《二项分布与超几何分布》
超几何分布和二项分布
超几何分布和二项分布超几何分布和二项分布是概率论中两种重要的离散型概率分布。
它们都在描述了离散型随机变量的分布规律，但在具体的描述和应用上有一定的区别。
本文将分别介绍超几何分布和二项分布的定义、特点、性质和应用，并对两者之间的关系和区别进行详细的比较分析。
一、超几何分布的定义、特点和性质超几何分布是描述了一种从有限个物件中抽出样本不放回地抽取成功次数的概率分布。
具体来说，超几何分布描述了在总体中有M个成功物件和N-M个失败物件时，从总体中抽取n个物件，其中成功物件的个数X的分布概率。
其概率质量函数为：P(X=k) = (M choose k) * (N-M choose n-k) / (N choose n)，其中(M choose k)表示从M个物件中抽取k个物件的组合数。
超几何分布的特点有以下几点：1.超几何分布是离散型概率分布，其取值只能是非负整数。
2.超几何分布的期望值和方差分别为E(X) = n * M/N, Var(X) =n * M/N * (N-M)/N * (N-n)/(N-1)。
3.超几何分布的分布形状随着总体大小和成功物件的比例而改变，当总体很大时，超几何分布近似于二项分布。
超几何分布在实际应用中有着广泛的应用。
例如在质量抽样、抽样调查、生物统计学等领域，常常需要进行不放回地从总体中抽取物件的情况，而超几何分布恰好可以描述这类情况下随机变量的分布规律。
二、二项分布的定义、特点和性质二项分布是描述了n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
具体来说，二项分布描述了n次重复试验中成功的次数X的概率分布。
其概率质量函数为：P(X=k) = (n choose k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中(n choose k)表示从n次试验中成功k次的组合数。
二项分布的特点有以下几点：1.二项分布是离散型概率分布，其取值只能是非负整数。
2.二项分布的期望值和方差分别为E(X) = np, Var(X) = np(1-p)。
二项分布与超几何分布的区别
（1）从中每次取出1个球然后放回，连续抽取三次，求取到红球 次数X的分布列和数学期望。 3k k k 解：由已知X~B(3,0.4)， PX k C3 0.4 1 0.4 , (k 0,1,2,3)
X 所以，X的分布列为: p
0
1
2
3
27 54 36 8 E X 3 0.4 1.2 125 125 125 125
k n－ k P(X＝k)＝Ck p (1 － p ) ，k＝0,1,2，…，n. n
则称随机变量 X 服从参数为 n、p 的二项分布，记 作 X～B(n，p)，并称 p 为成功概率．
2．超几何分布
一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其 中恰有 X 件次品，则事件{X＝k}发生的概率为
E X 3 0.6 1.8
0
1
2
3
8 36 54 27 125 125 125 125
变式：（3）把（2）改为：若随机在样本不赞成高考改革的家长中 抽取3个，记这3个家长中是城镇户口的人数为Y，试求Y的分布列 及数学期望E(Y). k 3 k C15 C10 解：由已知Y服从超几何分布， PY k , (k 0,1,2,3) 3 C25 所以，Y的分布列为: Y
2018届南宁市摸底考试18题
摸底考试18题第（1）问
（2）用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家 长中抽取3个，记这3个家长中是城镇户口的人数为X，试求X的分 布列及数学期望E(X). 用样本的频率估计概率应怎样理解？ 概率定义：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事 件A发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为 事件A的概率。 在样本中，不赞成高考改革的家长中是城镇户口的频率为0.6，因 此，估计全省从不赞成高考改革的家长中随机抽取1个，他是城镇 户口的概率为0.6，抽取3个，即进行3次独立重复试验，所以， X~(n,p)
《二项分布与超几何分布》真题探源
《二项分布与超几何分布》真题探源考情揭秘二项分布作为一种特殊离散型随机变量的分布之一,是一个重要的、应用广泛的概率模型,实际生活中的许多概率问题都可以利用此模型来解决,是高考的重点考查内容.高考对本节的内容的考查,主要有计算随机(互斥、相互独立)事件的概率、求二项分布、超几何分布的分布列;对于二项分布的应用,一般考查二项分布的分布列、均值、方差,难度中等.题型1 二项分布及其应用例天津高考设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为23,假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X的分布列和数学期望.(2)设M为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M发生的概率.答(1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为23,故2~3,3X B⎛⎫⎪⎝⎭,从而3321()C,0,1,2,333k kkP X k k-⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以,随机变量X的分布列为2()323E X=⨯=.(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则2~3,3Y B⎛⎫⎪⎝⎭,且{3,1}{2,0}M X Y X Y===⋃==.由题意知事件{3,1}X Y==与{2,0}X Y==互斥,且事件{3}X=与{Y=1},事件{2}X=与{0}Y=均相互独立,从而由(1)知()P M=({3,1}{2,0})({3,1})({2,0}) P X Y X Y P X Y P X Y==⋃=====+==({3})({1})({2})({0})P X P Y P X P Y ===+===824120⨯+⨯=.题型2 二项分布概率最大问题的求法例 全国I 高考某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p (0<p <1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p ),求f (p )的最大值点0p .(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的0p 作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ,求()E X ;②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?答 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p =221820C (1)p p -.因此2182172172020()C 2(1)18(1)2C (1)(110)f p p p p p p p p ⎡⎤'=---=-⋅-⎣⎦.令()0f p '=,得0.1p =.当(0,0.1)p ∈时,()0f p '>;当(0.1,1)p ∈时,()0f p '<.所以()f p 的最大值点为00.1p =.(2)由(1)知0.1p =.①令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知~(180,0.1),20225Y B X Y =⨯+,即4025X Y =+.所以()(4025)4025()4025180E X E Y E Y =+=+=+⨯⨯0.1490=.②如果对余下的产品作检验,那么这一箱产品所需要的检验费为400元.由于()400E X ,故应该对余下的产品作检验.