数学建模_森林救火建模.ppt
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森林救火模型
森林失火了！消防站接到火警后，立 即决定派消防队员前去救火.一般情况下， 派往的队员越多，火被扑灭的越快，火灾 所造成的损失越小，但是救援的开支就越 大；相反，派往的队员越少，救援开支越 少，但灭火时间越长，而且可能由于不能 及时灭火而造成更大的损失，那末消防站 应派出多少队员前去救火呢
C( x) ? c1B(t2 ) ? c2 x(t2 ? t1 ) ? c3 x
dB
由假设3，4，火势蔓延速度 dt 在 0 ? t ? t1 内线性地 增加， t1时刻消防队员到达并开始救火，此时火势 用b表示，而后，在 t1 ? t ? t2 内，火势蔓延的速度 线性地减少（如下图）
即
dB dt
t2Βιβλιοθήκη Baidu
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t1
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b
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,
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所以
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C2
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? C3 x
其中只有派出的消防队员的人数是未知的.
问题归结为如下的最优化问题：
???mx?i0n C(x)
??s.t.?x ? ? ? 0.
（4）模型求解
这是一个函数极值问题. 令 dC ? 0
dx
容易解得
x? ?
C1?b2 ? 2C2? b ? ?
2C3? 2
?
（5）模型分析与改进
① 应派出的（最优）消防队员人数由两部分组成，
其中
? ?
是为了把火扑灭所必须的最低限度 ,因为β是
火势蔓延速度，而 λ是每个队员的平均灭火速度，
同时也说明这个最优解满足约束条件，结果是合理
的.
② 派出的队员数的另一部分，即在最低限度基础 之上的人数，与问题的各个参数有关 .当队员灭 火速度λ和救援费用系数 C3增大时，队员数减少； 当火势蔓延速度 β、开始救火时的火势 b及损失 费用系数 C1增加时，消防队员人数增加；当救 援费用系数 C2增大时，队员人数也增大 .
dB dt
?
0,0
?
t
?
t2
从火灾发生到消防队员到达并开始救火这段时 间内，火势是越来越大的，即
d2B dt 2
?
0,0
?
t
?
t1
开始救火以后，即 t1 ? t ? t2时，如果队员灭火
能力足够强，火势会越来越小，即
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0, t1
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t
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t2
并且当t=t2时，
dB ? 0 dt
在建立数学模型之前，需要对烧毁森林的损
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因而有
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? 烧毁面积为 B(t2 ) ?
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1 2 bt2 ,
恰为图中三角形的面积.
由b的定义有 b ? ? t1 ? (? x ? ? )(t2 ? t1 ) ，于是
设火灾发生时刻为t=0，开始救火时刻为 t=t1，灭火时刻为t=t2，t 时刻森林烧毁面积 为B（t），则造成损失的被烧毁的森林的面 积为B（t2），而是森林被烧毁的速度，也表 示了火势蔓延的程度.从火灾发生时刻开始到 火被扑灭的过程中，被烧毁的森林的面积是 不断扩大的，因而B（t）应是时间t的单调递 增的函数，即
③改进方向：
i 取消树木分布均匀、无风这一假设，考虑更一般 情况； ii 灭火速度是常数不尽合理，至少与开始救火时的火势有关； iii 对不同种类的森林发生火
灾，派出的队员数应不同， 虽然β（火势蔓延速度） 能从某种程度上反映森林 类型不同，但对β相同的 两种森林，派出的队员也 未必相同； iv 决定派出队员人数时，人 们必然在森林损失费和救 援费用之间作权衡，可通 过对两部分费用的权重来 体现这一点.
度，即
dB dt
?
?
t,0
?
t
?
t1 ;
④ 派出消防队员 x名，开始救火以后（ t ? t1），
火势蔓延速度降为 ? ? ?x（线性化），其中 ? 可
视为每个队员的平均灭火速度，且有 ：? ? ?x 因为要扑灭森林大火，灭火速度必须大于火势 蔓延的速度，否则火势将难以控制；
⑤ 每个消防队员单位时间费用为 C2（包括灭火器材 料的消耗及消防队员的薪金等），救火时间为 t2-t1， 于是每个队员的救火费用为 C2(t2-t1)；每个队员的一 次性支出为C3(运送队员、器材等一次性支出 ).
（1）问题分析
如题中所述，森林救火问题与派出的消防队员的人数密 切相关，应综合考虑森林损失费和救援费，以总费用最小为目 标来确定派出的消防队员的人数使总费用最小.
? 救火的总费用由损失费和救援费两部分组成.损失费由 森林被烧毁的面积大小决定 ，而烧毁面积与失火、灭火 （指火被扑灭）的时间（即火灾持续的时间）有关，灭 火时间又取决于参加灭火的队员的数目，队员越多灭火 越快.救援费除与队员人数有关外，也与灭火时间长短有 关.救援费可具体分为两部分：一部分是灭火器材的消耗 及消防队员的薪金等，与队员人数及灭火时间均有关； 另一部分是运送队员和器材等一次性支出，只与队员人 数有关.
