第9讲对数及其运算
2021年新高考数学一轮专题复习第09讲-对数与对数函数(解析版)
(2)由题意，易知 a>1.
在同一坐标系内作出 y＝(x－1)2，x∈(1，2)及 y＝logax 的图象.
若 y＝logax 过点(2，1)，得 loga2＝1，所以 a＝2. 根据题意，函数 y＝logax，x∈(1，2)的图象恒在 y＝(x－1)2，x∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2]. 规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高 点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 考点三 对数函数的性质及应用 【例 3－1】 已知函数 f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( )
调性时，一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.
[方法技巧]
1.对数值取正、负值的规律
当 a>1 且 b>1 或 0<a<1 且 0<b<1 时，logab>0；
当 a>1 且 0<b<1 或 0<a<1 且 b>1 时，logab<0.
2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化
2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
1，－1
3.对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，a
，函数图象只在
第一、四象限.
三、 经典例题
考点一 对数的运算
【例 1-1】
(1)计算：
lg1－lg 25 4
÷100－1＝________.
对数的概念和运算性质课件
常见的对数方程解法
方法包括转换法、换底法、 指数幂等式法、配方法及 直接化幂为幂、幂等式、 差倍角公式。
真实场景中的对数方 程应用
生物学、化学、物理学和 金融学等领域中使用对数 方程来解决实际问题。
对数在实际问题中的应用
对数在生物学中的应用
对数函数可以用于描述生物学 中导数增长，基因表达和代谢 过程等。
• 《高中数学教师操作 指南第8册》
• 《高中数学课件：对 数公式集锦》
网络资源推荐
学术期刊推荐
• Khan Academy 对数 公式视频
• Wolfram Alpha 对数计算器
• Nature 数学部分论文
• Journal of Mathematical Analysis and Applicationgab 表示以 a 为底，b 的对数。
特殊情况：自然对数和常用对数
自然对数以 e（欧拉数）为底，常用对数以 10 为底。
对数的运算性质
1
对数的除法法则
2
loga(b/c) = logab - logac
3
对数的乘法法则
loga(bc) = logab + logac
对数的幂运算法则
logabc = c logab
对数的换底公式
定义
换底公式将一个对数重新表示 为以不同底数的对数。
推导过程
我们可以使用对数乘法法则和 对数的无穷级数来推导换底公 式。
举例说明
应用换底公式简化对数运算可 以减少常见错误。
对数方程的解法
对数方程的基本概念
解对数方程涉及用对数函 数来消去指数，得到一个 关于变量的代数方程。
对数在物理学中的应用
对数可以用于描述物理刺激强 度和感官响应之间的关系，以 及放射性退化中元素浓度的变 化。
对数概念及其运算(课堂PPT)
斯在他的著作《自然辩证法》中曾经把笛卡儿的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积 (Pierre Simon
Laplace,1749—1827)曾说：对数，可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延
4.4 对数的概念及 其运算
2 对数运算法则
14
任取两组M、N完成下表
从中请找出同底的对数有哪些运算性质？并证明其中其中一个性质。 并注意每个性质要满足什么条件才能成立
那么 数b就叫作以a为底N的对数
记作
log aN = b
叫作底数
a>0,a≠1
叫作以a为底N的对数 b∈R
叫作真数
N>0
常用对数：lg x
3
自然对数：ln x
例1：求下列各式中x的取值范围
1 lo g 2 (1 2 x ) 2 lo g x x
2
3 lo g ( x 2 x ) x 1
12
对数的发明
对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢?在数学史上， 一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔 (J·Napier,1550～1617) 在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门
纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于
解1.08x=2 23
