高考知识点古典概型

第5节古典概型

最新考纲 1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.

知识梳理

1.基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的.

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

2.古典概型

具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.

(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.

(2)每一个试验结果出现的可能性相同.

3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，

那么每一个基本事件的概率都是1

n；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事

件A的概率P(A)＝m n.

4.古典概型的概率公式

P(A)事件A包含的可能结果数试验的所有可能结果数

.

[常用结论与微点提醒]

1.古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法.

2.概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B ＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.()

(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.( )

(3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.( )

(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.( )

解析 对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，应利用几何概型求概率，所以(4)不正确.

答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×

2.(必修3P127例3改编)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( ) A.118 B.19 C.16 D.112

解析 所有基本事件的个数为6×6＝36，点数之和为5的基本事件有(1，4)，(2，

3)，(3，2)，(4，1)共4个.

故所求概率为P ＝436＝19.

答案 B

3.(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25 C.825

D.925

解析 甲被选中的概率为P ＝C 11C 14C 25

＝410＝25. 答案 B

4.(2018·长沙模拟)在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由

这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大122，则

口袋中原有小球的个数为( )

A.5

B.6

C.10

D.11

解析 设原来口袋中白球、黑球的个数分别为n 个，依题意

n ＋12n ＋1－n 2n ＝122，解得n ＝5.

所以原来口袋中小球共有2n ＝10个.

答案 C

5.在集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭

⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝n π6，n ＝1，2，3，…，10中任取一个元素，则所取元素恰好满足方程cos x ＝12的概率是________.

解析 基本事件总数为10，满足方程cos x ＝12的基本事件数为2，故所求概率为

P ＝210＝15.

答案 15

考点一 简单的古典概型的概率

【例1】 (1)(2017·山东卷)从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ) A.518 B.49 C.59 D.79

(2)(2018·沈阳模拟)将A ，B ，C ，D 这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学”的概率是( )

A.12

B.14

C.16

D.18 解析 (1)由题意得，所求概率P ＝

5×4×29×8＝59. (2)A ，B ，C ，D 4名同学排成一排有A 44＝24种排法.当A ，

C 之间是B 时，有2×2＝4种排法，当A ，C 之间是

D 时，有2种排法，所以所求概率为4＋224＝14.

答案 (1)C (2)B

规律方法 1.计算古典概型事件的概率可分三步：(1)计算基本事件总个数n ；

(2)计算事件A 所包含的基本事件的个数m ；(3)代入公式求出概率P .

2.(1)用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏.

(2)利用排列、组合计算基本事件时，一定要分清是否有序，并重视两个计数原理的灵活应用.

【训练1】 (1)(2018·湖南衡阳八中、长郡中学等十三校二模)同学聚会上，某同学从《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为( )

A.13

B.12

C.23

D.56

(2)(2018·昆明诊断)从集合A ＝{－2，－1，2}中随机抽取一个数记为a ，从集合B ＝{－1，1，3}中随机抽取一个数记为b ，则直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率为( )

A.29

B.13

C.49

D.14

解析 (1)从四首歌中任选两首共有C 24＝6种选法，不选取《爱你一万年》的方

法有C 23＝3种，故所求的概率为P ＝36＝12.

(2)(a ，b )所有可能的结果为(－2，－1)，(－2，1)，(－2，3)，(－1，－1)，(－1，

1)，(－1，3)，(2，－1)，(2，1)，(2，3)，共9种.由ax －y ＋b ＝0得y ＝ax ＋b ，当⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，b ≥0

时，直线不经过第四象限，符合条件的(a ，b )的结果为(2，1)，(2，3)，共2种，∴直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率P ＝29.

答案 (1)B (2)A

考点二 复杂的古典概型的概率(典例迁移)

【例2】 (经典母题)某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一