机器人轨迹规划
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机器人运动轨迹规划
θ (t ) = c0 + c1t + c2t 2 + c3t 3
(3.67)
第2章 工业机器人运动学和动力学 这里初始和末端条件是:
Hale Waihona Puke θ (ti ) = θ i θ (t ) = θ f f & θ (ti ) = 0 θ (t ) = 0 & f
对式(3.67)求一阶导数得到:
第2章 工业机器人运动学和动力学 从而简化抛物线段的方程为
1 2 θ (t ) = θ i + 2 c2t & θ (t ) = c2t && θ (t ) = c2
显然,对于直线段,速度将保持为常数,可以根据驱动器的物 理性能来加以选择。将零初速度、线性段常量速度ω以及零末 端速度代入式(3.74)中,可得A点和B点以及终点的关节位置和速 度如下:
第2章 工业机器人运动学和动力学 以二自由度平面关节机器人为例解释轨迹规划的基本原理。 如图3.19所示,要求机器人从A点运动到B点。 机器人在A点时形 位角为α=20°,β=30°; 达到B点时的形位角是α=40°,β=80°。 两关节运动的最大速率均为10°/s。当机器人的所有关节均以 最大速度运动时,下方的连杆将用2s到达, 而上方的连杆还需再 运动3s,可见路径是不规则的,手部掠过的距离点也是不均匀的。
显然,这时抛物线运动段的加速度是一个常数, 并在公共 点A和B(称这些点为节点)上产生连续的速度。
第2章 工业机器人运动学和动力学 将边界条件代入抛物线段的方程, 得到:
θ (0) = θ i = c0 & θ (0) = 0 = c1 && θ (t ) = c2
整理得
机器人学_第七讲 轨迹规划
c0 30 c1 0 c2 2.5 c3 1.6 c4 0.58 c5 0.0464
(t) 30 2.5t 2 1.6t3 0.58t 4 0.0464t5 (t) 5t 4.8t 2 2.32t3 0.232t 4 (t) 5 9.6t 6.96t 2 0.928t3
策略 3
θ1 θ2 20 30
14 55
时
16 69
间
21 77
29 81
40 80
第七讲 3 轨迹规划的基本原理
平面两关节机器人的简单例子：
策略 1
策略 3
策略 2 策略 4
第七讲 3 轨迹规划的基本原理
平面两关节机器人的简单例子，要求经过中间点的情况：
C y
B B’
A
C y
B B’
注意：这里讨论的是
A 末端的轨迹规划
x O1
直接走折线会有冲击，或者 造成机器人运动产生停顿。
O1 C
y
D B
x
E A
x O1
第七讲 4 关节空间的轨迹规划
三次多项式规划
以某一关节角为例
初始位姿 i
期望末端位姿 f
三次多项式： (t) c0 c1t c2t 2 c3t 3
边界条件：
ti 0
(ti ) i
角度 速度 加速度
3
4
5
6
秒
c0 30 c1 0 c2 5.4 c3 0.72
第七讲 4 关节空间的轨迹规划
讨论1： 三次多项式规划里能否指定起始点和终点的加速度？
例7.1
120
100
(ti ) 30 (ti ) c0 i
80
(t f ) 75 (t f ) c0 c1t f c2t f 2 c3t f 3
《机器人》第5章-轨迹规划
(t) 20t 6.666 t 2
(t) 20 13.332 t
进而可以画出以下曲线
max
4( f i )
(t f ti )2
为保证 机器人 的加速 度不超 过其自 身能力， 应考虑 加速度 的限制。
根据此式可计算出达到目标所需 要的时间
二、 五次多项式轨迹规划
关节位置、速度和加速度图形
三、抛物线过渡的线性运动轨迹
如果机器人关节以恒定速度运动，那么轨迹方程就 相当于一次多项式，其速度是常数，加速度为0，这说 明在起点和终点，加速度为无穷大，只有这样才可以瞬 间达到匀速状态。但很显然这是不可能的，因此在起点 和终点处，可以用抛物线来进行过渡。如图所示
假设ti和 tf时刻对应的起点和 终点位置为 i 和 f ，抛物线与直
2 引入相对参考坐标系的绝对运动和相对运动坐标系的 相对运动—机器人空间位姿和关节电机控制关节空间
3 已知机器人关节变量求得机器人位姿；给定机器人位 姿求得各关节变量进而控制机器人到达给定位姿
机器人求解问题：
1 给定一个位姿到达新的位姿—中间怎么办？ 2 控制电机转动方式—启动、停车、通过中间点等 3 电机转动角度、速度等与位姿及微分变化关系
实际上把所有中间路径点既看作下一段起始点也看做上一段终止点相对应可以通过运动规划函数求出该点的直角坐标空间的位置速度插值分量以及该点的关节坐标空间的位置速度插值分量将所有这些插值分量连接起来就得到直角坐标空间的机器人路径和关节坐标空间的关节变化
第5章 轨迹规划
在前面的机器人运动学分析中：
1 引入齐次坐标，将机器人位置和姿态有效表达；并将 机器人杆件与运动坐标系相固连—将机器人运动转化
(t
0) 0)
机器人轨迹规划
机器人轨迹规划机器人轨迹规划是指根据机器人的任务要求和环境条件，制定机器人运动的轨迹以达到预定的目标。
机器人轨迹规划是机器人技术中的一个重要研究领域，其目的是使机器人能够安全、高效地在给定的环境中移动。
机器人轨迹规划通常涉及到如下几个方面的问题：1. 环境感知与建模：机器人需要通过感知技术获取环境中的信息，并将其建模成可理解的形式。
这些模型可以包括地图、障碍物位置、目标位置等。
2. 路径规划：基于环境模型，机器人需要确定一条避开障碍物、同时能够到达目标位置的最佳路径。
路径规划问题可以分为全局路径规划和局部路径规划两个层次。
全局路径规划是在整个环境中搜索最佳路径，而局部路径规划是在当前位置的附近搜索最佳路径。
3. 运动规划：确定机器人在路径上的具体运动方式，包括速度、加速度、姿态等。
机器人的运动规划要考虑到机械结构的限制、动力学约束以及安全性等因素。
4. 避障规划：当机器人在移动过程中遇到障碍物时，需要能够进行避障规划，避免碰撞。
避障规划可以基于感知信息进行实时调整，使机器人能够安全地绕过障碍物。
这些问题可以使用不同的算法和方法来解决，常用的算法包括A*算法、Dijkstra算法、蚁群算法等。
此外，机器人轨迹规划还需要结合机器人的动力学和控制系统，使机器人能够按照规划的轨迹进行运动。
机器人轨迹规划的应用范围非常广泛，包括工业自动化、无人驾驶、机器人导航等领域。
例如，在工业自动化中，机器人可以根据轨迹规划进行物料搬运，实现生产线的自动化。
在无人驾驶领域，机器人车辆可以通过轨迹规划来规划行驶路线，保证安全、高效地到达目的地。
在机器人导航中，机器人可以根据轨迹规划进行地图绘制、自主导航等任务。
总之，机器人轨迹规划是机器人技术中的重要问题，通过合理的路径规划和运动规划，可以使机器人能够安全、高效地移动，完成各种任务。
随着机器人技术的发展，轨迹规划算法和方法也在不断进步，为机器人的运动能力提供了更好的支持。
第五章机器人轨迹规划
（2）为了保证每个路径点上的加速度连续，由控制系统按照 此要求自动地选择路径点的速度。
