方向向量与法向量共50页
方向向量和法向量
2、法向量的求法 待定系数法
(1)(设):设出平面法向量的坐标为 n(u,v,w)
(2)(列):根据 na0,，n列b出0方程组；
(3)(解):把u(或v或w)看作常数,用u(或v或w) 表示另外两个量
(4)(取):取u为任意一个数(当然取得越特殊越好),
练习：已知底面边长为1,高为3的正三 棱柱,试建立合适的空间直角坐标系， 确定三个侧面的面对角线所在直线的 一个方向向量。z
A1
C13Biblioteka B1A xD1 C y B
二、平面的法向量 1、定义
对于非零的空间向量 n ，如果它所在 的直线与平面α垂直，那么向量 n叫做
平面α的一个法向量。
n
α
注：
1、一个平面α有无穷多个法向量， 这些法向量之间互相平行。
平行的非零向量 d 叫做直线l的一个方
向向量。
z
l
d
y
d2
O
d1
x
注：
1、一条直线l 有无穷多个方向向量， 这些方向向量之间互相平行。
2、直线l 的方向向量也是所有与l平行 的直线的方向向量。
2、方向向量的求法
可根据直线l上的任意两点的坐标 写出直线l的一个方向向量。
dAB
z
(x2x1,y2y1,z2z1)
z
(1)平面BDE （1，-1，0） D 1
C1
(2)平面ACE （1，1，-2） A 1
B1
(3)平面DC1E （1，-2，2）
(4)平面A1EC （-1，1，2） D
A
x
x
E
y
C
方向向量与法向量PPT优选版
前面,我们把 平面向量 推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
证明：设正方体棱长为1，
为单位正交
设
分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
平面的法向量的求法及步骤；
l e / / n e n a 1 a 2 , b 1 b 2 , c 1 c 2 .
当 a 2,b 2,c20 时 ,e//n a a 1 2b b 1 2c c1 2
例5.在正方体 AB C A 1B D 1C 1D 1 中，E、F分别是BB1,，
CD中点，求证：D1F 平面ADE
(1)a (2,1,2),b(6,3,6) 平行
(2)a (1,2,2),b(2,3,2)
垂直
(3)a (0,0,1),b(0,0,3)
平行
巩固性训练2
1.设 u , v 分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5),v (6,4,4) 垂直 (2)u (1,2,2),v (2,4,4) 平行 (3)u (2,3,5),v (3,1,4) 相交
x00 0
则 x = 0 ， 不 妨 取 y 1 ， 得 z 2
x
y
1 2
z
0
所 以 n = ( 0 ， 1 ， -2 )
又因为D1F(0,12,1) 所以D1F//n
所以 D 1F平 面 ADE
巩固性训练1
1.设 a , b 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下
列条件,判断l1,l2的位置关系.
平面的法向量和方向向量
平面的法向量和方向向量平面的法向量和方向向量是平面几何中的重要概念，它们在描述平面的性质和运动方向时起到了关键作用。
本文将分别介绍平面的法向量和方向向量，并探讨它们的应用和相关性质。
一、平面的法向量平面的法向量是指垂直于该平面的向量。
设平面P上有一条直线L，经过L上的两点A和B可以确定一条向量AB。
如果向量AB垂直于平面P，那么向量AB就是平面P的法向量。
平面的法向量有以下性质：1. 法向量与平面上任意两个垂直向量的内积为零。
设向量a和向量b是平面P上的两个垂直向量，向量n是平面P的法向量，则有a·n=0，b·n=0。
2. 平面上的两个垂直向量的内积为零时，它们是平面的法向量的倍数关系。
设向量a和向量b是平面P上的两个垂直向量，向量n是平面P的法向量，则有a·n=0，b·n=0，因此存在实数k，使得a=k·n，b=k·n。
3. 平面上的两个非零向量的叉积是平面的法向量的倍数。
设向量a 和向量b是平面P上的两个非零向量，向量n是平面P的法向量，则有向量a×b=k·n，其中k为实数。
平面的法向量在几何和物理学中有广泛的应用。
例如，在计算平面上的点到另一平面的距离时，可以利用平面的法向量来求解。
同时，在力学中，平面的法向量也被用来描述平面上的压力和力的作用方向。
二、平面的方向向量平面的方向向量是指平面上的一个非零向量，它表示了平面上的一个方向。
设平面P上有一条直线L，经过L上的两点A和B可以确定一条向量AB。
如果向量AB不是平面P的法向量，那么向量AB 就是平面P的方向向量。
平面的方向向量有以下性质：1. 平面上的两个非零向量的线性组合是平面的方向向量。
设向量a 和向量b是平面P上的两个非零向量，向量c=k1·a+k2·b，其中k1和k2为实数，则向量c是平面P的方向向量。
2. 平面上的两个方向向量的叉积是平面的法向量。
课件直线的方向向量与平面的法向量
例2
在正方体
uuuur
ABCD
A1 B1C1 D1
中，求证：
DB1 是平面 ACD1 的一个法向量.