思考题
❖ 21000是几位数
l o g 2 x p ; l o g a y q ; l o g a z r , 把 a 2 p q 3 r 用 x , y , z 表 示
2log2 54
log2 2 2
2 3 log4( 32)2 log9( 32)2
对数的性质与运算
对数的性质与运算对数是数学中常用的一种运算工具，它在科学、工程和计算机等领域被广泛应用。
对数有许多独特的性质和运算规则，下面将对这些内容进行介绍。
一、对数的定义对数可以理解为指数的逆运算。
设 a 和 x 是正数，且a ≠ 1，那么以a 为底的 x 的对数表示为logₐx，满足 a 的 x 次幂等于 x，即a^logₐx = x。
其中，a 称为底数，x 称为真数。
二、对数的性质1. logₐ1 = 0：任何数以自身为底数的对数均为 0。
2. logₐa = 1：任何数以自身为底数的对数均为 1。
3. logₐ(a × b) = logₐa + logₐb：两个正数的乘积的对数等于各自对数之和。
4. logₐ(a / b) = logₐa - logₐb：两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数。
5. logₐaⁿ = n × logₐa：一个数的 n 次幂的对数等于该数的对数乘以 n。
6. logₐa = 1 / logₐa：等式左右两边互为倒数。
三、对数的运算1. 对数的乘法：logₐ(a × b) = logₐa + logₐb。
对数的乘法规则表明，两个正数的乘积的对数等于各自对数之和。
例如：log₂2 + log₂3 = log₂(2 × 3) = log₂6。
2. 对数的除法：logₐ(a / b) = logₐa - logₐb。
对数的除法规则表明，两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数。
例如：log₃8 - log₃2 = log₃(8 / 2) = log₃4。
3. 对数的幂：logₐaⁿ = n × logₐa。
对数的幂规则表明，一个数的n 次幂的对数等于该数的对数乘以n。
例如：log₄(2³) = 3 × log₄2。
4. 对数的换底公式：logₐb = logₓb / logₓa。
换底公式是用于将对数的底数从一个给定的底数转换为另一个给定的底数。
对数的基本性质和运算公式
对数的基本性质和运算公式对数是数学中非常重要和常用的概念，它在许多领域都有广泛的应用。
对数的基本性质和运算公式包括对数的定义、对数的性质、对数的运算规则以及一些常用的对数公式等。
本文将详细介绍这些基本性质和运算公式。
一、对数的定义：对数是指数运算的逆运算。
设a为一个正实数，b为一个正实数且不等于1，若满足b^x = a，其中x为实数，则称x为以b为底a的对数，记作x = log_b a。
其中，a称为真数，b称为底数，x称为对数。
在对数的定义中，底数和真数的位置可以互换，即x = log_b a等价于 a = b^x。
二、对数的性质：1.对数的定义保证了对数的唯一性，即对于给定的底数和真数，对数是唯一的。
2.对于不同的底数，同一个真数的对数是不同的。
3.当底数为1时，对数不存在，因为1的任何次幂都等于14. 当真数为1时，对数等于0，即log_b 1 = 0。
5.当底数为0时，对数不存在，因为0无法作为一个数的底数。
6.当0<b<1时，对数是负数；当b>1时，对数是正数；当b=1时，对数等于0。
三、对数的运算规则：1.对数的乘法法则：log_b (a * c) = log_b a + log_b c2.对数的除法法则：log_b (a / c) = log_b a - log_b c3.对数的幂法法则：log_b (a^p) = p * log_b a，其中p是任意实数。
这些运算规则可以用来简化对数运算或者将对数转化成乘法和除法的形式。
四、常用的对数公式：1.自然对数和常用对数之间的换底公式：log_b a = log_c a / log_c b，其中b和c是底数。
2.e为底的自然对数：自然对数是以e (自然常数)为底的对数，记作ln(x)。
3.常用对数：常用对数是以10为底的对数，记作log(x)。
4.对数性质的推广：log_b a^n = n * log_b alog_b √(a) = 1/2 * log_b a这些对数公式在计算和解决问题时都有常用的作用。
对数与对数运算课件
.
(2)logaMN＝ logaM－logaN .
(3)logaMn＝nlogaM (n∈R)．
换底公式 【问题导思】 计算log832的值，你能分析一下，其与log28同log232的关系 吗？ 【提示】 设log832＝x，∴8x＝32， ∴23x＝25， ∴x＝53，又log28＝3，log232＝5， ∴log832＝lloogg22382.
忽略真数大于0致误 已知lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，求xy的值． 【错解】 因为lgx＋lgy＝2lg(x－2y)，所以xy＝(x－2y)2， 即x2－5xy＋4y2＝0，即(x－y)(x－4y)＝0，解得x＝y或x＝4y，所 以xy＝1或yx＝4.