（3）在直角坐标空间或关节空间中采用某种适当的启发式方 法，由控制系统自动地选择路径点的速度；
对于方法（2），为了保证路径点处的加速度连续，可以设法 用两条三次曲线在路径点处按照一定的规则联系起来，拼凑成所 要求的轨迹。其约束条件是：联接处不仅速度连续，而且加速度 也要连续。
１.轨迹规划的一般性问题
这里所谓的轨迹是指操作臂在运动过程中的位移、速度和加 速度。
常见的机器人作业有两种：
•点位作业（PTP=point-to-point motion） •连续路径作业（continuous-path motion），或者称为轮廓运动
（contour motion）。
操作臂最常用的轨迹规划方法有两种： 第一种是要求对于选定的轨迹结点（插值点）上的位姿、速 度和加速度给出一组显式约束（例如连续性和光滑程度等），轨 迹规划器从一类函数（例如n次多项式）选取参数化轨迹，对结 点进行插值，并满足约束条件。 第二种方法要求给出运动路径的解析式。
如果对于运动轨迹的要求更为严格，约束条件增多，那么 三次多项式就不能满足需要，必须用更高阶的多项式对运动轨 迹的路径段进行插值。例如，对某段路径的起点和终点都规定 了关节的位置、速度和加速度（有六个未知的系数），则要用 一个五次多项式进行插值。
(t) a0 a1t a2t 2 a3t 3 a4t 4 a5t 5
3
0
0
t0 t1
t2 t
同理可以求得此时的三次多项式系数：
此时的 •
•
速度约 (0) 0
束条件 变为：
•
•
(t f ) f
由上式确定的三次多项式描述了起始点和终止点具有任意给定位 置和速度的运动轨迹。剩下的问题就是如何确定路径点上的关节 速度，有以下三种方法：
（3）在直角坐标空间或关节空间中采用某种适当的启发式方 法，由控制系统自动地选择路径点的速度；
对于方法（2），为了保证路径点处的加速度连续，可以设法 用两条三次曲线在路径点处按照一定的规则联系起来，拼凑成所 要求的轨迹。其约束条件是：联接处不仅速度连续，而且加速度 也要连续。
１.轨迹规划的一般性问题
这里所谓的轨迹是指操作臂在运动过程中的位移、速度和加 速度。
常见的机器人作业有两种：
•点位作业（PTP=point-to-point motion） •连续路径作业（continuous-path motion），或者称为轮廓运动
（contour motion）。
操作臂最常用的轨迹规划方法有两种： 第一种是要求对于选定的轨迹结点（插值点）上的位姿、速 度和加速度给出一组显式约束（例如连续性和光滑程度等），轨 迹规划器从一类函数（例如n次多项式）选取参数化轨迹，对结 点进行插值，并满足约束条件。 第二种方法要求给出运动路径的解析式。
如果对于运动轨迹的要求更为严格，约束条件增多，那么 三次多项式就不能满足需要，必须用更高阶的多项式对运动轨 迹的路径段进行插值。例如，对某段路径的起点和终点都规定 了关节的位置、速度和加速度（有六个未知的系数），则要用 一个五次多项式进行插值。
(t) a0 a1t a2t 2 a3t 3 a4t 4 a5t 5
3
0
0
t0 t1
t2 t
同理可以求得此时的三次多项式系数：
此时的 •
•
速度约 (0) 0
束条件 变为：
•
•
(t f ) f
由上式确定的三次多项式描述了起始点和终止点具有任意给定位 置和速度的运动轨迹。剩下的问题就是如何确定路径点上的关节 速度，有以下三种方法：
机器人基础原理 第9章 轨迹规划与控制
位置连续、速度平滑
0 0
t f
f
•
0 0
•
t f 0
2024/2/17
(t) a0 a1t a2t 2 a3t3
•
(t
••
)
a1
2a2t
3a3t
2
(t) 2a2 6a3t
a0 0
a1 0
a2
3
t
2 f
f
0
a3
2
t
3 f
f
0
2
过路径点的三次多项式插值
(b) 含有多个解
带抛物线过渡的线性插值
2024/2/17
令 t=2th，由上面两式可得 ：
••
••
tb2 ttb f 0 0
7
用抛物线过渡的线性插值
当给定关节加速度时，相 应的tb计算表达式为：
t tb 2
••2
••
t2 4 f 0
••
2
由度上值式必可须知选，得为足保够证 大，tb有即解，过渡域加速
速度约束条件变为：
•
•
0 0
•
•
t f f
求得三次多项式的系数：
a0 0
•
a1 1
3
a2
t
2 f
f
0
2
•
0
1
•
f
tf
tf
a3
2
t
3 f
f
0
1
••
( 0
f
)
tf
此时，经过路径点时的速度不再等于零。
当经过的路径点增加时，则可获得一段所需的曲线路径。 （上一段路径的终点作为下一段路径的起点，依次首尾相连）
机器人轨迹规划
人各关节的位置和角度(1, …, n)，然后由后面的角位置闭环控制系统
实现要求的轨迹上的一点。继续插补并重复上述过程，从而实现要求的 轨迹。
4.3 机器人轨迹插值计算
直线插补和圆弧插补是机器人系统中的基本插补算法。对于 非直线和圆弧轨迹，可用直线或圆弧逼近，以实现这些轨迹。 一、 直线插补
空间直线插补是在已知该直线始末两点的位置和姿态的 条件下，求各轨迹中间点(插补点)的位置和姿态。
件坐标系的运动来描述作 业路径是一种通用的作业 描述方法。
它把作业路径描述与具
体的机器人、手爪或工具 分离开来，形成了模型化 的作业描述方法，从而使 这种描述既适用于不同的 机器人，也适用于在同一 机器人上装夹不同规格的 工具。
图4.2 机器人的初始状态和终止状态
对点位作业(pick and place operation)的机器 人，需要描述它的起始状态和目标状态，即工 具坐标系的起始值{T0}，目标值{Tf}。在此， 用“点”这个词表示工具坐标系的位置和姿态 (简称位姿) 。
各轴增量： X X e X 0 / N Y Ye Y0 / N Z Ze Z0 / N
各插补点坐标值： X i1 X i i X Yi1 Yi iY Z i1 Z i iZ
式中：i=0，1，2，…，N。
可见，两个插补点之间的距离正比于要求的运动速度，只有插补点之间 的距离足够小，才能满足一定的轨迹控制精度要求。
第四章 机器人轨迹规划
本章主要内容
• 4.1 机器人轨迹规划概述 • 4.2 插补方式分类与轨迹控制 • 4.3 机器人轨迹插补计算 • 4.4 轨迹的实时生成
4.1 机器人轨迹规划概述
一、机器人规划的概念
所谓机器人的规划(P1anning)，指的是——机器人 根据自身的任务，求得完成这一任务的解决方案的 过程。这里所说的任务，具有广义的概念，既可以 指机器人要完成的某一具体任务，也可以是机器人 的某个动作，比如手部或关节的某个规定的运动等 。
实现要求的轨迹上的一点。继续插补并重复上述过程，从而实现要求的 轨迹。
4.3 机器人轨迹插值计算
直线插补和圆弧插补是机器人系统中的基本插补算法。对于 非直线和圆弧轨迹，可用直线或圆弧逼近，以实现这些轨迹。 一、 直线插补
空间直线插补是在已知该直线始末两点的位置和姿态的 条件下，求各轨迹中间点(插补点)的位置和姿态。
