数学建模_森林救火建模.ppt
数学建模_森林救火建模
面积是不断扩大的，因而B（t）应是时间t
的单调递增的函数，即
dB0,0t dt
t2
精品课件
从火灾发生到消防队员到达并开始救火这段 时间内，火势是越来越大的，即
d2B dt2
0,0t
t1
开始救火以后，即 t1 t t2 员灭火
时，如果队
能力足够强，火势会越d2来B越小，即
β是火势蔓延速度，而λ是每个队员的平均灭火速
度，同时也说明这个最优解满足约束条件，结果是
合理的.
② 派出的队员数的另一部分，即在最低限度基础
之上的人数，与问题的各个参数有关.当队员灭 火速度λ和救援费用系数C3增大时，队员数减 少；当火势蔓延速度β、开始救火时的火势b及 损失费用系数C1增加时，消防队员人数增加； 当救援费用系数C2增大时，队员人数也增大.
精品课件
③改进方向：
i 取消树木分布均匀、无风这一假设，考虑更一般 情况； ii 灭火速度是常数不尽合理，至少与开始救火时的火势有关； iii 对不同种类的森林发生
火灾，派出的队员数应不 同，虽然β（火势蔓延速 度）能从某种程度上反映 森林类型不同，但对β相 同的两种森林，派出的队 员也未必相同； iv 决定派出队员人数时，人 们必然在森林损失费和救 援费用之间作权衡，可通 过对两部分费用的权重来
其中只有派出的消防队员的人数是未知的.
问题归结为如下的最优化问题：
mxin0 C(x)
s.t.x 0.
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（4）模型求解
这是一个函数极值问题. 令dC 0
dx
容易解得
x C1b22C32C 2 2b
精品课件
（5）模型分析与改进
森林救护模型
森林救火模型
问题分析： 与课本上讲述相同——损失费与森林烧毁面积成正比，烧毁面积与救火时间、灭火时间、失火时间有关。
灭火时间与参与灭火消防队员人数有关。
救援费与参与救火人员数量有关。
经过题目改动，救火速率与开始救火时的火势有关，即与开始救火时间有关，与森林一烧毁面积有关。
因此设失火时刻t=0，开始救火时刻t=1t ，灭火时刻t=2t ，森林烧毁面积在t 时刻为B （t ）。
模型假设：基本参考课本不变，灭火速率由λ改为λ∝B ’（t ）即dt dB 。
因为火势大的话较难抑制火势，火势大救火速率就较低，所以将救火速率“λ=b dt dB 0
+λ”其中0λ为灭火速率的相关系数，b 为火势常
数应为火势为零时该式不成立。
模型构成：根据假设条件虽然救火速率变化但变为与救火时刻1t 相关的伪常数与火势蔓延速率曲线影响不大。
根据以上条件C （x ）=x c x b dt
dB x x b dt dB 30
120
2121211t c 2t c 2t c +-++-++βλββλββ）（
C(x)即为这个数学问题的优化模型函数。
模型求解：为求x 使C(x)达到最小，即令x d dC
=0，求函数在区间
最值。
得到x 的最优解为203122101
022)(b dt dB c t c t b
dt dB c b dt dB x +++++=λλβλβ
结果解释：首先。
数学模型-第03章(第五版)ppt课件
问题分析与思考
• 周期短，产量小 • 周期长，产量大
贮存费少，准备费多 准备费少，贮存费多
存在最佳的周期和产量，使总费用 (二者之和) 最小.
• 是一个优化问题，关键在建立目标函数.
显然不能用一个周期的总费用作为目标函数.
目标函数——每天总费用的平均值.
模型假设
c3B
一周期总费用
Cc1c2Q 21T c3r(T 2T1)2
允许缺货的存贮模型
一周期总费用 Cc1cQ T 1cr(TT)2
2 2 1
21
3
1
每天总费用 平均值
C(T,Q) C c1c2Q2c3(rTQ)2 T T 2rT 2rT
（目标函数）
求 T ,Q C(T,Q)min
C 0, C 0 为与不允许缺货的存贮模型
已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费 每日每件1元. 试安排该产品的生产计划，即多少天生产 一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小.
要 不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与 求 需求量、准备费、贮存费之间的关系.
问题分析与思考
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元. • 每天生产一次, 每次100件,无贮存费,准备费5000元.
