(完整word版)高中数学曲线与方程
高三数学复习(理)：第8讲 曲线与方程
第8讲 曲线与方程[学生用书P192]1．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解． (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2．曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎨⎧F 1（x ，y ）＝0，F 2（x ，y ）＝0的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．3．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系． (2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y )． (3)列式——列出动点P 所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x ，y 的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程． 常用结论1．“曲线C 是方程f (x ，y )＝0的曲线”是“曲线C 上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件．2．曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“f(x0，y0)＝0”是“点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上”的充要条件．()(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．()(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．()(4)方程y＝x与x＝y2表示同一曲线．()(5)y＝kx与x＝1k y表示同一直线．()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)混淆“轨迹”与“轨迹方程”出错；(2)忽视轨迹方程的“完备性”与“纯粹性”．1．(1)平面内与两定点A(2，2)，B(0，0)距离的比值为2的点的轨迹是________．(2)设动圆M与y轴相切且与圆C：x2＋y2－2x＝0相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_________________________________________________．解析：(1)设动点坐标为(x，y)，则（x－2）2＋（y－2）2x2＋y2＝2，整理得3x2＋3y2＋4x＋4y－8＝0，所以满足条件的点的轨迹是圆．(2)若动圆在y轴右侧，则动圆圆心到定点C(1，0)与到定直线x＝－1的距＝1，所以其方程为y2＝4x(x＞0)；若动圆在y轴离相等，其轨迹是抛物线，且p2左侧，则圆心轨迹是x轴负半轴，其方程为y＝0(x＜0)．故动圆圆心M的轨迹方程为y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)．答案：(1)圆(2)y2＝4x(x＞0)或y＝0(x＜0)2．已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是________．解析：由角的平分线性质定理得|P A|＝2|PB|，设P(x，y)，则（x＋2）2＋y2＝2（x－1）2＋y2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)．答案：(x－2)2＋y2＝4(y≠0)3．已知⊙O的方程为x2＋y2＝4，过M(4，0)的直线与⊙O交于A，B两点，则弦AB的中点P的轨迹方程为________．解析：根据垂径定理知：OP⊥PM，所以P点的轨迹是以OM为直径的圆且在⊙O内的部分．以OM为直径的圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，它与⊙O的交点为(1，±3)．结合图形可知所求轨迹方程为(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)．答案：(x－2)2＋y2＝4(0≤x＜1)[学生用书P192]直接法求轨迹方程(师生共研)已知△ABC的三个顶点分别为A(－1，0)，B(2，3)，C(1，22)，定点P (1，1)．(1)求△ABC 外接圆的标准方程；(2)若过定点P 的直线与△ABC 的外接圆交于E ，F 两点，求弦EF 中点的轨迹方程．【解】 (1)由题意得AC 的中点坐标为(0，2)，AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，k AC ＝2，k AB ＝1，故AC 中垂线的斜率为－22，AB 中垂线的斜率为－1，则AC的中垂线的方程为y －2＝－22x ，AB 的中垂线的方程为y －32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.由⎩⎪⎨⎪⎧y －32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y －2＝－22x ， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.所以△ABC 的外接圆圆心为(2，0)，半径r ＝2＋1＝3，故△ABC 外接圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9.(2)设弦EF 的中点为M (x ，y )，△ABC 外接圆的圆心为N ，则N (2，0)， 由MN ⊥MP ，得NM →·PM →＝0， 所以(x －2，y )·(x －1，y －1)＝0， 整理得x 2＋y 2－3x －y ＋2＝0，所以弦EF 中点的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12.(1)若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系，则可用直接法，其一般步骤是：设点→列式→化简→检验．求动点的轨迹方程时要注意检验，即除去多余的点，补上遗漏的点．(2)若是只求轨迹方程，则把方程求出，把变量的限制条件附加上即可；若是求轨迹，则要说明轨迹是什么图形．已知坐标平面上动点M (x ，y )与两个定点P (26，1)，Q (2，1)，且|MP |＝5|MQ |.(1)求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C ，若过点N (－2，3)的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程．解：(1)由|MP |＝5|MQ |，得（x －26）2＋（y －1）2＝5（x －2）2＋（y －1）2，化简得x 2＋y 2－2x －2y －23＝0，所以点M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －1)2＝25，轨迹是以(1，1)为圆心，5为半径的圆．(2)当直线l 的斜率不存在时，l ：x ＝－2，此时所截得的线段长度为2×52－32＝8，所以l ：x ＝－2符合题意．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＋3＝0， 圆心(1，1)到l 的距离d ＝|3k ＋2|k 2＋1，由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|3k ＋2|k 2＋12＋42＝52，解得k ＝512， 所以直线l 的方程为512x －y ＋236＝0， 即5x －12y ＋46＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－2或5x －12y ＋46＝0.定义法求轨迹方程(师生共研)已知圆C 与两圆x 2＋(y ＋4)2＝1，x 2＋(y －2)2＝1外切，圆C 的圆心轨迹为L ，设L 上的点与点M (x ，y )的距离的最小值为m ，点F (0，1)与点M (x ，y )的距离为n .(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)求满足条件m ＝n 的点M 的轨迹Q 的方程．【解】 (1)两圆半径都为1，两圆圆心分别为C 1(0，－4)，C 2(0，2)，由题意得|CC 1|＝|CC 2|，可知圆心C 的轨迹是线段C 1C 2的垂直平分线，C 1C 2的中点为(0，－1)，直线C 1C 2的斜率不存在，所以圆C 的圆心轨迹L 的方程为y ＝－1.(2)因为m ＝n ，所以M (x ，y )到直线y ＝－1的距离与到点F (0，1)的距离相等，故点M 的轨迹Q 是以y ＝－1为准线，点F (0，1)为焦点，顶点在原点的抛物线，而p2＝1，即p ＝2，所以，轨迹Q 的方程是x 2＝4y .定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x 或y 进行限制．1．已知△ABC 的顶点B (0，0)，C (5，0)，AB 边上的中线长|CD |＝3，则顶点A 的轨迹方程为__________________．解析：设A (x ，y )，由题意可知D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2.又因为|CD |＝3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝9，即(x －10)2＋y 2＝36，由于A ，B ，C 三点不共线，所以点A 不能落在x 轴上，即y ≠0，所以点A 的轨迹方程为(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)．答案：(x －10)2＋y 2＝36(y ≠0)2．如图，已知△ABC 的两顶点坐标A (－1，0)，B (1，0)，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，|CP |＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C 的轨迹为曲线M ，求曲线M 的方程．解：由题知|CA |＋|CB |＝|CP |＋|CQ |＋|AP |＋|BQ |＝2|CP |＋|AB |＝4＞|AB |， 所以曲线M 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x 轴的交点)．设曲线M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0，y ≠0)，则a 2＝4，b 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝3，所以曲线M 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．相关点法(代入法)求轨迹方程(师生共研)如图所示，抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)与圆O ：x 2＋y 2＝8相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点P (x 0，y 0)作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线l 1，l 2，l 1与l 2相交于点M .(1)求p 的值；(2)求动点M 的轨迹方程．【解】 (1)由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为(2，2)，代入y 2＝2px (p >0)，解得p ＝1. (2)由(1)知抛物线E ：y 2＝2x .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212，y 1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222，y 2，y 1≠0，y 2≠0，切线l 1的斜率为k ，则切线l 1：y －y 1＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 212，代入y 2＝2x ，得ky 2－2y ＋2y 1－ky 21＝0，由Δ＝0，解得k ＝1y 1， 所以l 1的方程为y ＝1y 1x ＋y 12，同理l 2的方程为y ＝1y 2x ＋y 22.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1y 1x ＋y 12，y ＝1y 2x ＋y 22，解得⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y 22.易知CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝8，其中x 0，y 0满足x 20＋y 20＝8，x 0∈[2，2 2 ]， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x 0x ＋y 0y ＝8，得x 0y 2＋2y 0y －16＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－2y 0x 0，y 1·y 2＝－16x 0，代入⎩⎨⎧x ＝y 1·y 22，y ＝y 1＋y 22，可得M (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8x 0，y ＝－y 0x 0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－8x ，y 0＝8yx ，代入x 20＋y 20＝8，并化简，得x 28－y 2＝1，考虑到x 0∈[2，22]，知x ∈[－4，－22]，所以动点M 的轨迹方程为x 28－y 2＝1，x ∈[－4，－22]．1.如图，已知P 是椭圆x 24＋y 2＝1上一点，PM ⊥x 轴于点M .若PN →＝λNM →. (1)求N 点的轨迹方程；(2)当N 点的轨迹为圆时，求λ的值．解：(1)设点P ，点N 的坐标分别为P (x 1，y 1)，N (x ，y )， 则M 的坐标为(x 1，0)，且x ＝x 1， 所以PN →＝(x －x 1，y －y 1)＝(0，y －y 1)， NM →＝(x 1－x ，－y )＝(0，－y )， 由PN →＝λNM →得(0，y －y 1)＝λ(0，－y )． 所以y －y 1＝－λy ，即y 1＝(1＋λ)y .因为P (x 1，y 1)在椭圆x 24＋y 2＝1上， 则x 214＋y 21＝1，所以x 24＋(1＋λ)2y 2＝1， 故x 24＋(1＋λ)2y 2＝1为所求的N 点的轨迹方程． (2)要使点N 的轨迹为圆，则(1＋λ)2＝14，解得λ＝－12或λ＝－32.