件坐标系的运动来描述作 业路径是一种通用的作业 描述方法。
它把作业路径描述与具
体的机器人、手爪或工具 分离开来，形成了模型化 的作业描述方法，从而使 这种描述既适用于不同的 机器人，也适用于在同一 机器人上装夹不同规格的 工具。
图4.2 机器人的初始状态和终止状态
对点位作业(pick and place operation)的机器 人，需要描述它的起始状态和目标状态，即工 具坐标系的起始值{T0}，目标值{Tf}。在此， 用“点”这个词表示工具坐标系的位置和姿态 (简称位姿) 。
各轴增量： X X e X 0 / N Y Ye Y0 / N Z Ze Z0 / N
各插补点坐标值： X i1 X i i X Yi1 Yi iY Z i1 Z i iZ
式中：i=0，1，2，…，N。
可见，两个插补点之间的距离正比于要求的运动速度，只有插补点之间 的距离足够小，才能满足一定的轨迹控制精度要求。
第四章 机器人轨迹规划
本章主要内容
• 4.1 机器人轨迹规划概述 • 4.2 插补方式分类与轨迹控制 • 4.3 机器人轨迹插补计算 • 4.4 轨迹的实时生成
4.1 机器人轨迹规划概述
一、机器人规划的概念
所谓机器人的规划(P1anning)，指的是——机器人 根据自身的任务，求得完成这一任务的解决方案的 过程。这里所说的任务，具有广义的概念，既可以 指机器人要完成的某一具体任务，也可以是机器人 的某个动作，比如手部或关节的某个规定的运动等 。
第4章 轨迹规划
（3）计算机求出 (1, …, n)，
（4）控制系统实现预期轨迹。
4.3 机器人轨迹插值计算
给出结点（位置姿态）； 进行运动学反解； 关节变量的插值计算； 位置伺服系统实现。
每隔一个时间间隔ts完成一次
4.3.1 直线插补 直线插补和圆弧插补是机器人系统中的基本插补
算法。对于其他轨迹，可以采用直线或圆弧逼近，以 实现这些轨迹。
0T6 6TT= 0TB Bpi
0T6=0TB Bpi 6T-1T
0T6=0TB Bpi+1 6T-1T 式中：6TT 为工具坐标系{T}相对末端连杆系{6}的变换；
BPi和BPi+1分别为两结点Pi和Pi+1相对坐标系{B}的齐次变换。 可将气动手爪从结点Pi到结点Pi+1的运动看成是与气动手爪 固接的坐标系的运动，按前述运动学知识可求其解。
对工业机器人来说，高层的任务规划和动作规划一 般是依赖人来完成的。
一般的工业机器人不具备力的反馈，所以，工业机 器人通常只具有轨迹规划的和底层的控制功能。
轨迹规划的目的：将操作人员输入的任务描述变为 详细的运动轨迹描述。
对一般的工业机器人来说，操作员可能只输入机械 手末端的目标位置和方位，而规划的任务便是要确 定出达到目标的关节轨迹、运动的时间和速度等。
后两项插值依据
一、三次多项式插值
0 0
tf
f
&0 0
&tf
0
t a0 a1t a2t2 a3t3
满足连续平稳运动要求的三次多项式插值函数为 关节角速度和角加速度的表达式为
二、过路径点的三次多项式插值
机器人作业路径在多个点上有位姿要求
把每个关节上相邻的两个路径点分别看做起始点和 终止点，确定相应的三次多项式插值函数。
（4）控制系统实现预期轨迹。
4.3 机器人轨迹插值计算
给出结点（位置姿态）； 进行运动学反解； 关节变量的插值计算； 位置伺服系统实现。
每隔一个时间间隔ts完成一次
4.3.1 直线插补 直线插补和圆弧插补是机器人系统中的基本插补
算法。对于其他轨迹，可以采用直线或圆弧逼近，以 实现这些轨迹。
0T6 6TT= 0TB Bpi
0T6=0TB Bpi 6T-1T
0T6=0TB Bpi+1 6T-1T 式中：6TT 为工具坐标系{T}相对末端连杆系{6}的变换；
BPi和BPi+1分别为两结点Pi和Pi+1相对坐标系{B}的齐次变换。 可将气动手爪从结点Pi到结点Pi+1的运动看成是与气动手爪 固接的坐标系的运动，按前述运动学知识可求其解。
对工业机器人来说，高层的任务规划和动作规划一 般是依赖人来完成的。
一般的工业机器人不具备力的反馈，所以，工业机 器人通常只具有轨迹规划的和底层的控制功能。
轨迹规划的目的：将操作人员输入的任务描述变为 详细的运动轨迹描述。
对一般的工业机器人来说，操作员可能只输入机械 手末端的目标位置和方位，而规划的任务便是要确 定出达到目标的关节轨迹、运动的时间和速度等。
后两项插值依据
一、三次多项式插值
0 0
tf
f
&0 0
&tf
0
t a0 a1t a2t2 a3t3
满足连续平稳运动要求的三次多项式插值函数为 关节角速度和角加速度的表达式为
二、过路径点的三次多项式插值
机器人作业路径在多个点上有位姿要求
把每个关节上相邻的两个路径点分别看做起始点和 终止点，确定相应的三次多项式插值函数。
第7章-轨迹规划
基本运动
直线移动
定轴转动
7.3 笛卡尔路径轨迹规划
•
驱动变换：06T
B0T BPiD
T6 1
E
• D(λ)是归一化时间λ的函数，λ=t/T，λ∈[0,1]；t为
自运动开始算起的实际时间；T为走过该轨迹段的总时
间。
• 在节点Pi，实际时间t=0，因此λ=0，D(0)是4×4的单位
0 a0
f
a0 a1t f
a2t
2 f
a3t
3 f
0 a1
0
a1
2a2t f
3a3t
2 f
a0 0 a1 0
a2
3
t
2 f
f 0
a3
2
t
3 f
f 0
7.2 关节轨迹的插值计算
– 【例】已知一台连杆机械手的关节静止位置为θ=5°，该机械手从静止位置开始在4s内平滑转动到 θ=80°停止位置。试计算完成此运动并使机械臂 停在目标点的3次曲线的系数。
c 0
0
0
0
1
v vers 1cos
7.3 笛卡尔路径轨迹规划
• 旋转变换Ra(λ)表示绕矢量k转动θ角得到的，而矢量k
是Pi的y轴绕其z轴转过ψ角得到的，即：
s c s 0 0 0
k
c
s
ai 1x ai 1y ai 1z
pi 1x
pi1y
pi 1z
0 0 0 1
7.3 笛卡尔路径轨迹规划
机器人轨迹规划
机器人轨迹规划1. 简介机器人轨迹规划是指在给定机器人动态约束和环境信息的情况下，通过算法确定机器人的运动轨迹，以达到特定的任务目标。
轨迹规划对于机器人的移动和导航非常重要，可以用于自主导航、避障、协作操控等应用领域。
2. 常见的机器人轨迹规划算法2.1 最短路径规划算法最短路径规划算法包括Dijkstra算法、A*算法等。
这些算法通过计算机器人到达目标位置的最短路径，来规划机器人的运动轨迹。
它们通常基于图搜索的思想，对于给定的环境图，通过计算节点之间的距离或代价，并考虑障碍物的存在，确定机器人的最佳路径。
2.2 全局路径规划算法全局路径规划算法主要用于确定机器人从起始位置到目标位置的整体路径。
常见的全局路径规划算法有D*算法、RRT（Rapidly-exploring Random Tree）算法等。
这些算法通过在连续的状态空间中进行采样，以快速探索整个空间，并找到连接起始和目标位置的路径。
2.3 局部路径规划算法局部路径规划算法用于在机器人运动过程中避开障碍物或避免发生碰撞。
