上海市曹杨二中2019-2020学年上学期高二期末考试数学试题(简答)

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2021-2022学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末数学试题(解析)

2021-2022学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知点()1,1,2A -在平面α上，其法向量()2,1,2n =-，则下列点不在平面α上的是（） A ．()2,3,3 B ．()3,7,4 C ．()1,7,1-- D ．()2,0,1-【答案】D【分析】根据法向量的定义，利用向量垂直对四个选项一一验证即可. 【详解】()1,1,2A -对于A ：记()12,3,3A ,则()11,4,1AA =.因为()()11,4,12,1,22420AA n =-=-+=，所以点()12,3,3A 在平面α上对于B ：记()3,7,4B ,则()2,8,2AB =.因为()()2,8,22,1,24840AB n =-=-+=，所以点()3,7,4B 在平面α上对于C ：记()1,7,1C --,则()2,6,1AC =---.因为()()2,6,12,1,24620AC n =----=-+-=，所以点()1,7,1C --在平面α上对于D ：记()2,0,1D -,则()3,1,1AD =--.因为()()3,1,12,1,26120AD n =---=---≠，所以点()2,0,1D -不在平面α上. 故选：D2．实数m n ≠且2sin cos 10m m θθ-+=，2sin cos 10n n θθ-+=，则连接()2,m m ，()2,n n两点的直线与圆C ：221x y +=的位置关系是（） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不能确定【答案】B【解析】由题意知，m ，n 是方程2sin cos 10x x θθ-+=的根,再根据两点式求出直线方程，利用圆心到直线的距离与半径之间的关系即可求解. 【详解】由题意知，m ，n 是方程2sin cos 10x x θθ-+=的根，cos sin m n θθ∴+=，1sin mn θ=m n ≠，∴过()2,m m ，()2,n n 两点的直线方程为：222y n x nm n m n--=--，()0m n x y mn ∴+--=∴圆心()0,0到直线的距离为：()211mnd m n ==++，故直线和圆相切，故选：B【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了计算求解能力，属于基础题. 3．某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图.则下列说法：①0.03a =；②若抽取100人，则平均用时13.75小时；③若从每周使用时间在[)15,20，[)20,25，[)25,30三组内的学生中用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[)20,25内的学生中选取的人数为3.其中正确的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】B【分析】根据频率分布直方图中小矩形的面积和为1可求出a ，再求出频率分布直方图的平均值，即为抽取100人的平均值的估计值，再利用分层抽样可确定出使用时间在[)20,25内的学生中选取的人数为3.【详解】(0.020.040.060.040.01)510.03a a +++++⨯=⇒=，故①正确；根据频率分布直方图可估计出平均值为(0.02 2.50.047.50.0612.50.0417.50.0322.50.0127.5)513.75⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，所以估计抽取100人的平均用时13.75小时，②的说法太绝对，故②错误；每周使用时间在[)15,20，[)20,25，[)25,30三组内的学生的比例为4:3:1，用分层抽样的方法选取8人进行访谈，则应从使用时间在[)20,25内的学生中选取的人数为3838⨯=，故③正确.故选：B.4．连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m ，n ，记t m n =+，则下列说法正确的是（） A ．事件“12t =”的概率为121B ．事件“t 是奇数”与“m n =”互为对立事件C ．事件“2t =”与“3t ≠”互为互斥事件D ．事件“8t >且32mn <”的概率为14【答案】D【分析】计算出事件“t ＝12”的概率可判断A ；根据对立事件的概念，可判断B ；根据互斥事件的概念，可判断C ；计算出事件“t ＞8且mn ＜32”的概率可判断D ；【详解】连掷一枚均匀的骰子两次，所得向上的点数分别为m ，n ，则共有6636⨯=个基本事件，记t ＝m ＋n ，则事件“t ＝12”必须两次都掷出6点，则事件“t ＝12”的概率为136，故A 错误；事件“t 是奇数”与“m ＝n ”为互斥不对立事件,如事件m =3,n =5，故B 错误；事件“t ＝2”与“t ≠3”不是互斥事件，故C 错误；事件“t ＞8且mn ＜32”有344555666,,,,,,,,656456345m m m m m m m m m n n n n n n n n n =========⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨⎨=========⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩⎩共9个基本事件，故事件“t ＞8且mn ＜32”的概率为14，故D 正确；故选：D ．二、填空题5y 10-+=的倾斜角为______．【答案】3π 【分析】把直线方程化为斜截式，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出．【详解】10y -+=的倾斜角为θ．10y -+=化为1y +，故tan θ= 又(]0,θπ∈，故3πθ=，故答案为3π．【点睛】一般地，如果直线方程的一般式为()00Ax By C B ++=≠，那么直线的斜率为Ak B=-，且tan θk ，其中θ为直线的倾斜角，注意它的范围是(]0,π．6．数据：1，1，3，4，6的方差是______. 【答案】1853.6 【分析】先计算平均数，再计算方差. 【详解】该组数据的平均数为1134635++++=，方差为()222221182201355++++=故答案为：1857．已知三角形OAB 顶点()0,0O ，()2,4A ，()3,6B -，则过B 点的中线长为______.【答案】【分析】先求出OA 中点坐标，再由距离公式得出过B 点的中线长. 【详解】由中点坐标公式可得OA 中点()1,2C ，则过B 点的中线长为BC ==故答案为：8．用一个平面去截半径为5cm 的球，截面面积是29πcm .则球心到截面的距离为_______．【答案】4cm【分析】根据圆的面积公式算出截面圆的半径3r cm =，利用球的截面圆性质与勾股定理算出球心到截面的距离．【详解】解：设截面圆的半径为r ，截面的面积是29cm π，29r ππ∴=，可得3r cm =．又球的半径为5cm ，∴根据球的截面圆性质，可得截面到球心的距离为4d cm =．故答案为：4cm ．【点睛】本题主要考查了球的截面圆性质、勾股定理等知识，考查了空间想象能力，属于基础题．9．若圆心坐标为()2,1-的圆被直线10x y --=截得的弦长为______. 【答案】2【分析】利用垂径定理计算即可. 【详解】设圆的半径为r ，则2222112222r ⎛⎫⎛+-⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得2r =. 故答案为：2.10．如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC 的直观图，其中1O B O C ''''==，则三角形A B C '''的面积为______.【答案】64【分析】根据直观图和平面图的关系可求出O A ''，进而利用面积公式可得三角形A B C '''的面积【详解】由已知可得3132222O A ''=⨯⨯=则132622224A B C S '''=⨯⨯⨯=故答案为：64. 11．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时()21x f x x =-+，则当0x <时()f x =___________.【答案】()21x f x x -=+-【分析】当0x <时，利用0x ->及()()f x f x =--求得函数的解析式. 【详解】当0x <时，0x ->，由于函数是奇函数，故()()2121x xf x f x x x --⎡⎤=--=---+=+-⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性以及y 轴一侧的解析式，求另一侧的解析式，属于基础题.12．甲、乙两名运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则甲、乙两组数据的中位数是______.【答案】26【分析】先由极差以及平均数得出,x y ，进而得出中位数.【详解】由34632-<可得，30632x +-=，8x =，因为乙得分的平均值为24，所以122031131245,6y y +⨯+++=⨯=，所以甲、乙两组数据的中位数是2626262+=. 故答案为：2613．已知正三棱台111ABC A B C -上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为______. 【答案】7312【分析】先计算两个底面的面积，再由体积公式计算即可.【详解】上底面的面积为1311sin 6024⨯⨯⨯︒=，下底面的面积为122sin 6032⨯⨯⨯︒=，则这个正三棱台的体积为1337333134412⎛⎫⎪⨯++⨯⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：731214．如图，SD 是球O 的直径，A 、B 、C 是球O 表面上的三个不同的点，30ASD BSD CSD ∠=∠=∠=︒，当三棱锥S ABC -的底面是边长为3的正三角形时，则球O 的半径为______.【答案】2【分析】由三棱锥S ABC -是正三棱锥，利用正弦定理得出三角形ABC 外接圆的半径，进而求出AS ，再由余弦定理得出球O 的半径.【详解】因为30ASD BSD CSD ∠=∠=∠=︒，所以SD ⊥平面ABC ，三棱锥S ABC -是正三棱锥，设1O 为三角形ABC 外接圆的圆心，则1O 在SD 上，连接1AO ，AO ，由132sin 60AO ︒=得出13AO =123sin 30AO AS ︒==AOS △中，22223)2cos120R R R ︒=+-，即2123R =，解得2R =，则球O 的半径为2.故答案为：215．设在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，从下列四个条件：①2a c =；②6C π=；③2cos B =④7b =ABC 存在且唯一的所有c 的值为______. 7227【分析】由①②结合正弦定理可求出sin A ，但是角A 不唯一，故所选条件中不能同时有①②，只能是①③④或②③④，若选①③④，结合余弦定理可求c ，若选②③④，结合正弦定理即可求解【详解】由①②结合正弦定理sin sin a c A C =，所以2sin 2A C ==A 不唯一，所以故所选条件中不能同时有①②，所以只能是①③④或②③④，若选①③④，即2a c ，2cos B =7b = 由余弦定理可得22222c c =⋅7c =，若选②③④，即6C π=，2cos B =，7b = 因为2cos B =,2B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2214sin 1cos 116B B =--=由正弦定理得sin sin b cB C=，17sin 22sin 14b Cc B ===，72 16．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项，若对任意的*n N ∈，都有[]13,n nS s t S -∈，则t s -的最小值为________．【答案】94【分析】先根据和项与通项关系得{}n a 通项公式，再根据等比数列求和公式得n S ，再根据函数单调性得13n nS S -取值范围，即得t s ，取值范围，解得结果. 【详解】因为2n S 是6和n a 的等差中项，所以46n n S a =+ 当2n ≥时，111114643n n n n n n n S a a a a a a ----=+∴=-∴=-当1n =时，11146=2S a a =+∴因此112[1()]13132()[1()]132313n n n n n a S ---=⨯-∴==--+ 当n 为偶数时，3143[1()][,)2332n n S =-∈当n 为奇数时，313[1()](,2]232n n S =+∈因此343(,2][,)232n S ∈因为13n n S S -在343(,2][,)232上单调递增，所以[]113232*********,,4662244n n S s t t s S ⎡⎤-∈⋃⊆∴-≥-=⎢⎥⎣⎦）（，故答案为：94【点睛】本题考查根据和项求通项、等比数列定义、等比数列求和公式、利用函数单调性求值域，考查综合分析求解能力，属较难题. 三、解答题17．已知圆C 经过(3,2)A 、(1,6)B 两点，且圆心在直线2y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点(1,3)P -且与圆C 相切，求直线l 的方程．【答案】（１）22(2)(4)5x y -+-= ；（２）250250x y x y -+=+-=或【解析】【详解】试题分析：（1）根据圆心在弦的垂直平分线上，先求出弦AB 的垂直平分线的方程与2y x =联立可求得圆心坐标，再用两点间的距离公式求得半径，进而求得圆的方程；（2）当直线l 斜率不存在时，与圆相切，方程为1x =-；当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，写出其点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解出k 的值.试题解析：（1）依题意知线段AB 的中点M 坐标是()2,4，直线AB 的斜率为62213-=--，故线段AB 的中垂线方程是()1422y x -=-即260x y -+=，解方程组260{2x y y x -+==得2{4x y ==，即圆心C 的坐标为()2,4，圆C 的半径5r AC ==，故圆C 的方程是()()22245x y -+-=（2）若直线l 斜率不存在，则直线l 方程是1x =-，与圆C 相离，不合题意；若直线l 斜率存在，可设直线l 方程是()31y k x -=+，即30kx y k -++=，因为直线l 与圆C 相切，所以有224351k k k -++=+，解得2k =或12k =-．所以直线l 的方程是250x y -+=或250x y +-=.18．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的封闭图形.(1)设1BC =，2AB =，求这个几何体的表面积；(2)设G 是弧DF 的中点，设P 是弧CE 上的一点，且AP BE ⊥.求异面直线AG 与BP 所成角的大小. 【答案】(1)42π+ (2)6π【分析】（1）将几何体的表面积分成上下两个扇形、两个矩形和一个圆柱形侧面的一部分组成，分别求出后相加即可；（2）先根据条件得到BE ⊥面PAB ，通过平移将异面直线转化为同一个平面内的直线夹角即可 (1)上下两个扇形的面积之和为：212221233ππ⨯⨯⨯= 两个矩形面积之和为：4侧面圆弧段的面积为：24233ππ⨯= 故这个几何体的表面积为：2444233πππ++=+ (2)如下图，将直线AG 平移到下底面上为1BG由AP BE ⊥，且BE AB ⊥，AP AB A =，可得：BE ⊥面PAB则2PBE π∠=而G 是弧DF 的中点，则3FAG π∠=由于上下两个平面平行且全等，则直线AG 与直线BP 的夹角等于直线1BG 与直线BP 的夹角，即1PBG ∠为所求，则1236PBG πππ∠=-=则直线AG 与直线BP 的夹角为6π19．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体的水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面11CDD C 有一个小孔（小孔的大小忽略不计）E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上）.(1)证明图2中的水面也是平行四边形；(2)当水恰好流出时，侧面11CDD C 与桌面所成的角的大小. 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由水的体积得出1BN =，进而得出//NM PQ ，NM PQ =，从而证明图2中的水面也是平行四边形；（2）在平面11BCC B 内，过点1C 作1//C H NP ，交1BB 于H ，由四边形1NPC H 是平行四边形，得出侧面11CDD C 与桌面所成的角即侧面11CDD C 与水面MNPQ 所成的角，再由直角三角形的边角关系得出其夹角. (1)由题意知，水的体积为44232⨯⨯=，如图所示，设正方体水槽倾斜后，水面分别与棱1AA ，1BB ，1CC ，1DD 交于M ，N ，P ，Q ，则3PC =，水的体积为32BCPN S CD ⋅=，∴322+⋅⋅=BN CPBC CD ，即344322BN +⨯⨯=，1BN ∴=． 1AM ∴=，故四边形ABNM 为平行四边形，即//AB MN ，且4AB MN ==又CD PQ =，//CD PQ ，//NM PQ ∴，NM PQ =∴四边形NMQP 为平行四边形，即图2中的水面也是平行四边形； (2)在平面11BCC B 内，过点1C 作1//C H NP ，交1BB 于H ，则四边形1NPC H 是平行四边形，11NH C P ==，114112B H BB NH BN ∴=--=--=，1C H =侧面11CDD C 与桌面所成的角即侧面11CDD C 与水面MNPQ 所成的角，即侧面11CDD C 与平面11HC D 所成的角，1HC C ∴∠即为所求，而111HC C B HC ∠=∠，在11Rt B HC 中，1111cos H B B HC C H ∠=，∴侧面11CDD C 与桌面所成角的为20．已知数列{}n a 满足112a =，221321n n a a +=+，21n n b a =-，n 为正整数. (1)证明：数列{}n b 是等比数列，并求通项公式；(2)证明：数列{}n b 中的任意三项i b ，j b ，()k b i j k <<都不成等差数列；(3)若关于正整数n 的不等式n nb m >的解集中有且仅有三个元素，求实数m 的取值范围；【答案】(1)证明见解析；132(),()43n n b n N -*=⋅∈(2)证明见解析 (3)3849m ≤< 【分析】（1）将所给等式221321n n a a +=+变形为2213(1)2(1)n n a a +-=-，根据等比数列的定义即可证明结论；（2）假设存在i b ，j b ，()k b i j k <<成等差数列，根据等差数列的性质可推出矛盾，故说明假设错误。

2020-2021学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末数学试题(解析版)

2020-2021学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．设P 是双曲线221169x y -=上的点，若1F ，2F 是双曲线的两个焦点，则12PF PF -=（） A ．4 B ．5C ．8D ．10【答案】C【分析】根据双曲线的定义可得：122PF PF a -=，结合双曲线的方程可得答案.【详解】由双曲线221169x y -=可得4a = 根据双曲线的定义可得：2128PF F a P -== 故选：C2．已知直线方程为12010031xy =，则下列各点不在这条直线上的是（）A ．()2,6-B ．()4,3-C ．()1,2D ．()2,0【答案】C【分析】由行列式计算，把直线方程化为一般式，然后判断点是否在直线上．【详解】12016320031xy x y =--=，即3260x y +-=，代入点的坐标，只有C 不合．故选：C ．3．如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线422x y +=围成的平面区域的直径为( )A．B ．3C．D ．4【答案】B【分析】根据曲线对称性，利用曲线参数方程表示区域内两点间的距离，再根据二次函数性质求最值得结果.【详解】422x y +=的参数方程为：2x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）曲线是关于点（0，0）中心对称的图形，所以曲线422x y +=上点（x 0，y 0）到原点距离为直径长的一半， d当cos 4θ=时，d 取得取大值为32，所以，直径为3，故选B.【点睛】本题考查曲线对称性以及二次函数性质，考查综合分析与求解能力，属中档题.4．已知数列{}n a 满足1N a *∈，1,2+3,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数，若{}n a 为周期数列，则1a 的可能取到的数值有（） A ．4个 B ．5个C ．6个D ．无数个【答案】B【分析】讨论出当1a 分别取1、2、3、4、6时，数列{}n a 为周期数列，然后说明当19a ≥时，分1a 为正奇数和正偶数两种情况分析出数列{}n a 不是周期数列，即可得解.【详解】已知数列{}n a 满足1N a *∈，1,2+3,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数. ①若11a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；②若12a =，则21a =，34a =，42a =，51a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；③若13a =，则26a =，33a =，46a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；④若14a =，则22a =，31a =，44a =，52a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，3n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；⑤若15a =，则28a =，34a =，42a =，51a =，64a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑥若16a =，则23a =，36a =，43a =，，以此类推，可知对任意的n *∈N ，2n n a a +=，此时，{}n a 为周期数列；⑦若17a =，则210a =，35a =，48a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列； ⑧若18a =，则24a =，32a =，41a =，54a =，，以此类推，可知对任意的2n ≥且n *∈N ，1n a a <，此时，{}n a 不是周期数列.下面说明，当19a ≥且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列.（1）当(3412,2a ⎤∈⎦且1N a *∈时，由列举法可知，数列{}n a 不是周期数列；（2）假设当(()112,23,k k a k k N +*⎤∈≥∈⎦且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列，那么当(()1212,23,k k a k k N ++*⎤∈≥∈⎦时. 若1a 为正偶数，则(1122,22k k a a +⎤=∈⎦，则数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，从而可知，数列{}n a 不是周期数列；若1a 为正奇数，则((121321323,232,2k k k k a a ++++⎤⎤=+∈++⊆⎦⎦且2a 为偶数，由上可知，数列{}n a 从第二项开始不是周期数列，进而可知数列{}n a 不是周期数列.综上所述，当19a ≥且1N a *∈时，数列{}n a 不是周期数列.因此，若{}n a 为周期数列，则1a 的取值集合为{}1,2,3,4,6. 故选：B.【点睛】本题解题的关键是抓住“数列{}n a 为周期数列”进行推导，对于1a 的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证，对于这类问题，我们首先应弄清问题的本质，然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决．二、填空题 5．线性方程组20235x y x y --=⎧⎨+=⎩对应的增广矩阵为______.【答案】112235-⎛⎫⎪⎝⎭【分析】将方程组变形为2235x y x y -=⎧⎨+=⎩，利用增广矩阵的定义可得结果.【详解】原方程组即为2235x y x y -=⎧⎨+=⎩，该线性方程组的增广矩阵为112235-⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：112235-⎛⎫⎪⎝⎭.6．若直线l 的倾斜角为34π，则l 的一个方向向量d 可以是______.(只需填写一个) 【答案】()1,1-【分析】利用直线倾斜角确定直线斜率，进而确定方向向量的横纵坐标之比，写出方向向量.【详解】直线l 的倾斜角为34π，故直线的斜率3tan 14k π==-，故方向向量的横纵坐标之比为1-，故d 可以是()1,1-，故答案为：()1,1-.7．已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若22a =，515S =，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________. 【答案】n【分析】根据数列{}n a 为等差数列，且22a =，515S =，利用“1,a d ”法求解. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，且22a =，515S =，所以112110,55a a d d +==+，解得11,1a d ==，所以1(1)n a a n d n =+-=，故答案为：n8．若椭圆2236x ty -=的一个焦点为()0,2F ，则实数t =______. 【答案】-1【分析】先将椭圆方程化为标准方程，再根据其一个焦点为()0,2F 求解.【详解】椭圆2236x ty -=的标准方程为：22162x y t+=-，因为其一个焦点为()0,2F ，所以226,2a b t=-=，所以624t--=，解得1t =-，故答案为：-19．用数学归纳法证明()2511222n n N -*++++∈能被31整除时，从k 到1k +添加的项数共有__________________项（填多少项即可）．【答案】5【分析】分别写出n k =和1n k =+时的对应的结果，再比较差异，得到答案. 【详解】当n k =时，原式为：251122...2k -++++，当1n k =+时，原式为251551525354122...222222k k k k k k -+++++++++++++，比较后可知多了55152535422222k k k k k ++++++++，共5项. 故答案为：510．圆222690x y x y +--+=上的点到直线240x y --=的距离的最大值为______.1【分析】先求得圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，由此距离加半径为最大值求解. 【详解】圆222690x y x y +--+=的圆心为()1,3半径为1，圆心到直线240x y --=的距离d ==，1111．若直线1l 、2l 的斜率分别是方程22730x x -+=的两根，则1l 、2l 的夹角为______. 【答案】4π 【分析】记直线1l 、2l 的倾斜角分别为1α、2α，且12αα>，解方程22730x x -+=，可求得1tan α、2tan α的值，利用两角差的正切公式求出()12tan αα-的值，即可求得结果.【详解】记直线1l 、2l 的倾斜角分别为1α、2α，且12αα>，解方程22730x x -+=，即()()2130x x --=，解得13x =，212x =，所以，1α、2α均为锐角，且1tan 3α=，21tan 2α=，由两角差的正切公式可得()12121213tan tan 2tan 111tan tan 132αααααα---===++⨯， 202πα<<，102πα<<且12αα>，可得1202παα<-<，124παα∴-=.因此，1l 、2l 的夹角为4π. 故答案为：4π. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键就是利用两角差的正切公式求出两直线夹角的正切值，同时要注意注意讨论所求角的取值范围，结合正切值求出所求角.12．已知双曲线Γ经过点()2,2P ，且与双曲线2212x y -=具有相同的渐近线，则双曲线Γ的标准方程为______.【答案】22124y x -=【分析】设双曲线Γ的方程为222x y λ-=，将点P 的坐标代入双曲线Γ的方程，求出λ的值，即可得出双曲线Γ的标准方程.【详解】由于双曲线Γ与双曲线2212x y -=具有相同的渐近线，设双曲线Γ的方程为222x y λ-=，将点P 的坐标代入双曲线Γ的方程得222222λ=-=-，所以，双曲线Γ的方程为2222x y -=-，化为标准方程即为22124y x -=.故答案为：22124y x -=.13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若213n n S a =-*()n N ∈，则lim n n S →∞=__________．【答案】1【解析】当1n =时，11213S a =-，即135a =；当2n ≥时，11213n n S a --=-，由11221133n n n n n a S S a a --⎛⎫=-=--- ⎪⎝⎭得到125n n a a -=，故数列{}n a 是等比数列，所以215nn S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则lim 1n n S →∞=，故答案为1.14．若直线()43y k x =+-与曲线x =k 的取值范围是______. 【答案】3240,27⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭【分析】作出曲线x =()43y k x =+-的图象，考查直线()43y k x =+-与曲线x =相切时k 的取值，数形结合可求得实数k 的取值范围.【详解】由0x =≤可得229x y =-，即229x y +=，所以，曲线x =229x y +=的左半圆，直线()43y k x =+-过定点()4,3P --，且斜率为k ，如下图所示：当直线()43y k x =+-过点()0,3A -时，可得433k -=-，解得0k =；当直线()43y k x =+-过点()0,3B 时，可得433k -=，解得32k；当直线()43y k x =+-与曲线29x y =--相切，且切点C 位于第二象限时，0k >， 24331k k -=+，因为0k >，解得247k =. 由图可知，当302k ≤<或247k =，直线()43y k x =+-与曲线29x y =--有且仅有一个公共点，因此，实数k 的取值范围是3240,27⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭. 故答案为：3240,27⎡⎫⎧⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎩⎭. 【点睛】思路点睛：本题考查利直线与半圆的公共点个数求参数，思路如下：（1）画出直线与半圆的图象；（2）根据图象找到直线与半圆有公共点的相切或相交的情况；（3）根据公式计算，得出结果.15．已知椭圆22:15x y Γ+=的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是Γ上的点.若123PF PF ⋅=，则12PF PF ⋅的值为______.【答案】1-【分析】根据椭圆的定义写出12PF PF +与12F F ，然后代入求解12cos F PF ∠，即可求出12PF PF ⋅.【详解】由题意可知，2a c ==，由椭圆的定义知，12124PF PF F F +==，则12206161cos 233F PF --∠==-⨯，所以12121cos 1PF PF P P F PF F F ⋅∠==-⋅.故答案为：1-.16．已知圆221:(4)(4)4C x y -+-=，圆222:(3)(5)2C x y -++=.若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆1C 和2C 的圆周，则圆C 的方程为______. 【答案】2236x y +=【分析】由题意，圆C 与圆1C 和圆2C 的公共弦分别为圆1C 和圆2C 的直径，求出圆心坐标，可得结论.【详解】由题意，圆C 与圆1C 和圆2C 的公共弦分别为圆1C 和圆2C 的直径设圆C 的圆心为(,0)x ，半径为r ，则2222(4)(04)(3)(05)24x x -+-=-++++，解得：0x =，半径6r ==，故圆C 的方程为2236x y +=，故答案为：2236x y +=.三、解答题17．设常数a R ∈，已知直线()1:210l a x y +++=，()2:3430l x ay a ++-=. （1）若12l l ⊥，求a 的值；（2）若12//l l ，求1l 与2l 的距离；【答案】（1）32-；（2）d =【分析】（1）根据两直线垂直的条件求参数值；（2）由平行的条件求得参数值，两方程中,x y 的系数分别化为相同，然后由平行间距离公式计算．【详解】（1）由题意3(2)0a a ++=，解得32=-；（2）由两条平行显然0a ≠，因此213a a+=，解得1a =或3a =-，1a =时，两直线方程均为310x y ++=，不合题意，3a =-时，1l 方程为10x y -++=，即10x y --=，2l 方程为33150x y --=，即50x y --=，所求距离为d ==．【点睛】易错点睛：本题考查由两直线平行与垂直求参数，考查平行间距离公式．在已知平行求参数时，一般在求得参数值时需要进行检验，剔除两直线重合的情形，这是易错点．18．已知点C 是曲线()30xy x =>上一点，以C 为圆心的圆与x 轴交于O ､A 两点，与y 交于O ､B 两点，其中O 为坐标原点. （1）求证：OAB 的面积为定值；（2）设直线35y x =-+与圆C 交于M ，N 两点，若=OM ON ，求圆C 的方程.【答案】（1）证明见解析；（2）()()223110x y -+-=. 【分析】（1）设3,C a a ⎛⎫⎪⎝⎭可得圆的方程，求出A B 、两点的坐标计算出OAB 的面积即可证明；（2）由条件得出原点O 在线段MN 的垂直平分线上，所以直线CO 与35y x =-+垂直，由斜率之积为-1求得3a =，从而得到圆C 的方程.【详解】（1）证明：由题意设3,(0)C a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，则半径为0)R a =>，所以圆的方程为()222239(0)x a y a a a a ⎛⎫-+-=+> ⎪⎝⎭，令0x =，则222223392a y y a a a a ⎛⎫+-⨯+=+ ⎪⎝⎭，所以6y a =，60,A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令0y =，则22222392x a ax a a a ⎛⎫+-+=+ ⎪⎝⎭，所以2x a =，()2,0B a ，所以1162622OABSOA OB a a=⨯⨯=⨯⨯=，所以OAB 的面积为定值.（2）因为=OM ON ，所以原点O 在线段MN 的垂直平分线上，设线段MN 的中点为H ，则C H O 、、三点共线，由（1）知3,(0)C a a a ⎛⎫> ⎪⎝⎭， CO 的斜率为23k a =，由于直线所以CO 与35y x =-+垂直，所以23(3)1a ⨯-=-，解得3a =，或3a =-舍去，所以()3,1,C R == 圆C 的方程为()()223110x y -+-=.【点睛】方法点睛：本题考查直线和圆的方程，根据条件建立方程关系是解决本题的关键，有一定的综合性，考查学生分析问题、解决问题的能力.19．某公司自2020年起，每年投入的设备升级资金为500万元，预计自2020年起(2020年为第1年)，因为设备升级，第n 年可新增的盈利()()5801,5100010.6,6n n n n a n -⎧-≤⎪=⎨-≥⎪⎩(单位：万元)，求：（1）第几年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金；（2）第几年起，累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额. 【答案】（1）第7年；（2）第12年. 【分析】（1）分段解不等式500na >，（2）对n 进行讨论，求n a 的前n 项和n S ，令500n S n ≥，解不等式.【详解】（1）当5n ≤时，80(1)500n a n =->，解得7.25n >，即8n ≥，不成立，当6n ≥时，51000(10.6)500n na -=->，即50.60.5n -<，50.6n -随着n 的增大而减小，当6n =时，650.60.60.5-=<不成立，当7n =时，750.60.360.5-=<成立，故第7年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金；（2）当5n =时，累计新增盈利总额5123450801602403208005005S a a a a a =++++=++++=<⨯，可得所求n 超过5，当6n ≥时，55600(10.6)1000(5)50010.6n n S S n n --=+-->-，整理得530.611.4n n -+⨯>，由于530.6n -⨯随着n 的增大而减小又当11n =时，1151130.611.4-+⨯<，故不成立，当12n =时，1251230.611.4-+⨯>，故成立，故从第12年起，累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额.20．已知有序数列{}n a 的各项均不相等，将{}n a 的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{}n p ，称{}n p 为{}n a 的“序数列”.例如：数列1a ，2a ，3a 满足132a a a >>，则其“序数列”{}n p 为1，3，2.（1）若数列{}n a 的通项公式为()()21,2,3,4nn a n =-=，写出{}n a 的“序数列”；（2）若项数不少于5项的有穷数列{}n b ，{}n c 的通项公式分别为35nn b n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，2n c n tn =-+，且{}n b “序数列”与{}n c 的“序数列”相同，求实数t 的取值范围；（3）已知有序数列{}n a 的“序数列”为{}n p .求证：“{}n p 为等差数列”的充要条件是“{}n a 为单调数列”.【答案】（1）4，2，1，3；（2）()4,5；（3）证明见解析.【分析】(1)由条件可得12342,4,8,16a a a a =-==-= ，4213a a a a >>>，得出答案.(2)通过作差法比较相邻两项的大小关系，即1323·()55nn n n b b +--=，得到当2n 时，1n n b b +<．所以需要比较第一项的大小，得出所在的位置，计算可以得出2314b b b b >>>的大小关系．则数列{}nc 大小关系为231451n n c c c c c c c ->>>>>⋯>>．分别算出11c t =-，224c t =-，339c t =-．由列231c c c >>列不等式并求解得t 的取值范围．（3）由题意，分别证明充分性和必要性．其中，充分性证明即若有穷数列{}n a 的序数列{}n P 为等差数列，则有穷数列{}n a 为单调数列，分别讨论{}n P 为递增数列时，数列{}n a 的特点是项由大到小依次排列，得到有穷数列{}n a 为单调递减数列；同理{}n P 为递减数列，有穷数列{}n a 为单调递增数列．必要性证明同样需将有穷数列{}n a 分为递增和递减来讨论，最后得出其序数列{}n P 为等差数列；【详解】（1）由()()21,2,3,4nn a n =-=，可得12342,4,8,16a a a a =-==-=4213a a a a >>>，{}n a 的“序数列”为：4，2，1，3（2）由题意得，因为*3·()()5n n b n n N =∈，所以1323·()55nn n n b b +--= 当2n 时，10nnb b 即1n n b b +<135b =，21825b =，381125b =，4324625b =231451n n b b b b b b b ->>>>>⋯>>又因为2*()n c n tn n N =-+∈，且{}n b 的序数列与{}n c 的序数列相同所以231451n n c c c c c c c ->>>>>⋯>> 又因为11c t =-，224c t =-，339c t =- 所以24391t t t ->->- 所以45t <<即(4,5)t ∈ （3）充分条件：因为有穷数列{}n a 的序数列{}n P 为等差数列所以①{}n P 为1，2，3，⋯，2n -，1n -，n 所以有穷数列{}n a 为递减数列，②{}n P 为n ，1n -，2n -，⋯，3，2，1 所以有穷数列{}n a 为递增数列，所以由①②，有穷数列{}n a 为单调数列必要条件：因为有穷数列{}n a 为单调数列所以①有穷数列{}n a 为递减数列则{}n P 为1，2，3，⋯，2n -，1n -，n 的等差数列 ②有穷数列{}n a 为递增数列则{}n P 为n ，1n -，2n -，⋯，3，2，1的等差数列所以由①②，序数列{}n P 为等差数列综上，有穷数列{}n a 的序数列{}n P 为等差数列的充要条件是有穷数列{}n a 为单调数列【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是1323·()55nn n n b b +--=得出其单调性，即231451n n b b b b b b b ->>>>>⋯>>，从而得到231451n n c c c c c c c ->>>>>⋯>>.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y C +=，过点()4,0P 作直线l 与椭圆交于A ，B 两点.（1）若()1,4n =是直线l 的一个法向量，求直线l 的标准方程；（2）若AOB 的面积为127，求直线l 的方程；（3）在线段AB 上取点Q ，使得AP BQ AQ BP ⋅=⋅，求证：点Q 在一条定直线上. 【答案】（1）440x y +-=；（2）)44y x =±-或()3410y x =±-；（3）证明见解析.【分析】(1)由条件得到直线l 的斜率为14k =-，从而写出方程. (2)设直线l 的方程为4x my =+，与椭圆方程联立写出韦达定理，由121122S AOB OP y y OP =⋅-=.(3) 设()()()1122,,,,,A x y B x y Q x y 由AP BQ AQ BP ⋅=⋅,则()()1212y y y y y y -=-,即112122yy y y y y yy -=-,即3y m=-，从而可得1x =从而可证.【详解】（1）直线l 的一个法向量为()1,4n =，则直线l 的斜率为14k =- 又直线l 过点()4,0P ，所以直线l 的方程为：()144y x =--，即440x y +-= （2）根据题意直线l 的斜率不为0，则其方程为：4x my =+ 设()()1122,,,A x y A x y所以224143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,可得 ()223424360m y my +++= 所以()()2224436430m m∆=-⨯⨯+>，即24m>1212222436,4343m y y y y m m -+==++，121122S AOB OP yy OP =⋅-=142=⨯24312247m ⨯=+=，即2431m =+ t =，则224m t =+所以()243144t t +⨯=+，即2141603t t -+=，解得2t = 或83t =即m =±103m =±经检验，m =±103m =±都满足0∆> 所以直线l 的方程为：4x =±+或1043x y =±+ 即直线l 的方程为：)44y x =±-或()3410y x =±- （3）设()()()1122,,,,,A x y B x y Q x y根据题意，Q 点在A B ，之间，不妨设点A 在点B 的左侧. 当直线l 与椭圆交于A ，B 两点，A ，B 两点x 轴上方时，由AP BQ AQ BP ⋅=⋅则()()1212y y y y y y -=-,即112122yy y y y y yy -=-所以()12122y y y y y +=，则212122236272343242443y y m y m y y m m m ⨯+===-=--++ 同理当A ，B 两点x 轴下方时，也有3y m =-成立.所以当直线l 的斜率不为0时，有3y m=-，由（2）有3441x my m m ⎛⎫=+=⨯-+= ⎪⎝⎭当直线l 的斜率为0时，即A ，B 两点为椭圆的左右顶点，即()()2,0,2,0A B - 所以满足AP BQ AQ BP ⋅=⋅的点Q 为()1,0综上所述: 满足条件的点Q 在直线1x =上.即点Q 在一条定直线上.【点睛】关键点睛：解答本题的关键是由三角形的面积()212121211422S AOB OP y y OP y y y y =⋅-=+-⋅AP BQ AQ BP ⋅=⋅，得到()()1212y y y y y y -=-，进一步有3y m=-.。

