大学物理-连带勒让德多项式例题

上式中已积分出的部分Hale Waihona Puke Baidu零。继续分部积分两次，得到
上式中已积分出的部分仍为零。由此得到 当 l = 2 时，得到
当 l > 2 时，有
因此，所给函数的广义傅里叶级数展开为
例2：在半径为 a 的球面上电势分布为 u(a,, ) = sin cos，
求球内电势分布。 解：(1) 定解问题为
(2) 解的形式为
第八章 球函数 例题
8.2 连带勒让德函数
例1 以
为基，在 x 的区间 [1,1] 上将函数 f (x) =
sin2 =1 x2 展开为广义傅里叶级数。
解：由于这里 m = 2，且所给函数展开为广义傅里叶级数的
条件，而
，因此有
其中展开系数可按
进行计算，即
利用连带勒让德函数的微分表示，有 将上式代入 Cl2 的表达式，得到 分部积分一次，有
(3) 确定系数。 由球心处电势为有限值，得到 Blm = 0，Dlm = 0。于是有 由球面处电势分布，得到
利用
的正交性，有
因此，球内电势分布为