常见的局部路径规划算法有动态窗口算法、VFH（Vector Field Histogram）算法等。
这些算法通过感知周围环境的传感器数据，结合机器人动态约束，快速计算出机器人的安全轨迹。
3. 轨迹规划的输入和输出3.1 输入数据轨迹规划算法通常需要以下输入数据： - 机器人的初始状态：包括位置、朝向、速度等信息。
- 目标位置：机器人需要到达的位置。
- 环境信息：包括地图、障碍物位置、传感器数据等。
- 机器人的动态约束：包括速度限制、加速度限制等。
3.2 输出数据轨迹规划算法的输出数据通常为机器人的运动轨迹，可以是一系列位置点的集合，也可以是一系列控制信号的集合。
轨迹规划的输出数据应满足机器人的动态约束，并在给定的环境中可行。
4. 轨迹规划的优化与评估4.1 轨迹优化轨迹规划算法通常会生成一条初步的轨迹，但这条轨迹可能不是最优的。
机器人技术 第五章 轨迹规划
( t ) c 0 c 1 t c 2 t 2 c n 1 t n 1 c n t n
2021/10/10
21
高次多项式轨迹规划
➢随着阶次的增高，计算量明显增大； ➢解决的办法是：还要把高次多项式化为多个低阶次 的多项式。使所有低阶次多项式的未知变量数与所有 给定已知条件相等，并尽量减小不同多项式的阶次差。 ➢相邻的多项式之间满足位置、速度、加速度连续性 约束条件。
2021/10/10
30
抛物线过渡线性轨迹规划
如果起始速度和终止速度不为0，则该如何处理？
例题：起始角30度，终止角105度，时间为 5S，初始速度为1，终止速度为2，中间段速 度为20，请进行抛物线过渡线性轨迹规划。
2021/10/10
31
直角坐标空间轨迹规划
规划步骤：
1、从开始依次增加一个增量时间 ttt
5 f
•
0 a1
•
f
a1 2a2t f
3a3t
2 f
4a4t
3 f
5a5t
4 f
••
0 2a2
••
f
2a2 6a3t f
12a4t
2 f
20a5t
3 f
2021/10/10
(7.11)
(7 .1)
41
Robot planning
7.7 机器人轨迹规划
2.关节轨迹的插值计算
直角坐标空间描述：已知机器人手坐标系运动路径或轨迹，求各关 节变量随时间的变化关系。
直角坐标空间轨迹规划需要转 化为关节空间轨迹规划后才能 够实施。
转化的具体方法是，取若干中间 点，并依次计算逆运动学方程， 求出各关节对应点关节参数。
2021/10/10
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高次多项式轨迹规划
➢随着阶次的增高，计算量明显增大； ➢解决的办法是：还要把高次多项式化为多个低阶次 的多项式。使所有低阶次多项式的未知变量数与所有 给定已知条件相等，并尽量减小不同多项式的阶次差。 ➢相邻的多项式之间满足位置、速度、加速度连续性 约束条件。
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30
抛物线过渡线性轨迹规划
如果起始速度和终止速度不为0，则该如何处理？
例题：起始角30度，终止角105度，时间为 5S，初始速度为1，终止速度为2，中间段速 度为20，请进行抛物线过渡线性轨迹规划。
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直角坐标空间轨迹规划
规划步骤：
1、从开始依次增加一个增量时间 ttt
5 f
•
0 a1
•
f
a1 2a2t f
3a3t
2 f
4a4t
3 f
5a5t
4 f
••
0 2a2
••
f
2a2 6a3t f
12a4t
2 f
20a5t
3 f
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(7.11)
(7 .1)
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Robot planning
7.7 机器人轨迹规划
2.关节轨迹的插值计算
直角坐标空间描述：已知机器人手坐标系运动路径或轨迹，求各关 节变量随时间的变化关系。
直角坐标空间轨迹规划需要转 化为关节空间轨迹规划后才能 够实施。
转化的具体方法是，取若干中间 点，并依次计算逆运动学方程， 求出各关节对应点关节参数。
2021/10/10
机器人技术 第五章 轨迹规划
直角坐标空间轨迹规划需要转 化为关节空间轨迹规划后才能 够实施。
转化的具体方法是，取若干中间 点，并依次计算逆运动学方程， 求出各关节对应点关节参数。
直角坐标空间轨迹规划的注意事项
➢直角坐标空间轨迹不能穿过自身； ➢直角坐标空间轨迹不能超出其工作空间； ➢直角坐标空间轨迹不能导致关节变量突变。
关节空间轨迹规划
(ti ) c1 0
(t f ) c1 2c2t f 3c3t f 2 0
三次多项式轨迹规划
当起点和终点的速度为0时，解得：
c0 i
c1 0
c2
3( f i )
tf 2
c3
2( f i )
tf3
三次多项式轨迹规划
位移、速度、加速度方程为：
(t)
i
3( f
t
i )
2 f
高次多项式运动轨迹
对于存在中间点的情况，如果不知道中间点全部运动参数， 则可以采用更高次多项式轨迹规划，把两段独立的轨迹规 划方程合并成一个阶次更高的方程。
(t) c0 c1t c2t 2 cn1t n1 cnt n
高次多项式轨迹规划
➢随着阶次的增高，计算量明显增大； ➢解决的办法是：还要把高次多项式化为多个低阶次 的多项式。使所有低阶次多项式的未知变量数与所有 给定已知条件相等，并尽量减小不同多项式的阶次差。 ➢相邻的多项式之间满足位置、速度、加速度连续性 约束条件。
t2
2( f i )
tf3
t3
(t)
6( f
t
i
2 f
)
t
6( f
t
i
3 f
)
t2
(t) 6( f i ) 12( f i ) t
tf 2
转化的具体方法是，取若干中间 点，并依次计算逆运动学方程， 求出各关节对应点关节参数。
直角坐标空间轨迹规划的注意事项
➢直角坐标空间轨迹不能穿过自身； ➢直角坐标空间轨迹不能超出其工作空间； ➢直角坐标空间轨迹不能导致关节变量突变。
关节空间轨迹规划
(ti ) c1 0
(t f ) c1 2c2t f 3c3t f 2 0
三次多项式轨迹规划
当起点和终点的速度为0时，解得：
c0 i
c1 0
c2
3( f i )
tf 2
c3
2( f i )
tf3
三次多项式轨迹规划
位移、速度、加速度方程为：
(t)
i
3( f
t
i )
2 f
高次多项式运动轨迹
对于存在中间点的情况，如果不知道中间点全部运动参数， 则可以采用更高次多项式轨迹规划，把两段独立的轨迹规 划方程合并成一个阶次更高的方程。
(t) c0 c1t c2t 2 cn1t n1 cnt n
高次多项式轨迹规划
➢随着阶次的增高，计算量明显增大； ➢解决的办法是：还要把高次多项式化为多个低阶次 的多项式。使所有低阶次多项式的未知变量数与所有 给定已知条件相等，并尽量减小不同多项式的阶次差。 ➢相邻的多项式之间满足位置、速度、加速度连续性 约束条件。
