清华大学计算固体力学第五次课件_本构模型解析

对于任意应变，不管如何达到应变值，上式给出唯一应力值。 可逆和路径无关默认在变形中没有能量耗散，在弹性材料中， 储存在物体中的能量全部消耗在变形中，卸载后材料恢复。
w( x ) x d x
0
x
对于一维弹性材料，可逆、路径无关、无能量耗散是等价的特征。 对于二维和三维弹性，以及超弹性材料，也类似。
L L0 x1 L0 L0
真实应力(对于不可压缩材料)
x x s0 ( x ) s(x )
s(x ) x s0 (x 1)
说明了对于本构行为应用不同泛函表达式的区别，对于同样材 料取决于采用何种应力和变形的度量。 应力－应变曲线的显著特征之一是非线性的度。材料线弹性行 为的范围小于应变的百分之几，就可以采用小应变理论描述。
2 应力-应变曲线
材料应力－应变行为的许多基本特征可以从一维应力状态 (单轴 应力或者剪切)的一组应力-应变曲线中获得，多轴状态的本构方程常 常基于在试验中观察到的一维行为而简单生成。 定义伸长
x L L0
名义应力（工程应力）给出为
px
工程应变定义为
T A0
L L0 x x1 L0 L0
计算固体力学
非线性有限元
第5章 本构模型
第5章 本构模型
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引言 应力-应变曲线 一维弹性 非线性弹性（超弹性） 一维塑性 多轴塑性 超弹－塑性模型 粘弹性 应力更新算法 连续介质力学与本构模型
1 引言
为了进行分析，选择材料模型是很重要，往往又不是很明确， 仅有的信息可能是一般性的知识和经验，即可能是材料行为的几条 应力－应变曲线。 在有限元软件库中选择合适的本构模型，如果没有合适的本构 模型，要开发用户材料子程序。重要的是理解本构模型的关键特征， 创建模型的假设，材料、荷载和变形域、以及程序中的数值问题是 否适合模型。 本构方程率形式的积分算法称为应力更新算法（也称为本构更新 算法），包括： 径向返回算法的一类图形返回算法， 算法模量与基本应力更新方案一致的概念， 大变形问题的增量客观应力更新方案， 基于弹性响应的应力更新方案，自动满足客观性的超弹性势能。
载荷－位移曲线
2 应力-应变曲线
以每单位当前长度应变的增量随长度 的变化得到另一种应变度量 对数应变（也称为真实应变） L dL ex ln( L L0 ) ln x L L
0
工程应力－应变曲线
对材料时间求导，表达式为 一维情况，上式为变形率
x x Dx e x
3 一维弹性
1 2 2 应变能一般是应变的凸函数，例如， (w( 1 x ) w ( x ))( x x ) 0
当
2 1 x x
公式的等号成立。
凸应变能函数的一个例子如图所示。在这种情况下，函数 是单调递增的，如果w 是非凸函数，则 s 先增后减，材料应变 软化，这是非稳定的材料反应， ds d x 0 如右下图。
2 应力-应变曲线
应力－应变反应与变形率无关的材料称为率无关；否则， 称为率相关。名义应变率定义为
L x 0
因为
L 和ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x x
L L L 0 0 x
即名义应变率等于伸长率，例如 可以看出，对于 率无关材料的应力－ 应变曲线是应变率独 立的，而对于率相关 材料的应力－应变曲 线，当应变率提高时 是上升的；而当温度 升高时是下降的。
x E ln x
x
d x 1 E ln x d x d x
这是与路径无关的超弹性关系。对于多轴问题，一般次弹性 关系不能转换到超弹性，它仅在一维情况下是严格路径无关的。 然而，如果是弹性小应变，其行为足以接近路径无关的弹性行为。 因为次弹性的简单性，公式(5.3.11)的多轴一般形式常常应用在 有限元软件中，以模拟大应变弹塑性的弹性反应。
(a)弹性,(b)弹-塑性,(c)弹性含损伤
3 一维弹性
弹性材料的基本性能是应力仅依赖于应变的当前水平。这意 味着加载和卸载的应力-应变曲线是一致的，当卸载结束时材料恢 复到初始状态。称这种应变是可逆的。而且，弹性材料是率无关 的(与应变率无关)。弹性材料的应力和应变是一一对应的。
小应变
x s( x )
(a)凸应变能函数 (b)应力应变曲线
(a)非凸应变能函数(b)相应的应力应变曲线
3 一维弹性
大应变
从弹性推广到大应变，只要选择应变度量和定义应力（功共 轭）的弹性势能。势能的存在是默认了可逆、路径无关和无能量 耗散。如
Sx w E x
在弹性应力-应变关系中，从应变的势函数可以获得应力为 超弹性。如一维大应变问题，以Green应变的二次函数表示
当前面积的表达式给出为
A J A0 L0 L J A0 x
真实应力－应变曲线
Cauchy（或者真实）应力表示为
x
T T x x J 1 p x A JA0
2 应力-应变曲线
考虑一种不可压缩材料(J＝1)，名义应力和工程应变的 关系为
px s0 ( x )
x
率无关和率相关材料的一维反应
2 应力-应变曲线
对于弹性材料，应力－应变的 卸载曲线简单地沿加载曲线返回， 直到完全卸载，材料返回到了它的 初始未伸长状态。然而，对于弹－ 塑性材料，卸载曲线区别于加载曲 线，卸载曲线的斜率是典型的应力 －应变弹性（初始）段的斜率，卸 载后产生永久应变。其它材料的行 为介于这两种极端之间。由于在加 载过程中微裂纹的形成材料已经损 伤，脆性材料的卸载行为，当荷载 移去后微裂纹闭合，弹性应变得到 恢复。卸载曲线的初始斜率给出形 成微裂纹损伤程度的信息。
w 1 SE 2 E Ex 2
S x E SE Ex
对于小应变问题，即为胡克定律。
3 一维弹性
大应变
一种材料的Cauchy应力率与变形率相关，称为次弹性。这 种关系一般是非线性的，给出为
x f ( x , Dx )
x EDx E x x
一个特殊的线性次弹性关系给出为 对上式的关系积分，得到