故当λ＝－12或λ＝－32时，N 点的轨迹是圆．2．已知曲线E ：ax 2＋by 2＝1(a ＞0，b ＞0)，经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，且MB →＝－2MA →.若点B 的坐标为(0，2)，求曲线E 的方程．解：设A (x 0，y 0)，因为B (0，2)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0，故MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，2，MA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－33，y 0.由于MB →＝－2MA →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－33，y 0.所以x 0＝32，y 0＝－1，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－1.因为A ，B 都在曲线E 上，所以⎩⎨⎧a ·02＋b ·22＝1，a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋b ·（－1）2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝14. 所以曲线E 的方程为x 2＋y24＝1.[学生用书P407(单独成册)][A 级 基础练]1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一条双曲线 B ．两条双曲线 C ．两个点D ．以上答案都不对解析：选C.(x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，xy －1＝0.故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.2．(2020·新高考卷Ⅰ改编)已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.以下结论正确的个数是( )①若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上；②若m ＝n >0，则C 是圆，其半径为n ；③若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y ＝± －mn x ；④若m＝0，n >0，则C 是两条直线．A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.对于①，因为m ＞n ＞0，所以0＜1m ＜1n ，方程mx 2＋ny 2＝1可变形为x 21m ＋y 21n ＝1，所以该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，正确；对于②，因为m＝n ＞0，所以方程mx 2＋ny 2＝1可变形为x 2＋y 2＝1n ，该方程表示半径为1n 的圆，错误；对于③，因为mn ＜0，所以该方程表示双曲线，令mx 2＋ny 2＝0⇒y ＝± －mn x ，正确；对于④，因为m ＝0，n ＞0，所以方程mx 2＋ny 2＝1变形为ny 2＝1⇒y ＝±1n ，该方程表示两条直线，正确．3.如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1，0)，B (1，1)，C (0，1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A -B -C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( )解析：选D.当P 沿AB 运动时，x ＝1，设P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，y ′＝1－y 2(0≤y ≤1)，故y ′＝1－x ′24(0≤x ′≤2，0≤y ′≤1)．当P 沿BC 运动时，y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1(0≤x ≤1)，所以y ′＝x ′24－1(0≤x ′≤2，－1≤y ′≤0)，由此可知P ′的轨迹如D 项图象所示，故选D.4．已知两点M (－2，0)，N (2，0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝－8xB ．y 2＝8xC ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x解析：选A.设P (x ，y )．因为M (－2，0)，N (2，0)，所以MN →＝(4，0)，|MN →|＝4，MP →＝(x ＋2，y )，NP →＝(x －2，y )，由|MN →|·|MP →|＋MN →·NP →＝0，得4（x ＋2）2＋y 2＋4(x －2)＝0，化简整理得y 2＝－8x .故选A.5．动点M 在圆x 2＋y 2＝25上移动，过点M 作x 轴的垂线段MD ，D 为垂足，则线段MD 中点的轨迹方程是( )A.4x 225＋y 225＝1 B ．x 225＋4y 225＝1 C.4x 225－y 225＝1D.x 225－4y 225＝1解析：选B.如图，设线段MD 的中点为P (x ，y )，M (x 0，y 0)，D (x 0，0)，因为P 是MD 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .又M 在圆x 2＋y 2＝25上，所以x 20＋y 20＝25，即x 2＋4y 2＝25，x 225＋4y 225＝1，所以线段MD 的中点P 的轨迹方程是x 225＋4y 225＝1.故选B.6．设D 为椭圆y 25＋x 2＝1上任意一点，A (0，－2)，B (0，2)，延长AD 至点P ，使得|PD |＝|BD |，则点P 的轨迹方程为________．解析：设点P 坐标为(x ，y )．因为D 为椭圆y 25＋x 2＝1上任意一点，且A ，B 为椭圆的焦点，所以|DA |＋|DB |＝2 5.又|PD |＝|BD |，所以|P A |＝|PD |＋|DA |＝|DA |＋|DB |＝25，所以x 2＋（y ＋2）2＝25，所以x 2＋(y ＋2)2＝20，所以点P 的轨迹方程为x 2＋(y ＋2)2＝20.答案：x 2＋(y ＋2)2＝207．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1，0)，B (2，2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是________．解析：设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t ，2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t ，得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.答案：y ＝2x －28．△ABC 的顶点A (－5，0)，B (5，0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．解析：如图，△ABC 与内切圆的切点分别为G ，E ，F .则|AG |＝|AE |＝8，|BF |＝|BG |＝2，|CE |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，轨迹方程为x 29－y 216＝1(x >3)．答案：x 29－y 216＝1(x >3)9．如图所示，已知圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1与点B (2，0)，分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程．(1)△P AB 的周长为10；(2)圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；(3)圆P 与圆A 外切，且与直线x ＝1相切(P 为动圆圆心)．解：(1)根据题意，知|PA |＋|PB |＋|AB |＝10，即|P A |＋|PB |＝6>4＝|AB |，故P 点的轨迹是椭圆，且2a ＝6，2c ＝4，即a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.因此其轨迹方程为x 29＋y 25＝1(y ≠0)．(2)设圆P 的半径为r ，则|P A |＝r ＋1，|PB |＝r ， 因此|P A |－|PB |＝1.由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支，且2a ＝1，2c ＝4，即a ＝12，c ＝2，b ＝152，因此其轨迹方程为4x 2－415y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≥12. (3)依题意，知动点P 到定点A 的距离等于到定直线x ＝2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p ＝4.因此其轨迹方程为y 2＝－8x .10．已知动圆P 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，且与直线x ＝－14相切．(1)求动圆P 圆心的轨迹M 的方程；(2)在正方形ABCD 中，AB 边在直线y ＝x ＋4上，另外C ，D 两点在轨迹M 上，求该正方形的面积．解：(1)由题意得动圆P 的圆心到点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0的距离与它到直线x ＝－14的距离相等，所以圆心P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0为焦点，直线x ＝－14为准线的抛物线，且p ＝12，所以动圆P 圆心的轨迹M 的方程为y 2＝x . (2)由题意设CD 边所在直线方程为y ＝x ＋t . 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋t ，y 2＝x ，消去y ，整理得x 2＋(2t －1)x ＋t 2＝0.因为直线CD 和抛物线交于两点，所以Δ＝(2t －1)2－4t 2＝1－4t ＞0，解得t ＜14. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝1－2t ，x 1x 2＝t 2. 所以|CD |＝2[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝2[（1－2t ）2－4t 2]＝2（1－4t ）.又直线AB 与直线CD 之间的距离为|AD |＝|t －4|2，|AD |＝|CD |，所以2（1－4t ）＝|t －4|2，解得t ＝－2或t ＝－6，经检验t ＝－2和t ＝－6都满足Δ＞0. 所以正方形边长|AD |＝32或|AD |＝52， 所以正方形ABCD 的面积S ＝18或S ＝50.[B 级 综合练]11．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0) D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)解析：选A.设A (a ，0)，B (0，b )，a ＞0，b ＞0.由BP →＝2P A →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x ＞0，b ＝3y ＞0.点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ＝32x ，b ＝3y 代入ax ＋by ＝1，得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．12．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1D ．x 2＝16y解析：选B.因为M 到平面内两点A (－5，0)，B (5，0)距离之差的绝对值为8，所以M 的轨迹是以A (－5，0)，B (5，0)为焦点的双曲线，方程为x 216－y 29＝1.A 项，直线x ＋y ＝5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B 项，x 2＋y 2＝9的圆心为(0，0)，半径为3，与M 的轨迹没有交点，不满足题意；C 项，x 225＋y 29＝1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D 项，方程代入x 216－y 29＝1，可得y －y 29＝1，即y 2－9y ＋9＝0，所以Δ＞0，满足题意，为“好曲线”．13．(2021·四川成都石室中学模拟)已知两定点F 1(－1，0)，F 2(1，0)和一动点P ，给出下列结论：①若|PF 1|＋|PF 2|＝2，则点P 的轨迹是椭圆； ②若|PF 1|－|PF 2|＝1，则点P 的轨迹是双曲线； ③若|PF 1||PF 2|＝λ(λ＞0，且λ≠1)，则点P 的轨迹是圆；④若|PF 1|·|PF 2|＝a 2(a ≠0)，则点P 的轨迹关于原点对称；⑤若直线PF 1与PF 2的斜率之积为m (m ≠0)，则点P 的轨迹是椭圆(除长轴两端点)．其中正确的是________．(填序号)解析：对于①，由于|PF 1|＋|PF 2|＝2＝|F 1F 2|，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2，故①不正确．对于②，由于|PF 1|－|PF 2|＝1，故点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的右支，故②不正确．对于③，设P (x ，y )，由题意得（x ＋1）2＋y 2（x －1）2＋y 2＝λ，整理得(1－λ2)x 2＋(1－λ2)y 2＋(2＋2λ2)x ＋1－λ2＝0.因为λ＞0，且λ≠1，所以x 2＋y 2＋（2＋2λ2）1－λ2x ＋1－λ21－λ2＝0，所以点P 的轨迹是圆，故③正确．对于④，设P (x ，y )，则|PF 1|·|PF 2|＝（x ＋1）2＋y 2·（x －1）2＋y 2＝a 2.又点P (x ，y )关于原点的对称点为P ′(－x ，－y )，因为（－x ＋1）2＋（－y ）2·（－x －1）2＋（－y ）2＝（x ＋1）2＋y 2·（x －1）2＋y 2＝a 2，所以点P ′(－x ，－y )也在曲线（x ＋1）2＋y 2·（x －1）2＋y 2＝a 2上，即点P 的轨迹关于原点对称，故④正确．对于⑤，设P (x ，y )，则k PF 1＝y x ＋1，k PF 2＝y x －1，由题意得k PF 1·k PF 2＝y x ＋1·yx －1＝y 2x 2－1＝m (m ≠0)，整理得x 2－y 2m ＝1，此方程不一定表示椭圆，故⑤不正确． 综上，正确结论的序号是③④. 