上海市曹杨第二中学2020-2021学年高二上学期期末复习试卷2数学试题

上海市曹杨第二中学2020-2021学年高二上学期期末复习试卷2数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若a b b c A ⋂=，，则a c 、的位置关系是_______.2．已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于___________. 3．已知等边△ABC 的边长为1，用斜二测画法画它的直观图A B C ，'''则A B C '''的面积为_________.4．正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长2AB =，若直线1B C 与底面ABCD 所成的角的大小为arctan 2，则正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积为________5．正ABC △的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O 到平面ABC 的距离为1,点D 是线段BC 的中点,过D 作球O 的截面,则截面面积的最小值为_________.6．设正三棱锥V ABC -的底边长为2，则侧棱与底面所成的角的大小为________.7．已知非零向量n b 、及平面α，向量n 是平面α的一个法向量,则0n b ⋅=是“向量b 所在直线在平面α内”的____________条件.8．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点,且满足000AB AC AC AD AD AB ⋅=⋅=⋅=，，，则ΔBCD 是________三角形(选填“锐角”、“直角”或“钝角”)．9．设地球的半径为R,若甲地位于北纬45°东经120°,乙地位于南纬75东经120°,则甲乙两地的球面距离为_________.10．如图,边长为a 的正方形纸片ABCD,沿对角线AC 对折,使点D 在平面ABC 外,若BD=，a 则三棱锥D ABC -的体积是________.11．在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是．12．如图，由编号1，2，…，n ，…（*n ∈N 且3n ≥）的圆柱自下而上组成．其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半．若编号1的圆柱的高为4，则所有圆柱的体积V 为（结果保留π）．二、单选题13．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥； ②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．其中真命题的编号是（） A ．③④B ．①②C ．①③④D ．①④14．下列命题中，错误的是 ( )A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两个不同平面平行C ．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD ．若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线15．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为（）A ．8B ．4C ．2D ．116．设点P 是一个正四面体内的任意一点，则点P 到正四面体的各个面的距离之和是一个定值，这个定值等于该四面体的（） A ．棱长 B ．斜高C ．高D ．两对棱间的距离三、解答题17．如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD,底面ABCD 是菱形,AB=2,∠BAD=60°.(1)求证BD ⊥平面PAC ；(2)若PA=AB 求异面直线PB 与AC 所成角的大小(用反三角函数值表示)．18．如图，已知AB 是圆柱1OO 底面圆O 的直径，底面半径R=1，圆柱的表面积为8π，点C 在底面圆O 上，且直线1A C 与下底面所成角的大小为60°.(1)求三棱锥1A ACB -的体积； (2)求异面直线1A B 与OC 所成角的大小(用反三角函数值表示)．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是等腰直角三角形，2AC BC ==，1CC AC ＞，异面直线1AC 与1BA 所成角大小为arccos 10(1)求三棱柱111ABC A B C -的高；(2)设D 为线段11A B 的中点,求二面角11A C D A --的大小(结果用反三角函数表示)； (3)求点1B 到平面1AC D 的距离.20．已知正三棱锥A BCD -的底面边长为3，侧棱长为2，E 为棱BC 的中点．(1)求异面直线AE 与CD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)； (2)求三棱锥A BCD -的体积；(3)在三棱锥A BCD -的外接球上,求A 、B 两点间的球面距离．21．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是一个平行四边形，AB ＝(2，－1，－4)，AD ＝(4,2,0)，AP ＝(－1,2，－1)． (1)求证：P A ⊥底面ABCD ； (2)求四棱锥P －ABCD 的体积；(3)对于向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，c ＝(x 3，y 3，z 3)，定义一种运算： (a ×b )·c ＝x 1y 2z 3＋x 2y 3z 1＋x 3y 1z 2－x 1y 3z 2－x 2y 1z 3－x 3y 2z 1.试计算(AB AD ⨯)·AP 的绝对值的值；说明其与四棱锥P －ABCD 体积的关系，并由此猜想向量这一运算(AB AD ⨯)·AP 的绝对值的几何意义．参考答案1．相交或异面【解析】【分析】以正方体为载体，列举各种可能发生的情况，能求出结果．【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，//AB DC ，AB AD D =，DC 与AD 相交， //AB DC ，1ABAA A =，DC 与1AA 异面，∴直线//a b ，b c A =，则a 与c 的位置关系相交或异面．故答案为相交或异面【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用． 2．15π 【解析】试题分析：求圆锥侧面积必须先求圆锥母线，既然已知体积，那么可先求出圆锥的高，再利用圆锥的性质(圆锥的高，底面半径，母线组成直角三角形)可得母线，221131233V r h h πππ==⋅⋅=，4h =，5l ==，15S rl 侧ππ==．考点：圆锥的体积与面积公式，圆锥的性质．3【分析】由已知中正ABC ∆的边长为1，可得正ABC ∆的面积，进而根据ABC ∆的直观图△A B C '''的面积S '=，可得答案．【详解】解：正ABC ∆的边长为1，故正ABC ∆的面积231S ==设ABC ∆的直观图△A B C '''的面积为S '则36S '==【点睛】本题考查的知识点是斜二测法画直观图，其中熟练掌握直观图面积S '与原图面积S 之间的关系S '=，是解答的关键． 4．32 【分析】根据线面垂直关系、线面角的定义可知1arctan 2B CB ∠=，从而得到12BB BC =，根据底面边长可求得侧棱长，进而得到所求的侧面积. 【详解】四棱柱1111ABCD A B C D -为正四棱柱∴四边形ABCD 为正方形，1BB ⊥平面ABCD∴直线1B C 与底面ABCD 所成角为1arctan 2B CB ∠= 1224BB BC AB ∴=== ∴正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积：1442432S AB BB =⋅=⨯⨯=故答案为32 【点睛】本题考查棱柱侧面积的求解，关键是能够根据线面角的定义确定线面角的具体位置，从而得到长度关系，属于基础题. 5．94π 【分析】设正ABC ∆的中心为1O ，连结1O O 、1O C 、1O D 、OD ．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OD =而经过点D 的球O 的截面，当截面与OD 垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．【详解】解：设正ABC ∆的中心为1O ，连结1O O 、1O C 、1O D 、OD ，1O 是正ABC ∆的中心，A 、B 、C 三点都在球面上， 1O O ∴⊥平面ABC ，结合1O C ⊂平面ABC ，可得11O O O C ⊥，球的半径2R =，球心O 到平面ABC 的距离为1，得11O O =，Rt ∴△1O OC 中，1O C =又D 为BC 的中点，Rt ∴△1O DC 中，1112O D O C ==Rt ∴△1OO D 中，OD =过D 作球O 的截面，当截面与OD 垂直时，截面圆的半径最小，∴当截面与OD 垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径32r ==，可得截面面积为294S r ππ==．故答案为：94π．【点睛】本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题． 6．45︒ 【分析】由已知得到底面三角形一边上的高，从而得到底面三角形的一个顶点到底面中心的距离，通过解直角三角形得到答案．【详解】解：如图，三棱锥V ABC -是正三棱锥，V ∴在底面ABC ∆上的投影为ABC ∆的中心O ，连接VO ，AO ，则VAO ∠即为侧棱VA 与底面ABC ∆所成的角，三棱锥V ABC -为正三棱锥，底面边长为高2VO =，则底面三角形一边BC 上的高3AD =， 2AO ∴=，2tan 12VO VAO AO ∴∠===． ∴侧棱与底面所成角的大小为45︒．故答案为：45︒ 【点睛】本题考查了直线与平面所成的角，考查了学生的空间想象能力和计算能力，是中档题． 7．必要不充分【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若向量n 是平面α的法向量，则n α⊥，若0n b =，则//b α，则向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内，即充分性不成立，若向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内，则//b α，向量n 是平面α的法向量，∴n α⊥，则n b ⊥，即0n b =，即必要性成立，则0n b =是向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内的必要条件，故答案为：必要不充分【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量和平面的位置关系是解决本题的关键． 8．锐角【分析】判断三角形的形状有两种基本的方法①看三角形的角②看三角形的边．本题可用向量的夹角来判断三角形的角．【详解】解：22()()0BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=>，∴cos 0||||BC BDB BC BD ⋅=>⋅,故B 是锐角，同理D ∠，C ∠都是锐角，故BCD ∆是锐角三角形，故答案为：锐角【点睛】本题考查向量的分解，重点是向量的夹角公式，属于基础题． 9．23R π 【分析】甲、乙两地都在东经120︒，就是都在同一个大圆上，求出纬度差，即可求出球面距离．【详解】由于甲、乙两地都在东经120︒，就是都在同一个大圆上，它们的纬度差是：120︒，就是大圆周的13则甲、乙两地球面距离为：23R π 故答案为：23R π 【点睛】本题考查球面距离，好在两点在同一个经度上，简化了计算，是基础题．103 【分析】取AC 的中点E ，连接BE 、DE ，折起后的图形中，2DE BE ==，又知BD a =，由此三角形BDE 三边已知，求出BED ∠，解出三角形BDE 的面积，可求得三棱锥D ABC -的体积。

