概率论初步(20200920091326)
概率初步重知识点总结
概率初步重知识点总结概率论最早起源于赌博和游戏中心，随着科学技术的发展，概率论得到了迅速发展，被广泛应用于生物学、经济学、统计学、物理学、社会学等各个领域。
概率论的核心思想是通过建立适当的模型来描述随机现象，并利用数学工具来分析这些模型，从而求解相关问题。
概率论的研究对象是概率空间中的随机事件，概率论的研究方法是通过建立概率空间，定义随机事件和概率，并利用概率分布和统计规律来分析和预测随机现象的规律性。
概率论主要包括以下几个方面的内容：概率空间和随机事件、随机变量和概率分布、数理统计和概率模型、随机过程和随机系统等。
从更详细的角度来看，概率论包括概率基本概念和概率公理、条件概率和独立性、随机变量和概率分布、大数定律和中心极限定理、极限理论和数理统计、随机过程和马尔可夫链等。
概率论的重要性不言而喻，在实际生活中，人们经常需要通过科学方法来描述随机现象的规律性，评估随机事件的可能性，预测随机现象的结果。
概率论在经济学、金融学、生物学、医学、社会学、物理学等领域都有广泛的应用。
概率论在现代科学技术中所占的地位非常重要，不仅对于基础研究有着深远的影响，而且在解决现实问题中发挥着重要的作用。
比如，在金融领域中，概率论被广泛应用于股票价格的预测、金融市场的波动分析、风险控制和保险等。
在生物学领域中，概率论被应用于遗传学的研究、细胞生物学的分析、生态系统的模拟等。
在社会学领域中，概率论被应用于人口统计、社会调查、市场调查等。
在物理学领域中，概率论被应用于量子力学、热力学、统计物理学等。
总之，概率论是一门非常重要的数学分支学科，它不仅有着深厚的理论基础，而且在解决现实问题中具有重要的应用价值。
因此，深入研究概率论的理论和方法，对于提高数学素养、拓展科学视野、培养科学思维和解决实际问题都具有重要意义。
下面我们将对概率论的一些基本概念、基本原理和基本方法进行初步总结。
1. 概率空间和随机事件概率空间是概率论研究的基本对象，它是一个三元组(Ω, F, P)，其中Ω 是样本空间，F 是Ω 的一个σ-代数，P 是定义在 F 上的一个概率测度。
第六章 概率论初步 (上)
了解即可 在每次试验中它总是发生
第
事件A发生必然导致事件B发生，称为事
六
件B包含事件A，或称事件A包含事件B
章
第
一
事件包含与相等
了解即可
概
节
率
随
论
机 事
初
件
和事件 事件“A、B中至少有一个发生”为事件A 与事件B的和事件，也称A与B的并，记作
了解即可
步
积事件 事件“A，B同时发生”为事件A与事
(上)
随机试验和 样本空间 样本空间 了解即可 样本点的全体构成的集合
随机事件 在一次试验中可能出现也可能不出现的事件，记作
了解即可
பைடு நூலகம்
事件
随机 了解即可 试验E所对应的样本空间Ω的子集 事件 基本事件 的概 了解即可 样本空间Ω仅包含一个样本点ω的单点子集{ω}也是一种随机事件
念 必然事件 样本空间Ω包含所有的样本点，它是Ω自身的子集，
2016填13
交换律
运算律
了解即可
结合律 分配律
对偶律
关系 图形
了解即可
件B的积事件，也称A与B的交，记作
了解即可
差事件 事件“A发生而B不发生”为 了解即可 事件A与事件B的差事件，记作
互不相容（或互斥）
了解即可
事件A与事件B不能同时发生，即
事件“B不发生”
随机 对立事件 为事件B的对立事件
事件
（或余事件/逆事
了解即可
的关
件），记作
系与
运算
A∪B=Ω，A∩B=Φ，则A与B 互为对立事件
概率初步全章教案
概率初步全章教案第一章：概率的概念与基础1.1 概率的定义与性质引入概率的概念，解释概率的含义和作用探讨概率的基本性质，如非负性、区间概率等1.2 随机事件与样本空间定义随机事件和样本空间的概念举例说明随机事件和样本空间的运用1.3 条件概率与独立事件引入条件概率的概念，解释条件概率的计算方法探讨独立事件的性质，说明独立事件的概率计算方法第二章：概率的计算与应用2.1 排列组合复习排列组合的基本原理，如排列数、组合数等应用排列组合知识计算事件的概率2.2 概率分布引入概率分布的概念，解释离散概率分布和连续概率分布的特点探讨概率分布的性质，如期望、方差等2.3 概率的应用举例说明概率在实际问题中的应用，如概率论的基本定理、中心极限定理等第三章：随机变量与概率分布3.1 