第7讲 函数的单调性

第7讲 函数的单调性回归教材 【基础自测】 1．（必修1P 44习题2．2第2题改编）下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是_________．①y ＝3－x ②y ＝1x③y ＝－x 2＋4 ④y ＝|x |1． ④ 解析：函数y ＝3－x ，y ＝1x ，y ＝－x 2＋4在(0，1)上都是减函数，y ＝|x |在(0，1)上是增函数．故填写④．2．（必修1P40练习第1题改编）函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，x 2，x <0的单调增区间为___________；单调减区间为____________．2． (0,);(,0)+∞-∞ 【解析】 当x ≥0时，y ＝x 为增函数；当x <0时，y ＝x 2为减函数．故单调增区间为(0,)+∞；单调减区间为(,0)-∞．3．（必修1P 45习题2．2第８题改编）已知函数f （x ）=x 2+4（1－a ）x +1在［1，+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是___________．3． 3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】 函数f （x ）=x 2+4（1－a ）x +1的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为2(1)x a =--，要使此函数在［1，+∞)上是增函数，必须且只需－2（1－a ）≤1，解之，得：a ≤32．∴实数a 的取值范围是3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦4．已知f (x )是R 上的增函数，令F (x )＝f (1－x )－f (3＋x )，则F (x )是R 上的 __________．(填“增函数”或“减函数”)4． 减函数 【解析】 本题主要考查函数的单调性的定义，令x 1<x 2，x 1、x 2∈R ，则易提得：F (x 1)－F (x 2)＝f (1－x 1)－f (1－x 2)＋f (3＋x 2)－f (3＋x 1)>0，∴：F (x 1)>F (x 2)，∴F (x )为减函数．5． 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0成立，则实数a 的取值范围为____________．5． 32≤a <2 【解析】 由题意f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）x ＋1，x <1，a x ，x ≥1，在R 上单调递增，则结合一次函数、指数函数的单调性和函数的图象，得⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a >1，（2－a ）＋1≤a ，⇒32≤a <2，∴实数a 的取值范围为32≤a <2．【知识梳理】1． 函数单调性的定义（1） 一般地，对于给定区间上的函数f （x ），如果对于属于这个区间的任意两个自变量x 1、x 2，当12x x <时，都有12()()f x f x <（或都有12()()f x f x >，那么就说f （x ）在这个区间上是增函数（或减函数）．（2） 如果函数y =f （x ）在某个区间上是增函数（或减函数），那么就说f （x ）在这个区间上具有（严格的）单调性，这个区间叫做f （x ）的单调区间；若函数是增函数则称该区间为增区间，若函数为减函数则称该区间为减区间． 2． 函数单调性的图象特征 对于给定区间上的函数f （x ），若函数图象从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增；若函数图象从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减． 3． 复合函数的单调性对于函数y =f (u )和u =g (x )，如果当x ∈（a ，b ）时，u ∈（m ，n ），且u =g (x )在区间(a ，b )上和y =f (u )在区间(m ，n )上同时具有单调性，则复合函数y =f (g (x ))在区间(a ，b )上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．4．函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数；f ()x 1－f ()x 2x 1－x 2<0⇔f (x )在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax(a >0)(和．(3)在区间D 上，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数．(4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．课堂重难点突破考点1 函数单调性的判断与证明例1 判断函数f(x)＝x1＋x 2在区间[1，＋∞)上的单调性并证明你的结论．证明：函数f(x)＝x1＋x 2在区间[1，＋∞)上是单调减函数，证明如下：设x 1、x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1（1＋x 22）－x 2（1＋x 21）（1＋x 21）（1＋x 22）＝（x 1－x 2）（1－x 1x 2）（1＋x 21）（1＋x 22）． ∵ x 1、x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，∴ x 1－x 2<0，1－x 1x 2<0．