高等代数课件北大版第三章线性方程组.ppt
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高等代数课件(北大版)第三章-线性方程组§3-1
例 解下列方程组
5 x1 2 x1
x2 x2
2x3 4x3
x4 7 2x4 1
x1 3x2 6x3 5x4 0
解：对方程组的增广矩阵作初等行变换
5 1 2 1 7 1 3 6 5 0
2 1
1 3
4 6
2 5
asn xn bs
先检查(1)中 x1的系数，若 a11,a21, ,as1全为零， 则 x1没有任何限制，即x1可取任意值，从而方程组
(1)可以看作是 x2 , , xn的方程组来解．
§3.1 2019/8/9 消元法
数学与计算科学学院
如果 x1的系数不全为零，不妨设，a11 0. 分别把第一个方程 ai1 的倍加 到第i个方程 (i 2, ,．s)
1 0
2 5
1 1
4 2
2 1
1 7
1 3 6 5 0 1 3 6 5 0
0 0
7 14
16 32
12 24
1 7
0 0
7 0
16 0
12 0
1 5
从最后一行知，原方程组无解。
§3.1 2019/8/9 消元法
数学与计算科学学院
§3.1 2019/8/9 消元法
数学与计算科学学院
再考虑方程组
a22 x2
a2 n xn b2
(4)
as2 x2 asn xn bs
显然，方程组(4)的一个解代入方程组(3)就得出(3)
的一个解；而方程组(3)的解都是方程组(4)有解。
北大高等代数 第三章 线性方程组
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的 方程组与变换后的方程组是同解的（证明）， 故这三种变换是同解变换．
8
初等变换的作用：求解一般线性方程组．
对于线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2 a2n xn
b2
as1x1 as2 x2 asn xn bs
其 中cii 0，i 1,2, , n.
这 时 （1） 有 唯 一 解 ；
17
方程组（1）由系数和常数项确定，所以（1） 还可以表为
a11 A a21
as1
a12 a1n
a22 a2n
as2 asn
a11 a12 B ( A | b) a21 a22
as1 as2
2x1 x2 4x1 2x2
3x3 5x3
1 4
2x1 x2 4x3 1
（2）
42xx1 12xx22
3x3 5x3
1 4
2x1 x2 4x3 0
答案：（1） x2 2c 7, x3 2, x1 c.
（2） 无解
20
将上述非奇次线性方程组的理论应用于齐次 线性方程组可有如下结论：
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a22 x2 a2n xn b2
as2 x2 asn xn bs
其中
aij
aij
ai1 a11
a1j
i 2,3, ,s;
j 2,3, ,n
bi
bi
ai1 a11
b1
i 2,3, ,s;
（2）
10
若我们能够求解如下方程组
（II） 如 果dr1 0， 方 程组 （1） 有 无穷 多 组解.
8
初等变换的作用：求解一般线性方程组．
对于线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a21x1
a22 x2 a2n xn
b2
as1x1 as2 x2 asn xn bs
其 中cii 0，i 1,2, , n.
这 时 （1） 有 唯 一 解 ；
17
方程组（1）由系数和常数项确定，所以（1） 还可以表为
a11 A a21
as1
a12 a1n
a22 a2n
as2 asn
a11 a12 B ( A | b) a21 a22
as1 as2
2x1 x2 4x1 2x2
3x3 5x3
1 4
2x1 x2 4x3 1
（2）
42xx1 12xx22
3x3 5x3
1 4
2x1 x2 4x3 0
答案：（1） x2 2c 7, x3 2, x1 c.
（2） 无解
20
将上述非奇次线性方程组的理论应用于齐次 线性方程组可有如下结论：
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a22 x2 a2n xn b2
as2 x2 asn xn bs
其中
aij
aij
ai1 a11
a1j
i 2,3, ,s;
j 2,3, ,n
bi
bi
ai1 a11
b1
i 2,3, ,s;
（2）
10
若我们能够求解如下方程组
（II） 如 果dr1 0， 方 程组 （1） 有 无穷 多 组解.