随机变量的定义与分类定义随机变量的概念，解释离散随机变量和连续随机变量的特点举例说明随机变量的运用3.2 概率分布函数引入概率分布函数的概念，解释概率分布函数的性质和计算方法探讨概率分布函数的应用，如概率查询、累积分布函数等3.3 期望与方差定义随机变量的期望和方差的概念，解释期望和方差的计算方法探讨期望和方差的意义和应用，如期望值的最小化、方差的减小等第四章：大数定律与中心极限定理4.1 大数定律介绍大数定律的概念，解释大数定律的含义和作用探讨大数定律的证明方法和应用，如样本均值的收敛性等4.2 中心极限定理引入中心极限定理的概念，解释中心极限定理的含义和作用探讨中心极限定理的证明方法和应用，如样本均值的分布等4.3 随机过程与马尔可夫链简介随机过程的概念，解释随机过程的特点和应用引入马尔可夫链的概念，解释马尔可夫链的性质和应用第五章：概率论在实际问题中的应用5.1 概率论在社会科学中的应用举例说明概率论在社会科学领域的应用，如统计调查、社会统计等5.2 概率论在自然科学中的应用举例说明概率论在自然科学领域的应用，如物理学中的随机过程、生物学中的遗传概率等5.3 概率论在经济学与管理学中的应用举例说明概率论在经济学与管理学领域的应用，如风险分析、决策理论等5.4 概率论在工程与应用科学中的应用举例说明概率论在工程与应用科学领域的应用，如通信系统中的概率论、可靠性工程等第六章：离散型随机变量及其分布6.1 离散型随机变量的定义引入离散型随机变量的概念，解释其在概率论中的重要性举例说明离散型随机变量的运用6.2 概率质量函数与分布列定义概率质量函数的概念，解释如何计算离散型随机变量的概率分布探讨分布列的性质，如边缘分布、条件分布等6.3 离散型随机变量的期望与方差定义离散型随机变量的期望和方差的概念，解释它们的计算方法探讨期望和方差在离散型随机变量分析中的应用第七章：连续型随机变量及其分布7.1 连续型随机变量的定义引入连续型随机变量的概念，解释其在概率论中的重要性举例说明连续型随机变量的运用7.2 概率密度函数与分布函数定义概率密度函数的概念，解释如何计算连续型随机变量的概率分布探讨分布函数的性质，如累积分布函数、生存函数等7.3 连续型随机变量的期望与方差定义连续型随机变量的期望和方差的概念，解释它们的计算方法探讨期望和方差在连续型随机变量分析中的应用第八章：大数定律与中心极限定理的应用8.1 大数定律的应用探讨大数定律在实际问题中的应用，如估计总体均值、检验总体分布等举例说明大数定律的运用8.2 中心极限定理的应用探讨中心极限定理在实际问题中的应用，如估计样本均值的分布、构建置信区间等举例说明中心极限定理的运用8.3 随机过程与马尔可夫链的应用探讨随机过程在实际问题中的应用，如排队理论、随机行走等举例说明马尔可夫链的运用，如状态转移矩阵、稳态分布等第九章：概率论在实际问题中的应用案例分析9.1 概率论在生物学中的应用案例分析概率论在遗传学、流行病学等生物学领域中的应用案例讨论案例中的概率模型和解决方法9.2 概率论在金融学中的应用案例分析概率论在金融市场分析、风险管理等金融学领域中的应用案例讨论案例中的概率模型和解决方法9.3 概率论在工程学中的应用案例分析概率论在可靠性工程、通信系统等工程学领域中的应用案例讨论案例中的概率模型和解决方法第十章：概率论与现代概率论简介10.1 概率论的发展与现代概率论的起源回顾概率论的历史发展，介绍现代概率论的起源和发展趋势10.2 随机变量的进一步概念与方法探讨现代概率论中的一些高级概念和方法，如随机变量的高级性质、随机过程的分类等10.3 随机分析与随机微积分简介随机分析的概念和基本方法，解释随机微积分在现代概率论中的应用10.4 概率论在当代科学研究中的应用探讨概率论在物理学、生物学、计算机科学等当代科学研究领域中的应用和前景重点解析本章教案主要涵盖了概率初步的全貌，从概率的概念与基础，到概率的计算与应用，再到随机变量与概率分布，到大数定律与中心极限定理，以及概率论在各个领域中的应用。
概率初步全章教案
概率初步全章教案教学对象：高中数学教学目标：1. 理解概率的基本概念和术语；2. 学会计算简单事件的概率；3. 了解随机事件的独立性和互斥性；4. 掌握概率的加法规则和乘法规则；5. 能够应用概率解决实际问题。
