数学悖论推理题

数学悖论推理题

1=2？史上最经典的“证明”

设?a = b?，则?a·b = a^2?，等号两边同时减去?b^2?就有?a·b - b^2 = a^2 - b^2?。注意，这个等式的左边可以提出一个?b?，右边是一个平方差，于是有?b·(a - b) = (a + b)(a - b)?。约掉?(a - b)?有?b = a + b。然而?a = b?，因此?b = b + b?，也即?b = 2b?。约掉?b?，得?1 = 2?。

这可能是有史以来最经典的谬证了。?Ted Chiang?在他的短篇科幻小说?Division by Zero?中写到：

引用

There is a well-known “proof” that demonstrates that one equals two. It begins with some definitions: “Let a = 1; let b = 1.” It ends with the conclusion “a = 2a,” that is, one equals two. Hidden inconspicuously in the mi ddle is a division by zero, and at that point the proof has stepped off the brink, making all rules null and void. Permitting division by zero allows one to prove not only that one and two are equal, but that any two numbers at all—real or imaginary, rational or irrational—are equal.

这个证明的问题所在想必大家都已经很清楚了：等号两边是不能同时除以?a - b?的，因为我们假设了?a = b?，也就是说?a - b?是等于?0?的。

无穷级数的力量?(1)

小学时，这个问题困扰了我很久：下面这个式子等于多少？

1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …

一方面：

1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …

= [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + …

= 0 + 0 + 0 + …

= 0

另一方面：

1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …

= 1 + [(-1) + 1] + [(-1) + 1] + [(-1) + …

= 1 + 0 + 0 + 0 + …

= 1

这岂不是说明?0 = 1?吗？

后来我又知道了，这个式子还可以等于?1/2?。不妨设?S = 1 + (-1) + 1 + (-1) + …?，?于是有?S = 1 - S，解得?S = 1/2?。

学习了微积分之后，我终于明白了，这个无穷级数是发散的，它没有一个所谓的“和”。无穷个数相加的结果是多少，这个是需要定义的。

无穷级数的力量?(2)

同样的戏法可以变出更多不可思议的东西。例如，令

x = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …

则有：

2x = 2 + 4 + 8 + 16 + …

于是：

2x - x = x = (2 + 4 + 8 + 16 + …) - (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = -1

也就是说：

1 +

2 + 4 + 8 + 16 + … = -1

平方根的阴谋?(1)

定理：所有数都相等。

证明：取任意两个数?a?和?b?，令?t = a + b?。于是，

a +

b = t

(a + b)(a - b) = t(a - b)

a^2 - b^2 = t·a - t·b

a^2 - t·a = b^2 - t·b

a^2 - t·a + (t^2)/4 = b^2 - t·b + (t^2)/4

(a - t/2)^2 = (b - t/2)^2

a - t/2 =

b - t/2

a = b

怎么回事儿？

问题出在倒数第二行。

永远记住，?x^2 = y^2?并不能推出?x = y?，只能推出?x = ±y?。

平方根的阴谋?(2)

1 = √1 = √(-1)(-1) = √-1·√-1 = -1

嗯？

只有?x?、?y?都是正数时，?√x·y = √x·√y?才是成立的。

-1?的平方根有两个，?i?和?-i?。?√(-1)(-1)?展开后应该写作?i·(-i)?，它正好等于?1?。

复数才是王道

考虑方程

x^2 + x + 1 = 0

移项有

x^2 = - x - 1

等式两边同时除以?x?，有

x = - 1 - 1/x

把上式代入原式中，有

x^2 + (-1 - 1/x) + 1 = 0

即

x^2 - 1/x = 0

即

x^3 = 1

也就是说?x = 1。

把?x = 1?代回原式，得到?1^2 + 1 + 1 = 0?。也就是说，?3 = 0?，嘿嘿！

其实，?x = 1?并不是方程?x^2 + x + 1 = 0?的解。在实数范围内，方程?x^2 + x + 1 = 0?是没有解的，但在复数范围内有两个解。

另一方面，?x = 1?只是?x^3 = 1?的其中一个解。?x^3 = 1?其实一共有三个解，只不过另外两个解是复数范围内的。考虑方程?x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0?，容易看出?x^3 = 1?的两个复数解正好就是x^2 + x + 1?的两个解。因此，?x^2 + x + 1 = 0?与?x^3 = 1?同时成立并无矛盾。

注意，一旦引入复数后，这个谬论才有了一个完整而漂亮的解释。或许这也说明了引入复数概念的必要性吧。