【错因分析】 错解中，lgx＋lgy＝2lg(x－2y)与xy＝(x－ 2y)2对x，y的取值范围要求是不相同的，即求解过程不等价， 因此，得出解后要代入原方程验证，这是求解过程中最易忽略 的地方．
【自主解答】 设物质的原有量为a，经过t年，该物质的
剩余量是原来的13，由题意可得a·0.75t＝13a，
∴
3 4
t＝
1 3
，两边取以10为底的对数得lg
3 4
t＝lg
1 3
.∴t(lg3－
2lg2)＝－lg3，
∴t＝lg3－－lg23lg2≈2×0.300.1407－710.4771≈4(年)．
当xy＝4时，将x＝4y代入已知条件，符合题意，所以yx＝4.
2．计算lg10、lg100、lg1000及lg104的值，你能发现什么 规律？
【提示】 lg10＝1，lg100＝lg102＝2，lg1000＝lg103＝ 3，lg104＝4，
可见lg10n＝n＝nlg10.
对数概念及其运算
M
n
n m
loga
M m, n
R, m
0。
用语言文字叙述对数运算法则为两个正数的积的对数等于这两个对数的和；两个正数的商
的对数等于这两个正数的对数的差；一个正数的 n 次方的对数，等于这个正数的对数的
n 倍。 【例 3】下列各式与 lg ab 相等的是（）
c
( A) lg ab lg c Blg a lg b lg c Clg a lg b lg c Dlg ab lg c
【例 4】计算：
1lg 0.012; 3log2 3 log2 5;
2log4 42 3 4 ;
4log5
3 2
log5
5 4
log5
2
.
知识点 3 换底公式 1.换底公式
logb
N
loga N loga b
a
0, a
1,b
0, b
1,
N
0
2.换底公式的推论
1loga
b
1 logb
a
a
0,
a
1,
b
0,
b
1
2loga b logam bm a 0, a 1,b 0
3logam
bn
n m
loga
ba
0, a
1,b
0, m
0
【例 5】计算：
1log8 32;
2log25 4 log8 5;
3log4 3 log8 3log3 2 log9 2;
4log2
1 25
log3
x2 3(
3xx
x
0)
0
（A）①②③
（B）①②④
PPT教学课件对数及其运算
补充： （1）2Na2O2 + 2H2O = 4NaOH + O2
用带火星的木条插入试管观察现象： 带火星的木条复燃。
结论：有氧气产生。
滴加酚酞观察现象： 溶液先变红色，然后红色褪去。
结论：氢氧化钠溶液使酚酞变红；过氧化钠有 强氧化性，漂白作用使红色褪去。
1二、.金钠属的与化非学金性属质单：质的反应：
随堂 检测
1.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
(A).100=1与lg1=0
(B). log55=1与51=5.
1
(C).log 3 9 2与92 3
1
(D).27 3
1与log 3
27
1 3
1 3
解:∵只有C中两式的底数不同(一为3,另一为9)∴C不正确,选C.
2.以7为底, 343 的对数等于()
（四）换底公式与自然对数
在求底数不是10 的对数时，可以根据对数的性质，
利用常用对数进行计算
换底公式：
证明:设log b
Nlo=gbxN， = lloo则 ggaaNb
bx =N
两边取以a为的对数，得
xloga b=loga N
所以
x= loga N loga b
即
logb N=
loga N loga b
(D).logaN=2
解.根据对数的定义, N=a2中的指数2叫做以
a为底N的对数,记作 logaN=2. ∴应选 D.
