-+，所以()2()log 13)1(12f -=--+=⨯，所以()202112()f f =--=-. 故选：C.16．（2021·江西·九江市柴桑区第一中学高三月考（文））已知函数()f x 是定义在[3,2]a --上的奇函数，且在[3,0]-上单调递增，则满足()()0f m f m a +->的m 的取值范围是（）A ．5,82⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．5,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．[]2,3D ．[]3,3-【答案】B 【分析】根据奇函数的定义可知定义域关于原点对称可得320a -+-=，即可解出a ，由奇函数的性质可得函数()f x 在[]3,3-上递增，再将()()0f m f m a +->等价变形为()()f m f a m >-，然后根据单调性即可解出．【详解】依题意可得320a -+-=，解得5a =，而函数f x （）在[3,0]-上单调递增，所以函数()f x 在[0,3]上单调递增，又函数()f x 连续，故函数()f x 在[]3,3-上递增，不等式()()0f m f m a +->即为()()5f m f m >-，所以333535m m m m-≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪>-⎩，解得532m <≤．故选：B ．17．（2021·浙江·高三期中）已知0a >，0b >，则“2ln 39b a a b>-”是“a b >”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B 【分析】构造函数，利用函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】解：由()22ln ln 2ln 33b a a a b b=->-，得()2ln 23ln 3a b a b +>+，令()ln 3x f x x =+，()f x 在()0,∞+上单调递增，又()()2f a f b >，则2a b >．即当0a >，0b >时，2ln 392b a a a b b>-⇔>．显然，2a b a b >⇒>，但由2a b >不能得到a b >．故选：B ．18．（2021·重庆市实验中学高三月考）已知函数()()2312,1,1x x a x x f x a x ⎧-++<⎪=⎨≥⎪⎩，若函数()f x 在R 上为减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【分析】利用二次函数、指数函数的单调性以及函数单调性的定义，建立关于a 的不等式组，解不等式组即可得答案. 【详解】解：因为函数()()2312,1,1x x a x x f x a x ⎧-++<⎪=⎨≥⎪⎩在R 上为减函数，所以()213112011312a a a a +⎧≥⎪⎪<<⎨⎪-++≥⎪⎩，解得1132a ≤≤，所以实数a 的取值范围为11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B.19．（2021·全国·高三期中）已知()2f x +是偶函数，当122x x <<时，()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，设12a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3b f =，()4c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．b a c <⎡⎤⎣⎦恒成立，则()()12f x f x <，所以()f x 在()2,+∞为增函数.又因为()2f x +是偶函数，所以，()()22f x f x -+=+，即1722a f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()7342f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即b a c <<.故选：A.20．（2021·宁夏·海原县第一中学高三月考（文））已知()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()13f =，则()()()()1232022f f f f ++++=（）A ．2022B ．0C ．3D ．2022-【答案】C 【分析】由条件可得()f x 是周期为4的周期函数，然后利用()()()()()()()()()()1232022505123412f f f f f f f f f f ++++=+++++⎡⎤⎣⎦算出答案即可.【详解】因为()f x 是定义域为()-∞+∞，的奇函数，所以()()f x f x -=-，()00f = 因为()()11f x f x -=+，所以()()()2f x f x f x -=+=-所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期为4的周期函数因为()13f =，()()200f f ==，()()()3113f f f =-=-=-，()()400f f == 所以()()()()()()()()()()12320225051234123f f f f f f f f f f ++++=+++++=⎡⎤⎣⎦故选：C.21．（2021·河北·高三月考）已知函数()3()21sin f x x x x =+++，则()(32)4f x f x -+-<的解集为（） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞【答案】A 【分析】设3()()222sin g x f x x x x =-=++，然后可得函数()g x 为奇函数，函数()g x 在R 上单调递增，然后不等式()(32)4f x f x -+-<可化为()(32)g x g x -<-+，然后可解出答案. 【详解】设3()()222sin g x f x x x x =-=++，可得函数()g x 为奇函数，2()62cos 0g x x x '=++>，所以函数()g x 在R 上单调递增，()(32)4()2(32)2()f x f x f x f x g x -+-<⇒--<--+⇒-(32)()(32)g x g x g x <--⇒-<-+，所以321x x x -<-+⇒<．故选：A.22．（2021·河南·高三月考（文））已知函数()()12x x f x e e －＝+，记12a fπ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＝，1log 2b f π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝，()c f π＝，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【答案】C 【分析】先判断函数的奇偶性，然后根据导函数的符号求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可得出答案. 【详解】解：因为()()()12x x f x e e f x --=+=，所以函数()f x 为偶函数，()()12x xf x e e -'=-，当0x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()0,∞+上递增，则()1log log 22b f f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以10log 212πππ<<<<，所以b a c <<. 故选：C ．23．（2021·安徽·高三月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1)f x -关于(1,0)中心对称，(1)f x +是偶函数，且312f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则92f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（） A ．0 B ．-1 C ．1 D ．无法确定【答案】B 【分析】由于(1)f x -关于(1,0)中心对称，又将函数(1)f x -向左平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于(0,0)中心对称，即()f x 是奇函数；又(1)f x +是偶函数，又将函数(1)f x +向右平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于直线1x =对称，可得函数()f x 的周期4T =，由此即可求出结果. 【详解】由于(1)f x -关于(1,0)中心对称，又将函数(1)f x -向左平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于(0,0)中心对称，即()f x 是奇函数；又(1)f x +是偶函数，又将函数(1)f x +向右平移1个单位后为()f x ，所以()f x 关于直线1x =对称，即()(2)f x f x =-；所以()(2)f x f x =--，所以(+2)()f x f x =-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 的周期4T =，911334211222222f f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.24．（2021·江西·赣州市赣县第三中学高三期中（理））函数()y f x =对任意x ∈R 都有(2)()f x f x +=-成立，且函数(1)y f x =-的图象关于点()1,0对称，(1)4f =，则(2020)(2021)(2022)f f f ++=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D 【分析】根据函数(1)y f x =-的图象关于点()1,0对称，得到函数是奇函数，然后结合(2)()f x f x +=-，得到函数的周期为4T =求解. 【详解】因为函数(1)y f x =-的图象关于点()1,0对称，所以函数()y f x =的图象关于点()0,0对称，即()()f x f x -=-，又因为(2)()f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，即(4)()f x f x +=，所以函数的周期为4T =，又(1)4f =，所以(2020)(2021)(2022)(0)(1)(0)4f f f f f f ++=++=. 故选：D.25．（2021·江西·高三月考（文））若定义在R 上的奇函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，且()30f =，则满足0()2f x x -≤的x 的取值范围为（）A ．(][),15,-∞-+∞B ．[][]3,05,-+∞C ．[][]1,02,5-D ．(][),10,5-∞-【答案】C 【分析】根据函数的单调性、奇偶性、函数图象变换，结合图象求得正确答案. 【详解】依题意()f x 是R 上的奇函数，且在(0,)+∞递增，且()30f =，所以()f x 在(),0-∞递增，且()30f -=.()2f x -的图象是由()f x 的图象向右平移2个单位得到，画出()2f x -的大致图象如下图所示，由图可知，满足0()2f x x -≤的x 的取值范围为[][]1,02,5-.故选：C.26．（2022·全国·高三专题练习）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0，1]上是减函数，则有（） A ．f 3()2<f 1()4-<f 1()4B ．f 1()4<f 1()4-<f 3()2C ．f 3()2<f 1()4<f 1()4-D ．f 1()4-<f 3()2-<f 1()4【答案】C 【分析】首先判断函数的周期，以及对称性，画出函数的草图，即可判断选项. 【详解】因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数的周期为4，并且()()()2f x f x f x +=-=-，所以函数()f x 关于1x =对称，作出f (x )的草图(如图)，由图可知3()2f <1()4f <1()4f -，故选：C.27．（2022·全国·高三专题练习）函数()342221x x f x x x⎧-≤⎪=⎨->⎪-⎩，，则不等式()1f x ≥的解集是（）A ．()513⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭，，B ．(]5133⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦，，C ．513⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．533⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【答案】B【分析】将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得不等式()1f x ≥的解集. 