12 不等式的基本性质 完美版
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练习 比较两数(a2 +1)2与 a4+a2+1的值的大小。
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例题讲解
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6.不能把质朴、理性的爱国主义视为 民粹主 义、狭 隘民族 主义， 同时应 防止各 种形式 的民粹 主义和 极端民 族主义 行为。
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7. 众多短视频平台成为人们的消遣神 器，但 如果缺 乏内容 创新和 内涵续 航，短 视频的 发展将 不容乐 观。
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8. 在这个浅表性阅读时代，越是具有 艺术美 感、内 容穿透 力和人 文内涵 的走心 作品越 能获得 观众的 认可。
性质5：如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd.不等式的叠乘性质
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谢谢
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1.中美贸易摩擦已升级为舆论战，坚 持正确 舆论导 向、弘 扬爱国 主义精 神尤为 重要。
•
2.爱国主义精神具有深厚的历史性， 极强的 传承力 、感染 力，以 及坚韧 性，顽 强性和 理性。
•
3.爱国主义精神，是在中国共产党近 百年之 奋斗史 中不断 形成， 积聚与 升华而 成的。
•
4.面对史上规模最大的贸易战，中国 政府和 人民最 重要的 是“集中 力量做 好自己 的事”
1.2不等式的基本性质(孙晋利)
作业：A组：P9:习题1.2的1、2题
B组：习题1.2的3、4题
第十八页，编辑于星期四：十六点 二十一分。
（2）a与2a
第十五页，编辑于星期四：十六点 二十一分。
题组 训练 有一个两位数，个位上 三： 的数字是a，十位数上数
字是b；对调个位、十位 数字得一新两位数，且 新两位数大于原两位数。 a与b哪个大，哪个小？
第十六页，编辑于星期四：十六点 二十一分。
●课堂小结
自己归纳一下 本节课你有什么收获？
2、设 a<b , 用“<”或“>”号填空
（1）a+1_<_b+1 (2) a-3__b<-3
（3）3a_<_3b (4) -a__>-b
( 5 ) a _<_ _ b
44
( 6 ) 2 a 3 _ >_ 2 b 3
第十四页，编辑于星期四：十六点 二十一分。
题组 训练 二： 比较大小：
（1）a与a+2：
用刚才的方法研究:
不等式有没有这样 的性质？
不等式应该有什么 样类似的性质?
第五页，编辑于星期四：十六点 二十一分。
探究： ∵ 3 < 7
∴ 3×2_<_ 7×2 ∴ 3 1 _<_ 7 1
归纳： 2 2
不等式基本性质2：不等式的两边 都乘以（或除以）同一个数，不
等式的方向不变。
第六页，编辑于星期四：十六点 二十一分。
于正方形的面积，即
l2 ＞ l 2
4
16
现在你能用不等式基本性质 解释(论证)这一猜想吗？
第八页，编辑于星期四：十六点 二十一分。
《不等式的基本性质》PPT课件
＞
＞
<
<
发现:当不等式两边加上或减去同一个数时,不等号的方向________
不变
探索与发现
如果a＞b,那么a+c b+c, a-c b-c.
如果a＜b,那么a+c b+c, a-c b-c;
(8)若-a＜b,则a -b.
(7)若a≥b,则2a 2b;
×(-3)
×(-3)
>
<
≥
>
先前后比较
再定不等号
设m＞n,用“＞”或“＜”填空。
(1) m-5____ n-5(2) m+4 ____ n+4(3) 6m ____ 6n(4) -3m ____ -3n
<
<
>
>
不等式两边都乘(或除以)一个不为零的数,不等号方向改不改变和什么有关？
思考
探索与发现
Ⅰ组:
Ⅱ组:
不变
改变
不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数，不等号的方向不变不等式的两边都乘以(或都除以)同一个负数，必须把不等号的方向改变.
如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc，如果a＞b，且c＜0，那么ac＜bc，
不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号方向改变.
作业
1、习题8.1第4、5、6、7题；2、选作：习题8.1第8题。
- .