答案：③④14．如图，已知椭圆C ：x 218＋y 29＝1的短轴端点分别为B 1，B 2，点M 是椭圆C 上的动点，且不与B 1，B 2重合，点N 满足NB 1⊥MB 1，NB 2⊥MB 2.(1)求动点N 的轨迹方程；(2)求四边形MB 2NB 1面积的最大值．解：(1)方法一：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)(x 0≠0)． 由题知B 1(0，－3)，B 2(0，3)， 所以k MB 1＝y 0＋3x 0，k MB 2＝y 0－3x 0.因为MB 1⊥NB 1，MB 2⊥NB 2， 所以直线NB 1：y ＋3＝－x 0y 0＋3x ，①直线NB 2：y －3＝－x 0y 0－3x ，② ①×②得y 2－9＝x 20y 20－9x 2.又因为x 2018＋y 209＝1，所以y 2－9＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 209y 20－9x 2＝－2x 2，整理得动点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0)．方法二：设N (x ，y )，M (x 0，y 0)(x 0≠0)． 由题知B 1(0，－3)，B 2(0，3)， 所以k MB 1＝y 0＋3x 0，k MB 2＝y 0－3x 0.因为MB 1⊥NB 1，MB 2⊥NB 2， 所以直线NB 1：y ＋3＝－x 0y 0＋3x ，①直线NB 2：y －3＝－x 0y 0－3x ，② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 20－9x 0，y ＝－y 0.又x 2018＋y 209＝1，所以x ＝－x 02，故⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2x ，y 0＝－y ，代入x 2018＋y 209＝1，得y 29＋x 292＝1. 所以动点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0)．方法三：设直线MB 1：y ＝kx －3(k ≠0)， 则直线NB 1：y ＝－1k x －3，①直线MB 1与椭圆C ：x 218＋y 29＝1的交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12k 2k 2＋1，6k 2－32k 2＋1. 则直线MB 2的斜率为k MB 2＝6k 2－32k 2＋1－312k 2k 2＋1＝－12k .所以直线NB 2：y ＝2kx ＋3.②由①②得点N 的轨迹方程为y 29＋x 292＝1(x ≠0)．(2)由(1)方法三得直线NB 1：y ＝－1k x －3，① 直线NB 2：y ＝2kx ＋3，②联立①②解得x ＝－6k2k 2＋1，即x N ＝－6k2k 2＋1，故四边形MB 2NB 1的面积S ＝12|B 1B 2|(|x M |＋|x N |)＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12|k |2k 2＋1＋6|k |2k 2＋1＝54|k |2k 2＋1＝542|k |＋1|k |≤2722，当且仅当|k |＝22时，S 取得最大值2722.[C 级 提升练]15．在平面直角坐标系xOy 中取两个定点A 1(－6，0)，A 2(6，0)，再取两个动点N 1(0，m )，N 2(0，n )，且mn ＝2.(1)求直线A 1N 1与A 2N 2的交点M 的轨迹C 的方程；(2)过R (3，0)的直线与轨迹C 交于P ，Q 两点，过点P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若RP →＝λRQ →(λ＞1)，求证：NF →＝λFQ →.解：(1)依题意知，直线A 1N 1的方程为y ＝m6(x ＋6)，①直线A 2N 2的方程为y ＝－n6(x －6)，②设M (x ，y )是直线A 1N 1与A 2N 2的交点，①×②得y 2＝－mn6(x 2－6)，又mn ＝2，整理得x 26＋y 22＝1.故点M 的轨迹C 的方程为x 26＋y 22＝1.(2)证明：设过点R 的直线l ：x ＝ty ＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则N (x 1，－y 1)，由⎩⎨⎧x ＝ty ＋3，x 26＋y 22＝1，消去x ，得(t 2＋3)y 2＋6ty ＋3＝0，(*) 所以y 1＋y 2＝－6t t 2＋3，y 1y 2＝3t 2＋3.由RP →＝λRQ →，得(x 1－3，y 1)＝λ(x 2－3，y 2)，故x 1－3＝λ(x 2－3)，y 1＝λy 2， 由(1)得F (2，0)，要证NF →＝λFQ →，即证(2－x 1，y 1)＝λ(x 2－2，y 2)， 只需证2－x 1＝λ(x 2－2)，只需证x 1－3x 2－3＝－x 1－2x 2－2，即证2x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋12＝0，又x 1x 2＝(ty 1＋3)(ty 2＋3)＝t 2y 1y 2＋3t (y 1＋y 2)＋9，x 1＋x 2＝ty 1＋3＋ty 2＋3＝t (y 1＋y 2)＋6，所以2t 2y 1y 2＋6t (y 1＋y 2)＋18－5t (y 1＋y 2)－30＋12＝0，即2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝0，而2t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＝2t 2·3t 2＋3－t ·6tt 2＋3＝0成立，得证．。
(完整word版)曲线系方程及应用
曲线系方程及应用曲线系方程１．直线系：0),(),(21=+y x f y x f μλ；２．圆系⎪⎩⎪⎨⎧=+++-+-=+0)()()(0),(),(202021C By Ax y y x x y x f y x f λμλ：与直线切于一点的圆系相交圆系： ３．二元二次曲线C ：022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示的曲线的类型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧抛物线型双曲线型椭圆型４．圆锥曲线系定理一:给定五点，其中三点在直线l 上,另外两点不在l 上，则经过这五点的二次曲线是唯一的，并且是退化的二次曲线(即两条直线）．定理二：给定五个点，其中任何三点都不共线，则过此五点有且仅有一条二次曲线．推论一：若圆锥曲线0),(:0),(:2211==y x f C y x f C 与有四个不同交点,则过两曲线交点的曲线方程为：0),(),(21=+y x f y x f μλ．推论二：若直线0),(0),(22221111=++==++=C y B x A y x l C y B x A y x l 及与圆锥曲线C ：0),(=y x f 有四个不同交点,则过这四个交点的曲线系方程为：0),(),(),(21=+y x l y x l y x f μλ．推论三:若四直线及与及0),(:0),(:0),(:332211===y x l l y x l l y x l l0),(:44=y x l l 有四个不同的交点，则过这四个交点的曲线方程为：0),(),(),(),(4321=+y x l y x l y x l y x l μλ．推论四：),3,2,1(P )3,2,1(141i P P i P i P i i ===+为不共线三点，直线的方程为:0),(=++=i i i i C y B x A y x l 则曲线系为：0),(),(),(),(),(),(133322211=++y x l y x l y x l y x l y x l y x l λλλ．二．曲线系方程的应用1.求一条经过五点)21,21(),1,0(),1,1(),0,1(),0,0(-的圆锥曲线． 2、四条直线0:,05:,06:,0253:4321==+=--=-+y l y x l y kx l y x l 围成一个四边形，问k 取何值时，此四边形有一个外接圆，并求出此外接圆的方程．3、已知AB ，CD 是椭圆12222=+by a x 的两条倾斜角互补的两条弦，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆． 4、已知三角形三边所在直线方程为01,0,0=-+==y x y x ,求经过这个三角形的三个顶点,且过(3,1）点的抛物线方程．例５．求过点C(4,4)042),6,9(),2,1(切于点且与直线=+---y x B A 的抛物线方程．例６．过已知二次曲线的弦ＰＱ的中点Ｏ任意作两条弦ＡＢ，ＣＤ，求证:过Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的任意二次曲线被直线ＰＱ所截得的线段均为Ｏ点所平分．例７．已知四边形ABCD 的边AB ，CD 相交于O ，过O 点任作一直线l 交AC 于E ，交BD 于F ，过A,B ，C ，D 任作一圆锥曲线S 与l 相交于G ，H,求证： OFOE OH OC 1111+=+． 例８．若二次曲线的内接六边形的三组对边都不平行,求证：三组对边所在直线的交点共线．练习１．已知椭圆01y 0,2x 1-y x 04222=++=+=-+与两条直线y x 有四个交点，求过这４个交点的二次曲线的方程．２．求过点)2,3(),0,2(),1,1(),1,1(),0,0(--D C B A O 五点的二次曲线方程．３．在⊙Ｏ中,弦ＧＨ的中点Ｍ，过Ｍ任作两条弦ＡＢ，ＣＤ，ＡＣ，ＢＤ分别交ＧＨ于Ｅ，Ｆ,求证：ＥＭ＝ＭＦ．４．三个圆两两相交，证明：三条公共弦所在直线平行或交于一点．。
(完整word版)高中数学曲线与方程
、填空题1.方程(x — y)2+ (xy — 1)2= 0 表示的是 _________ .或*=—;,y = — 1.故此方程表示两个点. 答案两个点 2 .方程| y| — 1 =—x — 1—2表示的曲线是 _______ . |y|— 1> 01— x —12>0|y|— 1 2= 1— x — 1|y|— 1> 0 x — 12+ yi — 12=1 答案两个半圆3. ______ 动点P 到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等，则点P 的轨迹方程 为 ____ .解析 考查抛物线定义及标准方程，知P 的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线,p=2, 所以其方程为y 2 8x . 答案y 2 8x4. __________________________________ 设P 为圆x 2 + y 2= 1上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q,若P M = X 险其 中X 为正常数)，则点M 的轨迹为 . 解析 设 M(x , y), P(x o , y o )，则 Q(x o,O),9.9曲线与方程解析 2 2(x — y) + (xy — 1) = 0?x — y = 0,xy — 1 = 0, 解析原方程等价于y > 1x — 1 2+ y — 1 2= 1 y < — 1 x — 1 2+ y + 1 2= 1X 0= x , y o = H 1 y.由于 x20 + y20= 1,二 x 2 + ( H 1)2y 2= 1 ,二 M 的轨迹为椭圆. 答案椭圆25. 设P 为双曲线24 y 2 1上一动点，0为坐标原点,M 为线段0P 的中点，则点M 的轨迹方程是 .解析设M(x,y),则P(2x,2y)代入双曲线方程即得 .答案x 2 4y 216. 如图所示，一圆形纸片的圆心为 0, F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把 纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD 设CD 与0M 交于点P ,则点 P 的轨迹是 ___________ .解析由条件知PM= PF.••• P0^ PF = P0^ PM= 0M= R>OF ••• P 点的轨迹是以0 F 为焦点的椭圆. 答案椭圆7. 若△ ABC 的顶点 A — 5,0)、B(5,0) , △ ABC 的内切圆圆心在直线x = 3上，则 顶点C 的轨迹方程是 ________ .解析 如图 AD= AE -8, BF = BE -2, CD= CF,所以 CA — C 吐8 — 2 = 6. 根据双曲线定义，所求轨迹是以 A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方 2 2x y程为9 —萤1(x>3).22x y 答案 9 —16= 1(x >3)2 28. 对于曲线C ： 4—k +七=1,给出下面四个命题:由PM = X MQ 得x — X 0= X x 0 —x , y —y 0=— Xy(X > 0),0 E li x① 曲线C 不可能表示椭圆；② 当1v k v 4时，曲线C 表示椭圆； ③ 若曲线C 表示双曲线，则k v 1或k >4；5④ 若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，贝U 1 v k v 2・ 其中所有正确命题的序号为 _________ •4-k>0, 解析 根据椭圆和双曲线的定义，可得当 k -1>0,4-〜k - 1,时，表示椭圆；当k<1或k>4时，表示双曲线. 答案③④a a9•在△ ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B —㊁，0，C~，0 （a>0），且满足条1 件sin C- sin B = qsin A ，则动点A 的轨迹方程是 .AB AC 1 BC解析 由正弦定理得2R - 2R = 2 x 2R ，1••• AB - AC= 2BC 由双曲线的定义知动点 A 的轨迹为双曲线右支.2 2“亠 16x 16y 口 答案苛一盲=1（x>0且卄0）2 2x y10. 已知P 是椭圆孑+存=1（a >b >0）上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，O Q = PF +徒，则动点Q 的轨迹方程是 _________________ . 解析由 OQ= PF 1+ PF 2， 又 PF + P F 2= P M t 2毡—2OP ，—1—1x y设 qx ，y ），则oa — 2°d -2（3，y ）二-2，- 2，3 y即P 点坐标为一2，-2，又P 在椭圆上，k<4,k>1 即k'，则有2 2x y 答案 4?+ 4b 2二 1(a >b >°)11. 已知两条直线I 仁2x — 3y + 2= 0和丨2： 3X — 2y + 3= 0,有一动圆（圆心和半 径都动）与丨1、丨2都相交，且丨1、丨2被圆截得的弦长分别是定值26和24,则圆心 的轨迹方程是 解析 设动圆的圆心为Mx , y ），半径为r ，点M 到直线丨1,丨2的距离分别为d i和d 2.