t2
2( f i )
tf3
t3
(t)
6( f
t
i
2 f
)
t
6( f
t
i
3 f
)
t2
(t) 6( f i ) 12( f i ) t
tf 2
《机器人技术基础》第七章机器人轨迹规划
28
7.2.3 用抛物线过渡的线性插值
f
f a
h
a 0
0 ta
th
a
0
1 2
ta2
t tf-ta tf
7.2.3 用抛物线过渡的线性插值
h
1 2
f —0
f
f a
综合上述式子，可得：
ta2 t f ta f 0 0
（7.7） h
a 0
0 ta
th
t tf-ta tf
（7.8） （7.9）
关节空间描述与直角坐标描述
关节空间描述：采用关节量来描述机器人的运动。 优点：描述方法简单 缺点：机器人在两点之间的运动不可预知
直角坐标描述：机器人的运动序列首先在直角
坐标空间中进行描述，然后转化为关节空间描
述。
优点：机器人在两点之间的运动可预知
θ
缺点：计算量大
关节空间轨迹 t
P0 P1 P3
P2
三次多项式插值的关节运动轨迹曲线如图所示。由图
可知，其速度曲线为抛物线，相应的加速度曲线为直线。
图 三次多项式插值的关节运动轨迹
7.2.1 三次多项式插值
过路径点的三次多项式
方法：把所有路径点都看成是“起点”或“终点”，求解逆运动 学，得到相应的关节矢量值。然后确定所要求的三次多项式插值 函数，把路径点平滑的连接起来。不同的是，这些“起点”和 “终点”的关节速度不再是零。
t a0 a1t a2t2 a3t3 a4t4 a5t5 （7-6）
23
7.2.2 高级多项式插值
24
7.2.2 高级多项式插值
将约束条件带入，可得：
可画出它们随时间的变化曲线如图所示，（a）、（b）、（c）分别表示该机器人手臂 关节的位移、速度、加速度运动轨迹曲线。可以看出，角速度曲线为一抛物线。
7.2.3 用抛物线过渡的线性插值
f
f a
h
a 0
0 ta
th
a
0
1 2
ta2
t tf-ta tf
7.2.3 用抛物线过渡的线性插值
h
1 2
f —0
f
f a
综合上述式子，可得：
ta2 t f ta f 0 0
（7.7） h
a 0
0 ta
th
t tf-ta tf
（7.8） （7.9）
关节空间描述与直角坐标描述
关节空间描述：采用关节量来描述机器人的运动。 优点：描述方法简单 缺点：机器人在两点之间的运动不可预知
直角坐标描述：机器人的运动序列首先在直角
坐标空间中进行描述，然后转化为关节空间描
述。
优点：机器人在两点之间的运动可预知
θ
缺点：计算量大
关节空间轨迹 t
P0 P1 P3
P2
三次多项式插值的关节运动轨迹曲线如图所示。由图
可知，其速度曲线为抛物线，相应的加速度曲线为直线。
图 三次多项式插值的关节运动轨迹
7.2.1 三次多项式插值
过路径点的三次多项式
方法：把所有路径点都看成是“起点”或“终点”，求解逆运动 学，得到相应的关节矢量值。然后确定所要求的三次多项式插值 函数，把路径点平滑的连接起来。不同的是，这些“起点”和 “终点”的关节速度不再是零。
t a0 a1t a2t2 a3t3 a4t4 a5t5 （7-6）
23
7.2.2 高级多项式插值
24
7.2.2 高级多项式插值
将约束条件带入，可得：
可画出它们随时间的变化曲线如图所示，（a）、（b）、（c）分别表示该机器人手臂 关节的位移、速度、加速度运动轨迹曲线。可以看出，角速度曲线为一抛物线。
机器人技术第七章机器人的轨迹规划
由初始点运动到终止
路径约束
点，所经过的由中间
形态序列构成的空间 路径设定
曲线称为路径。这些
轨迹规划器
形态序列即是曲线上
的“点”。
动力学约束
6
规划操作机的轨迹有两种常用的方法： ➢ 第一种方法：要求使用者在沿轨迹选定的位置点上(称为结 节或插值点)显式地给定广义坐标位置、速度和加速度的一组 约束(例如，连续性和光滑程度等)。然后，轨迹规划器从插值 和满足插值点约束的函数中选定参数化轨迹。显然，在这种 方法中，约束的给定和操作机轨迹规划是在关节坐标系中进 行的。 ➢ 第二种方法：使用者以解析函数显式地给定操作机必经之 路径，例如，笛卡尔坐标中的直线路径。然后，轨迹规划器 在关节坐标或笛卡几坐标中确定一条与给定路径近似的轨迹。 在这种方法中，路径约束是在笛卡尔坐标中给定的。
把某些比较复杂的问题分解为一些比较小的问题的想法使 我们应用规划方法求解问题在实际上成为可能。
有两条能够实现这种分解的重要途径：第一条是当从一个 问题状态移动到下一个状态时，无需计算整个新的状态，而 只要考虑状态中可能变化了的那些部分。第二条是把单一的 困难问题分割为几个有希望的、较为容易解决的子问题，这 种分解能够使困难问题的求解变得容易些。
➢ 4—3—4 轨迹 每个关节有下面三段轨迹：第一段由初始点到提升点的轨
迹用四次多项式表示。第二段(或中间段）由提升点到下放 点的轨迹用三次多项式表示。最后一段由下放点到终止点的 轨迹由四次多项式表示。
17
➢ 3—5—3 轨迹 与4—3—4轨迹相同，但每段所用多项式次数与前种不同。
第一段用三次多项式，第二段用五次多项式，最后一段用三 次多项式。
7
在第一种方法中，约束的给定和操作机轨迹规划在关节坐标 系中进行。由于对操作机手部没有约束，使用者难于跟踪操作 机手部运行的路径。因此，操作机手部可能在没有事先警告的 情况下与障碍物相碰。
机器人轨迹规划
04
基于动力学的方法
牛顿-欧拉方程
描述机器人运动和动态特性的 重要方程之一。
通过分析机器人各部分的加速 度、速度和位置之间的关系， 来预测机器人的运动轨迹。
可以用于实时控制机器人的运 动状态，确保机器人运动的稳 定性和准确性。
拉格朗日方程
另一种描述机器人运动和动态特 性的方程。
基于能量的概念，通过分析机器 人各部分的动能和势能之间的关 系，来预测机器人的运动轨迹。
服务机器人轨迹规划
总结词
服务机器人轨迹规划技术主要用于公共服务、餐饮、旅 游等领域。通过自主导航、避障和路径规划，实现自主 行走和任务执行。
详细描述
服务机器人通常采用轮式结构，具有较好的稳定性和移 动能力。通过对机器人的轮子进行精确控制，可以使其 按照预定的路径进行运动，同时通过避障和路径规划算 法，实现自主导航和任务执行。
具有简洁、易于理解和计算的优 点，适用于复杂机器人的运动规
划。
卡尔曼滤波器
一种用于估计和预测机器人状态的方法。
基于一系列传感器数据，通过建立数学模型对数据进行处理和分析，得到机器人位 置、速度等运动状态的估计值。
具有实时性、精确性和鲁棒性等优点，广泛应用于机器人导航、定位和跟踪等领域 。
05
基于机器学习的方法
医疗机器人轨迹规划
总结词
医疗机器人轨迹规划技术主要用于手术、康复、护理 等领域。通过精确的轨迹规划和运动控制，实现高精 度、高效率的医疗操作。
详细描述
医疗机器人通常采用医用高精度机械臂或手术器械， 具有高精度、高稳定性和高度可控性等特点。通过对 机器人的运动进行精确控制，可以使其按照预定的路 径进行运动，实现高精度、高效率的医疗操作。同时 ，医疗机器人还可以实现远程手术和康复治疗等功能 ，为医疗行业的发展提供了重要的技术支持。