题型3 超几何分布的应用例天津高考已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X 的分布列与数学期望;②设A 为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A 发生的概率.答 (1)由已知,得甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3:2:2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人、2人、2人.(2)①随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,X 服从超几何分布, 34337C C ()(0,1,2,3)C k k P X k k -⋅===. 所以随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()0123353535E X =⨯+⨯+⨯+⨯357=. ②设事件B 为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”,事件C 为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A B C =⋃,且B 与C 互斥.由①知()(2),()(1)P B P X P C P X ====,故()P A =6()(2)(1)7PB C P X P X ⋃==+==. 所以事件A 发生的概率为6.。
《二项分布与超几何分布》知识讲解
二项分布与超几何分布★ 知 识 梳理 ★1．条件概率：称)()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。
特别提醒： ①0≤P （B|A ）≤1；②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
2. 相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
特别提醒：①如果事件A 、B 是相互独立事件，那么，A 与_B 、_A 与B 、_A 与_B 都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
我们把两个事件A 、B 同时发生记作A ·B ，则有P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）推广：如果事件A 1，A 2，…A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
即：P （A 1·A 2·…·A n ）= P （A 1）·P （A 2）·…·P(A n )3.独立重复试验: 在同样的条件下，重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.4.如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率计算公式：P n （k ）=C k n P k （1－P ）n －k ,其中，k =0,1,2，…,n 5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ 0 1… k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - …0q p C n n n 由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--ΛΛ中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．6. 两点分布：X 0 1P 1－p p特别提醒： 若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.7. 超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则},,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k X P n Nk n M N k M ====--Λ其中，N M N n ≤≤,。
二项分布与超几何分布区别
123510 15 20 25 参加人数活动次数二项分布与超几何分布辨析超几何分布和二项分布都是离散型分布 超几何分布和二项分布的区别：超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取（独立重复） 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布.........例1 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列； （2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列．例2．某市十所重点中学进行高三联考，共有5000名考生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：（1）根据上面的频率分布表，求①，②，③，④处的数值； （2）根据上面的频率分布表,在所给的坐标系中画出在区间[]80,150上的频率分布直方图;（3）如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从总体中任意抽取3个个体,成绩落在[]100,120中的个体数为ξ,求ξ的分布列和数学期望．练习2.为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加2010年广州亚运会跳水项目，对甲、乙两名运动员进行培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取6次,得出茎叶图如图所示（Ⅰ）从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑,你认为选派哪名运动员合适?（Ⅱ）若将频率视为概率,对甲运动员在今后3次比赛成绩进行预测,记这3次成绩中高于80分的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望E ξ。
例3．按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参 加一次社会实践活动（以下简称活动）．某校高一· 一班50名学生在上学期参加活动的次数统计如条形图所示．（I ）求该班学生参加活动的人均次数x ； （II ）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；（III ）从该班中任选两名学生，用ξ表示这两人参分组 频数 频率 ①② 0．0500．20036 0．300 0．275 12 ③ 0．050合计④加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．（要求：答案用最简分数表示）练习3．某校参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60名学生，将其数学成绩分成六段[40,50]、[50,60]、…、[90,100]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70，80]内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；（3）若从60名学生中随抽取2人，抽到的学生成绩在[40,60]记0分，在[60,80]记1分，在[80,100]记2分，用ξ表示抽取结束后的总记分，求ξ的分布列和数学期望。
二项分布和超几何分布
二项分布和超几何分布二项分布和超几何分布是统计学中比较常见的两个概率分布，它们都是很重要的知识点，被应用在许多领域，尤其是生物和药物研究等统计分析中。