由弦心距、半径、半弦长间的关系得, 消去r 得动点M 满足的几何关系为d22 — d21= 25,2 2加 3x — 2y + 3 2x — 3y + 2 即一=25.1313化简得(x + 1)2— y 2 = 65.此即为所求的动圆圆心M 的轨迹方程.2 2答案（X + 1） — y = 65 12•直线a +土二1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是 x y解析（参数法）设直线a + 2—a = 1与x 、y 轴交点为A （a, 0）、B （0,2 — a ） , A 、Ba a中点为 Mx, y)，则 x = 2, y = 1— 2 消去 a ,得 x + y = 1, v a ^0, a ^2, A x 工0, x 工1.答案 x + y = 1（X M 0, x 工 1）13.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点， 在过其中一条直线且平行于另一2 r 2 — d21 = 26,2 /r 2 — d22= 24,r 2 — d21 = 169, 即 r 2 — d22= 144,2即4a 2条直线的平面内的轨迹是 _______ .解析 在边长为a 的正方体ABCD 1B 1C 1D 中，DC 与AD 是两条相互垂直的异面直 线，平面ABCDS 直线DC 且平行于AD,以D 为原点，分别以DA DC 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设点 P(x ，y)在平面ABCD 内且到AD 与DC 之间的距离 相等，••• |x| 二;y 2+ a 2,故该轨迹为双曲线.答案双曲线当其半径最小时,圆的面积最小，此时I 为所求. 故满足条件的圆的方程是(x 4)2 (y 辛)24.555点评:(1)直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也 可以用待定系数法.(2)面积最小时即圆半径最小；也可用几何意义，即直线与相 交弦为直径时圆面积最小.2 2x y解答题14.求过直线x-2y+4=0和圆x 2 y 2 的圆的方程： (1) 过原点； (2) 有最小面积.解析设所求圆的方程是x 2 y 2 2x 即 x 2 y 2(2 )x 2(2 )y 1 4(1) 因为圆过原点，所以1 4 0即故所求圆的方程为x 2y 2-4 x 7 y(2) 将圆系方程化为标准式,有：(x 牙)2 (y 2)2 4(2)22x 4y 1=0的交点,且满足下列条件之一4y 1 (x 2 y +4)=0, 0. 1 40 .15. 如图，椭圆C： 16+ ； = 1的右顶点是A，上、下两个顶点分别为B、D,四边形OAM是矩形(O为坐标原点)，点E、P分别是线段OA AM的中点.⑴ 求证：直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上;12与椭圆C 分别交于点R 、S （不同于点B ），且它们的斜率k i , k 2满足 k i k 2二一4,4求证：直线RS 过定点，并求出此定点的坐标. 解析（1）由题意，得 A(4,0) , B(0,2) , D(0，- 2) , E(2,0) , P(4,1). 所以直线 DE 的方程为 1 y = X — 2,直线BP 的方程为y =— 4X + 2. 解方程组 y =X — 2, 1 y = — 4X+ 2, 16 X= ~5， 得 6 y= 5. 所以直线 16 DE 与直线BP 的交点坐标为 16 2 6 25 4 =1, 2 5 因为市+所以点詈, 2 2 6 x y 5在椭圆花+ 4二i 上. 即直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上.⑵设直线BR 的方程为y = k i x + 2. 解方程组 y = k 1X + 2, 2 2 X y + —= 1 16+ 4 ， _ 16匕 X= — 1+^， 或2 — 8k 2y = 12, 16 2— 8k 2 所以点R 的坐标为-齐庶，寸.⑵过点B 的直线I i ,1 1因为k l k 2_4,所以直线BS 的斜率k 2 —猛直线BS 的方程为y1「4防 + 3⑵ 因为P(1,1)，所以k PF = 2所以k °F — 2,所以直线OQ 的方程为y = — 2x.又椭圆的左准线方程为x = — 2,所以点Q( — 2,4).所以k PF — 1.又k 。
(2021年整理)高中数学曲线与方程
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9.9 曲线与方程一、填空题1．方程（x －y ）2＋(xy －1）2＝0表示的是________． 解析 (x －y ）2＋（xy －1)2＝0⇔错误! ∴错误!或错误!故此方程表示两个点． 答案 两个点 2．方程|y |－1＝1－x －12表示的曲线是________．解析 原方程等价于错误! ⇔错误! ⇔｛y ≥1x －12＋y －12＝1或错误!答案 两个半圆3。
动点P 到点F(2，0）的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P 的轨迹方程为_______．解析 考查抛物线定义及标准方程,知P 的轨迹是以F （2，0)为焦点的抛物线，p=2,所以其方程为28y x =。
答案 28y x =4．设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，过P 作x 轴的垂线,垂足为Q ，若错误!＝λ错误!（其中λ为正常数）,则点M 的轨迹为________． 解析 设M (x ，y )，P （x 0，y 0)，则Q （x 0,0）, 由错误!＝λ错误!得错误!(λ＞0）， ∴错误!由于x 20＋y 20＝1，∴x 2＋(λ＋1)2y 2＝1，∴M 的轨迹为椭圆． 答案 椭圆5。
高中数学2-1-1曲线与方程
r2－x02 ，即 x02 ＋ y02 ＝ r2.两边开 平方取算术平方 根，得 x02＋y02＝r 即点(x0，y0)到原点的距离等于 r，点(x0，y0)是 这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上 r 的点．但是，以原点为圆心、半径为 r 的圆上的一点如点( ， 2 3 － r)在圆上，却不是 y＝ r2－x2的解，这就不满足曲线上 2 的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为 r 的圆的方程不是 y＝ r2－x2，而应是 y＝± r2－x2.
程的形式，从而判断出原方程表示的曲线．
解
x＋y－1＝0 依题意可得 或 x－1≥0
x－1＝0，
即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1. 综上可知，原方程所表示的曲线是射线x＋y－1＝0(x≥1)
和直线x＝1.
规律方法 判断方程表示什么曲线，需对方程进行同解变 形，常用的方法有：配方法、因式分解法或化为我们所熟 悉的形式，然后根据方程的特征进行判断．
【例3】 (12分)若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)，a∈R， 求k的取值范围．
[规范解答] ∵曲线y2＝xy＋2x＋k过点(a，－a)，
∴a2＝－a2＋2a＋k.
12 1 ∴k＝2a －2a＝2(a－ ) － ， 2 2 1 ∴k≥－ . 2 1 ∴k 的取值范围是[－ ，＋∞). 2
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(2)定义中的两个条件是判定一个方程是否为指定曲线的 方程，一条曲线是否为所给定方程的曲线的依据，缺一不 可．从逻辑知识来看：第一个条件表示f(x，y)＝0是曲线C 的方程的必要条件，第二个条件表示f(x，y)＝0是曲线C的 方程的充分条件．因此，在判断或证明f(x，y)＝0为曲线C 的方程时，必须注意两个条件同时成立． (3)定义的实质是平面曲线的点集{M|p(M)}和方程f(x，y)＝
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：8.8 曲线与方程 Word版含答案
第八节 曲线与方程轨迹与轨迹方程了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系．知识点 曲线与方程 1．曲线与方程一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．2．求动点轨迹方程的一般步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标． (2)写出适合条件p 的点M 的集合P ＝{M |p (M )}． (3)用坐标表示条件p (M )，列出方程f (x ，y )＝0. (4)化方程f (x ，y )＝0为最简形式．(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 3．曲线的交点设曲线C 1的方程为F 1(x ，y )＝0，曲线C 2的方程为F 2(x ，y )＝0，则C 1，C 2的交点坐标即为方程组⎩⎪⎨⎪⎧F 1(x ，y )＝0，F 2(x ，y )＝0的实数解．若此方程组无解，则两曲线无交点．易误提醒 (1)曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)．(2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响．[自测练习]1．方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0(a ∈R )所表示的直线( ) A ．恒过定点(－2,3) B ．恒过定点(2,3) C ．恒过点(－2,3)和点(2,3)D ．都是平行直线解析：把点(－2,3)和点(2,3)的坐标代入方程(a －1)x －y ＋2a ＋1＝0.验证知(－2,3)适合方程，而(2,3)不一定适合方程，故选A.答案：A2．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB →⊥BC →，则动点C 的轨迹方程为____________．解析：AB →＝⎝⎛⎭⎫2，－y 2，BC →＝⎝⎛⎭⎫x ，y 2，由AB →⊥BC →，得AB →·BC →＝0，即2x ＋⎝⎛⎭⎫－y 2·y 2＝0，∴动点C 的轨迹方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x3．已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，若抛物线过点A (－1,0)，B (1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是________．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，∴|F A |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)． 答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)考点一 直接法求轨迹方程|1．(2016·津南一模)平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线解析：设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎨⎧λ1＝y ＋3x10，λ2＝3y －x10，又λ1＋λ2＝1，所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5，所以点C 的轨迹为直线，故选A.答案：A2．(2016·南昌模拟)方程(x 2＋y 2－2x )x ＋y －3＝0表示的曲线是( )A ．一个圆和一条直线B ．一个圆和一条射线C ．一个圆D ．一条直线解析：本题考查曲线与方程、数形结合思想．依题意，题中的方程等价于①x ＋y －3＝0或②⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，x 2＋y 2－2x ＝0.注意到圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均位于直线x ＋y －3＝0的左下方区域，即圆x 2＋y 2－2x ＝0上的点均不满足x ＋y －3≥0，②不表示任何图形，因此题中的方程表示的曲线是直线x ＋y －3＝0，故选D.答案：D3．在直角坐标平面xOy 中，过定点(0,1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点．若动点P (x ，y )满足OP →＝OA →＋OB →，则点P 的轨迹方程为________．解析：设AB 的中点为M ，则OM →＝12OP →，M ⎝⎛⎭⎫x 2，y 2.又因为OM ⊥AB ，AB →的方向向量为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2－1，OM →＝⎝⎛⎭⎫x 2，y 2，所以⎝⎛⎭⎫x 2，y 2－1·⎝⎛⎭⎫x 2，y 2＝0，x 2＋y (y －2)＝0，即x 2＋(y －1)2＝1. 答案：x 2＋(y －1)2＝1直接法求轨迹方程的常见类型(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．可直接代入即可得出方程．(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．考点二 定义法求轨迹方程|已知点F (1,0)，圆E ：(x ＋1)2＋y 2＝8，点P 是圆E 上任意一点，线段PF 的垂直平分线和半径PE 相交于Q .(1)求动点Q 的轨迹Γ的方程；(2)若直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A ，B ，当OA →·OB →＝λ，且满足23≤λ≤34时，求△AOB 面积S 的取值范围．[解] (1)连接QF (图略)．∵|QE |＋|QF |＝|QE |＋|QP |＝|PE |＝22(22>|EF |＝2)，∴点Q 的轨迹是以E (－1,0)，F (1,0)为焦点，长轴长2a ＝22的椭圆，即动点Q 的轨迹Γ的方程为x 22＋y 2＝1. (2)依题结合图形(图略)知直线l 的斜率不可能为零，所以设直线l 的方程为x ＝my ＋n (m ∈R )．∵直线l 即x －my －n ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相切，∴|n |m 2＋1＝1，得n 2＝m 2＋1. 又∵点A ，B 的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)满足：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 2＋2y 2－2＝0， 消去x 并整理，得(m 2＋2)y 2＋2mny ＋n 2－2＝0.