1、观察下面两组式子:第一组：1+2=3; a+b=b+a; S = ab; 4+x = 7.第二组：-7 < -5; 3+4 > 1+4; 2x ≤6, a+2 ≥0; 3≠4.第一组都是 ，第二组是
不等式的基本性质
4
3
2
= 2x (x -1)+(1- x)(1+ x) 3 =(x -1)(2x - x -1) 2 = (x 1)(x 1)(2x 2x 1) 1 1 = (x -1) 2(x + 2) + 2 > 0
2 2
3
∴A>B
1、不等式的基本性质： ①对称性： a b b a
考点突破 利用不等式性质判断命题真假 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的 条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意 捏造性质．解有关不等式的简单判断和选择题时，
也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵
循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简
单，便于验证计算．
对于实数 a，b，c，下列命题中的真命题 是( ) A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 1 1 B．若 a＞b＞0，则a＞b b a C．若 a＜b＜0，则 ＞ a b 1 1 D．若 a＞b，a＞b，则 a＞0，b＜0
本专题知识结构
第一讲 不等式和绝对值不等式
不 等 式 选 讲
第二讲 证明不等式的基本方法 第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式
第一讲
不等式和绝对值不等式
1.不等式的基本性质
知识回顾
A B a b b>a B b
a>b
A a
a>b a-b>0
解：
2
2
2 2 2
4 2 4
4
,
4
不等式的基本性质--北师大版
6
2
解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上1，
得
x>2+1 ，
即
x >3 ;
（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以 -1，得
x ﹥ - —5 . 6
（3）根据不等式的基本性质2，两边都乘以2，得 x≤6
练一练
1、将下列不等式化成“ x>a” 或“x <a”的形式：
（3）3x + 2 > 5 ;
(5)－—1 a__＞__－—1 b；
3
3
※（6）ac2_≤____bc2 ( c 为有理数 )
作业： 习题1.2
（1）x – 5 > -1 ; (2) -2x > 3
解：
（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，
得
x > -1 + 5 ，
即 x >4 ;
（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以 -2，得 x < - —3 . 2
随堂练习
1、将下列不等式化成“ x > a” 或“x < a”的形式：
（1）x – 1 > 2 ; (2) -x ﹤5 ；（3）1 x 3
(4) -2x ﹤1
解：
（3）根据不等式的基本性质1，两边都减去2，得 3x > 3 ，
再根据不等式基本性质3，两边都除以3，得
x >1 ;
（4）根据不等式的基本性质3，两边都除以 -2，得 x ﹤ - —1 . 2
随堂练习
2、已知x﹥y，下列不等式一定能成立吗？
（1）x - 6﹤y - 6
不成立
不等式的基本性质 1 ： 不等式的两边都加上（或减去）同一个整 式，不等号的方向不变。
不等式的基本性质[整理] [其它]
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第34课 不等式的基本性质【考点指津】1．不等式的概念用不等号（>、<或≠）联结而成的式子叫做不等式．2．两个实数大小的比较设a 、b ∈R ，则a>b 0>-⇔b a ，0<-⇔<b a b a ，这是比较两个实数大小和运用比较法的根据．3．不等式的性质性质1 a b b a <⇔> （对称性）性质2 a>b ，c a c b >⇒> （传递性）性质3 a>b ，c b c a +⇒+性质4 a>b ，bc ac c >⇒>0，a>b ，bc ac c <⇒<0以上是不等式的基本性质，以下是不等式的运算性质．性质5 a>b ，d b c a d c +>+⇒> （加法法则）性质6 a>b>0，bd ac d c >⇒>>0 （乘法法则）性质7 a>b>0，n n b a N n >⇒∈* （乘方法则）性质8 a>b>0，n n b a N n >⇒∈* （开方法则）不等式性质在证明不等式和解不等式中有广泛的应用，它也是高考的热点，通常是以客观题形式考查某些性质，有时在证不等式或解不等式过程中间接考查不等式性质． 在复习中，对不等式性质的条件与结论，要彻底弄清，特别是对不等式两边平方、开方或同乘上某个数（或式子）时，要注意所得不等式与原不等式是否同向，否则在解题时往往因忽略了某些条件而造成错误． 从知识的联系上看，不等式的性质与函数的单调性是相互联系的，因此比较一些实数大小的问题，从不等式性质与函数性质结合的角度去认识是必要的．