4. 若 logx 7 y z ,则( )
(A).y7=xz (B).y=x7z (C).y=7•xz (D).y=z7x
课堂练习
1.将下列指数式写成对数式: 3.求下列各式的值:
对数及其运算讲义
授课内容：（一）对数1.对数的概念：一般地，如果Q=N（">O,"H1）,那么数x叫做以"为底"的对数, 记作：x = b浜N（“_底数,N—真数，bg“N_对数式）说明：①注意底数的限制。
>°,且"工1;Q / =N oIog°N = x；lo。
N0注意对数的书写格式.两个重要对数：①常用对数：以10为底的对数IgN；0自然对数：以无理数0 = 2.7182&…为底的对数的对数InN.指数式与对数式的互化a b =Nolog“N= b（二）对数的运算性质如果。
>0,且"工1, M>0, N>0,那么：① log fl（M . N）=log“M+log“N；]M _Q◎亦一1呱必_1呱化③ log fl M,!= /2 log fl M （n e R）注意：换底公式】,log,log/= --------------log, （d>0,竺"Hl；C>0, g.cHl；b>0）利用换底公式推导下面的结论log h" = —log fl/? l°g°b =—（1）川;（2）吨/.（四）例题例1、设a, b, c都是正数，且3M b=6\那么（）解：由 a, b, c 都是正数，且 3a =4b =6c =M,则 a=log 3\ b=logA c=log 6M 例2、若a>l, b>l,昨严吐,则『等于()A 、1B 、bC 、log h aD 、a ,OK b alog h (lo$h a)解：由对数的换底公式可以得出p 二 ------ T^~Q ----- =log it (log h a),因此，a"等于logi,a.1,则x 属于区间( 例4、若3牛9二10・3\那么x'+l 的值为( ) A 、1B 、2C 、5D 、1 或 5专题：数形结合。
对数及其运算教案
对数及其运算教案教案标题：对数及其运算教案教案概述：本教案旨在引导学生了解对数及其运算的概念和性质，培养学生对对数运算的理解和应用能力。
通过多种教学方法和学习活动，学生将能够掌握对数的定义、性质和运算规则，并能够灵活运用对数进行数值计算和问题解决。
教案目标：1. 了解对数的定义、性质和运算规则；2. 能够进行对数的数值计算；3. 能够运用对数解决实际问题。
教学重点：1. 对数的定义和性质；2. 对数的运算规则；3. 对数的应用。
教学难点：1. 对数的运算规则的理解和应用；2. 对数在实际问题中的应用能力。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、白板、笔等；2. 学生准备：教材、笔、纸。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过提问或展示一些实际问题，引起学生对对数的兴趣和思考，如：“如果我告诉你某个数的对数是3，你能猜出这个数是多少吗？”；2. 学生回答并展示自己的思考过程。
二、概念讲解（15分钟）1. 教师通过教学课件或板书，讲解对数的定义和性质，包括对数的底数、真数和指数的概念；2. 教师引导学生通过实例理解对数的意义和作用；3. 学生积极参与讨论和提问，确保对对数的定义和性质有清晰的理解。
三、运算规则讲解（20分钟）1. 教师通过教学课件或板书，讲解对数的运算规则，包括对数的乘法法则、除法法则和幂法则；2. 教师通过实例演示和解释，帮助学生理解对数运算规则的应用；3. 学生跟随教师一起进行练习，巩固对数运算规则的掌握。
四、练习与应用（20分钟）1. 学生个体或小组进行练习题，包括对数的数值计算和应用题；2. 教师巡回指导，解答学生的问题，帮助学生理解和解决难点；3. 学生展示自己的解题思路和答案，进行互评和讨论。
五、拓展与总结（10分钟）1. 教师提供一些对数相关的拓展问题，鼓励学生进行思考和探索；2. 学生讨论和分享自己的解题思路和答案；3. 教师对本节课的内容进行总结，并展示对数在实际生活中的应用。
对数与对数运算
汇报人：日期:对数与对数运算常用对数任意底数的对数值域定义域加减法换底公式乘除法对数和指数互为逆运算。
例如，如果x^n=b，那么log(x)(b)=n；如果log(x)(b)=n，那么x^n=b。
对数的定义可以看作是“以任意底a把某个数x升幂到x^1=x”。
例如，log(2)(8)=3，因为2^3=8。
同样地，指数函数可以看作是“以任意底a把某个数x降幂到1”。
例如，2^3=8，因为2^3=8。
对数与指数的关系03幂法则01乘法法则02除法法则对数运算法则对数运算的简化无穷大的对数负数的对数整数的指数幂-log(x)。
对于整数n，log(a^n) = n *log(a)。
在科学计算中的应用在金融领域中的应用在信息科学中的应用对数运算的实际应用ln(xy)=lnx+lny ln(x^n)=nlnx01定义：常用对数是以10为底数的对数，记作lg x。
02性质：常用对数函数在定义域内是单调递增函数，其性质包括03当x>0时，log(x^n)=nlogx04log(xy)=logx+logy 05log(x/y)=logx-logy06log(x^n)=nlogx对数的换底公式对数函数的定义与性质定义对数函数是指数函数与自然对数的复合函数，即$log_{a}x$，其中$a$为底数，$x$为真数。
性质对数函数具有非负性、单调性、奇偶性等性质。
当$a>1$时，对数函数为增函数；当$0<a<1$时，对数函数为减函数。
利用计算机软件如GeoGebra、Desmos等可以方便地绘制对数函数的图像。
绘制方法图像求解方程01数据分析02信号处理03换底公式对于不同底的对数，可以通过换底公式“log(a, b) = log(c, a) / log(c, b)”进行转换。
求解方法利用对数的性质，例如log(a, b) = 1/log(b, a)，可以对方程进行变形，从而求得未知数的值。
定义域分析先需要分析其定义域，即a和b的取值范围是否满足对数函数的定义。
第09讲-对数与对数函数(讲义版)