1. 产品每天的需求量为常数 r； 2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2； 3. T天(一周期)生产一次, 每次生产Q件，当贮存量降
为零时，Q件产品立即生产出来 (生产时间不计)； 4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理.
建模目的
r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小.
出现缺货，造成损失. 原模型假设：贮存量降到零时
数学建模(微积分)三
2 L R ( x1 x2 ) 15 14 x1 32 x2 8x1 x2 2 x12 10 x2 ( x1 x2 ) 2 15 13x1 31x2 8 x1 x2 2 x12 10 x2
L 4 x1 8 x2 13 x1 L 8 x1 20 x2 31 x2
2 2 x12 10 x2 ( x1 x2 1.5)
dL dx 4 x1 8 x2 13 0 1 dL 8 x1 20x2 31 0 dx2 dL x x 1.5 0 1 2 d
L Lmax
数学建模讲座
(2)若提供的广告费用为1.5万元，则问题化为在条件
x1 x2 1.5 下求利润函数 L 的极大值.
2 L 15 13x1 31x2 8x1x2 2x12 10x2 构造拉格朗日函数
L( x1 , x2 , ) 15 13x1 31x2 8x1 x2
x1 0 x2 1.5
L Lmax
宁波职业技术学院数学教研室
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可口可乐罐头为什么是这种样子?
竞赛题目 论文一 论文二
宁波职业技术学院数学教研室
数学建模讲座
药物在体内的分布与排除
• 药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量) • 血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计 • 药物在体内吸收、分布和排除过程 ——药物动力学 • 建立房室模型——药物动力学的基本步骤 • 房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀 分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移 • 本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和 周边室(四肢、肌肉等)
问题分析
《森林救火模型》课件
模型结果
火情变化图表变化图表，可以直 观地了解火灾的发展和扩散情况。
根据模型结果，评估森林面积受 损的程度和范围。
救火任务分配计划
根据模型的分析结果，优化救火 任务的分配计划，提高灭火效率。
模型优化
1
策略调整
根据实际火灾情况和反馈，调整模型中的救火策略和方法。
2
参数调整
火源设定
随机设置初始火源，模拟火灾的起点和蔓延过程。
风力影响
考虑风力对火势蔓延的影响，模拟真实的火灾扩散情况。
模型运行
1
数据初始化
根据给定的参数和初始条件，对模型进行数据初始化和准备工作。
2
模拟器设计
设计一个高效的模拟器，用于模拟森林火灾的蔓延过程。
3
迭代过程
使用迭代算法模拟火势蔓延的过程，直到达到稳定状态或达到停止条件。
通过对模型参数进行调整和优化，提高模型的预测和模拟能力。
3
实际案例应用
将模型应用到实际的森林火灾案例中，验证模型的有效性和可行性。
总结与展望
1 成果评价
总结模型的成果，评价模型在森林火灾应对中的作用和效果。
2 经验总结
总结模型构建和优化过程中的经验教训，为未来的研究和实践提供参考。
3 发展趋势
展望森林火灾模型在未来的发展方向和应用前景。
《森林救火模型》PPT课 件
在这个PPT课件中，我们将介绍《森林救火模型》，包括模型的基本原理、 构建和运行过程，以及模型结果和优化方法。让我们一起来探索如何应对森 林火灾挑战。
模型简介
• 建立背景 • 模型原理 • 模型应用
模型构建
森林地图生成
通过模拟算法生成真实的森林地图，包括树木分布和地形特征。
05.森林火灾模型
05.森林⽕灾模型"""森林⽕灾模型:"森林"最初只是⼀个空的N×N⽹格。
每个周期在⽹格上随机选择⼀个格点。
如果该格点为空，那么就以概率 g 在那⾥种上⼀棵树。