【知识在线】1．下列命题中，正确的命题是（ ）①若a>b ，c>b ，则a>c ； ②a>b ，则0lg >ba ； ③若a>b ，c>d ，则ac>bd ； ④若a>b>0，则b a 11<；⑤若db c a >，则ad>bc ； ⑥若a>b ，c>d ，则a-d>b-c ． A ． ①② B ． ④⑥ C ． ③⑥ D ． ③④⑤2．下列命题中，正确的命题是（ ）A ．a 3>b 3，ab>0ba 11>⇒ B ． m>n>0，a>0a a n m >⇒ C ．b ac b c a >⇒> D ． a 2>b 2，ab>0ba 11<⇒ 3．下列命题中正确的是（ ）A ．若|a|>b ，则a 2>b 2B ． 若a>b>c ，则(a-b)c>(b-a)cC ． 若a>b ，c>d ，则a-b>c-dD ． 若a>b>0，c>d>0，即c bd a > 4．下列命题中，正确的命题是（ ）A ． 若ac>bc ，则a>bB ． 若a 2>b 2，则a>bC ． 若ba 11>，则a<b D ． 若b a <，则a<b 5．设命题甲：x 和y 满足⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x 命题乙：x 和y 满足⎩⎨⎧<<<<3210y x ，那么（ ）A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【讲练平台】例1（2000年全国卷） 若a>b>1，P=b a lg lg ⋅，)lg (lg 21b a Q +=，)2lg(b a R +=，则（ ）．A ． R<P<QB ． p<Q<RC ． Q<P<RD ． P<Q<R分析一 借助对数函数单调性用基本不等式求解．解法一 ∵ a>b>1，∴ lga>lgb>0． ∴2lg lg lg lg b a b a +<⋅，即P<Q ．又∵2b a ab +<， ∴ 2lg lg b a ab +<． ∴ )2lg()lg (lg 21b a b a +<+，即Q<R ． ∴ P<Q<R ，故选B ．分析二 用特殊值法解解法二 取a=10000，b=100，则lga=4，lgb=2．∴ P=22，Q=3，R=lg5050．显然P<Q ，R=lg5050>lg1000=3=Q ．∴可排除A 、C 、D ． 故选B ．点评 不等式性质的考查常与幂函数、指数函数和对数函数的性质的考查结合起来，一般多以选择题的形式出现． 此类题目要求考生有较好、较全面的基础知识，一般难度不大．例2 若函数f(x)，g(x)的定义域和值域为R ，则f(x)>g(x)（x ∈R ）成立的充要条件是（ ）．A ． 有1个x ∈R ，使得f(x)>g(x)B ． 有无穷多个x ∈R ，使得f(x)>g(x)C ． 对R 中任意的x ，都有f(x)>g(x)+1D ． R 中不存在x ，使得f(x)≤g(x)分析 4个命题的关系在证明问题过程中经常使用． 原命题：若A 成立，则B 成立，逆命题：若B 成立，则A 成立；否命题：若A 成立则B 成立；逆否命题：若B 成立，则A 成立． 其中A ⇒B 与A B ⇒互为充要条件．由于对任意x ∈R ，f(x)>g(x)成立的逆否命题为：在R 中不存在x ，使f(x)≤g(x)成立． 答 选D ．点评 本题也可通过构造特殊函数，采用排除法解决． 值得强调的是：不等式的性质的考查方向将更加注重基础性、全面性． 题型灵活多变．例3 已知1≤a+b ≤5，-1≤a-b ≤3，求3a-2b 的取值范围．分析 本题应视a+b 与a-b 为两个整体．解 设a+b=u ，a-b=v ，则2v u a +=，2v u b -=． ∴v u b a 252123+=-． 由已知1≤u ≤5，-1≤v ≤3，易得-2≤3a-2b ≤10．点评 本题常见的错误解法是：由已知，得0≤a ≤4，-1≤b ≤3．进一步，得0≤3a ≤12，-6≤-2b ≤2．从而，得-6≤3a-2b ≤14．由解题过程知，u 与v 各自独立地在区间[1，5]与[-1，3]内取值，从而知v u 2521+可取[-2，10]内的一切值．在错误解法中，得到的0≤a ≤4，-1≤b ≤3已不表明a 与b 可各自独立地在区间[0，4]与[-1，3]内取值了． 如a=4，b=3，a+b=7已不满足1≤a+b ≤5． 得到的区间[0，4]与[-1，3]应这样理解：对于任意给定的p ∈[1，5]与q ∈[-1，3]，存在a ∈[0，4]，b ∈[-1，3]，使得a+b=p ，a-b=q ．不等式的性质与等式的性质不一样，一般不具有可逆性． 掌握不等式性质时要谨防与等式性质做简单类比而致错．【知能集成】1．对不等式性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一性质的条件和结论、注意条件的放宽和加强，以及条件与结论之间的相互联系；不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面． 单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础． 因为解不等式要求的是同解变形．2．高考试题中，对不等式性质的考查主要是：(1) 根据给定的条件，利用不等式的性质、判断不等式或与之有关的结论是否成立．