《二项分布与超几何分布》

二项分布与超几何分布

★ 知 识 梳理 ★

1．条件概率：称)()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。 特别提醒：

①0≤P （B|A ）≤1；

②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。

2. 相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

特别提醒：

①如果事件A 、B 是相互独立事件，那么，A 与_B 、_A 与B 、_A 与_

B 都是相互独立事件

②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。我们把两个事件A 、B 同时发生记作A ·B ，则有P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）

推广：如果事件A 1，A 2，…A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。即：P （A 1·A 2·…·A n ）= P （A 1）·P （A 2）·…·P(A n )

3.独立重复试验: 在同样的条件下，重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.

4.如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率计算公式：

P n （k ）=C k n P k （1－P ）n －k ,其中，k =0,1,2，…,n 5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是

k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．

于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ

0 1 … k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - …

0q p C n n n 由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式

011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--

中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，

记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．

6. 两点分布： X 0 1

P 1－p p

特别提醒： 若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.

7. 超几何分布：

一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则

},,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k X P n N

k n M N k M ====-- 其中，N M N n ≤≤,。 称分布列

X 0 1 … m

P n N n M N M C C C 00-- n N n M N M

C C C 11-- … n N

m n M N m M

C C C -- 为超几何分布列， 称X 服从超几何分布

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：理解超几何分布及其导出过程.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，能理解n 次独立重复实验的模型及二项分布.

2.难点：能利用超几何分布, 二项分布及n 次独立重复实验解决一些简单的实际问题

3.重难点：.

(1) “互斥”与“独立”混同

问题1: 甲投篮命中率为O ．8，乙投篮命中率为，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少

错解 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中两次为事件A+B ，

P(A+B)=P(A)+P(B)： 2222330.80.20.70.30.825c c ⨯+⨯=

点拨: 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．

正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独立，则两人都恰好投中

两次为事件A·B，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 2222330.80.20.70.30.169c c ⨯+⨯≈．

（2）“条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同

问题2:袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．

错解 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以P(C)=P(B/A)=6293

=. 点拨：本题错误在于P(A ⋅B)与P(B/A)的含义没有弄清, P(A ⋅B)表示在样本空间S 中,A 与B 同时发生的概率；而P （B/A ）表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的A 已经发生的条件下事件B 发生的概率。

正确答案：P （C ）= P(A ⋅B)=P （A ）P （B/A ）=46410915

⨯=。 ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点一： 条件概率,相互独立事件和独立重复试验

题型1. 条件概率

[例1] 一张储蓄卡的密码共有6位数，每位数字都可从0～9中任选，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：

⑴按第一次不对的情况下，第二次按对的概率；

⑵任意按最后一位数字，按两次恰好按对的概率；

⑶若他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率

[解题思路]：

⑴这是一个一般概率还是条件概率应选择哪个概率公式

⑵“按两次恰好按对”指的是什么事件为何要按两次隐含什么含义第一次按与第二次按有什么关系应选择哪个概率公式

⑶“最后一位是偶数”的情形有几种“不超过2次就按对”包括哪些事件这些事件相互之间是什么关系应选择用哪个概率公式

【名师指引】

⑴条件概率相当于随机试验及随机试验的样本空间发生了变化，事件A 发生的条件下事件B 发生的概率可以看成在样本空间为事件A 中事件B 发生的概率，从而得出求条件概率的另一种方法——缩减样本空间法 ⑵将条件概率的计算公式进行变形，可得概率的乘法公式)()()(A B P A P AB P =

【新题导练】

1.设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．