如果该格点上已经有树，那么闪电会以概率（1-g）击中该格点。
如果该格点有⼀棵树，那么树会着⽕，⽕势会蔓延到所有连接到该格点的有树的格点。
"""import numpy as npfrom random import randint, uniformfrom collections import Counterimport matplotlib.pyplot as pltdef forest_fire_model(grid, g):i, j = randint(0, len(grid) - 1), randint(0, len(grid) - 1)p = uniform(0, 1)if not grid[i][j] and p <= g:grid[i][j] = 1if grid[i][j] and p <= 1 - g:grid[i][j] = 0if j >= 1:grid[i][j - 1] = 0if i >= 1:grid[i - 1][j] = 0if i <= len(grid) - 2:grid[i + 1][j] = 0if j <= len(grid) - 2:grid[i][j + 1] = 0return gridif__name__ == "__main__":grid = np.zeros((10, 10), dtype=np.int)# tree_num = []for i in range(100000):grid = forest_fire_model(grid, 0.6)# 统计数组中某个元素的个数的两种⽅法# tree = Counter(grid.flat)[1]# tree = np.sum(grid == 1)# tree_num.append(tree)plt.imshow(grid)plt.show()。
森林救火模型
+
v2
பைடு நூலகம்
)
−
λt0m1(v1
x2
+
v2
)
=
0
x3 − λt0 m1 (v1 + v2 ) x − λ2 m1 (v1 + v2 ) = 0
m2
m2
( ) ( ) ( ) A = λ2m1 v1 + v2 −
2m2
λ4m12 v1 + v2 4m22
2
+
λ3t03m13 v1 + 27 m23
v2
3
由于全球气候异常，干旱、高温、大风天气影响，加之可燃物积累和火灾的周期性，发 生森林大火的危险越来越大。防扑火装备和森林防火的科技含量不高，设施、装备陈旧老化， 预防、扑救森林火灾和林火管理的手段很不适应繁重任务的需要，尤其缺乏控制大火的能力 和手段。
问题的提出
森林是人类的宝贵财富，是地球生态平衡的重要条件。森林遍布世界各地。但是，森林 救火现象经常发生。一旦发现森林失火，消防站接到火警后会立即决定派消防队员前去救火. 一般情况下，派往的队员越多，火被扑灭的越快，火灾所造成的损失越小，但是救援的开支 就越大； 相反，派往的队员越少，救援开支越少，但灭火时间越长，而且可能由于不能及 时灭火而造成更大的损失，那么怎么合理的派遣消防队员使得总损失为最小 ?
( ) ( ) ( ) B = λ2m1 v1 + v2 +
2m2
λ4m12 v1 + v2 4 m22
2
+
λ3t03m13 v1 + 27m32
v2
3
1
1
x = A3 + B 3
森林灭火模型
★★★★★§3 森 林 灭 火 模 型［问题的提出］森林失火，消防部门接到报警后派出消防队员前去灭火.一般来说，派出的队员越多，灭火越快，森林损失越小，但救援的开支将越大.已知森林燃烧的损失费正比于森林烧毁面积，其比例系数为1c .而烧毁面积与失火、灭火时间有关，灭火时间又取决于消防队员数.救援费分为两部分：每个消防队员单位时间的费用，设为2c ；每个队员的一次性支出，设为3c .又假定火势蔓延程度及平均每个消防队员的灭火能力与火势有关.试建立一个数学模型，解决派出消防队员多少时总费用（即损失费、救援费之和）最小. ［问题的分析］记失火时刻为0=t ，开始灭火时刻为1t t =，火被扑灭时刻为2t t =.设在时刻t 森林烧毁面积为()t B ，则森林最终烧毁面积为()2t B ，并且()00=B .考虑单位时间烧毁面积()()tt B t t B dt dB ∆-∆+≈00，它表示火势蔓延程度.一般来说，在消防队员到达之前，即10t t ≤≤，火势越来越大，即dtdB随t 的增加而增加；开始灭火后，即21t t t ≤<.如果消防队员灭火能力足够强，火势将越来越小，即dtdB应减小，并且当2t t =时0=dtdB. 