(2) 利用不等式的性质与实数的性质、函数性质的结合，进行数值大小的比较．(3) 判断不等式中条件与结论之间的关系，是充分条件或必要条件或充分必要条件．3．要注意不等式性质成立的条件，例如：在应用“a>b ，ab>0b a 11<⇒”这一性质时． 有些同学要么是弱化了条件得a>b b a b 1<⇒． 要么是强化了条件而得ba b a 110<⇒>>． 【训练反馈】1．（2001年上海春招卷）若a 、b 是实数，则a>b>0是a 2>b 2的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分条件也非必要条件2．若a>b ，c>d ，则下列不等关系中不一定成立的是（ ）A ． a-d>b-cB ． a+d>b+cC ． a-c>b-cD ． a-c<a-d3．已知a 、b 、c ∈R ，则下面推理中正确的是（ ）A ． a>b ⇒am 2>bm 2B ．b ac b c a >⇒> C ． a 3>b 3，ab>0b a 11<⇒ D ． a 2>b 2，ab>0ba 11<⇒ 4．（1999年上海卷）若a<b<0，则下列结论中正确的是（ ）A ．不等式b a 11>和||1||1b a >均不能成立 B ．不等式a b a 11>-和||1||1b a >均不能成立 C ．不等式a b a 11>-和22)1()1(ab b a +>+均不能成立 D ．不等式||1||1b a >和22)1()1(a b b a +>+均不能成立 5．当0<a<b<1时，下列不等式中正确的是（ ）A ． b b a a )1()1(1->-B ． (1+a)a >(1+b)bC ． a b a a )1()1(->-D ． b a b a )1()1(->-6．（2001年北京春招卷）若实数a 、b 满足a+b=2，则3a +3b 的最小值是（ ）A ． 18B ． 6C ． 32D ． 4327．a 、b 为不等的正数，k ∈N*，则(ab k +a k b)-(a k+1+b k+1)的符号为（ ）A ． 恒正B ． 恒负C ． 与a 、b 大小有关D ． 与k 是奇数或偶数有关8．不等式2>+xy y x 成立的充要条件是（ ） A ． x>y B ． x ≠y C ． x ≠y 或xy>0 D ． x ≠y 且xy>09．（2000年北京春招卷）已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图，则（ ）A ． )0,(-∞∈bB ． )1,0(∈bC ． )2,1(∈bD ． ),2(+∞∈b10．已知1≤a+b ≤4，-1≤a-b ≤2，则4a-2b 的取值范围为________．11．已知三个不等式：①ab>0，②bd a c ，③bc>ad ． 以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确的命题，请用序号写出它们． 即_______． （把所有正确的命题都填上）12．已知f(x)=ax 2-c ，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，试求f(3)的最大值与最小值．。
不等式的基本性质--北师大版
1 1 3 ( ) 2 ( ) ______ > 2 2
.
从以上能发现什么？可以得到什么结论？
不等式的基本性质 2 ：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个 正数，不等号的方向 不变 .
不等式的基本性质 3 ： 不等式的两边都乘以（或除以）同一个 负数，不等号的方向 改变 .
应用新知
将下列不等式化成“x>a” 或“x<a”的形式：
（1）x – 5 > -1 ; (2) -2x > 3 解： （1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5， 得 x > -1 + 5 ， 即 x >4 ;
（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以 -2，得 3 x <- — . 2
随堂练习
1 5 （1）x – 1 > 2 ; (2) -x ﹤ ；（3） x 3 2 6
不成立不成立ຫໍສະໝຸດ 成立成立（5）-4x + 2﹤-4y + 2 成立
练一练
3、已知 a﹤b，用“＜”或“＞”号填空：
＜ －4； (1) a－4____b
＜ (2)3a____3b ；
(3)－a－2____ ＜ ； ＞ －b －2； (4)a－b____0
1 1 ＞ (5)－—a____－—b； 3 3
不等式的基本性质
什么数学知识与不 等式关系最近? 那当然是等式了!
那就让我们从等式 的基本性质入手吧!
（1）请同学们回顾 等式的基本性质；
1、等式两边同时加上（或减去）同一个代数式， 所得结果仍是等式。
2、等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不 为0的数），所得结果仍是等式。
（2）如果在不等式的两边都加上或减去同一个
不等式的基本性质PPT课件
从以上能发现什么？可以得到什么结论？
-
3
不等式的基本性质 2 ： 不等式的两边都乘以（或除以）同一个
正数，不等号的方向 不变.
不等式的基本性质 3 ： 不等式的两边都乘以（或除以）同一个
负数，不等号的方向 改变.