证：设正方体棱长为 1， uuur uuur uuuur
以 DA, DC, DD1 为单位正交基底，
建立如图所示空间坐标系 D xyz
uuuur
uuur
uDuBuur1 (1,1,1) ， AC (1,1, 0) ，
面的一个法向量?
比如 ，在 空间 直角坐 标系 中, 已知
A(3, 0, 0), B(0, 4, 0) , C(0, 0, 2) ,试求平面rABC 的一个法
向量.
r n (4, 3, 6)
解:设平面 r uuur r
ABuCuur的一个uuu法r 向量为
n
(uxuu,ry,
z
)
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
直线的方向向量与平面的法向量
1
前面,我们把
平面向量
推广到
空间向量
向量 渐渐成为重要工具
立体几何问题
(研究的基本对象是点、直线、平面 以及由它们组成的空间图形)
从今天开始,我们将进一步来体会向量这一工 具在立体几何中的应用.
2
为了用向量的方法研究空间的线面位置关系，我
们首先要知道如何用向量来刻画直线和平面的
uAuDuur1
(1, uuur
0,
1)
uuuur uuur
DB1
AC uuuur
0，所以 uuuur
DB1
AC
,
同理 DB1 uAuuDur1
又因为 AD1 I
立体几何中的向量方法(一)——方向向量与法向量
(1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,0__,0_)___
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,0__,1_)____ (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为__(_-_1_,-_1_,_1_)__
z
O1
C1
A1
B1
o
A
x
C
y
B
例2：已知A(3, 0, 0), B(0, 4, 0), C(0,0,2) 求平面ABC的法向量.
l
a
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l a // u a u
l
a
A
u
C B
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则 （3） u v u v 0
β
uv
α
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
（一）. 平行关系：
(1) l / /m a / /b a b ；
a
l
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l / / a u a u 0 ；
叫做平面 的法向量.
l
n
A
给定一点A和一个向量 n,那么
过点A,以向量 n 为法向量的平面是
完全确定的.
平面的法向量：
l
注意：
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都
n
互相平行;
直线的方向向量和法向量
量常用 n k , 1 ，当斜率不存在时的法向量常用 n 1,0 。 3、若直线方程是 Ax By C 0 ，则其法向量常用 n A, B ，向量常用 a B, A 。
例 1、 （1）直线 l 的倾斜角是 150 ，则该直线的一个方向向量是
例 3、 直线 l1 : px qy 3 0, l2 : sx ty 3 0, 相交于点 M (3 4) ， 求过点 P 1 ( p, q), Q( s, t ) 的直线方程。
直线的方向向量和法向量 点法式方程
直线的方向向量与法向量 1、 与一条直线平行或在直线上的非零向量叫该直线的方向向量，有无数多，当直线斜率存
在时的方向向量常用 a 1, k ，当斜率不存在时的方向向量常用 a 0,1 。
2、 与一条直线垂直的非零向量叫该直线的方向向量，有无数多，当直线斜率存在时的法向
Байду номын сангаас
（2）直线 l 的方向向量是 a (3, 3sin ) ，则该直线的倾斜角的取值范围是 （3）直线 l1 , l2 的方向向量分别是 a (2,1), b (3,1) ，则这两直线的夹角是 （4）直线 l 上两点 P ，斜率= 1 1,2 , P 2 2, a ，其方向 a 1,0 ，则 a
。
直线的点法式方程：直线过点 P( x0 , y0 ) ，法向量 a=(A，B) ，则直线方程是
A x x0 B y y0 0
例 2、 （1）写出直线 x 2 y 3 0 的一个方向向量和法向量； （2）直线 l 过点 P(3,8) ，且与直线 x 2 y 3 0 平行，求该直线。垂直呢？
直线的方向向量与平面的法向量课件
提示：(1)√.两条直线平行，它们的方向向量就是共线的，所以方向要么相同，要 么相反． (2)×.一个平面的法向量不是唯一的，一个平面的所有法向量共线．在应用时，可 以根据需要进行选取． (3)×.两直线的方向向量平行，说明两直线平行或者重合． (4)×.直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线与平面可能平行，也可能在平 面内． (5)×.不一定．当 a＝0 时，也满足 a∥l，尽管 l 垂直于平面 α，a 也不是平面 α 的 法向量．
本例条件不变，试求直线 PC 的一个方向向量和平面 PCD 的一个法向量．
【解析】以 A 为坐标原点，分别以A→B ，A→D ，A→P 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的 正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0，0，1)，C(1， 3 ，0)，所以P→C ＝(1， 3 ，－1)，即为直线 PC 的一个方向向量．
【解析】选 C.直线与平面平行，直线的方向向量和平面的法向量一定垂直，经检 验只有选项 C 中 s·n＝0.