高等代数【北大版】课件
线性规划问题
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
高等代数课件北大版第三章线性方程组
定义：将线性方程 组中的每一行进行 加减、倍乘等操作， 使得方程组简化
作用：将增广矩阵 化为阶梯形矩阵， 便于求解线性方程 组
步骤：对增广矩阵 进行初等行变换， 得到阶梯形矩阵
注意事项：变换过 程中需保持矩阵的 行列式不变，避免 出现错误结果
矩阵的逆法
定义：如果矩阵A存在逆矩阵，则称A为可逆矩阵 性质：可逆矩阵的行列式不为0 计算方法：通过行初等变换将矩阵变为单位矩阵，得到逆矩阵 应用：解线性方程组的重要工具之一
束优化问题等。
线性方程组在其他领域的应用
物理学中的应用：描述物理现象和规律，如牛顿第二定律、万有引力定律等。 经济学中的应用：分析经济问题，如供需关系、生产成本等。 计算机科学中的应用：解决优化问题、机器学习算法等。 统计学中的应用：处理数据分析和预测问题，如回归分析、主成分分析等。
线性方程组的扩展知识
添加标题
逆矩阵的计算方法：通过高斯消元法或拉普拉斯展开式等方法计算行列式|A|，然后通过|A|*|A^(1)|=1计算逆矩阵A^(-1)。
添加标题
逆矩阵的应用：在解线性方程组、求矩阵的秩、计算行列式、求向量空间的一组基等方面都有应用。
线性方程组的通解与特解的关系
通解与特解的定义
通解与特解的关系
通解与特解的求解方法
线性方程组在计算机科学中的应用
线性方程组在计算机图形学中 的应用：用于计算光照、纹理 映射和渲染等。
线性方程组在计算机视觉中的 应用：用于图像处理、特征提
取和目标检测等。
线性方程组在机器学习中的应 用：用于训练和优化模型，如 线性回归和逻辑回归。
线性方程组在人工智能领域的 应用：用于优化算法、求解约
通解与特解的应用
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扬州大学高等代数课件北大三版--第三章线性方程组-PPT课件
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2 4 2
3
把第1个方程分别乘以（-2）、 （-1）加到第2个、3个方程
把第1行分别乘以（-2）、 （-1）加到第2、3行
线 性 方 程 组
2 x1 x 2 3 x 3 1 4 x2 x3 2 x2 x3 5
→
2 0 0
1 4 1
3 1 1
1 2 5
课件
4
高 等 代 数
把第3个方程分别乘以（-4）、 1加到第2个、1个方程
把第3行分别乘以（-4）、 1加到第2、1行
2 x1
2 x3 6 3 x3 18 x 2 x3 5
→
2 0 0 2 0 0
—（1）
3
线 性 方 程 组
当m=n，且系数行列式 D 0 时，我们知方程组（1）有唯一解， 其解由Gramer法则给出。但是若此时D=0，我们无法知道此时 方程组是有解，还是无解。同时，当 m n 时，我们也没有解 此方程组（1）的有效方法。因此我们有必要对一般线性方程
课件 3
高 等 代 数
性 方 程 组
用一个数乘矩阵的某一行加到另一行上； 用一个非零数乘矩阵的某一行；
课件 6
互换两行的位置。 这三种变换被称为矩阵的初等行变换。 从上面可以看出，解线性方程组的问题可以转化成对 由方程组的未知量系数和常数项所排成的一个“数表”进行 相应的“变换”，从而得到方程组的解。这个数表就称为矩 阵。抛开具体的背景，下面引进矩阵的定义和它的初等变换。 定义1（矩阵）：数域 F 上 mn 个元素排成形如下数表 a1n a11 a12 a a a 22 2n 21 3 称为数域 F 上的m行n列 amn a m1 a m 2 线 矩阵，简称 mn阶矩阵，记为 A 或 a ij m n 。 a i j 称为矩阵的 mn 性 元素，i称为元素 a i j 所在行的行下标，j称为元素 a i j 所在列的 方 n n 矩阵亦称为方阵。 列下标。 当m=n时，
高等代数 线性方程组
增广矩阵
9
a11 x1 a12 x2 a1 n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
AX O
~ A ( A | O)
2 3 1
4 1 1
1 2 1
3 1 0
4 1 1
1 3 41 21 3
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0 , 2 或 3时齐次方程组有非零解.
1 r ( 1)r r ( 1)r 0 0 0
2 3 1 3
7 1 0 1 1 0 3 r (1)r 0 1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2
1 2 0
4 0 3 0 4 3 3 0
k 0或k =2
7
例2 问 取何值时，齐次方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 3 x2 x3 0, x x 1 x 0, 1 2 3
有非零解？ 1 解: D 2 1
3
其中c为任意常数.
例4 设有线性方程组
x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 x x x 2 1 2 3
问取何值时 有唯一解? 有无穷多个解 无解? , ?
解:
对增广矩阵 A 作初等行变换，
A1 1
1
1
1 1 r r 1 1 1 3 2
阶梯形矩阵
行简化阶梯形矩 阵
9
a11 x1 a12 x2 a1 n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n an1 x1 an 2 x2 ann xn 0
AX O
~ A ( A | O)
2 3 1
4 1 1
1 2 1
3 1 0
4 1 1
1 3 41 21 3
齐次方程组有非零解，则 D 0
所以 0 , 2 或 3时齐次方程组有非零解.
1 r ( 1)r r ( 1)r 0 0 0
2 3 1 3
7 1 0 1 1 0 3 r (1)r 0 1 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2
1 2 0
4 0 3 0 4 3 3 0
k 0或k =2
7
例2 问 取何值时，齐次方程组
1 x1 2 x2 4 x3 0, 2 x1 3 x2 x3 0, x x 1 x 0, 1 2 3
有非零解？ 1 解: D 2 1
3
其中c为任意常数.