又(1＋x 21)(1＋x 22)>0，∴ f(x 1)－f(x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)．∴ f(x)＝x1＋x 2在[1，＋∞)上为减函数．【点评】 1．判断函数的单调性，通常的方法有：(1)定义法；(2)图象法；(3)利用常见函数的单调性；(4)导数法．而要证明一个函数的单调性，基本方法是利用单调性定义或导数法．2．应用函数单调性的定义证明函数的单调性，其基本步骤如下：取值―→作差―→变形―→确定符号―→得出结论其中，变形是十分重要的一步，其目的是使得变形后的式子易于判断符号，常用的方法是(1)分解因式；(2)配方；(3)通分约分等．1． 试讨论函数f (x )＝21axx + (a ＞0)在(0,)+∞上的单调性，并证明你的结论． 1．【解析】 设12,(0,)x x ∈+∞且x 1＜x 2，则221212211222221212(1)(1))()11(1)(1)ax ax ax x ax x f(x f x x x x x +-+-=-=++++22121212211222221212[]()(1)(1)(1)(1)(1)a x x x x x x a x x x x x x x x +----==++++．∵x 1＜x 2，210x x ->，又0a >，2212(1)(1)0x x ++>．∴当12,(0,1)x x ∈时，1210x x -<，从而21122212()(1)0(1)(1)a x x x x x x --<++，即1212)()0)()f(x f x f(x f x -<⇒<， 此时f (x )＝21axx + (a ＞0)单调递增；当12,(1,)x x ∈+∞时，1210x x ->，从而21122212()(1)0(1)(1)a x x x x x x -->++，即1212)()0)()f(x f x f(x f x ->⇒>， 此时f (x )＝21axx + (a ＞0)单调递减．∴函数f (x )在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数．2．下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是________．①y ＝－x ＋1； ②y ＝11－x； ③y ＝－(x －1)2； ④y ＝31－x ．2． ② 【解析】 由函数图像可知，①中，函数y ＝－x ＋1在(1，＋∞)上为减函数；②中，函数y ＝11－x 11x =--在(1，＋∞)上为增函数；③中，函数y ＝－(x －1)2在(1，＋∞)上为减函数；④中，函数y ＝31－x 在(1，＋∞)上为减函数．故填②．考点2 求函数的单调区间例2 求下列函数的单调区间：(1)y ＝－x 2＋2|x |＋1；(2)y ＝212log (32)x x -+．【解析】(1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1(x ≥0)，－x 2－2x ＋1(x ＜0)，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2(x ≥0)，－(x ＋1)2＋2(x ＜0).画出函数图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调减区间为[－1，0]和[1，＋∞)． (2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看成12log y u =与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．由x 2－3x ＋2＞0，解得x ＜1或x ＞2．∴函数y ＝212log (32)x x -+的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数．而12log y u =在(0，＋∞)上是减函数，∴y ＝212log (32)x x -+的单调减区间为(2，＋∞)，单调增区间为(－∞，1)．【点评】 求函数的单调区间的常用方法与判断函数的单调性的方法类似，有定义法、图象法、利用常见函数的单调性、导数法等．值得引起高度重视的是：(1)函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求单调区间，必须先求出定义域； （2）对于基本初等函数的单调区间，可以直接利用已知结论求解；(3)如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．1．函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调递增区间是________________． 1． (1－2，1)和(1＋2，＋∞) 【解析】作出函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的图象如图所示． 由图象可知，函数y ＝|－x 2＋2x ＋1|的单调增区间 为(1－2，1)和(1＋2，＋∞)2．函数f (x )＝x 2－2x －3的单调递减区间是___________． 2． (－∞，－1] 【解析】 f (x )＝x 2－2x －3的 定义域为(－∞，－1]∪令t ＝x 2－2x －3，∵y ＝t 在t ∈(0，＋∞)上是增函数，t ＝x 2－2x －3 在x ∈(－∞，－1]上是减函数， ∴函数f (x )＝x 2－2x －3的单调减区间是(－∞，－1]． 3．求函数y ＝log 2(x 2－1)的单调区间． 3．【解析】 y ＝log 2(x 2－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，∴y ＝log 2(x 2－1)可以看作由y ＝log 2u ，u ＝x 2－1两个函数复合而成的，且y ＝log 2u 在u ∈(0，＋∞)上为增函数，而u ＝x 2－1在(－∞，－1)上为减函数且μ>0，在(1，＋∞)上为增函数且μ>0，∴函数y ＝log 2(x 2－1)的单调减区间为(－∞，－1)，单调增区间为(1，＋∞)．