第二章 地图的数学基础
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第二章 地图的数学基础
地图与测量
电 子 教 案
第 2 章 地图的数学基础
§1 地球的形状及大小 §2 坐标系与大地控制点
§3 地图投影
§4 地图比例尺 §5 地图分幅与编号
§2.1地球的形状及大小 2.1.1 地球体
浩瀚宇 宙中 : 地球是 一个表 面光滑、 蓝色美 丽的正 球体。
事实是：
地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、 赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于 梨形的椭球体。
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V U T S R Q P O N M L K
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11
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1:5千-1：50万地形图的行、列划分和编号
×××D006011 ×××C002003 ×××E018016
001 001 002 003 001 004 002 005 006 007 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 001 001 001
电 子 教 案
第 2 章 地图的数学基础
§1 地球的形状及大小 §2 坐标系与大地控制点
§3 地图投影
§4 地图比例尺 §5 地图分幅与编号
§2.1地球的形状及大小 2.1.1 地球体
浩瀚宇 宙中 : 地球是 一个表 面光滑、 蓝色美 丽的正 球体。
事实是：
地球不是一个正球体，而是一个极半径略短、 赤道半径略长，北极略突出、南极略扁平，近于 梨形的椭球体。
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1:5千-1：50万地形图的行、列划分和编号
×××D006011 ×××C002003 ×××E018016
001 001 002 003 001 004 002 005 006 007 001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 001 001 001
地图的数学基础
优点： 1、椭球体参数精度高，参考椭球体面与我国大地 水准面符合好 2、精度高，满足1：5000比例尺测图
参考椭球体和大地原点确定后，便可以进行椭球 体定位和精确测量大地原点坐标，进而再以大地原点 为基准，推算其它大地点坐标。不同国家由于采用的 参考椭球体及定位方法不同，因此同一地面点在不同 坐标系中大地坐标值也不相同。
② 大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置， 用大地经度l 、大地纬度 表示。
大地经度l ：指参考椭球 面上某点的大地子午面与 本初子午面间的两面角。 东经为正，西经为负 大地纬度 ：指参考椭球 面上某点的垂直线（法线） 与赤道平面的夹角。北纬 为正，南纬为负
法线一般不通过椭球体中心，只有在赤道上的点 和极点的法线才通过椭球体中心
13
地球的物理表面
•
由于地球的自然表面不能作为测量与制图的基准面 ，必须寻求一种与地球自然表面非常接近的规则曲 面，来代替不规则的自然表面
•
这种规则曲面是一个与静止海平面（应该是无波浪 、无潮汐、无水流、无大气压变化，处于流体平衡 状态的平面）相重合的水准面。并以之为基准面向 大陆延伸，并穿过陆地、岛屿，最终形成一个封闭 曲面，即大地水准面
14
•
大地水准面仍不是一个规则的曲面。因为，当海平 面静止时，自由水面必须与该面上各点的重力线方 向相正交，由于地球内部质量的不均一，造成重力 场的不规则分布，因而重力线方向并非恒指向地心 ，导致处处与重力线方向相正交的大地水准面也不 是一个规则的曲面
•
大地水准面实际上是一个起伏不平的重力等位面， 即地球物理表面
上的位置。这种位置包括两个方面：
点在地球椭球面上的平面位置，即经度和纬度
点到大地水准面的高度，即高程
地图学第2.2章
设想光源的远近对经纬网的影响
光源臵于球心 纬线间距自极点至赤道由内向外不断拉伸 投影后赤道在无穷远处
光源臵于无穷远 纬线间距自极点至赤道由内向外不断压缩，赤道附近趋零 纬线被赤道圈围
光源臵于球心外有限距离，光线弯曲——(等距数学函数法)
纬线间距不变
投影后赤道半径为子午面上极点至赤道的距离
光源臵于球心外有限距离，光线弯曲——(等积数学函数法) 面积不变，纬线间距自极点至赤道由内向外逐步压缩
如“图上1cm的相当于实地100米”
3.图解式
（1）直线比例尺
在一直线上截取若干相等线段作为比例尺基本 单位，最左边基本单位分成10或5 等分，通常 1cm或精度达1/10，但可估读到1/100。
பைடு நூலகம்附尺
主尺
（2）斜分比例尺:(微分比例尺)
根据相似三角形原理制成的图解比例尺。
斜分比例尺特征（图）
• 通常在一组（10条）等间距平行直线上 截取5个长的比例尺基本单位。右边4个 构成主尺，最左边基本单位错位斜分成 10等分，构成附尺。
球面经纬网投影前后差异
球面经纬网的特征： • 纬线长度不等 • 同一条纬线，经差相同 的纬线弧长相等 • 经线长度相等 • 梯形网格（经度带、纬 度带） • 经线和纬线呈直角相交 投影变形的表现： • 长度变形：地图上的 长度随不同地点和方 向而改变 • 面积变形：地图上的 面积随不同地点而改 变 • 角度变形：地图上两 条线所夹的角度不等 于球面上相应的角度
中国高程起算面是 黄海平均海水面。 1956年在青岛观象山设立了水准原点， 其他各控制点的绝对高程均是据此推 算，称为1956年黄海高程系。 1987年国家测绘局公布： 启用《1985国家高程基准》 取代《黄海平均海水面》 其比《黄海平均海水面》 上升 29毫米。