2019-2020学年上海市上海中学高二上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年上海市上海中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．“1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的（）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既非充分又非必要【答案】B【解析】先化简条件“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”，结合k 的范围进行判定. 【详解】因为方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆，所以3240k k +>+>，解得21k -<<-；因为211k k -<<-⇒<-，反之不成立，所以“1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的必要非充分条件. 故选：B. 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，把复杂的已知条件进行化简，结合推出关系可以进行判定，侧重考查逻辑推理的核心素养.2．双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则此双曲线的离心率是（）A ．BCD ．2【答案】C【解析】根据双曲线的一条渐近线与直线210x y ++=垂直可求k ，进而可求双曲线的离心率. 【详解】由题意可知0k >，因为双曲线221kx y -=的渐近线为y =，且一条渐近线与直线210x y ++=垂直，12=，即14k =；此时双曲线为2214x y -=，224,5a c ==,. 故选：C. 【点睛】本题主要考查双曲线的性质，双曲线的离心率求解主要是明确,,a b c 的关系式，或者,,a b c 的值，侧重考查数学运算的核心素养.3．给出下列四个命题：①若复数1z ，2z 满足120z z -=，则12z z =；②若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=；③若复数z 满足22z z =-，则z 是纯虚数；④若复数z 满足z z =，则z 是实数，其中真命题的个数是（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】设出复数的代数形式进行验证，或者利用反例进行排除可得. 【详解】对于①：设111222,z x y z x y i i =+=+，1212,,,x x y y 均为实数，由120z z -=可得()()1122220x x y y -+-=，所以1212,x x y y ==，即12z z =，故①正确；对于②：当11z =，2z i =时，满足1212z z z z +=-，但是120z z ⋅≠，故②不正确；对于③：当0z =时，满足22z z =-，但是z 不是纯虚数，故③不正确；对于④：设,,z x yi x y R =+∈，由z z =可得i =x y +0y =，故④正确. 故选：B. 【点睛】本题主要考查复数的性质及运算，待定系数法是解决复数问题的有效方法，侧重考查数学运算的核心素养.4．已知F 是抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=u u u v u u u v（其中O 为坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是（） A ．2 B ．3 CD【答案】B【解析】【详解】试题分析：据题意得1(,0)4F ，设1122(,),(,)A x y B x y ，则221122,x y x y ==，221212122,2y y y y y y +==-或121y y =，因为,A B 位于x 轴两侧所以.所以122y y =-两面积之和为12211111224S x y x y y =-+⨯⨯221221121111112248y y y y y y y y =-+⨯⨯=-+⨯111218y y y =++⨯11298y y =+112938y y =+≥.二、填空题5．若复数()1231i z i +=-，则z =______.【解析】先化简求解z ，然后再求解模长. 【详解】因为()1231i z i +=-，所以()()()()3i 112i 3i 155i1i 12i 12i 12i 5z ---+====+++-，所以z ==【点睛】本题主要考查复数的运算及模长，求解复数模长时一般是先把复数进行化简，然后结合模长的公式求解，侧重考查数学运算的核心素养. 6．抛物线2y x =的准线方程为________．【答案】14x =-【解析】抛物线2y x =的准线方程为14x =-；故填14x =-. 7．椭圆2236x y +=的焦距是______. 【答案】4【解析】先把椭圆方程化为标准形式，结合,,a b c 的关系可求焦距. 【详解】2236x y +=可化为22162x y +=，所以226,2a b ==，因为2224c a b =-=，所以2c =，焦距24c =. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查利用椭圆的方程求解焦距，从给定的方程中求解,,a b c 是关键，侧重考查数学运算的核心素养.8．已知复数a ，b 满足集合{}{}2,,1a b a b -=+，则ab =______.【答案】1【解析】根据集合相等的含义，分别求解复数,a b ，然后可求ab . 【详解】因为1b b ≠+，{}{}2,,1a b a b -=+，所以21a b b a-=+⎧⎨=⎩，即有210a a ++=，解得12212a i b ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩或12212a b ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，所以1ab =. 故答案为：1. 【点睛】本题主要考查复数的运算，复数方程的根可以借助求根公式来进行，侧重考查数学运算的核心素养.9．计算：239123410i i i i ++++⋅⋅⋅+=______. 【答案】56i +【解析】先求解n i ，然后再根据复数的加法规则进行求解. 【详解】因为2349i 1,i i,i 1,,i i =-=-==L ，所以23912i 3i 4i 10i 12i 34i 10i =5+6i ++++⋅⋅⋅+=+--+⋅⋅⋅+.故答案为：56i +. 【点睛】本题主要考查复数的运算，明确4414243i 1,i i,i 1,i i nn n n +++===-=-是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.10．已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，则PQ 的取值范围是______. 【答案】[)4,+∞【解析】设出直线方程，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得12y y +，然后把PQ 用12y y +表示出来，结合表达式的特点求解范围.【详解】由题意可得焦点(1,0)F ，设1122(,),(,)P x y Q x y ，直线:1l x ty =+，联立241y x x ty ⎧=⎨=+⎩得2440y ty --=，12124,4y y t y y +==-，22112212()41441P y Q x x x x t y t ++=++===++++；因为20t ≥，所以4PQ ≥. 故答案为：[)4,+∞. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，联立方程，结合韦达定理，表示出目标式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11．已知P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若点P 到直线2y x =+的距离大于m 恒成立，则实数m 的取值范围是______.【答案】(-∞【解析】把所求问题转化为求点P 到直线2y x =+的最小距离，结合平行线间的距离公式可求. 【详解】双曲线221x y -=的渐近线方程为y x =±，而直线2y x =+与y x =平行，平行线间的距离d ==由题意可知点P 到直线2y x =+；所以m ≤故答案为：(-∞. 【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，双曲线上的点到直线的距离转化为平行直线间的距离，是这类问题的主要求解方向，侧重考查数学运算的核心素养.12．平面上一台机器人在运行中始终保持到点()2,0P -的距离比到点()2,0Q 的距离大2，若机器人接触不到．．．．过点)M 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是______.【答案】【解析】先求解机器人的运动轨迹，结合直线和曲线的位置关系可求. 【详解】由题意可得机器人的运动轨迹是双曲线的一支，由1,2a c ==可得23b =，所以机器人的运动轨迹方程为221(1)3y x x -=≥；直线3(y k x -=，即(3y k x =+，联立22(313y k x y x ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩得2222(3)6)3120k x k k x -+-+--=，当230k -=时，若k =则此时直线(3y k x =-+=恰好是双曲线的渐近线，符合题意；若k =.当230k -≠时，由∆<0得22226)4(3312)0k k k -----<，k <<综上可得k的取值范围是.故答案为：. 【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系一般转化为方程解的情况，通过判别式及韦达定理进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上一点，且123F PF π∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为______．【答案】3 【解析】根据椭圆的定义与几何性质判断1F PQ ∆为正三角形，且PQ x ⊥轴，设2PF t =，可得1122,3PF t F F t ==，从而可得结果.【详解】因为1F 关于12F PF ∠的对称点Q 在椭圆C 上，则1PF PQ =，160F PQ ∠=oQ ，1F PQ ∴∆为正三角形，11F Q F P ∴=，又1212222,FQ F Q F P F P a F Q F P +=+=∴=Q ，所以PQ x ⊥轴，设2PF t =，则1122,3PF t F F t=，即2332323323c c t c t e a a t a t⎧=⎪⇒====⎨=⎪⎩，故答案为33. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．14．已知一族双曲线22:2019n nE x y -=（*n N ∈，且2019n ≤），设直线2x =与nE 在第一象限内的交点为n A ，点n A 在n E 的两条渐近线上的射影分别为n B ，n C .记n n n A B C ∆的面积为n a ，则1232019a a a a +++⋯+=__________.【答案】5052【解析】设点坐标()00,n A x y ，表示出n n n A B C V 的面积，得到n a 的通项，然后对其求前2019项的和. 【详解】设()00,n A x y ，双曲线22:2019n nE x y -=的渐近线为0,0x y x y +=-=，互相垂直. 点()00,n A x y 在两条渐近线上的射影为,n n B C，则n n n n A B A C ==易知n n n A B C V为直角三角形，22001=2420194n n nA B C x y nS -==⨯V 即20194n na =⨯为等差数列，其前2019项的和为()12019201912019201920195052019420194=222a a S ⎛⎫+⨯ ⎪+⨯⨯⨯⎝⎭==【点睛】本题利用三角形的面积将双曲线相关内容与数列相结合，综合性较强的题目，属于难题.15．已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP u u u v =2PB u u u v ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】分析:先根据条件得到A ,B 坐标间的关系，代入椭圆方程解得B 的纵坐标，即得B 的横坐标关于m 的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法. 详解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r得1212122,12(1),23,x x y y y y -=-=-∴-=-因为A ,B 在椭圆上,所以22221212,,44x x y m y m +=+=2222222243(23),()4424x x m y m y ∴+-=∴+-=，与22224x y m +=对应相减得222231,(109)444m y x m m +==--+≤，当且仅当5m =时取最大值.点睛：解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.16．已知椭圆C ：)222106x y m m+=>>左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴的两个端点分别为1B ，2B ，点P 在椭圆C 上，且满足1212PF PF PB PB +=+，当m 变化时，给出下列四个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在m 使得椭圆C 上满足条件的点P 仅有两个；③OP 的最小值为2；④OP ，其中正确命题的序号是______. 【答案】①③【解析】利用椭圆的定义先求解P 的轨迹，即可判定①正确，②不正确；结合轨迹方程进行验证，可得③正确，④不正确. 【详解】由题意，点P 在椭圆C ：)222106x y m m+=>>上，所以1212PF PF PB PB +=+=所以点P 也在以12,B B 为焦点的椭圆222166y x m+=-上，所以点P 为椭圆C ：22216x y m +=与椭圆222166y x m +=-的交点，共4个，故①正确，②错误；点P 靠近坐标轴时（0m →或m →，OP 越大，点P 远离坐标轴时，OP 越小，易得23m =时，取得最小值，此时C ：22163x y +=， 22163y x +=，两方程相加得222222x y +=⇒=，即OP 的最小值为2，③正确；椭圆上的点到中心的距离小于等于a ，由于点P 不在坐标轴上，所以OP ，④错误.故答案为：①③.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及性质，椭圆有关的最值问题常常借助其几何性质进行求解，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.三、解答题17．已知复数z 满足2274z z i -=+，求z . 【答案】32z i =+或12z i =-+.【解析】设出复数,,z a bi a b R =+∈，代入已知条件，利用复数相等的含义可求. 【详解】设,,z a bi a b R =+∈，222i,z z a a b b =-=+，因为2274z z i -=+，所以222(i)=7+4i a a b b +--，2227a b a +-=且24b =，解得2b =，1a =-或3，所以32z i =+或12z i =-+. 【点睛】本题主要考查复数的相关概念及运算，待定系数法是解决这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.18．已知复数()221iz i m i =++-（其中i 是虚数单位，m R ∈）. （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值；（2）求1z -的取值范围.【答案】（1）12m =-；（2）1z -55≥. 【解析】（1）先对复数进行化简，然后结合z 是纯虚数可求m 的值；（2）结合复数的模长公式，表示出1z -，利用二次函数的知识求解. 【详解】（1）()()()()()2i i 12i2i 2i i 1i 1i 1z m m +=++=++--+ ()()2i i i 121(1)i m m m =+-+=++-，若复数z 是纯虚数，则210,10m m +=-≠，所以12m =-. （2）由（1）得21(1)i z m m =++-，12(1)i z m m -=+-，22214(1)521z m m m m -=+-=-+，因为2521y m m =-+是开口向上的抛物线，有最小值45；所以1z -25≥. 【点睛】本题主要考查复数的分类及运算，纯虚数需要满足两个条件，即实部为零，虚部不为零，模长范围问题一般是先求解模长的表达式，结合表达式的特点求解最值，侧重考查数学运算的核心素养.19．假定一个弹珠（设为质点P ，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径1R =）的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知椭圆的右端点A 到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点B 到小球表面最近的距离是5..（1）求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；（2）弹珠由点A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心O 13弹珠由于外力作用发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求k 的取值范围，使弹珠和小球不会．．发生碰撞. 【答案】（1）2211612x y +=；（2）(22,22k ∈-. 【解析】（1）根据题意可得2,6a c a c -=+=，从而可求椭圆C 的标准方程；（2）根据与轨道中心O 13P 的坐标，进而设出直线方程，利用直线与圆相离可求k 的取值范围. 【详解】（1）由题意，2462a c a C a c c ⎧-==⎧⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩：2211612x y +=；（2）设()(),,0P x y x y >，联立2211612x y +=与2213x y +=，可求出()2,3P ，设直线方程为()32y k x -=-，即320kx y k -+-=，弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心()2,0到直线320kx y k -+-=的距离大于圆半径1，1>，解得(k ∈-.【点睛】本题主要考查椭圆的方程及直线与圆的位置关系，椭圆的方程的求解的关键是构建关于,,a b c 的等量关系式，直线与圆的位置关系一般通过圆心到直线的距离与半径的关系求解.20．已知曲线C的参数方程是2412x t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（参数t R ∈）.（1）曲线C 的普通方程；（2）过点()2,1A 的直线与该曲线交于P ，Q 两点，求线段PQ 中点M 的轨迹方程.【答案】（1）2212y x -=；（2）22240x x y y --+=. 【解析】（1）先把24x t=+12t t =+，然后两式平方相减可得曲线C 的普通方程；（2）设出点的坐标，代入方程，作差，结合中点公式和斜率公式可求. 【详解】（1）因为24x t=+12t t =+，所以有2222221121,144t t x t y t =++=+-，两式相减可得2222x y -=，即2212y x -=.（2）设1122(,),(,),(,)P x y Q x y M x y ，则222212121,122y y x x -=-=，两式相减得12121212()()()()02y y y y x x x x -+-+-=，即121212122()x x y y y y x x +-=+-. 因为M 为PQ 的中点，所以12122,2x x x y y y +=+=，因为,M A 均在直线上，所以121212y y y x x x --=--，整理可得22240x x y y --+=，经检验知符合题意，即线段PQ 中点M 的轨迹方程22240x x y y --+=. 【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程及轨迹方程的求解，参数方程化为普通的关键是消去参数，点差法是求解有关弦中点问题的首选方法，侧重考查数学运算的核心素养. 21．由半圆()2210x y y +=≤和部分抛物线()()210,0y a x y a =-≥>合成的曲线C称为“羽毛球形线”，且曲线C 经过点()2,3M .（1）求a 的值；（2）设()1,0A ，()1,0B -，过A 且斜率为k 的直线与“羽毛球形线”相交于P ，A ，Q 三点，是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1a =;（2）存在实数12k =+QBA PBA ∠=∠. 【解析】（1）通过点()2,3M 在曲线()()210,0y a x y a =-≥>上可求a 的值；（2）根据题意得出1QB QA k k ⋅=，结合斜率公式即可求出k 的值. 【详解】（1）由题意易知，点()2,3M 在曲线()()210,0y a x y a =-≥>上，所以()2321a =-，即1a =.（2）假设存在，由题意可知QBA PBA ∠=∠，90APB ∠=︒，所以90QBA BAP ∠+∠=︒，所以1QB QA k k ⋅=.设()200,1Q x x -，其中00x >，22000000111,111QBQA x x k x k x x x --==-==++-，所以2011QB QA k k x ⋅=-=，因为00,x >所以0x =所以1QA k k ==+.故存在实数实数1k =+QBA PBA ∠=∠. 【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，角度关系一般转化为斜率问题进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点1,2M ⎛ ⎝⎭，()0,1N -，直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，与圆2223x y +=相切与点T . （1）求椭圆C 的方程；（2）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=u u u r u u u r（O 是坐标原点），求实数λ的取值范围；（3）AT BT ⋅是否为定值，如果是，求AT BT ⋅的值；如果不是，求AT BT ⋅的取值范围.【答案】（1）2212x y +=;（2）λ⎡∈⎢⎣⎭⎝⎦U ;（3）是定值，23AT BT ⋅=. 【解析】（1）把两点M ⎛ ⎝⎭，()0,1N -代入方程可得椭圆C 的方程；（2）先根据直线和圆相切，求出223220m k --=，然后联立方程，结合韦达定理求出1212,x x y y ++，结合平行四边形性质和Q 在椭圆上可得实数λ的取值范围；（3）根据直线和圆相切可以表示出切点坐标，把AT BT ⋅转化为AT TB ⋅u u u r u u r，结合向量运算及韦达定理可求. 【详解】（1）因为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点M ⎛ ⎝⎭，()0,1N -，所以222121411a b b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1a b ==，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）因为直线l ：y kx m =+与圆2223x y +=3=，即223220m k --=①.由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222124220k x kmx m +++-=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222422,1212km m x x x x k k-+=-=++， ()()1212y y kx m kx m =++++()122x x m k =++2212mk =+.由向量加法的平行四边形法则，得OA OB OP +=u u u r u u u r u u u r，因为,OP OQ λ=u u u r u u u r 所以OA OB OQ λ+=u u u r u u u r u u u r .由题意易知0λ≠，设00(,)Q x y ，则()()()112200,,,x y x y x y λ+=，()()0121211x x x y y y λλ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即()()0202412 212km x k m y k λλ-⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩.因为00(,)Q x y 在椭圆上，所以()()222242221212kmmk k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，整理得()222412m k λ=+②由>0∆可得2212k m +>，所以2224m m λ>， 204λ<<，即20λ-<<或02λ<<.由①②可得2228(1)3(12)k k λ+=+，令212t k =+，则2811()322t λ=+，因为0,t ≥所以24833λ<≤，解得33λ-≤<-或33λ<≤，综上可得λ⎡∈⎢⎣⎭⎝⎦U . （3）由（2）知223220m k --=，()()1212y y kx m kx m =++()221212k x x km x x m =+++222212m k k -=+设33(,)T x y ，则33y kx m =+，由T 为切点可知OT AB ⊥,所以330x ky +=，解得321kmx k =-+. ()()31312323,,AT BT AT TB x x y y x x y y ⋅=⋅=--⋅--u u u r u u r()()31212121222333x x x y x x x y y y y y ++--+=--22332243222123my kmx m k k --++=-+ 22232222()22221123123kmm km m kmx k k k ---+=-=-++ 222242213333m k =-=-=+.所以AT BT 是定值且定值为23. 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的定值问题，范围问题，范围问题一般是根据条件及曲线的几何性质构建参数满足的不等关系，通过求解不等式求得参数范围，侧重考查数学运算的核心素养.。

【解析】上海市曹杨二中2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

2019-2020年曹二高二上10月月考试卷一、填空题.1.在数列－1，0，211298n n-L ，，，，…中，0.08是它的第________项．【答案】10 【分析】根据通项公式列方程，解得结果. 【详解】令22n n-＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0，即(2n －5)(n －10)＝0. 解得n ＝10或n ＝52(舍去)．【点睛】本题考查由通项公式求项数，考查基本分析求解能力.2.若数列{}n a 满足1*1204,2,nn a a a n n N -=-⎧⎨=+≥∈⎩，则该数列从第____项起为正值；【答案】7 【分析】根据2n ≥时的递推公式可知,该数列为等差数列,由1a 和d 可得该等差数列的通项公式,进而得解.【详解】因为当2n ≥时满足14n n a a -=+ 即14n n a a --=,所以数列{}n a 为等差数列,120a =-,4d =所以通项公式为()11n a a n d +-=()2014n =-+-⨯424n =-所以当4240n ->时,解得6n > 即从第7项开始,数列{}n a 为正值故答案为:7【点睛】本题考查了等差数列通项公式的基本求法,通项公式的简单应用,属于基础题.3.若3a > ，则113lim 3n nn n n a a++→∞-+=______；【答案】1a- 【分析】对要求极限的数列分子分母同时除以n a ,根据指数函数的性质即可求得极限值. 【详解】对数列分子分母同时除以n a 可得113lim 3n nn n n a a++→∞-+ 31lim 33nn n aa a →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭因为3a >所以301a <<,根据指数函数的性质可知当n →∞时, 30na ⎛⎫→ ⎪⎝⎭所以31011lim 033nn n a a a a a →∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭==-+⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭ 故答案为: 1a-【点睛】本题考查了数列极限的求法,对数列进行合适的变形是解决此类问题的关键,属于中档题. 4.观察下式：211=，22343++=， 2345675++++=，2456789107++++++=，则可归纳出一般结论：________．【答案】2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-L根据所给式子，归纳第n 个式子左边应该为()()()1232n n n n +++++⋯+-，右边为()221n -，所以填()()()()2123221n n n n n +++++⋯+-=-.5.已知等差数列{}n a 中，1591317117a a a a a -+-+=，则315a a +=_____；【答案】234 【分析】根据等差数列中等差中项的定义,结合条件可求得9a ,进而可求得315a a +. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列由等差中项定义可知, 117513a a a a +=+所以159********a a a a a a -+-+==而315922117234a a a +==⨯=故答案为:234【点睛】本题考查了等差数列中等差中项的定义及简单应用,属于基础题. 6.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,n n a a S +=-=，则n a =______；【答案】122n n a --⎧=⎨-⎩12n n =≥ 【分析】根据条件1n n a S +=,通过递推法,然后作差即可证明数列{}n a 为等比数列,并求得公比,再由首项即可得数列{}n a 的通项公式. 【详解】因为1n n a S += 当2n ≥时,1nn a S -=两式相减可得11n nn n a a S S +--=-即1n n n a a a +-=,变形后可得12n na a += 因为1n n a S +=,且12a =-所以当1n =时, 2112a S a ==-=所以数列{}n a 从第二项开始是以22a =-,2q =为公比的等比数列所以21222n n n a --=-⨯=-而12a =-不满足上式所以122n n a --⎧=⎨-⎩12n n =≥故答案为: 122n --⎧⎨-⎩12n n =≥ 【点睛】本题考查了数列递推公式的用法,等比数列的证明及通项公式的求法,属于基础题. 7.设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 前n 项和，若10a >，且1520S S =，则当n =____时，n S 取得最大值；【答案】17或18 【分析】根据等差数列1520S S =,可求得180a =,结合10a >可判断出等差数列为递减数列,进而可得n S 取得最大值时n 的值.【详解】因为{}n a 为等差数列,且1520S S = 所以16171819200a a a a a ++++=根据等差中项的性质可得180a =因为10a >所以等差数列{}n a 为递减数列, 180a =,从第19项开始为负数所以当17n =或18n =时, n S 取得最大值故答案为:17或18【点睛】本题考查了等差数列前n 项和的性质,等差数列单调性的综合应用,等差中项的简单应用,属于中档题.8.若一个细胞团开始时有5个细胞，每次分裂前2个死去，再由剩余的每个细胞分裂成2个，则n 次分裂之后共有______个细胞. 【答案】124n -+ 【分析】设n 次分类后共有n a 个细胞,则根据题意可得递推公式()122n n a a +=-,通过构造等比数列即可求得通项公式.【详解】由题意可设n 次分类后共有n a 个细胞则第1n +次分裂后共有细胞个数为()122n n a a +=-即124n n a a +=-,且15a =对数列等式两端同时减去4,可得()1424n n a a +-=-即1424n n a a +-=-,14541a -=-= 所以数列{}4n a -是以141a -=为首项,2q =为公比的等比数列所以1412n na --=⨯,化简可得124n n a -=+即n 次分裂之后共有124n -+个细胞故答案为: 124n -+【点睛】本题考查了数列在实际问题中的应用,构造数列法求通项公式的应用,注意构造出数列的首项与公比与原数列是不同的,属于中档题.9.已知数列{}n a 满足：112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩，若167a =，则2019a =_________；【答案】37【分析】通过列举法,可以根据数列{}n a 的前几项确定数列的周期,再根据周期即可求得2019a .【详解】因为数列{}n a 中167a =,满足112,02121,12n n n nn a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩所以2165212177a a =-=⨯-= 3253212177a a =-=⨯-=43362277a a ==⨯=546521277a a =-=⨯= 所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列所以20196733337a a a ⨯=== 故答案为:37【点睛】本题考查了数列递推公式的应用,周期数列的简单应用,属于中档题.10.平面上有n 条直线，它们任何两条不平行，任何三条不共点，设k 条这样的直线把平面分成()f k 个区域，则1k +条直线把平面分成的区域数(1)()f k f k +=+____________. 【答案】1k +第1k +条直线与前k 条直线都相交，则第1k +条直线有k 个交点，被分为1k +段，每段都会把对应的平面分为两部分，则增加了1k +个平面，即()()1?1f k f k k +=++。

曹杨二中高二上期末详解(2020.1)

曹杨二中高二上期末数学试卷2020.01一、填空题1．三个平面最多把空间分成个部分．2．若线性方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解为02x y =⎧⎨=⎩，则12c c += ． 3．若行列式31227314k--中元素1-的代数余子式的值为5，则k = ．4．已知圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则圆锥的体积为． 5．已知四面体ABCD 的外接球球心在棱CD 上，且2CD =，3A B =，则外接球面上两点A 、B 间的球面距离是．6．在正方体1111A BCD A B C D -中，二面角1A BD A --的大小为． 7．若正四棱锥的底面边长为3，高为2，则这个正四棱锥的全面积为． 8．已知ABCD 是棱长为a 的正四面体，则异面直线AB 与CD 间的距离为． 9．若数列{}n a 满足112a =，212323,n n a a a na n a n *+++⋅⋅⋅+=∈N ，则20a = ． 10．某几何体的一条棱在主视图、左视图和俯视图中的长分别为1，2，3，则这条棱的长为．11．对于实数x ，用{}x 表示其小数部分，例如{1}0=，{3.14}0.14=，若1233n n n a ⎧⎫=⋅⎨⎬⎩⎭，*n ∈N ，则数列{}n a 的各项和为．12．如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，B 是SA 上一点，且10AB =公里．为了发展旅游业，要建设一条最短的从A 绕山一周到B 的观光铁路．这条铁路从A 出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为公里．二、选择题13．在学习等差数列时，我们由1121310,1,2,a a d a a d a a d =+=+=+L ，得到等差数列{}n a 的通项公式是1(1)n a a n d =+-，像这样由特殊到一般的推理方法叫做（） A ．不完全归纳法 B ．完全归纳法 C ．数学归纳法 D ．分析法14．执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（） A ．4- B ．6 C ．14 D ．1815．已知三棱锥S ABC -的底面是正三角形，且侧棱长均相等，P 是棱SA 上的点（不含端点）．记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（） A ．βγ<，αγ< B ．βα<，βγ< C ．βα<，γα< D ．αβ<，γβ<16．已知平面α与β互相垂直，α与β交于l ，m 和n 分别是平面,αβ上的直线，若m 、n 均与l 既不平行，也不垂直，则m 与n 的位置关系是（） A ．可能垂直，但不可能平行 B ．可能平行，但不可能垂直 C ．可能垂直，也可能平行 D ．既不可能垂直，也不可能平行三、解答题17．如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成，其中圆柱筒的高h 为2米，球的半径r 为0.5米．（1）求“浮球”的体积（结果精确到0.1立方米）；（2）假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元，求该“浮球”的建造费用．（结果精确到1元）18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，且2AB =，3A D =，3PA =，AD BC ∥，AB BC ⊥，45ADC ∠=︒．（1）求异面直线PC 与A D 所成角的大小；（2）求点A 到平面PCD 的距离．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*461,n n S n a n =--∈N ．（1）求证：数列{1}n a -是等比数列；（2）求当n 为何值时，n S 取最小值，并说明理由．20．如图，在三棱柱111A BC A B C -中，12A C BC A B ===，1A B ⊥平面ABC ，1A C A C ⊥，,D E 分别是11,A C B C 的中点．（1）求证：11A C B C ⊥；（2）求证：DE ∥平面11A A B B ；（3）求直线DE 与平面11BB C C 所成角的正弦值的大小．21．对于给定的正整数(4)n n ≥，设集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，记集合{|,,1}i j i j B a a a a A i j n =+∈≤≤≤．（1）若{3,0,1,2}A =-，求集合B ；（2）若12,,,n a a a ⋅⋅⋅是以1a 为首项，(0)d d >为公差的等差数列，求证：集合B 中的元素个数为21n -；（3）若12,,,n a a a ⋅⋅⋅是以13a =为首项，3q =为公比的等比数列，求集合B 中的元素个数及所有元素的和．参考答案一、填空题1．8 2．12 3．4- 4．3π 5．23π6．2 7．24 82 9．35107 11．724 12．18 【第5题解析】由题意，记外接球球心为O ，半径为R ，则112R OC OD CD ====，在AOB △中，应用余弦定理，可求出球心角23A OB π∠=，从而A 、B 间的球面距离为»23AB A OB R π=∠⋅=．【第8题解析】取AB 、CD 的中点分别为M 、N ，易证M N AB ⊥且M N CD ⊥，则M N 即为异面直线AB 与CD 间的距离，计算得2M N =．【第9题解析】记n n b na =，其前n 项和为n S ，则11111(1)(1)nnn n n n n n n S nb b n b nb b b S n b +++++=⎧⇒=+-⇒=⎨=+⎩， ∴{}n b 为常数列，112012123112205n n b b a a a n ==⋅=⇒=⇒==．【第11题解析】223133n n n ⎧⎪⎧⎫⎪=⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩为奇数为偶数，1121231333nn n n n n a n ++⎧⎪⎧⎫⎪=⋅=⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩为奇数为偶数，其奇数项和偶数项分别构成公比为211()39=的等比数列，∴其各项和为12712419a a S +==-．【第12题解析】如图，展开圆锥的侧面，过点S 作A B '的垂线，垂足为H ，记点P 为A B '上任意一点，联结PS ，¼2102AA A OA SA A OA ππ'''=∠⋅=⋅⇒∠=，由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的A B '，2250A B SA SB ''=+=，上坡即P 到山顶S 的距离PS 越来越小，下坡即P 到山顶S 的距离PS 越来越大，∴下坡段的铁路，即图中的H B ，由Rt Rt SA B H SB '△∽△，可求出18HB =．二、选择题13．A 14．B 15．B 16．D三、解答题17．（1）32.1米；（2）220元．18．（1）；（2． 19．（1）114611461n n n n S n a S n a ++=--⎧⎨=+--⎩，作差得14155n n a a +=+，∴14111455115n n n n a a a a ++--==--，对461n n S n a =--，令1n =，可求出112a =-， ∴数列{1}n a -是以13-为首项，公比为45的等比数列， ∴141135n n a -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，从而141315n n a -⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭；（2）45101log 12.513n a n <⇒<+≈，∴当12n ≤时，0n a <，当13n ≥时，0n a >， ∴当12n =时，n S 取最小值．20．（1）∵1A B ⊥平面ABC 且A C Ü平面ABC ，∴1A B A C ⊥，又1A C A C ⊥且11,A B A C Ü平面11A B C ，∴A C ⊥平面11A B C ，∴11A C B C ⊥；（2）取AB 中点M ，联结1,DM M B ，可证1EB DM ∥，∴四边形1EDM B 为平行四边形， ∴1DE M B ∥，又1M B Ü平面11A A B B ，DE ⊄平面11A A B B ，∴DE ∥平面11A A B B ；（3）∵11A C B C ⊥且11BC B C ∥，∴AC BC ⊥，后续可建立空间直角坐标系进行求解，具体过程略，直线DE 与平面11BB C C21．2019黄浦区一模21题【注】①本题答案非标准答案；②第（3）小问没有给出元素互异性证明！！！（1）{6,3,2,1,0,1,2,3,4}B =----；（2）由题意，111(1)(1)2(2)i j a a a i d a j d a i j d +=+-++-=++-，又{2,3,4,,2}i j n +∈L 且0d ≠，∴i j a a +共有21n -个不同的值，即集合B 中的元素个数为21n -；（3）i j a a +的所有不同的取值恰能得到如图的矩阵111213122232333n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++⎛⎫⎪+++⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭L L LLL ，即集合B 中的元素个数为(1)1232n n n +++++=L 个，考虑到123,,,,n a a a a L 出现的次数均相同，其结果为(1)221n n n n+⨯=+， ∴集合B 中所有元素的和为11233(13)(1)(33)(1)()(1)132n n n n n a a a a n +-+-+++++=+=-L ．。

上海市2019-2020年曹杨二中高二数学上学期周测—数列

高二数学练习（2019.9.13）一、填空题1. 设数列{}()*n a n N ∈是等差数列，若2a 和2018a 是方程24830x x -+=的两根，则数列{}n a 的前2019项的和2019S ____________2. 等差数列{}n a 中，67812a a a ++=，则该数列的前13项和13S =____________3. 在等差数列{}n a 中，110a =-，从第9项开始为正数，则公差d 的取值范围是____________4. 等比数列{}n a 中，37a =，前3项之和321S =，则公比q 的值为____________5. 已知数列{}n a 的前n 项和2281n S n n =-+，则n a =____________6. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且138,,a a a 成等比数列，则1382410a a a a a a ++++的值是____________ 7. 数列{}n a 满足()1121n n n a a n +÷-=-，则{}n a 的前60项和等于____________8. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若110m m m a a a -++-=，2138m S -=，则m=____________9. 已知整数以按如下规律排成一列：（1,1）、（1,2）、（2,1）、（1,3）、（2,2）、（3,1）、（1,4），（2,3）、（3,2）、（4,1），…，则第60个数对是____________10. 若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列，则此等比数列的公比为____________（写出一个即可）11. 数列{}n a 的前n 项和为()2*2n S n n N =∈，对任意正整数n ，数列{}n b 的项都满足等式221120n n n n n a a a b a ++-+=，则n b =____________12. 用若干个乒乓球紧密的垒成一个正三棱锥的垛，总共有10层，一共需要大小相同的乒乓球____________个二、选择题13. 已知n S 是等差数列{}()*n a n N ∈的前n 项和，且675S S S >>，有下列四个命题，假命题的是（）A. 公差d<0B. 在所有0n S <中，13S 最大C. 满足0n S >的n 的个数有11个D. 67a a > 14. 已知函数()f x 是定义在R 上的单调增函数且为奇函数，数列{}n a 是等差数列，10070a >，则()()()()()12320122013f a f a f a f a f a +++++的值（） A. 恒为正数 B. 恒为负数C. 恒为0D. 可正可负15. 下面命题中正确的是（）A. 常数数列既是等差数列又是等比数列B. 等比数列递增的充要条件为公比q>1C. 数列{}n a 的前n 项和是23n n S c =⋅+，则2c =-是{}n a 为等比数列的充要条件D. 等差数列的通项n a 是关于()*n n N ∈的一次函数16. 已知数列{}n a 是各项均为正数且公比不等于1的等比数列()*n N ∈，对于函数()y f x =，若数列(){}ln nf a 为等差数列，则称函数()f x 为“保比差数列函数”，现有定义在()0,+∞上的如下函数：①()1f x x=；②()2f x x =；③()x f x e =；④()f x =“保比差数列函数”的所有序号为（） A. ①②B. ③④C. ①②④D. ②③④三、解答题17. 已知等差数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=，{}n a 的前n 项和为n S .（1）求n a 及n S ；（2）令()*211n n b n N a =∈-，求数列{}n b 的前n 项和n T .18. 已知数列{}n a 满足()1*112,332n n n n a a a n N ++==+-∈. （1）设23nn n n a b -=，证明：数列{}n b 为等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .19. 已知递增的等差数列{}n a 的首项11a =，且1a 、2a 、4a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设数列{}n c 对任意*n N ∈，都有1212222n n n c c c a ++++=成立，求122019c c c +++的值；（3）若()*1n n na b n N a +=∈，求证：数列{}n b 中的任意一项总可以表示成其他两项之积.20. 若数列{}n b 满足：对于*n N ∈，都有2n n b b d +-=（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列，如：若41,49,n n n c n n -⎧=⎨+⎩当为奇数时当为偶数时，则{}n c 是公差为8的准等差数列. （1）求上述准等差数列{}n c 的前9项的和9T ；（2）设数列{}n a 满足：1a a =，对于n N *∈，都有12n n a a n ++=，求证：{}n a 为准等差数列，并求其通项公式；（3）设（2）中的数列{}n a 的前n 项和为n S ，试研究：是否存在实数a ，使得数列{}n S 有连续的两项都等于50，若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由.参考答案1、20192、523、510,47⎛⎤ ⎥⎝⎦4、12-或15、410,25,1n n n -≥⎧⎨-=⎩（n N *∈） 6、1316 7、1830 8、10 9、()5,7 10、12- 11、224141n n +- 12、220 13-16、CACC17、（1）21n a n =+；22n S n n =+；（2）44n nT n =+18、（1）1n b n =-，()132n n n a n =-⋅+；（2）112313244n n n ++-⋅++19、（1）n a n =；（2）4,12,2n n n c n =⎧=⎨≥⎩，202020192S =；（3）证明略。