第09讲-对数与对数函数一、考情分析1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3.知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数(a>0，且a≠1)．二、知识梳理1.对数的概念一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log a m M n＝nm log a M(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. [微点提醒]1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log ba ；(2)log a mb n ＝n m log a b . 其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R .2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限.三、 经典例题考点一 对数的运算【例1-1】 (1)计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________. (2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.【解析】 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝⎛⎭⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 6 63·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 考点二 对数函数的图象及应用【例2-1】 (1)若函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(1，2]D.⎝⎛⎭⎫0，12 【解析】 (1)由f (x )在R 上是减函数，知0<a <1.又y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴当x >1时，y ＝log a (x －1)的图象由y ＝log a x 向右平移一个单位得到.因此选项D 正确. (2)由题意，易知a >1.在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)及y ＝log a x 的图象.若y ＝log a x 过点(2，1)，得log a 2＝1，所以a ＝2.根据题意，函数y ＝log a x ，x ∈(1，2)的图象恒在y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2].规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 考点三 对数函数的性质及应用【例3－1】 已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析 由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C【例3－2】 (1)(一题多解)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b(2)若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1D.(0，1)∪(1，＋∞)【解析】 (1)法一 因为a ＝log 2e>1，b ＝ln 2∈(0，1)，c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a >1，所以c >a >b .法二 log 1213＝log 23，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝ln x 的图象，由图知c >a >b .(2)由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 【例3－3】 已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.【解析】 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立.∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件. [方法技巧]1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定.5.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0<a <1与a >1两种情况讨论.6.在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N +，且α为偶数).7.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.四、 课时作业1．（2020·土默特左旗金山学校高一开学考试（文））设82log 9log 3a=，则实数a 的值为（ ）A ．32B ．23C ．1D ．22．（2020·长春市第二十九中学高三期末（理））函数y ＝ln |x |＋1的图象大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．3．（2020·陕西省高三开学考试（文））若24log log 1x y +=，则（ ）A ．22x y =B ．24x y =C ．22xy =D ．24xy =4．（2020·九台市第四中学高一期末）函数0.5log (43)y x =-的定义域为（ ）A ．（34，1） B ．（34，∞） C ．（1，+∞） D ．（34，1）∪（1，+∞） 5．（2020·海南省海南中学高三月考）已知实数ln22a =，22ln2b =+，2(ln2)c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c a b << B ．c b a << C ．b a c <<D ．a c b <<6．（2020·肥东县综合高中高三二模（理））已知函数()log 1(0,1)a f x x a a =->≠，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则12341111x x x x +++=（ ）A ．