第三章机器人轨迹规划
第三章机器人轨迹规划在当今科技飞速发展的时代，机器人的应用已经渗透到了我们生活和工作的方方面面。
从工业生产线上的机械臂，到家庭服务中的智能机器人，它们的高效运行都离不开精准的轨迹规划。
机器人轨迹规划，简单来说，就是为机器人确定一条从起始点到目标点的最优路径，并规划出在这条路径上的运动速度、加速度等参数。
这就好比我们在出门旅行前规划路线，不仅要知道从哪里出发到哪里结束，还要考虑路上的交通状况、停留时间等因素，以保证整个行程的顺利和高效。
轨迹规划的重要性不言而喻。
首先，它直接影响到机器人的工作效率。
一个合理的轨迹规划可以让机器人在完成任务时更加迅速、准确，减少不必要的动作和时间浪费。
其次，对于一些对精度要求较高的任务，如精密加工、医疗手术等，精确的轨迹规划能够确保机器人的操作达到预期的效果，避免误差和失误。
此外，良好的轨迹规划还能延长机器人的使用寿命，减少机械磨损和能量消耗。
在进行轨迹规划时，需要考虑多个因素。
机器人的运动学和动力学特性是首要的。
运动学主要研究机器人的位置、速度和姿态之间的关系，而动力学则涉及到力、力矩和运动之间的相互作用。
只有充分了解这些特性，才能为机器人规划出可行且高效的轨迹。
另外，工作环境也是一个关键因素。
机器人可能需要在狭窄的空间、复杂的地形或者有障碍物的环境中工作。
因此，在规划轨迹时，必须考虑如何避开障碍物，同时适应环境的限制。
机器人的任务要求也对轨迹规划有着明确的指导作用。
不同的任务可能对速度、精度、平稳性等有不同的要求。
例如，在搬运重物时，需要保证轨迹的平稳性，避免货物的晃动和掉落；而在进行快速装配任务时，则更注重速度和效率。
目前，常见的机器人轨迹规划方法主要有两种：关节空间规划和笛卡尔空间规划。
关节空间规划是直接在机器人的关节角度、速度和加速度等参数上进行规划。
这种方法的优点是计算相对简单，能够较好地处理机器人的运动学约束。
比如，对于一个具有六个关节的机械臂，我们可以通过规划每个关节的运动来实现整体的轨迹。
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第四章 机器人轨迹规划
本章主要内容
• 4.1 机器人轨迹规划概述 • 4.2 插补方式分类与轨迹控制 • 4.3 机器人轨迹插补计算 • 4.4 轨迹的实时生成
4.1 机器人轨迹规划概述
一、机器人规划的概念
所谓机器人的规划(P1anning)，指的是——机器人 根据自身的任务，求得完成这一任务的解决方案的 过程。这里所说的任务，具有广义的概念，既可以 指机器人要完成的某一具体任务，也可以是机器人 的某个动作，比如手部或关节的某个规定的运动等 。
二、轨迹规划的一般性问题 工业机器人的作业可以描述成工具坐标系{T}相
对于工件坐标系{S}的一系列运动。
图4.1所示的将销插入 工件孔中的作业，可以 借助工具坐标系的一系 列位姿Pi (i=1，2，…， n)来描述。
图4.1 机器人将销插入工件孔中的作业描述
二、轨迹规划的一般性问题 用工具坐标系相对于工
上述例子可以看出，机器人的规划是分层次的，从高 层的任务规划，动作规划到手部轨迹规划和关节轨迹规划 。在上述例子中，我们没有讨论力的问题，实际上，对有 些机器人来说，力的大小也是要控制的，这时，除了手部 或关节的轨迹规划，还要进行手部和关节输出力的规划。
智能化程度越高，规划的层次越多，操作就越简单。
已知直线始末两点的坐标值P0(X0，Y0，Z0)、Pe(Xe，Ye，Ze)及 姿态，其中P0、Pe是相对于基坐标系的位置。这些已知的位置和 姿态通常是通过示教方式得到的。设v为要求的沿直线运动的速度； ts为插补时间间隔。
直线长度
L X e X 02 Y e Y 02 Z e Z 02
ts间隔内行程d = vts； 插补总步数N为L/d +1的整数部分；
人 机
接
口
规
期望的 控 运动和力
机 控制作用 器
实际的 运动和力
人
划
制
本 体
要求的任务由操作人员输入给机器人，为了使机器人操作方便、使 用简单，必须允许操作人员给出尽量简单的描述。
期望的运动和力是进行机器人控制所必需的输入量，它们是机械手 末端在每一个时刻的位姿和速度，对于绝大多数情况，还要求给出每一 时刻期望的关节位移和速度，有些控制方法还要求给出期望的加速度等 。
二、 机器人轨迹控制过程
图4.3 机器人轨迹控制过程
机器人的基本操作方式是示教-再现，即首先教机器人如何做，机器 人记住了这个过程，于是它可以根据需要重复这个动作。操作过程中， 不可能把空间轨迹的所有点都示教一遍使机器人记住，这样太繁琐，也 浪费很多计算机内存。实际上，对于有规律的轨迹，仅示教几个特征点， 计算机就能利用插补算法获得中间点的坐标，如直线需要示教两点，圆 弧需要示教三点，通过机器人逆向运动学算法由这些点的坐标求出机器
简言之，机器人的工作过程，就是通过规划，将要求的任务变 为期望的运动和力，由控制环节根据期望的运动和力的信号，产生 相应的控制作用，以使机器人输出实际的运动和力，从而完成期望 的任务。如下图所示。这里，机器人实际运动的情况通常还要反馈 给规划级和控制级，以便对规划和控制的结果做出适当的修正。
要求的任务
Y i 1 R s i n ( i ) R s i n i c o s R c o s i s i n Y i c o s X i s i n
• 式中：Xi=R cosθi；Yi=Rsinθi。
• 由θi+1=θi +θ可判断是否到插补终点。若θi+1，则继 续插补下去；当 θi+1> 时，则修正最后一步的步长θ,
各轴增量： X X e X 0 / N Y Ye Y0 / N Z Ze Z0 / N
各插补点坐标值： X i 1 X i i X Yi1 Yi i Y Z i1 Z i i Z
式中：i=0，1，2，…，N。
可见，两个插补点之间的距离正比于要求的运动速度，只有插补点之间 的距离足够小，才能满足一定的轨迹控制精度要求。
对于另外一些作业，如弧焊和曲面加工等，不仅要规定 操作臂的起始点和终止点，而且要指明两点之间的若干中 间点(称路径点)，必须沿特定的路径运动(路径约束)。这 类称为连续路径运动(continuous—Path motion)或轮廓运 动(contour motion) 。
在规划机器人的运动时．还需要弄清楚在其路径上是否 存在障碍物(障碍约束)。
人各关节的位置和角度(1, …, n)，然后由后面的角位置闭环控制系统
实现要求的轨迹上的一点。继续插补并重复上述过程，从而实现要求的 轨迹。
4.3 机器人轨迹插值计算
直线插补和圆弧插补是机器人系统中的基本插补算法。对于 非直线和圆弧轨迹，可用直线或圆弧逼近，以实现这些轨迹。 一、 直线插补
空间直线插补是在已知该直线始末两点的位置和姿态的 条件下，求各轨迹中间点(插补点)的位置和姿态。
为了使手部实现预定的运动，就要知道各关节的运动规律，这是 关节轨迹规划(Joint trajectory planning)。