2．在△ABC 中，A(1，－1，2)，B(3，3，1)，C(3，1，3)，设 M(x，y，z)是平 面 ABC 内任意一点． (1)求平面 ABC 的一个法向量； (2)求 x，y，z 满足的关系式．
关键能力·合作学习
类型一 确定直线上点的位置(数学运算) 【典例】已知 O 是坐标原点，A，B，C 三点的坐标分别为 A(3，4，0)，B(2，5， 5)，C(0，3，5). (1)若O→P ＝12 (A→B －A→C )，求 P 点的坐标； (2)若 P 是线段 AB 上的一点，且 AP∶PB＝1∶2，求 P 点的坐标． 【思路导引】(1)由条件先求出A→B ，A→C 的坐标，再利用向量的运算求 P 点的坐 标． (2)先把条件 AP∶PB＝1∶2 转化为向量关系，再运算．
方向向量和法向量
AD1 1，1 CD1 0， 1， （ 0， ）， （ 1 ）
Ｚ
D1
E
B1
C1
D B
C
y
A
x
DB1 AD1 1， ） 1，1 0 （ 1， 1 （ 0， ） DB1 CD1 1， ） 0， 1， 0 （ 1，（ 1 1 ）
注： (1, , ) 求法（1）可设法向量的坐标（说明：设法 A 1 1
B
Dx
例、 正方体 ABCD A1B1C1D1中，E、F分别是 D BB1 , CD 的中点。求证： 1F 平面AED
D1
A1
B1
E
D
C1
F B
C
A
DB1 AD1， 1 CD1 DB
又 AD1 AC A
DB1 平面ACD1
故 DB1为ACD1法向量
变形：已知四棱锥
S ABCD的底面是直角梯形， ABC 90 0，AD // BC，SA 平面ABCD
1 SA AB BC 1，AD ，求平面SDC的一个法向量 n 。 2
线线平行：l∥m
λ λ
1、已知Ａ（1，1，-1），Ｂ（2，3，1），则直线ＡＢ 的一个方
1 2 2 1 2 2 n ( , , )或n ( , , ) 向量是 ； 3 3 3 3。 3 3 变形：直线ＡＢ的模为1的方向向量是
2、已知非零向量 a b及平面 、 ，若向量 a 是平面 的法向 量，则 a b 0 是向量 b所在直线平行 或在 内的（ A）
方向向量和法向量直线的方向向量已知方向向量求法向量直线法向量两向量垂直三点共线是四点共面单位向量点到直线的距离公式点方向式法式方程
方向向量与法向量ppt课件
(3)在平面 SCD 中，D→C＝12，1，0，S→C＝(1,1，－1)． 设平面 SCD 的法向量是 n＝(x，y，z)， 则 n⊥D→C，n⊥S→C.所以nn··DS→→CC＝＝00，，
得方程组12x＋y＝0， x＋y－z＝0.