光源臵于球心 纬线间距自极点至赤道由内向外不断拉伸 投影后赤道在无穷远处
光源臵于无穷远 纬线间距自极点至赤道由内向外不断压缩，赤道附近趋零 纬线被赤道圈围
光源臵于球心外有限距离，光线弯曲——(等距数学函数法)
纬线间距不变
投影后赤道半径为子午面上极点至赤道的距离
光源臵于球心外有限距离，光线弯曲——(等积数学函数法) 面积不变，纬线间距自极点至赤道由内向外逐步压缩
如“图上1cm的相当于实地100米”
3.图解式
（1）直线比例尺
在一直线上截取若干相等线段作为比例尺基本 单位，最左边基本单位分成10或5 等分，通常 1cm或精度达1/10，但可估读到1/100。
பைடு நூலகம்附尺
主尺
（2）斜分比例尺:(微分比例尺)
根据相似三角形原理制成的图解比例尺。
斜分比例尺特征（图）
• 通常在一组（10条）等间距平行直线上 截取5个长的比例尺基本单位。右边4个 构成主尺，最左边基本单位错位斜分成 10等分，构成附尺。
球面经纬网投影前后差异
球面经纬网的特征： • 纬线长度不等 • 同一条纬线，经差相同 的纬线弧长相等 • 经线长度相等 • 梯形网格（经度带、纬 度带） • 经线和纬线呈直角相交 投影变形的表现： • 长度变形：地图上的 长度随不同地点和方 向而改变 • 面积变形：地图上的 面积随不同地点而改 变 • 角度变形：地图上两 条线所夹的角度不等 于球面上相应的角度
中国高程起算面是 黄海平均海水面。 1956年在青岛观象山设立了水准原点， 其他各控制点的绝对高程均是据此推 算，称为1956年黄海高程系。 1987年国家测绘局公布： 启用《1985国家高程基准》 取代《黄海平均海水面》 其比《黄海平均海水面》 上升 29毫米。
地图学课件第二章地图的数学基础
等距离投影是指投影前后，地图上的线段 长度保持不变的投影方式。
等方位投影
任意投影
等方位投影是指投影前后，地图上的方向 保持不变的投影方式。
任意投影是指根据实际需要，选择不同的 投影方式进行投影的过程，可以满足各种 不同的需求和应用场景。
02
常用地图投影
方位投影
总结词
方位投影是一种将地球表面投影到平 面上的方法，其特点是投影后各方向 保持相对方位不变。
多面投影
总结词
多面投影是一种将地球表面分割成多个部分，然后将每个部分分别投影到平面上 的方法。这种投影的特点是能够较好地保留地理特征的形状和面积。
详细描述
多面投影常用于制作大比例尺地图，尤其适用于制作特定地区的地图，如国家或 地区地图。由于多面投影可以针对特定区域进行优化，因此它能够更好地保留地 理特征的形状和面积，但制作过程相对复杂。
数字地图的坐标系
地理坐标系
以经纬度为基准，用于表示地球表面任意点的位置。
投影坐标系
将地球表面投影到平面上，形成二维坐标系，用于地图制作和地理信息系统。
数字地图的精度与比例尺
精度
地图上地理要素的详细程度和准确度， 与地图的制作技术和测量技术有关。
VS
比例尺
地图上的长度与实际地物长度之间的比例 关系，用于表示地图的缩放程度。
详细描述
方位投影通常用于制作小比例尺地图 ，因为它能够保持地理特征的相对方 向和距离。然而，方位投影在投影过 程中可能会产生较大的面积变形。
圆柱投影
总结词
圆柱投影是将地球表面投影到圆柱体表面，然后将圆柱体展 开成平面。这种投影的特点是投影后经度线保持等距离，而 纬度线则逐渐缩短。
详细描述
圆柱投影广泛应用于世界地图的制作，因为它在保持经度线 等距的同时，相对较好地保留了纬度方向的形状和面积。然 而，在靠近极点的区域，纬度线会变得非常密集，导致地图 扭曲。
第二章：地图的数
地球上的经纬线的长度的特点： 第一，纬线长度不等 第二，在同一条纬线上，经差相同的 纬线弧长相等 第三，所有经线长度相等
地球上的经纬线网格面积的特点：
第一，在同一纬度带内，经差相同的 球面网格面积相等
第二，在同一经度带内，纬度愈高，
网格面积愈小
地球上的经纬线角度的特点：
在地球上经线和纬线处处都呈直角相交
§2.5 地图的分幅与编号 主要内容：
1. 2. 3. 4. 地图编号 我国基本地形图的分幅和编号 地图分幅的概念和方法 地形图编号的计算方法
一、地图的分幅
1.为什么要分幅？ 区域表达，编图、印刷、保管和使用 的方便。 2.地图分幅的方法 矩形分幅
经纬线分幅
拼接 不拼接
矩形分幅
拼接分幅：
适用：挂图和大于1：2000的地形图
或1.5°经线范围内的经纬线投影到椭圆柱面上，
然后将椭圆柱面展开成平面即成。
中央子午线：与椭圆柱重合的子午线
两种常用的分带方式及中央子午线的计算 6°带：从0°子午线开始每6 °经差为一带，中间的子 午线为中央子午线 该投影带的中央子午线：L=6n-3 n为带号 3°带：从1°30′开始每3 °经差为一带，其中间的子午 线为中央子午线 该投影带的中央子午线：L=3n n为带号
2.4 地图比例尺
1. 地图比例尺的含义
地图比例尺：地图上一直线段长度与地面相应直线水平投影 长度之比。 可表达为（d为图上距离，D为实地距离）
d 1 D M
根据地图投影变形情况，地图比例尺分为：
主比例尺 ： 在投影面上没有变形的点或线上的比例尺。 局部比例尺： 在投影面上有变形处的比例尺。
2. 地图比例尺的形式
二、 椭球定位与定向
第二章地图数学基础分析
一、地理坐标系——地球椭球面
这是一个纯粹的数学表面，用 简单的数学公式即可表达 ：
x2 y2 z2 a2 a2 b2 1
常用的符号有a、b、α、
e、e，这些符号的含义
叫做地球椭球的基本元
素。
第二章地图数学基础分析
短 半 径
b
0
长半径a
地球椭球面
2-1 空间坐标系
一、地理坐标系——地球椭球面 其中 α 、e、e 的名称和公式为：
第二章地图数学基础分析
1954年北京坐标系、1980西安坐标系是 参心坐标系，
WGS84坐标系、2000 国家大地坐标系是 地心坐标系
参心坐标系 是以参考椭球的几何中心为原点的 大地坐标系。 地心坐标系 以地球质心为原点建立的空间直角 坐标系
第二章地图数学基础分析
2-1 空间坐标系
一、地理坐标系——椭球体的采用
一、地理坐标系——经纬线与地理坐标
纬线圈 起始经线
B——纬度，从赤道起算