最后才是关节的运动控制(Motion control)。
给主人倒一杯水
取一个杯子 找到水壶
打开水壶
把水倒入杯中 把水送给主人
提起水壶到杯口上方 把水壶倾斜 把水壶竖直 把水壶放回原处 手部从A点移到B 点 关节从C点移到D点
故平面圆弧位置插补为
Xi1 Xi cos Yi sin
Yi1
Yi
cos Xi sin
i1 i
2.空间圆弧插补
• 空间圆弧是指三维空间任一平面内的圆弧。 • 空间圆弧插补可分三步来处理： • (1) 把三维问题转化成二维，找出圆弧所在平面。 • (2) 利用二维平面插补算法求出插补点坐标(Xi+1, Yi+1)。 • (3) 把该点的坐标值转变为基础坐标系下的值，如图4.7所
轨迹规划的目的是将操作人员输入的简单的任务描述变
为详细的运动轨迹描述。
例如，对一般的工业机器人来说，操作员可能只输入机
械手末端的目标位置和方位，而规划的任务便是要确定出达
到目标的关节轨迹的形状、运动的时间和速度等。这里所说
的轨迹是指随时间变化的位置、速度和加速度。
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
然后再针对每一个子任务进行进一步的规划。以“把水倒入杯中”这
一子任务为例，可以进一步分解成为一系列动作，这一层次的规划称为
动作规划，它把实现每一个子任务的过程分解为一系列具体的动作。
把水倒入杯中
提起水壶到杯口上方 把水壶倾斜 把水壶竖直 把水壶放回原处
为了实现每一个动作，需要对手部的运动轨迹进行必要的规定， 这是手部轨迹规划(Hand trajectory planning )。
首先，机器人应该把任务进行分解，把主人交代的任务分解成为 “取一个杯子”、“找到水壶”、“打开瓶塞”、“把水倒人杯中”、 “把水送给主人”等一系列子任务。这一层次的规划称为任务规划 (Task planning)，它完成总体任务的分解。
给主人倒一杯水
取一个杯子 找到水壶
打开水壶
把水倒入杯中 把水送给主人
机器人控制系统易于实现定时插补，例如采用定时中断方式每隔ts中断 一次进行一次插补，计算一次逆向运动学，输出一个给定值。由于ts仅为 几毫秒，机器人沿着要求轨迹的速度一般不会很高，且机器人总的运动精 度不高，故大多数工业机器人采用定时插补方式。
二、圆弧与基坐标系的三大平面之一重
件坐标系的运动来描述作 业路径是一种通用的作业 描述方法。
它把作业路径描述与具
体的机器人、手爪或工具 分离开来，形成了模型化 的作业描述方法，从而使 这种描述既适用于不同的 机器人，也适用于在同一 机器人上装夹不同规格的 工具。
图4.2 机器人的初始状态和终止状态
对点位作业(pick and place operation)的机器 人，需要描述它的起始状态和目标状态，即工 具坐标系的起始值{T0}，目标值{Tf}。在此， 用“点”这个词表示工具坐标系的位置和姿态 (简称位姿) 。
1arccos(X2X1)2Y2Y122R2/2R2 2arccos(X3X2)2Y3Y222R2/2R2
(3) ts时间内角位移量θ=tsv/R
• (4) 总插补步数(取整数)
•
N = /θ + 1
• 对Pi+1 点的坐标，有
X i 1 R c o s ( i ) R c o s i c o s R s i n i s i n X i c o s Y i s i n
一、机器人规划的概念
为说明机器人规划的概念，我们举下面的例子： 在一些老龄化比较严重的国家，开发了各种各样的 机器人专门用于伺候老人，这些机器人有不少是采用 声控的方式．比如主人用声音命令机器人“给我倒一 杯开水”，我们先不考虑机器人是如何识别人的自然 语言，而是着重分析一下机器人在得到这样一个命令 后，如何来完成主人交给的任务。
三、轨迹的生成方式
(1) 示教-再现运动。这种运动由人手把手示教机器人， 定时记录各关节变量，得到沿路径运动时各关节的位移 时间函数q(t)；再现时，按内存中记录的各点的值产生 序列动作。
(2) 关节空间运动。这种运动直接在关节空间里进行。 由于动力学参数及其极限值直接在关节空间里描述，所 以用这种方式求最短时间运动很方便。
• 在关节空间进行规划时是将关节变量表示成时间的 函数，并规划它的一阶和二阶时间导数。
• 在直角空间进行规划是指将手部位姿、速度和加速 度表示为时间的函数。而相应的关节位移、速度和加 速度由手部的信息导出。通常通过运动学反解得出关 节位移、用逆稚可比求出关节速度，用逆雅可比及其 导数求解关节加速度。
• 求解两坐标系的转换矩阵。 令TR表示由圆弧坐标ORXRYRZR 至基础坐标系OX0Y0Z0的转换矩阵。
• 若ZR轴与基础坐标系Z0轴的夹角为，
本章主要内容
• 4.1 机器人轨迹规划概述 • 4.2 插补方式分类与轨迹控制 • 4.3 机器人轨迹插补计算 • 4.4 轨迹的实时生成
4.1 机器人轨迹规划概述
一、机器人规划的概念
所谓机器人的规划(P1anning)，指的是——机器人 根据自身的任务，求得完成这一任务的解决方案的 过程。这里所说的任务，具有广义的概念，既可以 指机器人要完成的某一具体任务，也可以是机器人 的某个动作，比如手部或关节的某个规定的运动等 。
二、轨迹规划的一般性问题 工业机器人的作业可以描述成工具坐标系{T}相
对于工件坐标系{S}的一系列运动。
图4.1所示的将销插入 工件孔中的作业，可以 借助工具坐标系的一系 列位姿Pi (i=1，2，…， n)来描述。
图4.1 机器人将销插入工件孔中的作业描述
二、轨迹规划的一般性问题 用工具坐标系相对于工
上述例子可以看出，机器人的规划是分层次的，从高 层的任务规划，动作规划到手部轨迹规划和关节轨迹规划 。在上述例子中，我们没有讨论力的问题，实际上，对有 些机器人来说，力的大小也是要控制的，这时，除了手部 或关节的轨迹规划，还要进行手部和关节输出力的规划。
智能化程度越高，规划的层次越多，操作就越简单。
已知直线始末两点的坐标值P0(X0，Y0，Z0)、Pe(Xe，Ye，Ze)及 姿态，其中P0、Pe是相对于基坐标系的位置。这些已知的位置和 姿态通常是通过示教方式得到的。设v为要求的沿直线运动的速度； ts为插补时间间隔。
直线长度
L X e X 02 Y e Y 02 Z e Z 02
ts间隔内行程d = vts； 插补总步数N为L/d +1的整数部分；
人 机
接
口
规
期望的 控 运动和力
机 控制作用 器
实际的 运动和力
人
划
制
本 体
要求的任务由操作人员输入给机器人，为了使机器人操作方便、使 用简单，必须允许操作人员给出尽量简单的描述。
期望的运动和力是进行机器人控制所必需的输入量，它们是机械手 末端在每一个时刻的位姿和速度，对于绝大多数情况，还要求给出每一 时刻期望的关节位移和速度，有些控制方法还要求给出期望的加速度等 。
二、 机器人轨迹控制过程
图4.3 机器人轨迹控制过程