【详解】()342221x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪-⎩，，443,3434,232,21x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪>⎪-⎩，当43x <时，431,11x x x -≥≤⇒≤，当423x ≤≤时，55341,233x x x -≥≥⇒≤≤，当2x >时，10x ->，则21,21,3231x x x x ≥≥-≤⇒<≤-，综上所述，不等式()1f x ≥的解集为(]5,1,33⎡⎤-∞⋃⎢⎥⎣⎦.故选：B.28．（2021·安徽省亳州市第一中学高三月考（文））函数()f x 满足()()4f x f x =-+，若()23f =，则()2022f =（）A ．3B ．-3C ．6D ．2022【答案】B 【分析】根据函数()f x 满足()()4f x f x =-+，变形得到函数()f x 是周期函数求解. 【详解】因为函数()f x 满足()()4f x f x =-+，即()()4f x f x +=-，则()()()84f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是周期函数，周期为8，所以()()()()202225286623f f f f =⨯+==-=-．故选：B ．29．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））函数2()ln(231)f x x x =-+的单调递减区间为（）A ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(1,)+∞【答案】B【分析】先求出函数()f x 的定义域，再求出函数2231u x x =-+在所求定义域上的单调区间并结合复合函数单调性即可作答.【详解】在函数2()ln(231)f x x x =-+中，由22310x x -+>得12x <或1x >，则()f x 的定义域为1(,)(1,)2-∞+∞，函数2231u x x =-+在1(,)2-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，又ln y u =在(0,)u ∈+∞上单调递增，于是得()f x 在1(,)2-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，所以函数()f x 的单调递减区间为1(,)2-∞. 故选：B.30．（2021·广东·高三月考）已知定义域为R 的函数()y f x =在[0,10]上有1和3两个零点，且(2)y f x =+与(7)y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[0,2013]上的零点个数为（）A ．404B ．804C ．806D ．402【答案】A【分析】根据两个偶函数得()f x 的对称轴，由此得函数的周期，10是其一个周期，由周期性可得零点个数．【详解】因为(2)y f x =+与(7)y f x =+都为偶函数，所以(2)(2)f x f x +=-+，(7)(7)f x f x +=-+，所以()f x 图象关于2x =，7x =轴对称，所以()f x 为周期函数，且2(72)10T =⋅-=，所以将[0,2013]划分为[0,10)[10,20)[2000,2010][2010,2013]⋅⋅⋅.而[0,10)[10,20)[2000,2010]⋅⋅⋅共201组，所以2012402N =⨯=，在[2010,2013]中，含有零点(2011)(1)0f f ==，(2013)(3)0f f ==共2个，所以一共有404个零点.故选：A.31．（2021·安徽·池州市江南中学高三月考（理））已知定义域为R 的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x ＋4)，且函数f (x )在区间(2，＋∞)上单调递增，如果x 1<2<x 2，且x 1＋x 2>4，则f (x 1)＋f (x 2)的值（）A ．可正可负B ．恒大于0C ．可能为0D ．恒小于0【答案】B【分析】首先根据条件()(4)f x f x -=-+转化为(4)()f x f x -=-，再根据函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，将1x 转换为14x -，从而14x -，2x 都在(2,)+∞的单调区间内，由单调性得到它们的函数值的大小，再由条件即可判断12()()f x f x +的值的符号．【详解】解：定义域为R 的函数()f x 满足()(4)f x f x -=-+，将x 换为x -，有(4)()f x f x -=-，122x x <<，且124x x +>，2142x x ∴>->，函数()f x 在区间(2,)+∞上单调递增，21()(4)f x f x ∴>-，(4)()f x f x -=-，11(4)()f x f x ∴-=-，即21()()f x f x >-，12()()0f x f x ∴+>，故选：B ．32．（2021·河南·模拟预测（文））已知非常数函数()f x 满足()()1f x f x -=()x R ∈，则下列函数中，不是奇函数的为（）A ．()()11f x f x -+ B ．()()11f x f x +- C ．()()1f x f x - D ．()()1f x f x + 【答案】D【分析】根据奇函数的定义判断．【详解】因为()()1f x f x -=()x R ∈，所以()1()()1f x g x f x -=+，则11()11()()()()1()11()1()f x f x f xg x g x f x f x f x -----====--+++，()g x 是奇函数，同理()()1()1f x h x f x +=-也是奇函数，1()()()()()p x f x f x f x f x =-=--，则()()()()p x f x f x p x -=--=-，是奇函数， 1()()()()()q x f x f x f x f x =+=+-，()()()()q x f x f x q x -=-+=为偶函数，故选：D ．33．（2021·四川郫都·高三月考（文））已知奇函数()f x 定义域为R ，()()1f x f x -=，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()21log 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（） A ．2log 3B ．1C ．1-D ．0【答案】D【分析】根据函数的奇偶性和(1)()f x f x -=可得函数的周期是2，利用周期性进行转化求解即可．【详解】解：奇函数满足(1)()f x f x -=，()(1)(1)f x f x f x ∴=-=--，即(1)()f x f x +=-，则(2)(1)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 是以2为周期的周期函数，所以225111()()log ()log 102222f f ==+==．故选：D.34．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()()2f x y f x y f x f y ++-=，且12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()00f ≠，则()2021f =（）．A ．2021B ．1C ．0D ．1-【答案】C【分析】分别令0x y ==，令12x y ==得到()()110f x f x ++-=，进而推得函数()f x 是周期函数求解．【详解】令0x y ==，则()()()()00200f f f f +=，故()()()20010f f -=，故()01f =，（()00f =舍）令12x y ==，则()()1110222f f f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()10f =．∴()()()()11210f x f x f x f ++-==，即()()()()()()1124f x f x f x f x f x f x +=--⇒+=-⇒+=，故()f x 的周期为4，即()f x 是周期函数．∴()()202110f f ==．故选：C ．二、多选题35．（2021·全国·高三月考）()f x 是定义在R 上的偶函数，对x R ∀∈，均有()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()()2log 2f x x =-，则下列结论正确的是（）A ．函数()f x 的一个周期为4B ．()20221f =C ．当[]2,3x ∈时，()()2log 4f x x =--D ．函数()f x 在[]0,2021内有1010个零点【答案】AC【分析】由()()2 x f f x +=-可判断A ，()()()2022450()5220f f f f =⨯+==-，可判断B ，当[]2,3x ∈时，[]20,1x -∈，结合条件可判断C ，易知()()()()()1 35201920210f f f f f ===⋯===，可判断D.【详解】()f x 是定义在R 上的偶函数，对x R ∀∈，均有()()2 x f f x +=-，()()4 (2,f x f x f x ∴+=-+=）故函数的周期为4，故选项A 正确；()()()2022452(05201)f f f f =⨯+==-=-，故选项B 错误；当[]2,3x ∈时，[]20,1x -∈，则()()()()222log 2 2log 4f x f x x x ⎡=--=---=-⎤⎦-⎣，故选项C 正确；易知()()()()()1 35201920210f f f f f ===⋯===，于是函数()f x 在[]0,2021内有1011个零点，故选项D 错误，故选：AC ．36．（2021·重庆市第十一中学校高三月考）关于函数()321x f x x +=-，正确的说法是（） A ．()f x 有且仅有一个零点B ．()f x 在定义域内单调递减C ．()f x 的定义域为{}1x x ≠D ．()f x 的图象关于点()1,3对称【答案】ACD【分析】将函数()f x 分离系数可得5()31f x x =+-，数形结合，逐一分析即可；【详解】解：323(1)55()3111x x f x x x x +-+===+---，作出函数()f x 图象如图：由图象可知，函数只有一个零点，定义域为{}|1x x ≠，在(),1-∞和()1,+∞上单调递减，图象关于()1,3对称，故B 错误，故选：ACD ．37．（2021·福建·三明一中高三月考）下列命题中，错误的命题有（）A ．函数()f x x =与()2g x =是同一个函数B ．命题“[]00,1x ∃∈，2001x x +≥”的否定为“[]0,1x ∀∈，21x x +<”C ．函数4sin 0sin 2y x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的最小值为4 D ．设函数22,0()2,0x x x f x x +<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 在R 上单调递增【答案】ACD【分析】求出两函数的定义域，即可判断A ；命题的否定形式判断B ；函数的最值判断C ；分段函数的性质以及单调性判断D ；【详解】解：函数()f x x =定义域为R ，函数2()g x =的定义域为[)0,+∞，所以两个函数的定义域不相同，所以两个函数不是相同函数；所以A 不正确；命题“0[0x ∃∈，1]，2001x x +”的否定为“[0x ∀=，1]，21x x +<”，满足命题的否定形式，所以B 正确；函数4sin sin y x x =+(0)2x π<<，因为02x π<<，所以0sin 1x <<，可知4sin 4sin y x x =+>，所以函数没有最小值，所以C 不正确；设函数22,0,()2,0,x x x f x x +<⎧⎪=⎨⎪⎩两段函数都是增函数，并且0x <时，0x →，()2f x →，0x 时，函数的最小值为1，两段函数在R 上不是单调递增，所以D 不正确；故选：ACD ．38．（2021·福建·高三月考）已知()f x 是定义域为R 的函数，满足()()13f x f x +=-，()()13f x f x +=-，当02x ≤≤时，()2f x x x =-，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为4B ．()f x 的图象关于直线2x =对称C ．当04x ≤≤时，函数()f x 的最大值为2D ．当68x ≤≤时，函数()f x 的最小值为12- 【答案】ABC【分析】根据抽象函数关系式，可推导得到周期性和对称性，知AB 正确；根据()f x 在[]0,2上的最大值和最小值，结合对称性和周期性可知C 正确，D 错误.【详解】对于A ，()()13f x f x +=-，()()4f x f x ∴+=，()f x ∴的最小正周期为4，A 正确；对于B ，()()13f x f x +=-，()()22f x f x ∴+=-，()f x ∴的图象关于直线2x =对称，B 正确；对于C ，当02x ≤≤时，()()max 22f x f ==，()f x 图象关于2x =对称，∴当24x ≤≤时，()()max 22f x f ==；综上所述：当04x ≤≤时，()()max 22f x f ==，C 正确；对于D ，()f x 的最小正周期为4，()f x ∴在[]6,8上的最小值，即为()f x 在[]2,4上的最小值，当02x ≤≤时，()min 1124f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，又()f x 图象关于2x =对称， ∴当24x ≤≤时，()min 711224f x f f ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x ∴在[]6,8上的最小值为14-，D 错误. 