2018-2019学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末复习(二)数学试题(解析版)

上海市曹杨第二中学高二上学期期末复习数学试题一、单选题1．下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。

其中真命题的编号是（）A.③④B.①②C.①③④D.①④【答案】D【解析】根据正三棱锥的定义，结合二面角判断①的正误；侧棱与底面所成的角判断④的正误；找出反例否定②，找出反例对选项③否定可得正确结论．【详解】解：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．可推出底面中心是棱锥顶点在底面的射影，所以是正确的．②显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥．③底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离（斜高）相等，根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影（垂足）到底面三边所在直线的距离也相等，由于在底面所在的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有4个：内心（本题的中心）1个、旁心3个，因此不能保证三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．是正确的．正确的为：①④故选：D【点睛】本题考查棱锥的结构特征，二面角及其度量，考查作图能力，是基础题．2．下列命题中，错误的是 ( )A ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B ．平行于同一平面的两个不同平面平行C ．如果平面不垂直平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D ．若直线不平行平面，则在平面内不存在与平行的直线【答案】D【解析】若直线与另外一个平面不相交，则直线与该平面平行，由此可得直线与该平面平行的平面也平行，矛盾，所以命题A 正确；命题B 显然正确；若存在有，则根据面面垂直判定可得，矛盾，所以命题C 正确；不平行于平面，则相交或。

2019-2020学年上海市中学高二期末数学试题及答案

2019-2020学年上海市中学高二期末数学试题及答案一、单选题1．已知平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,32)a b m m ==-,且平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+(,λμ为实数),则实数m 的取值范围是( ) A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】根据平面向量基本定理只需,a b 不共线即可. 【详解】由题意得,平面内的任一向量c 都可以唯一表示成c a b λμ=+(,λμ为实数),则,a b 一定不共线,所以1(32)2m m ⨯-≠⨯,解得2m ≠, 所以m 的取值范围是(,2)(2,)-∞⋃+∞. 故选：D. 【点睛】此题考查平面向量基本定理的辨析，平面内一组基底必须不共线，求解参数只需考虑根据平面向量共线的坐标运算求出参数即可得解.2．椭圆22:1169x y C +=与直线:(21)(1)74,l m x m y m m R +++=+∈的交点情况是（）A ．没有交点B ．有一个交点C ．有两个交点 D ．由m 的取值而确定【答案】C【解析】先将(21)(1)74,+++=+m x m y m 转化为：()2730x y m x y +-++-=，令30,270xy x y +-=+-=，解出直线过定点()3,1A ，再将()3,1A 代入22:1169x y C +=，判断点与椭圆的位置关系. 【详解】已知(21)(1)74,+++=+m x m y m 可转化为：()2740x y m x y +-++-= ，令+-=+-=40,270xy x y ，解得3,1x y ==，所以直线过定点()3,1A ，将()3,1A 代入22:1169x y C += 可得911169+<，所以点()3,1A 在椭圆的内部，所以直线与椭圆必相交，所以必有两个交点. 故选：C 【点睛】本题主要考查了点与椭圆，直线与椭圆的位置关系，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.3．过点(1,1)P 作直线与双曲线2212yx -=交于,A B 两点，使点P为AB 的中点，则这样的直线（）A ．存在一条，且方程为210x y --=B ．存在无数条C ．存在两条，且方程为2(1)0x y ±+=D ．不存在【答案】D【解析】分当直线的斜率不存在时，将直线方程为1x = 代入2212y x -=，得0y =，与双曲线只有一个交点，不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为()11y k x -=-代入2212y x -=，得()()222221320k x k k x k k ----+-=，分220k -=和22k -≠0两种情况讨论求解.【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为1x = 代入2212y x -=，得0y = ，与双曲线只有一个交点，不符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线方程为()11y k x -=-，代入2212y x -=，得()()222221320k x k k x k k ----+-=，当220k -=时，直线()11y x -=-与双曲线只有一个交点，不符合题意.当22k -≠0时，因为点P 为AB 的中点，由韦达定理得()1222122k k x x k-+==- ，解得2k = 而当2k =时，222[2(1)]4(2)(32)24160k k k k k k ∆=----+-=-<，所以直线与双曲线不相交. 故选：D 【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，还考查了分类讨论的思想方法，属于中档题.4．已知圆心为O ，半径为1的圆上有不同的三个点,,A B C ，其中0OA OB ⋅=，存在实数,λμ满足0OC OA uOB λ++=，则实数,λμ的关系为A ．221λμ+=B ．111λμ+= C ．1λμ= D ．1λμ+=【答案】A【解析】由题意得1OA OB OC ===，且0OA OB ⋅=.因为0OC OA uOB λ++=，即OC OA uOB λ=--.平方得：221λμ+=. 故选A.二、填空题5．直线l 的倾斜角范围是__________；【答案】0,【解析】由直线的倾斜角定义来确定. 【详解】由直线倾斜角的定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度.范围：倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°. 故答案为：0,【点睛】本题主要考查了直线倾斜角的定义及范围，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6．方程2214x y m+=表示焦点在y 轴上的椭圆，其焦点坐标是_________；【答案】(0,【解析】根据方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，确定22,4a m b ==，再由,,a b c 的关系求出c ，写出坐标即可.【详解】因为方程2214x y m +=表示焦点在y 轴上的椭圆，所以22,4a m b == ，所以c==所以焦点坐标为：(0,.故答案为：(0,.【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.7．抛物线()20y ax a =<的焦点坐标为____________.【答案】10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】将抛物线的方程化为标准方程，可得出该抛物线的焦点坐标. 【详解】抛物线的标准方程为21x y a=，因此，该抛物线的焦点坐标为10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：10,4a ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查抛物线焦点坐标的求解，解题的关键就是要将抛物线的方程表示为标准形式，考查计算能力，属于基础题. 8i -对应点的直线的倾斜角为_________；【答案】56π【解析】先利用复数的几何意义，i -对应点的坐标，直线又经过原点()0,0，根据斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】i -对应点)1- ，直线又经过原点()0,0 ，所以斜率103k ==-，所以tan α= ，又因为[0,)απ∈ ，所以56πα=.故答案为：56π.【点睛】本题主要考查了直线的斜率，倾斜角及其关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．下面四个命题：①,a b 是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数；②任何两个负数不能比较大小；③12,z z C ∈，且22120z z +=，则120z z ==；④两个共轭虚数的差为纯虚数.其中正确的序号为_________；【答案】④【解析】①采用特殊值法，当,a b 都是零时来判断.②通过负数也是实数来判断.③采用特殊值法，当121,z z i ==时来判断.④根据题意，是两个共轭虚数，则虚部不为零来判断. 【详解】当0ab 时，则()()0a b a b i -++=，不是纯虚数，故错误.②因为负数是实数，实数可以比较大小，故错误. ③当121,z z i ==时，符合12,z z C ∈，且22120z z +=，而120z z ==不成立，故错误.④因为是两个共轭虚数，所以设()0z a bi b =+≠ ，其共轭复数是()0za bib =-≠，则()20z z bi b -=≠所以是纯虚数，故正确. 故答案为：④ 【点睛】本题主要考查了复数的概念，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.10．已知点A 为双曲线221x y -=的左顶点，点B 和点在C 双曲线的右支上，ABC ∆是等边三角形，则ABC ∆的面积为_________；【答案】【解析】根据题意得()1,0A -，再根据双曲线和等边三角形的对称性，得到AB k =AB 的方程，求出点(B ，从而可求ABC ∆的面积. 【详解】由题意得，()1,0A - ，因为点B 和C 在双曲线的右分支上，ABC ∆是等边三角形，根据对称性得，AB k =，所以直线AB 的方程是)1y x =+ ，代入双曲线方程，得220x x --= ，解得2x = 或1x =- （舍去），所以(B ，所以1233332∆ABCS .故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和三角形面积的计算，还考查了分析解决问题的能力，属于基础题.11．直线l 经过点()2,1P -，且点()1,2--A 到l 的距离为1，则直线l 的方程为______．【答案】2x =-或4350x y ++=【解析】当直线l 斜率存在时，设出点斜式并利用点到直线的距离公式算出l 的方程为4350x y ++=；当直线与x 轴垂直时，l 方程为2x =-也符合题意．由此即可得到此直线l 的方程．【详解】设直线l 的方程为()12y k x -=+，即210kx y k -++= ∵点()1,2--A 到l 的距离为1，1=，解之得43k =-，得l 的方程为4350x y ++=．当直线与x 轴垂直时，方程为2x =-，点()1,2--A 到l 的距离为1，∴直线l 的方程为2x =-或4350x y ++=．故答案为：2x =-或4350x y ++= 【点睛】本题主要考查求经过定点，且到定点的距离等于定长的直线l 方程，着重考查了直线的方程、点到直线的距离公式等知识，属于基础题． 12．直线2y k =与曲线2222918(,0)k x y k x k R k +=∈≠的公共点的个数为_________；【答案】4个【解析】将直线方程2y k =与曲线方程2222918+=k x y k x联立得，291840xx -+= ，根据方程根的个数来判断.【详解】将直线方程2y k =与曲线方程2222918+=kx y k x 联立得，291840x x -+=，解得13x =-或13x =+，所以13x=-或13x =-或13x =+或13x=--，故直线与曲线的公共点有4个. 故答案为：4 【点睛】本题主要考查了直线与曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13．当实数,a b 变化时，两直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=与22:20l m x y n ++=都通过一个定点，则点(,)m n 所在曲线的方程为_________；【答案】226n m =-【解析】将(2)()()0++++-=a b x a b y a b 变形为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ，令210x y ++=且10x y +-=，求得定点坐标，再代入直线2l 的方程求解. 【详解】因为()()(2)()()2110++++-=++++-=a b x a b y a b x y a x y b ，对任意的实数,a b 都成立，所以21010x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，解得23x y =-⎧⎨=⎩，所以直线1:(2)()()0l a b x a b y a b ++++-=过定点()2,3-，因为 2l 也通过定点()2,3-，将()2,3-代入220++=m x y n ，得226n m =-. 故答案为：226n m =- 【点睛】本题主要考查了直线系及其应用，还考查了分析，解决问题的能力，属于基础题.14．动点P 到点(1,0)F -的距离比到它到y 轴的距离大1，动点P 的轨迹方程是_________；【答案】20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩【解析】设(),P x y 1x =+，两边平方化简，再去绝对值求解. 【详解】设(),P x y ，1x =+，两边平方化简整理得222y x x=- ，当0x > 时，20y =，当0x ≤ 时，24y x =-，综上：20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩.故答案为：20,04,0x y x x >⎧=⎨-≤⎩【点睛】本题主要考查了动点轨迹方程的求解，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．椭圆2214x y +=的一个焦点是F ，动点P 是椭圆上的点，以线段PF 为直径的圆始终与一定圆相切，则定圆的方程是_________；【答案】224x y +=【解析】先设1F 是椭圆的另一个焦点，M 是线段PF 的中点，根据三角形的中位线及椭圆的定义可得1111||||(2||)||222MO PF a PF a PF ==-=- ，再根据两圆的位置关系得到结论. 【详解】设1F 是椭圆的另一个焦点，M是线段PF 的中点，根据题意得，1111||||(2||)||222MO PF a PF a PF ==-=-，即以长轴长为直径的圆与以线段PF 为直径的圆相内切，所以定圆的圆心是()0,0O ，半径r a 2== ，所以定圆的方程为224x y +=，故答案为：224x y += 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及两圆的位置关系，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题. 16．若实数x 、y 满足42x y x y -=-，则x 的取值范围是______.【答案】{}0[4,20]⋃ 【解析】【详解】令(),0y a x y b a b =-=≥、，此时，()22x y x y a b =+-=+，且题设等式化为2242a b a b +-=. 于是，a b 、满足方程()()()222150a b a b -+-=≥、.如图，在aOb 平面内，点(),a b 的轨迹是以()1,2D 为圆心、5为半径的圆在0a b ≥、的部分，即点O 与弧ACB 并集. 故{}2202,25a b ⎡⎤+∈⋃⎣⎦.从而，{}[]2204,20x ab =+∈⋃.三、解答题17．已知x ∈R ，设22log (3)log (3)z x i x =++-，当x 为何值时：（1）在复平面上z 对应的点在第二象限？（2）在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上. 【答案】（1）32x -<<-；（2）5x =【解析】（1）由复平面上z 对应的点在第二象限，根据复数的几何意义，则有22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩求解.（2）由复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上.，则复数对应点的坐标()22log (3),log (3)+-x x 在直线上，代入直线方程求解即可. 【详解】（1）因为复平面上z 对应的点在第二象限，所以22log (3)0log (3)0x x +<⎧⎨->⎩，所以03131x x <+<⎧⎨->⎩，解得32x -<<-.（2）因为在复平面上z 对应的点在直线20x y +-=上，所以22log (3)(3)l 4og +-=x x ，所以3030(3)(3)4x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+-=⎩，解得x =.【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及对数方程和对数不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．已知直线与抛物线交于两点.（1）求证：若直线l 过抛物线的焦点，则212y y p ⋅=-；（2）写出（1）的逆命题，判断真假，并证明你的判断. 【答案】（1）证明见解析；（2）逆命题：若212y y p =-，则直线过抛物线的焦点；真命题.见解析【解析】（1）不妨设抛物线方程为22y px = ，则焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，当直线的斜率不存在时，直线方程为2px =代入22y px =，验证.当直线的斜率存在时，设直线方程为()2py k x =- 代入22y px =，得2220ky py kp --=，再由韦达定理验证.（2）逆命题：直线l 过抛物线的焦点. 是真命题.证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为(),0xm m =>代入22y px =，解得12y y == ，再由212y y p ⋅=-，求解.当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+ 代入22y px =，得2220ky py pb -+= ，由韦达定理得122pby y k⋅=再由212y y p ⋅=-，求得k 与b 的关系现求解.【详解】（1）设抛物线方程为22y px = ，则焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，两个交点()()1122,,,A x y B x y ，当直线的斜率不存在时，直线方程为2px =，代入22y px =，得1,2y p y p==- ，所以212y y p ⋅=-.当直线的斜率存在时，设直线方程为()2py k x =-，代入22y px =，得2220ky py kp --= ，由韦达定理得 212y y p ⋅=-.所以若直线l 过抛物线的焦点时，则212y y p ⋅=-.（2）逆命题：若212y y p ⋅=-，则直线l 过抛物线的焦点. 是真命题证明：当直线的斜率不存在时，设直线方程为(),0x m m =>代入22y px =得12y y ==因为212y y p ⋅=-，所以22p -=-，解得2pm =，所以直线过抛物线的焦点.当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx b =+，代入22y px =，得2220ky py pb -+=，由韦达定理得122pby y k⋅=，又因为212y y p ⋅=-，所以2pkb =-，所以直线的方程2p y kx b k x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以直线过定点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭即直线过抛物线的焦点. 【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．（1）若圆C 的方程是222x y r +=，求证：过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为200x x y y r +=.（2）若圆C 的方程是222()()x a y b r -+-=，则过圆C 上一点00(,)M x y 的切线方程为_______，并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析；（2）200()()()()x a x a y b y b r --+--=；证明见解析；【解析】（1）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PM x x y y CM x y =--=，再由点00(,)M x y 为圆上的切点，则有PM CM⊥ ，即有0PM CM ⋅=求解即可.（2）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PM x x y y CM x a y b =--=--由点00(,)M x y 为圆上的切点，则有PM CM⊥ ，即有0PM CM ⋅=求解即可.【详解】（1）设(),P x y 为切线上任一点，有()()0000,,,PMx x y y CM x y =--= ，因为PM CM⊥ ，所以0PM CM ⋅= ，即()()0000,,0x x y y x y --⋅=，又点00(,)M x y 在圆上，所以22200+=x y r 整理得200x x y y r +=.（2）设(),P x y 为切线上任一点，则()()0000,,,PMx x y y CM x a y b =--=--，因为PMCM⊥ ，所以0PM CM ⋅= ，即()()0000,,0x x y y x a y b --⋅--=，又点00(,)M x y 在圆上，所以22200()()-+-=xa yb r .整理得200()()()()x a x a y b y b r --+--=. 【点睛】本题主要考查了圆的切线方程问题，还考查推理论证的能力，属于中档题.20．已知双曲线2212x y -=的两焦点为12,F F ，P 为动点，若124PF PF +=.（1）求动点P 的轨迹E 方程；（2）若12(2,0),(2,0)(1,0)A A M -，设直线l 过点M ，且与轨迹E 交于R Q 、两点，直线1A R 与2A Q 交于S 点.试问：当直线l 在变化时，点S 是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）是，4x =【解析】（1）根据124PF PF +=，且124F F >，由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹是以12,F F 为焦点的椭圆，再求出,a b ，写出方程.（2）先设直线的方程为1x my =+，如果存在，则对任意m 都成立，首先取特殊情况，当0m =时，探究出该直线为:4l x =，再通过一般性的证明即可. 【详解】（1）双曲线2212x y -=的两焦点为())12,F F ，设动点P (),x y ，因为124PF PF +=，且124F F > ，所以动点P 的轨迹E 是以12,F F 为焦点的椭圆.因为22,1ac b ===，所以的轨迹E 方程；2214x y +=.（2）由题意设直线的方程为1x my =+，取0m =，得,1,22R Q ⎛⎛- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线1A R的方程是63y x =+，直线2A Q的方程是2y x =-交点为(1S .若1,,R Q ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，由对称性可知：交点为(24,S .若点S 在同一条直线上，则该直线只能为:4l x =. 以下证明对任意的m ，直线1A R 与2A Q 交点S 均在直线:4l x =上.由22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()224230m y my ++-= ，设()()1122,,,R x y Q x y ，由韦达定理得：12122223,44m y y y y m m +=-⋅=-++ 设直线1A R 与l 交点为()004,s y ，由011422y y x =++ ，得10162y y x =+.设直线1A R 与l 交点为()004,s y '' ，由022422y y x '=-- ，得20222y y x '=-，因为()()()12121200121246622222my y y y y y y y x x x x -+'-=-=+-+-，()()2212121244022m m m m x x ---++==+- .所以()004,s y 与()004,s y ''重合.所以当直线l 在变化时，点S 恒在直线:4l x =上. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，还考查了特殊与一般的思想，运算求解的能力，属于难题. 21．已知椭圆E 两焦点12(1,0),(1,0)F F -，并经过点. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设,M N 为椭圆E 上关于x 轴对称的不同两点，12(,0),(,0)A x B x 为x 轴上两点，且122x x =，证明：直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上；（3）你能否将（2）推广到一般椭圆中？写出你的结论即可.【答案】（1）2212x y +=；（2）证明见解析；（3）若椭圆22221x y a b +=，若212x x a =，则直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上；【解析】（1）已知焦点12(1,0),(1,0)F F -，利用椭圆的定义，求得椭圆的长轴长，再求得2b ，写出方程即可.（2）设()(),,,M m n N m n -，得到直线AM 的方程为()11n y xx m x =--，直线BN的方程为()22n y x x X m=--，设设交点()00,P x y ，分别代入直线AM ，BN 的方程得()0100yn x my nx -=- ，()0200y n x my nx +=+，两式化简得到220022x y +=，说明交点在椭圆上.（3）根据（2）的论证过程，推知规律是212x x a =. 【详解】根据题意，椭圆的长轴长：2a =+，解得22a = ，又2211b a =-=，所以椭圆的方程是2212x y +=.（2）设()(),,,M m n N m n - ，则直线AM 的方程为()11n y x x m x =--①，直线BN的方程为()22ny xx X m=--②设交点()00,P x y ，代入①②得()0100y n x my nx -=-③，()0200yn x my nx +=+④，③与④两边分别相乘得()22222201200yn x x m y n x -=-，又因为2212m n +=，122x x =，所以220022x y +=，所以直线,AM NB 的交点P 的坐标适合椭圆的方程，所以直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上.（3）若椭圆22221x y a b +=，若212x x a =，则直线,AM NB 的交点P 仍在椭圆E 上；【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，以及点与椭圆的位置关系，还考查了推理论证，运算求解的能力，属于难题.。