-
4
例题
将下列不等式化成“x>a” 或“x<a”的形式：
（1）x – 5 > -1 ; (2) -2x > 3 解： （1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得
； https:///huanshoulv/ 换手率 ；
代化の口吻是陆羽教她の,林师兄和导师们全是研习古文学の精英,万万不能被他们看出端倪.婷玉の存在,陆羽对谁都不敢说.既诧异对方の行礼姿势标准,林师兄礼貌而客套地颔首回礼.“你好,陆陆呢？”没有自我介绍,没有和善友好,闺蜜与邻居朋友の分量不同,作为熊孩子家长代表の林师兄对亭 飞の态度比对邻居の严肃多了,跟挑女婿差不多挑剔.毕竟,好闺蜜千金难觅,坏闺蜜随时变小蜜,不得不看仔细.“在楼上收拾书籍.”婷玉并无不悦.林师兄点点头,“你也抓紧收拾收拾,明天一早离开.”恰巧陆羽听见动静赶紧从二楼下来,“这么快？不看日出了？”“没时间了,老师传了一些资料回 来,妙妙搞不定.”唉,如果是她在办公室就好了,他爱什么时候回就什么时候回.“哦,这样,”陆羽想了想,“要不师兄先走？我今晚通知房东明早过来办理钥匙交接,就怕他迟迟不来耽误你の时间.你不用担心我,我跟亭飞自己坐车就好.”卓文鼎师徒没开车来,问问他们要不要一起走,正好有伴.“也 行.”林师兄の确没时间等.不过,他在晚上搬书籍和大件行李去休闲居の时候,拜托大家伙明早帮忙看着以免陆羽又被人刁难.幸运の是,第二天一早,周定康如约前来接收房子,拿过钥匙便兴冲冲地去了何玲家.陆羽无暇理会他去哪儿,她牵着四只汪抱着小
不等式的基本性质--北师大版
（1）x – 5 > -1 ; (2) -2x > 3 解： （1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5， 得 x > -1 + 5 ， 即 x >4 ;
（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以 -2，得 3 x <- — . 2
随堂练习
1 5 （1）x – 1 > 2 ; (2) -x ﹤ ；（3） x 3 2 6
（3）3x + 2 > 5 ;
(4) -2x ﹤1
解：
（3）根据不等式的基本性质1，两边都减去2，得 3x > 3 ， 再根据不等式基本性质3，两边都除以3，得 x >1 ; （4）根据不等式的基本性质3，两边都除以 -2，得 1 . x ﹤-— 2
随堂练习
2、已知x﹥y，下列不等式一定能成立吗？ （ 1） x - 6 ﹤ y - 6 （2）3x ﹤ 3y （3）-2x ﹤-2y （4）2x + 1﹤2y + 1
得
即 1、将下列不等式化成“ x > a” 或“x < a”的形式：
解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上1，
x>2+1 ， x >3 ;
（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以 -1，得 5 . x ﹥-— 6 （3）根据不等式的基本性质2，两边都乘以2，得 x≤6
练一练
1、将下列不等式化成“ x>a” 或“x <a”的形式：
不成立
不成立 成立
成立
（5）-4x + 2﹤-4y + 2 成立
练一练
3、已知 a﹤b，用“＜”或“＞”号填空：
＜ －4； (1) a－4____b
＜ (2)3a____3b ；
1.2 不等式的基本性质
(3) 2x 2y;
(4) 2x 1 2y 1.
自学检测
4、将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：
(1) x 1 2;
(2) x 5 ; 6
(3) 1 x 3. 2
巩固练习 5、将下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：
(1) x 3 1;
3 2n . 4
合作交流 ⅱ、用不等式的基本性质解释 l 2 l 2 的正确性。
16 4 4 16
1 1
4 16
根据不等式基本性质2，两边都乘以l2，得 l2 l2
4 16
巩固练习 3、已知x>y，下列不等式一定成立吗？
(1) x 6 y 6;
(2) 3x 3y;
(2) 3x 27;
(3) x 5; 3
(4) 5x 4x 6.
自学检测
同桌的甲、乙两名同学，争论着一个问题：
甲同学说：“5a＞4a。”乙同学说：“这不可能。
请你评说一下两名同学的观点究竟哪个正确？为 什么？举例说明。
六、归纳小结：
1.本节重点
(1)掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质3； (2)能正确应用性质对不等式进行变形；
(1) 42 62;
(3) 40 60;
(2) 4 6 ; 22
对比“等式基本性质2”，你有什么想法？
新知归纳 不等式的基本性质：
(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不 等号的方向不变；
新知探究
Ⅲ、对于4<6，那么
(1) 4(2) 6(2); (2) 4
6;
2 2
(3) 4 ( 1) 6 ( 1).
不等式基本性质讲义
任意两个实数a、b的大小关系：①a-b>O⇔a>b；②a-b=O⇔a=b；③a-b<O⇔a<b．不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换;但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c。
