数学悖论推理题
逻辑思维练习题
逻辑思维练习题一、判断推理类1. 如果今天下雨，那么路面湿滑。
已知路面不湿滑，那么今天是否下雨？2. 所有的猫都怕水，小明家的宠物不怕水，那么小明家的宠物是什么？3. 小华要么去图书馆，要么去公园。
如果小华没有去公园，那么他在哪里？4. 全部学生都参加了数学竞赛，小王不是学生，那么小王是否参加了数学竞赛？5. 要么是A要么是B，已知A是错误的，那么是什么？二、类比推理类1. 鸟（）之于飞翔，正如鱼（）之于游泳。
2. 书（）之于知识，正如地图（）之于路线。
3. 太阳（）之于光明，正如月亮（）之于夜晚。
4. 老师是学生的（），正如医生是病人的（）。
5. 红色（）之于热情，正如蓝色（）之于宁静。
三、逻辑排序类1. A. 小明起床B. 小明吃早餐C. 小明去上学D. 小明做作业2. A. 播种B. 浇水C. 收获D. 施肥3. A. 提交报告B. 调查研究C. 分析数据四、逻辑谬误识别类1. 甲：所有的猫都喜欢吃鱼。
乙：你家的猫不喜欢吃鱼，所以甲的说法是错误的。
2. 甲：今天天气晴朗，适合户外活动。
乙：今天阴天，所以甲的说法是错误的。
3. 甲：努力学习可以取得好成绩。
乙：我努力学习，但成绩还是不好，所以甲的说法是错误的。
五、逻辑应用类1. 小明、小华、小丽三人参加比赛，小明说：“我不是一名。
”小华说：“我是第一名。
”小丽说：“我不是第一名。
”请问比赛的名次如何排列？2. 有四个人分别住在不同楼层，甲说：“我住在第二层。
”乙说：“我住在第三层。
”丙说：“我住在第四层。
”丁说：“我住在第一层。
”如果他们中只有一个人说了真话，那么他们分别住在哪一层？3. 有三个房间，分别放着苹果、香蕉和橘子。
每个房间门口都有一盏灯，其中一盏灯下放着正确的水果。
现在，你只能打开一盏灯，并且只能进入一个房间，如何确保拿到正确的水果？六、逻辑悖论类1. 一个村庄里，所有人都说谎。
一位旅行者来到村庄，询问村民：“你们这里的人是说谎的吗？”村民回答：“不是。
逻辑悖论鳄鱼和小孩
一、悖论1、逻辑悖论：鳄鱼和小孩M；希腊哲学家喜欢讲一个鳄鱼的故事。
一条鳄鱼从母亲手中抢走了一个小孩。
鳄鱼：我会不会吃掉你的孩子？答对了，我就把孩子不加伤害地还给你。
母亲：呵、呵！你是要吃掉我的孩子的。
鳄鱼：呣……。
我怎么办呢？如果我把孩子交还你，你就说错了。
我应该吃掉他。
M：鳄鱼碰到了难题。
它把孩子既要吃掉，同时又得交还给孩子的母亲。
鳄鱼：好了，这样我就不把他交给你了。
母亲：可是你必须交给我。
如果你吃了我的孩子，我就说对了，你就得把他交回给我。
M：拙劣的鳄鱼懵了，结果把孩子交回了母亲，母亲一把拽住孩子，跑掉了。
鳄鱼；他妈的！要是她说我要给回她孩子，我就可美餐一顿了。
如果你们细细琢磨这段著名的悖论，你们一定会明白那位母亲是多么机智。
她对鱷鱼说的是“你将会吃掉我的孩子”。
无论鱷鱼怎么做，都必定与它的允诺相矛盾。
如果它交回小孩，母亲就说错了，它就可以吃掉小孩。
可如果它吃掉小孩，母亲就说对了，这就得让它把孩子无伤害地交出来。
鱷鱼陷入了逻辑悖论之中，它无法从中摆脱出来而不违背它自己。
如果不是这样，假定母亲说：“你将要把孩子交回给我。
”那么，鱷鱼就随便了，它既可以交回孩子，也可以吃掉他。
如果它交回小孩，母亲就说对了，鱷鱼遵循了自己的诺言。
反过来，如果它聪明一些的话，它可以吃掉孩子，这使得母亲的话错了，鱷鱼便可以从交回小孩的义务中解脱出来。
2、几何悖论：未知的宇宙M：如果一个宇宙飞船发射出去以后始终沿着一条直线飞行，它将离开地球越来越远吗？爱因斯坦认为，未必如此，它说不定会回到地球上来！M：为弄清爱因斯坦这一论点让我们者一看这个可怜的“点世界”里的居民。
他只生活在一个点里，他的宇宙没有维数。
M：“线世界”里的居民生活在维数为1的线上，这正象爬在绳子上的蠕虫一样。
如果绳子是无限长的，那么蠕虫可以朝着线的任意一端永远爬下去。
M：但是，如果绳子象圆周那样是封闭的，它就成为一个无端点的线，但它的长度是有限的，不管蠕虫在绳上向那个方向爬，它总要回到它原来的出发点。
悖论大集合
悖论大集合悖论大集合（1）米堆悖论。
如果一粒米不算一堆米，两粒米不算一堆米，三粒米不算一堆米……那么照此逻辑，一万粒米也不算一堆米。
与之相对的是（2）沙丘悖论。
如果有一堆沙，拿走一颗沙这还是一堆沙，拿走两颗沙这还是一堆沙，那么，拿走n颗也算是一堆沙，所以一颗沙也叫一堆沙。
和我们的认识抵触。
（2）赌徒的谬误。
假设有一个赌徒，他在赌博中连续赢了9次，请问第10次他会输还是赢？这个问题一般有两种答案，第一，他会赢，因为很多人觉得前9次赢了，说明他运气来了，下一次要赢了。
第二，他会输，因为风水轮流转，不可能一直好运，这样才能平衡。
这和买彩票号码是一样的，有人认为要买前几次出现过的号码，觉得这是热门号码。
而有人则认为应该买其他号码，因为既然前几次是那个号码，那么后来就肯定不是了。
这种对不确定的事情以前面的结果进行推测就叫赌徒的谬误。
其实，第10次赌徒到底是输还是赢还是一件未知的事情，所谓运气楼主也不知道到底存不存在这种东西。
你们呢？觉得运气存在么？（3）怕老婆悖论。
电台举行节目，要求所有男性出场。
要求怕老婆的就站左边，不怕的站右边。
中国男性以怕老婆为荣。
于是纷纷走向左边。
只有唯一一个男性在右边。
主持人不解问他是不是不怕老婆，他说：“我老婆不让我去人多的地方。
”这下主持人犯了难。
到底他是怕老婆还是不怕呢？（4）万能溶液悖论。
（很多经典的悖论有可能大家见过就当复习吧，蹭）一位科学家的弟子好高骛远，于是有一天他非常骄傲的对老师说，我要发明一种能溶解任何东西的万能溶液。
他的老师只是轻轻的说：那你用什么容器装它呢？（5）鳄鱼悖论。
一头鳄鱼抓住了一个小孩，它对小孩妈妈说：“你猜我吃不吃他？猜对了我就不吃他。
猜错了我就吃了它。
”小孩妈妈说：“我猜你要吃了我的孩子。
”鳄鱼说：“哈哈，那我要吃了它。
”小孩妈妈说：“我猜对了那你就不应该吃他。
”鳄鱼这下糊涂了，如果还给她孩子，那他就猜错了我应该吃了它，但是我吃了他她就猜对了不应该吃他，最后鳄鱼还给了她孩子。
“帽子悖论”
“帽子悖论”“帽子悖论”是一道经典的逻辑谜语，在数学、哲学、逻辑学等领域广泛被运用和讨论。
这个谜语的核心在于，一些人戴黑帽子，一些人戴白帽子，但没有人知道自己究竟戴的是什么颜色的帽子。