故选：ABC.39．（2022·全国·高三专题练习）设f (x )的定义域为R ，给出下列四个命题其中正确的是（）A ．若y ＝f (x )为偶函数，则y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称；B ．若y ＝f (x ＋2)为偶函数，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；C ．若f (2＋x )＝f (2－x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称；D ．若f (2－x )＝f (x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称.【答案】BC【分析】根据偶函数的对称性，结合函数图象变换性质、函数图象关于直线对称的性质进行逐一判断即可.【详解】A ：中由y ＝f (x )关于y 轴对称，得y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，所以结论错误；B ：因为y ＝f (x ＋2)为偶函数，所以函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，因此y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以结论正确；C ：因为f (2＋x )＝f (2－x )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，因此结论正确；D ：由f (2－x )＝f (x )，得f (1＋x )＝f (1－x )，所以y ＝f (x )关于直线x ＝1对称，因此结论错误，故选：BC.40．（2021·广东·湛江二十一中高三月考）已知函数sin ()()x f x e x R =∈，则下列论述正确的是（）A ．()f x 的最大值为e ，最小值为0B ．()f x 是偶函数C ．()f x 是周期函数，且最小正周期为2πD ．不等式()f x ≥5,66xk x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭【答案】BD【分析】由|sin |[0,1]x ∈，得到函数的值域，可判定A 错误；由函数奇偶性的定义，可判定B 正确；由函数周期的定义，可得判定C 错误；由()f x ≥，得到1|sin |2x ≥，结合三角函数的性质，可判定D 正确.【详解】由|sin |[0,1]x ∈，可得的sin [1,]x e e ∈，故A 错误；由sin()|sin |()()x x f x e e f x --===，所以()f x 是偶函数，故B 正确；由|sin()||sin ||sin |(=e )()x x x f x e e f x ππ+-+===，所以π是()f x 的周期，故C 错误；由()f x ≥，即1sin 2x e e ≥，可得1|sin |2x ≥，解得x 的取值范围是5,66xk x k k ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ，故D 正确. 故选：BD. 41．（2021·全国·模拟预测）已知函数()21x f x x =-，则下列结论正确的是（） A ．函数()f x 在(),1-∞上是增函数B ．函数()f x 的图象关于点()1,2中心对称C ．函数()f x 的图象上存在两点A ，B ，使得直线//AB x 轴D ．函数()f x 的图象关于直线1x =对称【答案】AC【分析】()2,112,11x x x f x x x x ⎧-<⎪⎪-=⎨⎪>⎪-⎩，然后画出其图象可得答案. 【详解】()2,112,11x x x f x x x x ⎧-<⎪⎪-=⎨⎪>⎪-⎩，其大致图象如下，结合函数图象可得AC 正确，BD 错误.故选：AC.42．（2022·全国·高三专题练习）对于定义在R 上的函数()f x ，下列说法正确的是（）A ．若()f x 是奇函数，则()1f x -的图像关于点()1,0对称B ．若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，则()f x 的图像关于直线1x =对称C ．若函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则()f x 为偶函数D ．若()()112f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点()1,1对称【答案】ACD【分析】四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x 加以代换，再结合函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案.【详解】对A ，()f x 是奇函数，故图象关于原点对称，将()f x 的图象向右平移1个单位得()1f x -的图象，故()1f x -的图象关于点（1，0）对称，正确；对B ，若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，得()()2f x f x +=，所以()f x 是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线1x =对称，错误.；对C ，若函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称，则()f x 的图象关于y 轴对称，故为偶函数，正确；对D ，由()()112f x f x ++-=得()()()()112,202f f f f +=+=，()()()()312,422,f f f f +-=+-=，()f x 的图象关于（1，1）对称，正确.故选：ACD.第II 卷（非选择题）三、填空题43．（2021·广东·高三月考）请写出一个函数()f x =__________，使之同时具有如下性质：①图象关于直线2x =对称；②x R ∀∈，(4)()f x f x +=．【答案】()cos 2f x x π=（答案不唯一）. 【分析】根据性质①②可知()f x 是以4为周期且图象关于2x =对称点的函数，即可求解.【详解】解：由题可知，由性质①可知函数()f x 图象关于直线2x =对称；由性质②x R ∀∈，(4)()f x f x +=，可知函数()f x 以4为周期，写出一个即可，例如：()cos 2f x x π=，故答案为：()cos 2f x x π=（答案不唯一）. 44．（2021·湖南·高三月考）已知偶函数()f x 满足()()416f x f x +-=，且当(]0,1x ∈时，()[]222()f x f x =，则()3f -=___________.【答案】12【分析】利用函数的奇偶性及赋值法，可以解决问题.【详解】由()()416f x f x +-=，令2x =，可得()28f =.因为[]22(2)(1)16f f ==，212(1)02f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥，所以()10f ≥，所以()14f =，由()()416f x f x +-=，令1x =，可得()312f =.因为()f x 是偶函数，所以()()3312f f -==.故答案为：12.45．（2021·北京·中国人民大学附属中学丰台学校高三月考）定义在R 上的函数f (x )满足()()22f x f x -=+，且x ∈（0，1）时，1()24x f x =+，则23(log 8)2f +＝___．【答案】74【分析】由条件可得2233(log 8)(log )22f f +=，然后可算出答案. 【详解】因为()()22f x f x -=+，且x ∈（0，1）时，1()24x f x =+，所以23log 222331317(log 8)(log )2224244f f +==+=+= 故答案为：74. 46．（2021·上海奉贤区致远高级中学高三月考）定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，2(2),[3,1)(),[1,3)x x f x x x ⎧-+∈--⎪=⎨∈-⎪⎩，数列{}n a 满足(),n a f n n N =∈*，{}n a 的前n 项和为n S ，则2021S =_________．【答案】337【分析】先判断出周期为6，再求出126a a a ++⋅⋅⋅+的值，最后求出2021S 的值【详解】因为函数()f x 满足(6)()f x f x +=，所以函数()f x 是周期为6的周期函数，()()()()12311,22,331a f a f a f f ======-=-，()()()()()456420,511,00a f f a f f a f ==-===-=-==，()()7711a f f ===，1261210101a a a ++⋅⋅⋅+=+-+-+=，因为202163365=⨯+，所以()2021126125336336112101337S a a a a a a =+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=⨯++-+-=故答案为：337.47．（2021·辽宁沈阳·高三月考）若函数()3121x f x m x ⎛⎫=-⋅⎪-⎝⎭为偶函数，则m 的值为________．【答案】12- 【分析】先根据()()11f f =-求出m 的值，再根据奇偶性的定义证明即可.【详解】解：由已知210x -≠，即0x ≠，故函数定义域为()(),00,-∞⋃+∞，因为函数()3121x f x m x ⎛⎫=-⋅⎪-⎝⎭为偶函数，则()()11f f =- 即1112121m m -⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，解得12m =-，当12m =-时， ()()()()333331111212221211221x x x x x f x f x x x x x x -⎛⎫⎛⎫--=+⋅--+⋅=⋅--- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭3332102121x x x x x x =⋅--=--. 故12m =-时，函数()3121x f x m x ⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭为偶函数故答案为：12-. 48．（2021·全国·高三月考（理））已知函数2()sin f x x x x =-，则不等式(21)(1)f x f x -<+的解集为______.【答案】(0,2)【分析】利用导数可判断函数在(0,)+∞为增函数，再利用函数奇偶性的定义可判断函数为偶函数，从而将(21)(1)f x f x -<+转化为|21||1|x x -<+，进而可求出不等式的解集【详解】定义域为R ，由题意，()2sin cos (2cos )sin f x x x x x x x x '=--=--，当0x >时，()1sin 0f x x x '≥⋅->，故()f x 在(0,)+∞为增函数.因为22()()()sin()sin ()f x x x x x x x f x -=----=-=，所以()f x 为偶函数，故(21)(1)f x f x -<+即(|21|)(|1|)f x f x -<+，则|21||1|x x -<+，故22(21)(1)x x -<+，解得02x <<，故原不等式的解集为(0,2).故答案为：(0,2).49．（2022·全国·高三专题练习）函数2π()2sin sin()2f x x x x =+-的零点个数为________. 【答案】2【分析】先利用诱导公式、二倍角公式化简，再将函数零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，进而画出图象进行判定.【详解】2π()2sin sin()2f x x x x =+- 222sin cos sin 2x x x x x =-=-，函数f (x )的零点个数可转化为函数1sin 2y x =与22y x =图象的交点个数，在同一坐标系中画出函数1sin 2y x =与22y x =图象的（如图所示）：由图可知两函数图象有2个交点，即f (x )的零点个数为2.故答案为：2.50．（2021·河南·高三月考（文））已知偶函数()f x 和奇函数()g x 均定义在R 上，且满足()()224359x f x g x x x +=-++，则()()13f g -+=______．【答案】223【分析】先用列方程组法求出()f x 和()g x 的解析式，代入即可求解.【详解】因为()()224359x f x g x x x +=-++……① 所以()()224359x f x g x x x -+-=+++ 因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()224359x f x g x x x -=+++……② ①②联立解得：()235f x x =+，()249x g x x =-+，所以()()()22431331532392f g ⨯-+=-+-=+. 故答案为：223.。