对于火势可抽象为：火势以失火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，所以蔓延的半径r 与时间t 成正比.又因为烧毁面积B 与2r 成正比，故B 与2t 成正比，从而dtdB 与t 成正比.⎩⎨⎧每队员一次性支出每队员单位时间内费用费总费用＝损失费＋救援［模型的假设］1. 假设森林面积无限大，火势以失火点为中心，均匀速度向四周呈圆形蔓延，且时刻t 的森林烧毁面积为()t B .2. 设失火时刻为0=t ，开始灭火时刻为1t t =，火被扑灭时刻为2t t =，又设在10t t ≤≤内，火势蔓延程度dtdB与时间t 成正比，比例系数β称为火势蔓延速度. 3. 设派出消防队员x 名，开始灭火后()1t t ≥火势蔓延速度降为x λβ-.这里λ可视为每个队员的平均灭火速度. ［模型的建立］由于每个消防队员单位时间的费用为2c ，而每个队员的一次性支出为3c ，于是()x c t t x c 3122+-救援费＝由条件知： ()21t B c 损失费＝ 又由假设2、3知：()⎪⎩⎪⎨⎧===0,0t t B t dt dBβ 10t t ≤≤…………………………………………① ()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-==,0,2t t dt dB c t x dtdBλβ ()2121211t t B t t t t t β=≤≤=……………………②()21--c t x λβ=∴. 求解上述两微分方程，得()221t t B β=10t t ≤≤ ()()()c t t x t x t B '+---=222λβλβ 21t t t ≤≤()21212t t x tx c λβλ-+='()()()222222t x t x t B λβλβ---=+()21212t t x t x λβλ-+()22)(21212t t t x ββλ+--=又由①、②当1t t =时,有()()121t t x t x βλβλβ=---xt t t λββ-=-∴121于是 ()()22212122t x t t B ββλβ+-= 故总费用为()()()x c t t x c x t c t c x C 3122212121122+-+-+=βλββ问题归结为：已知1321,,,,,t c c c λβ，求x 使()x C 取最小值. ［模型的求解］将x 连续化()()()212123221212x x t c x t c c x t c dx dCλββλβλββλλβ---++--= ()21222121322βλβλβ---+=x t c t c c令0=dxdC,解得λβλβλβ++=23122212122c t c t c x ［结果分析］1. 关于()t B 的几何求解t dtdB~图形为：()ττd d dBt B t⎰=是图中 阴影部分面积.而()⎰=22t dt dt dBt B 是图中三角形的面积. 令b dtdBt t ==1，容易求得()()βλ-+=x b bt t B 22212. 2. 最后的x 要取整（这是由于离散的x 连续化之故）. 3. 结果表明：队员人数x 由两部分组成：一部分是灭火人数的最低限度：βλλβλβ>⇒>x x ,, 此时斜率为βλ-x 的直线才会与t 轴有交点2t .另一部分是最低限度之上的人数，它与问题的各个参数有关，且可看出其变化规律. 4. 实际应用中，321,,c c c 是已知常数，β是森林类型有关的量，λ是队员素质有关的量，火势1t b β=5. 实际上，消防队员的灭火速度λ与开始灭火时的火势1t b β=有关，可以合理地假设()1+=b k b λ.豆丁致力于构建全球领先的文档发布与销售平台，面向世界范围提供便捷、安全、专业、有效的文档营销服务。
森林火灾——蔓延趋势仿真 数学
森林火灾——蔓延趋势仿真专业：数学与应用数学姓名：XXX 指导老师：XXX1.引言森林是陆地生态系统的骨干因子，也是一种宝贵的自然资源。
森林和草地约占路标表面的三分之一。
大约两亿年前。
地球上由于气候湿润，温度适宜，才出现了无边无际的森林，以乔木和灌木为主体的绿色植物通过光合作用，吸收二氧化碳，吐出氧气，把原来大气中占90%的二氧化碳逐渐减少到3%，把原来大气中几乎没有的氧气使其含量上升到21%，这为生物和人类的生存创造了条件。
然而今天森林和其他重要资源一样，并不是取之不尽用之不竭的。