二、例题分析：[例1]指出下面变形是根据不等式的哪一条根本性质。
〔1〕由2a＞5，得a＞〔2〕由a-7＞，得a＞7〔3〕由- a＞0，得a＜0 〔4〕由3a＞2a-1,得a＞-1。
[例2]设a＞b；用"＞"或"＜"号填空：〔1〕〔2〕a-5 b-5 〔3〕a b〔4〕6a 6b 〔5〕-〔6〕-a -b变式练习：1、设a<b，用“<〞或“>〞填空．〔1〕a－1____b－1；〔2〕a+1_____b+1；〔3〕2a____2b；〔4〕－2a_____－2b；〔5〕－a2_____－b2；〔6〕a2____b2．2．根据不等式的根本性质，用“<〞或“>〞填空．〔1〕假设a－1>b－1，那么a____b；〔2〕假设a+3>b+3，那么a____b；〔3〕假设2a>2b，那么a____b；〔4〕假设－2a>－2b，那么a___b．3．假设a>b，m<0，n>0，用“>〞或“<〞填空．〔1〕a+m____b+m；〔2〕a+n___b+n；〔3〕m－a___m－b；〔4〕an____bn；〔5〕am____bm；〔6〕an_____bn；4．以下说法不正确的选项是〔〕A ．假设a>b ，那么ac 2>bc 2〔c ≠0〕 B ．假设a>b ，那么b<a C ．假设a>b ，那么－a>－b D ．假设a>b ，b>c ，那么a>c [例3]不等式的简单变形根据不等式的根本性质，把以下不等式化为x>a 或x>a 的形式： 〔1〕x －3>1； 〔2〕132->-x ；〔3〕3x<1+2x ； 〔4〕2x>4．[例4]［学科综合］1．实数a 、b 、c 在数轴上对应的点如图13－2－1所示，那么以下式子中正确的选项是〔 〕A ．bc>abB ．ac>abC ．bc<abD ．c+b>a+b2．关于x 的不等式〔1－a 〕x>2变形为ax -<12，那么1－a 是____数． [例5]如下图，一个已倾斜的天平两边放有重物，其质量分别为a 和b ，如果在天平两边的盘内分别加上相等的砝码c ，看一看，盘子仍然像原来那样倾斜吗？趣味数学〔1〕A 、B 、C 三人去公园玩跷跷板，如图13－2－3①中，试判断这三人的轻重． 〔2〕P 、Q 、R 、S 四人去公园玩跷跷板，如图13－2－3②，试判断这四人的轻重．三、根底过关训练：1．如果m ＜n ＜0，那么以下结论中错误的选项是〔 〕 A ．m －9＜n －9 B ．－m ＞－n C ．11n m > D ．1mn> 2．假设a －b ＜0，那么以下各式中一定正确的选项是〔 〕A ．a ＞bB ．ab ＞0C ．0ab< D ．－a ＞－b 3．由不等式ax ＞b 可以推出x ＜ba，那么a 的取值范围是〔 〕A ．a ≤0B ．a ＜0C ．a ≥0D ．a ＞0 4．如果t ＞0，那么a ＋t 与a 的大小关系是〔 〕A ．a ＋t ＞aB ．a ＋t ＜aC ．a ＋t ≥aD ．不能确定 5．如果34a a<--，那么a 必须满足〔 〕 A ．a ≠0 B ．a ＜0 C ．a ＞0 D ．a 为任意数6．有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如下图，那么以下式子正确的选项是〔 〕 A ．cb ＞ab B ．ac ＞ab C ．cb ＜ab D ．c ＋b ＞a ＋b7．有以下说法：〔1〕假设a ＜b ，那么－a ＞－b ； 〔2〕假设xy ＜0，那么x ＜0，y ＜0； 〔3〕假设x ＜0，y ＜0，那么xy ＜0； 〔4〕假设a ＜b ，那么2a ＜a ＋b ；cb 0 a 6题【课内练习】1． 〔1〕用“＞〞号或“＜〞号填空，并简说理由。
《不等式的性质》-完整版课件
易错疑难辨析
已知 1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求 3a－2b 的 取值范围．
[错解] ∵1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3， ∴两式相加可得 0≤a≤4. 又∵1≤a＋b≤5，－3≤b－a≤1， ∴两式相加可得－1≤b≤3. ∴0≤3a≤12，－6≤－2b≤2， ∴－6≤3a－2b≤14. [辨析] 错误的原因是“由 1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3， 得出 0≤a≤4，－1≤b≤3”的过程是一个不等价变形．
1 课前自主预习
3 易错疑难辨析
2 课堂典例讲练
4 课时作业
课前自主预习
• 清丽、优美的芭蕾舞剧《睡美人》序 曲奏响了，一名女演员双手抚摸着短 裙，眼里闪烁着倔强和自信的目 光．只见她踮起脚尖，一个优雅的旋 转，轻盈地提着舞裙，飘然来到台上， 那飘洒翩跹的舞姿把整个舞台化成一 个梦境……她为什么要踮起脚尖呢？
• ①c的正、负或是否为零未知，因而判断ac与bc大小缺乏依据，故①错 误．
• ②若a>b，c>b，则a>c，不符合不等式的传递性，故②错误．
③若 a>0>b，则ab<0，lgab无意义，故③错误． ④当ac>bd且 cd<0 时，则 ad<bc，故④错误． ⑤若 c>d，则－d>－c， 又 a>b，∴a＋(－d)>b＋(－c)，即 a－d>b－c，故⑤正确． 综上可知，①、②、③、④错误，⑤正确，故选 C．
⇒－ac>－bD．
又 c<0，d<0⇒c－d>ac0>－bd
⇒－acdc>－bcdd⇒－ad>－bc⇒ad<bc.