(完整版)函数的性质练习(奇偶性、单调性、周期性、对称性)(附答案)

函数的性质练习(奇偶性，单调性，周期性，对称性)1、定义在R 上的奇函数)(x f ，周期为6，那么方程0)(=x f 在区间[6,6-]上的根的个数可能是A.0B.1C.3D.52、f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A ．1B ．4C ．3D ．23、已知)(x f 是R 上的偶函数,)(x g 是R 上的奇函数,且)(x g =)1(-x f ,那么=)3120(fA.0B.2C. 2-D.2± 4、已知112)(-+=x x x f ，那么=+++++-+-+-)8()6()4()2()0()2()4()6(f f f f f f f f A.14 B.15 C. 16- D.165、已知)(x f 的定义域为R ，若)1()1(+-x f x f 、都为奇函数，则A.)(x f 为偶函数B.)(x f 为奇函数C.)(x f =)2(+x fD.)3(+x f 为奇函数6、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)1()1(--=+x f x f ，则下列结论一定成立的是A.)(x f 的周期为4B. )(x f 的周期为6C. )(x f 的图像关于直线1=x 对称D. )(x f 的图像关于点(1 , 0) 对称 7、定义在R 上的函数)(x f 满足:)()(x f x f -=-,)1()1(x f x f -=+，当∈x [1-, 1] 时，3)(x x f =，则=)2013(fA.1-B.0C.1D.28、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)2()2(x f x f -=+，并且)1(+x f 为偶函数. 若3)1(=f ，那么=)101(fA.1B.2C.3D.49、已知f (x )(x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 10、若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝⎛⎭⎫32 等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．－1211、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12、设()f x 为定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则 ()7.5f 等于（）A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-13、设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则()2f -与()223f a a -+ （a R ∈）的大小关系是（）A ．()2f -<()223f a a -+B ．()2f -≥()223f a a -+C ．()2f ->()223f aa -+D ．与a 的取值无关14、若函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()1f x x =-，则当0x <时，有（）A ．()f x 0>B ．()f x 0<C ．()f x ()f x -≤0D ．()f x －()f x -0> 15、已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥317、已知函数()()221,f x x ax b b a b R =-++-+∈对任意实数x 都有()()11f x f x -=+ 成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立,则b 的取值范围是（） A ．10b -<C ．12b b <->或 D ．不能确定 18、已知函数()()2223f x x x =+-，那么（）A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数19、函数()y f x =在()0,2上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论中正确的是（） A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20、设函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()23xf x =-，则()2f -等于（）A ．1-B ．114C ．1D ．114-21、设函数)(x f 是R 上的偶函数,且在()+∞,0上是减函数,且12210x x x x >>+，,则 A.)()(21x f x f > B.)()(21x f x f = C.)()(21x f x f < D.不能确定23、已知函数=)(x f ⎩⎨⎧<-≥-0,10,sin x e x x x x ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 取值范围是A. (1,-∞-)),2(+∞YB. (1,2-)C. (2,1-)D. (2,-∞-)+∞,1(Y )A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：24、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为25、已知()f x 为偶函数，()g x 是奇函数，且()f x ()22g x x x -=+-，则()f x 、()g x 分别为 ; 26、定义在()1,1-上的奇函数()21x mf x x nx +=++，则常数m = ，n = ；28、．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+.(1)求证: ()f x 是奇函数;(2)若(3),(24)f a a f -=试用表示.29、若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⑴求()1f 的值；⑵若()61f =，解不等式()132f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．30．函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。