2019-2020学年上海市第二中学高二上学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年上海市第二中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．设()()224522z t t t t i =-++++⋅，其中t ∈R ，则下列命题中正确的是（） A ．复数z 可能为纯虚数 B ．复数z 可能是实数C ．复数z 在复平面上对应的点在第一象限D ．复数z 在复平面上对应的点在第四象限【答案】C【分析】根据复数的实部和虚部的符号可确定复数z 在复平面上对应的点的特征，从而可得正确的选项.【详解】因为()2245210t t t -+=-+>，()2222110t t t ++=++>，故ABD 均错误，C 正确. 故选：C.2．已知曲线C 的方程是(),0F x y =，则下列命题中错误的是（） A ．不在曲线C 上的点的坐标可以满足方程(),0F x y = B ．曲线C 上的点的坐标都满足方程(),0F x y = C ．坐标不满足方程(),0F x y =的点都不在曲线C 上 D ．不在曲线C 上的点的坐标都不满足方程(),0F x y = 【答案】A【分析】根据曲线与方程的定义和关系进行判断即可.【详解】满足方程是(),0F x y =的解对应点都在曲线C 上, 曲线C 上的点的坐标都满足方程，则曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程，则不在曲线C 上的点的坐标不可能满足方程 0(),F x y =，故A 错误. 故选：A.340y +-=和圆()2cos 022sin 1x y ϕϕπϕ=⎧≤<⎨=+⎩的位置关系为（）A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离【答案】B【分析】化为圆的标准方程，结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由题意，圆()2cos 022sin 1x y ϕϕπϕ=⎧≤<⎨=+⎩，消去参数，可得22(1)4x y +-=，则圆心坐标为(0,1)，半径为2r，又由圆心到直线340x y +-=的距离为221432(3)1d -==+，可得d r <，又由圆心不适合直线340x y +-=方程，所以直线与圆相交但不过圆心. 故选：B.4．如图，圆C 分别与x 轴正半轴，y 轴正半轴相切于点,A B ，过劣弧AB 上一点T 作圆C 的切线，分别交x 轴正半轴，y 轴正半轴于点,M N ，若点(2,1)Q 是切线上一点，则MON ∆周长的最小值为------------------------------------------------------------------A ．10B ．8C ．45D ．12【答案】A【详解】由题意，可设切线的斜率为k （k 必存在），圆C 的半径为r ，则切线的方程为()1200kx y k x r -+-=≤≤，2121kr r kr k-+-=+，()12y k x -=-，则点,M N的坐标分别为21,0k k -⎛⎫⎪⎝⎭，()012k -，，且210120k k k -⎧>⎪⎨⎪->⎩，，即0k <，所以MON C ∆=二、填空题5．i是虚数单位，1212ii+-的虚部是_______________．【答案】4 5【分析】根据复数的除法运算，化简12341255iii+=-+-，结合复数的概念，即可求解.【详解】由题意，复数()()()()1212123434 121212555i ii iii i i+++-+===-+--+，可得复数1212ii+-的虚部是45.故答案为：4 5 .6．复数21zi=-（i为虚数单位）的共轭复数是________．【答案】1i-【详解】复数21zi=-()()()21111iii i+==+-+,其共轭复数为1z i=-,故填1i-.7．双曲线2214xy-=的渐近线方程________．【答案】12 y x =±【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【详解】∵双曲线2214xy-=的a=2，b=1，焦点在x轴上而双曲线22221x ya b-=的渐近线方程为y=±bxa∴双曲线2214xy-=的渐近线方程为y=±12x故答案为y=±1 2 x【点睛】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想8．设P是椭圆22153x y+=上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为_________.【答案】【分析】由椭圆方程求出a ，再根据椭圆的定义可求得结果.【详解】由22153x y +=得25a =，所以a =由椭圆的定义可得P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a =.故答案为：9．抛物线2x y =的准线方程为_______. 【答案】14y =-【分析】由抛物线方程求出11224p p =⇒=，判断焦点位置，从而可得答案. 【详解】因为抛物线方程为2x y =，所以11224p p =⇒=，又因为抛物线焦点在y 轴上，所以抛物线2x y =的准线方程为14y =-，故答案为：14y =-. 【点睛】本题主要考查由抛物线方程求准线方程，属于基础题. 10．已知复数z 满足()117i z i +=-（i 是虚数单位），则z = ．【答案】5【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【详解】由（1+i ）z=1﹣7i ，得()()()()1711768341112i i i iz i i i i -----====--++-，则5=．故答案为5．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．11．已知双曲线22:145x y C ，则以双曲线C 的中心为顶点，以双曲线C 的右焦点为焦点的抛物线方程为_______________．【答案】212y x =【分析】先求解出双曲线的右焦点坐标，然后设抛物线方程22(0)y px p =>，根据抛物线的焦点列式求解p .【详解】由双曲线的方程可得，双曲线的右焦点坐标为(3,0)，因为抛物线以双曲线C 的右焦点为焦点，所以设抛物线方程为22(0)y px p =>，由32p ，得6p ，所以抛物线方程为212y x =. 故答案为：212y x =.12．已知直线l 过点()1,2且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_______________．【答案】()1,0【分析】根据截得线段长可求a ，从而可求焦点坐标.【详解】在抛物线24y ax =的方程中令1x =，则y =±4=，故1a =，所以抛物线的方程为：24y x =，故其焦点坐标为：()1,0.故答案为：()1,0.13．如果双曲线22145x y -=右支上一点P 到双曲线右焦点的距离是1，那么点P 到y 轴的距离是_______________．【答案】2【分析】由题意可知点P 为双曲线的右顶点，由此可求得点P 到y 轴的距离.【详解】在双曲线22145x y -=中，2a =，b =3c ==，所以，双曲线22145x y -=的右焦点为()3,0F ，而双曲线22145x y -=的右顶点到F 的距离为1，则()2,0P ，因此，点P 到y 轴的距离是2. 故答案为：2.14．设椭圆22162x y +=和双曲线2221x y a-=的公共焦点为1F 、2F ，P 是两曲线的一个公共点，则12F F P S =△_______________．【答案】2【分析】利用已知条件求出a ，运用椭圆和双曲线的定义，求解三角形的边长，然后求解三角形的面积．【详解】椭圆22162x y +=的焦点坐标(20)，双曲线2221x y a-=的焦点坐标(20)，所以3a =，设1||AF m =，2||AF n =，不妨P 在第一象限，由椭圆的定义可得26m n +=，① 由双曲线的定义可得23m n -=，② 由①、②，可得63m =+，63n =-，1263626362161cos 32(63)(63)F PF ++++--∠==+-，所以1222sin F PF ∠=．所以三角形的面积为：121122sin (63)(63)222mn F PF ∠=⨯+-⨯=．故答案为：2．【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用好椭圆与双曲线的定义，然后把问题转化为解三角形问题.15．定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝______________．【答案】94【详解】试题分析：由新定义可知，直线与曲线相离，圆的圆心到直线的距离为，此时直线与圆相离，根据新定义可知，曲线到直线的距离为，对函数求导得，令，故曲线在处的切线方程为，即，于是曲线到直线的距离为，则有，解得或，当时，直线与曲线相交，不合乎题意；当时，直线与曲线相离，合乎题意.综上所述，.【解析】1.新定义；2.直线与曲线的位置关系16．若a ∈R ，直线1:30l x ay a +-=与2:40l ax y a --=交于点P ，点P 的轨迹C 与x 、y 轴分别相交于A 、B 两点，O 为坐标原点（A 、B 异于原点O ），则满足PA PB OA OB -=-的位于第一象限内的点P 坐标为_______________．【答案】7296,2525⎛⎫⎪⎝⎭【分析】分别求得直线1l 过定点(0,3)M ，直线1l 过定点(4,0)N ，且12l l ⊥，根据MP NP ⊥，求得点P 的轨迹方程22325(2)()24x y -+-=，得到(4,0),(0,3)A B ，联立方程组，求得4PA =，再结合两点间的距离公式和圆的方程，联立方程组，即可求得点P 的坐标.【详解】由题意，将直线1:30l x ay a +-=变形为(3)0x a y +-=，由030x y =⎧⎨-=⎩，解得03x y =⎧⎨=⎩，即直线1l 过定点(0,3)M ，同理可得直线1l 过定点(4,0)N ，且12l l ⊥，设点P 的坐标为(,)x y ，则MP NP ⊥，由(,3),(4,)MP x y NP x y =-=-，可得(,3)(4,)(4)(3)0MP NP x y x y x x y y ⋅=-⋅-=-+-=，整理得22325(2)()24x y -+-=，令0y =，可得4x =，令0x =，可得3y =，即(4,0),(0,3)A B , 所以AB 时点P 的轨迹圆的一条直径，则90APB ∠=，由勾股定理，可得2225PA PB +=，联立方程组22125PA PB OA OB PA PB ⎧-=-=⎪⎨+=⎪⎩ ，解得4,3PA PB ==，由于点P 在第一象限，则0,0x y >>，由两点间的距离公式，可得222(4)16PA x y =-+=，联立方程组()()22224163252240,0x y x y x y ⎧-+=⎪⎪⎛⎫-+-=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪>>⎩，解得7296,2525x y ==，即点P 的坐标为7296(,)2525. 故答案为：7296(,)2525.【点睛】方法点睛：本题解答的关键在于找出直线所过的顶点，以及垂直条件，求得点P 的轨迹方程，以及结合题设条件联立方程组进行求解.三、解答题17．若z 是关于x 的方程2x x 50++=的一个虚根，求z 的值．【分析】先设复数(),,z a bi a b R =+∈，根据实系数一元二次方程有虚根的情况及系数关系判断5z z ⋅=，得到22a b +，再计算z =即可【详解】设复数(),,z a bi a b R =+∈，因为z 是关于x 的方程2x x 50++=的一个虚根，所以其共轭复数z a bi =-也是该方程的根，根据两根之积5z z ⋅=，可知225a b +=，故z ==18．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，准线为l ，P 为抛物线C 上一点，PA l ⊥，A 为垂足．（1）求抛物线C 的方程及准线l 的方程；（2）若直线AF 的斜率k =PF 的长．【答案】（1）2:4C y x =，:1l x =-；（2）4．【分析】（1）由抛物线的焦点坐标可求得p 的值，可得出抛物线C 的方程，进而可求得抛物线C 的准线l 的方程；（2）利用斜率公式求出点A 的坐标，由PA l ⊥以及点P 在抛物线C 上可求得点P 的坐标，利用抛物线的定义可求得线段PF 的长．【详解】（1）由于抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，则12p=，可得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =，该抛物线的准线l 的方程为1x =-；（2）设点()1,A t -，则2tk ==-，可得t =，即点(1,A -，设点()00,P x y ，PA l ⊥，则0y =，20034y x ∴==，即点(3,P ，因此，014PF x =+=.【点睛】关键点点睛：本题考查利用抛物线的定义求焦半径，解题的关键就是求出点P 的坐标，注意到PA l ⊥，可以通过点A 与点P 之间的关系来求解. 19．已知点()3,1在双曲线()222:0C x y aa -=>上．（1）求正数a 的值；（2）求双曲线C 上的动点P 到定点()8,0A 的距离的最小值．【答案】（1）（2）【分析】（1）把点()3,1代入双曲线的方程，直接求出a 的值；（2）设点()00,P x y ，由两点的距离公式表示出2PA ，然后化简得关于0x 的二次函数，利用二次函数的性质求解最小值.【详解】（1）由题意，将点()3,1代入双曲线方程得，222318-==a ，又0a >，所以a =（2）由（1）知，228x y -=，设点()00,P x y ，则22008-=x y ，且0≤-x 或0x ≥则()()22222220000000888216562(4)+24=-+=-+-=-+=-PA x y x x x x x ，所以当04x =时，2PA 取得最小值为24，所以PA 的最小值为20．设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||DM m DA =（0m >且1m ≠），当点A 在单位圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标．【答案】（1）2221y x m+=（0m >且1m ≠）；（2）当01m <<时，曲线C 是焦点在x轴上的椭圆，两焦点分别为()，)；当1m 时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,，(．【分析】（1）首先设出点M 和点A 的坐标，利用||||DM m DA =，确定点M 和点A 坐标之间的关系，再利用点A 在单位圆221x y +=上运动，即可求得曲线C 的方程；（2）根据（1）中曲线C 的方程，分别分析01m <<和1m 两种情况下曲线C 为何种圆锥曲线，再根据曲线的方程求出焦点坐标. 【详解】（1）设00(,),(,)M x y A x y ，因为点M 和点A 满足||||DM m DA =（0m >且1m ≠），所以00,==x x y m y ①，又因为点A 在单位圆221x y +=上，所以22001x y +=②，将①代入②可得曲线C 的方程为2221y x m+=（0m >且1m ≠）；（2）因为0m >且1m ≠，所以当01m <<时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，两焦点分别为()，)；当1m 时，曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，两焦点坐标分别为(0,，(．【点睛】关于动点轨迹方程的求解，一般比较常用的方法是定义法、代入法以及相关点法，关于定义法需要掌握几种曲线的定义表示并判断题干条件符合哪个曲线的定义；代入法则直接代入计算，但需要注意定义域；相关点法的应用则需要寻找不同动点之间的关系列式，然后写出轨迹方程.21．已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，点()0,B b ，过点B 且与2BF 垂直的直线交x 轴负半轴于点D ,112DF F F = (1)求证:b =； (2)若过2,,B D F 三点的圆与直线:0l x y +=相交于,E F 两点,且EF =求Γ的方程；(3)若2a ，=过2F 且不与坐标轴垂直的直线与Γ交于,P Q 两点,点M 是点P 关于x 轴的对称点,在x 轴上是否存在一个定点N ,使得,,M Q N 三点共线?若存在,求出点N 的坐标；若不存在,请说明理由．【答案】(1)见解析；(2) 22186x y +；(3)存在，(4,0)N【分析】(1)根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边一半得到答案.(2) 过2,,B D F 三点的圆，半径为2c ，圆心(,0)c -，圆心到直线0x y +=的距离为：d =，再根据垂径定理得到答案. (3) 设直线为：1x ky =+ 112211(,),(,),(,)P x y Q x y M x y -，联立方程，根据韦达定理得到：122122634934k y y k y y k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，直线MQ l ：212221()y y y x x y x x +=-+-，取0y =化简得到答案.【详解】(1)在2Rt BDF ∆中，112DF F F =，1F 是2DF 中点，故1212BF DF =14222a c c b =⨯=∴= (2) 过2,,B D F 三点的圆，半径为2c ，圆心(,0)c -圆心到直线0x y +=的距离为：d =根据垂径定理得到：222(2)c=+解得：c=根据（1）知：a b==Γ的方程为：22186x y+(3) 存在定点，(4,0)N22143x y+=，2(1,0)F，设直线为：1x ky=+112211(,),(,),(,)P x y Q x y M x y-221431x yx ky⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得到：22(34)690k y ky++-=, 2F在椭圆内，一定有两个交点.故122122634934ky yky yk-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩直线MQl：212221()y yy x x yx x+=-+-取0y=得到222121212212 2222212121()11 x x k y y ky ky y ky ky yx y x y kyy y y y y y---+++=-+=-++=+ +++12212181146ky y ky y k-=+=+=+-故存在定点(4,0)N【点睛】本题考查了椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，定点问题，综合性大，技巧性强，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。

上海市上海中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题

上海中学高二上期末数学试卷2020.01一、填空题1. 若复数()1231i z i +=-，则z =______.2. 抛物线2y x =的准线方程是______.3. 椭圆2236x y +=的焦距是______.4. 已知复数a ，b 满足集合{}{}2,,1a b a b -=+，则ab =______.5. 计算：239123410i i i i ++++⋅⋅⋅+=______.6. 已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，则PQ 的取值范围是______.7. 已知P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若点P 到直线2y x =+的距离大于m 恒成立，则实数m 的取值范围是______.8. 平面上一台机器人在运行中始终保持到点()2,0P -的距离比到点()2,0Q 的距离大2，若机器人接触不．．．到．过点)M 且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是______.9. 1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，P 为椭圆C 上一点，且1260F PF ∠=︒，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则椭圆的离心率是______.10. 已知一族双曲线n E ：()22*,20192019nx y n N n -=∈≤，设直线2x =与n E 在第一象限内的交点为n A ，n A 在n E 的两条渐近线上的射影分别是n B ，n C ，记n n n A B C ∆的面积是n a ，则122019a a a ++⋅⋅⋅+=______. 11. 已知点()0,1P ，椭圆()2214x y m m +=>上两点A ，B 满足2AP PB =u u u r u u u r ，当m =______时，点B 横坐标的绝对值最大.12. 已知椭圆C ：)222106x y m m+=>>左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴的两个端点分别为1B ，2B ，点P 在椭圆C 上，且满足1212PF PF PB PB +=+，当m 变化时，给出下列四个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在m 使得椭圆C 上满足条件的点P 仅有两个；③OP 的最小值为2；④OP ，其中正确命题的序号是______.二、选择题13. “1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的（）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既非充分又非必要14. 双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则此双曲线的离心率是（）A. B.C.2D.215. 给出下列四个命题：①若复数1z ，2z 满足120z z -=，则12z z =；②若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=；③若复数z 满足22z z =-，则z 是纯虚数；④若复数z 满足z z =，则z 是实数，其中真命题的个数是（） A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16. 已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，且2OA OB ⋅=u u u r u u u r（其中O 是坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆的面积之和的最小值是（）A. 2B. 3C.D.三、解答题17. 已知复数z 满足2274z z i -=+，求z .18. 已知复数()221iz i m i =++-（其中i 是虚数单位，m R ∈）. （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值；（2）求1z -的取值范围.19. 假定一个弹珠（设为质点P ，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径1R =）的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知椭圆的右端点A 到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点B 到小球表面最近的距离是5..（1）求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；（2）弹珠由点A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心O发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求k 的取值范围，使弹珠和小球不会．．发生碰撞. 20. 已知曲线C的参数方程是2412x t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（参数t R ∈）. （1）曲线C 的普通方程；（2）过点()2,1A 的直线与该曲线交于P ，Q 两点，求线段PQ 中点M 的轨迹方程. 21. 由半圆()2210x y y +=≤和部分抛物线()()210,0y a x y a =-≥>合成的曲线C 称为“羽毛球形线”，且曲线C 经过点()2,3M .（1）求a 的值；（2）设()1,0A ，()1,0B -，过A 且斜率为k 的直线与“羽毛球形线”相交于P ，Q ，Q 三点，是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.22. 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,1N -，直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，与圆2223x y +=相切与点T . （1）求椭圆C 的方程；（2）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=u u u r u u u r（O 是坐标原点），求实数λ的取值范围；（3）线段AT BT ⋅是否为定值，如果是，求AT BT ⋅的值；如果不是，求AT BT ⋅的取值范围.参考答案一、填空题1.2. 14x =-3. 44. 15. 56i +6. [)4,+∞7. (-∞8.9.310. 5052 11. 5 12. ①③【第9题解析】设1F 关于12F PF ∠平分线的对称点为'1F ，由题意及椭圆对称性，可知'11F PF ∆为等边三角形，'1PF x ⊥轴且经过2F ，∵122F F c =，∴122c PF PF a a +==⇒=. 【第10题解析】设()(),0n n n n A x y y >，其中222019n n nx y -=， n E 为等轴双曲线，其渐近线方程为y x =±，∴2n n n B A C π∠=，∴1122n n n n n a A B A C =⋅⋅=2248076n n x y n -==， ∴12201912201950580762a a a ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==. 【第11题解析】设直线AB 的方程为()1x t y =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r ，知122x x =-，()()()2222214844044x t y t x tx m t x y m⎧=-⇒+++-=⎨+=⎩， ∴()()122222222212222288444422244t t x x x x t t m t m t x x x x t t ⎧⎧+=-=-=⎪⎪++⎪⎪⇒⎨⎨--⎪⎪=-==⎪⎪++⎩⎩，①当0t =时，1m =，20x =； ②当0t ≠时，()()222222222264324414m t t xt t m t-==⇒+=+-+()236411mt m m -⇒=≠-，此时()()2222364222213241mm m tm x t m ----==+-()22516109444m m m --+-+-==≤，当5m =时，2x 取得最大值2；综上，5m =.【第12题解析】由题意，点P 为椭圆C ：22216x y m +=与椭圆Γ：222166y x m+=-的交点（共4个），①正确；②错误；点P 靠近坐标轴时（0m →或m →OP 越大，点P 远离坐标轴时，OP 越小，易得23m =时，取得最小值，此时C ：22163x y +=，Γ：22163y x +=，两方程相加得222222x y +=⇒=，即OP 的最小值为2，③正确；椭圆上的点到中心的距离小于等于a ，由于点P不在坐标轴上，∴OP <.二、选择题 13-16：BCBB【第15题解析】①④正确，②可利用向量理解，设1z 、2z 在复平面上对应点1Z 、2Z ，则120OZ OZ ⋅=u u u u r u u u u r，反例可以是11z =，2z i =；③的反例0z =. 【第16题解析】1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ()120,0y y ><，其中211x y =，222x y =， 121212222OA OB x x y y y y ⋅=⇒+=⇒=-u u u r u u u r，()21122212121*********1ABO yy S y y y y y y y y ∆==-=-，21111111012481AFO y y S y ∆==， ∴112199288ABO AFO y y S S y y ∆∆+=-=+3≥=. 三、解答题17. 32z i =+或12z i =-+.18. ()()211z m m i =++-，（1）12m =-；（2）1z -=5=≥. 19.（1）由题意，2462a c a C a c c ⎧-==⎧⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩：2211612x y +=；（2）设()(),,0P x y x y >，联立2211612x y +=与2213x y +=，可求出()2,3P ，设直线方程为()32y k x -=-，即()320kx y k -+-=，弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心()2,0到直线()32kx y k -+-的距离大于圆半径1，1>，解得(k ∈-.20.（1）2212y x -=；（2）点差法：设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),M x y ，其中122x x x +=，122y y y +=，()()2211121222221212y x x x x x y x ⎧-=⎪⎪⇒-+⎨⎪-=⎪⎩()()121212122PQ y y y y y y k x x -+-=⇒=-()121222x x x y y y +==+， 12MA y k x -=-，由PQ MA k k =，可得M 的轨迹方程为22240x x y y --+=. 21.（1）1a =.（2）由题意得PQ 方程为()1y k x =-，代入21y x =-得：210x kx k -+-=，所以1x =或1x k =-，所以点Q 的坐标为()21,2k k k --.PQ 方程()1y k x =-代入221x y +=得()22221210k x k x k +-+-=，所以1x =或2211k x k -=+，所以点P 的坐标为22212,11k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 因为QBA PBA ∠=∠，所以BPBQ k k =-，即2222221111k k k k k kk --+=--++，即2210kk --=，解得1k =（负值舍去）.因此存在实数1k =，使QBA PBA ∠=∠. 22. 椭圆的内准圆（1）2212x y +=；（2）由直线l 与圆2223x y +=3=，即223220m k --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Q x y ，()2222222124220x y k x kmx m y kx m ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩12221224122212km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⇒⎨-⎪=⎪+⎩()121222212my y k x x m k ⇒+=++=+，由向量的平行四边形法则，知OP OA OB OQ λ=+=u u u r u u u r u u u r u u u r且0λ≠. （0λ=，即0m =时，A ，B 关于原点对称，无法构成平行四边形OAPB ）∴()()1202012002412212km x x x x k y y m y y k λλλλ⎧-⎧+=⎪⎪=+⎪⎪⇒⎨⎨+⎪⎪==⎪⎪+⎩⎩， ∵点Q 在椭圆上，∴()()222242221212km m k k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，化简得()222412m k λ=+① 由223220m k --=，得22232k m =-，代入①式，得2222441313m m m λ==--，由2320m -≥，得223m ≥，∴224483313m m <≤-，即24833λ<≤② 又0∆>，得2212k m +>③，由①③，得2224m m λ>，∵0m ≠，∴204λ<<④，由②④，得24833λ<≤，解得3333λ⎡⎛∈--⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦U ；（3）由（2）知，2222212i m x x k -=+，而()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222212m k k-=+， ∴2212122322012m k OA OB x x y y k--⋅=+==+u u u r u u u r ，∴OA OB ⊥u u u r u u u r ， ∴223Rt AOT Rt OBT AT BT OT∆∆⇒⋅==:.。

上海市曹杨二中2018_2019学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)

上海市曹杨二中2018-2019学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一.填空题：1.在空间中，若直线与无公共点，则直线的位置关系是________；【答案】平行或异面【解析】【分析】根据直线与直线的位置关系直接判断【详解】与无公共点，与可能平行，可能异面。

【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，解题时要认真审题，注意空间思维的培养，属基础题。

2.两个球的体积之比为8 ：27，则这两个球的表面积之比为________．【答案】【解析】试题分析：设两球半径分别为，由可得，所以．即两球的表面积之比为．考点：球的表面积，体积公式．3.若正方体中，异面直线和所成角的大小为_____；【答案】【解析】【分析】根据题意，，，所以平面，根据面面垂直的性质定理可得，即可求和所成的角。

【详解】如图，连接，因为正方体，所以,又正方形ABCD，所以，所以平面，所以，即和成角为【点睛】本题考查线线垂直的判定及性质定理，考查学生的空间想象能力，属基础题。

4.若圆柱的轴截面面积为2，则其侧面积为___；【答案】【解析】【分析】根据题意得圆柱的轴截面为底边为，高为的矩形，根据几何性质即可求解。

【详解】设圆柱的底面圆半径为，高为，由题意知，圆柱的轴截面为底边为，高为的矩形，所以，即。

所以侧面积。

【点睛】本题考查圆柱的几何性质，表面积的求法，属基础题5.正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为_____；【答案】【解析】【分析】由正四棱锥的底面边长求出底面中心到一个顶点的距离，结合棱长，求出正四棱锥的高，然后利用体积公式进行求解。

【详解】如图，正四棱锥P-ABCD中，AB=4，PA=3，设正四棱锥的高为PO，连接AO，则在直角三角形中，，所以，故答案为。

【点睛】本题考查正棱锥的性质及棱锥的体积公式，解题的关键是熟悉正棱锥的几何性质，属基础题6.若增广矩阵对应的线性方程组为无穷多解，则实数的值为________；【答案】【解析】【分析】将原方程组写成Ax=b，其中A为方阵，x为2个变量构成列向量，b为2个常数项构成列向量，当它的系数矩阵D奇异时，或者说行列式D=0时，方程组有无数个解或无解，由此求得a的值。

2018-2019学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末复习(一)数学试题(解析版)

上海市曹杨第二中学高二上学期期末复习（一）数学试题一、单选题1．设1234P P P P 、、、为空间中的四个不同点，则“1234P P P P 、、、中有三点在同一条直线上”是“1234P P P P 、、、在同一个平面上”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【解析】由公理2的推论()()12即可得到答案.【详解】由公理2的推论:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,可得1234P P P P 、、、在同一平面,故充分条件成立;由公理2的推论：过两条平行直线,有且只有一个平面,可得,当11213242,P l P l P l P l ∈∈∈∈、、、12l l P 时,1234P P P P 、、、在同一个平面上, 但1234P P P P 、、、中无三点共线,故必要条件不成立;故选:A【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;公理2的三个推论：()1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;()2经过两条平行直线,有且只有一个平面;()3经过两条相交直线,有且只有一个平面;2．已知正方体''''ABCD A B C D -记过点A 且与三直线AB AD 、、'AA 所成的角都相等的直线的条数为m ,过点A 与三个平面'',,AB AC AD 所成角都相等的直线的条数为n ，则（）A.11m n ==，B.41m n ==，C.34m n ==，D.44m n ==，【答案】D【解析】根据正方体的结构特征、空间中线线角、线面角定义,即可得到答案.【详解】作图如下:过点A 与三条直线'AB AD AA 、、所成角都相等的直线有：'AC ,过A 作'BD 的平行线,过A 作'A C 的平行线，过A 作'B D 的平行线,共4条,故4m =；过点A 与三个平面'',,AB AC AD 所成角都相等的直线分两类：第一类：通过点A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线'AC ;第二类：在图形外部和每面所成角和另两个面所成角相等,有3条；故4n =.故选：D【点睛】本题考查空间直线与平面所成角和直线与直线所成角;结合正方体的结构特征,准确找出符合题意的线线角和线面角是求解本题的关键;注重考查学生的空间想象能力;本题属于抽象型、难度大型试题.3．已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，高为1，过顶点A 作一平面α与侧面11BCC B 交于EF ，且EF ∥BC ，若平面α与底面ABC 所成二面角的大小为06x x π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭＜，四边形BCEF 面积为y ，则函数()y f x =的图像大致是（） A. B. C. D.【答案】C【解析】先作出平面α与底面ABC 所成的二面角的平面角为x ，如图为GAH ∠,在直角三角形AGH 中用x ,及3AH =表示出GH ,再利用四边形BCEF 面积为y BC GH =⨯求出()f x ,根据解析式，作出简图，即可得到答案.【详解】作图如下：过A 作AM BC P ,,H G 分别是,BC EF 中点,则AH BC ⊥,所以AH AM ⊥,在等腰三角形AEF ∆中,AG EF ⊥，//EF BC Q ,AG AM ∴⊥,所以GAH ∠是平面α与底面ABC 所成角的平面角.GAH x ∴∠=,tan GH x AH =, 3tan GH x ∴=,所以四边形BCEF 面积为： ()y f x =BC GH =⨯23tan x =根据正切函数图象可知C 符合.故选:C【点睛】本题主要考查空间中两面所成二面角的平面角的求解及性质;利用线线平行、线线垂直证明GAH ∠是平面α与底面ABC 所成的二面角的平面角是求解本题的关键;本题属于难度较大型试题.4．如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,点P 在截面1A DB 上,则线段AP 的最小值为（）A.13B.12 3 D.22【答案】C【解析】由已知可得,1AC ⊥平面1A DB ,可得P 为1AC 与截面1A DB 的垂足时线段AP 最小,然后利用等体积法求解即可.【详解】如图所示:连接1AC 交截面1A DB 于P ,由1CC ⊥底面ABCD ,可得,1CC BD ⊥,由AC BD ⊥,可得,BD ⊥面11A ACC ,则1AC BD ⊥.同理可得,11AC A B ⊥,1AC ∴⊥面1A DB ,此时线段AP 最小.由棱长为1,可得等边三角形1A BD 2,116322A BD S ∆∴==由11-ABD A A A BD V V -=,可得,1113111323AP ⨯⨯⨯⨯=，可得3AP =. 故选:C【点睛】本题考查点、线、面间距离的计算和线面垂直的判定;利用等体积法间接地求出AP 的距离是求解本题的关键;属于中档题;二、填空题5．直线l 和平面α相交于点A ,用集合符号表示_________.【答案】l A α=I【解析】由点、线、面位置关系的符号表示即可得解.【详解】由题意可得,答案为：l A α=I【点睛】本题考查直线与平面相交的符号表示,属于基础题,解题时注意符号的合理运用. 6．ABC ∆所在平面α外一点P 到三角形三个顶点距离相等,那么点P 在平面α内的射影一定是ABC ∆的_______.【答案】外心【解析】由ABC ∆所在平面α外一点P 到三角形三个顶点距离相等可得,斜线,,PA PB PC 在底面的射影相等;由三角形外心的性质可得是ABC ∆的外心.【详解】作图如下:由题意可得,PA PB PC ==,PO ⊥面ABC ,,,PO OA PO OB PO OC ∴⊥⊥⊥,故POA POB POC ∆≅∆≅∆,OA OB OC ∴==,故答案为:外心【点睛】本题主要考查线面垂直的性质及三角形外心的定义;属于中档题；三角形外心是三角形外接圆的圆心,亦是三角形三边垂直平分线的交点;其性质:到三角形三个顶点的距离相等.7．半径为2的球的表面积为________.【答案】16π【解析】代入球的表面积公式:2=4S R π表即可求得.【详解】 2R =Q ，∴由球的表面积2=4S R π表公式可得,2=42=16S ππ⨯⨯球表,故答案为:16π【点睛】本题考查球的表面积公式;属于基础题.8．已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于___________.【答案】15π【解析】试题分析：求圆锥侧面积必须先求圆锥母线，既然已知体积，那么可先求出圆锥的高，再利用圆锥的性质(圆锥的高，底面半径，母线组成直角三角形)可得母线，221131233V r h h πππ==⋅⋅=，4h =，5l ==，15S rl 侧ππ==．【考点】圆锥的体积与面积公式，圆锥的性质．9．已知地球的半径为R ，在北纬45︒东经30︒有一座城市A ，在北纬45︒西经60︒有一座城市B ，则坐飞机从城市A 飞到B 的最短距离是．(飞机的飞行高度忽略不计) 【答案】3R π【解析】欲求坐飞机从A 城市飞到B 城市的最短距离，即求出地球上这两点间的球面距离即可．A 、B 两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出AB 弦长，以及球心角，然后求出球面距离．即可得到答案．【详解】解：由已知地球半径为R ，则北纬45°，又∵两座城市的经度分别为东经30°和西经60°，故连接两座城市的弦长L 2=R =R ，则A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角∠AOB 3π=，则A 、B 两地之间的距离是3R π．故答案为：3R π．【点睛】本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题．10．设α表示平面,a b 、表示直线,给定下列四个命题：①a a b b αα⊥⇒P P ，；②a b a b αα⊥⇒⊥P ，；③a a b b αα⊥⊥⇒P ，；④.a b a b αα⊥⊥⇒P ，其中正确的命题是___________(填序号).【答案】②④【解析】利用线面垂直的判定方法、线面垂直的性质定理及线面平行的判断方法、性质,对已知中的四个结论逐一进行分析,即可得到答案.【详解】对于①,,a a b α⊥⇒P b 与α平行、相交或b α⊂，故①错误;对于②,a b a α⊥∥，,由直线与平面垂直的性质：两条直线平行,其中一条直线垂直与一个平面,则另外一条直线也垂直此平面.b α∴⊥.故②正确;对于③,,α⊥⊥a a b ,由线面垂直的性质可得,b αP ，或b α⊂,故③错误;对于④,,a b αα⊥⊥，由垂直于同一平面的两直线平行,a b ∴∥，故④正确;故答案为: ②④【点睛】本题考查立体几何中的线面垂直的判定、线面垂直的性质和线面平行的判定、线面平行的性质;线面垂直性质的应用是求解本题的关键;属于中档题;11．已知点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的底面1111D C B A 上一点(包括边界)，则PA PC ⋅u u u r u u u r 的取值范围是_________. 【答案】1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】建立空间直角坐标系,设(),,0P x y ,[](),0,1x y ∈.可得,()()22111111222PA PC x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=----+=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v ，即可得出答案. 【详解】如图所示：建立空间直角坐标系.则()()()10,0,0,0,0,1,1,1,1A A C . 设(),,0P x y ，[](),0,1x y ∈.则(),,1PA x y =--u u u v ，()1,1,1PC x y =--u u u v .()()111PA PC x x y y ∴⋅=----+u u u v u u u v22111222x y ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. [],0,1x y ∈Q ,∴当11,22x y ==时, PA PC ⋅u u u v u u u v 有最小值12. 当点P 取()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0时,PA PC ⋅u u u v u u u v 有最大值1.故答案为:1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考在空间直角坐标系中两向量数量积的坐标表示:121212+a b x x y y z z ⋅=+v v 及其取值范围的求解;建立合适的空间直角坐标系是求解本题的关键;着重考查学生的运算能力和知识迁移能力; 属于中档题.12．半径为R 的两个球,其中一个球的球心在另一个球的球面上,则两球的交线长为_____. 3R π【解析】将两球的相交情形,转化为考虑球的两个大圆的相交情形,容易求得CD 的长为3R.从而求得其周长即可.【详解】将两球的相交情形,转化为考虑球的两个大圆的相交情形,如图所示:由题意得,,AB R AC R==，故22232RCD R R⎛⎫=-=⎪⎝⎭.所以两球交线所在圆面的半径为3r R =,所以所求的交线长为3232l R Rππ=⋅=.故答案为:3Rπ【点睛】本题考查球与球的位置关系和圆的周长公式;重点考查学生的空间想象能力;把空间立体几何中球的问题转化为平面几何中圆的问题是求解本题的关键;属于难度大型试题. 13．已知正四棱锥P ABCD-的棱长都相等，侧棱PB、PD的中点分别为M、N，则截面AMN与底面ABCD所成的二面角的余弦值是________．【答案】25【解析】如图，正四棱锥P﹣ABCD中，O为正方形ABCD的两对角线的交点，则PO⊥面ABCD，PO交MN 于E ，则PE=EO ，又BD ⊥AC ，∴BD ⊥面PAC ，过A 作直线l ∥BD ，则l ⊥EA ，l ⊥AO ， ∴∠EAO 为所求二面角的平面角．又EO=12AO=24a ，AO=22a ，∴AE=104a ∴cos ∠EAO=255． ∴截面AMN 与底面ABCD 所成的二面角的余弦值是255． 14．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【答案】43【解析】分析：先分析组合体的构成，再确定锥体的高，最后利用锥体体积公式求结果. 详解：由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于2，，所以该多面体的体积为21421(2).33⨯⨯⨯=点睛：解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决． 15．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为。