在本文中，我们将对这两个概率分布进行介绍和比较，包括定义、性质、应用、关系以及如何求解这两个概率分布。
一、二项分布二项分布是一种偏态分布，也被称为二项概率分布，它以独立的事件进行描述，用来描述一个独立的试验或该试验的结果。
它形成了一种定义精确的概率模型，用来对实际问题进行分析、预测和解决。
二项分布中有两个参数，即n（试验次数）和p（每次试验成功的概率）。
假设有一个试验，该试验有n次，每次试验成功的概率为p，则最终成功的次数X服从二项分布：X~B(n,p)。
其性质如下：（1）二项分布的期望值E[X] = np。
（2）二项分布的方差 D[X]= npq=np（1-p）。
（3）当n趋于无穷大，p趋于某一定值时，此时X服从泊松分布。
（4）二项分布的n和p均大于0，当n=1时，二项分布即成为伯努利分布。
二项分布的应用非常广泛，常被应用在质量控制、生物学、总体调查中。
比如，在质量检验中，二项分布被应用在检验样本中不良品率检验；在生物学中，可以用二项分布研究DNA分子的突变率；在总体调查中，也可用二项分布来描述一个样本是否属于某一总体。
求解二项分布的方法：一般通过概率计算和抽样模拟的方法。
概率计算方法是对二项分布概率的精确计算，即在已知成功的概率p和试验次数n的情况下，可以精确算出在n次试验中成功m次出现的概率。
而抽样模拟方法是通过实际模拟事件，用实际上发生的次数来估计概率，为此可以用计算机模拟，从而统计概率出现的次数。
二、超几何分布超几何分布也称为无限取样分布，是一种古典的概率分布，用来描述一系列独立事件中指定类型的成功次数的分布情况。
它和二项分布很相似，但它的背后的模型是不同的。
超几何分布有三个参数，即n（试验次数）、N（总体样本数）和p（每次试验成功的概率）。
二项分布和超几何分布(含答案)讲课教案
二项分布和超几何分布(含答案)超几何分布和二项分布一、两者的定义是不同的1超几何分布的定义2独立重复试验与二项分布的定义(1)独立重复试验．(2)二项分布．本质区别(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，而二项分布描述的是放回抽样问题.(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题；二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题.二、两者之间是有联系的人教版新课标选修2-3第59页习题2.2B组第3题：例1某批n件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验，问：（1）当n=500,5000,500000时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件产品的概率各是多少？（2）根据（1）你对超几何分布与二项分布的关系有何认识？【说明】由于数字比较大，可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外，本题目也可以帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系：第一，n次试验中，某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布.当这n次试验是独立重复试验时，X服从二项分布；当这n次试验是不放回摸球问题，事件A为摸到某种特性（如某种颜色）的球时，X服从超几何分布第二，在不放回n次摸球试验中，摸到某种颜色的次数X服从超几何分布，但是当袋子中的球的数目N 很大时，X的分布列近似于二项分布，并且随着N的增加，这种近似的精度也增加.从以上分析可以看出两者之间的联系：当调查研究的样本容量非常大时，在有放回地抽取与无放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似把超几何分布认为是二项分布.例2袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，求（1）又放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列；（2）无放回地抽样时，取到黑球的个数Y的分布列.[错解分析]第二问的选人问题是不放回抽样问题,按照定义先考虑超几何分布,但是题目中又明确给出:“以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，从该社区(人数很多)任选3人”,说明不是从16人中任选3人,而是从该社区(人数很多)任选3人,所以可以近似看作是3次独立重复试验,应该按照二项分布去求解，而不能按照超几何分布去处理.【正解】（1）同上；从以上解题过程中我们还发现，错解中的期望值与正解中的期望值相等，好多学生都觉得不可思议，怎么会出现相同的结果呢？其实这还是由于前面解释过的原因，超几何分布与二项分布是有联系的，看它们的期望公式：综上可知，当提问中涉及“用样本数据来估计总体数据”字样的为二项分布。
二项分布与超几何分布
一、超几何分布设一批产品共有N 个，其中有M 个次品，现从中任取n 个（n N M ≤-）,令X n =“取出的个产品中包含的次品数”则X 的分布列为(),(0,1,2,,min(,))k n kM N MnNC C P X k k M n C --===L 上述分布称为超几何分布，记作(,,)X h n N M :。
超几何分布的二项近似当n N =时，即抽取的个数n 远小于产品总数N 时，每次抽取后，总体中的不合格率p M N =改变甚微，所以可以把不放回抽样近似的看成是有放回抽样，这时，超几何分布可以用二项分布近似(1),k n k k k n k M N Mn nNC C M C p p p C N---≅-=其中 例1甲乙两人赌技相当，各出赌本500元，约定5局3胜，胜者得到这1000元钱。
现在因故在甲赢了一局的情况下终止比赛，试问该如何分配这1000元钱？解法一 合理的方案应该是按照“若把球打完，甲乙二人各自取胜的概率”的比例来分配奖金。
由于甲已经先胜了一局，所以，甲取胜的事件就是“在接下来的比赛中，第三次失败之前赢下两次”。
令X =“在接下来的比赛中，甲取得两次胜利所需要的局数”则 (2,0.5)X Nb :，于是()(5)P P X =<“甲赢乙”42()k P X k ===∑42122120.50.5k k k C---==⨯∑41120.5kk k C -==∑ 2340.520.530.5=+⨯+⨯1116=注：本题也可以采用求数学期望的方法，这时求分布列较麻烦二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决．在实际应用中，理解并区分两个概率模型是至关重要的．下面举例进行对比辨析．例 袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求： （1）有放回抽样时，取到黑球的个数Ｘ的分布列；（2）不放回抽样时，取到黑球的个数Ｙ的分布列． 解：（1）有放回抽样时，取到的黑球数Ｘ可能的取值为０，1，2，3．又由于每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则1~35X B ⎛⎫⎪⎝⎭，．3031464(0)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴；12131448(1)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；21231412(2)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；3033141(3)55125P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因此，X 的分布列为2．不放回抽样时，取到的黑球数Ｙ可能的取值为０，1，2，且有：03283107(0)15C C P Y C ===；12283107(1)15C C P Y C ===；21283101(2)15C CP Y C ===．