失费、救援费及火势蔓延程度 dB 作出合理的
假设.
dt
（2）模型假设 ① 森林中树木分布均匀，而且火灾是在无风的条件 下发生的； ② 损失费与森林烧毁面积 B（t2）成正比，比例系 数为C1，即烧毁单位面积的损失费为 C1；
③ 从失火到开始救火这段时间内，火势蔓延程度
dB dt
与时间t成正比，比例系数为 β，称之为火势蔓延速
对于假设 3可作如下解释：由于森林中树木分 布均匀，且火灾是在无风条件下发生的，因而火 势可看作以失火点为中心，以均匀速度向四周呈 圆形蔓延，因而蔓延半径 r与时间t成正比，又因为
烧毁面积B与r 2 成正比，故 B与 t 2 成正比，从而
dB 与t成正比
dt
（3）模型建立
总费用由森林损失费和救援费组成 .由假设2，森 林损失费等于烧毁面积 B（t2）与单位面积损失费 C1 的积，即 C1B(t2)；由假设 5，救援费为 C2x(t2-t1)+C3x，因此，总费用为
森林失火了！消防站接到火警后，立 即决定派消防队员前去救火.一般情况下， 派往的队员越多，火被扑灭的越快，火灾 所造成的损失越小，但是救援的开支就越 大；相反，派往的队员越少，救援开支越 少，但灭火时间越长，而且可能由于不能 及时灭火而造成更大的损失，那末消防站 应派出多少队员前去救火呢
C( x) ? c1B(t2 ) ? c2 x(t2 ? t1 ) ? c3 x
dB
由假设3，4，火势蔓延速度 dt 在 0 ? t ? t1 内线性地 增加， t1时刻消防队员到达并开始救火，此时火势 用b表示，而后，在 t1 ? t ? t2 内，火势蔓延的速度 线性地减少（如下图）
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其中只有派出的消防队员的人数是未知的.
问题归结为如下的最优化问题：
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（4）模型求解
这是一个函数极值问题. 令 dC ? 0
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2C3? 2
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（5）模型分析与改进
① 应派出的（最优）消防队员人数由两部分组成，
其中
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是为了把火扑灭所必须的最低限度 ,因为β是
火势蔓延速度，而 λ是每个队员的平均灭火速度，
同时也说明这个最优解满足约束条件，结果是合理
的.
② 派出的队员数的另一部分，即在最低限度基础 之上的人数，与问题的各个参数有关 .当队员灭 火速度λ和救援费用系数 C3增大时，队员数减少； 当火势蔓延速度 β、开始救火时的火势 b及损失 费用系数 C1增加时，消防队员人数增加；当救 援费用系数 C2增大时，队员人数也增大 .
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因而有
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? 烧毁面积为 B(t2 ) ?
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恰为图中三角形的面积.
由b的定义有 b ? ? t1 ? (? x ? ? )(t2 ? t1 ) ，于是
设火灾发生时刻为t=0，开始救火时刻为 t=t1，灭火时刻为t=t2，t 时刻森林烧毁面积 为B（t），则造成损失的被烧毁的森林的面 积为B（t2），而是森林被烧毁的速度，也表 示了火势蔓延的程度.从火灾发生时刻开始到 火被扑灭的过程中，被烧毁的森林的面积是 不断扩大的，因而B（t）应是时间t的单调递 增的函数，即
③改进方向：
i 取消树木分布均匀、无风这一假设，考虑更一般 情况； ii 灭火速度是常数不尽合理，至少与开始救火时的火势有关； iii 对不同种类的森林发生火
灾，派出的队员数应不同， 虽然β（火势蔓延速度） 能从某种程度上反映森林 类型不同，但对β相同的 两种森林，派出的队员也 未必相同； iv 决定派出队员人数时，人 们必然在森林损失费和救 援费用之间作权衡，可通 过对两部分费用的权重来 体现这一点.
度，即
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火势蔓延速度降为 ? ? ?x（线性化），其中 ? 可
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⑤ 每个消防队员单位时间费用为 C2（包括灭火器材 料的消耗及消防队员的薪金等），救火时间为 t2-t1， 于是每个队员的救火费用为 C2(t2-t1)；每个队员的一 次性支出为C3(运送队员、器材等一次性支出 ).
（1）问题分析
如题中所述，森林救火问题与派出的消防队员的人数密 切相关，应综合考虑森林损失费和救援费，以总费用最小为目 标来确定派出的消防队员的人数使总费用最小.
? 救火的总费用由损失费和救援费两部分组成.损失费由 森林被烧毁的面积大小决定 ，而烧毁面积与失火、灭火 （指火被扑灭）的时间（即火灾持续的时间）有关，灭 火时间又取决于参加灭火的队员的数目，队员越多灭火 越快.救援费除与队员人数有关外，也与灭火时间长短有 关.救援费可具体分为两部分：一部分是灭火器材的消耗 及消防队员的薪金等，与队员人数及灭火时间均有关； 另一部分是运送队员和器材等一次性支出，只与队员人 数有关.
失费、救援费及火势蔓延程度 dB 作出合理的
假设.
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（2）模型假设 ① 森林中树木分布均匀，而且火灾是在无风的条件 下发生的； ② 损失费与森林烧毁面积 B（t2）成正比，比例系 数为C1，即烧毁单位面积的损失费为 C1；
③ 从失火到开始救火这段时间内，火势蔓延程度
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与时间t成正比，比例系数为 β，称之为火势蔓延速
对于假设 3可作如下解释：由于森林中树木分 布均匀，且火灾是在无风条件下发生的，因而火 势可看作以失火点为中心，以均匀速度向四周呈 圆形蔓延，因而蔓延半径 r与时间t成正比，又因为
烧毁面积B与r 2 成正比，故 B与 t 2 成正比，从而
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（3）模型建立
总费用由森林损失费和救援费组成 .由假设2，森 林损失费等于烧毁面积 B（t2）与单位面积损失费 C1 的积，即 C1B(t2)；由假设 5，救援费为 C2x(t2-t1)+C3x，因此，总费用为