这种情况下，如何利用信息推理来猜出自己戴的是什么颜色的帽子呢？问题描述假设有三个人A、B、C，他们在一个很安静的房间里面，房间里没有任何东西，只有三个人和三顶帽子——两顶是黑色的，一顶是白色的。
其中，A、B、C三人带上了各自的帽子。
问题是，A、B、C三人无法看到自己的帽子，只能看到别人的帽子，他们要根据对方的帽子来判断自己的帽子颜色，只有黑白两种颜色。
为了解决这个问题，他们开始了一番猜测猜想。
解题思路这个谜语虽然看似简单，但实际上包含了相当深奥的逻辑问题，需要有一些数学和逻辑学相关的知识才能解决。
首先，我们需要理解以下三个前提条件：1. 每个人只能看到别人的帽子，而不能知道自己戴的是什么颜色的帽子。
2. 有两顶黑帽子和一顶白帽子，因此至少有一个人戴的是黑帽子。
3. 如果所有人都猜错，那么就需要判定出答案。
根据这些前提条件，我们可以采用以下思路来解决这个问题：1. 首先，我们假设A、B、C三人戴的帽子颜色不一样。
也就是说，A戴白帽子，B戴黑帽子，C戴黑帽子，或者A戴黑帽子，B戴白帽子，C戴黑帽子，或者A戴黑帽子，B戴黑帽子，C戴白帽子。
2. 如果A、B、C三人戴的帽子颜色不一样，那么A、B、C三人中有两人戴的都是黑帽子，另外一个戴的是白帽子。
3. A和B都可以看到对面一人的帽子，如果他们看到的是两顶黑帽子，那么他们就知道自己一定戴的是白帽子了；如果他们看到的是一顶黑帽子和一顶白帽子，那么他们无法判断自己的帽子颜色，除非C能够猜出自己的帽子颜色。
总结通过以上分析，我们可以发现，解决“帽子悖论”问题关键在于理解前提条件和采用恰当的逻辑推理方式。
正是这种深奥的逻辑思维，才使得这个谜语成为了数学、哲学、逻辑学领域的经典之一。
悖论大集合
悖论大集合（1）米堆悖论。
如果一粒米不算一堆米，两粒米不算一堆米，三粒米不算一堆米……那么照此逻辑，一万粒米也不算一堆米。
与之相对的是（2）沙丘悖论。
如果有一堆沙，拿走一颗沙这还是一堆沙，拿走两颗沙这还是一堆沙，那么，拿走n颗也算是一堆沙，所以一颗沙也叫一堆沙。
和我们的认识抵触。
（2）赌徒的谬误。
假设有一个赌徒，他在赌博中连续赢了9次，请问第10次他会输还是赢？这个问题一般有两种答案，第一，他会赢，因为很多人觉得前9次赢了，说明他运气来了，下一次要赢了。
第二，他会输，因为风水轮流转，不可能一直好运，这样才能平衡。
这和买彩票号码是一样的，有人认为要买前几次出现过的号码，觉得这是热门号码。
而有人则认为应该买其他号码，因为既然前几次是那个号码，那么后来就肯定不是了。
这种对不确定的事情以前面的结果进行推测就叫赌徒的谬误。
其实，第10次赌徒到底是输还是赢还是一件未知的事情，所谓运气楼主也不知道到底存不存在这种东西。
你们呢？觉得运气存在么？（3）怕老婆悖论。
电台举行节目，要求所有男性出场。
要求怕老婆的就站左边，不怕的站右边。
中国男性以怕老婆为荣。
于是纷纷走向左边。
只有唯一一个男性在右边。
主持人不解问他是不是不怕老婆，他说：“我老婆不让我去人多的地方。
”这下主持人犯了难。
到底他是怕老婆还是不怕呢？（4）万能溶液悖论。
（很多经典的悖论有可能大家见过就当复习吧，蹭）一位科学家的弟子好高骛远，于是有一天他非常骄傲的对老师说，我要发明一种能溶解任何东西的万能溶液。
他的老师只是轻轻的说：那你用什么容器装它呢？（5）鳄鱼悖论。
一头鳄鱼抓住了一个小孩，它对小孩妈妈说：“你猜我吃不吃他？猜对了我就不吃他。
猜错了我就吃了它。
”小孩妈妈说：“我猜你要吃了我的孩子。
”鳄鱼说：“哈哈，那我要吃了它。
”小孩妈妈说：“我猜对了那你就不应该吃他。
”鳄鱼这下糊涂了，如果还给她孩子，那他就猜错了我应该吃了它，但是我吃了他她就猜对了不应该吃他，最后鳄鱼还给了她孩子。
布雷斯悖论例子
布雷斯悖论例子
布雷斯悖论是一种数学悖论，它表明，当一个命题主张自己是不可证明的时，如果该命题能够被证明为真，则会产生矛盾。
具体地说，假设我们有一个名为“P”的命题，它主张自己是不可证明的，即无法被证明为真或者被证明为假。
然后，我们假设“P”是真的，那么“P”的主张就是可证明的，与原命题的假设相矛盾；反之，如果我们假设“P”是假的，那么“P”的主张即为假，同样与原命题的假设相矛盾。
这种悖论在哥德尔不完备定理的证明中起到了关键作用。
举一个例子，假设我们有一个命题“这个命题是假的”。
这个命题是不可证明的，因为如果我们能够证明它为真，则意味着这个命题是假的，产生矛盾。
另一方面，如果我们假设这个命题是真的，那么它的主张就是假的，同样产生矛盾。
因此，这个命题形成了布雷斯悖论。
另一个例子是莫尔-莱蒙悖论，它主张“这个命题是假的”是真的。
如果我们假设这个命题是真的，那么它的主张就是假的，产生矛盾；反之，如果我们假设这个命题是假的，那么它的主张就是真的，同样产生矛盾。
布雷斯悖论是一种非常有趣的数学悖论，它揭示了逻辑系统和证明理论的局限性。
它提示我们要谨慎地把握命题的语义和推理的正确性，特别是当涉及到自指、嵌套和递归结构的时候。
因此，在数学、哲学和计算机科学等领域，布雷斯悖论被广泛地研究和讨论，以促进我们对于逻辑和认知的深入理解。
十大数学悖论
十大数学悖论1．剃头师悖论（罗素悖论）：某村只有一人剃头,且该村的人都须要剃头,剃头师划定,给且只给村中不本身剃头的人剃头.试问：剃头师给不给本身剃头？假如剃头师给本身剃头,则违反了本身的商定;假如剃头师不给本身剃头,那么按照他的划定,又应当给本身剃头.如许,剃头师陷入了两难的地步.2．撒谎者悖论：公元前6世纪,古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如斯断言：“所有克里特人所说的每一句话都是假话.”假如这句话是真的,那么也就是说,克里特人伊壁门尼德斯说了一句实话,但是却与他的实话——所有克里特人所说的每一句话都是假话——相悖;假如这句话不是真的,也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句假话,则实话应是：所有克里特人所说的每一句话都是实话,两者又相悖.所以如何也难以自圆其说,这就是有名的撒谎者悖论. :公元前4世纪,希腊哲学家又提出了一个悖论：“我如今正在说的这句话是假的.”同上,这又是难以自圆其说！