2019年上海中学高一期末

上海中学高一期末数学试卷

2019.06

一. 填空题 1. 1lim(1)n n

→∞-= 2. 等差数列{}n a 中，若13a =，21n a =，2d =，则n =

3. 数列{}n a 中，已知41322n n n a =-⋅+，*n ∈N ，50为第 项

4. {}n a 为等比数列，若12326a a a ++=，4152a a -=，则n a =

5. 用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n n n n n n ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-（*n ∈N ）时，从“n k = 到1n k =+”，左边需增乘的代数式是

6. 数列{}n a 满足11a =，23a =，1(2)n n a n a λ+=-（1,2,n =⋅⋅⋅），则3a 等于

7. 数列{}n x 满足11n n n x x x +-=-，2n ≥，*n ∈N ，1x a =，2x b =，则2019x =

8. 数列{}n a 满足下列条件：11a =，且对于任意正整数n ，恒有2n n a a n =+，则512a =

9. 数列{}n a 定义为1cos a θ=，1sin cos n n a a n θθ++=+，1n ≥，则21n S +=

10. 已知数列{}n a 是正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足11()2n n n S a a =

+， 若11

n n n n a b S S ++=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，则99T = 11. 一个三角形的三边成等比数列，则公比q 的范围是

12. 数列{}n a 满足11a =，22a =，33a =，44a =，55a =，当5n ≥时，

1121n n a a a a +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅-，则是否存在不小于2的正整数m ，使

2221212m m a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+成立？若存在，则在横线处直接填写m 的值，若不存在，

就填写“不存在”

二. 选择题

13. 已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a 的值为（ ）

A. 11

B. 12

C. 13

D. 14

14. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =（ ） A. 13 B. 13- C. 19 D. 19

- 15. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=，则m =（ ）

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

16. 设02π

α<<，若1sin x α=，1(sin )n x n x α+=（1,2,3,n =⋅⋅⋅），则数列{}n x 是（ ）

A. 递增数列

B. 递减数列

C. 奇数项递增，偶数项递减的数列

D. 偶数项递增，奇数项递减的数列

三. 解答题

17. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，462S =-，675S =-，求数列{||}n a 前n 项和.

18. 已知数列{}n a 的前n 项和为221n S n n =-+（*n ∈N ）.

（1）求{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n b 满足：133log log n n a n b ++=（*n ∈N ），求数列{}n b 的前n 项和n T . （结果需化简）

19. 某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件 获利a 元的前提下，可卖出b 件，若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为(1)n -千元 时多卖出件2

n b （*n ∈N ），设广告费为n 千元时，销售量为n S . （1）试写出销售量n S 与n 的函数关系式；

（2）当10a =，4000b =时，厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？

20. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，

2121233n n S a n n n +=---，*n ∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）是否对一切正整数n ，有

121115131

n a a a n ++⋅⋅⋅+<-+？说明理由.

21. 设集合12{(,,,)|{0,1}(1,2,,)}n n i S x x x x i n =⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅，其中*n ∈N ，2n ≥.

（1）写出集合2S 中的所有元素；

（2）设1212(,,,),(,,,)n n n a a a b b b S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，，证明：

“0110111212222222n n n n a a a b b b --⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅”的充要条件是“i i a b =（1,2,,i n =⋅⋅⋅）”；

（3）设集合12{(,,,)|{0,1}(1,2,,,)}n i S x x x x i n =⋅⋅⋅∈=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，设

1212(,,,,),(,,,,)n n a a a b b b S ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈，使得1212111()()()222

n n a a a A ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅=，且 1212111()()()222

n n b b b B ⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅=，试判断“A B =”是“i i a b =（1,2,i =⋅⋅⋅）” 的什么条件并说明理由.

参考答案

一. 填空题

1. 1

2. 10

3. 4

4. 123n -⋅

5. 2(21)k ⋅+

6. 15

7. b a -

8. 512

9. 2()sin (1)cos n n n θθ+++ 10.

910

11. 12. 70

二. 选择题

13. C 14. C 15. C 16. C

三. 解答题 17. 2

24317234315482

2n n n n T n n n ⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩. 18.（1）01232n n a n n =⎧=⎨-≥⎩

；（2）3(8991)64n n n n T ⋅⋅-+=. 19.（1）1(2)2

n n S b =-；（2）生产7875件产品，做5千元广告，能使获利最大. 20.（1）2n a n =；（2）对一切正整数n ，有

121115131n a a a n ++⋅⋅⋅+<-+. 21.（1）(0,0)，(0,1)，(1,0)，(1,1)；（2）证明略；（3）必要非充分.