§3 解三角形的实际应用举例.ppt
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第二章 解三角形
பைடு நூலகம்
1.(1)在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶
与塔底的俯角分别是 30°和 60°，则塔高为( )
200 A. 3 m
B．2030 3 m
C.4030 m
D．4030 3 m
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第二章 解三角形
(2)如图，A、B 是水平面上两个点，相距 800 m， 在 A 点测得山顶 C 的仰角是 25°，∠BAD＝ 110°，又在点 B 测得∠ABD＝40°，其中 D 点是点 C 在水平面上的垂足．求山高 CD(精确 到 1 m)．
(4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于 90°的水平 角，如图④中，∠ABC 为北偏东 60°.
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第二章 解三角形
2．利用正、余弦定理解决实际测量问题时，应具备的测量数据
两点间不可直达 两点间可视但不
求
也不可视
可达
距
两点都不可达
离
求
底部可达
高
度
底部不可达
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第二章 解三角形
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第二章 解三角形
若 P 在 Q 的北偏东 44°，则 Q 在 P 的( )
A．东偏北 46°
B．东偏北 44°
C．南偏西 44°
D．西偏南 44°
解析：选 C.如图，因为 P 在 Q 的北偏东 44°，则 Q 在 P 的南 偏西 44°.
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第二章 解三角形
A，B 两点间有一小山，选定能直接到达点 A，B 的点 C， 测得 AC＝60 m，BC＝160 m，∠ACB＝60°，则 A，B 两点间 的距离为________m. 解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos 60° ＝602＋1602－2×60×160cos 60°＝196 00， 所以 AB＝140 m，即 A、B 两点间的距离为 140 m. 答案：140
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第二章 解三角形
一树的树干被台风吹断，折断部分与残存树干成 30°角， 树干底部与树尖着地处相距 5 m，则树干原来的高度为 __________． 答案：(10＋5 3)m
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第二章 解三角形
1．解三角形应用题常见的两种情况 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三 角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个 以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形， 然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个 三角形中列出方程，解方程得出所要求的解．
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第二章 解三角形
2．解三角形应用题的一般步骤 (1)分析：读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求， 理清量与量之间的关系． (2)建模：根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模 型． (3)求解：选择正弦定理或余弦定理求解． (4)还原：将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单 位、近似计算要求等．
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第二章 解三角形
测量高度问题 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在 西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处， 测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的 高度 CD＝________m.
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第二章 解三角形
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第二章 解三角形
解：(1)选 C.如图，在△ABC 中，BC＝ ABtan∠BAC＝200×tan 30°＝2003 3(m)，AE＝BC，则 DE＝ AEtan 30°＝2003 3× 33＝2030(m)，所以塔高 CD＝200－2030＝ 4030(m)．
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第二章 解三角形
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第二章 解三角形
测量高度问题的解题思路 高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物 体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或 底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形 的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构 造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定 理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高 度．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不可到达的点之间的距离无法求得．( × ) (2) 方 位 角 是 从 正 北 方 向 逆 时 针 旋 转 到 目 标 方 向 线 的 水 平 角．( × ) (3)一般来说，在测量过程中基线越长，测量精确度越低．( × ) (4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点 之间的位置关系，其范围均是0，π2.( × )
(2)在△ABD 中，∠ADB＝180°－110°－40°＝30°， 由正弦定理得 AD＝siAnB∠siAnDBB＝800s×ins3in0°40°≈1 028.5(m)， 在 Rt△ACD 中，CD＝ADtan 25°≈480(m)．故山高约为 480 m.
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第二章 解三角形
测量距离问题 海上 A，B 两个小岛相距 10 海里，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角，从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角，则 B、 C 间的距离是________．
第二章 解三角形
§3 解三角形的实际应用举例
第二章 解三角形
1．常见的几种角 (1)坡角：坡向与水平向的 夹角 ，如图①.
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第二章 解三角形
(2)仰角和俯角：在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方 的角叫 仰角 ，在水平线 下方 的角叫俯角，如图②.
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第二章 解三角形
(3)方位角：指从 正北方向 顺时针转到目标方向线所成的 角，如图③，B 点的方位角为 α.
【解析】 由题意，在△ABC 中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180° －75°＝105°，故∠ACB＝45°. 又 AB＝600 m，故由正弦定理得sin64050°＝sinB3C0°， 解得 BC＝300 2 m. 在 Rt△BCD 中，CD＝BC·tan 30°＝300 2× 33＝100 6(m)． 答案：100 6
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第二章 解三角形
【解析】 如图，在△ABC 中，C＝180°－ (B＋A)＝45°， 由正弦定理，可得sinB6C0°＝sinA4B5°， 所以 BC＝ 32×10＝5 6(海里)． 【答案】 5 6 海里
第二章 解三角形
பைடு நூலகம்
1.(1)在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶
与塔底的俯角分别是 30°和 60°，则塔高为( )
200 A. 3 m
B．2030 3 m
C.4030 m
D．4030 3 m
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第二章 解三角形
(2)如图，A、B 是水平面上两个点，相距 800 m， 在 A 点测得山顶 C 的仰角是 25°，∠BAD＝ 110°，又在点 B 测得∠ABD＝40°，其中 D 点是点 C 在水平面上的垂足．求山高 CD(精确 到 1 m)．
(4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于 90°的水平 角，如图④中，∠ABC 为北偏东 60°.