因此，Y 的分布列为辨析：通过此例可以看出：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型．而不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型．因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样．所以，在解有关二项分布和超几何分布问题时，仔细阅读、辨析题目条件是非常重要的．例１ 从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有Ｘ个红球，则随机变量Ｘ的概率分布列为解析：由题意，得0232251(0)0.110C C P X C ====，1132236(1)0.610C C P X C ====，203223(2)0.3C C P X C ===（或(2)1(0)(1)10.10.60.3P X P X P X ==-=-==--=）．故随机变量Ｘ的概率分布为点评：本题主要考查了组合、离散型随机变量分布列的知识、概率的计算及超几何分布列的求法．例2 在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券１张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张中任抽2张，求：（1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值Ｘ（元）的概率分布列．解析：（1）024*******11453C C P C =-=-=（或11204646210302453C C C C P C +===），即该顾客中奖的概率为23． （2）X 的所有可能值为：0，10，20，50，60（元），且02462101(0)3C C P X C ===，11362102(10)5C C P X C ===，232101(20)15C P X C ===，11162102(50)15C C P X C ===，11132101(60)15C C P X C ===．故X 的分布列为点评：本题以超几何分布为背景，主要考查了概率的计算、离散型随机变量分布列的求法及分析和解决实际问题的能力．。
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导
二项分布,超几何分布数学期望与方差公式的推导在概率论和数理统计中，二项分布和超几何分布是重要的概率分布，它们的数学期望与方差可以用一定的公式来表示，并可以通过推导来算出。
本文从实际问题出发，详细介绍了二项分布和超几何分布数学期望与方差公式的推导过程。
一、二项分布1.1义在概率论中，“二项分布”又称为“伯努利分布”，是指在若干次独立重复实验中，只有两种结果：实验成功和实验失败之间的概率分布。
1.2学期望与方差公式假设在每次实验中，实验成功的概率为$p$，共进行$n$次实验，则二项分布的概率函数为：$$P(X=x)=C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$其中，$x$为实验成功的次数，$C_{n}^{x}$为$n$个不同元素中取$x$个的组合数，即$$C_{n}^{x}=frac{n!}{x!(n-x)!}$$数学期望和方差用如下公式表示：$$E(X)=np$$$$D(X)=np(1-p)$$二、超几何分布2.1义超几何分布也称为超几何试验、超几何抽样或者超几何实验，可用于描述一种只有限数量的可能事件的抽样模型，其中，采用的方法是在一大堆里随机的抽取一定数量的元素。
超几何分布用参数$n$、$N$和$p$来描述，它的概率分布为：$$P(X=x)=C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$ 其中，$x$为抽取到实验成功的次数，$N$为堆里元素的总数量，$p$为实验成功的概率，$n$为抽取的总次数。
2.2学期望与方差公式数学期望和方差用如下公式表示：$$E(X)=np$$$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1}$$三、推导3.1导期望根据定义可得：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xP(X=x) $$二项分布的推导：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}$$$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=frac{1-(1-p)^{n} }{p}=frac{1-q^{n}}{p}=1$$所以：$$E(X)=np $$超几何分布的推导：$$E(X)=sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}$$$$E(X)=npsum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$ $由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}=frac{1-(1-p)^{N}}{p}=frac{1-q^N}{p}=frac{Np-(N-n)p}{p}=N-n+1$$ 所以：$$E(X)=np(N-n+1) $$3.2导方差根据定义可得：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$二项分布的推导：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}-np^2$$ 由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{n-x}=npsum_{x=0}^{n} xC_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{n-x}=np^2frac{1-(1-p)^{n}}{p}=np^2f rac{1-q^{n}}{p}=np^2$$所以：$$D(X)=np(1-p) $$超几何分布的推导：$$D(X)=E(X^{2})-E(X)^2$$$$D(X)=sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}-n p^2(N-n+1)^2$$由于$C_{n}^{x}$是以$x$为底的等比数列，有：$$sum_{x=0}^{n}x^2C_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x}(1-p)^{N-x}=np(N-n +1)sum_{x=0}^{n}xC_{N}^{x}C_{n}^{x}p^{x-1}(1-p)^{N-x}$$$$=np(N-n+1)^2frac{1-(1-p)^{N}}{p}=np(N-n+1)^2frac{1-q^N}{p }=np(N-n+1)^2frac{Np-(N-n)p}{p}$$$$=np(N-n+1)^2frac{N-n}{p}=np[N(N-n+1)-n(N-n+1)]$$ 所以：$$D(X)=frac{n(N-n)p(1-p)}{N-1} $$四、总结从上文可以看出，二项分布和超几何分布的数学期望与方差公式都有具体的推导过程，数学期望与方差之间也有一定的关系。
超几何分布、二项分布区别
则
P X k
CMk
C nk N M
CNn
k 0,1,2,,M
区分超几何分布及二项分布的使用
（1）逐次抽取，取后放回用二项分布 （2）一次性抽取（无放回、无顺序）用超几何分布 （3）在统计中，用频率估计概率，在总体中抽取用二项分布 （4）在统计中，在样本中抽取用超几何分布
常见数列通项求法 求an
（1）Sn与n关系式，例如： Sn n2 n或Sn n2 n 1 （2）Sn与an关系式（不含n），例如：Sn 1 2an
Sn1与Sn关系式（不含n），例如：a1 2,Sn1 2Sn 1
Sn与an1关系式（不含n），例如：a1
1 2
,Sn
1
2an1
（3）an1与an的关系式（不含 n，非等差等比）,例如a1 1,an1 2an 3