例4 设有线性方程组
x1 x2 x3 1 x1 x2 x3 x x x 2 1 2 3
问取何值时 有唯一解? 有无穷多个解 无解? , ?
解:
对增广矩阵 A 作初等行变换，
A1 1
1
1
1 1 r r 1 1 1 3 2
阶梯形矩阵
行简化阶梯形矩 阵
第3章 线性方程组 3PPT课件
4 3x5 2
方程组中首项非零元是: x1,x3,x4 自由变量是: x2 , x5
14
例3 用高斯消元法解线性方程组
x 2 y 2z 1 3 x y 2z 7 5 x 3 y 4z 2
解 首先用高斯消元法将方程组化简，
x 2y 2z 1 x2y2z1 x2y2z1 3x y 2z 7 7y11z107y11z10
返8回
1.高斯消元法
3x14x26x34
例1 用高斯消元程 法组 解 x1线 2x2性 4x3方 1
x12x27x30
99
3x1 4x2 6x3 4
x1 2x2 4x3 1
解:
x1
2x2
4x3
1
r 1 r23x1 4x2 6x3 4
x1 2x2 7x3 0
x1 2x2 7x3 0
注: 对于m个方程n个变量（m＜n）的方程组，不可能 取得惟一解，这是因为当m＜n时，化简后不可能得到 三角形方程组，只能化成梯形方程组，因此结果或是无 解，或是具有自由变量而有无穷多组解.
16
对线性方程组增广矩阵进行初等变换与对方程组进行 初等变换是相互对应的，因此当用高斯消元法来求解线性 方程组时可以应用矩阵的初等变换进行.
5x 3y 4z 2
7y11z7
0y0z3
这是一个梯形方程组，最后一个方程 0y+0z=3 是一个退 化方程，该方程无解，所以该方程组无解.
15 15
定理3.2.1 任一线性方程组必满足以下三项中之一项： （1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷组解.
实际上，用高斯消元法可将方程组化为梯形方程组， 即可判断出无解的情形; 当方程有解时，如果化简后的方 程组中没有自由变量，即为三角形方程组，则方程组有惟 一解；若方程组中有自由变量，则方程组有无穷解.
方程组中首项非零元是: x1,x3,x4 自由变量是: x2 , x5
14
例3 用高斯消元法解线性方程组
x 2 y 2z 1 3 x y 2z 7 5 x 3 y 4z 2
解 首先用高斯消元法将方程组化简，
x 2y 2z 1 x2y2z1 x2y2z1 3x y 2z 7 7y11z107y11z10
返8回
1.高斯消元法
3x14x26x34
例1 用高斯消元程 法组 解 x1线 2x2性 4x3方 1
x12x27x30
99
3x1 4x2 6x3 4
x1 2x2 4x3 1
解:
x1
2x2
4x3
1
r 1 r23x1 4x2 6x3 4
x1 2x2 7x3 0
x1 2x2 7x3 0
注: 对于m个方程n个变量（m＜n）的方程组，不可能 取得惟一解，这是因为当m＜n时，化简后不可能得到 三角形方程组，只能化成梯形方程组，因此结果或是无 解，或是具有自由变量而有无穷多组解.
16
对线性方程组增广矩阵进行初等变换与对方程组进行 初等变换是相互对应的，因此当用高斯消元法来求解线性 方程组时可以应用矩阵的初等变换进行.
5x 3y 4z 2
7y11z7
0y0z3
这是一个梯形方程组，最后一个方程 0y+0z=3 是一个退 化方程，该方程无解，所以该方程组无解.
15 15
定理3.2.1 任一线性方程组必满足以下三项中之一项： （1）有惟一解；（2）无解；（3）有无穷组解.
实际上，用高斯消元法可将方程组化为梯形方程组， 即可判断出无解的情形; 当方程有解时，如果化简后的方 程组中没有自由变量，即为三角形方程组，则方程组有惟 一解；若方程组中有自由变量，则方程组有无穷解.