撒谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家.撒谎者悖论有很多情势.如：我预言：“你下面要讲的话是‘不’,对不合错误？用‘是’或‘不是’来答复.”又如,“我的下一句话是错（对）的,我的上一句话是对（错）的”.3．跟无穷相干的悖论：{1,2,3,4,5,…}是天然数集：{1,4,9,16,25,…}是天然数平方的数集.这两个数集可以或许很轻易组成一一对应,那么,在每个聚集中有一样多的元素吗？4.伽利略悖论：我们都知道整体大于部分.由线段BC上的点往极点A连线,每一条线都邑与线段DE(D点在AB上,E点在AC上)订交,是以可得DE与BC一样长,与图抵触.为什么？5.预感不到的测验的悖论：一位师长教师宣告说,鄙人一礼拜的五天内（礼拜一到礼拜五）的某一天将进行一场测验,但他又告知班上的同窗：“你们无法知道是哪一天,只有到了测验那天的早上八点钟才通知你们下昼一点钟考.你能说出为什么这场测验无法进行吗？6.电梯悖论：在一幢摩天大楼里,有一架电梯是由电脑掌握运行的,它每层楼都停,且逗留的时光都雷同.然而,办公室接近顶层的王师长教师说：“每当我要下楼的时刻,都要等良久.停下的电梯老是要上楼,很少有下楼的.真奇异！”李蜜斯对电梯也很不满足,她在接近底层的办公室上班,天天正午都要到顶楼的餐厅吃饭.她说：“不管我什么时刻要上楼,停下来的电梯老是要下楼,很少有上楼的.真让人烦逝世了！”这毕竟是怎么回事？电梯明明在每层逗留的时光都雷同,可为什么会让接近顶楼和底层的人等得不耐心？7.硬币悖论：两枚硬币平放在一路,顶上的硬币绕下方的硬币迁移转变半圈,成果硬币中图案的地位与开端时一样;然而,按常理,绕过圆周半圈的硬币的图案应是朝下的才对！你能解释为什么吗？8.谷堆悖论：显然,1粒谷子不是堆;假如1粒谷子不是堆,那么2粒谷子也不是堆;假如2粒谷子不是堆,那么3粒谷子也不是堆;……假如99999粒谷子不是堆,那么100000粒谷子也不是堆;……假如1粒谷子落地不克不及形成谷堆,2粒谷子落地不克不及形成谷堆,3粒谷子落地也不克不及形成谷堆,依此类推,无论若干粒谷子落地都不克不及形成谷堆.这就是令全部古希腊震动一时的谷堆悖论.从真实的前提动身,用可以接收的推理,但结论则是显著错误的.它解释界说“堆”缺乏明白的鸿沟.它不合于三段论式的多前提推理,在一个前提的持续积聚中形成悖论.从没有堆到有堆中央没有一个明白的界线,解决它的方法就是引进一个隐约的“类”.这是连锁（Sorites）悖论中的一个例子,归功于古希腊人Eubulides,后来的疑惑论者不承认它是常识.“Soros”在希腊语里就是“堆”的意思.最初是一个游戏：你可以把1粒谷子说成是堆吗？不克不及;你可以把2粒谷子说成是堆吗？不克不及;你可以把3粒谷子说成是堆吗？不克不及.但是你迟早会承认一个谷堆的消失,你从哪里区分他们？9.宝塔悖论：假如从一砖塔中抽取一块砖,它不会塌;抽两块砖,它也不会塌;……抽第N块砖时,塔塌了.如今换一个地方开端抽砖,同第一次不一样的是,抽第M 块砖是,塔塌了.再换一个地方,塔塌时少了L块砖.以此类推,每换一个地方,塔塌时少的砖块数都不尽雷同.那么到底抽若干块砖塔才会塌呢？10.有名的鸡与蛋问题：世界上是先有鸡照样先有蛋？▲一些不雅点：老套的问题,当然是先有鸡,只是刚开端它不是鸡,而是此外动物,后来它们的繁衍方法产生了变更,——成为了卵生,所以才有了蛋.最早没有卵活泼物,很多生物照样无性滋生的,后来慢慢进化成卵生和哺乳动物,所以按道理应当先辈化成生物本体才可能有蛋的由来.“蛋”有可能来自外星球,后来情况顺应而孵化,之后在地球繁衍.....就形成了鸡生蛋,蛋又孵化成鸡.。
1=0.99999的悖论解决了
1=0.99999的悖论解决了其实1=0.99999（无限循环）已经不是悖论了，而是事实。
无限循环小数0.999...和1 严格相等，不是无限趋近，而是完全相同，你可以认为他们是同一个数的两种写法而已。
这两者相等，是实数的构造过程直接决定的，而严格的证明过程也绕不开构造实数的两种方法，戴德金分割和柯西序列法，并且他们是等价的。
整数的除法法则1）从被除数的高位起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果它比除数小，再试除多一位数。
2）除到被除数的哪一位，就在那一位上面写上商。
3）每次除后余下的数必须比除数小。
除数是整数的小数除法法则：1）按照整数除法的法则去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。
2）如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面补零，再继续除。
虽然从直觉上来看，0.999999循环肯定<1，因为0.99999循环是无限趋近于1，但是趋近于1就表示一直无法达到1，既然没达到1就证明肯定比1小，这也非常符合我们的常识。
不过目前主流数学家依然认为0.99999循环和1是相等的。
扩展资料——悖论：是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论都不能自圆其说。
悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。
悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义（内容）和表达方式（形式）、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆。
是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称。
悖论根源于知性认识、知性逻辑（传统逻辑）、矛盾逻辑的局限性。
产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把形式逻辑普适性绝对化，即把形式逻辑当做思维方式。
所有悖论都是因形式逻辑思维方式产生，形式逻辑思维方式发现不了、解释不了、解决不了的逻辑错误。
所谓解悖，就是发现、纠正悖论中的逻辑错误。
十个著名悖论
一、“电车难题”是伦理学领域最为知名的思想实验之一，其内容大致是：一个疯子把五个无辜的人绑在电车轨道上。