∴xz＝＝－－y2，y，
38
五、垂直关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ； 线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ； 面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
若a (a1,b1,c1),u (a2,b2,c2),则
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,_0_,1__) ___ (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为___(-_1_,_-1__,1_)__
z
O1
C1
A1
B1
o
C
y
A
B
12
x
如何刻画平面的方向？
二、平面的法向量：
对于非零的空间向量n, 如果它所在的直线与平面垂直，
那么向量n叫做 平面的一个法向量.
D
C
D’(0,0,0). (1)AA' (0,0 3),
直 线AA'的 一 个 方 向 向 量 是
A
3
B
d AA' (0,0 3).
(2)d B'C (4,0,3).
(3)d A'C (4,2,3).
(4)d DB' (4,2,3).
D’
A’
2
x
C’ y
4
立体几何中的向量方法(一)——方向向量与法向量
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
（一）. 平行关系：
(1) l / /m a / /b a b ；
a
l
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l / / a u a u 0 ；
A
E
C Y
于是
1 2
y
1 2
z
0
取z 1 n 1X, 1, 1
B
x y 0
作业题：已知A(2, 0, 0), B(0, 2, 0),C(0,0,1) 求平面ABC的法向量.
例2.用向量方法证明 定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行, 则这两个平面平行
已知 直线l与m相交,
l , m , l∥ , m∥ 求证∥ .
问题：如何求平面ABC的单位法向量呢？
求法向量的步骤：
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
(2)找出（求出）平面内的两个不共线的
向量的坐标a (a1,b1,c1),b (a2,b2,c2) (3)根据法向量的定义建立 关于x, y, z的
方程组
n
•
a
0
n •b 0
(4)解方程组，取其中的一 个解，即得法向量。
的中点， 求平面EDB的一个法向量.
解：如图所示建立空间直角坐标系.
Z
依题意得D(0, 0, 0), P(0, 0,1),
P
E(0, 1 , 1 ) B(1,1，0)
22
DE (0, 1 , 1 ) DB =(1,1，0)
22
设平面EDB的法向量为 n (x, y, z)
方向向量和法向量
方向向量和法向量1. 方向向量（Direction Vector）方向向量是一种单位向量，可用来描述两个点之间的方向。
它以一个信息表达式来表示，表达式内容包括单位向量的组成，特别是指定方向的两个点及其方向。
一般表达式形式为：P1→P2=P2-P1。
它反应出P1点到P2点的方向向量，其中P1是起点，P2是终点。
方向向量由两部分组成：一部分是方向信息，即向量的定义方向；另一部分是大小信息，即向量的模量或大小。
具体地说，方向向量是一个有两个变量的函数，它表示出某一物体运动的方向，按照定量的数值计算上升或下降，或者改变方向等等。
2. 法向量（Normal Vector）法向量也称法线，是指在图形面上的向量，它与面上的每一个点都具有特定的方向，大多数情况下与平面垂直。
一般而言，面的法向量可以用起始点和终点的坐标来定义，即：p1→p2⃗＝<n1, n2, n3>，其中n1、n2、n3分别代表X、Y、Z轴的分量。
由于法向量的方向和面的方向一致，因此表示该法向量的一般表达式为：u＝←s1、s2、s3→，其中，s1、s2、s3分别表示法向量组成的X、Y、Z轴分量。
法向量在几何及微分学中有重要的应用，在计算几何学中，用以表示平面及曲面的对称性信息，而在微分学中，法向量用于求解变分不等式，甚至是立体几何学的问题。
在三维空间中，法向量与法线构成了一个独立的空间，也就是所谓的法向量空间，通常用来表示物体的外观和形状特征。
总之，方向向量（Direction Vector）和法向量（Normal Vector）都具有重要的作用,对数学和几何学的应用很广泛，是进行一些复杂计算的基础。
方向向量是指两个点之间的运动方向；而法向量是指面上的向量，它和面上的每一个点都有相对应的方向，并且通常与平面垂直。
方向向量与法向量
D
C
D’(0,0,0). (1)AA'(0,03),
直线AA'的一个方向向量是 A 3
B
dAA' (0,03).
(2)dB'C (4,0,3).
(3)dA'C(4,2,3).
(4)dDB' (4,2,3).