2B ．4C ．8D ．随a 值变化7．（2020·榆林市第二中学高三零模（理））等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+8．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（理））已知0,0a b >>，且1ab =，则函数()x f x a =与函数()log b g x x =-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2020·湖南省宁乡一中高一期末）设函数()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()2f f 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．310．（2020·甘肃省甘谷第一中学高一开学考试）已知函数2()log (23)a f x x x =+-，若(2)0f >，则此函数的单调递增区间是（ ）A ．(1,)(,3)+∞-∞- B ．(,3)-∞-B ．C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞11．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞12．（2020·甘肃省高三一模（文））若函数()20202020log 1010f x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭为奇函数（其中a 为常数），则不等式()0f x ≥的整数解的个数是（ ） A ．1011B ．1010C ．2020D ．202113．（2020·湖南省宁乡一中高一期末）计算：02lg 2lg53⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值是________． 14．（2020·江苏省盐城中学高三月考）已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．15．（2020·海南枫叶国际学校高一期末）不用计算器求下列各式的值 （1）()11230988.6427-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）7log 23lg25lg472log +++16．（2020·甘肃省甘谷第一中学高一开学考试）设函数33()log (9)log (3)f x x x =⋅，且199x ≤≤． （1）求(3)f 的值；（2）令3log t x =，将()f x 表示成以t 为自变量的函数；并由此，求函数()f x 的最大值与最小值及与之对应的x 的值．17．（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．18．（2020·天水市第一中学高一月考）已知函数()()lg 2(01)x xf x m m =-<<．（1）当12m =时，求()f x 的定义域； （2）试判断函数()f x 在区间(,0)-∞上的单调性，并给出证明； （3）若()f x 在区间(,1]-∞-上恒取正值，求实数m 的取值范围．19．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（文））已知函数()log (2)(0,1)a f x x a a =+>≠． （1）求函数()f x 定义域；（2）若(2)2f =，判断函数()f x 单调性，并用单调性定义证明； （3）解关于x 的不等式()0f x >．20．（2020·山西省大同一中高二月考（理））已知函数()()2232log ,log f x x g x x =-=. (1)当[]1,4x ∈时，求函数()()()1h x f x g x ⎡⎤=+⋅⎣⎦的值域；(2)如果对任意的[]1,4x ∈，不等式()()2f x fk g x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围．。
对数的运算性质及其应用课件
广泛
对数可以将复杂的指数计
对数的乘法、除法和指数
算简化为简单的加减运算。
运算法则可以简化计算。
对数在科学、金融和工程
等领域中有着重要的作用。
计算机科学算法
对数在算法设计和分析中有着重 要的应用，可以提高算法的效率。
对数在科学和工程中的应用
1
天文学研究
对数可用于测量星等、星光强度和星系的距离。
2
信号处理
对数可以用于对声音、图像和视频等信号进行压缩和处理。
3
电路设计
对数可以用于分析和设计电路中的放大器、滤波器和振荡器等。
总结和要点
1 对数是指数的逆运算 2 对数具有良好的性质 3 对数在各领域中应用
对数在科学、金融和工程 等领域中具有广泛的应用， 是解决复杂问题的重要工 具。
对数的乘法和除法法则
乘法法则
两个数的对数相加等于这两个数相乘的对数。
除法法则
两个数的对数相减等于这两个数相除的对数。
对数的指数运算法则
指数乘法法则
对数的指数运算可以简化为将 指数相乘。
指数除法法则
对数的指数运算可以简化为将 指数相除。
对数的运算性质及其应用 ppt课件
本课件旨在介绍对数的基本概念和运算性质，以及对数在各个领域的实际应 用。通过本课件，您将深入了解对数的重要性和用途。
对数的定义和基本性质
1 什么是对数？
对数是指数的逆运算，用 于表示数的特点
3 对数的重要性
对数可以将复杂的指数计 算简化为简单的加减运算， 从而提高计算效率。
指数幂运算法则
对数的幂运算可以简化为将指 数乘以幂。
对数的换底公式
换底公式
用一个底数的对数表示另一个底数的对数，可以简 化计算。
对数的概念及运算法则 ppt课件
（1）54 625 log5 625 4
（2） 26 1 64
（3） 3a 27
log 2
1 64
6
log3 27 a
（4）
1
m
5.73
log1 5.73 m
3
3
ppt课件
6
例2： a x N loga N x
感
悟 数
(2) log0.51= 0
学 (3) ln1= 0
你发现了什 么?