考点3 函数单调性的应用例3 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3a －1）x ＋4a ，x ≤1log a x ，x >1是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a 的取值范围． 【解析】∵f(x)在定义域上是减函数，结合图象知实数a 必须且只须满足⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<00<a<1（3a －1）·1＋4a ≥log a 1．解得17≤a <13．∴实数a 的取值范围是11[,)73．【点评】 函数单调性有着十分广泛的应用，常见类型及解题策略如下：(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．(4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ，x ＞1x ＋a 2，x ≤1，若f (x )在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是________________．1． －1≤a ≤2 【解析】 (1) ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋a ，x ＞1x ＋a 2，x ≤1， 当x ＞1时，函数f (x )＝3x ＋a 为增函数，∴a ∈R ． 当x ≤1时，函数f (x )＝x ＋a 2为增函数，∴a ∈R ．为使f (x )在R 上为增函数，必须且只须3＋a ≥1＋a 2，解得－1≤a ≤2， 综上所述，实数a 的取值范围是－1≤a ≤2．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x <0，，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是________________．2． －2<a <1 【解析】 f (x )＝x 2＋4x 在是增函数，且在x ＝0处的函数值相等，∴函数f (x )在整个定义域上是增函数．∵f (2－a 2)>f (a )，∴2－a 2>a ，得－2<a <1．3．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________．3． 6 【解析】易知f (x )在[a ，b ]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＝1，f (b )＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4.∴a ＋b ＝6．考点4 抽象函数的单调性及其应用例4 函数f (x )对任意的m ，n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1．(1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2．【解析】 (1)证明：设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∵当x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1．f (x 2)＝211[()]f x x x -+＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0⇒f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在R 上为增函数．(2)∵m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1，∴f (1＋1)＝f (1)＋f (1)－1⇒f (2)＝2f (1)－1， f (3)＝4⇒f (2＋1)＝4⇒f (2)＋f (1)－1＝4⇒3f (1)－2＝4，∴f (1)＝2，∴f (a 2＋a －5)<2＝f (1)，∵f (x )在R 上为增函数，∴a 2＋a －5<1⇒－3<a <2， 故不等式f (a 2＋a －5)<2的解集为(－3，2)．【点评】 研究抽象函数的单调性问题形式多样，内涵丰富，方法灵活，经常出现在高考试题之中．由于没有给出具体的函数解析式，研究抽象函数的单调性就得紧紧依据题目中给出的抽象函数所满足的条件，通过赋值、等价转化等手段，将其归结为函数的单调性的定义和图象特征，从数和形两个方法去解决．1．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫1x ＞f (1)的实数x 的取值范围是_____________．1． (－∞，0)∪(1，＋∞) 【解析】∵f (x )为R 上的减函数，且f ⎝⎛⎭⎫1x ＞f (1)，∴1x ＜1，即x －1x＞0，解得 x ＞1或x ＜0．所以x 的取值范围是(－∞，0)∪(1，＋∞)．2．已知减函数f (x )的定义域是实数集R ，m 、n 都是实数．如果不等式f (m )－f (n )＞f (－m )－f (－n )成立，那么下列不等式成立的是_____________．①m －n ＜0 ②m －n ＞0 ③m ＋n ＜0 ④m ＋n ＞0 2． ① 【解析】 设F (x )＝f (x )－f (－x )，由于f (x )是R 上的减函数，∴f (－x )是R 上的增函数，－f (－x )是R 上的减函数，∴F (x )为R 上的减函数， ∴当m ＜n 时，有F (m )＞F (n )，即f (m )－f (－m )＞f (n )－f (－n )成立，因此当f (m )－f (n )＞f (－m )－f (－n )成立时，不等式m －n ＜0一定成立，故选①．