初中函数综合题及答案

初中函数综合题及答案一、单选题1．抛物线2112y x =--的开口方向是（）A ．向下B ．向上C ．向左D ．向右2．将抛物线y ＝x 2向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线是（）A ．y ＝（x +3）2﹣2B ．y ＝（x +3）2+2C ．y ＝（x ﹣3）2﹣2D ．y ＝（x ﹣3）2+23．以下能够准确表示宣城市政府地理位置的是（）A ．离上海市282千米B ．在上海市南偏西80︒C ．在上海市南偏西282千米D ．东经30.8︒，北纬118︒4．下列各曲线表示的y 与x 的关系中，y 是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．5．在反比例函数1k y x-=图象的每一条曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是（）． A ．0k >B ．1k >C ．1kD ．1k ≤6．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度(y 米)与小球运动的时间(x 秒)之间的关系式为()20.y ax bx c a =++≠若小球在第2秒与第6秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高度最高的是（） A ．第3秒 B ．第4秒 C ．第5秒 D ．第6秒 7．二次函数y ＝x 2＋6x ＋4的对称轴是（）A ．x ＝6B ．x ＝﹣6C ．x ＝﹣3D ．x ＝48．点（－1，1y ），（2，2y ），（3，3y ）均在函数1y x=的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（） A ．321y y y <，且0kb <，则直线()0y kx b k =+≠在平面直角坐标系中的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．11．下列函数中是二次函数的是（） A ．23S t =-B ．21y x =C ．22y x =D ．y kx b =+12．下列一次函数中，y 随x 的增大而减小的是（） A ．y ＝x ﹣3B ．y ＝1﹣xC ．y ＝2xD ．y ＝3x +213．若反比例函数y kx=的图像过点(6，则不在这个反比例函数图像上的点是（） A ．(3,2)B ．(2,3)-C ．(6,1)D ．(2,3)14．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是（） A ．y ＝（x ﹣1）2+2B ．y ＝（x ﹣1）2﹣2C ．y ＝（x +1）2﹣2D ．y ＝（x +1）2+215．将抛物线y =2（x +1）2+1向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，平移后抛物线的解析式为（） A ．y ＝2x 2﹣1 B ．y ＝2（x +2）2﹣1 C ．y ＝2（x +2）2+1D ．y ＝2（x ﹣1）2﹣1二、填空题16．已知点(),P m n 在一次函数1y x =+的图象上，则n m -=______． 17．将直线213y x =-+向上平移3个单位后所得直线解析式为_______．18．函数y =－2x +3的图象经过点(4，____)．19．若抛物线y =x 2+bx +经过点A （0，5），B （4，5），则其对称轴是直线______ 20．抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y 轴，且经过点()2,8，则该抛物线的表达式为______．三、解答题21．已知抛物线23y ax bx =++经过两点()1,0A -，()3,0B ，C 是抛物线与y 轴的交点．(1)求抛物线的解析式；(2)点(),D m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设四边形ABDC 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出当m 为何值时，S 的最大值是多少？22．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M ，对于任意的函数值y ，都满足y ≤M ，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M 中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数y ＝﹣（x ﹣3）2＋2是有上界函数，其上确界是2(1)函数①y ＝x 2＋2x ＋1和②y ＝2x ﹣3（x ≤2）中是有上界函数的为（只填序号即可），其上确界为；(2)如果函数y ＝﹣x ＋2（a ≤x ≤b ，b ＞a ）的上确界是b ，且这个函数的最小值不超过2a ＋1，求a 的取值范围；(3)如果函数y ＝x 2﹣2ax ＋2（1≤x ≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a 的值．23．若二次函数()20y ax bx c a =++≠的x 与y 的部分对应值如下表：(1)求二次函数的表达式； (2)求m ，n 的值．24．引入：初中阶段我们学习了三种函数，分别是一次函数、二次函数、反比例函数，请补全下表：曹冲生五六岁，智意所及，有若成人之智．时孙权曾致巨象，太祖欲知其斤重，访之群下，咸莫能出其理．冲曰：“置象大船之上，而刻其水痕所至，称物以载之，则校可知矣．”太祖悦，即施行焉．译文：曹冲年龄五六岁的时候，知识和判断能力如一个成年人．有一次，孙权送来了一头巨象，曹操想知道这象的重量，询问他的属下这件事，但他们都不能说出称象的办法．曹冲说：“把象放到大船上，在水面所达到的地方做上记号，再让船装栽其他东西，称一下这些东西，那么比较下就能知道了．”曹操听了很高兴，马上照这个办法做了．现有小船的吃水深度y （cm ）与船上重物x （吨）之间的关系如下表：(1)请将“引入”中的表格补充完整；(2)小船的吃水深度与船上重物之间的关系满足什么函数关系？．A .正比例函数关系；B ．一次函数关系；C ．反比例函数关系；D ．二次函数关系 (3)求出小船的吃水深度y （cm ）与船上重物x （吨）之间的函数关系式； (4)大象装上船后小船的吃水深度为23.4cm ，求大象重多少吨．25．某涵洞的横断面呈拋物线形，现测得底部的宽 1.6m AB =，涵洞顶部到底面的最大高度为2.4m.在如图所示的直角坐标系中，求抛物线所对应的二次函数的表达式．【参考答案】一、单选题 1．A 2．D 3．D 4．B 5．B 6．B 7．C 8．C 9．D 10．C 11．C 12．B 13．D 14．A 15．B 二、填空题 16．117．243y x =-+18．-519．2x =20．22y x = 三、解答题21．(1)2y x 2x 3=-++(2)S 关于m 的函数关系式为23960322S m m m =-++<<，；当32m =时，S 的最大值是758 【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可；（2）设点()2,23D m m m -++，求得BC 的解析式，进而表示出,BCDABCSS，根据BCDABCABDC S S SS==+四边形求得S 关于m 的函数关系式，根据二次函数的性质求得最值．(1)解：根据题意，有：030933a b a b =-+⎧⎨=++⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式是2y x 2x 3=-++． (2)解：如图，设点()2,23D m m m -++，连接BC ，当x ＝0时，2233y x x =-++=， ∴()0,3C ，设BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，又()3,0B ，因此有：033k bb=+⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩，所以BC 的解析式为y ＝－x ＋3，又OB ＝3，AB ＝OB ＋OA ＝4，OC ＝3，()()22139233222BCD S OB m m m m m ⎡⎤=⨯⨯-++--+=-+⎣⎦△， 1143622ABC S AB OC =⨯⨯=⨯⨯=△∴239622BCDABCABDC S S SSm m ==+=-++四边形即：23960322S m m m =-++<<，∵22393375622228S m m m ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭∴当32m =时，S 的最大值是758．【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 22．(1)②，1； (2)-1≤a ＜1； (3)a 的值为2.4．【解析】【分析】（1）分别求出两个函数的最大值即可求解；（2）由题意可知：-b +2≤y ≤-a +2，再由-a +2=b ，-b +2≤2a +1，b ＞a ，即可求a 的取值范围；（3）当a ≤1时，27-10a =3，可得a =2.4（舍）；当a ≥5时，3-2a =3，可得a =0（舍）；当1＜a ≤3时，27-10a =3，可得a =2.4；当3＜a ＜5时，3-2a =3，可得a =0． (1)①y =x 2+2x +1=（x +1）2≥0， ∴①无上确界； ②y =2x -3（x ≤2）， ∴y ≤1，∴②有上确界，且上确界为1，故答案为：②，1； (2)∵y =-x +2，y 随x 值的增大而减小， ∴当a ≤x ≤b 时，-b +2≤y ≤-a +2， ∵上确界是b ， ∴-a +2=b ，∵函数的最小值不超过2a +1， ∴-b +2≤2a +1， ∴a ≥-1， ∵b ＞a ，∴-a +2＞a ， ∴a ＜1，∴a 的取值范围为：-1≤a ＜1； (3)y =x 2-2ax +2的对称轴为直线x =a ，当a ≤1时，y 的最大值为25-10a +2=27-10a ， ∵3为上确界， ∴27-10a =3， ∴a =2.4（舍）；当a ≥5时，y 的最大值为1-2a +2=3-2a ， ∵3为上确界， ∴3-2a =3， ∴a =0（舍）；当1＜a ≤3时，y 的最大值为25-10a +2=27-10a ， ∵3为上确界， ∴27-10a =3， ∴a =2.4；当3＜a ＜5时，y 的最大值为1-2a +2=3-2a ， ∵3为上确界， ∴3-2a =3， ∴a =0，综上所述：a 的值为2.4．【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键． 23．(1)225=-+y x (2)m =－3，n =4 【解析】【分析】（1）利用表中数据得到抛物线的顶点为（0，5），则设抛物线的解析式为y =ax 2+5，然后把 x =1，y =3 代入 y =ax 2+5求出a 即可得到二次函数表达式；（2）计算x =-2时的函数值得到m 的值，计算函数值为-27对应的自变量的值可确定n 的值． (1)由表格可知，该抛物线的顶点为（0，5）。