一辆失控的电车朝他们驶来，并且片刻后就要碾压到他们。
幸运的是，你可以拉一个拉杆，让电车开到另一条轨道上。
但是还有一个问题，那个疯子在那另一条轨道上也绑了一个人。
考虑以上状况，你应该拉拉杆吗？二。
空地上的奶牛（The Cow in the field） 认知论领域的一个最重要的思想实验就是“空地上的奶牛”。
它描述的是，一个农民担心自己的获奖的奶牛走丢了。
这时送奶工到了农场，他告诉农民不要担心，因为他看到那头奶牛在附件的一块空地上。
虽然农民很相信送奶工，但他还是亲自看了看，他看到了熟悉的黑白相间的形状并感到很满意。
过了一会，送奶工到那块空地上再次确认。
那头奶牛确实在那，但它躲在树林里，而且空地上还有一大张黑白相间的纸缠在树上，很明显，农民把这张纸错当成自己的奶牛了。
问题是出现了，虽然奶牛一直都在空地上，但农民说自己知道奶牛在空地上时是否正确？（三）定时炸弹（The Ticking Time Bomb）如果你关注近几年的政治时事，或者看过动作电影，那么你对于“定时炸弹”思想实验肯定很熟悉。
它要求你想象一个炸弹或其他大规模杀伤性武器藏在你的城市中，并且爆炸的倒计时马上就到零了。
在羁押中有一个知情者，他知道炸弹的埋藏点。
你是否会使用酷刑来获取情报？（四）爱因斯坦的光线（Einstein’s Light Beam） 爱因斯坦著名的狭义相对论是受启于他16岁做的思想实验。
在他的自传中，爱因斯坦回忆道他当时幻想在宇宙中追寻一道光线。
他推理说，如果他能够以光速在光线旁边运动，那么他应该能够看到光线成为“在空间上不断振荡但停滞不前的电磁场”。
对于爱因斯坦，这个思想实验证明了对于这个虚拟的观察者，所有的物理定律应该和一个相对于地球静止的观察者观察到的一样。
（五）特修斯之船（The Ship of Theseus） 最为古老的思想实验之一。
生活中的数学 骗局与悖论
二等奖：浮动，单注奖金不超过500万. 0.0000846%
三等奖：3000元. 四等奖：200元. 五等奖：10元. 六等奖：5元. 不中奖：0角.
0.0009142% 数学期望大约为：
0.0434228% ﹣0.79元
0.7757707%
也就是说，每花2元 钱，就会有0.79元奉
5.8892547% 献给了 社会，买得越
在这幅图像中，一个大个子正在追赶一个 小个子，对吗？
其实，这两 个人完全是 一模一样的！ （不信？用 尺子量量 看！）
你看到了螺旋，还是同心圆？ 乍一看，图中是一个螺旋，实际上 它是同心圆。 此图属于“Fraser螺旋错觉”。
统计悖论之选举悖论
假定有三个人—阿贝尔、伯恩斯和克拉克竞选总统。民意测验表明， 选举人中有2/3愿意选A不愿选B，有2/3愿选B不愿选C。是否愿选A不 愿选C的最多？
注意：【本景区门票50元优惠券】不能与其他优惠同时使用！景区门票120元.
黑5红5【佛像一块】
务必交10元领走此好运，方可继续抽奖！
由于景区著名，游客非常多， 此抽奖处也是进行的火热！
可是，半年过去了，发现iPhone6plus 及三星note4无一人抽中！游客抽到的 最大奖为100元话费，且为极少数！景 区收入却变相增加100余万元！您知道 其中的骗局吗？
回答：设定一个固定的边界。如果我们说10,000 颗沙粒是一堆沙，那么少于10，000颗沙粒组成 的就不能称之为一堆沙。显然这样区分9999颗沙 和10001颗沙就有点不合理。那么就有一个解决 方案了——设定一个可变的边界，但是这个边界 是多少，并不需要知道。
逻辑悖论之理发师悖论
一个男理发师的招牌上写着：
奖品很丰厚哦！
悖论推理题
悖论推理题摘要：1.悖论推理题的定义与特点2.悖论推理题的类型3.悖论推理题的解法4.悖论推理题的实际应用正文：一、悖论推理题的定义与特点悖论推理题，又称为矛盾推理题，是一种具有特殊性质的推理题。
它的特点是题目中包含着两个或多个相互矛盾或看似矛盾的条件，要求解题者通过分析和推理，找出其中的矛盾点或破解矛盾，得出正确的结论。
悖论推理题往往具有较高的思维难度，需要解题者具备较强的逻辑分析能力和思维敏捷性。
二、悖论推理题的类型悖论推理题根据题目条件的矛盾性质，可以分为以下几种类型：1.语义悖论：题目中包含着语义上相互矛盾的条件，如著名的“这句话是假的”悖论。
2.逻辑悖论：题目中包含着逻辑上相互矛盾的条件，如“所有的狗都有尾巴，有的动物有尾巴，请问所有的狗是不是都有尾巴？”3.数学悖论：题目中包含着数学上相互矛盾的条件，如著名的“无穷酒店悖论”。
4.关系悖论：题目中包含着关系上相互矛盾的条件，如“甲比乙高，乙比甲矮，请问甲和乙谁更高？”三、悖论推理题的解法解决悖论推理题，通常需要运用逻辑学、数学和语义学等相关知识，结合题目的具体情况，采用以下几种方法：1.排除法：通过排除题目中明显错误的选项，缩小答案范围，逐步逼近正确答案。
2.反证法：假设题目中某个条件为真，通过推理得出矛盾，从而证明该条件为假，进而找到正确答案。
3.归谬法：通过推理，将题目中的矛盾条件归结为荒谬的结论，从而找到正确的答案。
4.构造法：针对题目中的矛盾条件，构造一个新的模型或情景，使得矛盾得以解决，从而找到正确答案。
四、悖论推理题的实际应用悖论推理题在实际生活中具有广泛的应用，如哲学、数学、逻辑学、心理学等领域的问题，很多都涉及到悖论推理。
通过解决悖论推理题，可以培养人们的逻辑思维能力、创新能力和解决问题的能力，提高人们的智慧水平。
8个芝诺悖论
8个芝诺悖论芝诺悖论指的是一系列希腊哲学家芝诺提出的几个关于无限、分割和运动的悖论。
这些悖论挑战了人们对逻辑和数学的普遍理解，并引发了无数思考和讨论。
下面将简要介绍八个著名的芝诺悖论。
1.阿喀琉斯与乌龟：这个悖论描述了一个赛跑场景，乌龟得先行10米，阿喀琉斯从起点开始追赶它。
尽管乌龟的速度较慢，但阿喀琉斯每次追及乌龟所用的时间也会越来越短。
然而，按照数学推理，阿喀琉斯似乎永远无法赶上乌龟，因为每次追及乌龟前都要走过一半的距离，而这一过程可以无限分割。
2.亚刚与乌龟：这个悖论与阿喀琉斯与乌龟类似，描述了一个亚刚与乌龟辩论数学问题的场景。
乌龟先声称亚刚错误，亚刚回应称他可以从第一个指称错的地方开始讲起。
然后乌龟指向亚刚的最开始的陈述，并声称亚刚又犯了一个错误。
这样的对话可以无限延伸下去，让人无法得到一个确定的结论。