由于人类活动的日益增多，森林火灾发生的越来越频繁，毁掉了大片原始森林。
全世界每年发生森林火灾80余万次，受灾面积达几万公顷，约合森林总面积的1.0%，火灾毁灭了数百万公顷的热带雨林，严重破坏了全球的生态平衡；森林火灾增加了大气中二氧化碳的含量，进而导致气温升高，严重的森林火灾还会引起土壤的荒漠化，并对全球经济产生影响。
在这种背景下林火蔓延仿真技术应运而生，而且成为森林保护事业中不可缺少的一部分。
目前，常用的林火蔓延模型有两种，一种是连续型的波动传播模型，一种是离散型的邻接单元模型。
邻接单元模型是一种自动机模型，它将地表分成许多相互邻接的小单元，把火灾地表上的连续蔓延看做相邻单元之间的离散式点到点的“传染”，用一张表（时序表）保存火灾刚刚传播到每个单元的时刻，即每个单元对应一个火灾到达时期。
波动传播模型是每隔一个指定时间间隔逐个时刻的计算出火场边界，将某一时刻火场边界上的点看做独立点源（着火点），在一定时间间隔内，将这一时刻以及这些点上的火灾环境参数视为近似不变的，根据这些参数，用火行为模型和过火区模型计算出一系列小的过火区形状，这一系列过火区的外包线即为下一时刻的火场边界。
其中，邻接单元模型无需拓扑关系运算，效率和可靠性较高，但没有利用过火区形状模型，而直接在火行为模型基础上来模拟传播过程。
波动传播模型作为一种连续模型有着离散模型没有的复杂性又可能形成火场和未燃区域相互多重嵌套的复连通区域，使拓扑运算繁琐。
数学建模_森林救火建模共18页文档
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
谢谢！
森林救火数学模型模型
Matlab求解 syms c1 c2 c3 t1 p l x C=(c1*p*t1^2)/2+(c1*p^2*t1^2)*0.5/(l*x-p)+(c2*p*t1*x)/(l*xp)+c3*x pretty(C) F=diff(C,x) pretty(F) solve(F)
C1b 2C2 b x 2 2C3
森林救火模型
森林失火了！一般情况下，派往的队员越多，火被扑 灭的越快，火灾所造成的损失越小，但是救援的开支 就越大；相反，派往的队员越少，救援开支越少，但 灭火时间越长，而且可能由于不能及时灭火而造成更 大的损失。所以具体需要派遣多少消防队员需要综合 分析。
问题分析：救火的总费用由损失费和救援费两部分组成.损失费由森林被 烧毁的面积大小决定 ，而烧毁面积与失火、灭火（指火被扑灭）的时间 （即火灾持续的时间）有关，灭火时间又取决于参加灭火的队员的数目， 队员越多灭火越快.救援费除与队员人数有关外，也与灭火时间长短有关. 救援费可具体分为两部分：一部分是灭火器材的消耗及消防队员的薪金 等，与队员人数及灭火时间均有关；另一部分是运送队员和器材等一次 性支出，只与队员人数有关。
损失费（烧毁面积）
总费用 器材消耗 队员薪金 救援费 一次性支出
灭火点
B B(t2)
救火点（t1 达到极值）
0
t1
t2
t
dB dt
b
x
0
t1
t2 t
dB dt
b
x
0
t1
t2 t
1 b b b C ( x) bC1 ( ) C2 x C3 x 2
森林救火模型
森林救火模型问题提出：森林失火了，消防队接到报警后应派多少消防队员去救火 呢？一、问题分析:派出的队员越多，森林损失越小，但是救援开支会越多，所以需要综合考虑森林的损失费和救援费与队员人数之间的关系，以总费用最少来决定派出队员的数目。
损失费通常正比于森林烧毁面积，而烧毁面积与失火、灭火时间有关，灭火时间又取决于消防队员数目，队员越多，灭火时间越短。
而救援费既与消防队员人数有关，又与灭火时间长短有关。
记失火时刻为0=t ，开始救火时刻为1t t =，设在时刻t 森林烧毁面积为)(t B ，则造成损失的森林烧毁面积为)(2t B ，建模要对函数)(t B 的形式作出合理的简单假设。
研究dt dB 比)(t B 更为直接和方便，dtdB 是单位时间烧毁面积，表示火势蔓延的程度。
在消防队员到达之前，即21t t t ≤≤时，火势越来越大，即dt dB 随t 的增加而增加；开始救火后，即21t t t ≤≤，如果消防队员救火能力足够强，火势会越来越小，即dtdB 应该减小，并且当2t t =时，有0dtdB =。
救援费可以分为两个部分：一部分是灭火材料的损耗和消防队员的薪金等，与队员数量及灭火时间有关；另外一部分是运送队员一次性支出，只与消防队员人数有关。