D’
A’
2
x
C’ y
4
B’
1．若 A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向
量为( )
A．(1,2,3)
B．(1,3,2)
C．(2,1,3)
D．(3,2,1)
【解析】 A→B＝(2,4,6)＝2(1,2,3)．
【答案】 A
2．(2014·济宁高二质检)已知向量 a＝(2，－3,5)与 b＝(4，x，
y)平行，则 x，y 的值分别为( )
A．6 和－10
B．－6 和 10
C．－6 和－10
（二）、垂直关系：
(1) lma b a b 0
l
a
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) la //u a u
l
u
a
C
A
B
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则 （3）u v u v 0
u
a
α
② a ∥ A C ③ a x A B y A D
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(3) / / ① u / /v u v.
立体几何中向量方法——方向向量与法向量与例题讲解
则 n AB ，n AC .∵ AB (3, 4, 0) , AC (3, 0, 2)
∴
( (
x, x,
y, y,
z) z)
(3, (3,
4, 0,
0) 2)
0 0
即
3 x 3 x
4y 2z
0 0
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量. l
平面 α的向量式方程
a
aAP0
A
P
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
(1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,0__,0_)___
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,0__,1_)____
(3)平面AB1C 的一个法向量坐标为__(_-_1_,-_1_,_1_)__
z
O1
C1
A1
B1
o
C
y
A
B
x
立体几何中的向量方法——方向向
量与法向量和例题讲解
例 2.在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) ,
C(0,0, 2)
,试求平面
ABC习 的惯 一上 个取 法n 向(量x,.ny,1 )
2 3
,
1 2
,1
解:设平面 ABC 的一个法向量为 n ( x, y, z)
a
l
b
m
立体几何中的向量方法——方向向 量与法向量和例题讲解
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
精选方向向量和法向量讲义
第27页，共48页。
(3)在平面 SCD 中，D→C＝12，1，0，S→C＝(1,1，－1)． 设平面 SCD 的法向量是 n＝(x，y，z)， 则 n⊥D→C，n⊥S→C.所以nn··DS→→CC＝＝00，，
A’
B’
x
w0 2u v
0
取u 1 v 2,
平面ACC' A'的一个法向量 n (1,2,0).
第14页，共48页。
(3)设n (u, v, w)是平面ACD'的一个法向量，
z
n
AC
n
AC
0
n AD' n AD' 0
2 D
4
A B
AC (4,2,0), AD' (4,0,3),
的法向量分别为 u, v ，则
线线平行 l ∥ m a ∥ b a kb ；
线面平行 l ∥ a u a u 0 ；
面面平行 ∥ u ∥ v u kv.
注设意直：线这l里的的方线向线向平量行为包a括线(a线1,重b1合, c1，),线平面面平行的
包法括向线量在为面u内，(面a2面, b2平, c行2 )包,则括面面重合.
第23页，共48页。
求平面向量的法向量 已知 ABCD 是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面
ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，试建立适当的坐标系．
图 3)求平面 ABCD 的一个法向量； (2)求平面 SAB 的一个法向量； (3)求平面 SCD 的一个法向量．
直线的方向向量与法向量的求法
直线的方向向量与法向量的求法
如图所示，当直线0:=++C By Ax l 的斜率存在时，直线与坐标轴分别交于M 、N 两点，过点N 作直线l 的垂线NP ，交横轴于点P,则，向量→m 是直线的方向向量，向量→
n 是直线的法向量，那么，如何求这两个向量呢？
【解析】易知),0(),0,(B C N A C M --，故),(),1(),(A B AB C k A C B C A C MN -==-=→
或， 所以，直线的方向向量),1(k m =→或),(A B m -=→; 又∵A B k NP =
，∴直线NP 的方程为B
C x A B y -=， 易知)0,(2B AC P ，故),()1,1(),1(),(2222B A B
C k B AC A B B AC B C B AC NP 或-===→， 所以，直线的法向量),()1,1(B A n k n =-=→→或． 说明：当直线的斜率不存在时，就分别用其后一个公式即可．
例、求下列直线的方向向量与法向量：
（1）0532=+-y x ； （2）073=+x ．
解：（1）直线的方向向量为)2,3(--=→m 或)32,1(=→m ， 直线的法向量为)2
3,1()3,2(-=-=→→n n 或；
（2）直线的方向向量为)1,0(1,0)3,0(--=→）或或（m ，
直线的法向量为)0,1()0,1()0,3(-==→→或或n n ．。