教学内容：第一章：概率的基本概念1.1 概率的定义和例子1.2 样本空间和样本点1.3 事件的定义和例子1.4 事件的集合表示法第二章：简单事件的概率计算2.1 计算单个事件的概率2.2 计算互斥事件的概率2.3 计算独立事件的概率2.4 计算条件概率第三章：随机事件的独立性和互斥性3.1 独立事件的定义和性质3.2 互斥事件的定义和性质3.3 独立性和互斥性的判断方法3.4 独立性和互斥性的应用第四章：概率的加法规则4.1 加法规则的定义和公式4.2 加法规则的应用举例4.3 加法规则的推广和拓展第五章：概率的乘法规则5.1 乘法规则的定义和公式5.2 乘法规则的应用举例5.3 乘法规则的推广和拓展教学方法：1. 采用讲授法，讲解概率的基本概念和公式；2. 利用例题和练习题，培养学生的计算能力和解决问题的能力；3. 组织小组讨论，引导学生思考和探索概率的性质和规律；4. 利用多媒体教学，增加学生的学习兴趣和参与度。
教学评估：1. 课堂提问和回答问题，了解学生的学习情况；2. 布置作业和练习题，检查学生的掌握程度；3. 组织课堂讨论和小组活动，评估学生的参与和合作能力；4. 进行期中和期末考试，综合评价学生的学习成果。
教学资源：1. 教材和参考书，提供概率的基本概念和计算方法；2. 教案和教学笔记，指导教师的教学内容和教学步骤；3. 练习题和测试题，帮助学生巩固知识和提高能力；4. 多媒体课件和教学视频，增加学生的学习兴趣和参与度。
第六章：条件概率和贝叶斯定理6.1 条件概率的定义和性质6.2 条件概率的计算方法6.3 贝叶斯定理的定义和公式6.4 贝叶斯定理的应用举例第七章：随机变量及其分布7.1 随机变量的定义和性质7.2 离散型随机变量的分布律7.3 连续型随机变量的概率密度7.4 随机变量的期望和方差第八章：大数定律和中心极限定理8.1 大数定律的定义和性质8.2 大数定律的应用举例8.3 中心极限定理的定义和性质8.4 中心极限定理的应用举例第九章：概率论在实际问题中的应用9.1 概率论在统计学中的应用9.2 概率论在工程学中的应用9.3 概率论在经济学中的应用9.4 概率论在生物学中的应用10.1 概率论的基本概念和公式10.2 概率论的主要定理和性质10.3 概率论在实际问题中的应用案例10.4 常见问题和难题解答与提示教学方法：1. 采用讲授法，讲解条件概率、随机变量等高级概念；2. 通过案例分析和实际应用，培养学生的应用能力和解决问题的能力；3. 组织小组讨论和课堂互动，引导学生深入理解和掌握概率论的核心思想；4. 利用多媒体教学和实际数据，增加学生的学习兴趣和参与度。
概率论与数理统计初步(第一节-随机事件与概率)
第七章 概率论与数理统计初步第一节 随机事件与概率1．1 随机试验与随机事件1．随机现象与随机试验自然界和社会上发生的现象是多种多样的。
有一类现象在一定的条件下必然发生或必然不发生，称为确定性现象。
例如，沿水平方向抛出的的物体，一定不作直线运动。
另一类现象却呈现出非确定性。
例如，向地面抛一枚硬币，其结果可能是“正面向上”，也可能是“反面向上”。
又如在有少量次品的一批产品中任意地抽取一件产品，结果可能抽得一件正品，也可能是抽得一件次品。
这类现象可看作在一定条件下的试验或观察，每次试验或观察的可能结果不止一个，而且在每次试验或观察前无法事先知道确切的结果。
人们发现，这类现象虽然在每次试验或观察中具有不确定性，但在大量重复试验或观察中，其结果却呈现某种固定的规律性，即统计规律性，称这类现象为随机现象。
概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。
定义1 在概率统计中，我们把对随机现象的一次观测称为一次随机实验，简称试验。
概率论中研究的试验具有如下特点：（1）可以在相同的条件下重复进行；（2）每次试验的结果具有多种可能，并且事先能明确试验的所有可能结果；（3）每次试验之前不能确定该次试验将出现哪种结果。
例1 掷一枚均匀 了，观察出现的点数。
试验的所有可能的结果有6个：出现点1，出现点2，出现点3，出现点4，出现点5，出现点6。
分别用1，2，3，4，5，6表示。
例2 将一枚均匀的硬币抛掷两次，观察出现正面、反面的情况。
试验的所有可能结果有4个：两次都出现正面，两次都出现反面，第一次出现正面而第二次出现反面，第一次出现反面而第二次出现正面。