超几何分布、二项分布的区别与联系
超几何分布和二项分布都是离散型随机变量 的一种概率分布模型，一般以分布列的形式 体现其分布
二项分布：
（1）是在n次独立重复试验条件下的概率分布模型 （2）随机变量的取值是这n次独立重复试验中事件发生的次数，为0—n （3）每次试验的结果只有发生和不发生两种情况，且相互独立 （4）每次试验中事件发生的概率保持不变
错位相减法万能公式
差比数列 cn an bqn1 ,则其前n项和一定为： Sn An Bqn B
其中A a ,B b A q 1 q 1
注：本结论只能作为最后结果的检验，不能 作为解答过程。
在n次独立重复试验中，事件A发生的次数为X，每次试验中事件A
发生概率为p，记 X ~ Bn, p ，则
PX k Cnk pk 1 p nk
k 0,1,2,,n
超几何分布：描述了由有限个物件中抽出n个物件，成功抽
《二项分布与超几何分布》能力探究
《二项分布与超几何分布》能力探究分析计算能力、推测解释能力利用n重伯努利试验求概率1.利用n重伯努利试验求概率的三个步骤(1)判断:依据n重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为n重伯努利试验.(2)分拆:判断所求事件是否需要分拆.(3)计算:就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件概率加法公式计算.2.n重伯努利试验概率求解的关注点(1)解此类题常用到互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概率公式.(2)运用n重伯努利试验的概率公式求概率时,首先判断问题中涉及的试验是否为n重伯努利试验,判断时注意各次试验之间是相互独立的,并且每次试验的结果只有两种(即要么发生,要么不发生),在任何一次试验中某事件发生的概率都相等,然后用相关公式求概率.典例1[数学抽象、数学运算]操场上有5名同学正在打篮球,每位同学投中篮筐的概率都是2 3 ,且各次投篮是否投中相互独立.(1)求其中恰好有4名同学投中的概率(用最简分数作答);(2)求其中至少有4名同学投中的概率(用最简分数作答).思路:本题通过概率模型考查对n重伯努利试验的理解以及相互独立事件的概率乘法公式.解决本题的关键是分析题意,判断所研究的事件是哪一种概率模型,然后再利用概率公式进行计算.解析:(1)∵每位同学投中篮筐的概率都是23,且各次投篮是否投中相互独立,∴其中恰好有4名同学投中的概率P=4452180 C33243⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭.(2)其中至少有4名同学投中的概率44523P C⎛⎫=⨯⨯⎪⎝⎭55512112C33243⎛⎫+⨯=⎪⎝⎭.简单问题解决能力二项分布的综合应用1.判定二项分布模型的步骤(1)明确伯努利试验及事件A的意义,确定事件A发生的概率p.(2)确定伯努利试验的次数n ,并判断各次试验的独立性. (3)设X 为n 次伯努利试验中事件A 发生的次数,则~(,)X B n p .2.二项分布的简单应用是求n 重伯努利试验中事件A 恰好发生k 次的概率.解题的一般思路是:根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数,n p →写出二项分布的分布列→将k 值代入求解概率.3.利用二项分布求解“至少”“至多”问题的概率,其实质是求在某一取值范围内的概率,一般转化为几个互斥事件发生的概率的和,或者利用对立事件求概率.4.计算均值和方差第一步,判断随机变量X 服从什么分布.第二步,代入相应的公式求解.若X 服从两点分布,则(),()(1)E X p D X p p ==-;若X 服从二项分布,即~X (,)B n p ,则(),()(1)E X np D X np p ==-.典例2 [数学运算、数学建模]为防止风沙危害,某地决定建设防护绿化带,种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n 株沙柳,各株沙柳的成活与否是相互独立的,成活率为p .设X 为成活沙柳的株数,均值()3E X =,=. (1)求n 和p 的值,并写出X 的分布列;(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活,则需要补种,求需要补种沙柳的概率.思路:本题考查对二项分布的理解,解决本题的关键是分析题意,判断所研究的事件是哪一种概率模型,然后再利用概率公式进行计算.解析:由题意知,~(,),()C (1),k k n kn X B n p P X k p p k -==-0,1,,n =.(1)由3()3,()(1)2E X np D X np p ===-=,得1p -=12,从而16,.2n p X ==的分布列为(2)记“需要补种沙柳”为事件A ,则()(3)P A P X =≤,得1315521()6432641632P A =+++=,或()1(3)P A P X =->=153121164326432⎛⎫-++= ⎪⎝⎭,所以需要补种沙柳的概率为2132. 综合问题解决能力 超几何分布的综合应用1.超几何分布的特征满足超几何分布模型的事件的总体都是由较明显的两部分组成,如男生、女生;正品、次品;优、劣等.判断一个随机变量是否服从超几何分布,关键是看随机变量是否满足超几何分布的特征:(1)不放回抽样;(2)一个总体(共有N 个)内含有两种不同的事物(A M 个),(B N M -个),任取n 个,其中恰有X 个A .符合以上特征即可断定随机变量服从超几何分布.2.超几何分布均值的计算公式1111C ()CCC C n rk n k N M N Mnnk mNN M MMn E X np N------=====∑. 超几何分布是一种常见的随机变量的分布,所求概率分布问题由明显的两部分组成,或可转化为明显的两部分.3.解决超几何分布问题的两个关键点(1)超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆.(2)超几何分布中,只要知道,,M N n 就可以利用公式求出X 取不同k 的概率()P X k =,从而求出X 的分布列.典例3 [数学运算、数据分析]某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X 的分布列及期望.思路:本题通过概率模型考查对超几何分布的理解,解决本题的关键是分析题意,判断所研究的事件是哪一种概率模型,然后再利用概率公式进行计算,属于综合题目.解析:(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ,则12033737310C C +C C 49()C 60P A ==.所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960. (2)依据条件,随机变量X 服从超几何分布,其中10N =,4,3M n ==,随机变量X 的可能值为0,1,2,3.346310C C()(0,1,2,3)C k k P X k k -===,所以随机变量X 的分布列是所以随机变量X 的期望为113()0126210E X =⨯+⨯+⨯+13 1.230⨯=(或34() 1.210E X ⨯==).。
二项分布和超几何分布
二项分布和超几何分布1. 引言二项分布和超几何分布是统计学中常见的两种离散概率分布。
它们在很多实际问题中都有应用，特别是在概率统计、质量控制、可靠性工程等领域。
本文将介绍二项分布和超几何分布的基本概念、性质和应用。
2. 二项分布2.1 定义：二项分布是指在n次独立重复试验中，成功的次数X 服从的概率分布。
每次试验都有相同的成功概率p，失败概率为1-p。
2.2 参数和符号：二项分布的参数为试验次数n和成功概率p。
用X~B(n,p)表示服从二项分布的随机变量X。
2.3 概率质量函数：二项分布的概率质量函数为P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)是组合数。