解决学生弱项[弱项清单]1．求函数的单调区间时，忽略函数的定义域而致错； 2．混淆函数的单调区间和在区间上单调的概念致错；3．研究分段函数的单调性时，忽略分界点处的函数值的大小关系致错． [诊断与改进]1．求函数2()ln(23)f x x x =-++的单调递增区间． 【错解】令223u x x =-++，则()ln y f x u ==．∵2223(1)4u x x x =-++=--+，在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，又ln y u =是单调递增函数，∴根据复合函数的单调性，得所求的单调递增区间为(,1)-∞． 【诊断】上述解法，虽然依据了复合函数单调性的判断方法，看似有理有据，无懈可击，但由于忽略了对原函数的定义域的研究，导致结论出错．【正解】由2230x x -++>，得223013x x x --<⇒-<<，定义域为(1,3)-．令223u x x =-++，则()ln y f x u ==．∵2223(1)4u x x x =-++=--+，在(1,1)-上单调递增，在(1,3)上单调递减，又ln y u =是单调递增函数，∴根据复合函数的单调性，得所求的单调递增区间为(1,1)-． 2．若函数2()2(1)2f x x a x =+-+的单调递减区间是(,4]-∞，则实数a 的取值集合是___________．【错解】函数2()2(1)2f x x a x =+-+的图象的对称轴是1x a =-．∵函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区(,4]-∞上是单调递减的， ∴由图象可得：14a -≥，解得3a ≤-． ∴实数a 的取值集合是{|3}a a ≤-．【诊断】上述解法中，把函数2()2(1)2f x x a x =+-+的单调递减区间是(,4]-∞，误认为函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区(,4]-∞上是单调递减的， 混淆函数的单调区间和在区间上单调的概念，致使解题出错．【正解】函数2()2(1)2f x x a x =+-+的图象的对称轴是1x a =-． ∵函数2()2(1)2f x x a x =+-+的单调递减区间是(,4]-∞， ∴由图象可得：14a -=，解得3a =-． ∴实数a 的取值集合是{3}-．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x ＞1在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是___________．【错解】要使函数在R 上是增函数，必须且只需120aa ⎧-≥⎪⎨⎪<⎩，解得a ≤－2，即实数a 的取值范围是(,2]-∞-．【诊断】 上述解法误认为只要分段函数的每一段在相应区间上为单调递增函数，原函数就是R 上的单调递增函数了，而忽略了在分界点处，还必须满足15a a ---≤，才能符合题意，而导致了错解．【正解】要使函数在R 上是增函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a ＜0，－1－a －5≤a ，解得－3≤a ≤－2，即实数a 的取值范围是[－3，－2]．课堂训练1．(必修1P44习题2．2第2题改编)下列函数中：①f (x )＝1x②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1)满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)的函数的序号是____________． 1． ① 【解析】 满足当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)说明函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，①的减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)；②的减区间是(－∞，1]；③，④在定义域上都是增函数．故填①．2．(必修1P45习题2．2第10题改编)函数f (x )＝2x －1 ，x ∈[2，6]．下列命题：①函数f (x )为减函数；②函数f (x )为增函数；③函数f (x )的最大值为2；④函数f (x )的最小值为25．其中真命题的是________(写出所有真命题的编号)．2．①③④ 【解析】 易知函数f (x )＝2x －1在x ∈[2，6]上为减函数，故f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25．对照选项知，真命题的序号是①③④．3．(必修1P45习题2．2第8题改编)已知f (x )＝xx －a (x ≠a )，若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．3．(0，1] 【解析】任设1＜x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝x1x1－a－x2x2－a＝a(x2－x1)(x1－a)(x2－a)．∵a＞0，x2－x1＞0，∴要使f(x1)－f(x2)＞0，只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立．∴a≤1．综上所述，a的取值范围是(0，1]．4．已知函数f(x)＝x2＋1－ax，其中a>0．(1)若2f(1)＝f(－1)，求a的值；(2)证明：当a≥1时，函数f(x)在区间[0，＋∞)上为减函数．