上海市高二第一学期数学期末考试试卷含答案

上海市高二第一学期数学期末考试试卷注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上规定的地方作答，写在其它地方一律不予批阅.2. 本试卷共有21道试题，满分100分，练习时间90分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1. 过平面外一点与该平面平行的平面有个.2. 小王做“投针”实验，记录针压住平行线的次数，所得的数据是_ _．（用“观测数据”或“实验数据”填空）3. 某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表胆固醇降低的人数没有起作用的人数胆固醇升高的人数 307 120 73则使用药物后胆固醇降低的经验概率为．4. 已知球O 的表面积为36π，则该球的体积为． 5. “二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的400名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有____ __人.6. 某校高二（1）班为了调查学生线上授课期间的体育锻炼时间的差异情况，抽取了班级5名同学每周的体育锻炼时间，分别为6，6.5，7，7，8.5（单位：小时），则可以估计该班级同学每周的体育锻炼时间的方差为．7. 已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为． 8. 已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为．9．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为1的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为．10. 已知事件A 、B 互斥，()35P A B =，且()()2P A P B =，则()P B = . 11. 小明和小王在课余玩象棋比赛，可以采用“五局三胜制”或“三局两胜制”.相对而言，小明棋艺稍弱，每一局赢的概率都仅为0.4. 小明为了让自己在比赛中赢的几率更大些，应该提议采AB 用 .(填选 “三局两胜制”或“五局三胜制”)12. 如图，有一边长为2cm 的正方形ABCO ，D 、E 分别为AO 、AB 的中点.按图中的虚线翻折，使得A 、B 、O 三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：①三棱锥的表面积为4； ②三棱锥的体积为13； ③三棱锥的外接球表面积为6π； ④三棱锥的内切球半径为1.则以上结论中，正确结论是 . （请填写序号）二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.13．小明同学每天阅读数学文化相关的书籍，他每天阅读的页数分别为：4、5、4.5、5、6、8、7、5、4.5、6（单位：页）.下列图形中不利于描述这些数据的是（）A ．条形图B ．茎叶图C ．散点图D ．扇形图14．下列说法正确的是（） A ．过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆B ．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥C ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台D ．以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥15．某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛．两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论错误的是（）A ．甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小B ．甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数低C . 甲班参赛同学得分的平均数为84D ．乙班参赛同学得分的第75百分位数为8916. 先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论：①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间②事件“至少2次正面朝上”与事件”至少2次反面朝上”是互斥事件③事件“至少1次正面朝上”与事件”4次反面朝上”是对立事件④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是14以上结论中，正确的个数为（）个 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.（1）求异面直线1BD 与1CC 所成的角；（2）判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.18.（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）不透明的盒子中有标号为1、2、3、4的4个大小与质地相同的球.（1）甲随机摸出一个球，放回后乙再随机摸出一个球，求两球编号均为奇数的概率；（2）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为m ，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为n . 如果5m n +>，算甲赢；否则算乙赢. 这种游戏规则公平吗？请说明理由.19.（本题满分10分，第1小题满分6分，第2小题满分4分）如图,在直角AOB 中，π6OAB ∠=，斜边8AB =，D 是AB 中点，现将直角AOB 以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥.点C 为圆锥底面圆周上一点，且π2BOC ∠=. （1）求圆锥的体积与侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值.20.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”. 阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：（1）求a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）（单位：分钟）；（3）为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率．21.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）如图，已知四面体ABCD 中，AB BCD ⊥面，BC CD ⊥.（1）求证：AC CD ⊥；（2）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鱉臑”，若此“鱉臑”中，1AB BC CD ===，有一根彩带经过面ABC 与面ACD ，且彩带的两个端点分别固定在点B 和点D 处，求彩带的最小长度；（3）若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为1P ；任取两个面，记它们互相垂直的概率为2P ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为3P . 试比较概率1P 、2P 、3P 的大小.【教师版】高二数学练习卷答案一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1. 过平面外一点与该平面平行的平面有 1 个.2. 小王做“投针”实验，记录针压住平行线的次数，所得的数据是_“实验数据”_．（用“观测数据”或“实验数据”填空）3. 某药物公司实验一种降低胆固醇的新药，在500个病人中进行实验，结果如下表胆固醇降低的人数没有起作用的人数胆固醇升高的人数 307 120 73则使用药物后胆固醇降低的经验概率为 0.614 ．4. 已知球O 的表面积为36π，则该球的体积为 36π ． 5. “二十四节气歌”是以“春、夏、秋、冬”开始的四句诗.某校高二共有学生400名，随机抽查100名学生并提问二十四节气歌，只能说出一句的有45人，能说出两句及以上的有38人，据此估计该校高二年级的600名学生中，对“二十四节气歌”一句也说不出的有____68___人.6. 某校高二（1）班为了调查学生线上授课期间的体育锻炼时间的差异情况，抽取了班级5名同学每周的体育锻炼时间，分别为6，6.5，7，7，8.5（单位：小时），则可以估计该班级同学每周的体育锻炼时间的方差为 0.7 ．7. 已知一个正方形的边长为2，则它的直观图的面积为2 ． 8. 已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为 3 ． 9．“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为1的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为 56． 10. 已知事件A 、B 互斥，()35P A B =，且()()2P A P B =，则()P B = 45 . 11. 小明和小王在课余玩象棋比赛，可以采用“五局三胜制”或“三局两胜制”.相对而言，小明棋艺稍弱，AB 每一局赢的概率都仅为0.4. 小明为了让自己在比赛中赢的几率更大些，应该提议采用 “三局两胜制” .(填选 “三局两胜制”或“五局三胜制”)12. 如图，有一边长为2cm 的正方形ABCO ，D 、E 分别为AO 、AB 的中点.按图中的虚线翻折，使得A 、B 、O 三点重合，制成一个三棱锥，并得到以下四个结论：①三棱锥的表面积为4； ②三棱锥的体积为13； ③三棱锥的外接球表面积为6π； ④三棱锥的内切球半径为1. 则以上结论中，正确结论是 ① ② ③ . （请填写序号）二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.13．小明同学每天阅读数学文化相关的书籍，他每天阅读的页数分别为：4、5、4.5、5、6、8、7、5、4.5、6（单位：页）.下列图形中不利于描述这些数据的是（ C ）A ．条形图B ．茎叶图C ．散点图D ．扇形图14．下列说法正确的是（ B ）A ．过球面上任意两点与球心，有且只有一个大圆B ．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角均相等的棱锥是正棱锥C ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台D ．以直角三角形任意一边为旋转轴，其余两边旋转一周所得的旋转体都是圆锥15．某校组织了一次航空知识竞赛，甲、乙两个班级各派8名同学代表参赛．两个班级的数学课代表合作，将甲、乙两班所有参赛同学的得分绘制成如图所示的茎叶图，则下列结论错误的是（ D ）A ．甲班参赛同学得分的极差比乙班参赛同学得分的极差小B ．甲班参赛同学得分的中位数比乙班参赛同学得分的中位数低C . 甲班参赛同学得分的平均数为84D ．乙班参赛同学得分的第75百分位数为8916. 先后抛掷质地均匀的硬币4次，得到以下结论：①可以从不同的观察角度写出不同的样本空间②事件“至少2次正面朝上”与事件”至少2次反面朝上”是互斥事件③事件“至少1次正面朝上”与事件”4次反面朝上”是对立事件④事件“1次正面朝上3次反面朝上”发生的概率是14以上结论中，正确的个数为（ C ）个 A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点.（1）求异面直线1BD 与1CC 所成的角；（2）判断1BD 与平面AEC 的位置关系，并说明理由.解（1）因为11//BB CC ，所以11B BD ∠就是异面直线1BD 与1CC所成的角或其补角. ……………………………………………………………………2分设1BB a =，则112B D a =，13BD a =，所以11tan 2B BD ∠.……………1分所以异面直线1BD 与1CC 所成的角为arc 263arcsinarccos 33=）……1分（2）连接BD ，交AC 于O ，在1BDD 中，O 、E 分别为BD 、1DD 中点，OE 为1BDD 的中位线，所以1//OE BD .……………………………………………………………2分因为OE 在平面AEC 上，而1BD 不在平面AEC 上，…………………………1分由直线与平面平行的判定定理得，1BD //平面AEC .18.（本题满分10分，第1小题满分5分，第2小题满分5分）不透明的盒子中有标号为1、2、3、4的4个大小与质地相同的球.（1）甲随机摸出一个球，放回后乙再随机摸出一个球，求两球编号均为奇数的概率；（2）甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为m ，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为n . 如果5m n +>，算甲赢；否则算乙赢. 这种游戏规则公平吗？请说明理由.解（1）甲摸出的球编号为奇数的概率是12,…………………………………2分乙摸出的球编号为奇数的概率是12,……………………………………………2分所以两球编号均为奇数的概率是14.………………………………………1分（2）()3616P m n +==,………………………………………………………1分 ()2716P m n +==,………………………………………………………………1分 ()1816P m n +==………………………………………………………………1分所以甲赢的概率为32131616168++=，乙赢的概率为58.……………………1分所以这种游戏规则不公平. ……………………………………………………1分（也可直接写出样本空间，写出答案，酌情给分）19.（本题满分10分，第1小题满分6分，第2小题满分4分）如图,在直角AOB 中，π6OAB ∠=，斜边8AB =，D 是AB 中点，现将锥底面圆直角AOB 以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥.点C 为圆周上一点，且π2BOC ∠=. （1）求圆锥的体积与侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值.解（1）由题，4,3OB OA ==1分所以圆锥的体积为221164ππ4433π333V OB OA =⋅⋅=⋅⋅=.……………………2分圆锥的侧面积为32πS rl π==侧.……………………………………………………2分（2）取BO 中点BH ，在AOB 中，中位线//DH AO ，可得DH ⊥平面BOC ，所以DCH ∠即直线CD 与平面BOC 所成的角. …………………………………2分222315tan 542DH DCH HC ∠===+.……………………………………………2分所以直线CD 与平面BOC 所成的角的正切值为155.……………………………1分 20.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）法国著名的数学家笛卡尔曾经说过：“阅读优秀的书籍，就是和过去时代中最杰出的人们——书籍的作者一一进行交谈，也就是和他们传播的优秀思想进行交流”. 阅读会让精神世界闪光．某大学为了解大一新生的阅读情况，通过随机抽样调查了100位大一新生，对这些学生每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示：（1）求a 的值；（2）根据频率分布直方图，估计该校大一新生每天阅读时间的平均数（精确到0.1）（单位：分钟）；（3）为了进一步了解大一新生的阅读方式，该大学采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率．解（1）因为频率分布直方图的所有矩形面积之和为1，所以(0.0100.0450.005)101a a ++++⨯=，……………………………2分得0.02a =，…………………………………………………………………2分（2）各区间的中点值为55、65、75、85、95 ……………………………1分对应的频数分别为10、20、45、20、5…………………………………………1分这100名大一新生每天阅读时间的平均数为551065207545852095574.0100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=…………………1分所以估计该校大一新生每天阅读时间的平均数为74分钟. …………………1分（3）由题意，阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)和[80,90)的学生数分别为10人、20人、20人，因此每组中抽取的人数分别为1人、2人、2人. ………………2分因此，再从中任选2人进行调查，其中恰好有1人每天阅读时间位于[80,90)的概率为323P=105⨯=.………………………………………………………………………2分21.（本题满分12分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分4分）如图，已知四面体ABCD 中，AB BCD ⊥面，BC CD ⊥.（1）求证：AC CD ⊥（2）《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鱉与臑”，若此“鱉臑”中，1AB BC CD ===，有一根彩带经过面ABC小面ACD ，且彩带的两个端点分别固定在点B 和点D 处，求彩带的最长度.（3）若在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为1P ；任取两个面，记它们互相垂直的概率为2P ；任取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为3P . 试比较概率1P 、2P 、3P 的大小（1）证明因为AB BCD ⊥面，所以AB CD ⊥，…………………………………1分又BC CD ⊥，所以CD ABC ⊥面………………………………………………………2分所以AC CD ⊥……………………………………………………………………………1分（2）将面ABC 与面ACD 沿AC 展开成如图所示的平面图形，由题，3π4BCD ∠=，……………………1分所以彩带的最小长度为此平面图中BD 长. 又22311211cos π224BD =+-⨯⨯⨯=+…………2分 22+…………………………1分（3）由题，151153P ==…………………………1分 23162P ==……………………………………………1分 321126P ==……………………………………………1分所以312P P P <<.………………………………………1分【附加题】单选题1．过坐标原点O 作直线:(2)(1)60l a x a y -+++=的垂线，垂足为(,)H m n ，则22m n +的取值范围是（）A ．0,⎡⎣B ．(0,C ．[]0,8D ．(]0,8 【提示】求出直线直线()():2160l a x a y -+++=过的定点A ，由题意可知垂足是落在以OA 为直径的圆上，由此可利用22m n +的几何意义求得答案；【答案】D【解析】直线()():2160l a x a y -+++=，即()260a x y x y +-++= ，令0260x y x y +=⎧⎨-++=⎩ ，解得22x y =⎧⎨=-⎩ ，即直线()():2160l a x a y -+++=过定点(2,2)A - ,由过坐标原点O 作直线()():2160l a x a y -+++=的垂线，垂足为(,)H m n ，可知：(,)H m n 落在以OA 为直径的圆上，而以OA 为直径的圆为22(1)(1)2x y ++-= ，如图示：故22m n +可看作是圆上的点(,)H m n 到原点距离的平方，而圆过原点，圆上点到原点的最远距离为||22OA = ，但将原点坐标代入直线:(2)(1)60l a x a y -+++=中，60= 不成立，即直线l 不过原点，所以(,)H m n 不可能和原点重合，故22(0,8]m n +∈，故选：D2．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 为平面上两点，且0OA OB ⋅=，M 为线段AB 中点，其坐标为(),a b 524a b =+-，则OM 的最小值为（） A 5 B 25 C ．33D 5【提示】由已知可得以AB 为直径的圆过点O ，对条件变形得到245a b OM +-=圆M 与直线240x y +-=相切，从而得到圆M 的半径最小值为点O 到直线240x y +-=的距离的一半，利用点到直线距离公式进行求解.【答案】B【解析】因为0OA OB ⋅=，所以OA OB ⊥，即以AB 为直径的圆过点O ，因为M 为线段AB 中点，坐标为(),a b 524a b =+-，则245a b OM +-=几何意义为圆M 的半径与点M 到直线240x y +-=的距离相等，即圆M 与直线240x y +-=相切，则圆M 的半径最小值为点O 到直线240x y +-=的距离的一半，125=.故选：B。