高等代数 北大 课件
拉普拉斯定理与因式分解
总结词
拉普拉斯定理的表述、应用和因式分解的方法。
详细描述
拉普拉斯定理是行列式计算中的重要定理，它提供了计算行列式的一种有效方法。因式分解是将多项式分解为若 干个因子的过程，是解决代数问题的重要手段之一。
CHAPTER 04
矩阵的分解与二次型
矩阵的分解
01
02
03
矩阵的三角分解
矩阵的乘法
矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不一定满足 交换律。
பைடு நூலகம்
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
对于一个非奇异矩阵，存在一个逆矩阵，使得原矩阵 与逆矩阵相乘等于单位矩阵。
行列式的定义
行列式是一个由矩阵元素构成的数学量，可以用于描 述矩阵的某些性质。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换律、结合律、分 配律等。
将一个矩阵分解为一个下 三角矩阵和一个上三角矩 阵之积。
矩阵的QR分解
将一个矩阵分解为一个正 交矩阵和一个上三角矩阵 之积。
矩阵的奇异值分解
将一个矩阵分解为若干个 奇异值和若干个奇异向量 的组合。
二次型及其标准型
二次型的定义
一个多项式函数，可以表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中 $a_{ij}$是常数。
VS
二次型的标准型
通过线性变换，将一个二次型转化为其标 准形式，即一个平方项之和减去另一个平 方项之和。
正定二次型与正定矩阵
正定二次型的定义
对于一个二次型，如果对于所有 的非零向量$x$，都有$f(x) > 0$ ，则称该二次型为正定二次型。
北京大学高等代数3
向量空间是带运算的集合
数域 K 上全体 n 维向量构成的集合, 连同其上定义的加法、数乘运算, 构成 n 维向量空间, 记为 Kn .
从向量空间到线性空间
在前两章中, 我们已经可以看到向量方法的威力. 在 Gauss 消元法中, 我们对行向量组做初等变换, 用向量表示解集合; 要从几何上理解行列式, 理解克莱姆法则, 也离不开向量…
例: 仅由八条性质就可推出
4) k K , 有 k 0 = 0 . 证: k 0 = 0 + k 0
= ((–k0)+k0)+k0 =(–k0)+( k0 + k0 ) =(–k0)+ k(0+0) =(–k0)+ k0 =0
性质 (3) 性质 (4) 性质 (2) 性质 (7) 性质 (3) 性质 (4)
1. α β β α
2. ( α β ) γ α ( β γ )
3. 0, α , α 0 α (存在零元素)
4. α , β, α β 0
(存在负元素)
5. 1α α
6. ( k l )α k α l α
7. k (α β) k α k β 8. ( k l )α k (l α)
（ 麻省理工开放课程教学影片）
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linalg2
linalg2
…
…
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第三章 线性空间
1 向量空间与线性空间 2 线性相关与线性无关 3 向量组的极大无关组与秩 4 线性空间的基与维数 5 矩阵的秩 6 线性方程组解的结构
高等代数北大版1-4ppt课件
f ( x),g( x)的最大公因式.
§1.4 最大公因式
11
如: f ( x)=x2 1, g( x)=1 ，则 ( f ( x)、g( x))=1. 取 u( x)= 1, v( x)=x2 ，有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取 u( x)=0, v( x)=1 ，也有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取u( x)= 2, v( x)=2x2 1 ,也有u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1.
用 g( x) 除 f ( x) 得：
f ( x) q1( x)g( x) r1( x) 其中 (r1( x)) ( g( x)) 或 r1( x) 0 .
若 r1( x) 0 ，用 r1( x) 除 g( x)，得：
g( x) q2( x)r1( x) r2( x)
§1.4 最大公因式
辗转相除法．
② 定理２中最大公因式 d( x)=u( x) f ( x)+v( x)g( x) 中的 u( x)、v( x) 不唯一.
③ 对于 d( x), f ( x),g( x) P[x], u( x),v( x) P[x]，
使 d(x)=u( x) f ( x) v( x)g( x) ,但是 d(x)未必是
若 f ( x), g( x)不全为零，则( f ( x), g( x)) 0.
④ 最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大
公因式是唯一的. 若 d1( x)、d为2( x) f ( x)、g( x)
的最大公因式，则 d1( x)=c，d2(cx为) 非零常数．
§1.4 最大公因式
4
二、最大公因式的存在性与求法
高等代数线性方程组
的一个极大线性无关组。 向量组的极大线性无关组不是唯一的
定理 一个向量组的任何极大线性无关组都含有相同个数的向量。
线性方程组
§3 线性相关性
定义 一个向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组 的秩 (rank)。
例7 求下面向量组的秩 1 ( 1 , 4 , 1 , 0 ) 2 , ( 2 , 1 , 1 , 3 ) 3 , ( 1 , 0 , 3 , 1 ) 4 , ( 0 , 2 , 6 , 3 )
线性表出。
向量1，2，…，n 称为n维单位向量
线性方程组
§3 线性相关性