由一元二次方程根与系数的关系，得y 1＋y 2＝－2mnm 2＋2，y 1y 2＝n 2－2m 2＋2.其判别式Δ＝4m 2n 2－4(m 2＋2)(n 2－2)＝8(m 2－n 2＋2)＝8， 又由求根公式得y 1,2＝－2mn ±Δ2(m 2＋2).∵λ＝OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(my 1＋n )(my 2＋n )＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋mn (y 1＋y 2)＋n 2＝3n 2－2m 2－2m 2＋2＝m 2＋1m 2＋2.S △AOB ＝12|OA →||OB →|sin ∠AOB ＝12OA →2·OB →2－(OA →·OB →)2＝12|x 1y 2－x 2y 1|＝12|(my 1＋n )y 2－(my 2＋n )y 1|＝12|n (y 2－y 1)|＝12|n |·Δm 2＋2＝2·m 2＋1(m 2＋2)2＝2·m 2＋1m 2＋2·1m 2＋2∵m 2＋1m 2＋2＋1m 2＋2＝1，且λ＝m 2＋1m 2＋2∈⎣⎡⎦⎤23，34， ∴S △AOB ＝2·λ·(1－λ)∈⎣⎡⎦⎤64，23.定义法求轨迹方程的思路(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．(2)定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线，其方程是什么形式的方程的情况．利用条件把待定系数求出来，使问题得解．1．已知动圆过定点F (0,2)，且与定直线l ：y ＝－2相切． (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)若AB 是轨迹C 的动弦，且AB 过点F (0,2)，分别以A ，B 为切点作轨迹C 的切线，设两切线交点为Q ，求证：AQ ⊥BQ .解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F (0,2)为焦点，l ：y ＝－2为准线的抛物线，因为抛物线焦点到准线的距离等于4，所以圆心的轨迹方程是x 2＝8y .(2)证明：因为直线AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y ＝18x 2，得x 2－8kx －16＝0. 所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－16.抛物线方程为y ＝18x 2，求导得y ′＝14x .所以过抛物线上A ，B 两点的切线斜率分别是k 1＝14x 1，k 2＝14x 2，k 1·k 2＝14x 1·14x 2＝116x 1·x 2＝－1.所以AQ ⊥BQ .考点三 代入法求轨迹方程|在圆O ：x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．设M 为线段PD 的中点．(1)当点P 在圆O 上运动时，求点M 的轨迹E 的方程；(2)若圆O 在点P 处的切线与x 轴交于点N ，试判断直线MN 与轨迹E 的位置关系． [解] (1)设M (x ，y )，则P (x,2y )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴x 2＋(2y )2＝4，即点M 的轨迹E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当直线PN 的斜率不存在时，直线MN 的方程为x ＝2或x ＝－2.显然与轨迹E 相切． 当直线PN 的斜率存在时，设PN 的方程为y ＝kx ＋t (k ≠0)． ∵直线PN 与圆O 相切，∴|t |k 2＋1＝2，即t 2－4k 2－4＝0. 又∵直线MN 的斜率为k 2，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫－t k ，0，∴直线MN 的方程为y ＝k2⎝⎛⎭⎫x ＋t k ， 即y ＝12(kx ＋t )．由⎩⎨⎧y ＝12(kx ＋t )，x24＋y 2＝1，得(1＋k 2)x 2＋2ktx ＋t 2－4＝0.∵Δ＝(2kt )2－4(1＋k 2)(t 2－4)＝－4(t 2－4k 2－4)＝0，∴直线MN 与轨迹E 相切． 综上可知，直线MN 与轨迹E 相切．代入法求轨迹方程的四个步骤(1)设出所求动点坐标P (x ，y )．(2)寻求与所求动点P (x ，y )与已知动点Q (x ′，y ′)的关系． (3)建立P ，Q 两坐标的关系表示出x ′，y ′. (4)将x ′，y ′代入已知曲线方程中化简求解．2．已知F 1，F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左，右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1(y ≠0) B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0) C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y 23＝1(y ≠0)解析：依题意知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设P (x 0，y 0)，G (x ，y )，则由三角形重心坐标关系可得⎩⎨⎧x ＝x 0－1＋13，y ＝y 03.即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ，y 0＝3y .代入x 204＋y 203＝1得重心G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1(y ≠0)．答案：C27.分类讨论思想在由方程讨论曲线类型中的应用【典例】 已知两个定点A 1(－2,0)，A 2(2,0)，动点M 满足直线MA 1与MA 2的斜率之积是定值m4(m ≠0)．求动点M 的轨迹方程，并指出随m 变化时方程所表示的曲线C 的形状．[思路点拨] 依题直接写出方程后，结合方程结构特征分类判断曲线类型，注意分类标准的确定．[解] 设动点M (x ，y )，依题意有y x －2·y x ＋2＝m4(m ≠0)，整理得x 24－y 2m＝1(x ≠±2)，即为动点M 的轨迹方程．当m >0时，轨迹是焦点在x 轴上的双曲线；当m ∈(－4,0)时，轨迹是焦点在x 轴上的椭圆； 当m ＝－4时，轨迹是圆；当m ∈(－∞，－4)时，轨迹是焦点在y 轴上的椭圆．且点A 1(－2,0)，A 2(2,0)不在曲线上．[方法点评] 由曲线方程讨论曲线类型时，常用到分类讨论思想，其分类的标准有两类： (1)二次项系数为0的值． (2)二次项系数相等的值．[跟踪练习] 在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)表示的曲线大致是( )解析：a >b >0得1b 2>1a 2>0，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1，即x 21a 2＋y 21b 2＝1表示的是焦点在y 轴上的椭圆；方程ax ＋by 2＝0，即y 2＝－ab x 表示的是焦点在x 轴的负半轴上的抛物线上，结合各选项知，选D.答案：DA 组 考点能力演练1．“点M 在曲线y 2＝4x 上”是“点M 的坐标满足方程2x ＋y ＝0”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件解析：点M 的坐标满足方程2x ＋y ＝0，则点M 在曲线y 2＝4x 上，是必要条件；但当y >0时，点M 在曲线y 2＝4x 上，点M 的坐标不满足方程2x ＋y ＝0，不是充分条件．2．若M ，N 为两个定点，且|MN |＝6，动点P 满足PM →·PN →＝0，则P 点的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：∵PM →·PN →＝0，∴PM ⊥PN . ∴点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆． 答案：A3．(2016·梅州质检)动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F (－2,0)，动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，则圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x .答案：B4．(2016·沈阳质检)已知点O (0,0)，A (1，－2)，动点P 满足|P A |＝3|PO |，则P 点的轨迹方程是( )A ．8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0B ．8x 2＋8y 2－2x －4y －5＝0C ．8x 2＋8y 2＋2x ＋4y －5＝0D ．8x 2＋8y 2－2x ＋4y －5＝0解析：设P 点的坐标为(x ，y )，则(x －1)2＋(y ＋2)2＝3x 2＋y 2，整理得8x 2＋8y 2＋2x －4y －5＝0，故选A.答案：A5．若曲线C 上存在点M ，使M 到平面内两点A (－5,0)，B (5,0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C 为“好曲线”．以下曲线不是“好曲线”的是( )A ．x ＋y ＝5B ．x 2＋y 2＝9 C.x 225＋y 29＝1 D ．x 2＝16y解析：M 点的轨迹是双曲线x 216－y 29＝1，依题意，是“好曲线”的曲线与M 点的轨迹必有公共点．四个选项中，只有圆x 2＋y 2＝9与M 点的轨迹没有公共点，其他三个曲线与M 点的轨迹都有公共点，所以圆x 2＋y 2＝9不是“好曲线”．6．(2016·聊城一模)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (1,0)，B (2,2)，若点C 满足OC →＝OA →＋t (OB →－OA →)，其中t ∈R ，则点C 的轨迹方程是_____________________________．解析：设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＋t (OB →－OA →)＝(1＋t,2t )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t ，消去参数t 得点C 的轨迹方程为y ＝2x －2.答案：y ＝2x －27．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是________．解析：本题考查曲线的方程．因为抛物线x 2＝4y 的焦点F (0,1)，设线段PF 的中点坐标是(x ，y )，则P (2x,2y －1)在抛物线x 2＝4y 上，所以(2x )2＝4(2y －1)，化简得x 2＝2y －1.答案：x 2＝2y －18．已知动点P (x ，y )与两定点M (－1,0)，N (1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P 的轨迹C 的方程为________．解析：由题设知直线PM 与PN 的斜率存在且均不为零，所以k PM ·k PN ＝y x ＋1·yx －1＝λ， 整理得x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．即动点P 的轨迹C 的方程为x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)．答案：x 2－y 2λ＝1(λ≠0，x ≠±1)9．在直角坐标系xOy 中，动点P 与定点F (1,0)的距离和它到定直线x ＝2的距离之比是22. (1)求动点P 的轨迹Γ的方程； (2)设曲线Γ上的三点A (x 1，y 1)，B ⎝⎛⎭⎫1，22，C (x 2，y 2)与点F 的距离成等差数列，线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k .解：(1)设P (x ，y )．由已知，得(x －1)2＋y 2|x －2|＝22，两边同时平方，化简得x 22＋y 2＝1，故动点P 的轨迹Γ的方程是x 22＋y 2＝1.(2)由已知得|AF |＝22(2－x 1)，|BF |＝22×(2－1)， |CF |＝22(2－x 2)，因为2|BF |＝|AF |＋|CF |，所以22(2－x 1)＋22(2－x 2)＝2×22×(2－1)， 所以x 1＋x 2＝2.①故线段AC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫1，y 1＋y 22，其垂直平分线的方程为y －y 1＋y 22＝－x 1－x 2y 1－y 2(x －1)．②因为A ，C 在椭圆上，所以代入椭圆，两式相减， 把①代入化简，得－x 1－x 2y 1－y 2＝y 1＋y 2.③把③代入②，令y ＝0，得x ＝12，所以点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，0.所以直线BT 的斜率k ＝22－01－12＝ 2.10．在平面直角坐标系xOy 中，动点P (x ，y )到F (0,1)的距离比到直线y ＝－2的距离小1.(1)求动点P 的轨迹W 的方程；(2)过点E (0，－4)的直线与轨迹W 交于两点A ，B ，点D 是点E 关于x 轴的对称点，点A 关于y 轴的对称点为A 1，证明：A 1，D ，B 三点共线．解：(1)由题意可得动点P (x ，y )到定点F (0,1)的距离和到定直线y ＝－1的距离相等，所以动点P 的轨迹是以F (0,1)为焦点，以y ＝－1为准线的抛物线．所以动点P 的轨迹W 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设直线l 的方程为y ＝kx －4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 1(－x 1，y 1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，x 2＝4y ，消去y ，整理得x 2－4kx ＋16＝0. 则Δ＝16k 2－64>0，即|k |>2. x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝16.直线A 1B ：y －y 2＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)，所以y ＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)＋y 2，即y ＝x 22－x 214(x 1＋x 2)(x －x 2)＋14x 22，整理得y ＝x 2－x 14x －x 22－x 1x 24＋14x 22，即y ＝x 2－x 14x ＋x 1x 24.直线A 1B 的方程为y ＝x 2－x 14x ＋4，显然直线A 1B 过点D (0,4)．