分别用“正正”、“反反”、“正反”、“反正”表示。
2．随机事件在随机试验中，每一个可能的基本结果称为这个试验的一个基本事件。
全体基本事件的集合称为这个试验的样本空间，记为Ω。
在例1中，该随机试验有6个基本事件，分别为1，2，3，4，5，6，故该试验的样本空间}6,5,4,3,2,1{=Ω。
第九章 概率论初步
9.3 概率的基本公式
例 某市发行日报和晚报两种报纸，该市住户中订日报的占 50%，订晚报 的占 60%，既订日报又订晚报的占 30%，求该市中下列住户所占的百分比．
（1）至少订一种报纸；（2）至多订一份报纸；（3）两种报纸都不订．
解：对于该市住户，设事件 A {订日报} ，事件 B {订晚报} ，则事件 AB { 既 订 日 报 又 订 晚 报 } ． 根 据 条 件 ， 有 P(A) 0.5 ， P(B) 0.6 ， P(AB) 0.3 ．
9.2 随机事件的概率
9.2.2 古典概型
现在介绍一类可以直接计算随机事件概率的简单随机试验，
此类试验具有如下两个特征：
（1）有限性：试验的样本空间由有限个样本点组成，可表示
为
{1,2,L ,n} ； （2）等可能性：每次试验中各个样本点出现的可能性相同，
有
P(1) P(2 ) L
P(n )
10 28
5 14
．
（2）设事件 B { 取到 1 个白球 1 个黑球} ，则事件 B 发生相当于在 5 个
白球中任取 1 球，在 3 个黑球中任取 1 球，共有 C51C31 种取法，故事件 B 所含 样本点个数为 C51C31 15 ，因此
P(B)
C51C31 C82
15 28
．
9.3 概率的基本公式
2.事件的和与积、事件的互斥
9.1 随机事件
定义 4 事件 A 与事件 B 中至少有一个发生所构 成的事件称为事件 A 与事件 B 的和（或并），记作 AUB．
9.1 随机事件
事件 A 与事件 B 同时发生所构成的事件称为事件 A 与事件 B 的积（或交）， 记作 AB （或 AI B ）．
第十一章 概率论初步
概率论在以下几个方面与其它数学课程不 同：
研究的现象更加接近日常生活 推理方法更加接近人类的真实思维模式 根据概率统计得出的结论：一个是告诉你将要发生的结果，再一 个是告诉你这个结果发生的可能性。实际上，它能够告诉你多种 可能的结果以及各种结果出现的可能性
第十一章 概率论初步
数据、模型与决策 (第二版)
数据、模型与决策 (第二版)
第十一章 概率论初步
写出例1、例2中各个随机试验的样本空间，并 用其相应的基本事件表示事件：“取得的球的 号数大于2”；“接到的电话查询次数大于 40”。 解：例1中，每次取得的球的号数是1，2，3， 4，5中的一个数，所以共有5个样本点，取得 的球的号数为i这一样本点，记为ωi（i=1，2， 3，4，5），因此样本空间为Ω={ω1，ω2， 第十一章 概率论初步 数据、模型与决策 (第二版) ω3，ω4，ω5}。
设事件A为“任取的一数是偶数”，求P（A）
设事件B为“任取的一数是5的倍数”求P（B）
第十一章 概率论初步
数据、模型与决策 (第二版)
袋内装有5个白球和5个黑球，从中任取两球 设事件A为“取到的都是白球”，求P（A）。
设事件B为“恰取到一只黑球”，求P（B）。
第十一章 概率论初步
数据、模型与决策 (第二版)
(AB)C=A(BC)
分配律：
(A B)C=AC BC
(AB) C=(A C)(B C)
对偶律：
=
AB
=
A B
第十一章 概率论初步
AB
AB 数据、模型与决策 (第二版)
第十一章 概率论初步
概率论初步
概率论初步一、知识要点（一）等可能事件（古典概型）的概率：P（A）=等可能事件概率的计算步骤：①计算一次实验的基本事件总数n；②设所求事件A，并计算事件A包含的基本事件的个数m；③依公式P（A）=求值.（二）几何概型（1）几何概率模型：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成正比（2）几何概型的概率公式：P（A）=构成事件的区域长度（面积或体积）实验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）二、经典例题例1、从52张扑克牌（无大小王）中任取一张，取到“黑桃A”的概率是多少？取到“A”的概率又是多少？例2 、将一个圆盘8等分，指针绕着中心较快的旋转，令指针突然停止，求指针停在偶数区域内的可能性大小。