机器人的基本操作方式是示教-再现，即首先教机器人如何做，机器 人记住了这个过程，于是它可以根据需要重复这个动作。操作过程中， 不可能把空间轨迹的所有点都示教一遍使机器人记住，这样太繁琐，也 浪费很多计算机内存。实际上，对于有规律的轨迹，仅示教几个特征点， 计算机就能利用插补算法获得中间点的坐标，如直线需要示教两点，圆 弧需要示教三点，通过机器人逆向运动学算法由这些点的坐标求出机器
简言之，机器人的工作过程，就是通过规划，将要求的任务变 为期望的运动和力，由控制环节根据期望的运动和力的信号，产生 相应的控制作用，以使机器人输出实际的运动和力，从而完成期望 的任务。如下图所示。这里，机器人实际运动的情况通常还要反馈 给规划级和控制级，以便对规划和控制的结果做出适当的修正。
要求的任务
Y i 1 R s i n ( i ) R s i n i c o s R c o s i s i n Y i c o s X i s i n
• 式中：Xi=R cosθi；Yi=Rsinθi。
• 由θi+1=θi +θ可判断是否到插补终点。若θi+1，则继 续插补下去；当 θi+1> 时，则修正最后一步的步长θ,
各轴增量： X X e X 0 / N Y Ye Y0 / N Z Ze Z0 / N
各插补点坐标值： X i 1 X i i X Yi1 Yi i Y Z i1 Z i i Z
式中：i=0，1，2，…，N。
可见，两个插补点之间的距离正比于要求的运动速度，只有插补点之间 的距离足够小，才能满足一定的轨迹控制精度要求。
对于另外一些作业，如弧焊和曲面加工等，不仅要规定 操作臂的起始点和终止点，而且要指明两点之间的若干中 间点(称路径点)，必须沿特定的路径运动(路径约束)。这 类称为连续路径运动(continuous—Path motion)或轮廓运 动(contour motion) 。
在规划机器人的运动时．还需要弄清楚在其路径上是否 存在障碍物(障碍约束)。
人各关节的位置和角度(1, …, n)，然后由后面的角位置闭环控制系统
实现要求的轨迹上的一点。继续插补并重复上述过程，从而实现要求的 轨迹。
4.3 机器人轨迹插值计算
直线插补和圆弧插补是机器人系统中的基本插补算法。对于 非直线和圆弧轨迹，可用直线或圆弧逼近，以实现这些轨迹。 一、 直线插补
空间直线插补是在已知该直线始末两点的位置和姿态的 条件下，求各轨迹中间点(插补点)的位置和姿态。
为了使手部实现预定的运动，就要知道各关节的运动规律，这是 关节轨迹规划(Joint trajectory planning)。
最后才是关节的运动控制(Motion control)。
给主人倒一杯水
取一个杯子 找到水壶
打开水壶
把水倒入杯中 把水送给主人
提起水壶到杯口上方 把水壶倾斜 把水壶竖直 把水壶放回原处 手部从A点移到B 点 关节从C点移到D点
故平面圆弧位置插补为
Xi1 Xi cos Yi sin
Yi1
Yi
cos Xi sin
i1 i
2.空间圆弧插补
• 空间圆弧是指三维空间任一平面内的圆弧。 • 空间圆弧插补可分三步来处理： • (1) 把三维问题转化成二维，找出圆弧所在平面。 • (2) 利用二维平面插补算法求出插补点坐标(Xi+1, Yi+1)。 • (3) 把该点的坐标值转变为基础坐标系下的值，如图4.7所
轨迹规划的目的是将操作人员输入的简单的任务描述变
为详细的运动轨迹描述。
例如，对一般的工业机器人来说，操作员可能只输入机
械手末端的目标位置和方位，而规划的任务便是要确定出达
到目标的关节轨迹的形状、运动的时间和速度等。这里所说
的轨迹是指随时间变化的位置、速度和加速度。
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
然后再针对每一个子任务进行进一步的规划。以“把水倒入杯中”这
一子任务为例，可以进一步分解成为一系列动作，这一层次的规划称为
动作规划，它把实现每一个子任务的过程分解为一系列具体的动作。
把水倒入杯中
提起水壶到杯口上方 把水壶倾斜 把水壶竖直 把水壶放回原处
为了实现每一个动作，需要对手部的运动轨迹进行必要的规定， 这是手部轨迹规划(Hand trajectory planning )。
首先，机器人应该把任务进行分解，把主人交代的任务分解成为 “取一个杯子”、“找到水壶”、“打开瓶塞”、“把水倒人杯中”、 “把水送给主人”等一系列子任务。这一层次的规划称为任务规划 (Task planning)，它完成总体任务的分解。
给主人倒一杯水
取一个杯子 找到水壶
打开水壶
把水倒入杯中 把水送给主人
机器人控制系统易于实现定时插补，例如采用定时中断方式每隔ts中断 一次进行一次插补，计算一次逆向运动学，输出一个给定值。由于ts仅为 几毫秒，机器人沿着要求轨迹的速度一般不会很高，且机器人总的运动精 度不高，故大多数工业机器人采用定时插补方式。
二、圆弧与基坐标系的三大平面之一重
件坐标系的运动来描述作 业路径是一种通用的作业 描述方法。
它把作业路径描述与具
体的机器人、手爪或工具 分离开来，形成了模型化 的作业描述方法，从而使 这种描述既适用于不同的 机器人，也适用于在同一 机器人上装夹不同规格的 工具。
图4.2 机器人的初始状态和终止状态
对点位作业(pick and place operation)的机器 人，需要描述它的起始状态和目标状态，即工 具坐标系的起始值{T0}，目标值{Tf}。在此， 用“点”这个词表示工具坐标系的位置和姿态 (简称位姿) 。
1arccos(X2X1)2Y2Y122R2/2R2 2arccos(X3X2)2Y3Y222R2/2R2
(3) ts时间内角位移量θ=tsv/R
• (4) 总插补步数(取整数)
•
N = /θ + 1
• 对Pi+1 点的坐标，有
X i 1 R c o s ( i ) R c o s i c o s R s i n i s i n X i c o s Y i s i n
一、机器人规划的概念
为说明机器人规划的概念，我们举下面的例子： 在一些老龄化比较严重的国家，开发了各种各样的 机器人专门用于伺候老人，这些机器人有不少是采用 声控的方式．比如主人用声音命令机器人“给我倒一 杯开水”，我们先不考虑机器人是如何识别人的自然 语言，而是着重分析一下机器人在得到这样一个命令 后，如何来完成主人交给的任务。
三、轨迹的生成方式
(1) 示教-再现运动。这种运动由人手把手示教机器人， 定时记录各关节变量，得到沿路径运动时各关节的位移 时间函数q(t)；再现时，按内存中记录的各点的值产生 序列动作。
(2) 关节空间运动。这种运动直接在关节空间里进行。 由于动力学参数及其极限值直接在关节空间里描述，所 以用这种方式求最短时间运动很方便。
• 在关节空间进行规划时是将关节变量表示成时间的 函数，并规划它的一阶和二阶时间导数。
• 在直角空间进行规划是指将手部位姿、速度和加速 度表示为时间的函数。而相应的关节位移、速度和加 速度由手部的信息导出。通常通过运动学反解得出关 节位移、用逆稚可比求出关节速度，用逆雅可比及其 导数求解关节加速度。
• 求解两坐标系的转换矩阵。 令TR表示由圆弧坐标ORXRYRZR 至基础坐标系OX0Y0Z0的转换矩阵。
• 若ZR轴与基础坐标系Z0轴的夹角为，