2.4 期望和方差：二项分布的期望E(X) = np，方差Var(X) =np(1-p)。
2.5 应用举例：二项分布常用于二元分类问题的建模和预测，例如投硬币的结果、产品合格率等。
3. 超几何分布3.1 定义：超几何分布是指在从有限总体中抽取固定大小的样本，统计成功的次数X服从的概率分布。
总体中有M个成功元素和N-M个失败元素。
3.2 参数和符号：超几何分布的参数为总体大小N、成功元素个数M和样本大小n。
用X~H(N,M,n)表示服从超几何分布的随机变量X。
3.3 概率质量函数：超几何分布的概率质量函数为P(X=k) =C(M,k) * C(N-M,n-k) / C(N,n)，其中C(m,k)是组合数。
3.4 期望和方差：超几何分布的期望E(X) = nM/N，方差Var(X) = nM/N * (1-M/N) * (N-n)/(N-1)。
3.5 应用举例：超几何分布常用于抽样调查和质量抽检中，例如从一批产品中抽取部分样本进行检验。
4. 二项分布与超几何分布的比较4.1 性质对比：二项分布和超几何分布的相同之处在于都是离散概率分布，描述独立重复试验的结果。
不同之处在于二项分布适用于试验的抽样分布，即每次试验结果相互独立；而超几何分布适用于样本抽取过程，即每次抽取后总体元素的数量会改变。
《二项分布与超几何分布》 讲义
《二项分布与超几何分布》讲义在概率论中，二项分布和超几何分布是两个非常重要的离散型概率分布。
它们在许多实际问题中都有着广泛的应用，理解和掌握这两种分布对于解决概率相关的问题至关重要。
一、二项分布1、定义二项分布是 n 个独立的成功/失败试验中成功的次数的离散概率分布。
假设每次试验成功的概率为 p ，失败的概率则为 1 p 。
2、概率质量函数如果随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记为 X ～ B(n, p) ，则 X 的概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) ，其中 k ＝ 0, 1, 2,， n ，C(n, k) 表示从 n 个不同元素中取出 k 个元素的组合数。
3、期望和方差二项分布的期望 E(X) ＝ np ，方差 Var(X) ＝ np(1 p) 。
4、应用场景例如，抛硬币多次，计算正面朝上的次数；进行多次独立的产品质量检测，计算合格产品的数量等。
二、超几何分布1、定义超几何分布描述了从有限 N 个物件（其中包含 M 个指定种类的物件）中抽出 n 个物件，成功抽出指定种类物件的次数的概率分布。
2、概率质量函数设随机变量 X 服从参数为 N, M, n 的超几何分布，记为 X ～ H(N, M, n) ，则 X 的概率质量函数为：P(X ＝ k) ＝ C(M, k) C(N M, n k) ／ C(N, n) ，其中 k ＝ 0, 1, 2,，min{M, n} 。
3、期望和方差超几何分布的期望 E(X) ＝ n M ／ N ，方差 Var(X) ＝ n M ／ N（1 M ／ N) （N n) ／（N 1) 。
4、应用场景比如从一批产品中随机抽取一定数量的产品，计算其中次品的数量；从一群学生中抽取若干人，计算其中男生的人数等。
三、二项分布与超几何分布的区别1、试验类型二项分布是独立重复试验，每次试验的结果只有成功和失败两种，且每次试验成功的概率相同。
【数学】超几何分布与二项分布的区别与联系
二项分布与超几何分布是两个非常重要的、应用广泛的概率模型，实际中的许多问题都可以利用这两个概率模型来解决。
在实际应用中，如何理解它们的关联性同时又能区分两个概率模型呢？本文笔者就此问题予以阐述。
一、超几何分布与二项分布的定义1.一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取n 件,其中恰有X 件次品数,则事件{X=k}发生的概率为P (X=k)=C M k C n－m n－kC Nn，k=0，1，2，…，m其中m=min {M,n}，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N*。
其分布列为超几何分布列。
如果随机变量X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量X 服从超几何分布。
2.一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验。
在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数X ，在每次试验事件A 发生的概率为p,那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X=k)=C n k P k（1-p ）n-k，k=0，1，2，…，n 。
此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p)，并称p 为成功概率。
二、超几何分布与二项分布的区别从它们的定义不难看出超几何分布研究的是试验后的结果（不研究试验中先后取的顺序），并且是无放回的抽取；二项分布研究的是既有研究先后发生的顺序又有试验结果，并且是有放回的抽取。
超几何分布是无放回的抽取，即每做一次试验，下一次再发生同一事件A 的概率已经发生了变化，即每次发生的概率都不相等。
实质上，超几何分布是古典概型的一种特例。
二项分布是有放回的抽取，每做一次试验，发生同一事件A 的概率都相同。
这就是二者之间的区别。
本文笔者举例说明：例1：在装有4个黑球6个白球的袋子中，任取2个，试求：(1)不放回地抽取，取到黑球数X 的分布列；(2)有放回地抽取，取到黑球数的分布列。
解：（1）是不放回地抽取，X 服从超几何分布。
从10个球中任取2球的结果数为C 102，从10个球中任取2个，其中恰有k 个黑球的结果数为C 4k C 62-k，那么从10个球中任取2个，其中恰有k 个黑球的概率为P （X=k ）=C 4k C 62－kC 102，k=0，1，2。
超几何分布与二项分布
二项分布与超几何分布的区别与联系1.定义：（1）超几何分布：设有总数为N件的两类．．物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为()m n mM N MnNC CP X mC --== (0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，则称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.（2）二项分布：若将事件A发生的次数设为X，发生的概率为p，不发生的概率q＝1－p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n) ，于是得到X的分布列(q＋p)n＝C0n p0q n＋C1n p1q n－1＋…＋C k n p k q n－k＋…＋C n n p n q0各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记做X～B(n，p).2.本质区别：（1）超几何分布描述的是不放回抽样问题，二项分布描述的是放回抽样问题，也就是说二项分布中每个事件之间是相互独立的，而超几何分布不是；（2）超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题，二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题.温馨提示：(1)超几何分布需要知道总体的容量，也就是总体个数有限；而二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”．(2)当题目中出现“用样本数据估计×××的总体数据”是均为二项分布;(3)二项分布与超几何分布两者之间存在着联系：当调查研究的样本容量非常大时，在有放回地抽取与无放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似把超几何分布认为是二项分布.概率论中的二项分布与超几何分布都是古典概型。