4．【解析】(1)由2f(1)＝f(－1)，可得22－2a＝2＋a，所以a＝2 3．(2)证明：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x21＋1－ax1－x22＋1＋ax2＝x21＋1－x22＋1－a(x1－x2)＝x21－x22x21＋1＋x22＋1－a(x1－x2)＝(x1－x2)⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x2x21＋1＋x22＋1－a．∵0≤x1< x21＋1，0<x2< x22＋1，∴0<x1＋x2x21＋1＋x22＋1<1．又∵a≥1，∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x)在区间[0，＋∞)上为减函数．复习小结函数的单调性是研究函数值随自变量变化的一种趋势，是函数的一种重要性质，是高考命题的重点和热点内容，1．研究函数的单调性要能从定义和图象特征两个方面来加以认识和理解，既要发挥形的直观性功能，从形的直观上发现和应用函数的单调性，又要发挥数的严谨性功能，从定义的角度对单调性予以严格的证明．2．判定函数的单调性和求函数的单调区间，首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是定义域的子集．常用方法有：定义法、图象法、利用常见基本初等函数的单调性、导数法、复合函数法等．3．证明函数的单调性，一般有两种思路：(1)定义法，基本步骤是：①在给定区间上取任意两值；②作差变形；③判断符号；④给出结论．(2)导数法，基本步骤是：①求导函数/()f x；②确定导函数的符号；③根据导函数的符号给出增减性的结论．４．函数单调性有着十分广泛的应用，主要体现在以下几个方面：(1) 比较函数值的大小；(2) 解不等式；(3) 求函数的值域或最值；(4) 利用单调性参数的取得值范围．要注意定义都是充要性命题，即若函数f(x)在区间D上递增(递减)且f(x1)<f(x2)x1<x2(x1>x2)(x1、x2∈D)，反之亦然．在利用函数单调性的定义解题的过程中，体会定义法的价值，增强用定义解题的意识，提高用定义解题的能力．【备选例题】1．函数f(x)＝|x2－1|＋x的单调递增区间为__________；单调递减区间为__________．1． ⎣⎡⎦⎤－1，12和[1，＋∞)； (－∞，－1]和⎣⎡⎦⎤12，1 【解析】 当x ≥1或x ≤－1时， y ＝x 2＋x －1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122－54；当－1<x<1时， y ＝－x 2＋x ＋1＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋54． ∴2215(),1,124()15(),1124x x x f x x x ⎧+-≤-≥⎪⎪=⎨⎪--+-<<⎪⎩或．作出函数图象(如图)，由函数图象可知函数增区间为⎣⎡⎦⎤－1，12，[1，＋∞)； 函数减区间为(－∞，－1]，⎣⎡⎦⎤12，1．2．设函数y ＝f(x)在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤k ，k ，f （x ）>k ，取函数f(x)＝2－|x|．当k ＝12时，函数f k (x)的单调递增区间为________．2． (－∞，－1) 【解析】 由f(x)>12，得－1<x<1；由f(x)≤12，得x ≤－1或x ≥1．所以f 12(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，12，－1＜x ＜1，2x，x ≤－1，故f 12(x)的单调递增区间为(－∞，－1)．3．已知a ∈R 且a ≠1，则函数f(x)＝ax ＋1x ＋1在[1，4]上的最大值为______；最小值为______．3． 4a ＋15，a ＋12 【解析】由f(x)＝ax ＋1x ＋1＝a ＋1－a x ＋1．若1－a>0，即a<1时，f(x)在[1，4]上为减函数，∴ f max (x)＝f(1)＝a ＋12，f min (x)＝f(4)＝4a ＋15；若1－a<0，即a>1时，f(x)在[1，4]上为增函数，∴ f max (x)＝f(4)＝4a ＋15，f min (x)＝f(1)＝a ＋12．4．设f(x)是定义在R 上的函数，对m 、n ∈R 恒有f(m ＋n)＝f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)<1．(1) 求证：f(0)＝1；(2) 证明：x ∈R 时恒有f(x)>0； (3) 求证：f(x)在R 上是减函数； (4) 若f(x)·f(x －x 2)>1，求x 的范围．4． 【解析】 (1) 证明：取m ＝0，n ＝12，则f ⎝⎛⎭⎫12＋0＝f ⎝⎛⎭⎫12f(0)．∵f ⎝⎛⎭⎫12>0，∴f(0)＝1． (2) 证明：设x<0则－x>0，由条件可知f(－x)>0，又1＝f(0)＝f(x －x)＝f(x)·f(－x)>0，所以f(x)>0，所以x ∈R 时，恒有f(x)>0．(3) 证明：设x 1<x 2则f(x 1)－f(x 2)＝f(x 1)－f(x 2－x 1＋x 1) ＝f(x 1)－f(x 2－x 1)f(x 1) ＝f(x 1)[1－f(x 2－x 1)]．因为x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，所以f(x 2－x 1)<1，即1－f(x 2－x 1)>0． 因为f(x 1)>0，所以f(x 1)[1－f(x 2－x 1)]>0．所以f(x 1)－f(x 2)>0，即该函数在R 上是减函数．(4) 解：因为f(x)·f(x －x 2)>1，所以f(x)·f(x －x 2)＝f(2x －x 2)>f(0)，所以2x －x 2<0，所以x 的范围为x>2或x<0．