所以A 1，D ，B 三点共线． B 组 高考题型专练1．(2014·高考广东卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解：(1)依题意知c ＝5，c a ＝53，∴a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4，∴椭圆C 的标准方程为x 29＋y 24＝1. (2)若过点P (x 0，y 0)的切线的斜率不存在或者斜率为零，则易知点P 的坐标为(3,2)或(3，－2)或(－3，2)或(－3，－2)．若过点P (x 0，y 0)的切线的斜率存在且不为0，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，切线P A 的斜率为k ，∵P A ⊥PB ，则切线PB 的斜率为－1k. 切线P A 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k (x －x 0)x 29＋y 24＝1得4x 2＋9[k (x －x 0)＋y 0]2＝36，即(4＋9k 2)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9(y 0－kx 0)2－36＝0，∵切线P A 与椭圆相切， ∴Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－4(4＋9k 2)[9(y 0－kx 0)2－36]＝0，化简得4＋9k 2－k 2x 20＋2kx 0y 0－y 20＝0.①同理，切线PB 的方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)，与椭圆方程x 29＋y 24＝1联立可得，4＋9k 2－x 20k 2－2x 0y 0k－y 20＝0，即4k 2＋9－x 20－2kx 0y 0－k 2y 20＝0.② 由①＋②得13(1＋k 2)－(1＋k 2)(x 20＋y 20)＝0，即(1＋k 2)(x 20＋y 20－13)＝0，∵1＋k 2≠0，∴x 20＋y 20－13＝0，即x 20＋y 20＝13.经检验可知点(3,2)，(3，－2)，(－3,2)，(－3，－2)均满足x 20＋y 20＝13，故点P (x 0，y 0)的轨迹方程为x 2＋y 2＝13.2．(2015·高考广东卷)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B .(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)C 1：(x －3)2＋y 2＝4，圆心C 1(3,0)．(2)由垂径定理知，C 1M ⊥AB ，故点M 在以OC 1为直径的圆上，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94. 故线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程是⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94在圆C 1：(x －3)2＋y 2＝4内部的部分，即⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94⎝⎛⎭⎫53<x ≤3. (3)联立⎩⎨⎧x ＝53，⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝94，解得⎩⎨⎧ x ＝53，y ＝±253. 不妨设其交点为P 1⎝⎛⎭⎫53，253，P 2⎝⎛⎭⎫53，－253， 设直线L ：y ＝k (x －4)所过定点为P (4,0)， 则kPP 1＝－257，kPP 2＝257. 当直线L 与圆C 相切时，⎪⎪⎪⎪32－k －4k ||k 2＋1＝32，解得k ＝±34. 故当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34∪⎝⎛⎭⎫－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34时，直线L 与曲线C 只有一个交点．。
高二数学曲线与方程5精品文档
由(1),(2)可知，x2+y2=25是以坐标原点为圆心，半 径为5的圆的方程.
把点M1(3,－4)的坐标代入方程x2+y2=25,左右 两边相等,(3,－4)是方程的解,所以点M1在这个圆上;
把点M2(－2 5 ,2)的坐标代入方程x2+y2=25,
A
E
H
B
D
F
G
C
左右两边不等,(－2 5 ,2)不是方程的解，所以点
M2不在这个圆上.
练习 :
（1） 判别 A (2 , 3 )B ,( 1 ,22 )C ,( 2 3 c o ,3 ss i)n
三点是否在方程 x2y24x50的曲线上？
（2）已知方程 m2xn2y40的曲线
经过点 A (1,2)B ,(2,1),则m=_____,
标的点一定在这条抛物线 上.（如右图）
y
y ax2
M(x0, y0) x
yax2(a0)
二、曲线与方程概念：
一般地，在直角坐标系中，如果某 曲线C（看作适合某种条件的点的轨迹） 上的点与一个二元函数 f(x,y)0的实 数解建立了如下关系：
1.曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
2. 方程的解为坐标的点都是曲线上点。
个圆上.
证明:(1)设M(x0,y0)是圆上任意一点,因为点M到原点 的距离等于5,所以 x02 y02 5 ,也就是 x02 y02 25
即(x0,y0)是方程x2+y2=25的解. (2)设（x0,y0）是方程x2+y2=25的解，那么
x02 y02 25 x02 y02 5
高中数学2.1.1曲线与方程
下面继续探讨求曲线的方程：
四、参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐 标
x程例的，。4直y，：线得已C出知A轨与点迹x的C轴的参交数坐于方标程点是，A（消，去2过，参点数2），C且即，与得过其直点普线C通方 CA垂直的直线与y轴交于点B ，设点M是 线段AB的中点，求点M的轨迹方程。
y
归纳：选参数时必须首先考虑到制约动点的各种因素，然后再选 取合适的参数，常见的参数有角度、直线的斜率、点的坐标、线 段长度等。
2.1.1曲线与方程
解析几何在平面上建立直角坐标系：
y
Ｃ 0
Ｐ x
对应 点P
曲线C 曲线C划分的区域
（x，y） f（x，y）=0 f（x，y）<０（>0）
这些对应关系沟通了几何与代数，使我们可以借 助代数方法研究几何题，也可以借助图形研究 代数问题，而联系两者的有力工具是坐标法。
曲线与方程对应包含两方面：
B C
M
x
0
A
1. 理解曲线的方程与方程的曲线的对应关 系包含的两方面。
2.掌握求曲线方程的一般步骤：
①建系取点 ②条件列式③ 代换④化简方 程 ⑤查漏补缺
3. 求轨迹方程的常见方法：
①直接法② 定义法③代入法④参数法。
下面继续探讨求曲线的方程：
三、代入法：又称相关点法 , 其特点是：动点M（x，y） 的坐标取决于已知曲线C上的点（x0 ， y0 ）的坐标，可先 用x，y表示x0 ，y0，再带入曲线C的方程，即得点M的轨迹 方程。
例3：若 ABC的两个顶点B，C的坐 标 分别是（-1，0）和（2，0），顶点 A在直线y=x上移动，求 ABC重心G的 轨迹方程。
（１）曲线上点的坐标都是方程的解 （２）以这个方程解为坐标的点都是曲线上的点
高中数学 §211曲线与方程
§2.1.1 曲线与方程（1）1．理解曲线的方程、方程的曲线；2．求曲线的方程．3436，找出疑惑之处）复习1：画出函数22y x = (12)x -≤≤的图象．复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．问题：能否写成y x =，为什么？新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间， 如果具有以下两个关系： 1．曲线C 上的点的坐标，都是 的解；2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是 的点， 那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程； 曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线． 注意：1︒ 如果……，那么……； 2︒ “点”与“解”的两个关系，缺一不可；3︒ 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法；4︒ 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的． 试试：1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ．2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ．新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程．※ 典型例题 例 1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±．变式：到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y -=吗？例2设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程．变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)A ，(2,0)B -，(2,0)C ．中线AO （O 为原点）所在直线的方程是0x =吗？为什么？反思：BC 边的中线的方程是0x =吗？小结：求曲线的方程的步骤：①建立适当的坐标系，用(,)M x y表示曲线上的任意一点的坐标；②写出适合条件P的点M的集合{|()}P M p M=；③用坐标表示条件P，列出方程(,)0f x y=；④将方程(,)0f x y=化为最简形式；⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．※动手试试练1．下列方程的曲线分别是什么？(1)2xyx=(2)222xyx x-=-(3) log a xy a=练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？三、总结提升※学习小结1．曲线的方程、方程的曲线；2．求曲线的方程的步骤：①建系，设点；②写出点的集合；③列出方程；④化简方程；⑤验证．※知识拓展求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等．※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 与曲线y x=相同的曲线方程是（）．A．2xyx=B．y=C．y=D．2log2xy=2．直角坐标系中，已知两点(3,1)A，(1,3)B-，若点C满足OC=αOA+βOB，其中α，β∈R，α+β=1，则点C的轨迹为( ) ．A．射线B．直线C．圆D．线段3．(1,0)A，(0,1)B，线段AB的方程是（）．A．10x y-+=B．10x y-+=(01)x≤≤C．10x y+-=D．10x y-+=(01)x≤≤4．已知方程222ax by+=的曲线经过点5(0,)3A和点(1,1)B，则a= ，b= ．5．已知两定点(1,0)A-，(2,0)B，动点p满足12PAPB=，则点p的轨迹方程是．1．点(1,2)A-，(2,3)B-，(3,10)C是否在方程2210x xy y-++=表示的曲线上？为什么？2 求和点(0,0)O，(,0)A c距离的平方差为常数c的点的轨迹方程．§2.1.2 曲线与方程（2）1. 求曲线的方程；2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．3637，找出疑惑之处） 复习1：已知曲线C 的方程为 22y x = ，曲线C 上有点(1,2)A ，A 的坐标是不是22y x = 的解？点(0.5,)t 在曲线C 上,则t =___ ．复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?二、新课导学 ※ 学习探究 引入：圆心C 的坐标为(6,0)，半径为4r =，求此圆的方程．问题：此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程．探究：若4AB =，如何建立坐标系求AB 的垂直平分线的方程．※ 典型例题例1 有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到(0,3)A 的距离的2倍，试求曲线的方程．变式：现有一曲线在x 轴的下方，曲线上的每一点到x 轴的距离减去这点到点(0,2)A ，的距离的差是2，求曲线的方程．小结：点(,)P a b 到x 轴的距离是 ；点(,)P a b 到y 轴的距离是 ； 点(1,)P b 到直线10x y +-=的距离是 ．例2已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2，一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．※ 动手试试练1． 有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到直线10x y +-=的距离的2倍，试求曲线的方程．练2. 曲线上的任意一点到(3,0)A -,(3,0)B 两点距离的平方和为常数26,求曲线的方程．三、总结提升 ※ 学习小结1. 求曲线的方程；2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．※ 知识拓展圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e 的点的轨迹是圆锥曲线． 01e <<：椭圆； 1e =： 抛物线； 1e >： 双曲线．※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1．方程[]2(3412)log (2)30x y x y --+-=的曲线经过点(0,3)A -，(0,4)B ，(4,0)C ，57(,)34D -中的（ ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2．已知(1,0)A ，(1,0)B -，动点满足2MA MB -=,则点M 的轨迹方程是（ ）. A ．0(11)y x =-≤≤ B ．0(1)y x =≥C ．0(1)y x =≤-D ．0(1)y x =≥ 3．曲线y =与曲线0y x +=的交点个数一定是（ ）．A ．0个B ．2个C ．4个D ．3个 4．若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4OP OA •=,则点P 的轨迹方程是 ．5．由方程111x y -+-=确定的曲线所围成的图形的面积是 ． 