二、模型假设：1、森林中树木分布均匀，而且火灾是在无风条件下发生的。
2、损失费与森林烧毁面积)(2t B 成正比，比例系数1c 为单位烧毁面积 的损失费。
3、从失火到开始救火这段时间（10t t ≤≤）内，火势蔓延程度dtdB 与时间t 成正比，比例系数β为火势蔓延速度，即：4、派出消防队员x 名，开始救火后（1t t ≥），火势蔓延速度降为x λβ-，其中λ为每个队员的平均灭火速度，显然有x λβ<。
因 为要扑灭森林大火，灭火速度必须大于火势蔓延速度，否则火 势 将难以控制。
5、每个消防队员单位时间费用为2c （包括灭火材料的消耗及消防队员的薪金等），救火时间为12t t -；每个队员的一次性支出为3c （运 送队员、器材一次性支出）。
4 森林救火
刻之间，火势的蔓延程度线性增加。单位时
间内烧毁的面积与时间成正比，比例系数为
常数
❖ 4、开始救火后，火势的蔓延速度减小，火
势的减小与消防队员的人数有关，设每个消
防队员的灭火速度为常数
❖ 显然 x
❖ 1 在消防队员到达之前,火势越来越大, ❖ 火势蔓延速度与时间成正比，即
森林救火
问题的提出：
❖ 森林失火了，消防站接到报警后派多少消防 队员前去救火呢？派的队员越多森林的损失 越小，但是救火的开支就会越大，而派的队 员越少，救火时间加长，森林的损失就会增 大，所以需要综合考虑森林损失和救援费用， 以总费用最小决定派出消防队员的数目。
问题的分析
❖ 总费用包括森林的损失费和消防队员的援救 费两部分。森林的损失费又正比于烧毁的面 积，烧毁的面积又与火势的大小、火着的时 间有关，而火着的时间与消防队员的人数有 关，所以本问题的关键是建立费用与消防队 员人数之间的关系。
❖ 火势的大小可以用单位时间内烧毁的面积来 衡量。
模型的假设：
❖ 1时、刻设为失t火1 时时间刻为，0灭时火刻的，时开刻始为救火t 2的
时刻，时刻 t 烧毁的面积为 B(t) ,烧
x 毁单位森林面积的费用为 c1
❖ 2、派出的消防队员数为 ，每个队 员的消防能力相同，单位时间内每个
消防队员的费用为 c2 ，每个消防队员
dB t
dt
❖ 解释 火势从某个中心开始，以均匀速度
❖ 成环形向外蔓延,蔓延半径r(t)∝t, 又因 ❖ B(t)∝r2(t)，故 dB ∝t
dt
❖
2 派出x名消防队员,开始救火以后,火势蔓 ❖ 延速度为β－λx(<0) ,有
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设火灾发生时刻为t=0，开始救火时刻为 t=t1，灭火时刻为t=t2，t 时刻森林烧毁面积 为B（t），则造成损失的被烧毁的森林的面 积为B（t2），而是森林被烧毁的速度，也表 示了火势蔓延的程度.从火灾发生时刻开始到 火被扑灭的过程中，被烧毁的森林的面积是 不断扩大的，因而B（t）应是时间t的单调递 增的函数，即
对于假设 3可作如下解释：由于森林中树木分 布均匀，且火灾是在无风条件下发生的，因而火 势可看作以失火点为中心，以均匀速度向四周呈 圆形蔓延，因而蔓延半径 r与时间t成正比，又因为
烧毁面积B与r 2 成正比，故 B与 t 2 成正比，从而
dB 与t成正比
dt
（3）模型建立
总费用由森林损失费和救援费组成 .由假设2，森 林损失费等于烧毁面积 B（t2）与单位面积损失费 C1 的积，即 C1B(t2)；由假设 5，救援费为 C2x(t2-t1)+C3x，因此，总费用为
?
?? t, ??(?x ?
?
)(t 2
?
t),
0 ? t ? t1 t1 ? t ? t2 ,
因而有
b
?
? t1, t2
?
t1
?
b
?x?
?
? 烧毁面积为 B(t2 ) ?
t2 0
dB dt dt
?
1 2 bt2 ,
恰为图中三角形的面积.
由b的定义有 b ? ? t1 ? (? x ? ? )(t2 ? t1 ) ，于是
dB dt
?
0,0
?
t
?
t2
从火灾发生到消防队员到达并开始救火这段时 间内，火势是越来越大的，即
d2B dt 2
?
0,0
?
t
?
t1
开始救火以后，即 t1 ? t ? t2时，如果队员灭火
能力足够强，火势会越来越小，即
d2B dt 2
?
0, t1
?
t
?
t2
并且当t=t2时，
dB ? 0 dt
在建立数学模型之前，需要对烧毁森林的损
（1）问题分析
如题中所述，森林救火问题与派出的消防队员的人数密 切相关，应综合考虑森林损失费和救援费，以总费用最小为目 标来确定派出的消防队员的人数使总费用最小.
