(浙江专用)2018版高中数学章末检测卷(二)点、直线、平面之间的位置关系新人教A版必修2

章末检测卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC与直线BC1所成的角为( )A.30°B.60°C.90°D.45°解析连接A1C1，A1B，则AC∥A1C1，因为△A1BC1是正三角形，所以∠A1C1B＝60°，即直线AC 与直线BC1所成的角为60°.答案 B2.设a、b为两条直线，α、β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )A.若a、b与α所成的角相等，则a∥bB.若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥bC.若a⊂α，b⊂β，a∥b，则a∥βD.若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b解析A中a、b可以平行、相交或异面；B中a、b可以平行、相交或异面；C中的α、β可以平行或相交.答案 D3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( )A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m∥α，m∥β，则α∥βC.若m∥n，m⊥α，则n⊥αD.若m∥α，α⊥β，则m⊥β解析A项，当m∥α，n∥α时，m，n可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；B项，当m∥α，m∥β时，α，β可能平行也可能相交，故错误；C项，当m∥n，m⊥α时，n⊥α，故正确；D项，当m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，故错误.故选C.答案 C4.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是( )1与B1E是异面直线B.AC⊥平面ABB1A1C.AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D.A1C1∥平面AB1E解析由已知AC＝AB，E为BC中点，故AE⊥BC，又∵BC∥B1C1，∴AE⊥B1C1，C正确.答案 C5.设l为直线，α，β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若l⊥α，l⊥β，则α∥βC.若l⊥α，l∥β，则α∥βD.若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析选项A，若l∥α，l∥β，则α和β可能平行也可能相交，故错误；选项B，若l⊥α，l⊥β，则α∥β，故正确；选项C，若l⊥α，l∥β，则α⊥β，故错误；选项D，若α⊥β，l∥α，则l与β的位置关系有三种可能：l⊥β，l∥β，l⊂β，故错误.故选B.答案 B6.(2015·安徽高考)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B.若m，n平行于同一平面，则m与n平行C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D.若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析对于A，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A错；对于B，m，n平行于同一平面，m，n关系不确定，可平行、相交、异面，故B错；对于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C错；对于D，若假设m，n垂直于同一平面，则m∥n，其逆否命题即为D选项，故D正确.答案 D7.(2014·浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面.( )A.若m⊥n，n∥α，则m⊥αB.若m∥β，β⊥α，则m⊥αC.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α解析选项A，若m⊥n，n∥α，则m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；选项B，若m∥β，β⊥α，则m⊂α或m∥α或m与α相交，错误；选项C，若m⊥β，n⊥β，可得m∥n，又n⊥α，则m⊥α，正确；选项D，若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m与α相交或m⊂α或m ∥α，错误.答案 C8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝( )A.8B.9C.10D.11解析取CD的中点H，连接EH，HF.在四面体CDEF中，CD⊥EH，CD⊥FH，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，所以正方体的左、右两个侧面与EF平行，其余4个平面与EF相交，即n＝4.又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8.答案 A9.正方体ABCD－A1B1C1D1中，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.以下结论中，错误的是( )A.点H是△A1BD的垂心B.AH⊥平面CB1D1C.AH的延长线经过点C1D.直线AH和BB1所成的角为45°解析因为AH⊥平面A1BD，BD⊂平面A1BD，所以BD⊥AH.又BD⊥AA1，且AH∩AA1＝A.所以BD⊥平面AA1H.又A1H⊂平面AA1H.所以A1H⊥BD，同理可证BH⊥A1D，所以点H是△A1BD的垂心，A正确；因为平面A1BD∥平面CB1D1，所以AH⊥平面CB1D1，B正确；易证AC1⊥平面A1BD.因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，所以AC1和AH重合.