江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试数学试题

苏州市五市三区2013届高三期中考试试题

数 学

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 集合},1{t A =中实数t 的取值范围是 .

2. 若不等式032≤-x x 的解集为M ，函数)1lg ()(x x f -=的定义域为N ，则

=N M .

3. 如果p 和q 是两个命题，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则p 是q 的

条件.

4. 将函数)6

3

cos(2)(π

+

=x x f 的图象向左平移

4

π

个单位，再向下平移1个单位，得到函数)(x g 的图象，则)(x g 的解析式为 .

5. 已知向量a 与b 的夹角为

3

π

，2||=a ，则a 在b 方向上的投影为 .

6. 若3tan =α，则

=-++5

cos sin 2sin cos 3sin 222αααα

α . 7. 设变量y x ,满足1||||≤+y x ，则y x 2+的最大值为 .

8. 函数x

x

y +-=

11的单调递减区间为 . 9. 已知关于x 的不等式0)1)(1(<+-x ax 的解集是),1()1,(+∞--∞ a

，

则实数a 的取值范围是 .

10. 已知函数bx x x f +=2)(的图象在点))1(,1(f A 处的切线l 与直线023=+-y x 平

行，

若数列})

(1

{

n f 的前n 项和为n S ，则2013S 的值为 . 11. 在锐角ABC ∆中，若B A 2=，则

b

a

的取值范围是 . 12. 已知函数)(x f 在定义域),0(+∞上是单调函数,若对任意),0(+∞∈x ，都有

2]1

)([=-x

x f f ,

则)5

1(f 的值是 .

13. ABC ∆内接于以P 为圆心，半径为1的圆，且=++5430，则ABC

∆的面积为 .

14. 若已知0,,>c b a ，则bc

ab c b a 22

22+++的最小值为 .

二、解答题（本大题共6小题，共90分）

15. （本小题满分14分）

已知函数]4,16

1

[

,log )(4∈=x x x f 的值域为集合A ，关于x 的不等式)(2)2

1

(3R a x a x ∈>+的 解集为B ，集合}01

5|

{≥+-=x x

x C ,集合}121|{-<≤+=m x m x D )0(>m （1）若B B A = ,求实数a 的取值范围； （2）若C D ⊆,求实数m 的取值范围.

16. （本小题满分14分）

如图，在直角坐标系xOy 中，锐角ABC ∆内接于圆.122=+y x 已知BC 平行于x 轴，

AB 所在直线方程为)0(>+=k m kx y ，

记角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .

（1）若,232

22b

c a ac k -+=

求B C A 2sin 2cos 2++的值； （2）若,2=k 记),2

3(),2

0(π

βπβπ

αα<

<=∠<

<=∠xOB xOA 求)sin(βα+的值。

17. （本小题满分14分）

某企业有两个生产车间分别在A 、B 两个位置，A 车间有100名员工，B 车间有400名员工。现要在公路AC 上找一点D ,修一条公路BD ，并在D 处建

一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐。已知A 、B 、C 中任意两点间的

A D

距离均有km

∠BDC，所有员工从车间到食堂步行的总路程为s.

=

1，设α

（1）写出s关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；

（2）问食堂D建在距离A多远时，可使总路程s最少

18.（本小题满分16分）

已知函数|

x

f=，

(2x

x

|

ln

)

（1）判断函数)

(x

f的奇偶性；

（2）求函数)

f的单调区间；

(x

（3）若关于x的方程1

x

f有实数解，求实数k的取值范围．

=kx

(-

)

19.（本小题满分16分）

已知数列}{n a 的相邻两项n a ，1+n a 是关于x 的方程*)(022N n b x x n n ∈=+-的两根，且11=a .

（1）求证：数列}23

1

{n n a ⨯-是等比数列；

（2）设n S 是数列}{n a 的前n 项和，问是否存在常数λ，使得0>-n n S b λ对任

意*N n ∈都成立，若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由．

20. （本小题满分16分）

已知函数a

x a

x ax x x f a

x x <≥⎩⎨⎧⨯-+-=-,,2441)(2, （1）若a x <时,1)(

（2）若4-≥a 时，函数)(x f 在实数集R 上有最小值，求实数a 的取值范围.