P
L——经度，从格林尼治
A
首经线起算
B L
P＇
地理坐标系中某点 的纬度和经度，是用大 地测量的方法测定的， 赤道 故又称这种地理坐标系 为大地地理坐标系，简 称大地坐标系。
第二章地图数学基础分析
2-1 空间坐标系
一、地理坐标系——经纬线与地理坐标
第二章地图数学基础分析
2-1 空间坐标系 经差1°的纬线弧长
二、平面直角坐标系 纬 度（度） 长 度（公里）
0
111 321
10
109 641
20
104 649
30
96 448
40
85 396
50
71 698
第二章2 地图学的数学基础--高斯克吕格
地图投影的分 类
地图投影的分 类
高斯－克吕格投影的几何概念：
x P’
P
A' B' D' C'
A C
B D
O
Y
赤道
P
P’
地图投影的分 类
高斯－克吕格投影的基本条件： （1）中央经线投影为直线，且是投影的对 称轴； （2）投影后没有角度变形； （3）中央经线上没有长度变形。
三、投影的变形分析： 长度变形公式：
1 1 1 2 2 2 4 2 4 µ = 1 + cos ϕ (1 + η )λ + cos ϕ (2 − tan ϕ )λ − cos 4 ϕλ4 2 6 8
17带
A B
18带
投 影 带 中 央 经 线
I- 4 7- 144
I- 48 - 13 3
A
B
投 影 带 中 央 经 线
地图投影的分 类
据《1∶2.5万～１∶10万地形图图式》 (1971年版)规定: 每个投影带西边最外一行1∶10万地形图 的范围(即经差30′)内包含的1∶10万、1∶ ５万、1∶2.5万地形图均需要加绘西部邻带 的方里网； 每个投影带东部最外的一行1∶５万地形 图(经差15′）和一行1∶2.5万地形图(经差 7.5′)的图面上也需要加绘东邻带的方里网。 这样，每两个投影带的相接部分(45′的 范围)都应该有1行1∶10万，3行1∶５万，5 行1∶2.5万地形图的图面上需绘出邻带方里 网。
{x, y} →{X ,Y}
地图投影的分 类
2.数值变换法 2.数值变换法 在资料图投影方程式未知时， 在资料图投影方程式未知时，或不易求得 资料图和新编图两投影间解析关系式的情况 下，可以采用多项式来建立它们之间的联系 ，用数值逼近的理论和方法来建立两投影间 的关系。 的关系。 3.数值-解析变换法 3.数值数值 已知新投影方程式， 已知新投影方程式，而原投影方程式未知 采取类似上述的多项式， 时，采取类似上述的多项式，求的资料图投 影点的地理坐标（ ），即反解数值变 影点的地理坐标（φ、λ），即反解数值变 然后代入新方程式中， 换，然后代入新方程式中，即可实现两种投 影间的变换。 影间的变换。
地图学第二章地图的数学基础
பைடு நூலகம்
2、按投影面与地球关系: 切投影—Gauss-Kruger 割投影—UTM 3、按投影变形性质分：（图3-7） a.等角投影（投影后经线长度比，纬线长度比同等变形） 适用于航海、洋流和风向图等 b.等积投影：P=1=ab, a=1/b或b=1/a 适用于面积精度要求较高的自然和经济图 c.任意投影：（即有长度，面积，角度变形） 等距离投影是任意投影的一个特例 八、地图投影判别与选择 1、地图用途 航海、天气、军事等，要求方位准确—等角投影 面积量算（经济类地图）--等积投影 地理挂图（相似于实地）--面积变形小，角度变形小
（2）我国曾经或正在采用的椭球体
第一节 地球的形状与大小
第一节 地球的形状与大小
Natural surfaces
Physical surfaces Mathematical surfaces 三级逼近： （椭球体定位操作） 将地球椭球体与一个局部大地水准 面最优拟合状态下的椭球体，叫做 参考椭球体. 椭球体及其定位 按一定的条件将具有确定元素的 地球椭球同大地体的相关位臵固定 下来，从而获得大地测量计算基础 面和大地起算数据。 椭球体定位的条件: 椭球短轴与地轴相平行 椭球面与大地水准面充分接近
第二节 地球坐标与大地定位
一、地理坐标
大地纬度、大地经度、东 经、西经、南纬、北纬 （具体看图）、本初子午 线（首子午线L, prime meridian） A
经纬度λ，β
L
二、我国的大地坐标系 本初子午线 1.大地坐标系发展 1）1954北京坐标系：简称54坐标系。该坐标系是1942年苏联普尔科沃 坐标系（Pulkovo 1942）的延伸，它的真正坐标原点不是北京而是苏联 普尔科沃，相应的参考椭球体为克拉索夫斯基椭球体。
2、按投影面与地球关系: 切投影—Gauss-Kruger 割投影—UTM 3、按投影变形性质分：（图3-7） a.等角投影（投影后经线长度比，纬线长度比同等变形） 适用于航海、洋流和风向图等 b.等积投影：P=1=ab, a=1/b或b=1/a 适用于面积精度要求较高的自然和经济图 c.任意投影：（即有长度，面积，角度变形） 等距离投影是任意投影的一个特例 八、地图投影判别与选择 1、地图用途 航海、天气、军事等，要求方位准确—等角投影 面积量算（经济类地图）--等积投影 地理挂图（相似于实地）--面积变形小，角度变形小
（2）我国曾经或正在采用的椭球体
第一节 地球的形状与大小
第一节 地球的形状与大小
Natural surfaces
Physical surfaces Mathematical surfaces 三级逼近： （椭球体定位操作） 将地球椭球体与一个局部大地水准 面最优拟合状态下的椭球体，叫做 参考椭球体. 椭球体及其定位 按一定的条件将具有确定元素的 地球椭球同大地体的相关位臵固定 下来，从而获得大地测量计算基础 面和大地起算数据。 椭球体定位的条件: 椭球短轴与地轴相平行 椭球面与大地水准面充分接近
第二节 地球坐标与大地定位
一、地理坐标
大地纬度、大地经度、东 经、西经、南纬、北纬 （具体看图）、本初子午 线（首子午线L, prime meridian） A
经纬度λ，β
L
二、我国的大地坐标系 本初子午线 1.大地坐标系发展 1）1954北京坐标系：简称54坐标系。该坐标系是1942年苏联普尔科沃 坐标系（Pulkovo 1942）的延伸，它的真正坐标原点不是北京而是苏联 普尔科沃，相应的参考椭球体为克拉索夫斯基椭球体。