例3、选择题（1）下列事件中是必然事件的是( )．A ．从一个装有蓝、白两色球的缸里摸出一个球，摸出的球是白球B ．小丹的自行车轮胎被钉子扎坏C ．小红期末考试数学成绩一定得满分D ．将豆油滴入水中，豆油会浮在水面上（2）同时投掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．下列事件中是不可能事件的是( )． A ．点数之和为12 B ．点数之和小于3 C ．点数之和大于4且小于8 D ．点数之和为13（3）下列说法中正确的是( )．A ．抛一枚均匀的硬币，出现正面、反面的机会不能确定B ．抛一枚均匀的硬币，出现正面的机会比较大C ．抛一枚均匀的硬币，出现反面的机会比较大D ．抛一枚均匀的硬币，出现正面与反面的机会相等（4）从不透明的口袋中摸出红球的概率为51，若袋中红球有3个，则袋中共有球( )． A ．5个 B ．8个C ．10个D ．15个例4、在如图所示的图案中，黑白两色的直角三角形都全等．甲、乙两人将它 作为一个游戏盘，游戏规则是：按一定距离向盘中投镖一次，扎在黑色区域为甲胜，扎在白色区域为乙胜．你认为这个游戏公平吗?为什么?三、巩固提升1、同时掷两枚普通的骰子，“出现数字之积为奇数”与“出现数字之积为偶数”的概率分别是______，______．2、有10张卡片，每张卡片分别写有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，从中任意摸取一张卡片，问摸到2的倍数的卡片的概率是多少?3的倍数呢?5的倍数呢?3、小李新买了一部手机，并设置了六位数的开机密码(每位数码都是0～9这10 个数字中的一个)，第二天小李忘记了密码中间的两个数字，他一次就能打开手机的概率是多少?4、有两组相同的牌，每组4张，它们的牌面数字分别是1，2，3，4，那么从每组中各摸出一张牌，两张牌的牌面数字之和等于5的概率是多少?两张牌的牌面数字之和等于几的概率最小?5、口袋里有红、绿、黄三种颜色的球，除颜色外其余都相同．其中有红球4个，1求：(1)口袋里黄球的个数；(2)任意绿球5个，任意摸出1个绿球的概率是3摸出1个红球的概率．四、知识总结1.古典概型的适用条件：实验结果的有限性和所有结果的等可能性.2.几何概型的特点：①实验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等. 3.概率的性质①非负性：在随机试验E 中，对其中任意一个事件A ，有0≤P （A ）≤1； ②规范性：必然事件P （E ）=1； 不可能事件：P （∅）=0； 对立事件：P （ ）=1-P （A ） 五、课后作业1．一道选择题共有4个答案，其中有且只有一个是正确的，有一位同学随意地选了一个答案，那么他选对的概率为( )． A ．1B ．21C ．31D ．412．掷一枚均匀的正方体骰子，骰子6个面分别标有数字1，1，2，2，3，3，则“3”朝上的概率为( )． A ．61B ．41C ．31D ．213．一个口袋共有50个球，其中白球20个，红球20个，蓝球10个，则摸到不是白球的概率是( )． A ．54B ．53C ．52D ．514. 用力旋转如图所示的甲转盘和乙转盘的指针，如果指针停在蓝色区域就称为成功．A 同学说：“乙转盘大，相应的蓝色部分的面积也大，所以选乙转盘成功的机会比较大．”B 同学说：“转盘上只有两种颜色，指针不是停在红色上就是停在蓝色上，因此两个转盘成功的机会都是50％．”你同意两人的说法吗?如果不同意，请你预言旋转两个转盘成功的机会有多大?。
概率论初步
第一节 随机事件
一、随机事件的概念
1. 随机现象 自然界与人类社会存在和发生的各种现象，大致可归结为两类：一类称 为确定性现象，即条件完全决定结果的现象.例如在标准大气压下，水被加热 到100℃时一定沸腾.另一类称为随机现象，即条件不能完全决定结果的现象. 2. 随机试验 为了深入研究随机现象，就必须在一定的条件下对它进行多次观察.若把 一次观察视为一次试验，观测到的结果就是试验结果.概率论中把满足下列条 件的试验称为随机试验.