“1”的对数等于零,即loga1=o
ppt课件
15
探 求下列各式的值：
究
活
动 感
(1) log33= 1
悟 数
(2) log0.30.3= 1
学
(3) lne= 1
你发现了什 么?
底数的对数等于“1”,即logaa=1
ppt课件
1 2
1
1
27 3
1
3
11 log27 3 3
ppt课件
9
课堂练习
2 将下列对数式写成指数式：
（1） log3 9 2 （2） log5 125 3
32 9 53 125
1 （3） log 2 4 2
（4）
log
3
1 81
4
22 1 4
16
探 求下列各式的值：
究
活
动 ( 1 ) l o g3 34 4
感
悟 数 学
(2) log0.90.92 2
(3) ln e8 8
对数运算课件
对数运算课件数运算是数学的基础，也是我们日常生活中经常使用的一种运算方法。
在数运算中，对数运算是一种非常重要的运算方法。
在这篇文章中，我们将探讨对数运算的基本概念、性质以及应用。
一、对数运算的基本概念对数运算是指将指数运算转化为对数运算的过程。
在对数运算中，我们常用的是以10为底的对数，即常用对数。
对于一个正数a，我们用log a表示以10为底的对数，即log a = x，其中x是满足10^x = a的数。
例如，log 100 = 2，因为10^2 = 100。
二、对数运算的性质1. 对数的乘法性质：log (a*b) = log a + log b。
这个性质说明，对数运算中的乘法可以转化为对数的加法运算。
例如，log (100*1000) = log 100 + log 1000 = 2 + 3 = 5。
2. 对数的除法性质：log (a/b) = log a - log b。
这个性质说明，对数运算中的除法可以转化为对数的减法运算。
例如，log (1000/100) = log 1000 - log 100 = 3 - 2 = 1。
3. 对数的幂运算性质：log (a^b) = b * log a。
这个性质说明，对数运算中的幂运算可以转化为对数的乘法运算。
例如，log (100^3) = 3 * log 100 = 3 * 2 = 6。
三、对数运算的应用1. 对数运算在科学计算中的应用：在科学计算中，经常需要进行大量的乘法和除法运算。
使用对数运算可以将这些复杂的运算简化为对数的加法和减法运算，从而提高计算的效率。
2. 对数运算在物理学中的应用：在物理学中，经常需要处理指数函数的运算。
使用对数运算可以将指数函数转化为线性函数，从而简化问题的求解过程。
3. 对数运算在经济学中的应用：在经济学中，经常需要处理复利的计算问题。
使用对数运算可以将复利问题转化为简单利息问题，从而方便计算和比较不同投资方案的收益率。
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22
lg 6
32
3 lg6
2
lg6
3
18
1 3
lg6
2
=
lg 6
22
lg 6
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3
lg6
2
1 3
lg6
18
1 3
lg6
2
= lg6 22 lg6 32 lg6 2 lg6 9
= lg6 22 lg6 32 2lg6 2 lg6 3 =lg6 2 lg6 32
=1
3
1 log4 8 2 ;log2 4 2 ;log2 8 3 .
x=
3
2
log9
27
3 2
设 loga 1 x 例析4： 设 loga a x
a x =1 即a x =a0 x=0 loga 1 0
1的对数恒为0 a x =a x=1 loga a 1
底数的对数恒为1
1.常用对数： 特殊对数 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。
为了简便,N的常用对数 log10 N 简记作lgN。 例如：log10 5 简记作lg5；log10 3.5 简记作lg3.5. 2.自然对数： 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数，以e为底的对数叫自然对数。
0
.
猜一猜：loga M n ?
例2.计算
பைடு நூலகம்
1 lg 52 3 lg 2 2 lg 5 lg 2 lg 5;
2 lg 8 lg125 lg 2 lg 5 ;
1g 10 lg 0.1
3 lg6
22
lg 6
32
3 lg6
2
lg 6
3
18
1 3
lg 6
2
.