1．以O 为圆心，2为半径，上半圆弧的方程是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？ 2．已知点C 的坐标是(2,2)，过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B ．设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程．§2.2.1椭圆及其标准方程(1)1．从具体情境中抽象出椭圆的模型； 2．掌握椭圆的定义； 3．掌握椭圆的标准方程．3840，文P32~ P 34找出疑惑之处） 复习1：过两点(0,1) ,(2,0)的直线方程 ．复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 ． 二、新课导学 ※ 学习探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ． 反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ； 当122a F F <时，其轨迹为 ．试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ． 小结：应用椭圆的定义注意两点： ①分清动点和定点； ②看是否满足常数122a F F >．新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程()222210x y a b a b+=>> 其中222b a c =-若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程是 ．※ 典型例题例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上； ⑵4,a c ==y 轴上； ⑶10,a b c +==变式：方程214x y m +=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ．小结：椭圆标准方程中：222a b c =+ ；a b > ． 例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程 ．变式：椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程．※动手试试练1. 已知ABC∆的顶点B、C在椭圆2213xy+=上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC∆的周长是（）．A．B．6 C．D．12练2 ．方程219x ym-=表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的范围．三、总结提升※学习小结1. 椭圆的定义：2. 椭圆的标准方程：※知识拓展1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算※自我评价你完成本节导学案的情况为（）．A.很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．平面内一动点M到两定点1F、2F距离之和为常数2a，则点M的轨迹为（）．A．椭圆B．圆C．无轨迹D．椭圆或线段或无轨迹2．如果方程222x ky+=表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）．A．(0,)+∞B．(0,2)C．(1,)+∞D．(0,1)3．如果椭圆22110036x y+=上一点P到焦点1F的距离等于6，那么点P到另一个焦点2F的距离是（）．A．4 B．14 C．12 D．84．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是．5．如果点(,)M x y在运动过程中，总满足关系式10，点M的轨迹是，它的方程是．1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P-；⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a=；⑶10,4a c a c+=-=．2. 椭圆2214x yn+=的焦距为2，求n的值．§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)1．掌握点的轨迹的求法；2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．4142，文P 34~ P 36找出疑惑之处） 复习1：椭圆上221259x y +=一点P 到椭圆的左焦点1F 的距离为3，则P 到椭圆右焦点2F 的距离是 ．复习2：在椭圆的标准方程中,6a =,b =则椭圆的标准方程是 ．二、新课导学 ※ 学习探究 问题：圆22650x y x +++=的圆心和半径分别是什么?问题：圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ；反之,到点(3,0)-的距离等于2的所有点都在 圆 上．※ 典型例题例1在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？变式： 若点M 在DP 的延长线上，且32DM DP =，则点M 的轨迹又是什么？小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．例2设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程 ．变式：点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？※ 动手试试 练1．求到定点()2,0A 与到定直线8x =的距离之比的动点的轨迹方程．练2．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．三、总结提升 ※ 学习小结1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程．※ 知识拓展椭圆的第二定义：到定点F 与到定直线l 的距离的比是常数e (01)e <<的点的轨迹． 定点F 是椭圆的焦点； 定直线l 是椭圆的准线； 常数e 是椭圆的离心率．※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1．若关于,x y 的方程22sin cos 1x y αα-=所表示的曲线是椭圆，则α在（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．若ABC ∆的个顶点坐标(4,0)A -、(4,0)B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（ ）．A ．221259x y +=B ．221259y x += (0)y ≠C ．221169x y +=(0)y ≠D ．221259x y +=(0)y ≠3．设定点1(0,2)F - ，2(0,2)F ，动点P 满足条件124(0)PF PF m m m+=+>，则点P 的轨迹是（ ）．A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 4．与y 轴相切且和半圆224(02)x y x +=≤≤内切的动圆圆心的轨迹方程是 ． 5. 设12,F F 为定点，|12F F |=6，动点M 满足12||||6MF MF +=，则动点M 的轨迹是 ． 1．已知三角形ABC 的一边长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程． 2．点M 与定点(0,2)F 的距离和它到定直线8y =的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．§2.2.2 椭圆及其简单几何性质（1）1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形； 2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．4346，文P37~ P40找出疑惑之处）复习1：椭圆2211612x y+=上一点P到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是．复习2：方程2215x ym+=表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是．二、新课导学※学习探究问题1：椭圆的标准方程22221x ya b+=(0)a b>>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比ca称为离心率，记cea=，且01e<<．试试：椭圆221169y x+=的几何性质呢？图形：范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：cea== ．反思：ba或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？※典型例题例 1 求椭圆221625400x y+=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．变式：若椭圆是22981x y+=呢？小结：①先化为标准方程，找出,a b，求出c；②注意焦点所在坐标轴．例 2 点(,)M x y与定点(4,0)F的距离和它到直线25:4l x=的距离的比是常数45，求点M的轨迹．小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆．※动手试试练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x轴上，6a=，13e=；⑵焦点在y轴上，3c=，35e=；⑶经过点(3,0)P-，(0,2)Q-；⑷长轴长等到于20，离心率等于35．三、总结提升※学习小结1 ．椭圆的几何性质：图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；2 ．理解椭圆的离心率．※知识拓展（数学与生活）已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆，且篮球与地面※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．若椭圆2215x ym+=的离心率e=则m的值是（）．A．3B．3或253C D2．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F，2(3,0)F，则其离心率为（）．A．34B．23C．12D．143．短轴长为，离心率23e=的椭圆两焦点为12,F F，过1F作直线交椭圆于,A B两点，则2ABF∆的周长为（）．A．3B．6C．12D．244．已知点P是椭圆22154x y+=上的一点，且以点P及焦点12,F F为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标是．5．某椭圆中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是．1．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴22936x y+=与2211612x y+=；⑵22936x y+=与221610x y+=．2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴经过点(P-，Q；⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P；⑶焦距是8，离心率等于0.8．§2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)2．椭圆与直线的关系．4648，文P40~ P41找出疑惑之处）复习1： 椭圆2211612x y +=的 焦点坐标是（ ）（ ） ；长轴长 、短轴长 ； 离心率 ． 复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？ 二、新课导学 ※ 学习探究 问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？反思：点与椭圆的位置如何判定？※ 典型例题例 1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ，已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =，试建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．变式：若图形的开口向上，则方程是什么？ 小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在坐标轴． （理）例2 已知椭圆221259x y +=，直线l ： 45400x y -+=。