第2章 地图的数学基础
面积比与面积变形
• 面积比P就是投影面上的微分面积与球面上相应的微分 面积之比，即投影面上的变形椭圆的面积与球面上微分 圆的面积之比。 • P=a·b P=a·b=m·n P=m·n·sinθ • 面积比也是一个变量，在地图上会因点的位置不同而不 同。 • 面积变形（Vp）指面积比与1的差值，Vp = P－1 • 面积比同长度比一样，也是一个只有大于1或小于1（个 别地方等于1）而没有负值的相对数量，而面积变形则 有正有负。 • 面积比大于1，面积变形为正，表示投影后面积增大； 面积比小于1，面积变形为负，表示投影后面积缩小； 面积比等于1，面积变形为零，表示投影后面积不变。
2.2我国的大地坐标系统
大 地 控 制 网 平面控制网(由三角测量或导线测量完成 )
大地原点 大地坐标系 三角点△、导线点□ 地理坐标 1980中国国家大地坐标系 平面位置
高程控制网(由水准测量或三角高程测量完成)
高 绝对高程 水准原点 水准点 程 相对高程 高程系 1985年国家高程基准 值
高程位置 地面点位
• 地理坐标，就是用经纬度表示地面 点位置的球面坐标。 1.天文经纬度
2.大地经纬度 3.地心经纬度
大地体
地球椭球体 地球椭球体
天文经纬度：
天文经度
天文测量法
天文纬度（铅垂线与赤道面 的夹角）
大地体
测有天文经纬度坐标的地面点， 称为天文点，它是一种地面控制 点。如大地坐标原点。符号为☆
大地水准面 铅 垂 线
§4 地图投影的应用
制图区 域范围
地图比例尺 教学内容 投影方法
1：100万
中 小
等角圆锥投影
4.1 地形图投影
大中比例尺
高斯—克吕格投影
第二章地图的数学基础
1. 投影变形的概念
把地图上和地球仪上的经纬线网进行比 较，可以发现变形表现在长度、面积和角度 三个方面。
2.变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的 影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常 会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投 影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。
3.投影变形的性质和大小
长度比和长度变形： 投影面上一微小线段（变
形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小 圆半径，已按规定的比例缩小）之比。
m表示长度比，Vm表示长度变形
m ds '
ds
Vm m 1
= 0 不变 > 0 变大 < 0 变小
长度比是变量，随位置和方向的变化而变化。
例题
下列有关投影变形的叙述正确的是：（ ）
多圆锥投影：设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿 一母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在中央经线 的延长线上。中央经线为直线，其余经线投影为对称于中央经 线的曲线。
正轴切圆锥投影 正轴割圆锥投影
横轴切圆锥投影
横轴割圆锥投影
斜轴切圆锥投影 正轴切圆柱投影
正轴割圆柱投影
斜轴切圆柱投影
横轴切圆柱投影
复习
高斯克吕格投影 UTM投影
从不规则的地球表面到制成地图，要经过 两个过程。首先将地球自然表面上的点沿 垂直方向投影到地球椭球面上，然后再将 投影到椭球面上的点运用数学方法投影到 某种可展面上。
由球面到平面，必然会产生变形，在实际 制图中，要根据不同要求和各种投影的特 点选择合适的投影，减小投影变形。
3.2 地图投影变形
横方位投影
正方位投影
斜方位投影
2. 按地图投影的变形性质分类
第2章 地图的数学基础
水准面
铅垂线
地球表面
大地水准面
地球椭球体
地球模型：三级近似
地球自然表面 水准面所包围的球体
极不规则，无法用数学表面进行描述 不规则性、动态性、不唯一性
大地水准面所包围的球体
不规则性、相对唯一性
标准数学曲面 1952：海福特椭球 1953：克拉索夫斯基椭球 1978：1975年国际椭球
旋转椭球体
地球的大小
原点历史
中国960万平方公里的土地上，“覆盖”着一张由许许多多相互联系的大地点 所构成的网，即“国家大地控制网”。这些大地点的坐标位置是按照国家统一的 测量规范测定出来的，并设有固定的标志，以便长期保存。 为了推算出“大地网”中各个大地点的坐标，就必须选取一个点作为起算点， 这一点就是大地原点，又称为大地基准点。通常在国家大地网中选一个比较适中 的点作为原点，高精度测定它的天文经纬度和到另一点的天文方位角，根据“参 考椭球”定位的方法，求得该点的大地经纬度、大地高和到另一点的大地方位角 。这些数据称为“大地基准数据”。 建国初期，中国并没有自己的大地原点，而是沿用前苏联玻尔可夫天文台为坐 标原点的大地测量坐标系统，这与中国的建设和发展极不相称。中国采用的1954 年北京坐标系统，其原点在前苏联的列宁格勒，参考椭球是前苏联的克拉索夫斯 基椭球。该椭球远离中国，推算误差大，弊病多，难以适应中国高科技发展的需 要。为此，国家有关方面决定建立独立的大地坐标系统。 从1975年开始，相关部门组织人力，搜集分析了大量资料，并根据“原点” 的要求，对多个城市的地形、地质、大地构造、天文、重力和大地测量等因素实 地考察、综合分析，最后将中国的大地原点，确定在陕西省泾阳县永乐镇北流村 境内。
天圆地方 天之包地，犹壳之裹黄
地球是一个球体 两极稍扁，赤道略鼓的不规则球体
地图的数学基础2
§3 常见地图投影一.方位投影以平面为投影面，使平面与椭球体相切或相割，将球面上的经纬线网投影到平面上形成方位投影。
1、变形分布规律其等变形线是以投影中心为圆心的同心圆。
投影中心是没有变形的点，从投影中心向四周变形逐渐增大。
在投影平面上，由投影中心向各方向的方位角保持不变。
2、正轴方位投影切点在北极或南极，又叫极地投影。
经纬线形状：纬线为同心圆，经线为自圆心辐射的直线，其夹角等于经差。