故C 正确；因为AA1∥BB1，所以∠A1AH为直线AH和BB1所成的角.因为∠AA1H≠45°，所以∠A1AH≠45°，故D错误.答案 D10.已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形.若P为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( ) A.5π12B.π3C.π4D.π6解析 如图所示，P 为正三角形A 1B 1C 1的中心，设O 为△ABC 的中心，由题意知：PO ⊥平面ABC ，连接OA ，则∠PAO 即为PA 与平面ABC 所成的角.在正三角形ABC 中，AB ＝BC ＝AC ＝3，则S ＝34×(3)2＝334， V ABC －A 1B 1C 1＝S ×PO ＝94，∴PO ＝ 3.又AO ＝33×3＝1，∴tan ∠PAO ＝PO AO ＝3，∴∠PAO ＝π3. 答案 B二、填空题11.矩形ABEF 和正方形ABCD 有公共边AB ，且它们所在的平面互相垂直，AB ＝BC ＝2a ，BE ＝a ，则DE ＝________，DE 与平面ABEF 所成的线面角的正弦值为________. 解析 如图，在Rt △DBE 中，BD ＝22a ，BE ＝a ，∴DE ＝（22a ）2＋a 2＝3a ，∵DA ⊥平面ABEF ，∴∠DEA 即为DE 与平面ABEF 所成的角， 在Rt △DAE 中，sin ∠DEA ＝DA DE ＝23. 答案 3a 2312.如图所示为一个正方体的一种表面展开图，图中的四条线段AB ，CD ，EF ，GH 在原正方体中互为异面直线的有________对，成60°角的有________对.解析 正方体如图AB 与CD ，AB 与GH ，GH 与EF 互为异面直线，AB 与CD ，AB 与EF ，AB 与GH ，CD 与GH ，EF 与GH 成60°角.答案 3 513.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于________.解析 ∵B 1C 1⊥平面A 1ABB 1，MN ⊂平面A 1ABB 1， ∴B 1C 1⊥MN ，又∠B 1MN 为直角. ∴B 1M ⊥MN 而B 1M ∩B 1C 1＝B 1. ∴MN ⊥平面MB 1C 1又MC 1⊂平面MB 1C 1 ∴MN ⊥MC 1，∴∠C 1MN ＝90°. 答案 90°14.已知平面α∥平面β，点A ，C ∈α，点B ，D ∈β，直线AB ，CD 交于点S ，且SA ＝8，SB ＝9，CD ＝34.(1)若点S 在平面α，β之间，则SC ＝________. (2)若点S 不在平面α，β之间，则SC ＝________. 解析 根据题意得AS SB ＝SCSD.当点S 在α，β之间时，有89＝CS 34－CS ，即CS ＝16；当点S 在α，β之外时，有89－8＝SC34，即SC ＝272. 答案 16 27215.如图所示，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，若PA ⊥平面AC ，在BC 边上取点E ，使PE ⊥DE ，则满足条件的E 点有两个时，a 的取值范围是________.解析 由题意知：PA ⊥DE ， 又PE ⊥DE ，PA ∩PE ＝P ， 所以DE ⊥面PAE ，∴DE ⊥AE .易证△ABE ∽△ECD .设BE ＝x ，则AB CE ＝BE CD， 即3a －x ＝x 3.∴x 2－ax ＋9＝0，由Δ>0，解得a >6. 答案 a >616.在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，E 为A ′D ′中点，则异面直线EC 与BC ′所成角的余弦值为________，二面角A ′－BC ′－D 的平面角的正切值为________.解析 如图，取BC ，CC ′中点F ，H ，连A ′F ，FH ，A ′H .∵A ′F ∥EC ，FH ∥BC ′，∴∠A ′FH 即为异面直线EC 与BC ′所成的角. 设正方体的棱长为2，FH ＝2，A ′F ＝3，A ′H ＝3， cos ∠A ′FH ＝223＝26，取BC ′的中点O ，连A ′O ，DO ，则A ′O ⊥BC ′，DO ⊥BC ′，∠A ′OD 即为二面角A ′－BC ′－D 的平面角， A ′O ＝DO ＝6，A ′D ＝22，cos ∠A ′OD ＝6＋6－826×6＝13，tan ∠A ′OD ＝2 2.答案262 2 17.已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则①棱AB 与PD 所在直线垂直；②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线.以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号) 解析 由条件可得AB ⊥平面PAD ， ∴AB ⊥PD ，故①正确；若平面PBC ⊥平面ABCD ，由PB ⊥BC ，得PB ⊥平面ABCD ，从而PA ∥PB ，这是不可能的，故②错；S △PCD ＝12CD ·PD ，S △PAB ＝12AB ·PA ，由AB ＝CD ，PD >PA 知③正确； 由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点， 可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ， ∴EF ∥AB ，故AE 与BF 共面，④错. 答案 ①③ 三、解答题18.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AC ＝9，BC ＝12，AB ＝15，AA 1＝12，点D 是AB 的中点.(1)求证：AC ⊥B 1C ； (2)求证：AC 1∥平面CDB 1. 证明 (1)∵C 1C ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴C 1C ⊥AC .∵AC ＝9，BC ＝12，AB ＝15，∴AC 2＋BC 2＝AB 2， ∴AC ⊥BC .