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9.9 曲线与方程一、填空题1．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0表示的是________． 解析 (x －y )2＋(xy －1)2＝0⇔⎩⎨⎧x －y ＝0，xy －1＝0，∴⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1.故此方程表示两个点． 答案 两个点 2．方程|y |－1＝1－x －12表示的曲线是________．解析原方程等价于⎩⎨⎧|y |－1≥01－(x －1)2≥0(|y |－1)2＝1－(x －1)2⇔⎩⎨⎧ |y |－1≥0(x －1)2＋(|y |－1)2＝1⇔⎩⎨⎧y ≥1(x －1)2＋(y －1)2＝1或⎩⎨⎧y ≤－1(x －1)2＋(y ＋1)2＝1 答案 两个半圆3. 动点P 到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P 的轨迹方程为_______．解析 考查抛物线定义及标准方程,知P 的轨迹是以F(2,0)为焦点的抛物线,p=2,所以其方程为28y x =. 答案 28y x =4．设P 为圆x 2＋y 2＝1上的动点，过P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，若PM →＝λMQ →(其中λ为正常数)，则点M 的轨迹为________． 解析 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，则Q (x 0,0)， 由PM →＝λMQ →得⎩⎨⎧x －x 0＝λ(x 0－x )，y －y 0＝－λy(λ＞0)，∴⎩⎨⎧x 0＝x ，y 0＝(λ＋1)y .由于x 20＋y 20＝1，∴x 2＋(λ＋1)2y 2＝1，∴M 的轨迹为椭圆． 答案 椭圆5.设P 为双曲线2214x y -=上一动点,O 为坐标原点,M 为线段OP 的中点,则点M 的轨迹方程是 .解析 设M(x,y),则P(2x,2y)代入双曲线方程即得.答案 2241x y -=6．如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是________．解析 由条件知PM ＝PF . ∴PO ＋PF ＝PO ＋PM ＝OM ＝R >OF . ∴P 点的轨迹是以O 、F 为焦点的椭圆． 答案 椭圆7．若△ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．解析 如图AD ＝AE ＝8，BF ＝BE ＝2，CD ＝CF ，所以CA －CB ＝8－2＝6. 根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．答案x 29－y 216＝1(x >3)8．对于曲线C ：x 24－k＋y 2k －1＝1，给出下面四个命题：①曲线C 不可能表示椭圆； ②当1＜k ＜4时，曲线C 表示椭圆； ③若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4； ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜52.其中所有正确命题的序号为________．解析 根据椭圆和双曲线的定义，可得当⎩⎨⎧4－k>0，k －1>0，4－k≠k－1，即⎩⎪⎨⎪⎧k<4，k>1，k ≠52时，表示椭圆；当k<1或k>4时，表示双曲线． 答案 ③④9．在△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0(a >0)，且满足条件sin C －sin B ＝12sin A ，则动点A 的轨迹方程是________．解析 由正弦定理得AB 2R －AC 2R ＝12×BC 2R， ∴AB －AC ＝12BC ，由双曲线的定义知动点A 的轨迹为双曲线右支．答案16x 2a 2－16y 23a2＝1(x >0且y ≠0) 10．已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是______________．解析 由OQ →＝PF 1→＋PF 2→， 又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2，－y 2， 即P 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－x2，－y 2，又P 在椭圆上，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1(a ＞b ＞0)．答案 x 24a 2＋y 24b 2＝1(a ＞b ＞0)11．已知两条直线l 1：2x －3y ＋2＝0和l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都动)与l 1、l 2都相交，且l 1、l 2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是____________．解析 设动圆的圆心为M (x ，y )，半径为r ，点M 到直线l 1，l 2的距离分别为d 1和d 2.由弦心距、半径、半弦长间的关系得，⎩⎪⎨⎪⎧2r 2－d 21＝26，2r 2－d 22＝24，即⎩⎨⎧r 2－d 21＝169，r 2－d 22＝144，消去r 得动点M 满足的几何关系为d 22－d 21＝25， 即3x －2y ＋3213－2x －3y ＋2213＝25.化简得(x ＋1)2－y 2＝65.此即为所求的动圆圆心M 的轨迹方程． 答案 (x ＋1)2－y 2＝6512．直线x a ＋y2－a＝1与x 、y 轴交点的中点的轨迹方程是______．解析 (参数法)设直线x a ＋y2－a ＝1与x 、y 轴交点为A (a,0)、B (0,2－a )，A 、B中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案 x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)13．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是________．解析 在边长为a 的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，DC 与A 1D 1是两条相互垂直的异面直线，平面ABCD 过直线DC 且平行于A 1D 1，以D 为原点，分别以DA 、DC 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设点P (x ，y )在平面ABCD 内且到A 1D 1与DC 之间的距离相等，∴|x |＝y 2＋a 2，∴x 2－y 2＝a 2，故该轨迹为双曲线．答案 双曲线 二、解答题14.求过直线x-2y+4=0和圆2224x y x y ++-+1=0的交点,且满足下列条件之一的圆的方程: (1)过原点; (2)有最小面积.解析 设所求圆的方程是22241x y x y ++-++(2x y λ-+4)=0, 即22(2)2(2)140x y x y λλλ+++-+++=. (1)因为圆过原点,所以140λ+=,即14λ=-.故所求圆的方程为2277042x y x y ++-=.(2)将圆系方程化为标准式,有:2222524()(2)()2455x y λλλ+++--=++.当其半径最小时,圆的面积最小,此时25λ=-为所求.故满足条件的圆的方程是22844()()555x y ++-=.点评:(1)直线和圆相交问题,这里应用了曲线系方程,这种解法比较方便;当然也可以用待定系数法.(2)面积最小时即圆半径最小;也可用几何意义,即直线与相交弦为直径时圆面积最小. 15．如图，椭圆C ：x 216＋y 24＝1的右顶点是A ，上、下两个顶点分别为B 、D ，四边形OAMB 是矩形(O 为坐标原点)，点E 、P 分别是线段OA 、AM 的中点．(1)求证：直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上；(2)过点B 的直线l 1，l 2与椭圆C 分别交于点R 、S (不同于点B )，且它们的斜率k 1，k 2满足k 1k 2＝－14，求证：直线RS 过定点，并求出此定点的坐标． 解析 (1)由题意，得A (4,0)，B (0,2)，D (0，－2)，E (2,0)，P (4,1)． 所以直线DE 的方程为y ＝x －2，直线BP 的方程为y ＝－14x ＋2.解方程组⎩⎨⎧y ＝x －2，y ＝－14x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝165，y ＝65.所以直线DE 与直线BP 的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫165，65.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫165216＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6524＝1，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫165，65在椭圆x 216＋y 24＝1上．即直线DE 与直线BP 的交点在椭圆C 上． (2)设直线BR 的方程为y ＝k 1x ＋2.解方程组⎩⎨⎧y ＝k 1x ＋2，x 216＋y24＝1，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－16k11＋4k 21，y ＝2－8k 211＋4k 21，所以点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－161＋4k 21，2－8k 211＋4k 21.因为k 1k 2＝－14，所以直线BS 的斜率k 2＝－14k 1.直线BS 的方程为y ＝－14k 1x ＋2. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14k1x ＋2，x 216＋y 24＝1，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16k 11＋4k 21，y ＝8k 21－21＋4k 21.所以点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 11＋4k 21，8k 21－21＋4k 21.所以点R ，S 关于坐标原点O 对称． 故R ，O ，S 三点共线，即直线RS 过定点O .16．已知圆O ：x 2＋y 2＝2交x 轴于A 、B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，离心率为22的椭圆，其左焦点为F .若点P 是圆O 上的一点，连接PF ，过原点O 作直线PF 的垂线交椭圆C 的左准线于点Q .(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若点P 的坐标为(1,1)，求证：直线PQ 与圆O 相切；(3)试探究：当点P 在圆O 上运动时(不与点A 、B 重合)，直线PQ 与圆O 是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由． 解析 (1)因为a ＝2，e ＝22，所以c ＝1. 则b ＝1，即椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为P (1,1)，所以k PF ＝12，所以k OQ ＝－2，所以直线OQ 的方程为y ＝－2x .又椭圆的左准线方程为x ＝－2，所以点Q (－2,4)．所以k PQ ＝－1.又k OP ＝1，所以k OP ·k PQ ＝－1，即OP ⊥PQ ，故直线PQ 与圆O 相切．(3)当点P 在圆O 上运动时，直线PQ 与圆O 保持相切． 证明如下：设P (x 0，y 0)(x 0≠0，±1)，则y 20＝2－x 20，所以k PF ＝y 0x 0＋1，k OQ ＝－x 0＋1y 0. 所以直线OQ 的方程为y ＝－x 0＋1y 0x . 所以点Q ⎝⎛⎭⎪⎫－2，2x 0＋2y 0. 所以k PQ ＝y 0－2x 0＋2y 0x 0＋2＝y 20－2x 0＋2x 0＋2y 0＝－x 20－2x 0x 0＋2y 0＝－x 0y 0，又k OP ＝y 0x 0，所以k OP ·k PQ ＝－1，即OP ⊥PQ ，故直线PQ 始终与圆O 相切．17．如图，在直角坐标系中，A 、B 、C 三点在x 轴上，原点O 和点B 分别是线段AB 和AC 的中点，已知AO ＝m (m 为常数)，平面的点P 满足PA ＋PB ＝6m .(1)试求点P 的轨迹C 1的方程；(2)若点(x ，y )在曲线C 1上，求证：点⎝ ⎛⎭⎪⎫x3，y 22一定在某圆C 2上； (3)过点C 作直线l 与圆C 2相交于M 、N 两点，若点N 恰好是线段CM 的中点，试求直线l 的方程．解析 (1)由题意可得点P 的轨迹C 1是以A 、B 为焦点的椭圆，且半焦距长c ＝m ，长半轴长a ＝3m ，则C 1的方程为x 29m 2＋y 28m 2＝1.(2)若点(x ，y )在曲线C 1上，则x 29m 2＋y 28m 2＝1.设x 3＝x 0，y22＝y 0，则x ＝3x 0，y ＝22y 0.代入x 29m 2＋y 28m 2＝1，得x 20＋y 20＝m 2，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫x3，y 22一定在某一圆C 2上． (3)由题意，得C (3m,0)．设M (x 1，y 1)，则x 21＋y 21＝m 2.①因为点N 恰好是线段CM 的中点，所以N ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋3m 2，y 12. 代入C 2的方程得⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋3m 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 122＝m 2.② 联立①②，解得x 1＝－m ，y 1＝0. 故直线l 有且只有一条，方程为y ＝0.18．在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A (－4,0)，B (4,0)，动点P 与点A 、B 连线的斜率之积为－14.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹与y 轴负半轴交于点C ，半径为r 的圆M 的圆心M 在线段AC 的垂直平分线上，且在y 轴右侧，圆M 被y 轴截得的弦长为3r . ①求圆M 的方程；②当r 变化时，是否存在定直线l 与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．解析 (1)设P (x ，y )，则直线PA 、PB 的斜率分别为k 1＝y x ＋4，k 2＝y x －4.由题意，知y x ＋4·yx －4＝－14，即x 216＋y 24＝1(x ≠±4)．所以动点P 的轨迹方程是x 216＋y 24＝1(x ≠±4)．(2)①由题意，得C (0，－2)，A (－4,0)， 所以线段AC 的垂直平分线方程为y ＝2x ＋3.设M (a,2a ＋3)(a ＞0)，则⊙M 的方程为(x －a )2＋(y －2a －3)2＝r 2. 圆心M 到y 轴的距离d ＝a ，由r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎪⎫3r 22，得a ＝r2. 所以⊙M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －r 22＋(y －r －3)2＝r 2.②假设存在定直线l 与动圆M 均相切． 当定直线的斜率不存在时，不合题意．设直线l ∶y ＝kx ＋b ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ×r 2－r －3＋b 1＋k 2＝r 对任意r ＞0恒成立． 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－1r ＋b －3＝r 1＋k 2，得⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－12r 2＋(k －2)(b －3)r ＋(b －3)2＝(1＋k 2)r 2. 所以⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－12＝1＋k 2，k －2b －3＝0，b －32＝0.解得⎩⎨⎧k ＝0，b ＝3或⎩⎨⎧k ＝－43，b ＝3.所以存在两条直线y ＝3和4x ＋3y －9＝0与动圆M 均相切．。