定义：如果向量组 1 , 2, , s(s 2 )中有一个向量可以由其余的向
量线性表出，那么称向量组 1, 2,, s是线性相关的。
等价定义：
定义：设 1 , 2 , , s(s 1 )是Pn中的s个向量，若存在数域P中的一组不
系数矩阵
未知向量
右端向量
线性方程组
§1 消元法
● 线性方程组的初等变换
➢ 用一个非零的数乘以某一个方程； ➢ 把某一个方程的倍数加到另一个方程；
方程组的初等变换 是否会改变线性方
程组的解？
➢ 互换两个方程的位置；
● 矩阵的初等行变换
定理：方程组的初等变换将一个 线性方程组变为一个与它同解的 线性方程组。
1 ( 1 , 1 , 0 )2 ,( 0 , 2 , 1 )3 , ( 1 , 1 , 2 ) , ( 5 , 7 , 5 )
试问向量 是否为向量组 1,2,3 的一个线性组合？
例2 在P n中，任何一个n维向量 (a 1,a 2, ,a n)都可由 1 ( 1 , 0 , , 0 )2 , ( 0 , 1 , , 0 ) ,n ( 0 , 0 , , 1 )
定理 一个向量组的任何极大线性无关组都含有相同个数的向量。
线性方程组
§3 线性相关性
定义 一个向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组 的秩 (rank)。
例7 求下面向量组的秩 1 ( 1 , 4 , 1 , 0 ) 2 , ( 2 , 1 , 1 , 3 ) 3 , ( 1 , 0 , 3 , 1 ) 4 , ( 0 , 2 , 6 , 3 )
线性表出。
向量1，2，…，n 称为n维单位向量
线性方程组
§3 线性相关性
定义：如果向量组 1 , 2, , s(s 2 )中有一个向量可以由其余的向
量线性表出，那么称向量组 1, 2,, s是线性相关的。
等价定义：
定义：设 1 , 2 , , s(s 1 )是Pn中的s个向量，若存在数域P中的一组不
系数矩阵
未知向量
右端向量
线性方程组
§1 消元法
● 线性方程组的初等变换
➢ 用一个非零的数乘以某一个方程； ➢ 把某一个方程的倍数加到另一个方程；
方程组的初等变换 是否会改变线性方
程组的解？
➢ 互换两个方程的位置；
● 矩阵的初等行变换
定理：方程组的初等变换将一个 线性方程组变为一个与它同解的 线性方程组。
1 ( 1 , 1 , 0 )2 ,( 0 , 2 , 1 )3 , ( 1 , 1 , 2 ) , ( 5 , 7 , 5 )
试问向量 是否为向量组 1,2,3 的一个线性组合？
例2 在P n中，任何一个n维向量 (a 1,a 2, ,a n)都可由 1 ( 1 , 0 , , 0 )2 , ( 0 , 1 , , 0 ) ,n ( 0 , 0 , , 1 )
高等代数课件第三章-线性方程组
as1 x1 as2 x2 L asn xn bs
（1'）
设 (c1,c2 ,L ,cn )是方程组（1）的任一解，则
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
a11c1 a12c2 L a1ncn b1
aaL2s11ccL11 LaaL2s22ccL22
L a2ncn LLLLL L asncn
L
b2 bs
(1)
先检查(1)中 x1 的系数，若a11,a21,L ,as1 全为零， 则 x1没有任何限制，即x1 可取任意值，从而方程组
(1)可以看作是 x2 ,L , xn的方程组来解．
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
如果 x1的系数不全为零，不妨设，a11 0. 分别把第一个方程 ai1 的倍加 到第i个方程 (i 2,L , ．s)
L
b2 bs
(1)
简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个 方程得到新方程组（1'）．
(a11 ka21 ) x1 (a12 ka22 ) x2 L (a1n ka2n )xn b1 kb2
a21 x1 a22 x2 L a2n xn b2 LLLLLLLLLLL
2．方程组的解
设 k1, k2 ,L , kn 是 n 个数，如果x1, x2 ,L , xn 分别用 k1, k2 ,L , kn 代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式, 则称有序数组 (k1, k2 ,L , kn ) 是（1）的一个解.
(1)的解的全体所成集合称为它的解集合． 解集合是空集时就称方程组（1）无解．
A
a21 L
a22 L
L L
as1 as2 L
（1'）
设 (c1,c2 ,L ,cn )是方程组（1）的任一解，则
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
a11c1 a12c2 L a1ncn b1
aaL2s11ccL11 LaaL2s22ccL22
L a2ncn LLLLL L asncn
L
b2 bs
(1)
先检查(1)中 x1 的系数，若a11,a21,L ,as1 全为零， 则 x1没有任何限制，即x1 可取任意值，从而方程组
(1)可以看作是 x2 ,L , xn的方程组来解．
§3.1 2020/3/29 消元法
数学与计算科学学院
如果 x1的系数不全为零，不妨设，a11 0. 分别把第一个方程 ai1 的倍加 到第i个方程 (i 2,L , ．s)
L
b2 bs
(1)
简便起见，不妨设把第二个方程的k倍加到第一个 方程得到新方程组（1'）．
(a11 ka21 ) x1 (a12 ka22 ) x2 L (a1n ka2n )xn b1 kb2
a21 x1 a22 x2 L a2n xn b2 LLLLLLLLLLL
2．方程组的解
设 k1, k2 ,L , kn 是 n 个数，如果x1, x2 ,L , xn 分别用 k1, k2 ,L , kn 代入后，(1)中每一个式子都变成恒等式, 则称有序数组 (k1, k2 ,L , kn ) 是（1）的一个解.
