数学分析习题课

x (t)
y
(t
)
曲边梯形的面积
A
t2 t1
(
t
)
(
t
)dt
（其中t1和t2 对应曲线起点与终点的参数值）
在[t1 ,t2 ]（或[t2 ,t1 ]）上x (t ) 具有连续导数， y (t )连续.
极坐标情形
r ( )
d
r 1( )
r 2( )
o
x
o
x
A 1 [ ( )]2 d 2
l
Fy l dFy l
Gadx
3
(a2 x2 )2
A
l
l
Fx 0. ( G 为引力系数 )
o x x dx x
(8) 函数的平均值
y 1
b
f ( x)dx
ba a
证明： 由0 r r( ), 0 绕极轴旋转
所成立体的体积为：V 2 r 3( )sind . 3
证 在区域内任取小区域：
dV r( )(2r 2 sind )dr 0 2 r 3( )sind , 3
V 2 r 3( )sind . 3
r r( )
r r dr
——利用这个结果求解P246.2(3)
二、典型例题
例1 已知
摆线
x y
a(t a(1
sin t ) cos t )
y( x)
a
2a
求 10 它的一拱与x轴所围成的面积;
（2）U 对于区间a,b具有可加性，就是说， 如果把区间a,b分成许多部分区间，则U 相
应地分成许多部分量，而U 等于所有部分量之
和；
（3）部分量Ui 的近似值可表示为 f (i )xi ；
就可以考虑用定积分来表达这个量U .
4、解题步骤
1）确定U的相关量（记为x）的变化区间[a , b]； 2）建立U的微元表达式
弧微分 弧长 旋转体体积
参数方程
旋转体侧面积
极坐标
?
5、定积分应用的常用公式
(1) 平面图形的面积
直角坐标情形
y
y f (x)
y
y f2(x)
A
oa
b
b
A a| f ( x) | dx
A
y f1( x)
x oa
bx
b
A a[ f2( x) f1( x)]dx
——上曲线减下曲线对x积分。
x
S侧
b
2f ( x)
a
1 f 2 ( x)dx
dS 2yds
(5) 变力所作的功
b
W dW a b F ( x)dx a
F(x)
o a
x
x dx
b
x
(6) 液体压力
o
a
b
P dP a
x x dx
b
b
xf ( x)dx
a
( 为比重 )
x
y
f (x)
(7) 引力
y
l
设想把区间[a, b]分成n 个小区间，取其中任一小区间 并记为[ x, x dx]，求出相应于这小区间的部分量 U 的近似值.如果U 能近似地表示为[a, b] 上的一个 连续函数在x 处的值 f ( x) 与dx 的乘积，
即
U f ( x)x o(x)，
即dU dU ( x) f ( x)dx， 其中f ( x) C[a,b]
A
1 2
[
2 2
(
)
2 1
(
)]d
(2) 体积
y
o
x x dx
Vx
b [ f ( x)]2 dx
a
b
x
Vy
2
xf ( x)dx
a
y
d
Vy
d [ ( y)]2 dy
c
x ( y)
d
c
Vx 2 c y( y)dy
o
x
平行截面面积为已知的立体的体积
A( x)
b
V a A( x)dx
y
d
A c [ f ( y) g( y)]dy
d
x=g(y) A
x=f(y)
——右曲线减左曲线对y积分。 c
一般解题步骤：
O
（图5）
x
（1）画草图，定结构；
（2）解必要的交点，定积分限；
（3）选择适当公式，求出面积（定积分）。 注意：答案永远为正。
参数方程所表示的函数
如果曲边梯形的曲边为参数方程
第10章习题课
1、微元法的理论依据
设 f ( x) 在 [a,b] 上连续,则它的变上限积分
x
U ( x) a f (t )dt
(1)
是 f ( x) 的一个原函数,即 dU ( x) f ( x)dx,
于是
b
b
a f ( x)dx a dU U
(2)
这表明连续函数的定积分就是 (1) 的微分的
20 它的一拱的弧长;
30 它的一拱与x轴所围图形绕x轴
旋转而成的旋转体体积及表面积.
解 10 设面积为 A.
2a
A 0 ydx
2
0 a(1 cos t) a(1 cos t)dt
3a2.
20 设弧长为 L.
L 2 ( x)2 ( y)2dt 0 2 [a(1 cos t)]2 [a sin t]2dt 0
oa
x x dx b
x
由0 r r( ), 0 绕极轴旋转
所成立体的体积为：V 2 r 3( )sind . 3 r r( )
））
(3) 平面曲线的弧长
ds dx2 dy2
y
A．曲线弧为 y f ( x)
弧长
s
b
a
1 y2dx
dy
B．曲线弧为
x y
(t) (t)
定积分.
2、名称释译
由理论依据(2) 知,所求总量 A 就是其微分 dU f ( x)dx 从 a 到 b 的无限积累(积分) :
b
U f ( x)dx a
这种取微元 f ( x)dx 计算积分或原函数的 方法称微元法.
3、所求量的特点
（1）U 是与一个变量x 的变化区间a, b 有关
的量；
r r( )
[r,r dr],[ d ]，
其面积近似为：
来自百度文库
1 (r dr)2 d 1 r 2d
2
2
rdrd 1 dr2d ,
2
故面积微元为: dA rdrd ,
r r dr
这块小图形绕极轴旋转一周，所得体积为：
2r sindA 2r 2 sinddr,
于是相应 [0,r( )],[ , d ]的体积为：
o a x x dx b
( t )
x
其中 (t), (t)在[ , ]上具有连续导数
弧长
s
2(t) 2(t)dt
C．曲线弧为 r r( ) ( )
弧长
s
r 2( ) r2( )d
(4) 旋转体的侧面积 y
y f (x)
y f ( x) 0, a x b
o
x x dx
（此时，以简代繁、以直代曲、以静代动）。
则
U b f ( x)dx。 a
通常要验证 U f ( x)x o(x)是非常困难的。 且 U f ( x)x o(x)中的f ( x)一般来说不是唯一的。
所以 U b f ( x)dx 中的f ( x)也不是唯一的。 a
直角坐标 平面图形的面积