概率论与数理统计作业

解：（1）p1
=
4 16
=
1 4
（2）p2
=
10 16
=
5 8
12、设二维随机变量 (X, Y ) ∼ N (0, 1; 0, 1; 0),，计算概率 P {X2 + Y 2 < r}, r > 0
解：
φ(x, y) =
1 e , −
x2
+y2 2
2π
∫ 2π
∫
√ r
P {X2 + Y 2 < r} =
fY (y)
=
∫ +∞
−∞
f (X, Y
)dy
=
∫
+∞
0
xe−x 1 dx, y > 0; (1 + y)2 0, y ≤ 0
=
1 , y > 0;
(1 + y)2 0, y ≤ 0
有：fX (x) · fY (y) = f (X, Y ), 则 X 与 Y 相互独立.
（2）
∫ +∞
∫
1
8xydy, 0
9、设二维随机变量 (X,Y) 的联合概率密度是 { 12e−(3x+4y), 0 < x, 0 < y;
f (X, Y ) = 0, 其他
试求：（1）P {0 < X ≤ 1, 0 < Y < 2} ; （2）(X,Y) 的联合分布函数 F(x,y);
解：（1）
∫1
∫2
P {0 < X ≤ 1, 0 < Y < 2} = 3e−3xdx 4e−4ydy = (1 − e−3)(1 − e−8) = 0.9499
0
0
（2）当 x > 0, y > 0 时
∫x ∫y
∫u
∫y
F (x, y) =
f (u, v)dudv =
3e−3udu
4e−4vdv = (1 − e−3x)(1 − e−4y)
−∞ −∞
−∞
−∞
联合分布函数
{ (1 − e−3x)(1 − e−4y), 0 < x, 0 < y;
F (x, y) = 0, 其他
Fy(y) = lim F (x, y) =
x→+∞
0, 其他
（2）
P {X ≥ 120} ∪ P {Y ≥ 120} = 1 − P {X < 120} ∩ P {Y < 120}
= 1 − Fx(120)Fy(120) = 1 − (1 − e−1.2)2 = 2e−1.2 − e−2.4 = 0.5117
概率论与数理统计第三章作业解答
大龙在这里呢 2017 年 10 月 16 日
摘要 《概率论与数理统计》电子科技大学应用数学学院徐全智、吕恕主编，第三章作业题解答。
目录
1 题型分布
1
2 习题解答
1
1 题型分布
第三章《多维随机变量》 二维随机变量及其分布：习题 1-12 联合分布函数 联合分布律 联合概率密度 二维均匀分布（几何概率） 二维正态分布 随机变量的独立性：习题 13-15 条件分布：习题 16-19 条件分布律 条件概率密度 随机变量的函数及其分布：习题 20-29 离散型随机变量的函数及其分布律 连续型随机变量的函数及其概率密度 几种特殊函数的分布（极值分布、和的分布、商的分布）：习题 30-34
3、对一个目标独立地射击两次，每次命中的概率为 1/2，若 X 表示第一次射击时的命中次数，Y 表示为第二次射击时的命中次数，试求 X 和 Y 的联合分布律以及联合分布函数。 解：X 和 Y 的联合分布律
Y0 1 X
0 1/4 1/4 1 1/4 1/4
2 习题解答
3
联合分布函数:
F
(X,
Y
)
=
F (X, Y ) = 0, 其他
（1）关于 X、Y 的边缘分布函数；（2）此电子部件正常工作 120 小时以上的概率.
解：(1)X 的边缘分布函数:
{
1 − e−0.01x, x ≥ 0;
Fx(x) = lim F (x, y) = y→+∞
0, 其他
Y 的边缘分布函数:
{
1 − e−0.01y, y ≥ 0;
≤x≤
1;
{ 4x(1 − x)2, 0 ≤ x ≤ 1;
fX (x) = −∞ f (X, Y )dy = x
= 0, 其他
0, 其他
∫ +∞
∫
y
8xydx, 0
≤y
≤1
{ 4y3, 0 ≤ y ≤ 1;
fY (y) = −∞ f (X, Y )dy = 0
= 0, 其他
0, 其他
有：fX (x) · fY (y) ̸= f (X, Y ), 则 X 与 Y 不相互独立.