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第二章 解三角形
2．利用正、余弦定理解决实际测量问题时，应具备的测量数据
两点间不可直达 两点间可视但不
求
也不可视
可达
距
两点都不可达
离
求
底部可达
高
度
底部不可达
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第二章 解三角形
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第二章 解三角形
若 P 在 Q 的北偏东 44°，则 Q 在 P 的( )
A．东偏北 46°
B．东偏北 44°
C．南偏西 44°
D．西偏南 44°
解析：选 C.如图，因为 P 在 Q 的北偏东 44°，则 Q 在 P 的南 偏西 44°.
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第二章 解三角形
A，B 两点间有一小山，选定能直接到达点 A，B 的点 C， 测得 AC＝60 m，BC＝160 m，∠ACB＝60°，则 A，B 两点间 的距离为________m. 解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2·AC·BC·cos 60° ＝602＋1602－2×60×160cos 60°＝196 00， 所以 AB＝140 m，即 A、B 两点间的距离为 140 m. 答案：140
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第二章 解三角形
一树的树干被台风吹断，折断部分与残存树干成 30°角， 树干底部与树尖着地处相距 5 m，则树干原来的高度为 __________． 答案：(10＋5 3)m
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第二章 解三角形
1．解三角形应用题常见的两种情况 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三 角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个 以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形， 然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个 三角形中列出方程，解方程得出所要求的解．
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第二章 解三角形
2．解三角形应用题的一般步骤 (1)分析：读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求， 理清量与量之间的关系． (2)建模：根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模 型． (3)求解：选择正弦定理或余弦定理求解． (4)还原：将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单 位、近似计算要求等．
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第二章 解三角形
测量高度问题 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在 西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处， 测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角为 30°，则此山的 高度 CD＝________m.
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第二章 解三角形
解：(1)选 C.如图，在△ABC 中，BC＝ ABtan∠BAC＝200×tan 30°＝2003 3(m)，AE＝BC，则 DE＝ AEtan 30°＝2003 3× 33＝2030(m)，所以塔高 CD＝200－2030＝ 4030(m)．
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第二章 解三角形
测量高度问题的解题思路 高度的测量主要是一些底部不能到达或者无法直接测量的物 体的高度问题．常用正弦定理或余弦定理计算出物体的顶部或 底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形 的问题．这类物体高度的测量是在与地面垂直的竖直平面内构 造三角形或者在空间构造三棱锥，再依据条件利用正、余弦定 理解其中的一个或者几个三角形，从而求出所需测量物体的高 度．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不可到达的点之间的距离无法求得．( × ) (2) 方 位 角 是 从 正 北 方 向 逆 时 针 旋 转 到 目 标 方 向 线 的 水 平 角．( × ) (3)一般来说，在测量过程中基线越长，测量精确度越低．( × ) (4)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点 之间的位置关系，其范围均是0，π2.( × )
(2)在△ABD 中，∠ADB＝180°－110°－40°＝30°， 由正弦定理得 AD＝siAnB∠siAnDBB＝800s×ins3in0°40°≈1 028.5(m)， 在 Rt△ACD 中，CD＝ADtan 25°≈480(m)．故山高约为 480 m.
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第二章 解三角形
测量距离问题 海上 A，B 两个小岛相距 10 海里，从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60°的视角，从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75°的视角，则 B、 C 间的距离是________．
第二章 解三角形
§3 解三角形的实际应用举例
第二章 解三角形
1．常见的几种角 (1)坡角：坡向与水平向的 夹角 ，如图①.
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第二章 解三角形
(2)仰角和俯角：在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方 的角叫 仰角 ，在水平线 下方 的角叫俯角，如图②.
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第二章 解三角形
(3)方位角：指从 正北方向 顺时针转到目标方向线所成的 角，如图③，B 点的方位角为 α.
【解析】 由题意，在△ABC 中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180° －75°＝105°，故∠ACB＝45°. 又 AB＝600 m，故由正弦定理得sin64050°＝sinB3C0°， 解得 BC＝300 2 m. 在 Rt△BCD 中，CD＝BC·tan 30°＝300 2× 33＝100 6(m)． 答案：100 6
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第二章 解三角形
【解析】 如图，在△ABC 中，C＝180°－ (B＋A)＝45°， 由正弦定理，可得sinB6C0°＝sinA4B5°， 所以 BC＝ 32×10＝5 6(海里)． 【答案】 5 6 海里