2022-2023学年上海市曹杨第二中学高二上学期期末考试数学试卷含详解

上海市曹杨第二中学2022学年度第一学期高二年级总结性评价数学试卷命题人：黄坪校对人：郭天翔试卷共4页1张考生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚.2、本试卷共有21道试卷，满分150分，评价时间120分钟.请同学们将选择题答案直接点击在智学网上，非选择题用黑色水笔将答案写在答题卷上，并按要求拍照上传至智学网相关位置.一、填空题：（共12题，满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分）1.半径为1cm 的球的体积是___________3cm .2.设正四面体的棱长为1，则该正四面体的高为______.3.两条平行直线3410x y -+=与3420x y --=之间的距离为______.4.若直线l的一个法向量为(-，则过原点的直线l 的方程为______.5.如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC 的直观图，其中1O B O C ''''==，则三角形A B C '''的面积为______.6.如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为___．7.一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为________.8.已知直线:cos 10l x y θ+-=，R θ∈，则直线l 的倾斜角的取值范围是______.9.已知正三棱台111ABC A B C -上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为______.10.已知圆22:16C x y +=，直线()():20l a b x b a y a -+--=（a 、b 不同时为0），当a 、b 变化时，圆C 被直线l 截得的弦长的最小值为______.11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，M ，N ，Q ，P 分别为棱11A B ，11B C ，1BB ，1CC 的中点，三棱锥M PQN-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为___________.12.如图，已知F 是椭圆22143x y +=的左焦点，A 为椭圆的下顶点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 为直径作圆N ，射线ON 与圆N 交于点Q ，则AQ的取值范围为______.二、选择题：（共4题，满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分）13.设1234P P P P 、、、为空间中的四个不同点，则“1234P P P P 、、、中有三点在同一条直线上”是“1234P P P P 、、、在同一个平面上”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅ 的最小值为A.22- B.12C.22D.115.已知曲线C ：()3222216x yx y +=，命题p ：曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q ：曲线C上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是（）A.p 、q 都是真命题B.p 是真命题，q 是假命题C.p 是假命题，q 是真命题D.p 、q 都是假命题16.四面体ABCD 的所有棱长都为1，棱AB 平面α，则四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是（）A.21,22⎤⎢⎥⎣⎦ B.31,42⎤⎥⎣⎦C.21,42⎤⎥⎣⎦D.23,44⎣⎦三、解答题：（共5题，满分78分，前3题每题14分，其中第1问6分，第2问8分；后2题每题18分，其中第1问4分，第2问6分，第3问8分）17.已知圆C 经过(3,2)A 、(1,6)B 两点，且圆心在直线2y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点(1,3)P -且与圆C 相切，求直线l 的方程．18.如图，在三棱锥D ABC -中，平面ACD ⊥平面ABC ，AD AC ⊥，AB BC ⊥，E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点.（1）求证：直线//EF 平面ABD ；（2）若直线CD 与平面ABC 所成的角为45°，直线CD 与平面ABD 所成角为30°，求二面角B AD C --的大小.19.如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头，海中小岛有码头Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为2km 、710km 5.测得tan 3MON ∠=-，6km OA =.以点O 为坐标原点，射线OM 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头Q 在第一象限，且三个码头A 、B 、Q 均在一条航线上.（1）求码头Q 点的坐标；（2）海中有一处景点P （设点P 在平面xOy 内，PQ OM ⊥，且6km PQ =），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标.20.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11DD DA ==，2AB =，点E 在棱AB 上运动.（1）证明：11B C D E ⊥；（2）设E 为棱AB 的中点，在棱1CC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面1DEC ，若存在，求1CFCC 的值，若不存在，说明理由；（3）求直线AB 与平面1DEC 所成角的取值范围.21.已知椭圆22:142x y C +=，过动点()()0,0M m m >的直线l 交x 轴于点N ，交C 于点A 、P （P 在第一象限），且M 是线段PN 的中点，过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .设()11,A x y 、()22,B x y.（1）若点N的坐标为()，求PNQ V 的周长；（2）设直线PM 的斜率为k ，QM 的斜率为k '，证明：k k'为定值；（3）求直线AB 倾斜角的最小值.上海市曹杨第二中学2022学年度第一学期高二年级总结性评价数学试卷命题人：黄坪校对人：郭天翔试卷共4页1张考生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚.2、本试卷共有21道试卷，满分150分，评价时间120分钟.请同学们将选择题答案直接点击在智学网上，非选择题用黑色水笔将答案写在答题卷上，并按要求拍照上传至智学网相关位置.一、填空题：（共12题，满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分）1.半径为1cm 的球的体积是___________3cm .【答案】4π3【分析】根据球体积公式计算．【详解】由题意球体积为()3344π1πcm 33V =⨯=．故答案为：4π3．2.设正四面体的棱长为1，则该正四面体的高为______.【答案】63【分析】设正四面体为A BCD -，过A 作AO ⊥底面BCD ，可知O 为底面正三角形的中心，然后求解直角三角形得答案．【详解】如图，设正四面体为A BCD -，过A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，四面体为正四面体，∴O 为底面正三角形的中心，连接CO 并延长交BD 于G ，则G 为BD 中点，底面边长为1，323CO CG ∴==，63AO ∴==，∴该正四面体的高为3．故答案为：3．3.两条平行直线3410x y -+=与3420x y --=之间的距离为______.【答案】35##0.6【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案.【详解】两条平行直线3410x y -+=与3420x y --=之间的距离为：35=.故答案为：35.4.若直线l的一个法向量为(-，则过原点的直线l 的方程为______.【答案】0x -=【分析】根据直线法向量，可设出直线方程，由直线过原点，求出未知系数.【详解】若直线l的一个法向量为(-，可设直线方程为0x c -++=，由直线过原点，∴0c =，故所求直线方程为0x -=，即0x -=.故答案为：0x -=5.如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC 的直观图，其中1O B O C ''''==，则三角形A B C '''的面积为______.【答案】4【分析】根据直观图和平面图的关系可求出O A ''，进而利用面积公式可得三角形A B C '''的面积【详解】由已知可得12222O A ''=⨯⨯=则132622224A B C S '''=⨯⨯=故答案为：64.6.如果圆锥的底面圆半径为1，母线长为2，则该圆锥的侧面积为___．【答案】2π【分析】由圆锥的侧面积公式即可求解．【详解】由题意，圆锥底面周长为2π×1=2π，又母线长为2，所以圆锥的侧面积12222S ππ=⨯⨯=．故答案为：2π.7.一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为________.【答案】2【分析】根据已知可知：2a b =，再代入离心率公式e =即可.【详解】由题知：222a b =⨯，即2a b =.32c e a =====.故答案为：2【点睛】本题主要考查离心率的求法，根据题意找到关系式为解题的关键，属于简单题.8.已知直线:cos 10l x y θ+-=，R θ∈，则直线l 的倾斜角的取值范围是______.【答案】π3π[0,[,π)44⋃【分析】由题意可得直线l 的斜率cos [1,1]k θ=-∈-，设直线l 的倾斜角为β，则有tan [1,1]β∈-，[0,π)β∈，再根据正切函数的性质即可求得答案.【详解】解：因为直线:cos 10l x y θ+-=，R θ∈，所以直线l 的斜率cos k θ=-，所以[1,1]k ∈-，设直线l 的倾斜角为β，则有tan [1,1]k β=∈-，又因为[0,π)β∈，所以π3π[0,][,π)44β∈⋃.故答案为：π3π[0,[,π)44⋃9.已知正三棱台111ABC A B C -上、下底面边长分别为1和2，高为1，则这个正三棱台的体积为______.【答案】12【分析】先计算两个底面的面积，再由体积公式计算即可.【详解】上底面的面积为1311sin 6024⨯⨯⨯︒=，下底面的面积为122sin 602⨯⨯⨯︒=积为113412⎛⨯+⨯= ⎝.故答案为：731210.已知圆22:16C x y +=，直线()():20l a b x b a y a -+--=（a 、b 不同时为0），当a 、b 变化时，圆C 被直线l 截得的弦长的最小值为______.【答案】【分析】由题意知直线l 恒过定点(1,1)--，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆C 被直线l 截得的弦长为最小值，即可求出答案.【详解】把直线()():20l a b x b a y a -+--=化为(21)()0a x y b x y --+-+=，210101x y x x y y --==-⎧⎧⇒⎨⎨-+==-⎩⎩，恒过定点(1,1)--，当圆C 被直线l 截得的弦长的最小值时，圆心(0,0)到定点(1,1)--=，圆心到直线()():20l a b x b a y a -+--=距离最大值时即为，此时直线弦长为最小值=故答案为：.11.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，M ，N ，Q ，P 分别为棱11A B ，11B C ，1BB ，1CC 的中点，三棱锥M PQN -的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为___________.【答案】8π【分析】由正方体性质确定三棱锥M NPQ -的性质，从而确定其外接球球心O 所在位置，然后由直角梯形和直角三角形求出半径得表面积．【详解】如图，取PQ 中点K ，11A D AD H = ，由正方体性质知HK ⊥平面11BCC B ，由已知NPQ △是等腰直角三角形，PQ 是斜边，则三棱锥M NPQ -的外接球球心O 在HK 上，连接,OM OP ，由HK ⊥平面11BCC B 知1,HK KB HK PQ ⊥⊥，同理111A B B K ⊥，1OKB M 是直角梯形，11MB =，1B K =，1KP =，设外接球半径为R ，则1OK =在直角三角形OPK 中，222(11R =+，解得R =．所以球表面积为248S R ππ==．故答案为：8π．【点睛】关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是找到外接球的球心，一般外接球球心必在过三棱锥各面外心且与此面垂直的直线上．确定球心位置后通过直角梯形与直角三角形求得半径．12.如图，已知F 是椭圆22143x y +=的左焦点，A 为椭圆的下顶点，点P 是椭圆上任意一点，以PF 为直径作圆N ，射线ON 与圆N 交于点Q ，则AQ 的取值范围为______.【答案】23,23⎡⎤+⎣⎦【分析】由题意求得点Q 轨迹，根据轨迹判断计算AQ 的取值范围.【详解】F '为椭圆右焦点，连接PF '，如图所示：,O N 分别为,FF FP '的中点，12ON PF '=，PF 为直径，12NQ PF =，()1112222OQ ON NQ PF PF PF PF ''=+=+=+=，所以点Q 轨迹是以O 为圆心2为半径的圆，(0,3A -在圆内，所以AQ 的最小值为23-，最大值为23+，即AQ 的取值范围为23,23⎡⎤-+⎣⎦.故答案为：23,23⎡⎤-+⎣⎦二、选择题：（共4题，满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分）13.设1234P P P P 、、、为空间中的四个不同点，则“1234P P P P 、、、中有三点在同一条直线上”是“1234P P P P 、、、在同一个平面上”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】由公理2的推论()()12即可得到答案.【详解】由公理2的推论:过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面,可得1234P P P P 、、、在同一平面,故充分条件成立;由公理2的推论：过两条平行直线,有且只有一个平面,可得,当11213242,P l P l P l P l ∈∈∈∈、、、12l l 时,1234P P P P 、、、在同一个平面上,但1234P P P P 、、、中无三点共线,故必要条件不成立;故选:A【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题;公理2的三个推论：()1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;()2经过两条平行直线,有且只有一个平面;()3经过两条相交直线,有且只有一个平面;14.若点O 和点F 分别为椭圆2212x y +=的中心和右焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅ 的最小值为A.22-B.12C.22+ D.1【答案】B【详解】试卷分析：设点，所以，由此可得(,)(1,)OP FP x y x y ⋅=⋅-，[2,2]x ∈，所以OP FP ⋅的最小值为12.考点：向量数量积以及二次函数最值．15.已知曲线C ：()3222216x y x y +=，命题p ：曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q ：曲线C上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是（）A.p 、q 都是真命题B.p 是真命题，q 是假命题C.p 是假命题，q 是真命题D.p 、q 都是假命题【答案】A【分析】结合均值不等式得到当且仅当22x y =时，等号成立，以及224x y +≤，从而可判断命题q 的真假性，检验点()()()()()()()()()0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------是否在曲线上即可判断命题p 的真假性.【详解】因为()2223222216162x y x y x y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，当且仅当22x y =时，等号成立，所以224x y +≤，因此曲线C 所围成的区域的在圆224x y +=2£，故曲线C 上的点到原点的最大距离是2，因此命题q 为真命题，圆224x y +=上以及内部横坐标与纵坐标都是整数的点有()()()()()()()()()0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------，其中点()0,0显然在曲线C 上，但是()()()()()()()()1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2------不在曲线上，故曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点，因此命题p 为真命题，故选：A.16.四面体ABCD 的所有棱长都为1，棱AB 平面α，则四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是（）A.1,22⎤⎢⎥⎣⎦ B.31,42⎤⎥⎣⎦ C.21,42⎤⎥⎣⎦ D.23,44⎣⎦【答案】D【分析】设A 、B 、C 、D 在平面α内的射影依次为1111A B C D 、、、，分别讨论11C D 、在11A B 两侧、11C D 、其中一点在11A B 上、11C D 、在11A B 同侧时的投影图形，其中11C D 、在11A B 同侧时，CD α⊥时面积最小、平面ABD α 时面积最大，结合正四面体的几何性质及投影性质即可求面积.【详解】四面体ABCD 的所有棱长都为1，则为正四面体，由正四面体的性质可知AB CD ⊥,正四面体的侧面上的高为2h ¢==，正四面体的高3h ==.∵棱AB 平面α，设A 、B 、C 、D 在平面α内的射影依次为1111A B C D 、、、，则111A B AB ==，i.当11C D 、在11A B 两侧时，构成的图形即为四边形1111A C B D ，此时1111A B C D ^，11h C D CD <£，即11613C D <£，则所求面积即11111111161,262A B C D S A B C D ú=ú棼；ii.当11C D 、在11A B 同侧或其中一点在11A B 上时，构成的图形即为111A B C △，1D 在111A B C △的高1C E 上（或1C 在111A B D 的高上，由对称性，只研究其中一种即可），其中①当平面ABD α^时，163C E h ==；②当平面ABD α 时，132C E h ¢==；③当CD α⊥时，1C E 为CD 到面α的距离，即12C E ==.故12322C E ＃，则所求面积即111111123,244A B C S A B C E 犏=鬃犏臌.综上，四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是,44⎣⎦.故选：D三、解答题：（共5题，满分78分，前3题每题14分，其中第1问6分，第2问8分；后2题每题18分，其中第1问4分，第2问6分，第3问8分）17.已知圆C 经过(3,2)A 、(1,6)B 两点，且圆心在直线2y x =上．（1）求圆C 的方程；（2）若直线l 经过点(1,3)P -且与圆C 相切，求直线l 的方程．【答案】（１）22(2)(4)5x y -+-=；（２）250250x y x y -+=+-=或【详解】试卷分析：（1）根据圆心在弦的垂直平分线上，先求出弦AB 的垂直平分线的方程与2y x =联立可求得圆心坐标，再用两点间的距离公式求得半径，进而求得圆的方程；（2）当直线l 斜率不存在时，与圆相切，方程为=1x -；当直线l 斜率存在时，设斜率为k ，写出其点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解出k 的值.试卷解析：（1）依题意知线段AB 的中点M 坐标是()2,4，直线AB 的斜率为62213-=--，故线段AB 的中垂线方程是()1422y x -=-即260x y -+=，解方程组260{2x y y x -+==得2{4x y ==，即圆心C 的坐标为()2,4，圆C的半径r AC ==，故圆C 的方程是()()22245x y -+-=（2）若直线l 斜率不存在，则直线l 方程是1x =-，与圆C 相离，不合题意；若直线l 斜率存在，可设直线l 方程是()31y k x -=+，即30kx y k -++=，因为直线l 与圆C=解得2k =或12k =-．所以直线l 的方程是250x y -+=或250x y +-=.18.如图，在三棱锥D ABC -中，平面ACD ⊥平面ABC ，AD AC ⊥，AB BC ⊥，E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点.（1）求证：直线//EF 平面ABD ；（2）若直线CD 与平面ABC 所成的角为45°，直线CD 与平面ABD 所成角为30°，求二面角B AD C --的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）45【分析】（1）根据//EF BD 即可证明；（2）证明AD ⊥平面ABC ，BC ⊥平面ABD ，进而结合已知条件证明ABC 为等腰直角三角形，45BAC ∠= ，再根据二面角的概念求解即可.【小问1详解】证明：因为E 、F 分别为棱BC 、CD 的中点.所以，在BCD △中，//EF BD ，因为EF ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以，直线EF P 平面ABD 【小问2详解】解：因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD 平面ABC AC =，AD ⊂平面ACD AD AC ⊥,所以AD ⊥平面ABC ，所以，DCA ∠是直线CD 与平面ABC 所成的角，因为直线CD 与平面ABC 所成的角为45°，所以，45DCA ∠= ，所以AD AC=因为AD ⊥平面ABC ，,AB BC ⊂平面ABC ，所以AD BC ⊥，AD AB ⊥，因为AB BC ⊥，AB AD A ⋂=，,AB AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥平面ABD ，所以，BDC ∠是直线CD 与平面ABD 所成角，因为直线CD 与平面ABD 所成角为30°，所以30BDC ∠=o ，所以1,2BC CD BD ==，不妨设1BC =，则2,1CD BD AD AC AB =====，所以，ABC 为等腰直角三角形，45BAC ∠= 因为AD AB ⊥，AD AC ⊥，所以BAC ∠是二面角B AD C --的平面角，所以二面角B AD C --的大小为4519.如图，A 、B 是海岸线OM 、ON 上的两个码头，海中小岛有码头Q 到海岸线OM 、ON 的距离分别为2km 、km 5.测得tan 3MON ∠=-，6km OA =.以点O 为坐标原点，射线OM 为x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系.码头Q 在第一象限，且三个码头A 、B 、Q 均在一条航线上.（1）求码头Q 点的坐标；（2）海中有一处景点P （设点P 在平面xOy 内，PQ OM ⊥，且6km PQ =），游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标.【答案】（1）()42Q ，（2）(1,5)C 【分析】（1）根据已知条件，写出直线ON 方程，再求解Q 点坐标.（2）由直线AQ 的方程求解B 点坐标，进而求解AB 的直线方程.由（1）知C 为垂足，可联立直线AB 与PC 方程，即可求解C 点坐标.【小问1详解】由已知得，(6,0)A ，直线ON 方程：3y x =-设00(,2)(0)Q x x >，由5=及图，得04x =，()42Q ∴，.【小问2详解】直线AQ 的方程为(6)y x =--即60x y +-=由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，解得39x y =-⎧⎨=⎩，即(3,9)B -则直线AB 方程60x y +-=，点P 到直线AB 的垂直距离最近，则垂足为C ，因为PQ OM ⊥，且6km PQ =，()42Q ，，(4,8)P ∴，则直线PC 方程为40x y -+=联立6040x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得15x y =⎧⎨=⎩轮在水上沿旅游线AB 航行时离景点P 最近的点C 的坐标为(1,5).20.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11DD DA ==，2AB =，点E 在棱AB 上运动.（1）证明：11B C D E ⊥；（2）设E 为棱AB 的中点，在棱1CC 上是否存在一点F ，使得//BF 平面1DEC ，若存在，求1CFCC 的值，若不存在，说明理由；（3）求直线AB 与平面1DEC 所成角的取值范围.【答案】（1）证明详见解析（2）存在，且112CF CC =（3）15arcsin ,arcsin35⎡⎢⎣⎦【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得11B C D E ⊥.（2）根据向量法列方程，从而求得1CFCC .（3）利用向量法求得直线AB 与平面1DEC 所成角的正弦值，结合不等式的性质求得所成角的取值范围.【小问1详解】建立如图所示空间直角坐标系，()()()()1110,0,1,1,2,1,0,2,0,1,0,1D B C B C =--，设()1,,0,02E t t ≤≤，则()11,,1D E t =-，111010D E B C ⋅=-++=，所以11B C D E ⊥.【小问2详解】若E 是AB 的中点，则()1,1,0E ，()10,2,1C ，设平面1DEC 的法向量为()111,,x n y z =，则11111020n DE x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，故可设()1,1,2n =-- ，设()0,2,,01F λλ≤≤，()()1,2,0,1,0,B BF λ=-，若//BF 平面1DEC ，BF ⊄平面1DEC ，则1120,2n BF λλ⋅=-== ，所以F 是1CC 的中点，所以112CF CC =.【小问3详解】()0,2,0AB =，设()1,,0,02E t t ≤≤，设平面1DEC 的法向量为()222,,m x y z =，则22122020m DE x ty m DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，故可设(),1,2m t =-- ，设直线AB 与平面1DEC 所成角为π,02θθ≤≤，则sin m AB m AB θ⋅==⋅由于2202,04,559,3t t t ≤≤≤≤≤+≤，所以1sin ,35θ⎡=⎢⎣⎦，所以15arcsin ,arcsin35θ⎡∈⎢⎣⎦.21.已知椭圆22:142x y C +=，过动点()()0,0M m m >的直线l 交x 轴于点N ，交C 于点A 、P （P 在第一象限），且M 是线段PN 的中点，过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .设()11,A x y 、()22,B x y .（1）若点N 的坐标为()2,0-，求PNQ V 的周长；（2）设直线PM 的斜率为k ，QM 的斜率为k '，证明：k k'为定值；（3）求直线AB 倾斜角的最小值.【答案】（1）8（2）证明见解析（3）直线AB 倾斜角的最小值为6arctan2【分析】（1）利用椭圆C 的标准方程和点N 的坐标，结合题中条件可得PNQ V 为焦点三角形，周长为4a ；（2）设0000(,)(0,0)P x y x y >>，由(0,)(0)M m m >，可得02(),P x m ，0,2()Q x m -，求出直线PM 的斜率，QM 的斜率，推出k k'为定值．（3）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．直线PA 的方程为y kx m =+直线QB 的方程为3y kx m =-+，联立方程椭圆与椭圆方程，利用韦达定理，求解AB 坐标，然后求解AB 的斜率的表达式，利用基本不等式求解斜率的最小值，即可得到直线AB 倾斜角的最小值．【小问1详解】椭圆22:142x y C +=，由方程可知，椭圆两焦点坐标为()2,0，若点N 的坐标为()2,0-，点N 为左焦点，点()0,M m 是线段PN 的中点，故点P 的坐标为)2,2m ，PQ 垂直于x 轴，则PQ 与x 轴交点为椭圆右焦点，可得PNQ V 的周长为点P 到两焦点距离之和加上点Q 到两焦点距离之和，,P Q 都在椭圆上，所以PNQ V 的周长为8.【小问2详解】证明：设0000(,)(0,0)P x y x y >>，由(0,)(0)M m m >，可得02(),P x m ，0,2()Q x m -，所以直线PM 的斜率002m m m k x x -==，QM 的斜率0023m m m k x x '--==-，所以033mk x m kx -'==-，所以k k'为定值．【小问3详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线PA 的方程为y kx m =+，直线QB 的方程为3y kx m =-+，联立方程2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，整理得222(21)4240k x mkx m +++-=，根据根与系数可得20122421m x x k -=+，可得21202(2)(21)m x k x -=+，所以211202(2)(21)k m y kx m m k x -=+=++，同理222222002(2)6(2),(181)(181)m k m x y m k x k x ---==+++，所以22222122220002(2)2(2)32(2)(181)(21)(181)(21)m m k m x x k x k x k k x -----=-=++++，22222122220006(2)2(2)8(61)(2)(181)(21)(181)(21)k m k m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++，所以221216111644ABy y k k k x x k k -+⎛⎫===+ ⎪-⎝⎭．由0m >，00x >，可得0k >，所以16k k +≥16k k =，即66k =时，取得等号，6=，解得147m =，所以直线AB斜率的最小值为2，直线AB 倾斜角的最小值为6arctan 2．。

上海市曹杨第二中学2021-2022学年高二上学期期末复习试卷2数学试题(解析版)

曹杨二中2021-2022学年度第一学期高二年级期未数学复习试卷2一、填空题(本大题满分54分，本大题共有12题,第1题到第6题每题4分,第7题到第12题每题5分)1.若a b b c A ⋂=，，则a c 、的位置关系是_______.【答案】相交或异面【解析】【分析】以正方体为载体，列举各种可能发生的情况，能求出结果．【详解】在正方体1111ABCD A BC D -中，//AB DC ，AB AD D =，DC 与AD 相交，//AB DC ，，DC 与1AA 异面，直线//a b ，bc A =，则a 与c 的位置关系相交或异面．故答案为相交或异面【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．2.已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于___________.【答案】15π【解析】试题分析：求圆锥侧面积必须先求圆锥母线，既然已知体积，那么可先求出圆锥的高，再利用圆锥的性质(圆锥的高，底面半径，母线组成直角三角形)可得母线，221131233V r h h πππ==⋅⋅=，4h =，5l =，15S rl 侧ππ==．考点：圆锥的体积与面积公式，圆锥的性质．3.已知等边△ABC 的边长为1，用斜二测画法画它的直观图A B C ，'''则A B C '''的面积为_________.【解析】【分析】由已知中正ABC ∆的边长为1，可得正ABC ∆的面积，进而根据ABC ∆的直观图△A B C '''的面积S '=，【详解】解：正ABC ∆的边长为1，故正ABC ∆的面积2331S == 设ABC ∆的直观图△A B C '''的面积为S '则36S'===【点睛】本题考查的知识点是斜二测法画直观图，其中熟练掌握直观图面积S '与原图面积S 之间的关系S '=，是解答的关键． 4.正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长2AB =，若直线1BC 与底面ABCD 所成的角的大小为arctan 2，则正四棱柱1111ABCD A BC D -的侧面积为________【答案】32【解析】【分析】根据线面垂直关系、线面角的定义可知1arctan 2B CB ∠=，从而得到12BB BC =，根据底面边长可求得侧棱长，进而得到所求的侧面积.【详解】四棱柱1111ABCD A BC D -为正四棱柱四边形ABCD 为正方形，1BB ⊥平面ABCD直线1BC 与底面ABCD 所成角为1arctan 2B CB ∠= 1224BB BC AB ∴===正四棱柱1111ABCD A BC D -的侧面积：1442432S AB BB =⋅=⨯⨯=故答案为32【点睛】本题考查棱柱侧面积的求解，关键是能够根据线面角的定义确定线面角的具体位置，从而得到长度关系，属于基础题.5.正ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上,球心O 到平面ABC 的距离为1,点D 是线段BC 的中点,过D 作球O 的截面,则截面面积的最小值为_________.【答案】94π 【解析】设正ABC ∆的中心为1O ，连结1O O 、1O C 、1O D 、OD ．根据球的截面圆性质、正三角形的性质与勾股定理，结合题中数据算出OD =D 的球O 的截面，当截面与OD 垂直时截面圆的半径最小，相应地截面圆的面积有最小值，由此算出截面圆半径的最小值，从而可得截面面积的最小值．【详解】解：设正ABC ∆的中心为1O ，连结1O O 、1O C 、1O D 、OD ，1O 是正ABC ∆的中心，A 、B 、C 三点都在球面上，1O O ∴⊥平面ABC ，结合1O C ⊂平面ABC ，可得，球的半径2R =，球心O 到平面ABC 的距离为1，得11O O =，Rt ∴△1O OC 中，1O C 又D 为BC 的中点，Rt ∴△1O DC 中，1112O D O C ==． Rt ∴△1OO D 中，OD =过D 作球O 的截面，当截面与OD 垂直时，截面圆的半径最小，当截面与OD 垂直时，截面圆的面积有最小值．此时截面圆的半径32r ==，可得截面面积为294S r ππ==．故答案为94π．【点睛】本题已知球的内接正三角形与球心的距离，求经过正三角形中点的最小截面圆的面积．着重考查了勾股定理、球的截面圆性质与正三角形的性质等知识，属于中档题．6.设正三棱锥V ABC -的底边长为2，则侧棱与底面所成的角的大小为________.【答案】45︒【解析】【分析】由已知得到底面三角形一边上的高，从而得到底面三角形的一个顶点到底面中心的距离，通过解直角三角形得到答案．【详解】解：如图，三棱锥V ABC -是正三棱锥，V ∴在底面ABC ∆上的投影为ABC ∆的中心O ，连接VO ，AO ，则VAO ∠即为侧棱VA 与底面ABC ∆所三棱锥V ABC -为正三棱锥，底面边长为高2VO =，则底面三角形一边BC 上的高3AD =，2AO ∴=，2tan 12VO VAO AO ∴∠===．侧棱与底面所成角的大小为45︒．故答案为45︒【点睛】本题考查了直线与平面所成的角，考查了学生的空间想象能力和计算能力，是中档题． 7.已知非零向量n b 、及平面α，向量n 是平面α的一个法向量,则0n b ⋅=是“向量b 所在直线在平面α内”的____________条件.【答案】必要不充分【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：若向量n 是平面α的法向量，则n α⊥，若0n b =，则//b α，则向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内，即充分性不成立，若向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内，则//b α，向量n 是平面α的法向量，n α⊥，则，即0n b =，即必要性成立，则0n b =是向量b 所在直线平行于平面α或在平面α内的必要条件，故答案为：必要不充分【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量和平面的位置关系是解决本题的关键． 8.设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点,且满足，则ΔBCD 是________三角形(选填“锐角”、“直角”或“钝角”)．【答案】锐角【解析】判断三角形的形状有两种基本的方法①看三角形的角②看三角形的边．本题可用向量的夹角来判断三角形的角．【详解】解：22()()0BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=-⋅-=⋅-⋅-⋅+=>，cos 0||||BC BD B BC BD ⋅=>⋅,故B 是锐角，同理D ∠，C ∠都是锐角，故BCD ∆是锐角三角形，故答案为：锐角【点睛】本题考查向量的分解，重点是向量的夹角公式，属于基础题．9.设地球的半径为R,若甲地位于北纬45°东经120°,乙地位于南纬75东经120°,则甲乙两地的球面距离为_________.【答案】23R π 【解析】【分析】甲、乙两地都在东经120︒，就是都在同一个大圆上，求出纬度差，即可求出球面距离．【详解】由于甲、乙两地都在东经120︒，就是都在同一个大圆上，它们的纬度差是：120︒，就是大圆周的13 则甲、乙两地球面距离为：23R π 故答案为23R π 【点睛】本题考查球面距离，好在两点在同一个经度上，简化了计算，是基础题．10.如图,边长为a 的正方形纸片ABCD,沿对角线AC 对折,使点D 在平面ABC 外,若BD=，a 则三棱锥D ABC -的体积是________.3 【解析】【分析】取AC 的中点E ，连接BE 、DE ，由正方形的性质可以求得其对角线长度是，折起后的图形中，DE BE ==，又知BD a =，由此三角形BDE 三边已知，求出BED ∠，解出三角形BDE 的面积，可求得三棱锥D ABC -的体积．【详解】如图取AC 的中点E ，连接BE 、DE ，由题意知DE BE ==，BD a = 由勾股定理可证得90BED ∠=︒故三角形BDE 面积是214a 又正方形的对角线互相垂直，且翻折后，AC 与DE ，BE 仍然垂直，故AE ，CE 分别是以面BDE 为底的两个三棱锥的高故三棱锥D ABC -的体积为231134a ⨯=，3 【点睛】在折叠图形中要把握数量关系不变的量，哪些几何元素位置关系不变．11.在一个密闭的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体，如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是．【答案】【解析】【详解】试题分析：如图，正方体ABCD-EFGH ，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ．而当平面EHD 平行水平面放置时，若满足上述条件，则任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形．所以液体体积必须＞三棱柱G-EHD 的体积16，并且＜正方体ABCD-EFGH 体积-三棱柱B-AFC 体积15166-=考点：1．棱柱的结构特征；2．几何体的体积的求法12.如图，由编号1，2，…，n ，…（*n ∈N 且3n ≥）的圆柱自下而上组成．其中每一个圆柱的高与其底面圆的直径相等，且对于任意两个相邻圆柱，上面圆柱的高是下面圆柱的高的一半．若编号1的圆柱的高为4，则所有圆柱的体积V 为（结果保留π）．【答案】128π7【解析】略二、选择题(本大题满分20分，本大题共有4题,每题5分)13.下面是关于三棱锥的四个命题：①底面是等边三角形,侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥；②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；③底面是等边三角形,侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥；④侧棱与底面所成的角都相等,且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．其中真命题的编号是（）A. ③④B. ①②C. ①③④D. ①④【答案】D【解析】【分析】根据正三棱锥的定义，结合二面角判断①的正误；侧棱与底面所成的角判断④的正误；找出反例否定②，找出反例对选项③否定可得正确结论．【详解】解：①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．可推出底面中心是棱锥顶点在底面的射影，所以是正确的．②显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形的三棱锥但不是正三棱锥．③底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离（斜高）相等，根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影（垂足）到底面三边所在直线的距离也相等，由于在底面所在的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有4个：内心（本题的中心）1个、旁心3个，因此不能保证三棱锥是正三棱锥．④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．是正确的．正确的为：①④故选D【点睛】本题考查棱锥的结构特征，二面角及其度量，考查作图能力，是基础题．14. 下列命题中，错误的是 ( )A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B. 平行于同一平面的两个不同平面平行C. 如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD. 若直线l不平行平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线【答案】D【解析】若直线与另外一个平面不相交，则直线与该平面平行，由此可得直线与该平面平行的平面也平行，矛盾，所以命题A 正确；命题B 显然正确；若存在有n β⊥，则根据面面垂直判定可得αβ⊥，矛盾，所以命题C 正确；l 不平行于平面α，则,l α相交或l α⊂．当l α⊂时，在平面α内存在与l 平行的直线，所以命题D 错误，故选D15.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则()1,28i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】A【解析】【分析】利用向量数量积的运算计算，即可得到结果详解】则iAB BP ⊥ 21i AB AP AB ∴⋅== ()128i AB AP i ∴⋅=，的不同值的个数为1故选A【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的运算，进行向量数量积运算是解题的常用手段.16.设点P 是一个正四面体内的任意一点，则点P 到正四面体的各个面的距离之和是一个定值，这个定值等于该四面体的（）A. 棱长B. 斜高C. 高D. 两对棱间的距离【答案】C【解析】【分析】设正四面体的棱长为a ，由P 是正四面体内的一点，知正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和，由此能求出P 到各个面的距离之和是一个定值，这个定值等于四面体的高．【详解】解：设正四面体的棱长为a ， P 是正四面体内的一点，正四面体的体积等于四个三棱锥的体积和，设它到四个面的距离分别为m ，n ，p ，q ，棱长为a 的正四面体的四个面的面积都是21sin 602S a a =⨯⨯⨯︒=．又顶点到底面的投影在底面的中心，此点到底面三个顶点的距离都是高的23，又高为sin 60a ⨯︒=，．．此正四面体的体积是2313=．321()3m n p q =+++，解得m n p q +++=． P ∴到各个面的距离之和是一个定值，这个定值等于四面体的高．故选C【点睛】正四面体内任意一点到各个面的距离之和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．三、解答题(本大题满分76分)17.如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD,底面ABCD 是菱形,AB=2,∠BAD=60°.(1)求证BD ⊥平面PAC ；(2)若PA=AB 求异面直线PB 与AC 所成角的大小(用反三角函数值表示)．【答案】（1）详见解析；（2）arc θ=．【解析】【分析】（1）推导出AC BD ⊥，，由此能证明BD ⊥平面PAC ．（2）设，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，利用向量法能求出PB 与AC 所成角的余弦值．【详解】证明：（1）四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，又PA ⊥平面ABCD ，PA BD ∴⊥，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，BD ∴⊥平面PAC ．（2）设，60BAD ∠=︒，2PA PB ==，1BO ∴=，AO CO ==如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，则(0P ，2)，(0A ，0)，(1B ，0，0)，(0C 0)，(1PB =2)-，(0AC =，0)，设PB 与AC 所成角为θ，则||cos ||||2PB AC PB AC θ===．arc θ=PB ∴与AC 所成角arc θ=．【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18.如图，已知AB 是圆柱1OO 底面圆O 的直径，底面半径R=1，圆柱的表面积为8π，点C 在底面圆O 上，且直线1AC 与下底面所成角的大小为60°.(1)求三棱锥1A ACB -的体积； (2)求异面直线1A B 与OC 所成角的大小(用反三角函数值表示)．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意计算出圆柱的高，由直线1AC 与下底面所成角确定CAB ∆的边与角，即可求出三棱锥的体积。

2019-2020学年上海市普陀区曹杨二中高二(上)期末数学试卷(附详解)