例解析析：：21lglg8 5lg2 1253lglg222lglg55 lg 2 lg 5
为了简便，N的自然对数 log e N 简记作lnN。
例如：log e 3 简记作ln3 ; log e 10 简记作ln10 3.底数a的取值范围： (0,1) (1,)
真数N的取值范围 : (0,)
1
例11 对数式 log2a1 6 2a 有意义的条件是
( ,1) U(1, 3) 2
；
2 若a
指数
真数
ab N loga N b
底数 幂
底数 对数
将下列指数式化为对数式
42 =16 log4 16 2 ；102 =100 log10 100 2 ；
1
1
4 2 =2 log4 2 2 ；102 =0.01 log10 0.01 2；
将下列对数式化为指数式
log3 27 3 log10 1000 3
102
ab 2
102ab
10a
2 10b 4
3
解析：3 log7 log3 log2 x 0 log3 log2 x =1
log2 x=3 x 8
二、对数的运算性质
loga M loga N loga MN a 0,a 1; M 0, N 0
计1l算l观o你 证 og即 lg猜 设ll即 察 oa能 明ooagggMMl一MNl2上 ol证 ：22oo3gN84gg猜n2述 a明aaalM： Moa结 MN吗lngaxNoa果 lgx？o532Naagxa，lMaloy,yolgM你 golaagoaMa发 lgaaM;oxaxaNg现yMayNl0N了loo,gyaga什 aaN?2lN么则o10g;l,？oaaMalllgoxxMoogagg3NM1N3320M;937,MN,axxyy0021y,3yNN
学习目标
1.理解对数的含义，能正确地进行指对数的互化. 2.理解掌握对数的运算性质，能正确地进行对数 的运算. 3.理解掌握换底公式，能正确应用换底公式进行 对数变形.
问题导入
1.截止到1999年底，我国人口约13亿.如果今后能 将人口年平均增长率控制在1%，到哪一年我国的人 口数将达到18亿？
33 27
；log2
1 2
103 1000 ；log
= 1 14
2
21
1 2
1 2 2
4
； ；
2
ab N loga N b
对数的存在性 Q a 0 ab 0 即N 0 只有正数才有对数 0和负数没有对数
式子loga N a 0,a 1有意义的条件是N 0
对数恒等式
a Q abloga NN NlogaaN0b, a 1 aloga N N
lg 2, b
lg
3,
则100 a
b 2
4 3
;
3已知log7
log3
log 2
x
0,
则x
1 2
2 4
.
2a 1 0
解析：1 依题意得
2a
1
1
6 2a 0
解得 1 a 3且a 1 2
解析：2 a lg 2 10a 2,b lg 3 10b 3
ab
100 2
例1.计算
1.log3 9; 2.log9 27; 3.loga 1; 4.loga a;
5.log4 3 81; 例析1：
6.log2 3 2 3
设 log3 9 x 则3x =9 即3x =32 x=2 log3 9 2
例析2：
设 log9 27 x 则9x =27 即32x =33 例析3：
（1）由2，4得到数16的运算是 乘方运算。
记为：24＝16
（2）由16，4得到数2的运算是 开方运算。
记为：4 16 2
（3）由2，16得到数4的运算是 对数运算！
记为：log216 4
一、对数的定义
一般地，若ab N a 0,a 1,则称b是以a为底N的对数.
记作：loga N a叫作底数，N叫作真数.
131 1 00x 18
2.假设2006年我国国民生产总值为a亿元，如果 每年的平均增长率为8% ，那么经过多少年我国的 国民生产总值是2006年的2倍？
1 8 00 x 2
3.上面的实际问题归结为一个什么数学问题？
已知底数和幂，求指数.
知识探究
在式子24＝16中，
有三个数2(底),4(指数）和16（幂）
2
2 log27 9 3 ;log3 27 3 ;log3 9 2 .
观三 察、 上换 述底 各公 组式 对数，你发现了什么？能提出什么猜想？
=
=
3lglg251g32
10 lg 0.1
lg 5lg2lg2lg
5lg5
3
lg
2
2
lg
5
=lg5lg12lg15 2lg 2 lg5 lg 2
2
= lg45lg 2lg2lg52
= 34
例2.计算
3l
o g6
22
l
o g6
32
3l
o g6
2
l
o g6
3
18
1 3
l
og6
2
.
解析： 3 lg6