【典例】某批n 件产品的次品率为2％，现从中任意地依次抽出3件进行检验，问： （1）当500,5000,50000n =时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？（2）根据（1）你对超几何分布与二项分布的关系有何认识？【解】（1）在放回的方式抽取中，每次抽取时都从这n 件产品中抽取，从而抽到品的概率都为0.02.可以把3次抽取看成是3次独立重复试验，这样抽到的次品数X ～(3,0.02)B ,恰好抽到1件次品的概率为1223(1)0.02(10.02)30.020.980057624=.P X C ==⨯⨯-⨯⨯≈在不放回的方式抽取中，抽到的次品数X 是随机变量，X 服从超几何分布，X 的分布与产品的总数n 有关，所以需要分3种情况计算：①500n =时，产品的总数为500件，其中次品的件数为500⨯2％=10，合格品的件数为490件。
《二项分布与超几何分布》 讲义
《二项分布与超几何分布》讲义一、引言在概率统计的学习中，二项分布和超几何分布是两个非常重要的概念。
它们在实际生活中的应用广泛，例如质量检测、抽样调查、生物遗传等领域。
理解这两种分布的特点和区别，对于正确解决概率问题至关重要。
二、二项分布（一）定义二项分布是一种离散概率分布，用于描述在 n 次独立重复的伯努利试验中，成功的次数 X 的概率分布。
（二）特点1、每次试验只有两种可能的结果：成功或失败。
2、每次试验的成功概率 p 保持不变。
3、各次试验相互独立。
（三）概率计算公式如果随机变量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记为 X ～ B(n, p)，那么 X ＝ k 的概率为：P(X ＝ k) ＝ C(n, k) p^k （1 p)＾（n k) （其中 C(n, k) 表示从 n 个元素中选取 k 个元素的组合数）（四）期望与方差期望 E(X) ＝ np方差 D(X) ＝ np(1 p)（五）应用举例假设某射手每次射击命中目标的概率为 08，进行 5 次射击，求命中目标 3 次的概率。
解：这里 n ＝ 5，p ＝ 08，要求 P(X ＝ 3)。
P(X ＝ 3) ＝ C(5, 3) 08^3 （1 08)＾（5 3)＝ 10 0512 004＝ 02048三、超几何分布（一）定义超几何分布是统计学上一种离散概率分布，描述了从有限 N 个物件（其中包含 M 个指定种类的物件）中抽出 n 个物件，成功抽出指定种类的物件的次数 X 的概率分布。
（二）特点1、总体分为两类。
2、抽取的样本数量 n 小于总体数量 N。
3、抽样方式为不放回抽样。
（三）概率计算公式如果随机变量 X 服从参数为 N、M 和 n 的超几何分布，记为 X ～H(N, M, n)，那么 X ＝ k 的概率为：P(X ＝ k) ＝ C(M, k) C(N M, n k) ／ C(N, n)（四）期望与方差期望 E(X) ＝ n M ／ N方差 D(X) ＝ n M ／ N （1 M ／ N) （N n) ／（N 1)（五）应用举例一批产品共有 100 件，其中次品有 10 件，从中随机抽取 5 件，求抽到次品数 X 的概率分布。
二项分布与超几何分布的区别与联系ppt
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1．独立重复试验与二项分布 (1)一般地，在相同条件下，重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验．各次试验的结果不受其它试验的影响． (2)一般地，在 n 次独立重复试验中，设事件 A 发生的 次数为 X，在每次试验中事件 A 发生的概率都为 p，那么在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率为 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 则称随机变量 X 服从参数为 n、p 的二项分布，记 作 X～B(n，p)，并称 p 为成功概率．
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[2010·天津理]某射手每次射击击中目标的概率是23， 且各次射击的结果互不影响．
(1)假设这名射手射击 5 次，求恰有 2 次击中目标的 概率；
(2)假设这名射手射击 5 次，求有 3 次连续击中目标， 另外 2 次未击中目标的概率；
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解析：(1)设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数， 则 X～B5，23.在 5 次射击中，恰有 2 次击中目标的概率
（含90分）的人数记为 ，求 的数学期望。
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[2010 广东理 17 题部分] 某食品厂为了检查一条自动包 装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的 40 件产品 作为样本称出它们的重量（单位：克），发现当中有 12 件重量超过 505 克。
（1）在上述抽取的 40 件产品中任取 2 件，设 Y 为重量 超过 505 克的产品数量， 求 Y 的分布列。 （2）从流水线上任取 5 件产品，求恰有 2 件产品合格的 重量超过 505 克的概率。
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2．超几何分布
一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其
中恰有 X 件次品，则事件{X＝k}发生的概率为
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二项分布与超几何分布★ 知 识 梳理 ★1．条件概率：称)()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。
特别提醒：①0≤P （B|A ）≤1；②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
2. 相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
特别提醒：①如果事件A 、B 是相互独立事件，那么，A 与_B 、_A 与B 、_A 与_B 都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
我们把两个事件A 、B 同时发生记作A ·B ，则有P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）推广：如果事件A 1，A 2，…A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
即：P （A 1·A 2·…·A n ）= P （A 1）·P （A 2）·…·P(A n )3.独立重复试验: 在同样的条件下，重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.4.如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率计算公式：P n （k ）=C k n P k （1－P ）n －k ,其中，k =0,1,2，…,n 5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ0 1 … k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - …0q p C n n n 由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．6. 两点分布： X 0 1P 1－p p特别提醒： 若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.7. 超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则},,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k X P n Nk n M N k M ====-- 其中，N M N n ≤≤,。