3.拐角堆：这个悖论挑战了人们对数量的理解。
芝诺提出，如果你从一个角落不断堆积一个小石子，最终你会得到一个庞大的堆。
然而，当你只加入一颗石子时，它是否能改变一个区域的本质性质？这个问题引发了对于数量和界限的思考。
4.海峡：这个悖论描述了一艘船从一个海港到另一个海港的航行。
假设在航行过程中需要经过一个狭窄的海峡。
当船只通过海峡时，我们可以根据时间的不断分割来描述更精确的位置。
然而，在船通过海峡的瞬间，船只似乎既在海峡内又在海峡外，这引发了无限的矛盾。
5.两个相等的线段：这个悖论说明了无限分割的问题。
假设有两个长度相等的线段，你可以分割它们无数次。
然而，每次分割后，你得到的两个新线段不可能完全相等，即使它们的长度差距非常小。
这个问题引发了对于连续和离散的思考。
6.飞矢：这个悖论关注了运动的本质。
当我们观察一把飞出的箭矢时，我们可以对其位置进行快照，然后在下一时刻再次观察。
然而，根据芝诺的推理，瞬间拍下的照片只能代表这个瞬间箭矢的位置，而不是箭矢在运动中的姿态。
因此，箭矢似乎永远在不动，这与我们的感觉相矛盾。
逻辑悖论
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• M：著名的十七世纪数学家布莱斯· 帕斯卡把中立原理应用 于基督徒的忠诚上。 • 帕斯卡：一个人无法决定他是接受还是拒绝教堂的教义。 教义也许是真实的，也可能是骗人的。这有点象抛硬币， 两种可能性均等。可报应是什么呢？ • 帕斯卡：假定这个人拒绝了教堂的教义。如果教义是骗人 的，则他什么也没有损失。可是，如果教义是真实的，那 他将会面临在地狱遭受无穷苦难的未来。 帕斯卡：假定 这个人接受了教堂的宣传。如果教义是骗人的，他就什么 也得不到。可是，如果教义是真实的，他将能进入天堂享 受无穷的至福。
• 一个罪犯在星期六被判绞刑。 “绞刑将在下周七天中的某一 天中午十二时整举行。”法官对罪犯说，“但是只有在行刑 当天的早上通知你后，你才会知道是在哪一天。”这位法官 以言出必行而声名卓著。 • 第一，下个星期六，也就是下周七天之中的最后一天，他们 不能吊死你，因为，星期五的下午你仍然没有服刑，故而可 以预期刑期将在星期六执行，也就是说没有到星期六的早上， 你已预先知道了刑期。这和法官的判决不符。” • 因此，星期五变成刑期的最后一天。但是他们也不能在星期 五掉死你。因为星期四时，离行刑的日子只剩下两天，即星 期五和星期六。既然是星期六已经被划掉，成为不能行刑的 日子，所以行刑的日子非在星期五不可。如此，你又事先知 道了行刑的日子，这又和法官的判决不符。所以星期五也要 被划掉。 • 依此类推，甚至星期四、星期二和星期一都要一一被划掉。 这就只剩下明天。但是我现在就知道是明天，所以明天也不 可以行刑了。”
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设：A是X部落的人。 （1）如果A遇见的B是X部落的人，那么，B就说自己是X部落的 人（因X族人是说真话的），这时，A向旅游者如实地传达了这个回 答。 （2）如果A遇见的B是Y部落的人，那么，B也会说自己是X部落 的人（因Y族人是说假话的），这时，A也向旅游者如实地传达了这 个回答。
芝加诺悖论问题回答
芝加诺悖论芝加诺悖论是一个非常有趣的逻辑问题。
它最初由意大利数学家Giuseppe Peano和他的学生Mario Pieri在19世纪末首次提出。
这个悖论的核心在于一组看似矛盾的命题，类似于所谓的“谎言悖论”。
具体来说，芝加诺悖论包括两个命题：1. 这个命题是假的。
2. 这个命题是真的。
第一个命题看起来是正确的，因为它说它自己是假的。
但是，如果它是假的，那么它就是真的。
这似乎产生了一个自相矛盾的循环，因为如果这个命题是真的，那么它实际上是说它是假的。
这个悖论的困难在于，在常规逻辑中，命题可以是真或假，但一个命题不能同时是真和假。
这就像是一个数学公式，其中相同的变量不能同时等于不同的值。
然而，在芝加诺悖论中，两个命题似乎相互依存，这似乎违反了这个基本原则。
这个悖论的启示之一是，仔细定义命题的真值是非常重要的。
在这种情况下，命题的定义似乎不太清晰，因为两个命题相互依存和相互矛盾，而且似乎无法在传统逻辑框架中解决。
实际上，芝加诺悖论是一个很好的例子，说明语言和思想之间存在复杂的关系。
我们通常认为我们使用的语言是准确和明确的，但事实上，我们的表达可能存在模糊和矛盾。
芝加诺悖论提示我们，要使用上下文和语言规则来解决这个问题，并避免遇到类似悖论的情况。
这个悖论已经成为哲学、数学和逻辑学的经典范例之一，它引发了对语言、定义、真正的意义、以及如何解决文本中的矛盾的深思。
总的来说，芝加诺悖论提醒我们在逻辑推理中注意语言和定义的重要性，并且鼓励我们反思我们日常思考和表达的方式。
阿基里斯与龟悖论的极限问题
阿基里斯与龟悖论的极限问题
阿基里斯与龟悖论是一种思维实验，旨在探讨无限分割和极限的概念。
悖论的设想是，如果阿基里斯与一只乌龟进行赛跑，但是乌龟在起跑线前方的某个距离就先开始了，那么阿基里斯是否可以追上乌龟呢？
根据这个悖论，乌龟在起跑线前方的某个距离上开始，假设为1米。
当阿基里斯跑到起跑线时，乌龟已经前进了这段距离的一半，即0.5米。
然后，当阿基里斯跑到达乌龟当前所处的位置时，乌龟又前进了0.25米。
这个过程会一直持续下去，乌龟会一直在阿基里斯之前的位置上前进，只是每次前进的距离都会减半。
因此，根据这个推理，乌龟看起来永远都会在阿基里斯之前。
然而，这个悖论的关键在于无限分割的概念。
在数学中，我们可以使用极限来解决这个问题。
极限的概念是指随着操作的进行，逐渐逼近某个特定值。
在这个例子中，乌龟每次前进的距离会趋近于零。
根据极限的理论，当前进的距离趋近于零时，乌龟最终会被阿基里斯追上。
虽然阿基里斯需要无限次追赶，但乌龟总是会被追上。
这是因为在数学中，我们可以通过对无限个数的和进行求和，来得到一个有限的值。
在这个问题中，乌龟的前进距离可以表示为一个等比数列的和，而这个和是有限的。
通过阿基里斯与龟悖论，我们可以看到无限分割和极限的概念在数学中的重要性。
它们帮助我们解决了一些看似无解的问题，并且在现实生活中也有广泛的应用，例如物理学中的运动学和微积分中的积分等。
数学悖论
数学悖论
悖论 ：笼统地说，是指这样的推理过程：