高中试卷-函数概念与性质(综合测试卷)(含答案)

《函数概念与性质》综合测试卷一、单选题1．（2019·浙江南湖嘉兴一中高一月考）下列四组函数中，()f x 与()g x 表示同一函数是（）A ．()1f x x =-，()211x g x x -=+B ．()1f x x =+，()1,11,1x x g x x x +³ì=í--<-îC ．()1f x =，()()01g x x =+D ．()f x =，()2g x =【答案】B 【解析】两个函数如果是同一函数，则两个函数的定义域和对应法则应相同，A 选项中，()f x 定义域为R ，()g x 的定义域为(,1)(1,)-¥-È-+¥，所以二者不是同一函数，所以A 错误；B 选项中，1,1()11,1x x f x x x x +³-ì=+=í--<-î，与()g x 定义域相同，都是R ，对应法则也相同，所以二者是同一函数，所以B 正确；C 选项中，()f x 定义域为R ，()g x 的定义域为(,1)(1,)-¥-È-+¥，所以二者不是同一函数，所以C 错误；D 选项中，()f x 定义域为R ，()g x 的定义域为[0,)+¥，所以二者不是同一函数，所以D 错误.故选：B2．（2020·浙江高一课时练习）已知2()f x x x =+，则(1)f x -等于（）A ．21x x -+B ．2x x-C ．221x x --D ．22x x-【答案】B 【解析】因为2()f x x x =+，所以22(1)(1)(1)f x x x x x -=-+-=-．故选：B3．（2020·浙江高一课时练习）函数y =的定义域为A ．[4,1]-B ．[4,0)-C ．(0,1]D ．[4,0)(0,1]-È【答案】D 【解析】由2340x x --+³可得{}/41x x -££，又因为分母0x ¹，所以原函数的定义域为[4,0)(0,1]-È．4．（2020·全国高一课时练习）下列函数()f x 中，满足对任意()12,0,x x Î+¥，当x 1<x 2时，都有()()12f x f x >的是( )A ．()2f x x =B ．()1f x x=C ．()f x x =D ．()21f x x =+【答案】B 【解析】由12x x <时，()()12f x f x >，所以函数()f x 在()0,¥+上为减函数的函数.A 选项，2y x =在()0,¥+上为增函数，不符合题意.B 选项，1y x=在()0,¥+上为减函数，符合题意.C 选项，y x =在()0,¥+上为增函数，不符合题意.D 选项，()21f x x =+在()0,¥+上为增函数，不符合题意.故选B.5．（2020·为实数，则函数235y x x =+-的值域为（）A ．(,)-¥+¥B ．[0,)+¥C ．[7,)-+¥D ．[5,)-+¥【答案】D 【解析】∵0x …，且函数235y x x =+-的对称轴为302x =-<∴2355x x +--…故选：D6．（2020·全国高一课时练习）函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数．则（）A ．12m >B ．12m <C ．12m >-D ．12m <-【答案】B【解析】根据题意，函数(21)y m x b =-+在R 上是减函数，则有210m -＜，解可得12m <，故选B ．7．（2020·全国高一课时练习）若函数()(31)4,1,1a x a x f x ax x -+<ì=í-³î，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为（）A ．11,83éö÷êëøB ．10,3æöç÷èøC ．1,8éö+¥÷êëøD ．11,,83æùéö-¥+¥ç÷úêèûëøU 【答案】A 【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的减函数，所以3100314a a a a a-<ìï-<íï-+³-î，解得1183a £<.故选：A.8．（2019·浙江高一期中）已知函数222,0()1,0x x f x xx x ì++<ï=íï--³î，则()f x 的最大值是( )A．2+B．2-C ．1-D ．1【答案】B 【解析】（1）当0x <时，2()2=++f x x x，任取120x x <<，则1212121212222()()22()1æöæöæö-=++-++=--ç÷ç÷ç÷èøèøèøf x f x x x x x x x x x ，当12<<x x 时，12122()10æö--<ç÷èøx x x x ，即12()()f x f x <，函数()f x 单调递增；当120<<<x x 时，12122()10æö-->ç÷èøx x x x ，即12()()f x f x >，函数()f x 单调递减；所以max ()(2f x f ==-（2）当0x ³时，2()1f x x =--单调递减，所以max ()(0)1f x f ==-；而21->-，所以max ()2f x =-故选：B9．（2020·荆州市北门中学高一期末）已知奇函数()f x 的定义域为R ，若()2f x +为偶函数，且()11f -=-，则()()20172016f f +=（）A ．2-B ．1-C ．0D ．1【答案】D 【解析】Q 奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，(0)0f \=，且(2)(2)(2)f x f x f x -+=+=--，则(4)()f x f x +=-，则(8)(4)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 的周期是8，且函数关于2x =对称，则(2017)(25281)f f f =´+=（1）(1)(1)1f =--=--=，(2016)(2528)(0)0f f f =´==，则(2017)(2016)011f f +=+=，故选：D ．10．（2019·山西高一月考）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x =-，且在(0,)+¥上是增函数，不等式()()21f ax f +£-对于[]1,2x Î恒成立，则a 的取值范围是A ．3,12éù--êúëûB ．11,2éù--êúëûC ．1,02éù-êúëûD ．[]0,1【答案】A 【解析】()()f x f x =-Q ()f x \为定义在R 上的偶函数，图象关于y 轴对称又()f x 在()0,¥+上是增函数 ()f x \在(),0-¥上是减函数()()21f ax f +£-Q 21ax \+£，即121ax -£+£121ax -£+£Q 对于[]1,2x Î恒成立 31a x x\-££-在[]1,2上恒成立312a \-££-，即a 的取值范围为：3,12éù--êúëû本题正确选项：A 二、多选题11．（2019·山东莒县高一期中）已知函数2()23(0)f x ax ax a =-->，则（）A ．()()33f f ->B ．()()23f f -<C ．()()42f f =-D ．()()43f f >【答案】ACD 【解析】2()23(0)f x ax ax a =-->对称轴为1x =，且在[1,)+¥是增函数，()()3(5)3f f f -=>，选项A 正确；()()2(4)3f f f -=>，选项B 错误；()()42f f =-，选项C 正确；()()43f f >，选项D 正确.故选:ACD.12．（2020·浙江高一单元测试）函数2()xf x x a=+的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC 【解析】由题可知，函数2()xf x x a =+，若0a =，则21()x f x x x==，选项C 可能；若0a >，则函数定义域为R ，且(0)0f =，选项B 可能；若0a <，则x ¹，选项A 可能，故不可能是选项D ，故选：ABC.13．（2019·山东莒县高一期中）下列命题为真命题的是（）A ．函数1y x =-既是偶函数又在区间[)1,+¥上是增函数B ．函数()f x =的最小值为2C ．“2x =”是“2x -=”的充要条件D ．1,1x R x x$Î<+【答案】CD 【解析】1y x =-当1x =时，0y =，当1x =-时，2y =，所以1y x =-不是偶函数，选项A 错误；令1[3,),()t g t t t=+¥=+根据对勾函数的单调性可得，()g t 在[3,)+¥是增函数，()g t 的最小值为103，即()f x 的最小值为103，选项B 错误；20,20,2x x x -=³-³\=，选项C 正确；当1x =时，11x x<+成立，选项D 正确.故选:CD.14．（2019·山东黄岛高一期中）已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①R x "Î，()()f x f x -=；②12,(0,)x x "Î+¥，当12x x ¹时，都有()()21210f x f x x x ->-；③(1)0f -=.则下列选项成立的是（）A ．(3)(4)>-f f B ．若(1)(2)-<f m f ，则(,3)Î-¥m C ．若()0f x x>，(1,0)(1,)x Î-+¥U D ．x R "Î，$ÎM R ，使得()f x M³【答案】CD 【解析】由条件①得()f x 是偶函数，条件②得()f x 在(0,)+¥上单调递增所以(3)(4)(4)f f f <=-，故A 错若(1)(2)-<f m f ，则12m -<，得13m -<<，故B 错若()0f x x >则0()0x f x >ìí>î或0()0x f x <ìí<î，因为(1)(1)0f f -==所以1x >或01x <<，故C 正确因为定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，且在(0,)+¥上单调递增所以min ()(0)f x f =，所以对x R "Î，只需(0)M f £即可，故D 正确故选：CD 【点睛】1.偶函数的图象关于y 轴对称，比较函数值的大小即比较自变量到y 轴的远近2. 12,(,)x x a b "Î，当12x x ¹时，都有()()21210f x f x x x ->Û-()f x 在(,)a b 上单调递增；12,(,)x x a b "Î，当12x x ¹时，都有()()21210f x f x x x -<Û-()f x 在(,)a b 上单调递减.三、填空题15．（2020·全国高一课时练习）已知函数f (x )＝24,03,0x x x x ->ìí--<î则f (f (－4))＝________.【答案】－2【解析】由题得(4)(4)31f -=---=，所以f (f (－4))=(1)242f =-=-.故答案为：－216．（2020·全国高一课时练习）函数()f x 在R 上是减函数，且()()||1f x f >，则x 的取值范围是________.【答案】(－1，1)【解析】Q 函数()f x 在R 上是减函数，且()()||1f x f >，||1x \<，解得11x -<<，故答案为：(1,1)-17．（2020·全国高一课时练习）若f (x )的定义域为M ，g (x )N ，令全集为R ，则()R M N I ð＝________.【答案】{x |x <2}【解析】由题意{}100M xx x x ìü=³=>íýîþ，{}{}202N x x x x =-³=³，所以{}{}{}022M N x x x x x x Ç=>Ç³=³，所以(){}2R M N x x Ç=<ð.故答案为：{}2x x <.四、双空题18．（2019·浙江湖州高一期中）若定义域为[]210,3a a -的函数()25231f x x bx a =+-+是偶函数，则a =______，b =______.【答案】2 0【解析】偶函数()f x 的定义域为[]210,3a a -，则21030a a -+=，解得2a =，所以()2525f x x bx =+-，满足()f x 的对称轴关于y 轴对称，所以对称轴05bx =-=，解得0b =.故答案为：2；019．（2020·安达市第七中学高一月考）已知函数2(),()2f x x g x x =-=-，设函数()y M x =，当()()f x g x >时，()()M x f x =；当()()g x f x ³时，()()M x g x =，则()M x =________ ；函数()y M x =的最小值是________.【答案】(][)()22,,21,,2,1x x x x ì-Î-¥-È+¥ïí-Î-ïî1-【解析】解不等式()()f x g x >，即22x x ->-，解得21x -<<，即21x -<<时，()M x x =-，解不等式()()f x g x £，即22x x -£-，解得2x -≤或1x ³，即2x -≤或1x ³时，2()2M x x =-，即()M x =(][)()22,,21,,2,1x x x x ì-Î-¥-È+¥ïí-Î-ïî当2x -≤或1x ³时，min ()(1)1M x M ==-，当21x -<<时，min ()(1)1M x M >=-，即函数()y M x =的最小值是1-，故答案为（1）.(][)()22,,21,,2,1x x x x ì-Î-¥-È+¥ïí-Î-ïî,(2).1-.20．（2020·山西高一期末）已知函数22,0(),,0x ax x f x x x x ì-³=í--<î是奇函数，且在(1)2m m +，上单调递减，则实数a =______；实数m 的取值范围用区间表示为______.【答案】11[,0]2-【解析】因为函数22,0(),0x ax x f x x x x ì-³=í--<î是奇函数，所以(1)(1)0f f +-=，即1(1)10a -+-+=，解得：1a =；因此22,0(),,0x x x f x x x x ì-³=í--<î根据二次函数的性质，可得，当0x >时，函数2()f x x x =-在区间10,2æöç÷èø上单调递减，在区间1,2æö+¥ç÷èø上单调递增；又因为(0)0f =，所以由奇函数的性质可得：函数()f x 在区间11,22æö-ç÷èø上单调递减；因为函数()f x 在(1)2m m +，上单调递减，所以只需：111,222(m m æö+Í-ç÷èø，，即121122m m ì³-ïïíï+£ïî，解得102m -££.故答案为：1；1[,0]2-.21．（2018·浙江余姚中学高一月考）已知()f x 是定义在R 上的偶函数,若()f x 在[0,)+¥上是增函数,则满足(1)(1)f m f -<的实数m 的取值范围为________;若当0x ³时,2()4f x x x =+,则当0x <时,()f x 的解析式是________.【答案】02m << 2()4f x x x =-【解析】∵()f x 是定义在R 上的偶函数,若()f x 在[0,)+¥上是增函数,∴不等式(1)(1)f m f -<等价为()()|1|1f m f -<,即|1||1|1m m -=-<得111m -<-<,得02m <<,若0x <,则0x ->,则当0x -³时,()()24f x x x f x -=-=,则当0x <时,()24f x x x =-,故答案为：（1）02m <<,（2）2()4f x x x=-五、解答题22．（2020·全国高一课时练习）如图是定义在区间[5-，5]上的函数()y f x =，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【答案】答案见解析【解析】从函数图象上看，当52x --……时，图象呈下降趋势，所以[]5,2--为函数的单调减区间，函数在此区间单调递减；从函数图象上看，当21x -……时，图象呈上升趋势，所以[]2,1-为函数的单调增区间，函数在此区间单调递增；从函数图象上看，当13x ……时，图象呈下降趋势，所以[]1,3为函数的单调减区间，函数在此区间单调递减；从函数图象上看，当35x ……时，图象呈上升趋势，所以[]3,5为函数的单调增区间，函数在此区间单调递增．23．（2020·全国高一课时练习）已知f (x )＝11x x -+ (x ≠－1).求：（1）f (0)及12f f æöæöç÷ç÷èøèø的值；（2）f (1－x )及f (f (x )).【答案】（1）()01f =，1122f f æöæö=ç÷ç÷èøèø；（2）()()1,22x f x x x -=¹-，()()(),1f f x x x =¹-.【解析】（1）因为()()111x f x x x-=¹-+，所以()100110f -==+，1111212312f -æö==ç÷èø+，所以111113123213f f f -æöæöæö===ç÷ç÷ç÷èøèøèø+；（2）因为()()111x f x x x -=¹-+，所以()()()()111,2112x x f x x x x---==¹+--，()()()111,1111xx f f x x x x x --+==¹--++.24．（2020·全国高一课时练习）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5公里以内(含5公里),票价2元；(2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里的按5公里计算).如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意,写出票价与里程之间的函数关系式,并画出函数的图像.【答案】2,053,510()4,10155,1520x x f x x x <£ìï<£ï=í<£ïï<£î，图像见解析。