? 救火的总费用由损失费和救援费两部分组成.损失费由 森林被烧毁的面积大小决定 ，而烧毁面积与失火、灭火 （指火被扑灭）的时间（即火灾持续的时间）有关，灭 火时间又取决于参加灭火的队员的数目，队员越多灭火 越快.救援费除与队员人数有关外，也与灭火时间长短有 关.救援费可具体分为两部分：一部分是灭火器材的消耗 及消防队员的薪金等，与队员人数及灭火时间均有关； 另一部分是运送队员和器材等一次性支出，只与队员人 数有关.
C( x) ? c1B(t2 ) ? c2 x(t2 ? t1 ) ? c3 x
dB
由假设3，4，火势蔓延速度 dt 在 0 ? t ? t1 内线性地 增加， t1时刻消防队员到达并开始救火，此时火势 用b表示，而后，在 t1 ? t ? t2 内，火势蔓延的速度 线性地减少（如下图）
即
dB dt
度，即
dB dt
?
?
t,0
?
t
?
t1 ;
④ 派出消防队员 x名，开始救火以后（ t ? t1），
火势蔓延速度降为 ? ? ?x（线性化），其中 ? 可
视为每个队员的平均灭火速度，且有 ：? ? ?x 因为要扑灭森林大火，灭火速度必须大于火势 蔓延的速度，否则火势将难以控制；
⑤ 每个消防队员单位时间费用为 C2（包括灭火器材 料的消耗及消防队员的薪金等），救火时间为 t2-t1， 于是每个队员的救火费用为 C2(t2-t1)；每个队员的一 次性支出为C3(运送队员、器材等一次性支出 ).
③改进方向：
i 取消树木分布均匀、无风这一假设，考虑更一般 情况； ii 灭火速度是常数不尽合理，至少与开始救火时的火势有关； iii 对不同种类的森林发生火
灾，派出的队员数应不同， 虽然β（火势蔓延速度） 能从某种程度上反映森林 类型不同，但对β相同的 两种森林，派出的队员也 未必相同； iv 决定派出队员人数时，人 们必然在森林损失费和救 援费用之间作权衡，可通 过对两部分费用的权重来 体现这一点.
森林救火模型
森林失火了！消防站接到火警后，立 即决定派消防队员前去救火.一般情况下， 派往的队员越多，火被扑灭的越快，火灾 所造成的损失越小，但是救援的开支就越 大；相反，派往的队员越少，救援开支越 少，但灭火时间越长，而且可能由于不能 及时灭火而造成更大的损失，那末消防站 应派出多少队员前去救火呢
失费、救援费及火势蔓延程度 dB 作出合理的
假设.
dt
（2）模型假设 ① 森林中树木分布均匀，而且火灾是在无风的条件 下发生的； ② 损失费与森林烧毁面积 B（t2）成正比，比例系 数为C1，即烧毁单位面积的损失费为 C1；
③ 从失火到开始救火这段时间内，火势蔓延程度
dB dt
与时间t成正比，比例系数为 β，称之为火势蔓延速
dx
容易解得
x? ?
C1?b2 ? 2C2? b ? ?
2C3? 2
?
（5）模型分析与改进
① 应派出的（最优）消防队员人数由两部分组成，
其中
? ?
是为了把火扑灭所必须的最低限度 ,因为β是
火势蔓延速度，而 λ是每个队员的平均灭火速度，
同时也说明这个最优解满足约束条件，结果是合理
的.
② 派出的队员数的另一部分，即在最低限度基础 之上的人数，与问题的各个参数有关 .当队员灭 火速度λ和救援费用系数 C3增大时，队员数减少； 当火势蔓延速度 β、开始救火时的火势 b及损失 费用系数 C1增加时，消防队员人数增加；当救 援费用系数 C2增大时，队员人数也增大 .
t2
?
t1
?
b
?x ?
?
,
t2
?
b
?
?
b
?x ?
?
,
所以
C(x) ?
1b
2 bC1( ?
?
b
?x?
?
)
?
C2
x
?
b x?
?
? C3 x
其中只有派出的消防队员的人数是未知的.
问题归结为如下的最优化问题：
???mx?i0n C(x)
??s.t.?x ? ? ? 0.
（4）模型求解
这是一个函数极值问题. 令 dC ? 0