[点评] 本题的难点在于找到由已知证结论的合理“线 路”，而要寻找到合理“线路”，就要消灭已知与结论的差异
不等式的概念和基本性质
不等式的概念和基本性质重点：不等式的基本性质难点：不等式基本性质的应用主要内容：１．不等式的基本性质（１）a>b b<a（２）a>b,b>c a>c（３）a+b<c a<c-ba>b a+c>b+c（４）a>b２．不等式的运算性质（１）加法法则：a>b,c>d a+c>b+d（２）减法法则：a>b,c>d a-d>b-c（３）乘法法则：a>b>0,c>d>0ac>bd>0（４）除法法则：a>b>0,c>d>0>>0（５）乘方法则：a>b>0,a n>b n>0 (n∈N, n≥2)（６）开方法则：a>b>0,>>0(n∈N, n≥2)３．基本不等式（１）a∈R,a2≥0 （当且仅当a=0时取等号）（２）a,b∈R,a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）（３）a,b∈R+,≥（当且仅当a=b时取等号）（４）a,b,c∈R+,a3+b3+c3≥3abc（当且仅当a=b=c时取等号）（５）a,b,c∈R+,≥（当且仅当a=b=c时取等号）（６）|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|４．不等式的概念和性质是进行不等式的变换，证明不等式和解不等式的依据，应正确理解和运用不等式的性质，弄清每条性质的条件与结论，注意条件与结论之间的关系。
基本不等式可以在解题时直接应用。
例１．对于实数a,b,c判断以下命题的真假（１）若a>b, 则ac<bc;（２）若ac2>bc2, 则a>b;（３）若a<b<0, 则a2>ab>b2; （４）若a<b<0, 则|a|>|b|;（５）若a>b, >, 则a>0, b<0．解：（１）因为c的符号不定，所以无法判定ac和bc的大小，故原命题为假命题。
《不等式的基本性质》PPT课件
基本性质2
等式两边都乘(或除 以)同一个不为零的 数,所得结果仍是等 式.
不等式两边都加(或减去)同 一个整式,不等号方向不变.
不等式两边都乘(或除以)同 一个正数,不等号方向不变; 不等式两边都乘(或除以)同 一个负数,不等号方向改变.
作业
• 1、习题8.1第4、5、6、7题；
• 2、选作：习题8.1第8题。
不不等等式式两两边边都都加加上(或(或减减去去) ) 同同一一个个整数式,不,不等等号号的的方方向向不不变变. .
如果a＜b,那么a+c < b+c, a-c b<-c; 如果a＞b,那么a+c > b+c, a-c b>-c.
小试牛刀
选择适当的不等号填空：
〔1〕∵0 ＜ 1, ∴ a ＜a+1( 不等式的根本性)质1
愿知识与您相伴 让我们共同成长 感谢您的阅读与支持
()
A.k+2>k-2 B.-6k>0
C.k>-k
D.k<-k
B
(2)a<b,以下不等式中错误的选项是 ( )
A.4a<4b
B.-4a<-4b
C.a+4<b+4 D.a-4<b-4
1、假设m>n，且am<an，那么a的取值应满 足条件〔 〕
A．a>0 B．a<0 C．a=0 D．a0 2、假设k<0,那么以下不等式中不成立的是( )
后不 比等
×(-3)
较号 (7)假设a≥b,那么2≥a
(28b);假设-a＜b,那么a> -
b.
设m＞n,用“＞〞或“＜〞填 空。
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5、判断正误：
(1)∵a+8＞4
(2)∵3＞2
∴a＞-4 (√ )
∴3a＞2a( ×)
(3)∵-1＞-2
(4)∵ab＞0
∴a-1＞a-2 ( √ ) ∴a＞0,b＞ 0( ×)
6、下列各题是否正确?请说明理由
(1)如果a＞b,那么ac＞bc (2)如果a＞b,那么ac2 ＞bc2 (3)如果ac2＞bc2,那么a＞b (4)如果a＞b,那么a-b＞0 (5)如果ax＞b且a≠0,那么x＞b/a
如果a b，那么 a c < b c
性质1，不等式的两边都加上（或减去） 同一个整式，不等号的方向不变.
不等式的基本性质
填空(1)：
填空(2)：
60 < 80 60 ×0.8 < 80 ×0.8
4>ห้องสมุดไป่ตู้ 4×5 > 3×5 4÷2 > 3÷2
性质2，不等式的两边都乘以（或除以） 同一个正数，不等号的方向不变。
B.3x2>2x2
C.3+x>2
D.3+x2>2
4、单项选择： (1)由 x＞y 得 ax＞ay 的条件是（ B ） A.a ≥0 B.a ＞ 0 C.a＜ 0 D.a≤0 (2)由 x＞y 得 ax≤ay 的条件是（ D） A.a＞0 B.a＜0 C.a≥0 D.a≤0 (3)由 a＞b 得 am2＞bm2 的条件是（ C ） A.m＞0 B.m＜0 C.m≠0 D.m是任意有理数 (4)若 a＞1，则下列各式中错误的是（ D ） A.4a＞4 B.a+5＞6 C. a ＜ 1 D.a-1＜0
7、利用不等式的基本性质填空，
（填“＜”或“＞”）
（1）若a＞b，则2a+1
（2）若－
5 4
y＜10，则y
（3）若a＜b，且c＞0，则
2b+1， －8，
ac+c
bc+ c，
（4）若a＞0，b＜0，c＜0，则
（a－b）c 0。
8、试一试：
比较2a与a的大小
(1)当a>0时，2a>a； (2)当a=0时，2a=a； (3)当a<0时，2a<a；
(6)∵a-1＜8本性质1
∴ a 4＞2b(不等2式基 )
∴ a ＜9(不等式基 )
本性质3
本性质1
11 醉翁亭记
1．反复朗读并背诵课文，培养文言语感。
2．结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路。
3．把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。
不等式的基本性质
什么数学知识与不 等式关系最近?