2019-2020学年上海市普陀区曹杨二中高二（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.在学习等差数列时，我们由a1=a1+0d，a2=a1+1d，a3=a1+2d，……，得到等差数列{a n}的通项公式是a n=a1+(n−1)d，像这样由特殊到一般的推理方法叫做()A. 不完全归纳法B. 数学归纳法C. 综合法D. 分析法2.执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为()A. 8B. 6C. 14D. 183.设三棱锥V−ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)，记直线PB与直线AC所成角为α，直线PB与平面ABC所成角为β，二面角P−AC−B 的平面角为γ，则()A. β<γ，α<γB. β<α，β<γC. β<α，γ<αD. α<β，γ<β4.已知平面α与β互相垂直，α与β交于l，m和n分别是平面α，β上的直线.若m，n均与l既不平行.也不垂直，则m与n的位置关系是()A. 可能垂直，但不可能平行B. 可能平行，但不可能垂直C. 可能垂直，也可能平行D. 既不可能垂直，也不可能平行二、单空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 三个平面最多把空间分割成______ 个部分．6. 若线性方程组的增广矩阵是(12c 134c 2)，解为{x =0y =2，则c 1+c 2=______．7. 若行列式∣∣∣∣3−1227−314k ∣∣∣∣中元素−1的代数余子式的值为5，则k =______．8. 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于______． 9. 四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且CD =2，AB =√3，则外接球面上两点A ，B间的球面距离是______．10. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1，二面角A −BD −A 1的大小为______11. 若正四棱锥的地面边长为3，高为2，则这个正四棱锥的全面积为______． 12. 已知ABCD 是棱长为a 的正四面体，则异面直线AB 与CD 间的距离为______． 13. 若数列{a n }满足a 1=12，a 1+2a 2+3a 3+⋅⋅⋅+na n =n 2a n ，n ∈N ∗，则a 20=______．14. 某几何体的一条棱在主视图、左视图和俯视图中的长分别为1、2、3，则这条棱的长为______．15. 对于实数x ，用{x}表示其小数部分，例如{1}=0，{3.14}=0.14，若a n =13n⋅{2n3}，n ∈N ∗，则数列{a n }的各项和为______．16. 如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为10公里，母线长为40公里，B 是母线SA 上一点，且AB =10公里.为了发展旅游业，要建设一条最短的从A 绕山一周到B 的观光铁路.这条铁路从A 出发后首先上坡，随后下坡，则下坡段铁路的长度为______ 公里．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为2米，球的半径r为0.5米．(1)这种“浮球”的体积是多少立方米(结果精确到0.1m3)？(2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该“浮球”的建造费用(结果精确到1元)．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，且AB=2，AD=3，PA=√3，AD//BC，AB⊥BC，∠ADC=45°．(1)求异面直线PC与AD所成角的大小；(2)求点A到平面PCD的距离．19.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n−5a n−85，n∈N∗(1)证明：{a n−1}是等比数列；(2)求数列{S n}的通项公式．请指出n为何值时，S n取得最小值，并说明理由15=−14.85)(参考数据log5620.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=AB1=2，AB1⊥平面ABC，AC1⊥AC，D、E分别是AC、B1C1的中点．(1)求证：AC⊥B1C1；(2)求证：DE//平面AA1B1B；(3)求直线DE与平面BB1C1C所成角的正弦值的大小．21.给定整数n(n≥4)，设集合A={a1,a2,…,a n}.记集合B={a i+a j|a i,a j∈A,1≤i≤j≤n}．(1)若A={−3,0,1,2}，求集合B；(2)若a1，a2，…a n构成以a1为首项，d(d>0)为公差的等差数列，求证：集合B中的元素个数为2n−1；(3)若a1，a2，…，a n构成以3为首项，3为公比的等比数列，求集合B中元素的个数及所有元素之和．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查归纳法的特点，以及数学归纳法与不完全归纳法的区别，属于基础题．本题由题干可知由特殊到一般性的推理属于归纳推理，而本题并不是用数学归纳法进行的推理证明，可得到结果．【解答】解：本题由前三项的规律猜想出一般项的特点属于归纳法，但本题并不是数学归纳法，故选：A．2.【答案】B【解析】解：模拟程序的运行，可得S=20，i=1执行循环体，i=2，S=18不满足i>5，执行循环体，i=4，S=14不满足i>5，执行循环体，i=8，S=6此时，满足i>5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，是基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间三种角的求法，考查以三棱锥为载体，常规解法下易出现的错误的有：不能正确作出各种角，未能想到利用“特殊位置法”，寻求简单解法，为拔高题．综合考查异面直线所成角、直线和平面所成角和二倍角的概念和计算，解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小，充分运用图象，则可事半功倍．【解答】解：方法一、如图G为AC的中点，V在底面的射影为O，则P在底面上的射影D在线段AO上，作DE⊥AC于E，易得PE//VG，过P作PF//AC于F，过D作DH//AC，交BG于H，则α=∠BPF，β=∠PBD，γ=∠PED，则cosα=PFPB =EGPB=DHPB <BDPB=cosβ，可得β<α；tanγ=PDED >PDBD=tanβ，可得β<γ，方法二、由最小值定理可得β<α，记V−AC−B的平面角为γ′(显然γ′=γ)，由最大角定理可得β<γ′=γ；方法三、(特殊图形法)设三棱锥V−ABC为棱长为2的正四面体，P为VA的中点，易得cosα=12√3=√36，可得sinα=√336，sinβ=√63√3=√23，sinγ=√63√32=2√23，当AP=23时，由余弦定理可得PB=√4+49−2×2×23×12=2√73，cosα=289+169−2892×2√73×43=√7，sinα=√6√7，可得α<γ，故C错误．故选：B．4.【答案】D【解析】解：①假设m⊥n，因为n与l既不垂直，也不平行，所以n∩l=O，过O在β内作直线c⊥l，如图所示，因为α⊥β，所以c⊥α，又因为m⊂α，所以c⊥m，又因为m⊥n，c∩n=O，所以m⊥β，l⊂β，所以m⊥l，这与m与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立，所以m与n不垂直，同理n与m也不垂直；②假设m//n，则m//β，m⊂α，α∩β=l，所以m//l，这与m和n与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立，所以m与n不平行．综上所述，m与n的位置关系是既不可能垂直，也不可能平行．故选：D．假设m⊥n，然后利用已知条件推理，得到m⊥l，这与m与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立；假设m//n，利用线面平行的性质定理进行推导，得到m//l，这与m和n 与l既不垂直，也不平行矛盾，故假设不成立，从而得到答案．本题考查空间中线、面位置关系的判断与应用，考查了反证法的应用，考查了逻辑推理能力与空间想象能力，属于中档题．5.【答案】8【解析】解：三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，三个平面有两个平行，第三个与他们相交时，可以把空间分成6部分，三个平面交于同一直线时，可以把空间分成6部分，三个平面两两相交，交线相互平行时，可以把空间分成7部分，当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，把空间分成8部分．所以空间中的三个平面最多能把空间分成8部分．故答案为：8．分别讨论三个平面的位置关系，根据它们位置关系的不同，确定平面把空间分成的部分数目．本题考查平面的基本性质及推论，要讨论三个平面不同的位置关系．6.【答案】12【解析】解：由题意，增广矩阵是(12c 134c 2)，对应的线性方程组为：{x +2y =c 13x +4y =c 2，方程组的解为{x =0y =2，代入可得c 1=4，c 2=8，所以c 1+c 2=12．故答案为：12．利用增广矩阵还原线性方程组，结合方程组的解，求解c 1+c 2即可．本题考查增广矩阵与线性方程组的关系，方程组的解法，考查计算能力，是基础题．7.【答案】−4【解析】解：∵行列式∣∣∣∣3−1227−314k ∣∣∣∣中元素−1的代数余子式的值为5，∴(−1)3∣∣∣2−31k ∣∣∣=−(2k +3)=5，解得k =−4．故答案为：−4．利用行列式的代数余子式的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查代数余子式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】3π【解析】【分析】本题考查圆锥体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．由题意画出图形，设圆锥的底面半径为r ，则母线长为2r ，由侧面面积求得r ，再由圆锥体积公式求解．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r ，则母线长为2r ，高为√4r 2−r 2=√3r ．则其侧面积S =2πr 2=6π，解得r =√3． ∴圆锥的高为3．其体积V =13×π×3×3=3π，故答案为：3π．9.【答案】2π3【解析】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O 在CD 中点，则OA =OB =OC =OD =1 再由AB =√3，在△A0B 中，利用余弦定理cos∠AOB =OA 2+OB 2−AB 22⋅OA⋅OB=−12则∠AOB =120°，则弧AB =120°360∘⋅2π⋅1=2π3故答案为：2π3根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点，且OA =OB =OC =OD ，进而在△A0B 中，利用余弦定理求得cos∠AOB 的值，则∠AOB 可求，进而根据弧长的计算方法求得答案．本题主要考查了余弦定理的应用．四面体外接球的性质等．考查了学生观察分析和基本的运算能力．10.【答案】arctan √2【解析】解：连接AC ，AC ∩BD =O ，连接A 1O ，则∠A 1OA 为二面角A −BD −A 1的平面角设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为a ， ∴AO =√22a ， ∴tan∠A 1OA =a√22a=√2；所以∠A 1OA =arctan √2．故答案为：arctan √2．连接AC ，AC ∩BD =O ，连接A 1O ，则∠A 1OA 为二面角A −BD −A 1的平面角；本题考查面面角与线面角，解题的关键是确定线面角与面面角，属于基础题．11.【答案】24【解析】解：正四棱锥P −ABCD ，的底面边长为AB =BC =CD =AD =3，高为PO =2，如图所示：所以PE =√22+(32)2=52，故S 表=4×12×3×52+3×3=24．故答案为：24．直接利用四棱锥的性质求出PE 的长和四棱锥体的表面积．本题考查的知识要点：四棱锥的表面积，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12.【答案】√22a【解析】解：取AB 中点E ，CD 中点F ，连接AF 、BF 、CE 、DE 、EF ，则AF =BF =CE =DE =√a 2−(a2)2=√32a ， ∴EF ⊥AB ，EF ⊥CD ， ∴异面直线AB 与CD 间的距离为：EF=√(√32a)2−(a2)2=√22a．故答案为：√22a．取AB中点E，CD中点F，连接AF、BF、CE、DE、EF，求出AF=BF=CE=DE=√32a，从而EF⊥AB，EF⊥CD，进而异面直线AB与CD间的距离为EF，由此能求出结果．本题考查两异面直线间的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】35【解析】解：∵a1+2a2+3a3+⋯+na n=n2a n，∴a1+2a2+3a3+⋯+(n−1)a n−1=(n−1)2a n−1，两式相減得：na n=n2a n−(n−1)2a n−1⇒(n2−n)a n=(n−1)2a n−1，∴a na n−1=n−1n(n≥2)，∴a2a1⋅a3a2⋯⋯a20a19=12⋅23⋯1920，∴a20a1=120，a20=1220=35．故答案为：35．根据递推关系，少递推一项再相减，从而得到a na n−1=n−1n(n≥2)，再利用累乘法求得答案．本题考㚗数列的递推关系求通项，考㚗函数与方程思想、转化与化归思想，考査逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．14.【答案】√7【解析】解：如图所示，由棱和它在三视图中的投影扩展为长方体，则三视图中的三个投影，是三个面上的对角线，设这个长方体的长、宽、高分别是x 、y 、z ，对角线长为a ，则x 2+z 2=1，y 2+z 2=4，x 2+y 2=9， ∴x 2+y 2+z 2=1+4+92=7，∴a 2=x 2+y 2+z 2=7， ∴a =√7．故答案为：√7．由棱和它在三视图中的投影扩展为长方体，利用三视图中的三个投影是三个面上的对角线，即可求出棱长的值．本题主要考查空间几何体的结构特征，属于基础题．15.【答案】724【解析】解：由于2n =(3−1)n =3n +C n 1⋅3n−1(−1)+...+C n n−13⋅(−1)n−1+(−1)n ，(∗)所以当n 为奇数时，(∗)的右边的最后一项为−1，可得{2n3}=23；当n 为偶数时，(∗)的右边的最后一项为1，可得{2n3}=13．所以{a n }的奇数项是首项为29，公比为19的等比数列；偶数项是首项为127，公比为19的等比数列．则数列{a n }的各项和为291−19+1271−19=14+124=724．故答案为：724．运用二项式定理求得当n 为奇数时，{2n3}=23；当n 为偶数时，{2n3}=13.再由无缺等比数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查等比数列的通项公式和无穷递缩等比数列的求和公式，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】18【解析】解：如图，展开圆锥的侧面，过点S 作A′B 的垂线，垂足为H ，记点P 为A′B 上任意一点，联结PS ，A′A⏜=∠A′OA ⋅SA =2π⋅10⇒∠A′OA =π2，由两点之间线段最短，知观光铁路为图中的A′B ，A′B =√SA′2+SB 2=50，上坡即P 到山顶S 的距离PS 越来越小，下坡即P 到山顶S 的距离PS 越来越大，∴下坡段的铁路，即图中的HB ，由Rt △SA′B∽Rt △HSB ，可得：SBHB =A′BSB ，可求出HB =SB 2A′B=30×3050=18．即下坡段铁路的长度为18公里．故答案为：18．根据题意，画出展开图，结合图形转化为求HB ，结合三角形相似即可求解．本题考查了圆锥的展开图应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．17.【答案】解：(1)∵球的半径r 为0.5米，∴两个半球的体积之和为V 球=43πr3=43π⋅18=16πm 3， ∵圆柱的高为2米，∴V 圆柱=πr2⋅ℎ=π×14×2=12πm 3，∴该“浮球”的体积是：V =V 球+V 圆柱=23π≈2.1m 3；(2)圆柱筒的表面积为2πrℎ=2πm 2；两个半球的表面积为4πr 2=πm 2， ∵圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元， ∴该“浮球”的建造费用为2π×20+π×30=70π≈220元．【解析】(1)根据球的半径得到上下两个半球的体积之和，再由柱体体积公式算出圆柱筒的体积，相加即得该“浮球”的体积大小；(2)计算球的表面积公式和圆柱侧面积公式，结合条件，即可得到结论．本题给出由两个半球和一个圆柱筒接成的“浮球”，计算了它的表面积和体积，着重考查了球、圆柱的表面积公式和体积公式等知识，属于中档题．18.【答案】解：(1)以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0,√3)，C(2,1,0)，D(0,3,0)， ∴PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−√3)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,0)，设异面直线PC 与AD 所成角为θ，则cosθ=|PC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||PC⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=32√2×3=√24，故异面直线PC 与AD 所成角的大小为arccos √24；(2)由(1)知，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−√3)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,0)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,0)，设平面PCD 的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)，则{n⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y −√3z =0n ⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +2y =0，令x =1，则y =1，z =√3，∴n ⃗ =(1,1,√3)， ∴点A 到平面PCD 的距离d =|n ⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=3√5=3√55．【解析】(1)以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，写出A 、P 、C 、D 的坐标，设异面直线PC 与AD 所成角为θ，由数量积求夹角公式求解；(2)根据法向量的性质求得平面PCD 的法向量n ⃗ ，再由公式d =|n ⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |求解．本题考查空间向量在立体几何中的应用，掌握利用空间向量处理异面直线夹角和点到平面距离的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】证明：(1)当n =1时，a 1=S 1=1−5a 1−85，解得a 1=−14，则a 1−1=−15．∵当n ≥2时，S n−1=(n −1)−5a n−1−85，∴a n =S n −S n−1=1−5a n +5a n−1，∴6a n =5a n−1+1，即a n −1=56(a n−1−1)，∴{a n −1}是首项为−15，公比为56的等比数列．解：(2)∵a n −1=−15⋅(56)n−1，∴S n =n −5[1−15⋅(56)n−1]−85=n +75⋅(56)n−1−90．由a n =1−15⋅(56)n−1>0，即15⋅(56)n−1<1，解得n >log 56115+1≈15.85． ∴当n ≤15时，a n <0；当n ≥16时，a n >0．故n =15时，S n 取得最小值．【解析】(1)当n =1时，a 1=S 1=1−5a 1−85，求出a 1−1=−15，当n ≥2时，a n =S n −S n−1=1−5a n +5a n−1，从而6a n =5a n−1+1，由此能证明{a n −1}是首项为−15，公比为56的等比数列．(2)由a n −1=−15⋅(56)n−1，得S n =n +75⋅(56)n−1−90.由此能求出n =15时，S n 取得最小值．本题考查等比数列的证明，考查数列的前n 项和的求法，考查前n 项和取最小值时项数n 的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．20.【答案】证明：(1)因为AB 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以AB 1⊥AC ，因为AC 1⊥AC ，AB 1∩AC 1=A ，AB 1，AC 1⊂平面AB 1C 1，所以AC ⊥平面AB 1C 1，因为B 1C ⊂C 平面AB 1C 1，所以AC ⊥B 1C 1；(2)取A 1B 1的中点M ，连接MA ，ME ，因为E，M分别是B1C1，A1B1的中点，A1C1，所以ME//A1C，且ME=12A1C1，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AD//A1C1，且AD=12所以ME//AD，且ME=AD，所以四边形ADEM是平行四边形，所以DE//AM，又AM⊂平面AA1B1B，DE⊄平面AA1B1B，所以DE//平面AA1B1B；(3)在三棱柱ABC−A1B1C1中，BC//B1C1，因为AC⊥B1C1，所以AC⊥BC，在平面ACB1内，过点C作Cz//AB1，因为AB1⊥平面ABC，所以Cz⊥平面ABC，建立空间直角坐标系C−xyz，如图，则C(0,0,0)，B(2,0,0)，B1(0,2,2)，C1(一2，2，2)，D(0,1,0)，E(−1,2,2)，设BB 1C 1C 的法向量为n⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x =02y +2z =0，得x =0，令y =1，得z =−1，故n⃗ =(0,1,−1)，设直线DE 与平面BB 1C 1C 所成的角为θ，则sinθ=|cos〈DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ 〉|=|DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√36，所以直线DE 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为√36．【解析】(1)通过条件证明AC ⊥平面AB 1C 1，进而可证AC ⊥B 1C 1；(2)取A 1B 1的中点M ，连接MA ，ME ，通过造就平行四边形证明DE//AM ，然后利用线面平行的定理证明结论；(3)建立空间直角坐标系，将线面角的问题转化为向量夹角运算．本题考查了两直线的垂直、线面平行的证明，线面角的求法，属于中档题．21.【答案】解：(1)A ={−3,0,1,2}，由题意可得集合B ={−6,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}；(2)证明：若a 1，a 2，…a n 构成以a 1为首项，d(d >0)为公差的等差数列，可得等差数列{a n }为递增数列，由等差数列的性质a m +a n =a p +a q ，可得B 中的元素个数为n +n(n−1)2−(n−1)(n−2)2=2n −1；(3)a 1，a 2，…，a n 构成以3为首项，3为公比的等比数列，可得a n =3n ，由3n 为奇数，即有3m +3n =2⋅3k ，m.n ，k 为不相等的正整数，则方程无实数解， 3m +3n =3l +3k ，m.n ，k ，l 为不相等的正整数，则方程无实数解，若a i ，a j 相等，可得a 1，a 2，…，a n 中取两个相等的，和为n 个；若a i ，a j 不相等，可得a 1，a 2，…，a n 中取两个，和为C n2=n(n−1)2个；B 中的元素个数为n +n(n−1)2=n 2+n 2个；则B 中元素的和为2(3+32+⋯+3n )+(n −1)(3+32+⋯+3n )=(n +1)(3+32+⋯+3n ) =(n +1)⋅3(1−3n )1−3=3(n+1)(3n −1)2．【解析】(1)由新定义和集合的列举法，可得所求集合；(2)运用等差数列为递增数列，以及性质，即可得到所求个数；(3)由等比数列的通项公式和性质，结合新定义计算可得所求结论．本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．。

上海市曹杨二中高二上数学期末试卷(精品解析)

2018-2019学年曹二高二上期末数学试卷2019.1一、填空题：1、在空间中，若直线a 与b 无公共点，则直线,a b 的位值关系是________；答案：平行或异面2、若两个球的体积之比为8：27，则这两个球的表面积之比为____；答案：493、若正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线AC 和'BD 所成角的大小为_____；答案：2π 4、若圆柱的轴截面面积为2，则其侧面积为___；答案：2π5、正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，则其体积为_____；答案：1636、若增广矩阵1111a a -⎛⎫⎪-⎝⎭对应的线性方程组为无穷多紹，则实数a 的值为________；答案：-17、有一列正方体，它们的棱长组成以1位首项，12为公比的等比数列，设它们的体积依次为12,,,n V V V ，则()12lim n n V V V →∞+++=__________；答案：878、已知ABC ∆，用斜二测画法作它的直观图'''A B C ∆，若'''A B C ∆是斜边平行于'x 铀的等腰直角三角形，则ABC ∆是________三角形（填“锐角”、“直角”、“钝角”）. 答案：直角9、在北纬45°圈上有甲、乙两地，它们的经度差90°，则甲乙两地的球面距离与地球半径的比值为________；答案：3π10的正四面体的体积，可以看成一个棱长为1的正方体截去四个角后得到，类比这种方法，一个相对棱长都相等的四面体ABCD ，其三组对棱长分别为AB CD AD BC AC BD ======_______；答案：211、已知平面α截一球面得圆M ，过圆M 的圆心M 且与平面α呈45°二面角的平面β截该球面得圆N ，若球的半径为4，圆M 的面积为12π，则圆N 的面积为__________；答案：14π 12、如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，如顶点,B C 到平面α的距离分别为D 到平面α的距离为___________；二、选择题13、“直线l 垂直于ABC ∆的边,AB AC ’’是“直线l 垂直于ABC ∆的边BC ”的（） A 、充分非必要条件 B 、必要非充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分又不必要条件答案：A14、如果三棱锥S ABC -的底面不是等比三角形，网组对棱互相垂直，且顶点S 在底面的射影O 在ABC ∆内，那么O 是ABC ∆的（）A 、外心B 、内心C 、垂心D 、重心答案：B15、底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥（）A 、一点时增三棱锥B 、一定是正四面体C 、不是斜三棱锥D 、可能是斜三棱锥答案：D16、在正方体1111ABCD A B C D -中，点P （异于点B ）是棱长一点，则满足BP 与1AC ，所成的角为45°的点P 的个数为（）A. 0B.3C.4D.6 答案：B三、解答题：17、如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点. （1）求三棱锥1D A BE -的体积；（2）求异面直线BE 与1CC 所成角大小.解：（1）因为11D A BE B A DE V V --=，121224A DEa a Sa ==，并且1AB A DE ⊥平面，所以11231133412D A BE A DE a a V a S a -=⋅==（2）因为11//CC DD ，所以异面直线BE 与1CC 所成角为直线BE 与直线1DD所成角，即BED ∠，因为2a BE =，BD ==，所以32a BE ==，所以12332aCOS BED a ∠==，所以 1arccos()3BED ∠=，所以异面直线BE 与1CC 所成角为1arccos()3.18、如图，某甜品创作一种冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形，现把半径为10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮固成圆锥的侧面（蛋皮厚度忽略不计）。

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曹杨二中高二期末数学试卷 2020.01 一. 填空题 1. 三个平面最多把空间分成个部分
2. 若线性方程组的增广矩阵是121234c c ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，解为02x y =⎧⎨=⎩，则12c c += 3. 若行列式312
27314k
--中元素1-的代数余子式的值为5，则k =
4. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则圆锥的体积为
5. 已知四面体ABCD 的外接球球心在棱CD 上，且2CD =，3AB =，则外接球面上两点A 、B 间的球面距离是
6. 在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1A BD A --的大小为
7. 若正四棱锥的地面边长为3，高为2，则这个正四棱锥的全面积为
8. 已知ABCD 是棱长为a 的正四面体，则异面直线AB 与CD 间的距离为
9. 若数列{}n a 满足112a =，212323n n a a a na n a +++⋅⋅⋅+=，*n ∈N ，则20a =
10. 某几何体的一条棱在主视图、左视图和俯视图中的长分别为1、2、3，则这条棱的长为
11. 对于实数x ，用{}x 表示其小数部分，例如{1}0=，{3.14}0.14=，若12{}33n
n n a =⋅， *n ∈N ，则数列{}n a 的各项和为
12. 如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为
10公里，侧棱长为40公里，B 是SA 上一点，且10AB =公
里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A 绕山一周到B
的观光铁路，这条铁路从A 出发后首先上坡，随后下坡，则
下坡段铁路的长度为公里
二. 选择题
13. 在学习等差数列时，我们由110a a d =+，211a a d =+，312a a d =+，⋅⋅⋅，得到等差数列{}n a 的通项公式是1(1)n a a n d =+-，像这样由特殊到一般的推理方法叫做（）
A. 不完全归纳法
B. 完全归纳法
C. 数学归纳法
D. 分析法
14. 执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（）
A. S
B. 6
C. 14
D. 18
15. 已知三棱锥S ABC -的底面是正三角形，且侧棱长均相等，
P 是棱SA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角
为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --
的平面角为γ，则（）
A. βγ<，αγ<
B. βα<，βγ<
C. βα<，γα<
D. αβ<，γβ<
16. 已知平面α与β互相垂直，α与β交于l ，m 和n 分别是
平面α、β上的直线，若m 、n 均与l 既不平行，也不垂直，
则m 与n 的位置关系是（）
A. 可能垂直，但不可能平行
B. 可能平行，但不可能垂直
C. 可能垂直，也可能平行
D. 既不可能垂直，也不可能平行
三. 解答题
17. 如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成，其中圆柱筒的高h 为2米，球的半径r 为0.5米.
（1）求“浮球”的体积（结果精确到0.1立方米）；
（2）假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元，求该“浮球”的建造费用.
（结果精确到1元）
18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，且2AB =，3AD =，3PA =，AD ∥BC ，AB BC ⊥，45ADC ∠=︒.
（1）求异面直线PC 与AD 所成角的大小；
（2）求点A 到平面PCD 的距离.
19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且，*n ∈N .
（1）求证：数列{1}n a -是等比数列；
（2）求当n 为何值时，n S 取最小值，并说明理由.
20. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AB ===，1AB ⊥平面ABC ，1AC AC ⊥，D 、E 分别是AC 、11B C 的中点.
（1）求证：11AC B C ⊥；
（2）求证：DE ∥平面11AA B B ；
（3）求直线DE 与平面11BB C C 所成角的正弦值的大小.
21. 对于给定的正整数n （4n ≥），设集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，记集合{|,,1}i j i j B a a a a A i j n =+∈≤≤≤.
（1）若{3,0,1,2}A =-，求集合B ；
（2）若12,,,n a a a ⋅⋅⋅是以1a 为首项，d （0d >）为公差的等差数列，求证：集合B 中的元素个数为21n -；
（3）若12,,,n a a a ⋅⋅⋅是以13a =为首项，3q =为公比的等比数列，求集合B 中的元素个数及所有元素的和.
参考答案
一. 填空题
1. 8
2. 12
3. 4-
4. 3π
5.
23π 6. 7. 24 8. 2
9.
35 10. 11. 724 12. 18
二. 选择题
13. A 14. B 15. B 16. D
三. 解答题
17.（1）32.1m ；（2）220元.
18.（1）arccos
4；（2）5. 19.（1）45
q =；（2）12.
20.（1）证明略；（2）证明略；（3. 21.（1）{6,3,2,1,0,1,2,3,4}B =----；（2）元数个数为2n 个，和为29(31)4
n -.。