第 7讲 函数的单调性班级： 姓名： 学号：[A 组 夯实基础]1．(必修1P 44习题2．2第1题改编)设函数f(x)＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．1． 1(,)2-∞ 【解析】由函数f(x)＝(2a －1)x ＋b 是R 上的减函数，得2a －1<0，解得a<12． ∴实数a 的取值范围是1(,)2-∞2． (必修1P 44习题2．2第3题改编)下列函数中，在区间(0，2)上是单调递增函数的是________．(填序号)① y ＝1－3x ② y ＝－1x③ y ＝x 2＋1 ④ y ＝|x ＋1|2． ②③④ 【解析】①中，函数 y ＝1－3x 在R 上是增函数，不合题意； 画出②③④中的三个函数的草图，知其分别是(0,)+∞、(0,)+∞和(1,)-+∞上的增函数，故其在(0，2)上都是单调递增函数，所以，填写②③④．3． (必修1P 44习题2．2第4题改编)已知函数y ＝f(x)是定义在[－2，2]上的单调减函数，且f(a ＋1)<f(2a)，则实数a 的取值范围是________．1． [－1，1) 【解析】由函数y ＝f(x)是定义在[－2，2]上的单调减函数，且f(a ＋1)<f(2a)，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，解得－1≤a<1．∴实数a 的取值范围是[1,1)-．4． (必修1P 45习题2．2第10题改编)函数f(x)＝11－x （1－x ）的最大值是________．4． 43 【解析】 ∵ 1－x(1－x)＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，∴ 0<11－x （1－x ）≤43．当且仅当12x =时取等号， ∴最大值为43．5． 已知函数y ＝log 2(ax －3)在(1，2)上单调递增，则实数a 的取值范围为________． 5． (3，＋∞) 【解析】令t ＝ax －1，则函数y ＝log 2(ax －3)在(1，2)上单调递增，等价于t ＝ax －1在(1，2)上单调递增，且ax －3>0在(1，2)上恒成立，所以030a a >⎧⎨->⎩即a ＞3．∴实数a 的取值范围是(3，＋∞)．6．设f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数， f(2)＝1，且 f(xy)＝f(x)＋f(y)，求满足不等式 f(x)＋f(x －3)≤2的x 的取值范围．6． 【解析】 由题意可知f(x)＋f(x －3)＝f(x 2－3x)，又 2＝2f(2)＝f(2)＋f(2)＝f(4)， 于是不等式 f(x)＋f(x －3)≤2可化为 f(x 2－3x)≤f(4)，因为函数在(0，＋∞)上为增函数，所以不等式可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ≤4，x ＞0，x －3＞0，解得3<x ≤4，所以x 的取值范围是 (3，4]．7． 已知f(x)＝xx －a(x ≠a)．(1) 若a ＝－2，试证f(x)在(－∞，－2)内单调递增；(2) 若a>0且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．7． 【解析】(1) 证明：设x 1<x 2<－2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）．∵ (x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴ f(x 1)<f(x 2)， ∴ f(x)在(－∞，－2)内单调递增．(2) 解：设1<x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）．∵ a>0，x 2－x 1>0，∴ 要使f(x 1)－f(x 2)>0，只需(x 1－a)(x 2－a)>0恒成立，∴ a ≤1． 综上所述，a 的取值范围为(0，1]．[B 组 能力提升]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是_______．(填序号)①y ＝ln(x ＋2) ②y ＝－x ＋1 ③y ＝⎝⎛⎭⎫12x ④y ＝x ＋1x1． ①【解析】选项①中函数y ＝ln(x ＋2)的单调增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数，其他三个选项中的函数都不符合题意．故填写①．2．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是_______．(填序号) ①(－∞，0) ②⎣⎡⎦⎤0，12 ③[0，＋∞) ④⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 2． ②【解析】 y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (1－x )(x ≥0)，－x (1－x )(x ＜0)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x (x ≥0)，x 2－x (x ＜0)＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14(x ≥0)，⎝⎛⎭⎫x －122－14(x ＜0).画出函数的草图，如图．由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上是增函数．故填写②． 3． 