矢量控制坐标变换

（4）、转矩方程按照机电能量转换原理，可求出电磁转矩Te的表达式如式（2-17）所示。此式证明从略。

=……..(2-17)

这里需要说明的是，式（2-17）是在磁路为线性、磁动势在空间按正弦分布的假定条件下得出的，但对定、转子电流的波形未作任何假定，式中的i都是瞬时值。因此，这个电磁转矩公式同样适用于由典雅型变频器供电的三相异步电机调速系统。

（5）、三相异步电动机的数学模型

将前述式（2-14）、式（2-16）归纳起来，便构成在恒转矩负载下三相异步电动机的多变量非线性数学模型如下：

………………………………………………….(2-18)

上式中可按式（2-17）展开。

2.3. 坐标变换和变换矩阵

虽然，在上节中已经推导出异步电动机的动态数学模型，但是，要分析和求解这组非线性方程是十分困难的，即使要画出很清晰的结构图也非易事。通常须采用坐标变换的方法。使变换后的数学模型变得简单一些。

2.3.1 坐标变换的原则和基本思路

从上节分析异步电动机数学模型的过程中可以看出，这个数学模型之所以复杂，关键是因为有一个复杂的电感矩阵，以及三相异步电机电磁关系的强耦合和非线性，故要简化数学模型，一是从简化磁链的关系着手；二是设法使三相异步电动机复杂的电磁关系解耦。怎么做？比较容易想到的方法就是前面所讲到过的设法为异步电动机创造类似于直流电动机所具有的三个条件，即将交流电机的物理模型（见图2-3）等效地变换成类似直流电机的模式（见下页图1-2），如能这样，三相异步电动机的分析和控制问题就可以大为化简，并且，完全可以沿用直流电机调速系统的控制思路对三相异步电动机进行控制，进而得到与支流调速系统相媲美的调速性能。坐标变换正是为了这个目的而提出的一种方法。

在这里，不同电机模型在变换前后彼此等效的原则是，在不同坐标中它们所产生的磁动势完全一致。

三相绕组与两相绕组的转换（M-T坐标举例）

如图1-2所示的模型有两个互相垂直的绕组，它们是M绕组和T 绕组，且以角频率在空间旋转。T、M绕组分别通以直流电流、。在绕组轴线方向产生磁场M，励磁电流。调节大小可以调节磁场强弱。在T绕组轴线方向产生磁势，这个磁势总是与磁场同步旋转，而且总是与磁场方向垂直，调节的大小，可以在磁场不变的情况下改变转矩的大小，称为转矩电流。、分别属于T绕组、M绕组，因此分别可调、可控。

如果异步电动机按照M、T两组绕组模型运行，就可以满足如直流电动机那样的调速性能好的三个条件。

实际上三相异步电动机定子三相绕组嵌在定子铁芯槽中，在空间上相互差120°电角度，固定不动。根据电机学原理或统一电机理论知道，三相绕组的作用，完全可以用在空间上相互垂直的两个静止的

绕组的电流由固定的变换关系。

由上例可见，产生旋转磁动势并不一定非要三相不可，（在前面已经提到），除单相、两相、三相、四相等任意对称的多相绕组，通以平衡的多相电流，都能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。图2-4b 中画出了两相静止绕组，它们在空间互差90°，通以时间上互差90°的两相平衡交流电流，也产生旋转磁动势F。当图2-4a和b 的两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图2-4b两绕组与图2-4a的三相绕组等效。

再看图2-4c中的两个匝数相等且互相垂直的绕组M和T（或d-q），它们分别通以直流电流和，产生合成磁动势F，因为绕组中通过的是直流，故F的位置相对于绕组来说是固定的。如果让包含

两个绕组在内的整个铁芯以同步转速旋转，则磁动势F自然也随之旋转起来，成为旋转磁动势。把这个旋转磁动势的大小和转速也控制成与图2-4a和2-4b中的磁动势一样，那么这套旋转的直流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。当观察者站在地面上看，它们是与三相交流绕组等效地旋转直流绕组；但当观察者也站到铁芯上和绕组一起旋转时，在他看来，M和T（或d-q）就是两个通以直流而互相垂直的静止绕组，它们就的的确确是一个直流电机的物理模型了；如果再设法把磁通Φ的位置控制在M轴（或d 轴）上，这样，就和直流电机的运转机理没有本质上的区别了。这时，绕组M（或d）相当于直流电机的励磁绕组，绕组T（或q）相当于直流电机的电枢绕组。由此可见。从物理概念（定性）上来讲，通过坐标系的变换，我们完全能够找到一个与三相交流绕组等效地直流电机模型，现在的问题，如何求出、、与和()、()之间准确的数值等效关系，而这恰恰就是需要用坐标变换来解决的问题。

遵照把三相交流绕组等效变换成直流电机模型的目标，坐标变换的总体思路是：以产生同样的旋转磁动势为前提，先把三相静止绕组A、B、C 等效变换导两相绕组的静止的α-β坐标系，然后再从两相静止的α-β坐标系等效变换导旋转的具有直流绕组的d-q坐标系。需要指出，旋转的具有直流绕组的d-q坐标系可以是以任意转速ω旋转的，也可以是以同步转速旋转地，即为M-T坐标系，还有，在坐标变换中还会经常用到两相坐标系与极坐标之间的变换。

2.3. 2相—三相变换（3/2变换）——Clarke变换

=

=

=

写成矩阵形式，得：

=

根据图2-4可知，首先应该找出三相绕组的电流与两相静止的

α、β绕组的电流的变换关系，接着就是还要找到两相静止的α、β绕组的电流与两相旋转的M、T绕组（或d-q绕组）的电流变换关系。

如果M、T，α、β绕组的电流,都用矢量表示，那么，为了找到那些“关系”，我们就有必要建立α、β坐标系、M、T 坐标系，以及在矢量控制中最常用的另一个坐标系——d-q坐标系。这三个坐标系在图2-4中都作了清晰的表述。

2.3.2相—— 三两相变换（3/2变换）——Clarke 变换

2N a i =0B 3360os i -i C N N A =)i 21i 21i (3C B A N -- in i i 32S N N B B =03060in i -60S N C = )i i (2

3B 3C N - 写成矩阵形式，得：

=

考虑变换前后电机总功率不变，在此前提下，可以证明，匝数比：

于是，就可以得到，

令——为从三相交流坐标系统换到两相交流坐标系的变换矩阵，则