(1)的解的全体所成集合称为它的解集合． 解集合是空集时就称方程组（1）无解．
A
a21 L
a22 L
L L
as1 as2 L
高等代数课件 第三章
,
k2
,,
k
s
, i, j
i,.
但（2）正是对（1）施行 i, j 对换而得到的排列。因此，
对（1）施行对换i, j相当于连续施行2s+1次相邻数码的对
换。由（1），每经过一次相邻两数码的对换，排列都改变
奇偶性。由于2s+1是一个奇数，所以（1）与（2）的奇偶性
相反。
定理3.2.3 在n个数码(n>1)的所有n！个排列，
称为三阶行列式, 即
主对角线法
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
‘—’三元素乘积取“+”号； ‘—’三元素乘积取“-”号.
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
二、行列式在线性方程组中的应用
(1) (k1k2kn ) 。然而 (12n) 0 。由上面的讨论
可知
(1)st (1) (12n) (k1k2kn ) (1) (k1k2kn )
引理被证明。
二、行列式的性质
命题3.3.1 行列式与它的转置行列式相等，即D D 命题3.3.2 交换一个行列式的两行（或两列）， 行列式改变符号。
（旁边的i和j表示行的序 数）
D的每一项可以写成
（5） a1k1 aiki a jkj ankn
因为这一项的元素位于D1 的不同的行与不同的列，所以它也 （是同5项D）1对在的应D一中着项的D，1符反的号过不是来同(，项1D，)1的(因k1每此ki一Dk j与 项kn也D) ，1含是然D有而的相在一同D项的1，中项并，。且原D行的列不
(1)
如果含有两个未知量两个方程的线性方程组(1)
高等代数【北大版】课件
多项式的因式分解与根的性质
总结词
多项式的因式分解、根的性质和求解方 法
VS
详细描述
多项式的因式分解是将多项式表示为若干 个线性因子乘积的过程。通过因式分解， 可以更好地理解多项式的结构，简化计算 和证明。此外，多项式的根是指满足多项 式等于0的数。根的性质包括根的和与积、 重根的性质等。求解多项式的根的方法有 多种，如求根公式、因式分解法等。
性方
02
线性方程组的解法
高斯消元法 通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵，从而求解线性方程组。
选主元高斯消元法
选择主元以避免出现除数为0的情况， 提高算法的稳定性。
追赶法
适用于系数矩阵为三对角线矩阵的情 况，通过逐步消去法求解。
迭代法
通过迭代逐步逼近方程组的解，常用 的方法有雅可比迭代法和SOR方法。
向量空间的子空间与基底
总结词
子空间与基底
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，它也满足向量空间的定义和性质。基底是 向量空间中一个线性独立的集合，它可以用来表示向量空间中的任意元素。基 底中的向量个数称为向量空间的维数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量空间的维数与基底的关系
总结词
维数与基底的关系
详细描述
向量空间的维数与基底密切相关。一个向量空间的维数等于其基底的向量个数。 如果一个向量空间有n个基底，则它的维数为n。同时，如果一个向量空间有有限 个基底，则它的维数是有限的。
行列式
06
行列式的定义与性质
总结词
行列式的定义和性质是高等代数中的 基础概念，包括代数余子式、余子式、 转置行列式等。
详细描述
行列式是由n阶方阵的n!项组成的代数 式，按照一定规则排列，具有一些重 要的性质，如交换律、结合律、代数 余子式等。这些性质在后续章节中有 着广泛的应用。
【2021】线性代数ppt第三章 线性方程组.完整资料PPT
注: 倍乘变换必须用非零的数去乘 非齐次线性方程组的相容性
(space of solutions)
某一个方程(multiplying by a
nonzero scalar).
第三章 线性方程组
§3.1 线性方程组和Gauss消元法
2. 阶梯形线性方程组的有三种基本类型.
例如:
2x1+3x2 x3 = 1 2x2+x3 = 2 0= 1
a11 a12 … a1n
x1
b1
设A =
a21 a22 … a2n …………
,
x=
x2 …
, b=
b2 …
,
am1 am2 … amn
xn
bm
vector of unknowns vector of constants
a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1
则
a21x1+a22x2+… a2nxn = b2 …………………
r2 = r1 = n
12112 00143 00000
第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
关于自由未知量的选择还可参见例题3.4 这是一个难点
作业： P105 (A) 一、（1） 预习3.2，3.3节
第三章 线性方程组
Ax = b.
am1x1+am2x2+…+amnxn = bm
通解：线性方程组全部解的表达式
同解方程组(having the same set of solutions)；
第三章 线性方程组
§3.1 线性方程组和Gauss消元法
a11 a12 … a1n
称A =
(space of solutions)
某一个方程(multiplying by a
nonzero scalar).