它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。 悖论在很多情况下表现为能得出不符合排 中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它 为假；由它的假，则可以推出它为真。
例9：鳄鱼和小孩
一条鳄鱼从母亲手中抢走了一个小孩。
鳄鱼：我会不会吃掉你的孩子？答对了，我就把孩子不加 伤害地还给你。
母亲：你要吃掉我的孩子。
鳄鱼：呣……。我怎么办呢？如果我把孩子交还你，你就 说错了。我应该吃掉他。
母亲：可是你必须交给我。如果你吃了我的孩子，我就说 对了，你就得把他交回给我 。
唐·吉诃德悖论
三：一系列推理看起来好像无懈可击，可是却 导致逻辑上自相矛盾。
有些话，既是对的，又是错的； 有些事，既不是真的，也错的。
上面这个句子对吗？如果是对的，这句话就是 错的！如果这句话是错的，那这个句子就对了！
例8：理发师悖论
告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸， 我也只给这些人刮脸。
那么请问：这位理发师给不给他自己刮脸呢？
如果他自己刮脸，那他就属于自己刮脸的那类人。但 是，他的招牌说明他不给这类人刮脸，因此他不能自 己来刮脸。
如果另外一个人来给他刮脸，那他就是不自己刮脸的人。 但是，他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任 何人也不能给他刮脸。看来，没有任何人能给这位理发 师刮脸了！
请问一块钱哪儿去了？
二：种论断看起来好像肯定错了，但实际上 却是对的（佯谬）。
例如：自然数集和偶数集哪个元素多？
自然数集：1, 2,3, 4, , n
世界十大烧脑逻辑题
世界十大烧脑逻辑题在人类智慧的宝库中，逻辑推理题一直以其独特的魅力占据着重要的地位。
它们挑战我们的思维极限，激发我们的创造力，让我们在寻找答案的过程中感受到思考的乐趣。
以下是世界十大烧脑逻辑题，涵盖了数字谜题、图形推理、逻辑悖论、侦探推理、数学难题、决策困境、空间想象、语言谜题、脑筋急转弯和综合推理等丰富多样的内容。
世界十大烧脑逻辑题有多种版本，本人整理出比较趋于一致意见的前十道题目，与爱好者分享。
1、世界上最难的数独数独是大家玩得最多的谜题，相关分析文章比比皆是，因此找出最难的一道数独谜题也绝非易事。
在2012年，芬兰数学家Arto Inkala宣布创作出了”世界上最难的数独谜题“。
按照数独难度的分级，最简单的为一颗星，最难的为五颗星，上述谜题获得了11颗星。
2、世界上最难的逻辑谜语有A,B,C三个精灵，其中一个只说真话，另外一个只说假话，还有一个随机地决定何时说真话，何时说假话。
你可以向这三个精灵发问三条是非题，而每条问题只可问一只精灵，而你的任务是从他们的答案中找出谁说真话，谁说假话，谁是随机答话。
这个难题困难的地方是这些精灵会以”Da“或”Ja“回答，但你并不知道它们的意思，只知道其中一个字代表”对“，另外一个字代表”错“。
你应该问哪三条问题呢？美国哲学家和逻辑学家George Boolos 详尽描述了这款由Raymond Smullyan创作的谜题并刊登在1996年的Harvard Review of Philosophy一书中，并称其为世界上最难的谜3、世界上最难的射手独数射手数独与普通数独很相似，只不过其提示信息都藏在了每一小块的数字之和中。
通过分析高得分的谜题数据，我统计出了每道谜题发布当天的玩家解题百分比。
很显然地，发布于2012年11月9日的这道射手数独当之无愧的成为了最难的射手数独。
4、最难的“邦加德问题“这类谜题最早出现在1967年的Mikhail Moiseevich Bongard 一书中。
辛普森悖论 奥数题
辛普森悖论奥数题辛普森悖论是统计学中的一个悖论，于1951年由英国统计学家约翰・辛普森提出。
该悖论是指当我们仅仅依靠统计数据做出决策时，我们可能会得出与经验相悖的结论。
辛普森悖论通常以一个经典的奥数题为例进行说明。
假设有两个学校，分别为学校A和学校B。
学校A有40%的男生和60%的女生，而学校B有50%的男生和50%的女生。
现在有两个班级，分别为班级1和班级2。
在班级1中，男生的数目远远超过了女生；而在班级2中，女生的数目远远超过了男生。
我们要通过选择一个班级来确定其中一个班级男生比例更高。
现在，你选择了班级1，并发现班级1中有60%的男生，而班级2中有55%的男生。
你得出结论：学校A男生比例高于学校B。
然而，这个结论是错误的。
在严格的统计学角度来看，我们应该将两个班级的男女生人数加总后再计算比例。
在学校A中，总共有100名学生，其中40名是男生。
而在学校B中，总共有100名学生，其中50名是男生。
所以，学校A的男生比例为40%，而学校B的男生比例为50%。
这样，我们得出正确的结论：学校B的男生比例更高于学校A。
辛普森悖论的关键就在于它忽略了样本量的重要性。
在这个例子中，班级1和班级2的样本量是不同的，这导致了结论的错误。
辛普森悖论警示我们，在做出决策时，我们不能仅仅依赖一个样本或者对某个样本的部分数据进行分析和判断，而是应该综合考虑全部数据，包括样本量的大小。
辛普森悖论在现实生活中也有许多应用。
比如，在医疗领域，如果某项治疗在多个小规模的研究中都被证明有效，但在整体规模较大的研究中发现效果并不明显，那么我们应该更倾向于相信整体规模较大的研究结果。
因为在综合考虑全部数据后，我们可能会发现这项治疗并不如我们一开始所期望的那样有效。
总的来说，辛普森悖论告诫我们在进行数据分析和做出决策时要谨慎，不能仅仅依赖部分数据或片面的结论，而是应该全面考虑全部数据，并注意样本量的影响。
只有这样，我们才能得出准确且可靠的结论。
悖论推理题
悖论推理题（实用版）目录1.悖论推理题的定义与特点2.悖论推理题的类型与例子3.如何解决悖论推理题4.悖论推理题在逻辑思维训练中的作用正文一、悖论推理题的定义与特点悖论推理题，又称悖论题或推理悖论，是一种具有特殊性质的逻辑推理题。
它的特点是：题目中给出的陈述或条件似乎互相矛盾，令人难以判断其真假。
悖论推理题要求应试者运用逻辑思维，分析并解决这些看似矛盾的问题。
二、悖论推理题的类型与例子1.类型一：经典悖论经典悖论推理题的代表是“谎言者悖论”。