函数的概念与性质章节测试卷(含答案)

第三章函数的概念与性质章节验收测评卷(综合卷)一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.(2022·湖南·长郡中学高二期中)函数11y x ++的定义域为()A.[)4,1-- B.[)()4,11,---+∞ C.()1,-+∞ D.[)4,-+∞2.(2022·江苏·高一)设函数221,1()3,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩，则1(2)f f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为()A.1516B.89C.2716-D.183.(2022·宁夏吴忠区青铜峡市教育局高一开学考试)已知幂函数()f x 的图象过点()9,3，则函数()f x 的图象是()A. B.C.D.4.(2022·江苏·高一)已知函数(3)5,1()2,1a x x f x a x x-+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是()A.(0，3) B.(0，3] C.(0，2) D.(0，2]5.(2022·陕西·宝鸡中学模拟预测(文))若()f x 对于任意实数x 都有()1221f x f x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()A.3 B.4 C.83 D.436.(2022·云南·高一阶段练习)已知()f x 是定义在[]1,1-上的减函数，且(23)(2)f a f a -<-，则实数a 的取值范围是()A.(]1,2 B.(]1,3 C.(]1,4 D.()1,+∞7.(2022·河南洛阳·高一期末)若定义在R 上的奇函数()f x 在(),0∞-单调递减，且()20f =，则()0f x x>的解集是()A.()(),20,2-∞- B.()(),22,∞∞--⋃+ C.()()2,00,2- D.()()2,02,-+∞ 8.(2022·湖北·赤壁市车埠高级中学高一期中)已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x 时，()(1)f x x x =+.若(3)(37)0f m f m ++->，则m 的取值范围为()A.(,0)-∞ B.(0,)+∞ C.(,1)-∞ D.(1,)+∞二､多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)9.(2022·山西·河津市第二中学高二阶段练习)()A.||x y x =与1y= B.y =与1y x =- C.y =y = D.321x x y x +=+与y x =10.(2022·广东茂名·高一期末)若函数()225y k k x =--是幂函数，则实数k 的值可能是()A.3k = B.3k =- C.2k =- D.2k =11.(2022·贵州遵义·高一期末)设函数()21,21,ax x af x x ax x a -<⎧=⎨-+≥⎩，()f x 存在最小值时，实数a的值可能是()A.2- B.1- C.0 D.112.(2022·湖北·高一阶段练习).函数()f x 对任意,R x y ∈总有()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x <，1(1)3f =，则下列命题中正确的是()A.()f x 是偶函数B.()f x 是R 上的减函数C.()f x 在[6,6]-上的最小值为2-D.若()(3)1f x f x +-≥-，则实数x 的取值范围为[)0,∞+三､填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.)13.(2022·全国·高一专题练习)函数()()2211f x x a x =+++在区间[]12，上是单调函数，则实数a 的取值范围是______.14.(2022·全国·高一专题练习)已知函数()532f x x ax bx =-++，()517f -=，则()5f 的值是_______.15.(2022·全国·高一)函数()()21{5x f x x +=-+，，2113x x -≤<≤≤的值域是______________(用区间表示)16.(2022·广东·华南师大附中高一期末)对x ∀∈R ，不等式2430mx x m ++->恒成立，则m 的取值范围是___________；若2430mx x m ++->在()1,1-上有解，则m 的取值范围是___________.四、解答题(本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.)17.(2022·贵州黔西·高一期末)已知函数()21x mf x nx -=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()112f =.(1)求,m n 的值；(2)判断()f x 在[]1,1-上的单调性，并用定义证明；18.(2022·安徽·亳州二中高二期末)已知幂函数2()(33)a f x a a x =-+为偶函数，(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()()213g x f x m x =+--在[]1,3-上的最大值为2，求实数m 的值.19.(2022·全国·高一专题练习)已知函数()2,0,0213,22x x f x x x x x ⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪-≥⎩.(1)求()0f ，()()2f f ；(2)若()1f m =-，求m 的值；(3)作出函数()f x 的图象.20.(2022·福建·三明一中高二阶段练习)已知()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()22f x x x =-.(1)求()2f -；(2)求()f x 的解析式；(3)画()y f x =的草图，并通过图象写出()y f x =的单调区间.21.(2022·贵州遵义·高一期末)已知函数()()af x x a R x=+∈(1)当1a =，证明函数在()0,1上单调递减；(2)当1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()371,12f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求a 的值.22.(2022·全国·高一专题练习)定义在0（，）+∞上的函数f x （）满足下面三个条件：①对任意正数 a b ，，都有f a f b f ab +=（）（）（）；②当1x >时，0f x <（）；③()21f =-(1)求1f （）和14f （）的值；(2)试用单调性定义证明：函数f x （）在0（，）+∞上是减函数；(3)求满足32412218f x x f x -+>（）（）的x 的取值集合.答案一、单选题1-8BBCDA ACD 二､多选题9．CD 10．AC 11．ABC 12．CD三､填空题13．5322∞∞⎛⎤⎡⎫--⋃-+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，14．13-15．[0,4]16．()4,+∞1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭四、解答题17．(1)()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，()00f m ∴=-=，解得：0m =；()11112f n ==+ ，1n ∴=；经检验：当0m =，1n =时，()21xf x x =+，则()()21x f x f x x -=-=-+，()f x ∴为奇函数；0m ∴=，1n =.(2)()f x 在[]1,1-上单调递增，证明如下：设1211x x -£<£，()()()()()()()()()()222112121221212122222221212111111111x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+-+-∴-=-==++++++()()()()12122221111x x x x x x --=++；121x x < ，120x x -<，2210x +>，2110x +>，()()210f x f x ∴->，()f x ∴是在[]1,1-上单调递增.18．(1)解：因为2()(33)a f x a a x =-+为幂函数，所以2331a a -+=，解得2a =或1a =因为()f x 为偶函数，所以2a =，故()f x 的解析式2()f x x =；(2)解：由（1）知()()2213g x x m x =+--，对称轴为122mx -=，开口向上，当1212m -≤即12m ≥-时，()()max 3362g x g m ==+=，即16m =-；当1212m->即12m <-时，()()max 1122g x g m =-=--=，即32m =-；综上所述：16m =-或32m =-．19．(1)解：因为()2,0,0213,22x x f x x x x x ⎧<⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪-≥⎩所以()00f =，()122322f =⨯-=-，()()()22212f f f ∴=-==--．(2)解：当0m <时，()21f m m==-，2m ∴=-，当02<m 时，()1f m m =-=-，1m ∴=，当2m 时，()1312f m m =-=-，4m ∴=，综上所述，m 的值为2-或1或 4．(3)解：函数()f x 的图象，如图所示：20．(1)因为()f x 为R 上的奇函数，当0x >时，()22f x x x =-，所以()()220f f -=-=.(2)因为()f x 为R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-.令x =0得：()()00f f -=-，所以()00f =.任取(),0∈-∞x ，则()0,x -∈+∞.所以()()()2222x f x x x x -=--⨯+-=.由()()f x f x -=-，所以()22x x f x =--.综上所述：()22200020f x x x x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪--<⎩(3)作出()y f x =的图象如图所示：从图象可以看出：()f x 的增区间为(),1-∞-和()1,+∞，减区间为()1,1-.21．(1)证明：若1a =，则()1f x x x=+()12,0,1x x ∀∈，1201x x <<<()()12121212121111f x f x x x x x x x x x -=+--=-+-()()1212211212121x x x x x x x x x x x x ---=-+=当()120,1x x ∈时，1201x x <<，所以()()12121210x x x x x x -->所以，函数在()0,1上单调递减.(2)①当0a =时，()f x x =，不满足条件；②当0a <时，易知函数()f x 在定义域内单调递增，则满足：112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()37312f =联立()11237312f f ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，即11122373312a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得14136a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不满足条件；③当0a >时，令120x x <<<()()()()121212121212x x a a af x f x x x x x x x x x --=+--=-所以()()12f x f x >，函数在(上单调递减；同理可证，函数在)+∞上单调递增，所以，函数()f x最小值应在x =当102<<时，函数()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得14a =，符合条件；当3<()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为()3f ，所以()31f =，解得6a =-，不符合条件；当132≤时，函数()f x 在1,32x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最小值为f ，所以1f =，解得：14a =，不符合条件；综上，14a =.22．(1)1x y ＝＝得111f f f +（）＝（）（），则10f （）＝，而422112f f f +（）＝（）（）＝－－＝－，且14104f f f +（）（）＝（）＝，则124f （；(2)取定义域中的任意的1x ，2x ，且120x x <<，211x x ∴>，当1x >时，0f x <（），210x f x ∴<（，221111xf x f x f x f x x ∴⋅（）－（）＝（）－（）2211110x xf x f f x f x x +<＝（）（）－（）＝（），f x ∴（）在0（，）+∞上为减函数．(3)由条件①及（1）的结果得，32412218f x x f x +> （－）（），321412184f x x f f x ∴+>（－）（）（），32318f x x f x ∴>（－）（），323230180318x x x x x x ⎧->⎪∴>⎨⎪-<⎩，解得36x <<，故x 的取值集合为36（，）.。

函数性质测试题及答案高中

函数性质测试题及答案高中一、选择题1. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在x=1处的导数是：A. 1B. 2C. 4D. 5答案：B2. 下列哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = sin(x)答案：B3. 函数y = 3x + 2的图像在x轴上的截距是：A. -2/3B. 2/3C. -2D. 2答案：D4. 如果函数f(x)在区间[-1, 1]上是增函数，那么f(-1)与f(1)的大小关系是：A. f(-1) < f(1)B. f(-1) > f(1)C. f(-1) = f(1)D. 不能确定答案：A5. 函数f(x) = x^2 - 4x + 4的最小值是：A. 0B. 4C. -4D. 1答案：A二、填空题6. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的顶点坐标为(-1, 0)，则a =______。

答案：17. 函数g(x) = √x的值域是[0, +∞)，其定义域是________。

答案：[0, +∞)8. 若函数h(x) = 2/x在区间(-∞, 0)和(0, +∞)上均为减函数，则h(x)的单调性是________。

答案：在(-∞, 0)和(0, +∞)上单调递减9. 函数k(x) = log_2(x)的定义域是________。

答案：(0, +∞)10. 函数m(x) = 1/x的图像关于________对称。

答案：原点三、解答题11. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2的极值点。

解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。

令f'(x) = 0，解得x= 1, 3。

检验极值点：f''(x) = 6x - 12。

f''(1) = -6 < 0，所以x = 1是极大值点；f''(3) = 6 > 0，所以x = 3是极小值点。

函数的基本性质(含答案)

定义域为（0，＋∞）.
x＋ ≥2 ＝（当且仅当x= 即x= 时取“=”）.
∴当底边长为 m时造价最低，最低造价为（160 a＋ a）元.
答案：y=12a（x+ ）+ a（0，+∞） 160 a+ a
【课堂小练】
1．已知是定义上的奇函数，且在上是减函数．下列关系式中正确的是 ( )
A． B．
∴－ ≤x≤ .
∴不等式的解集为{x|－ ≤x≤ }.
（3）由－1≤x－c≤1，得－1+c≤x≤1+c，
∴P={x|－1+c≤x≤1+c}.
由－1≤x－c2≤1，得－1+c2≤x≤1+c2，
∴Q={x|－1+c2≤x≤1+c2}.
∵P∩Q= ，
∴1+c＜－1+c2或－1+c＞1+c2，
解得c＞2或c＜－1.
教师辅导讲义
年级：高一辅导科目：数学课时数：3
课题
函数的基本性质
教学目的
通过综合的练习与巩固，是学生掌握对一些基本函数的性质进行研究的方法
教学容
【知识梳理】
函数的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、函数的最值、函数的零点（周期性后面讲）
【典型例题分析】
例1、函数f（x）的定义域为R，且对任意x、y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=－2.
（1）证明f（x）是奇函数；
（2）证明f（x）在R上是减函数；
（3）求f（x）在区间［－3，3］上的最大值和最小值.
（1）证明：由f（x+y）=f（x）+f（y），得f［x+（－x）］=f（x）+f（－x），∴f（x）+f（－x）=f（0）.又f（0+0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0.从而有f（x）+f（－x）=0.