在正轴投影中，因为经线和纬线正交，所以经纬线方向和主方向一致。
一般用于绘制南、北半球地图或北极、南极区域地图。
按变形性质又可以分为等积、等角、等距投影等。
1）正轴等角方位投影经纬线形状：纬线为同心圆，经线为自圆心辐射的直线，其夹角等于经差。
经线和纬线正交，所以经纬线方向和主方向一致。
在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大；经线夹角等于相应的经差。
投影变形情况：①无角度变形，任一点长度比相同，极值长度比相等（a=b），经纬线长度比相等(m=n)。
②微分圆投影后保持正圆性质。
③极点为投影中心，是无变形点，距投影中心愈远长度变形和面积变形愈大, 在投影边缘面积变形是中心的四倍。
2）正轴等距方位投影经纬线形状：纬线为同心圆，经线为自圆心辐射的直线，其夹角等于经差。
经线和纬线正交，所以经纬线方向和主方向一致。
经线投影后保持正长，所以投影后的纬线间距相等。
投影变形情况：①经线方向没有长度变形（m=1），各纬圈间的距离与实地相等。
②极点为投影中心，为无变形点。
③等变形线是以极点为中心的同心圆，距投影中心愈远角度变形和面积变形愈大。
等距切方位投影亦称波斯托等距方位投影。
3）正轴等积方位投影经纬线形状：纬线为同心圆，经线为自圆心辐射的直线，其夹角等于经差。
经线和纬线正交，所以经纬线方向和主方向一致。
在中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐减小。
投影变形情况：①没有面积变形，面积比等于1，但角度变形较大②沿经线长度比大于1，沿纬线长度比小于1，两者互为倒数，面积比等于1。
地图学第二章地图的数学基础
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
ρ = f(ϕ) δ = c·λ
3.5 地图投影分类
1. 按地图投影的构成方法分类 （1）几何投影 将椭球面上的经纬线网投影到几 ）几何投影: 何面上，然后将几何面展为平面。
方位投影: 以平面作投影面，使平面与球面相切或相 割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。 圆柱投影: 以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆 柱面展为平面而成。 圆锥投影: 以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆 锥面展为平面而成。
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
2.3 全球定位系统 - GPS
授时与测距导航系统/全球定位系统 (Navigation Satellite Timing and Ranging/Global Positioning System--GPS)：是以人造 卫星为基础的无线电导航系统，可提供高精度、全天候、实时 动态定位、定时及导航服务。
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
3.投影变形的性质和大小
长度比和长度变形： 长度比 长度变形： 投影面上一微小线段（变 形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小 圆半径，已按规定的比例缩小）之比。
µ表示长度比 长度比，Vµ表示长度变形 长度比 长度变形
ds ' µ= ds
Vµ = µ − 1
把地图上和地球仪上的经纬线网进行比 较，可以发现变形表现在长度、面积和角度 三个方面。
2.变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的 影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常 会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投 影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。 影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。
ρ = f(ϕ) δ = c·λ
3.5 地图投影分类
1. 按地图投影的构成方法分类 （1）几何投影 将椭球面上的经纬线网投影到几 ）几何投影: 何面上，然后将几何面展为平面。
方位投影: 以平面作投影面，使平面与球面相切或相 割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。 圆柱投影: 以圆柱面作投影面，使圆柱面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆柱面上，然后将圆 柱面展为平面而成。 圆锥投影: 以圆锥面作投影面，使圆锥面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆 锥面展为平面而成。
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
2.3 全球定位系统 - GPS
授时与测距导航系统/全球定位系统 (Navigation Satellite Timing and Ranging/Global Positioning System--GPS)：是以人造 卫星为基础的无线电导航系统，可提供高精度、全天候、实时 动态定位、定时及导航服务。
新编地图学教程 第2章 地图的数学基础
3.投影变形的性质和大小
长度比和长度变形： 长度比 长度变形： 投影面上一微小线段（变 形椭圆半径）和球面上相应微小线段（球面上微小 圆半径，已按规定的比例缩小）之比。
µ表示长度比 长度比，Vµ表示长度变形 长度比 长度变形
ds ' µ= ds
Vµ = µ − 1
把地图上和地球仪上的经纬线网进行比 较，可以发现变形表现在长度、面积和角度 三个方面。