题目描述如下：在一个村庄里，有一个人总是说谎，另一个人总是说实话。
有一天，他们被问到是否是同一个人，结果两人都回答“是”。
那么，他们是同一个人还是不同的两个人？2.类型二：矛盾陈述矛盾陈述类型的悖论推理题通常包含两个或多个相互矛盾的陈述，要求应试者判断其真假。
例如：“所有的猫都会飞”和“所有的猫都不会飞”，这两个陈述中必有一真一假，应试者需要通过分析找到正确答案。
三、如何解决悖论推理题解决悖论推理题的关键在于运用逻辑思维，从题目给出的条件中寻找潜在的矛盾或悖论，并通过分析、推理找出正确答案。
具体方法如下：1.充分挖掘题目中给出的条件，分析其内在联系和逻辑关系。
2.尝试从多个角度审视问题，寻找可能的悖论或矛盾。
3.运用逻辑推理方法，如归谬法、反证法等，逐步排除错误选项，逼近正确答案。
四、悖论推理题在逻辑思维训练中的作用悖论推理题在逻辑思维训练中具有重要作用，它可以：1.提高应试者的逻辑思维能力，培养其敏锐的洞察力和分析能力。
2.锻炼应试者面对复杂问题时的判断力和决策能力。
3.帮助应试者学会从多个角度审视问题，提高其综合素质和创新能力。
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数学悖论推理题1=2？史上最经典的“证明”设?a = b?，则?a·b = a^2?，等号两边同时减去?b^2?就有?a·b - b^2 = a^2 - b^2?。
注意，这个等式的左边可以提出一个?b?，右边是一个平方差，于是有?b·(a - b) = (a + b)(a - b)?。
约掉?(a - b)?有?b = a + b。
然而?a = b?，因此?b = b + b?，也即?b = 2b?。
约掉?b?，得?1 = 2?。
这可能是有史以来最经典的谬证了。
?Ted Chiang?在他的短篇科幻小说?Division by Zero?中写到：引用There is a well-known “proof” that demonstrates that one equals two. It begins with some definitions: “Let a = 1; let b = 1.” It ends with the conclusion “a = 2a,” that is, one equals two. Hidden inconspicuously in the mi ddle is a division by zero, and at that point the proof has stepped off the brink, making all rules null and void. Permitting division by zero allows one to prove not only that one and two are equal, but that any two numbers at all—real or imaginary, rational or irrational—are equal.这个证明的问题所在想必大家都已经很清楚了：等号两边是不能同时除以?a - b?的，因为我们假设了?a = b?，也就是说?a - b?是等于?0?的。
无穷级数的力量?(1)小学时，这个问题困扰了我很久：下面这个式子等于多少？1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …一方面：1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …= [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + …= 0 + 0 + 0 + …= 0另一方面：1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …= 1 + [(-1) + 1] + [(-1) + 1] + [(-1) + …= 1 + 0 + 0 + 0 + …= 1这岂不是说明?0 = 1?吗？后来我又知道了，这个式子还可以等于?1/2?。
不妨设?S = 1 + (-1) + 1 + (-1) + …?，?于是有?S = 1 - S，解得?S = 1/2?。
学习了微积分之后，我终于明白了，这个无穷级数是发散的，它没有一个所谓的“和”。
无穷个数相加的结果是多少，这个是需要定义的。
无穷级数的力量?(2)同样的戏法可以变出更多不可思议的东西。
例如，令x = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …则有：2x = 2 + 4 + 8 + 16 + …于是：2x - x = x = (2 + 4 + 8 + 16 + …) - (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = -1也就是说：1 +2 + 4 + 8 + 16 + … = -1平方根的阴谋?(1)定理：所有数都相等。
证明：取任意两个数?a?和?b?，令?t = a + b?。
于是，a +b = t(a + b)(a - b) = t(a - b)a^2 - b^2 = t·a - t·ba^2 - t·a = b^2 - t·ba^2 - t·a + (t^2)/4 = b^2 - t·b + (t^2)/4(a - t/2)^2 = (b - t/2)^2a - t/2 =b - t/2a = b怎么回事儿？问题出在倒数第二行。
永远记住，?x^2 = y^2?并不能推出?x = y?，只能推出?x = ±y?。
平方根的阴谋?(2)1 = √1 = √(-1)(-1) = √-1·√-1 = -1嗯？只有?x?、?y?都是正数时，?√x·y = √x·√y?才是成立的。
-1?的平方根有两个，?i?和?-i?。
?√(-1)(-1)?展开后应该写作?i·(-i)?，它正好等于?1?。
复数才是王道考虑方程x^2 + x + 1 = 0移项有x^2 = - x - 1等式两边同时除以?x?，有x = - 1 - 1/x把上式代入原式中，有x^2 + (-1 - 1/x) + 1 = 0即x^2 - 1/x = 0即x^3 = 1也就是说?x = 1。