又BC ∩C 1C ＝C ，∴AC ⊥平面BCC 1B 1， 而B 1C ⊂平面BCC 1B 1，∴AC ⊥B 1C .(2)连接BC 1交B 1C 于O 点，连接OD .如图，∵O ，D 分别为BC 1，AB 的中点，∴OD ∥AC 1.又OD ⊂平面CDB 1，AC 1⊄平面CDB 1.∴AC 1∥平面CDB 1.19.如图所示，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC ＝22，M 为BC 的中点.(1)证明：AM ⊥PM ；(2)求二面角P －AM －D 的大小.(1)证明 如图所示，取CD 的中点E ，连接PE ，EM ，EA ，∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，PE ＝PD sin ∠PDE ＝2sin 60°＝ 3.∵平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PCD ， ∴PE ⊥平面ABCD ，而AM ⊂平面ABCD ，∴PE ⊥AM .∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE ，△ECM ，△ABM 均为直角三角形. 由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6，AE ＝3， ∴EM 2＋AM 2＝AE 2.∴AM ⊥EM .又PE ∩EM ＝E ，∴AM ⊥平面PEM ，而PM ⊂平面PEM ，∴AM ⊥PM . (2)解 由(1)可知EM ⊥AM ，PM ⊥AM ， ∴∠PME 是二面角P －AM －D 的平面角. ∴tan ∠PME ＝PE EM＝33＝1，∴∠PME ＝45°.∴二面角P －AM －D 的大小为45°.20．(2016·全国Ⅲ)如图，四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，PA ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面PAB ； (2)求四面体N －BCM 的体积．(1)证明 由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN ∥平面PAB .(2)解 因为PA ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12PA .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5. 由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5， 故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N －BCM 的体积 V N －BCM ＝13×S △BCM ×PA 2＝453.21．(2016·全国卷Ⅱ)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D ′EF 的位置．(1)证明：AC ⊥HD ′；(2)若AB ＝5，AC ＝6，AE ＝54，OD ′＝22，求五棱锥D ′－ABCFE 的体积．(1)证明 由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD ，又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD，故AC ∥EF ，由此得EF ⊥HD ，折后EF 与HD 保持垂直关系，即EF ⊥HD ′，所以AC ⊥HD ′.(2)解 由EF ∥AC 得OH DO ＝AE AD ＝14.由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2＝4，所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3，于是OD ′2＋OH 2＝(22)2＋12＝9＝D ′H 2，故OD ′⊥OH .由(1)知AC ⊥HD ′，又AC ⊥BD ，BD ∩HD ′＝H ，所以AC ⊥平面DHD ′，于是AC ⊥OD ′，又由OD ′⊥OH ，AC ∩OH ＝O ，所以OD ′⊥平面ABC .又由EF AC ＝DH DO 得EF ＝92.五边形ABCFE 的面积S ＝12×6×8－12×92×3＝694.所以五棱锥D ′－ABCFE 的体积V ＝13×694×22＝2322. 22．(2016·四川高考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥CD ，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12AD .(1)在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由． (2)证明：平面PAB ⊥平面PBD . (1)解取棱AD 的中点M (M ∈平面PAD )，点M 即为所求的一个点，理由如下： 因为AD ∥BC ，BC ＝12AD .所以BC ∥AM ，且BC ＝AM .所以四边形AMCB 是平行四边形，从而CM ∥AB .11 又AB ⊂平面PAB .CM ⊄平面PAB .所以CM ∥平面PAB .(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点)(2)证明 由已知，PA ⊥AB ，PA ⊥CD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面ABCD .从而PA ⊥BD .因为AD ∥BC ，BC ＝12AD ，所以BC ∥MD ，且BC ＝MD .所以四边形BCDM 是平行四边形，所以BM ＝CD ＝12AD ，所以BD ⊥AB .又AB ∩AP ＝A ，所以BD ⊥平面PAB .又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面PBD .。