2.变形椭圆
取地面上一个微分圆（小到可忽略地球曲面的 影响，把它当作平面看待），它投影到平面上通常 会变为椭圆，通过对这个椭圆的研究，分析地图投 影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。 影的变形状况。这种图解方法就叫变形椭圆。
Ch2 地图的数学基础
–椭球体：采用GRS 1975 新参考椭球体（国际大地 测量与地球物理联合会推荐的） – 坐标原点：西安原点（陕西省泾阳县永乐镇）
——我国大地坐标系
39
不同的球面地理坐标系
54—80坐标系地形图邻接状况 （中间部分为两个坐标系邻接“真空”带）
——我国大地坐标系
40
• 1980年国家大地坐标系——优点
– 说明地图的编制状况，为应用提供相关内容，在主 要图形的外侧，如图名、图号、图例、比例尺等
– 对主要图件在内容和形式上的补充，如同基图表、 剖面图、测图时间、出版单位等
地图的类型
5
• 按地图的图形内容分类：
– 普通地图
– 专题地图
• 按比例尺分类
– 大比例尺地图（≥ 1：10万） – 中比例尺地图（1：10万 ～ 1：100万）
高程控制网的建立，必须规 定一个统一的高程基准面。
hAB=HB-HA
——我国高程系
45
• 新中国前：使用过坎门平均海水面、吴淞零点、废黄
河零点和大沽零点等多个高程基准面。
• 1956年黄海高程系
– 观测记录：1950年－1956年共7年的验潮资料 – 水准原点：青岛观象山（高程为：72.289米）
——我国大地坐标系
38
• 1952年前采用海福特（Hayford）椭球体
• 1954年北京坐标系
–椭球体：克拉索夫斯基椭球体 – 坐标原点：苏联玻尔可夫天文台北京原点 – 缺点：椭球体面与我国大地水准面不能很好的符合， 产生的误差较大，大地坐标控制点多为局部平差逐 次获得的，不能连成一体。
• 1980年国家大地坐标系（西安坐标系）
自然、物理面、数学面关系图
19
• 大地水准面：无法用数学公式表达
——我国大地坐标系
39
不同的球面地理坐标系
54—80坐标系地形图邻接状况 （中间部分为两个坐标系邻接“真空”带）
——我国大地坐标系
40
• 1980年国家大地坐标系——优点
– 说明地图的编制状况，为应用提供相关内容，在主 要图形的外侧，如图名、图号、图例、比例尺等
– 对主要图件在内容和形式上的补充，如同基图表、 剖面图、测图时间、出版单位等
地图的类型
5
• 按地图的图形内容分类：
– 普通地图
– 专题地图
• 按比例尺分类
– 大比例尺地图（≥ 1：10万） – 中比例尺地图（1：10万 ～ 1：100万）
高程控制网的建立，必须规 定一个统一的高程基准面。
hAB=HB-HA
——我国高程系
45
• 新中国前：使用过坎门平均海水面、吴淞零点、废黄
河零点和大沽零点等多个高程基准面。
• 1956年黄海高程系
– 观测记录：1950年－1956年共7年的验潮资料 – 水准原点：青岛观象山（高程为：72.289米）
——我国大地坐标系
38
• 1952年前采用海福特（Hayford）椭球体
• 1954年北京坐标系
–椭球体：克拉索夫斯基椭球体 – 坐标原点：苏联玻尔可夫天文台北京原点 – 缺点：椭球体面与我国大地水准面不能很好的符合， 产生的误差较大，大地坐标控制点多为局部平差逐 次获得的，不能连成一体。
• 1980年国家大地坐标系（西安坐标系）
自然、物理面、数学面关系图
19
• 大地水准面：无法用数学公式表达
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1954年以苏联采用的克拉索夫斯基椭球元素，作 为参考椭球体，以北京为原点，联测、平差后引伸到 全国，这个过渡性的大地坐标系，称1954年北京坐标
系。
缺点： 1.椭球体面与我国境内大地水准面不是很好地符 合，产生误差较大。 2. 大地控制点坐标多为局部平差，逐次获得，实
际上连不成一个统一的整体。
1980年国家大地坐标系
第二章 地图的数学基础
第一节 地球体 第二节 我国大地坐标系统
第三节 地图投影
第四节 地图比例尺
第二章投影的基本概念及其分类，以及投 影变形等基本知识。 2.掌握一些常见地图投影的构成、变形分布规 律及其应用。 3.了解地图投影选择和识别方法。 本章重点：地图投影的相关概念、地图投影分 类、常见投影的特点及分类。 本章难点：地图投影的概念、地图投影的选择。
6 356 079 6 356 534
6 356 515 6 356 912 6 356 863 6 356 750 6 356 755 6 356 752
1∶299.15 1∶294.98
1∶293.47 1∶297.00 1∶298.30 1∶298.26 1∶298.257 1∶298.257
这是一种国际上采用的地心坐标系。坐标原点为地球 质心，其地心空间直角坐标系的Z轴指向国际时间局（BIH） 1984.0定义的协议地极 （CTP）方向，X轴指向BIH1984.0
的协议子午面和CTP赤道的交点，Y轴与Z轴、X轴垂直构
成右手坐标系，称为1984年世界大地坐标系，是目前国际 上统一采用的大地坐标系。采用椭球参数为：a=6378137m， f=1/298.2572235632。
（二）地球的物理表面
当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重 力方向（铅垂线）成正交，这个面叫水准面。 在众多的水准面中，有一个与静止的平均海 水面相重合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个 闭合曲面，这就是大地水准面。它所包围的球体 称为大地体。 大地水准面仍是一个起伏不平的表面。
大地水准面的意义
1. 地球形体的一次综合； 对地球形状的很好近似，其面上高出与面 下缺少的相当。 2. 大地水准面存在一定的起伏波动； 对大地测量和地球物理学有研究价值，但 在制图业务中，仍不能满足要求。 3. 大地水准面是重力等位面。 可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水