第三章 线性方程组
§3.1 线性方程组和Gauss消元法
2. 阶梯形线性方程组的有三种基本类型.
例如:
2x1+3x2 x3 = 1 2x2+x3 = 2 0= 1
a11 a12 … a1n
x1
b1
设A =
a21 a22 … a2n …………
,
x=
x2 …
, b=
b2 …
,
am1 am2 … amn
xn
bm
vector of unknowns vector of constants
a11x1+a12x2+…+a1nxn = b1
则
a21x1+a22x2+… a2nxn = b2 …………………
r2 = r1 = n
12112 00143 00000
第三章 线性方程组
§3.2 齐次线性方程组
关于自由未知量的选择还可参见例题3.4 这是一个难点
作业： P105 (A) 一、（1） 预习3.2，3.3节
第三章 线性方程组
Ax = b.
am1x1+am2x2+…+amnxn = bm
通解：线性方程组全部解的表达式
同解方程组(having the same set of solutions)；
第三章 线性方程组
§3.1 线性方程组和Gauss消元法
a11 a12 … a1n
称A =
高等代数课件(北大版)第三章-线性方程组§3-3
一、线性组合 二、向量组的等价 三、线性相关性 四、极大无关组
2024/7/17
数学与计算科学学院
一、线性组合
定义 设 1,2, ,s Pn , k1, k2 , , ks P
和
k11 k22 kss
称为向量组 1,2, ,s 的一个线性组合.
若向量 可表成向量组 1,2, ,s 的一个线性组
2）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量 组一定线性相关.
3）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一 个向量可由其余向量线性表出.
§3.3 2024/7/17 线性相关性
数学与计算科学学院
4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向 量组也线性相关；
一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组 都线性无关.
( x1 x3 )1 ( x1 x2 )2 ( x2 x3 )3 0
由于 1,2 ,3 线性无关，于是有
x1 x1
x3 x2
0 0
解之得 x1 x2 x3 0.
x2 x3 0
所以 1, 2 , 3 线性无关 .
§3.3 2024/7/17 线性相关性
数学与计算科学学院
四、极大线性无关组 秩
§3.3 2024/7/17 线性相关性
数学与计算科学学院
1）证：由于 1,2 不成比例，1,2 线性无关. 2）解： 由 k11 k22 k33 0,
k1 3k3 0
即
k1 3k2 2k1 k2 4k1 2k2
0 7k3 0 14k3 0
解得 k1 3k3 , k2 k3 , k3 为自由未知量.
k1, k2 , , kr , 使 k11 k22 k rr 0.
r
作线性组合 x11 x22 x rr xii
2024/7/17
数学与计算科学学院
一、线性组合
定义 设 1,2, ,s Pn , k1, k2 , , ks P
和
k11 k22 kss
称为向量组 1,2, ,s 的一个线性组合.
若向量 可表成向量组 1,2, ,s 的一个线性组
2）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量 组一定线性相关.
3）一向量组线性相关的充要条件是其中至少有一 个向量可由其余向量线性表出.
§3.3 2024/7/17 线性相关性
数学与计算科学学院
4）一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向 量组也线性相关；
一个向量组若线性无关，则它的任何一个部分组 都线性无关.
( x1 x3 )1 ( x1 x2 )2 ( x2 x3 )3 0
由于 1,2 ,3 线性无关，于是有
x1 x1
x3 x2
0 0
解之得 x1 x2 x3 0.
x2 x3 0
所以 1, 2 , 3 线性无关 .
§3.3 2024/7/17 线性相关性
数学与计算科学学院
四、极大线性无关组 秩
§3.3 2024/7/17 线性相关性
数学与计算科学学院
1）证：由于 1,2 不成比例，1,2 线性无关. 2）解： 由 k11 k22 k33 0,
k1 3k3 0
即
k1 3k2 2k1 k2 4k1 2k2
0 7k3 0 14k3 0
解得 k1 3k3 , k2 k3 , k3 为自由未知量.
k1, k2 , , kr , 使 k11 k22 k rr 0.
r
作线性组合 x11 x22 x rr xii
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§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
数学与计算科学学院
所以方程组 x11 x22 xrr 0 只有零解.
即 a11 x1 a21 x 2
a12
x1
a22 x2
a1n x1 a2n x2
ar1xr 0 ar2 xr 0 arn xr 0
（2）
只有零解. 由引理，方程组（2）的系数矩阵
也线性无关．
于是矩阵A的列秩
r1
r
．
A的列向量
同理可证 r1 r. 所以 r1 r ．
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
数学与计算科学学院
定义 矩阵的行秩与矩阵的列秩统称为矩阵的秩，
记作秩A 或 rank( A)、R( A).
注 ① 若 A 0 ，则 R( A) 0.
②
设 A
aij
，则 R( A) min(s,n).