∫ 1 1 − x4
C[
]dx =
−1 2
C [x −
2
x5 5
]1−1
=
4C 5
=⇒
C
=
5 4
∫ P {0 < x ≤ 1/2} =
1 2
∫ dx
1−x2
5 (x2 + y)dy
=
79
0
0
4
256
2 习题解答
5
（3）
∫∫
P {X = Y 2} =
f (x, y)dσ = 0
{(x,y )|y =x2 }
242 − 0.5 × 222 − 0.5 × 212
=
= 0.120
242
11、两个人约定在下午 1 时到 2 时之间的任何时刻到达某车站乘公共汽车，并且分别独立到达车 站. 这段时间内有 4 班公共汽车，它们的开车时间分别为 1：15，1：30，1：45，2：00，如果他们约
2 习题解答
6
定：（1）见车就上；（2）最多等一辆车; 求在两种情形他们同乘一辆车的概率分别是多少？
]1x2 dx
=
∫ 1 cx2[ 1
−1
− x4 ]dx
2
=
C 2
∫1 (x2
−1
−
x6)dx
=
C x3 [
23
−
x7 7
]1−1
=
4C 21
21
=⇒ C =
4
∫ 1 21x2 ∫ x
P {X ≥ Y } =
dx ydy = 0.15
04
x2
7、设二元函数为
sin x cos y,
0
≤
x
≤
π, C
∑
1
Py = 1 =⇒ b = 9
16、某射手进行射击，击中目标两次就停止射击，而且每一次的命中率为 p（0<p<1) 令 X 表示第
一次命中目标时的射击次数，令 Y 表示第二次命中目标时的射击次数，试求：
（1）Y 的分布律；（2）条件分布律 P｛X=i|Y=i｝和 P｛Y=i|X=i｝.
解：
P {X = i, Y = j} = (1 − p)j−2p2, 1 ≤ i < j = 2, 3, · · · ,
1
0.06 0.10 0.12 0.05 0.02
2
0.05 0.06 0.09 0.04 0.03
3
0.02 0.03 0.03 0.03 0.04
计算以下概率：（1）P｛X =2｝；（2）P｛X ≤ 2, Y ≤ 2｝；（3）P｛Y ≥ 2｝；（4）P｛X=Y｝； （5）P｛X>Y｝. 解：（1）P {X = 2} = 0.27 （2）P {X ≤ 2, Y ≤ 2} = 0.69 （3）P {Y ≥ 2} = 0.53 （4）P {X = Y } = 0.3 （5）P {X > Y } = 0.25
y )
=
0
⇒
B
=
π
x→−∞
2
3
2
lim
F (x, y)
=
A(B
+ arctan
x )(C
−
π )
=
0
⇒
C
=
π
y→−∞
2
2
2
lim F (x, y)
x→+∞
=
A(B
+
π )(C
2
+
π )
2
=
1
⇒
A
=
1 π2
y→+∞
(2)X 的边缘分布函数:
Fx(x)
=
lim F (x, y)
y→+∞
=
1π (
π2
+ arctan
10、设甲船在 24 小时内随机到达码头，并停留 2 小时；乙船也在 24 小时内独立地随机到达，并停 留 1 小时，试求：（1）甲船先到达的概率 p1;（2）两船相遇的概率 P2. 解：（1）
p1 = P {X < Y } = 0.5
（2）阴影部分的面积除以总面积
p2 = P {X < Y < X + 2} ∪ P {Y < X < Y + 1} = P {X − 1 < Y < X + 2}
（1）Y 的分布律: P {Y = j} = Cj1−1(1 − p)j−2p2 （2）条件分布律:
P {X = i, Y = j}
(1 − p)j−2p2
1
P {X = i|Y = j} =
2 习题解答
1、二维随机变量（X，Y）的联合分布函数是：
F (X, Y ) = A(B + arctan x )(C + arctan y ), (x, y) ∈ R2