青 岛 观 象 山 水 准 原 点
海水面。
高程控制网
国家测绘局
——与局部地区大地水准面符合得最好的地球椭球体。
通过数学方法将 地球椭球体摆到与大 地水准面最贴近的位 置上，用地球椭球体 代替大地水准体，数 学上给出对地球形状 的三次综合。
由于国际上在推求年代、方法及测定的地区不同，故 地球椭球体的元素值有很多种。
椭球名称 埃弗勒斯 年代 1830 长半径a (米) 6 377 276 短半径b (米) 6 356 075 扁 率 1∶300.80
二、地球坐标系—地理坐标
地理坐标 — 用经纬度表示地面点位的球面坐标。
① 天文经纬度 ② 大地经纬度
③ 地心经纬度
① 天文经纬度：表示实际地面点在大地水准面上 的位置，用天文经度和天文纬度表示。 天文经度：在地球上定义为本初子午面与观 测点之间的两面角。 天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平
4.直接满足1：5000甚至更大比例尺测图的需 要等。
2000国家大地坐标系
2000国家大地坐标系，是我国当前最新的国 家大地坐标系，英文名称为China Geodetic Coordinate System 2000，英文缩写为CGCS2000。 自2008年7月1日起，中国将全面启用2000国家大 地坐标系。椭球参数为：长半轴 a＝6378137m ，
第一节 地球体
讨论： 地球的形体是怎样的？
地球能否用数学公式描述？
一、地球体的基本特征
（一）地球的自然表面
浩瀚宇宙之中 : 地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体。
地球内 部构造
地球的形状
近似于一个两级略扁平, 赤道略鼓,北极略长,南极略 短，象倒放的梨。称“梨状 体”。
地球的自然表面: 极不规则 凸凹不平 极其复杂 难于描述
扁率
f＝1/298.257222101 。
特点：地心坐标系、三维、高精度、动态性
二、我国的控制网
1、传统大地控制网 2、卫星大地控制网 3、高程控制网
传统大地控制网（平面控制网）
按统一规范，由精确测定地理 坐标的地面点组成，由三角测量或
导线测量完成，依精度不同，分为
四等。
平面控制网
国家测绘局
卫星大地控制网
GPS控制网
GPS控制网
国家测绘局
高程控制网
按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以水 准测量或三角高程测量完成。依精度 不同，分为四等。 • 1956年黄海高程系 取1950年－1956年共7年的验潮资料 水准原点高程为：72.289米 1985年国家高程基准 中国高程起算 取1953年－1979年共27年的验潮资料 面是黄海平均 水准原点高程为：72.260米
采用1975年第16届国际大地测量及地球物理联合会推
荐的新的地球椭球体元素，以陕西省西安市以北泾阳县永
乐镇北洪流村某点为国家大地坐标原点，建立的坐标系， 称1980年国家大地坐标系,或为“1980西安坐标系” 。
1980年国家大地坐标系
主要优点：
1.椭球体参数精度高； 2.定位所决定的参考椭球面与我国大地水准 面符合得好； 3.天文大地网坐标经过了全国的整体平差。
面间的夹角。
② 大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置， 用大地经度l 、大地纬度 和大地高 h 表示。 大地经度l ：指参考椭球 面上某点的大地子午面与 本初子午面间的两面角。 东经为正，西经为负。 大地纬度 ：指参考椭球 面上某点的法线与赤道平 面的夹角。北纬为正，南 纬为负。
③ 地心经纬度：
白塞尔 克拉克
克拉克 海福特 克拉索夫斯基 WGS—72 GRS—75 GRS—80
1841 1866
1880 1909 1940 1972 1975 1979
6 377 397 6 378 206
6 378 249 6 378 388 6 378 245 6 378 135 6 378 140 6 378 137
全球导航卫星系统/全球定位系统 (Navigation Satellite
Timing and Ranging/Global Positioning System--GPS)：是以人
造卫星为基础的无线电导航技术确定时间和目标空间位置的系
统，可提供高精度、全天候、实时动态定位、定时及导航服务。
WGS－84坐标系
准面的高度）。
（三）地球的数学表面
地球椭球—沿地球自转轴旋转而成的椭球来描 述地球，称此椭球为地球椭球。
地球体的数学表面——地球椭球表面
地球椭球表面，是一个 规则的数学表面，是对地球 形体的二次综合，用于测量 计算的基准面。
N b o a
S
这样定义的地球椭球是否适用于任何地方？
参考椭球体——地球形状的第三次综合
地心经度：同大地经度 。
地心纬度：是指地面上某点和地球质量中心连线
与赤道面之间的夹角y ，即以地球质量中心为基点。
第二节 我国的大地坐标系统
一、我国的大地坐标系 二、我国的控制网
一、我国的大地坐标系
1、1954年北京坐标系 2、1980年国家大地坐标系 3、2000国家大地坐标系
1954年北京坐标系
系。
缺点： 1.椭球体面与我国境内大地水准面不是很好地符 合，产生误差较大。 2. 大地控制点坐标多为局部平差，逐次获得，实
际上连不成一个统一的整体。
1980年国家大地坐标系
第二章 地图的数学基础
第一节 地球体 第二节 我国大地坐标系统
第三节 地图投影
第四节 地图比例尺
第二章投影的基本概念及其分类，以及投 影变形等基本知识。 2.掌握一些常见地图投影的构成、变形分布规 律及其应用。 3.了解地图投影选择和识别方法。 本章重点：地图投影的相关概念、地图投影分 类、常见投影的特点及分类。 本章难点：地图投影的概念、地图投影的选择。
6 356 079 6 356 534
6 356 515 6 356 912 6 356 863 6 356 750 6 356 755 6 356 752
1∶299.15 1∶294.98