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
数学与计算科学学院
证： " " R( A) n, A 的 n 个行向量线性相关. 若 n ＝ 1， 则A只有一个一维行向量0， 从而A＝0， A 0 0. 若 n ＞ 1， 则A的行向量中至少有一个能由其余
行向量线性表出，从而在行列式 A 中，用这一行
于是方程组(1)与方程组(1')是同解的.
a11 x1 a12 x 2
a21
x1
a22
x2
ar1 x1 ar 2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
0 arn xn 0
（1'）
在(1')中 r n, 所以(1')有非零解，从而(1)有非零解.
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
a11 a21
A1
a12
a22
a1n a2n
ar1 ar2
arn
的行秩 r （未知量的个数）.
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
数学与计算科学学院
从而在矩阵 A1 的行向量组 (a11,a21, ,ar1, ),(a12 ,a22 , , ar 2 ), ,(a12 , a2n , , arn )
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
数学与计算科学学院
推论1 齐次线性方程组
a1n a2 n an n
a22 a11 an 2
a2 n an n
其中 (0,ai2,
, ain
)
i
ai1 a11
1,
i 2,
,n
由 A 0知， a22 an 2
a2 n 0,
an n
a22
由归纳假设，矩阵
an 2
a2 n
an n
的秩＜n－1，
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
数学与计算科学学院
sn
若 R( A) s , 则称A为行満秩的；
若 R( A) n , 则称A为列満秩的.
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
数学与计算科学学院
二、矩阵秩的有关结论
定理5 设 A (aij )nn ， 则 A 0 R( A) n ; (降秩矩阵)
A 0 R( A) n (满秩矩阵)
依次减去其余行的相应倍数，这一行就全变成了0. A 0.
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
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" " 对 n 作数学归纳法.
若 n ＝ 1，由 A 0 知，A＝0，从而 R( A) 0 1. 假若对 n－1 级矩阵结论成立，下证 n 级的情形.
设 A (aij )nn ，1,2 , ,n 为A的行向量.
从而向量组
2
a21 a11
1,
,n
an1 a11
1
线性相关， 故在不全为零的数 k2 , , kn , 使
k2
2
a21 a11
1
kn
n
an1 a11
1
0,
改写一下，有
不全为零的n个数
a21 a11
k2
an1 a11
kn
1
k22
knn 0,
1,2 , ,n 线性相关 R( A) n.
的系数矩阵
a11 a12
A
a21
a22
as1 as2
a1n
a2
n
asn
的行秩 r n，那么它有非零解．
（若(1)只有零解，则 r n. ）
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
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（1）
证：设矩阵 A 的行向量组
i (ai1,ai2 , ,ain ), i 1, 2, , s 的秩为r，且不妨设 1,2 , ,r为其一个极大无关组. 由于向量组 k2 , k2 , ,s 与向量组1,2 , ,r等价，
一、矩阵的行秩、列秩、秩 二、矩阵的秩的有关结论 三、矩阵秩的计算
2021/2/9
数学与计算科学学院
一、矩阵的行秩、列秩、秩
a11 a12
定义
设
A
a21
a22
as1 as2
a1n
a2
n
,
asn
则矩阵 A 的行向量组 (ai1,ai2 , ,ain ), i 1, 2, , s
的秩称为矩阵 A 的行秩； a1 j
考察A的第一列ห้องสมุดไป่ตู้素: a11,a21, ,an1 若它们全为零，则 R( A) n 1 n ;
若它们有一个元素不为零， 不妨设 a11 0, 则 A 的第2至 n 行减去第1行的适当倍数后可为
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
数学与计算科学学院
a11 a12 A 0 a22
0 an 2
矩阵 A 的列向量组
a2
j
,
j 1,2,
,n
asj
的秩称为矩阵 A 的列秩.
§3.4 2021/2/9 矩阵的秩
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引理 如果齐次线性方程组
a11 x1 a12 x 2 a21 x1 a22 x2
a
s1
x1
as2 x2
a1n xn 0 a2n xn 0
0 asn xn 0
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定理4 矩阵的行秩＝矩阵的列秩．
证明：设 A (aij )sn，A的行秩＝r，A的列秩＝r1， 下证 r r1． 先证 r1 r ．
设A的行向量组为 i (ai1,ai2 , ,ain ), i 1, 2, , s 则向量组 1,2 , ,s ,的秩为r， 不妨设 1,2, ,r是它的一个极大无关组， 于是 1,2 , ,r 线性无关，
中一定可以找到 r 个线性无关的向量. 不妨设
(a11,a21, ,ar1, ),(a12 , a22 , , ar 2 ), ,(a1r , a2r , , arr ) 是r个线性无关的行向量， 则该向量组的延伸组
(a11,a21, ,ar1,ar1,1, ,an1 ), ,(a1r ,a2r , ,arr ,ar1,r , ,anr )