把?x = 1?代回原式，得到?1^2 + 1 + 1 = 0?。
也就是说，?3 = 0?，嘿嘿！其实，?x = 1?并不是方程?x^2 + x + 1 = 0?的解。
在实数范围内，方程?x^2 + x + 1 = 0?是没有解的，但在复数范围内有两个解。
另一方面，?x = 1?只是?x^3 = 1?的其中一个解。
?x^3 = 1?其实一共有三个解，只不过另外两个解是复数范围内的。
考虑方程?x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) = 0?，容易看出?x^3 = 1?的两个复数解正好就是x^2 + x + 1?的两个解。
因此，?x^2 + x + 1 = 0?与?x^3 = 1?同时成立并无矛盾。
注意，一旦引入复数后，这个谬论才有了一个完整而漂亮的解释。
或许这也说明了引入复数概念的必要性吧。
颇具喜剧色彩的错误众所周知，1 +2 +3 + … + n = n(n+1) / 2让我们用?n - 1?去替换?n?，可得1 +2 +3 + … + (n-1) = (n-1)n / 2等式两边同时加?1?，得：1 +2 +3 + … + n = (n-1)n / 2 + 1也就是n(n+1) / 2 = (n-1)n / 2 + 1展开后有n^2 / 2 + n / 2 = n^2 / 2 - n / 2 + 1可以看到?n = 1?是这个方程的唯一解。
也就是说???1 + 2 + 3 + … + n = n(n+1) / 2?仅在?n = 1?时才成立！这个推理过程中出现了一个非常隐蔽而搞笑的错误。
等式两边同时加?1?后，等式左边得到的应该是1 +2 +3 + … + (n-2) + (n-1) + 11?块钱等于?1?分钱？我要用数学的力量掏空你的钱包！请看：1?元?= 100?分?= (10?分)^2 = ?元)^2 = ?元?= 1?分用这个来骗小孩子们简直是屡试不爽，因为小学（甚至中学）教育忽视了一个很重要的思想：单位也是要参与运算的。
事实上，?“100?分?= (10?分)^2”?是不成立的，?“10?分”?的平方应该是?“100?平方分”，正如?“10?米”?的平方是?“100?平方米”?一样。
数学归纳法的杯具?(1)下面这个“证明”是由数学家?George Pólya?给出的：任意给定?n?匹马，可以证明这?n?匹马的颜色都相同。
对?n?施归纳：首先，当?n = 1?时命题显然成立。
若命题对?n = k?成立，则考虑?n = k + 1?的情形：由于?{#1, #2, …, #k}?这?k?匹马的颜色相同，?{#2, #3, …, #k+1 }?这?k?匹马也相同，而这两组马是有重叠的，可知这?k+1?匹马的颜色也都相同了。
这个证明错在，从?n = 1?推不出?n = 2?，虽然当?n?更大的时候，这个归纳是正确的。
这是数学归纳法出错的一个比较奇特的例子：基础情形和归纳推理都没啥问题，偏偏卡在归纳过程中的某一步上。
数学归纳法的杯具?(2)下面，我来给大家证明，所有正整数都相等。
为了证明这一点，只需要说明对于任意两个正整数?a?、?b?，都有?a = b?。
为了证明这一点，只需要说明对于所有正整数?n?，如果?max(a, b) = n?，那么?a = b?。
我们对?n?施归纳。
当?n = 1?时，由于?a?、?b?都是正整数，因此?a?、?b?必须都等于?1?，所以说?a = b?。
若当?n = k?时命题也成立，现在假设?max(a, b) = k + 1?。
则?max(a - 1, b - 1) = k?，由归纳假设知?a - 1 = b - 1?，即?a = b?。
这个问题出在，?a - 1?或者?b - 1?有可能不是正整数了，因此不能套用归纳假设。
所有三角形都是等腰三角形别以为谬证都是隐藏在数字和字母之中的。
下面就是一个经典的几何谬论。
画一个任意三角形?ABC?。
下面我将证明，?AB = AC?，从而说明所有三角形都是等腰三角形。
令?BC?的中垂线与?∠A?的角平分线交于点?P?。
过?P?作?AB?、?AC?的垂线，垂足分别是?E?、?F?。
由于?AP?是角平分线，因此?P?到两边的距离相等，即?PE = PF?。
于是，由?AAS?可知?△APE?≌△APF?。
由于?DP?是中垂线，因此?P?到?B?、?C?的距离相等，由?SSS?可知?△BPD?≌?△CPD?。
另外，由于?PE = PF?，?PB = PC?，且?∠BEP =?∠CFP = 90°?，由?HL?可知?△BEP?≌?△CFP?。
现在，由第一对全等三角形知?AE = AF?，由最后一对全等三角形知?BE = CF?，因此?AE + BE = AF + CF?，即?AB = AC?。
这个证明过程其实字字据理，并无破绽。
证明的问题出在一个你完全没有意识到的地方——这个图形就是错的！事实上，?BC?的中垂线与?∠A?的角平分线不可能交于三角形的内部。
我们可以证明，?P?点总是落在?△ABC?的外接圆上。
如图，?P?是?BC?的中垂线与外接圆的交点，显然?P?就是弧?BC?的中点，即弧?BP =?弧?PC?。
因此，?∠BAP =?∠CAP?，换句话说?P?恰好就在?∠A?的角平分线上。
?P?在?△ABC?外的话，会对我们的证明产生什么影响呢？你会发现，垂足的位置发生了本质上的变化——F?跑到?AC?外面去了！也就是说，结论?AE + BE = AF + CF?并不错，只是?AF + CF?并不等于AC?罢了。
一个可怕的逻辑错误下面这个勾股定理的“证明”曾经发表在?1896?年的?The American Mathematical Monthly?杂志上：假设勾股定理是正确的，于是我们可以得到AB^2 = AC^2 + BC^2BC^2 = CD^2 + BD^2AC^2 = AD^2 + CD^2把后两式代入第一个式子，有AB^2 = AD^2 + 2·CD^2 + BD^2但?CD^2 = AD·BD?，因此AB^2 = AD^2 + 2·AD·BD + BD^2即AB^2 = (AD + BD)^2即AB = AD + BD而这显然成立。