1∶293.47 1∶297.00 1∶298.30 1∶298.26 1∶298.257 1∶298.257
这是一种国际上采用的地心坐标系。坐标原点为地球 质心，其地心空间直角坐标系的Z轴指向国际时间局（BIH） 1984.0定义的协议地极 （CTP）方向，X轴指向BIH1984.0
的协议子午面和CTP赤道的交点，Y轴与Z轴、X轴垂直构
成右手坐标系，称为1984年世界大地坐标系，是目前国际 上统一采用的大地坐标系。采用椭球参数为：a=6378137m， f=1/298.2572235632。
（二）地球的物理表面
当海洋静止时，自由水面与该面上各点的重 力方向（铅垂线）成正交，这个面叫水准面。 在众多的水准面中，有一个与静止的平均海 水面相重合，并假想其穿过大陆、岛屿形成一个 闭合曲面，这就是大地水准面。它所包围的球体 称为大地体。 大地水准面仍是一个起伏不平的表面。
大地水准面的意义
1. 地球形体的一次综合； 对地球形状的很好近似，其面上高出与面 下缺少的相当。 2. 大地水准面存在一定的起伏波动； 对大地测量和地球物理学有研究价值，但 在制图业务中，仍不能满足要求。 3. 大地水准面是重力等位面。 可使用仪器测得海拔高程（某点到大地水
青 岛 观 象 山 水 准 原 点
海水面。
高程控制网
国家测绘局
——与局部地区大地水准面符合得最好的地球椭球体。
通过数学方法将 地球椭球体摆到与大 地水准面最贴近的位 置上，用地球椭球体 代替大地水准体，数 学上给出对地球形状 的三次综合。
由于国际上在推求年代、方法及测定的地区不同，故 地球椭球体的元素值有很多种。
椭球名称 埃弗勒斯 年代 1830 长半径a (米) 6 377 276 短半径b (米) 6 356 075 扁 率 1∶300.80
二、地球坐标系—地理坐标
地理坐标 — 用经纬度表示地面点位的球面坐标。
① 天文经纬度 ② 大地经纬度
③ 地心经纬度
① 天文经纬度：表示实际地面点在大地水准面上 的位置，用天文经度和天文纬度表示。 天文经度：在地球上定义为本初子午面与观 测点之间的两面角。 天文纬度： 在地球上定义为铅垂线与赤道平
4.直接满足1：5000甚至更大比例尺测图的需 要等。
2000国家大地坐标系
2000国家大地坐标系，是我国当前最新的国 家大地坐标系，英文名称为China Geodetic Coordinate System 2000，英文缩写为CGCS2000。 自2008年7月1日起，中国将全面启用2000国家大 地坐标系。椭球参数为：长半轴 a＝6378137m ，
第一节 地球体
讨论： 地球的形体是怎样的？
地球能否用数学公式描述？
一、地球体的基本特征
（一）地球的自然表面
浩瀚宇宙之中 : 地球是一个表面光滑、蓝色美丽的正球体。
地球内 部构造
地球的形状
近似于一个两级略扁平, 赤道略鼓,北极略长,南极略 短，象倒放的梨。称“梨状 体”。
地球的自然表面: 极不规则 凸凹不平 极其复杂 难于描述
扁率
f＝1/298.257222101 。
特点：地心坐标系、三维、高精度、动态性
二、我国的控制网
1、传统大地控制网 2、卫星大地控制网 3、高程控制网
传统大地控制网（平面控制网）
按统一规范，由精确测定地理 坐标的地面点组成，由三角测量或
导线测量完成，依精度不同，分为
四等。
平面控制网
国家测绘局
卫星大地控制网
GPS控制网
GPS控制网
国家测绘局
高程控制网
按统一规范，由精确测定高程的地面点组成，以水 准测量或三角高程测量完成。依精度 不同，分为四等。 • 1956年黄海高程系 取1950年－1956年共7年的验潮资料 水准原点高程为：72.289米 1985年国家高程基准 中国高程起算 取1953年－1979年共27年的验潮资料 面是黄海平均 水准原点高程为：72.260米
采用1975年第16届国际大地测量及地球物理联合会推
荐的新的地球椭球体元素，以陕西省西安市以北泾阳县永
乐镇北洪流村某点为国家大地坐标原点，建立的坐标系， 称1980年国家大地坐标系,或为“1980西安坐标系” 。
1980年国家大地坐标系
主要优点：
1.椭球体参数精度高； 2.定位所决定的参考椭球面与我国大地水准 面符合得好； 3.天文大地网坐标经过了全国的整体平差。
面间的夹角。
② 大地经纬度：表示地面点在参考椭球面上的位置， 用大地经度l 、大地纬度 和大地高 h 表示。 大地经度l ：指参考椭球 面上某点的大地子午面与 本初子午面间的两面角。 东经为正，西经为负。 大地纬度 ：指参考椭球 面上某点的法线与赤道平 面的夹角。北纬为正，南 纬为负。
③ 地心经纬度：
白塞尔 克拉克
克拉克 海福特 克拉索夫斯基 WGS—72 GRS—75 GRS—80
1841 1866
1880 1909 1940 1972 1975 1979
6 377 397 6 378 206
6 378 249 6 378 388 6 378 245 6 378 135 6 378 140 6 378 137
全球导航卫星系统/全球定位系统 (Navigation Satellite
Timing and Ranging/Global Positioning System--GPS)：是以人
造卫星为基础的无线电导航技术确定时间和目标空间位置的系
统，可提供高精度、全天候、实时动态定位、定时及导航服务。
WGS－84坐标系
准面的高度）。
（三）地球的数学表面
地球椭球—沿地球自转轴旋转而成的椭球来描 述地球，称此椭球为地球椭球。
地球体的数学表面——地球椭球表面
地球椭球表面，是一个 规则的数学表面，是对地球 形体的二次综合，用于测量 计算的基准面。
N b o a
S
这样定义的地球椭球是否适用于任何地方？
参考椭球体——地球形状的第三次综合
地心经度：同大地经度 。
地心纬度：是指地面上某点和地球质量中心连线
与赤道面之间的夹角y ，即以地球质量中心为基点。
第二节 我国的大地坐标系统
一、我国的大地坐标系 二、我国的控制网
一、我国的大地坐标系
1、1954年北京坐标系 2、1980年国家大地坐标系 3、2000国家大地坐标系
1954年北京坐标系