课时作业8：习题课　函数性质的综合问题

习题课函数性质的综合问题课时对点练1．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，则f (2)的值是( )A ．0B ．1C ．2D ．4答案 A解析由题意得f (0＋2)＝f (2)＝f (0)＝0.2．已知f (x )＝(m －1)x 2＋2mx ＋3为偶函数，则f (x )在区间(2,5)上( )A ．单调递增B ．单调递减C ．有增有减D ．增减性不确定答案 B解析由f (x )是偶函数，即f (－x )＝f (x )，得m ＝0，所以f (x )＝－x 2＋3，画出函数f (x )＝－x 2＋3的图象(图略)知，在区间(2,5)上单调递减．3．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，且f (x )＝f (4－x )，当－2≤x <0时，f (x )＝1x，则f ⎝⎛⎭⎫72等于( )A ．－2B ．－27 C.27D ．2 答案 D解析 ∵f (x )＝f (4－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f ⎝⎛⎭⎫72＝f ⎝⎛⎭⎫12. 又∵函数f (x )为奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝－f ⎝⎛⎭⎫－12＝－(－2)＝2，即f ⎝⎛⎭⎫72＝2. 4．已知偶函数y ＝f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，且图象经过点(－1,0)和(3,5)，则当x ∈[－3，－1]时，函数y ＝f (x )的值域是( )A ．[0,5]B ．[－1,5]C ．[1,3]D ．[3,5] 答案 A解析偶函数y ＝f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则函数在[－3，－1]上单调递减，且f (－3)＝f (3)＝5，f (－1)＝0，故函数的值域为[0，5].5．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23答案 A解析偶函数满足f (x )＝f (|x |)，根据这个结论，有f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13⇒f (|2x －1|)<f ⎝⎛⎭⎫13，进而转化为不等式|2x －1|<13，解这个不等式得x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，23.6．(多选)若函数y ＝f (x )是偶函数，定义域为R ，且该函数图象与x 轴的交点有3个，则下列说法正确的是( )A ．3个交点的横坐标之和为0B ．3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关C ．f (0)＝0D ．f (0)的值与函数解析式有关答案 AC7．已知偶函数f (x )和奇函数g (x )的定义域都是(－4,4)，且在(－4,0]上的图象如图所示，则关于x 的不等式f (x )·g (x )<0的解集是________．答案 (－4，－2)∪(0,2)解析设h (x )＝f (x )g (x )，则h (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－h (x )，所以h (x )是奇函数，由图象可知，当－4<x <－2时，f (x )>0，g (x )<0，即h (x )<0，当0<x <2时，f (x )<0，g (x )>0，即h (x )<0，所以h (x )<0的解集为(－4，－2)∪(0,2)．8．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝________.答案 0解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又f (x )关于直线x ＝12对称， ∴f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋x .① 在①式中，当x ＝12时，f (0)＝f (1)＝0. 在①式中，以12＋x 代替x ，得 f ⎝⎛⎭⎫12－⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋⎝⎛⎭⎫12＋x ，即f (－x )＝f (1＋x )．∴f (2)＝f (1＋1)＝f (－1)＝－f (1)＝0，f (3)＝f (1＋2)＝f (－2)＝－f (2)＝0，同理，f (4)＝f (5)＝0.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝0.9．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x <0时，f (x )＝1＋1x －1. (1)求f (2)的值．(2)用定义法判断y ＝f (x )在区间(－∞，0)上的单调性．(3)求当x >0时，f (x )的解析式．解 (1)根据题意，得函数f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝1＋1x －1，则f (2)＝－f (－2)＝－⎝⎛⎭⎫1＋1－2－1＝－23. (2)根据题意得，当x <0时，f (x )＝1＋1x －1. 在(－∞，0)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝x 1x 1－1－x 2x 2－1＝x 2－x 1(x 2－1)(x 1－1). 又由x 1－1<0，x 2－1<0，x 2－x 1>0，可得f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．由定义可知，函数y ＝f (x )在区间(－∞，0)上单调递减．(3)当x >0时，－x <0，则f (－x )＝1－1x ＋1，由函数f (x )为奇函数知f (x )＝－f (－x )，所以f (x )＝－1＋1x ＋1＝－x x ＋1. 10．已知函数f (x )＝x 2－mx (m >0)在区间[0,2]上的最小值为g (m )．(1)求函数g (m )的解析式；(2)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数h (x )为偶函数，且当x >0时，h (x )＝g (x )．若h (t )>h (4)，求实数t 的取值范围．解 (1)因为f (x )＝x 2－mx ＝⎝⎛⎭⎫x －m 22－m 24(m >0)，所以当0<m 2≤2，即0<m ≤4时，此时g (m )＝f ⎝⎛⎭⎫m 2＝－m 24. 当m >4时，函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －m 22－m 24在区间[0,2]上单调递减，此时g (m )＝f (2)＝4－2m .综上可知，g (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －m 24，0<m ≤4，4－2m ，m >4.(2)因为当x >0时，h (x )＝g (x )，所以当x >0时，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 24，0<x ≤4，4－2x ，x >4.易知函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减，因为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数h (x )为偶函数，且h (t )>h (4)，所以0<|t |<4，解得－4<t <0或0<t <4.综上所述，实数t 的取值范围为(－4,0)∪(0,4)．11．已知定义在R 上的函数f (x )在(－∞，2)上单调递减，且f (x ＋2)为偶函数，则f (－1)，f (4)，f ⎝⎛⎭⎫112的大小关系为( )A ．f (4)<f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫112B ．f (－1)<f (4)<f ⎝⎛⎭⎫112C ．f ⎝⎛⎭⎫112<f (4)<f (－1)D ．f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫112<f (4)答案 A解析函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则f ⎝⎛⎭⎫112＝f ⎝⎛⎭⎫－32，f (4)＝f (0)， ∵f (x )在(－∞，2)上单调递减，－32<－1<0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－32>f (－1)>f (0)，即f (4)<f (－1)<f ⎝⎛⎭⎫112.12．若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R ，有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，则下列说法一定正确的是( )A ．f (x )－1为奇函数B ．f (x )－1为偶函数C ．f (x )＋1为奇函数D ．f (x )＋1为偶函数答案 C解析 ∵对任意x 1，x 2∈R 有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋1，令x 1＝x 2＝0，得f (0)＝－1.令x 1＝x ，x 2＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＋1.∴f (x )＋1＝－f (－x )－1＝－[f (－x )＋1]，∴f (x )＋1为奇函数．13．设定义在R 上的奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为( )A ．{x |－1<x <0或x >1}B ．{x |x <－1或0<x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |－1<x <0或0<x <1}答案 D解析 ∵奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (－x )＝－f (x )，x [f (x )－f (－x )]<0，∴xf (x )<0，又f (1)＝0，∴f (－1)＝0，从而有函数f (x )的图象如图所示．则不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为{x |－1<x <0或0<x <1}．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (x －1)<f (2x ＋1)，则x 的取值范围为_________．答案 (－∞，－2)∪(0，＋∞)解析若x >0，则－x <0，f (－x )＝(－x )2＋2x ＝x 2＋2x ＝f (x )，同理可得，当x <0时，f (－x )＝f (x )，且x ＝0时，f (0)＝f (0)，所以f (x )是偶函数．因为当x >0时，函数f (x )单调递增，所以不等式f (x －1)<f (2x ＋1)等价于|x －1|<|2x ＋1|，整理得x (x ＋2)>0，解得x >0或x <－2.15．已知函数f (x )是R 上的偶函数，且对任意的x ∈R 有f (x ＋3)＝－f (x )，当x ∈(－3,0)时，f (x )＝2x －5，则f (8)等于( )A ．－1B ．－9C ．5D ．11答案 B解析根据题意，函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，则f (8)＝f (2)，由函数f (x )为偶函数，得f (2)＝f (－2)．当x ∈(－3,0)时，f (x )＝2x －5，则f (－2)＝2×(－2)－5＝－9.则f (8)＝f (2)＝f (－2)＝－9.16．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数y ＝f (x )满足f (xy )＝f (x )－f ⎝⎛⎭⎫1y ，且函数f (x )在(－∞，0)上单调递减．(1)求f (－1)，并证明函数y ＝f (x )是偶函数；(2)若f (2)＝1，解不等式f ⎝⎛⎭⎫2－4x －f ⎝⎛⎭⎫1x ≤1. 解 (1)令y ＝1x ≠0，则f ⎝⎛⎭⎫x ·1x ＝f (x )－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x ，得f (1)＝f (x )－f (x )＝0，再令x ＝1，y ＝－1，可得f (－1)＝f (1)－f (－1)，得2f (－1)＝f (1)＝0，所以f (－1)＝0，令y ＝－1，可得f (－x )＝f (x )－f (－1)＝f (x )，又该函数的定义域关于原点对称，所以f (x )是偶函数，即证．(2)因为f (2)＝1，又该函数为偶函数，所以f (－2)＝1. 因为函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ⎝⎛⎭⎫2－4x －f ⎝⎛⎭⎫1x ＝f ⎝⎛⎭⎫2x －4x ·x ＝f (2x －4)，所以f (|2x －4|)≤f (2)，即⎩⎪⎨⎪⎧|2x －4|≠0，|2x －4|≤2，解得2<x ≤3或1≤x <2.所以不等式f ⎝⎛⎭⎫2－4x －f ⎝⎛⎭⎫1x ≤1的解集为[1,2)∪(2,3]．。