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －2k ，x ≤0，（1－k ）x ，x>0是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________．3． ⎣⎡⎭⎫12，1 【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e 0－2k ≤0，1－k>0，解得12≤k<1．∴实数k 的取值范围是12≤k<1．4． 已知函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪e x ＋ae x (a ∈R )在区间[0，1]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．4． －1≤a ≤1 【解析】 当a<0，且e x ＋a e x ≥0时，必须且只需满足e 0＋ae0≥0即可，则－1≤a<0；当a ＝0时，f(x)＝|e x |＝e x 符合题意；当a>0时，f(x)＝e x ＋aex ，则必须且只需满足f′(x)＝e x －aex ≥0在x ∈[0，1]上恒成立，只需满足a ≤(e 2x )min 成立即可，故a ≤1．综上，－1≤a ≤1．5．已知函数f(x)＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)．(1) 当a ＝12时，求f(x)的最小值；(2) 若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，求实数a 的取值范围．5． 【解析】 (1) 当a ＝12时，f(x)＝x ＋12x＋2．设x 1＞x 2≥1，则f(x 1)－f(x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫12x 1－12x 2＝(x 1－x 2)·2x 1x 2－12x 1x 2． ∵ x 1＞x 2≥1，∴ f(x 1)＞f(x 2)，∴ f(x)在[1，＋∞)上为增函数．∴ f(x)≥f(1)＝72，即f(x)的最小值为72．(2) ∵ f(x)＞0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即x 2＋2x ＋a ＞0在[1，＋∞)上恒成立， ∴ a ＞[－(x 2＋2x)]max ．∵ t(x)＝－(x 2＋2x)在[1，＋∞)上为减函数， ∴ t(x)max ＝t(1)＝－3， ∴ a ＞－3．*[C 组 思维拓展]1．使函数y ＝2x ＋kx －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，实数k 的取值范围是________．1． (－∞，－4) 【解析】 由于y ＝log 3(x －2)的定义域为(2，＋∞)，且为增函数． 故若使函数y ＝2x ＋k x －2＝2(x －2)＋4＋k x －2＝2＋4＋kx －2在(3，＋∞)上是增函数，则有4＋k ＜0，得k ＜－4．∴实数k 的取值范围是(－∞，－4)．2．函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．2． ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【解析】 f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝1－2a x ＋2＋a ． 任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2a x 1＋2－1－2a x 2＋2＝(1－2a )(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2)．∵函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＜0．∵x 2－x 1＞0，x 1＋2＞0，x 2＋2＞0，∴1－2a ＜0，a ＞12，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞． 2． (0，1)∪{2} 【解析】 f(1)＝－a 时，即1－2＋a ＝－a ，解得a ＝12＞0，符合题意，此时t max ＝g(a)＝2；当f(1)＜－a 时，即1－2＋a ＜－a ，解得0＜a ＜12，此时当f(t)＝－a 时，即t 2－2t ＋a ＝－a ，解得t ＝1±1－2a ，∵ t ＜1，∴max t ＝1－1－2a ＝g(a)∈(0，1)．综上可得，g(a)∈(0，1)∪{2}．3．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0．(1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2．3． 【解析】 (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 2)＝0，故f (1)＝0． (2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)．所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数．(3)由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2．由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，所以当x >0时，由f (|x |)<－2得f (x )<f (9)， 因此x >9；当x <0时，由f (|x |)<－2得f (－x )<f (9)，因此－x >9，即x <－9．故不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．。