那当然是等式了!
那就让我们从等式 的基本性质入手吧!
等式基本性质1：等式的两边都加上 （或减去）同一个整式，等式仍旧 成立. 可能是正数也可能是负数
加(减)正数 3 < 7 加(减)负数 3+2_<_ 7+2 不等式 3+(-2)_<_ 7+(-2)
基本性 3-5_<_ 7-5 质1 3-(-5)_<_ 7-(-5)
不等式的两边都加上（或减去） 同一个整式，等式仍旧成立.
等式基本性质2：等式的两边都乘以 （或除以）同一个不为0的数，等式 仍旧成立.
用刚才的方法研究: 不等式有没有这样
的性质
不等式应该有什么 样类似的性质?
不等式的基本性质
填空: 60 < 80 60+10 < 80+10 60-5 < 80-5 60+a < 80+a
(1) 2a和a+1 (2)2a和a-1
六、归纳小结：
1.本节重点
(1)掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质3； (2)能正确应用性质对不等式进行变形；
2.注意事项
（1）要反复对比不等式性质与等式性质 的异同点；
（2）当不等式两边都乘以（或除以）同 一个数时，一定要看清是正数还是 负数；对于未给定范围的字母，应 分情况讨论.
如果a>b，c>0
，那么ac>b
c，
a c
b c
不等式的基本性质
填空：
4>3
4×(-1) < 3×(-1) 4×(-5) < 3×(-5) 4÷(-2) < 3÷(-2)
性质3，不等式的两边都乘以（或除以）
同一个负数，不等号的方向改变。
如果a>b，c<0
，那么ac<b
a c，c
b c
三、小结： 不等式的三条基本性质
1.用“＞”或“＜”在横线上填空，并在题
括号内填写理由.
(1)∵a＞b
(2)∵ a＞b
∴a-4 ＞b-4(不等式基 ) ∴ 4a＞ 4b(不等式基)
(3)∵3m＞5n 本性质1 (4)∵4x＞5x 本性质2
∴ -m＜ 5n(不等式基 ) ∴ x＜ 0(不等式基 )
(5)∵
a
＜
3
b本性质3
1. 不等式两边都加上（或减去）同一个 数或同一个整式，不等号的方向不变；
2. 不等式两边都乘（或除以）同一个 正数，不等号的方向不变；
3.*不等式两边都乘（或除以）同一个 负数，不等号的方向改变 ；
---如何用数学语言表示？ ---与等式的基本性质有什么联系与区别？
比较不等式与等式的基本性质
变形
关系式
两边都加上（或减去） 同一个整式
等式
仍成立
两边都乘以（或除以）
同一个正数
仍成立
两边都乘以（或除以）
同一个负数
仍成立
不等式
仍成立 仍成立
？
不等号的方向改变才成立
四、典型例题：
例1.根据不等式的基本性质，把下列不等式化 成x＜a或x＞a的形式：
(1) x-2＜ 3
(2) 6x＜ 5x-1
(3) 1/2 x＞5
(4) -4x＞3
解：(1)根据不等式基本性质1，两边都加上2，
得： x-2+2＜3+2
x＜5
(2)根据不等式基本性质1，两边都减去5x，
得： 6x-5x＜5x-1-5x
x＜-1
例2.设a＞b，用“＜”或“＞”填空：
a
(1)a-3 b-3 (2) 2
解：(1) ∵a＞b
b
2 (3) -4a -4b
y+2 （不等式的基本性质 ）
1
3y
（不等式的基本性质
）
－y （不等式的基本性质 ）
(4)x－m
y－m （不等式的基本性质 ）
2、若a-b<0，则下列各式中一定成立
的是（ D）
A.a>b
B.ab>0
C. a 0
D.-a>-b
b
3、若x是任意实数，则下列不等式中，
恒成立的是（ D）
A.3x>2x
∴两边都减去3，由不等式基本性质1
得 a-3＞b-3
(2) ∵a＞b，并且2＞0
∴两边都除以2，由不等式基本性质2
(3) ∵a得＞b，a 2并＞且-4b 2 ＜0
∴两边都乘以-4，由不等式基本性质3
得 -4a＜-4b
五、变式训练：
1、已知x＜y,用“＜”或“＞”填空。
（1）x+2
1
(2) 3 x
（3）－x