称分布列X 0 1 … mP n N n M N M C C C 00-- n N n M N MC C C 11-- … n Nm n M N m MC C C -- 为超几何分布列， 称X 服从超几何分布★ 重 难 点 突 破 ★1.重点：理解超几何分布及其导出过程.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，能理解n 次独立重复实验的模型及二项分布.2.难点：能利用超几何分布, 二项分布及n 次独立重复实验解决一些简单的实际问题3.重难点：.(1) “互斥”与“独立”混同问题1: 甲投篮命中率为O ．8，乙投篮命中率为，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少错解 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中两次为事件A+B ，P(A+B)=P(A)+P(B)： 2222330.80.20.70.30.825c c ⨯+⨯=点拨: 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A·B，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 2222330.80.20.70.30.169c c ⨯+⨯≈．（2）“条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同问题2:袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．错解 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以P(C)=P(B/A)=6293=. 点拨：本题错误在于P(A ⋅B)与P(B/A)的含义没有弄清, P(A ⋅B)表示在样本空间S 中,A 与B 同时发生的概率；而P （B/A ）表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的A 已经发生的条件下事件B 发生的概率。
正确答案：P （C ）= P(A ⋅B)=P （A ）P （B/A ）=46410915⨯=。
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★考点一： 条件概率,相互独立事件和独立重复试验题型1. 条件概率[例1] 一张储蓄卡的密码共有6位数，每位数字都可从0～9中任选，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：⑴按第一次不对的情况下，第二次按对的概率；⑵任意按最后一位数字，按两次恰好按对的概率；⑶若他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率[解题思路]：⑴这是一个一般概率还是条件概率应选择哪个概率公式⑵“按两次恰好按对”指的是什么事件为何要按两次隐含什么含义第一次按与第二次按有什么关系应选择哪个概率公式⑶“最后一位是偶数”的情形有几种“不超过2次就按对”包括哪些事件这些事件相互之间是什么关系应选择用哪个概率公式【名师指引】⑴条件概率相当于随机试验及随机试验的样本空间发生了变化，事件A 发生的条件下事件B 发生的概率可以看成在样本空间为事件A 中事件B 发生的概率，从而得出求条件概率的另一种方法——缩减样本空间法 ⑵将条件概率的计算公式进行变形，可得概率的乘法公式)()()(A B P A P AB P =【新题导练】1.设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．题型2。
相互独立事件和独立重复试验[例2] (2010四川省成都市一诊)某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定．他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张．投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，他们的投票相互没有影响．规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目投资．（Ⅰ）求此公司一致决定对该项目投资的概率；（Ⅱ）求此公司决定对该项目投资的概率；[解题思路]： 注意相互独立事件和独立重复试验恰有k 次发生的区别【名师指引】 除注意事件的独立性外, 还要注意恰有k 次发生与指定第k 次发生的区别, 对独立重复试验来说,前者的概率为(1)k k n k n C p p --,后者的概率为(1)k n k p p --【新题导练】1. （湖南卷16）.（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响.求：至少有1人面试合格的概率;2．（山东卷18）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分， 答错得零分。
假设甲队中每人答对的概率均为32，乙队中3人答对的概率分别为21,32,32且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.（Ⅰ）求随机变量ε分布列； (Ⅱ)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB ).考点二: 两点分布与超几何分布题型1: 两点分布与超几何分布的应用[例3] 高二（十）班共50名同学，其中35名男生，15名女生，随机从中取出5名同学参加学生代表大会，所取出的5名学生代表中，女生人数X 的频率分布如何[解题思路]：5名学生代表中，女生人数有6种情况.[例4] 若随机事件A 在1次试验中发生的概率是p ，用随机变量ξ表示A 在1次实验中发生的次数。
（1）求方差ξD的最大值；（2）求ξξE D 12-的最大值。
[解题思路]：（1）由两点分布，分布列易写出，而要求方差ξD 的最大值需求得ξD 的表达式，转化为二次函数的最值问题；（2）得到pp p p p E D 1221)(2122--=--=-ξξ后自然会联想均值不等式求最值。
【名师指引】在超几何分布中,只要知道N,M 和n,就可以根据公式求出X 取不同m 值时的概率P(X=m).【新题导练】1．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少2．假定一批产品共100件，其中有4件不合格品，随机取出的6件产品中，不合格品数X 的概率分布如何 考点三: 独立重复试验与二项分布题型1: 独立重复试验与二项分布的应用[例6] 一口袋内装有5个黄球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数ξ是一个随机变量，则)12(=ξP =______________。
（填计算式）[解题思路]：这是一个“12次独立重复试验恰有10次发生”的概率问题，同学们很容易由二项分布原理得到2101012)85()83()12(C P ==ξ，这就忽视了隐含条件“第12次抽取的是红球”，此种解法的结果包含着第12次抽取到黄球。
[例7] 某人对一目标进行射击，每次命中率都是，若使至少命中1次的概率不小于，至少应射击几次[解题思路]：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法【名师指引】要熟练掌握二项分布的特征，更要注意挖掘题目信息中的隐含信息。
【新题导练】1. 广东深圳外国语学校2009—2010学年高三月考理 某科研小组进行某项科学实验的成功率为32。