第三节 条件概率、乘法公式与事件的独立性
二、乘法公式
概率的乘法公式可以推广到任意n个事件的情形. 若事件
第三节 条件概率、乘法公式与事件的独立性
三、事件的独立性
一般情况下，条件概率P（B|A）与P（B）是不同的.但在某些特殊情 况下，条件概率P（B|A）等于无条件概率P（B），这时事件B发生与否不 影响事件A的概率.这表明事件A与事件B之间存在某种独立性.
A称为事件A的
第二节 事件的概率
一、概率的古典定义
古典概率模型简称古典概型，通常是指具有下列两个特征的随机试验模 型.
（1） 随机试验只有有限个可能的结果，即有限个样本点（有限性）； （2） 每一个样本点发生的可能性相等（等可能性）. 古典概型又称为等可能性概型.在概率论产生和发展的过程中，它是最早 的研究对象，在实际应用中它也是最常用的一种概率模型.
第一节 随机事件
二、事件间的关系与运算
5. 互斥关系（互不相容） 若事件A与事件B不可能同时发生，则称事件A与事件B互斥，或称事件A 与事件B互不相容，记作A∩B，如图所示.
第一节 随机事件
二、事件间的关系与运算
6. 对立（逆）事件 对于事件A，若事件A满足A∪A=Ω，A∩A= 对立事件，如图所示.
概率论初步知识介绍
（2，7）
（2，8） （3，6）
（3，7）
（3，8） （4，6）
（4，7）
（4，8）
2.组合计数法则
▪阶乘
n!=n(n-1)(n-1)…3·2·1
▪排列
从n个不同对象中抽取r个（r<n）进行有序放置称为排列。
若n=r叫全排列。
P
r n
=n(n-1)···(n-r+1)
完成结果 投资成功 投资失败 合计
咨询意见 可以投资 不宜投资
154次 38次
2次
156次
6次
44次
合计
192次
8次
7、事件逆
样本空间S与事件A之差，即S-A这一事件称为A的逆事件、
对立事件或互补事件。记作 A。
8、互斥事件
如果两个事件A与B不可能同时发生，则称A与B互不相容 事件，或称为互斥事件,记作AB=Φ。
在我们的生活中会面临许多不确定性的决策问题
❖ 1、如果提高产品价格，则销售下降的“机会”有多少？ ❖ 2、某种新的装配方法会有多大的“可能性”提高生产率？ ❖ 3、某项工程按期完成的“可能”有多大？ ❖ 4、新投资赢利的机率有多大？
工期超过十个月的概率是多少？
一、概率的加法定理
2、相容事件的加法定理
如果事件A、B同时出现，则事件A和事件B称为联合事件,记 为AB。两个相容事件A与B之和的概率为： P(A∪B)=P(A)+P(B)—P(AB) [例] 投资房地产赚钱的概率是0.7，投资电脑软件业的成功率 是0.8，同时投资的成功率是0.6，问投资二者中至少一种赚 钱的概率为多少？ 解：P(A∪B)=P(A)+P(B)—P(AB)=0.7+0.8-0.6=0.9
人教版数学《概率初步》PPT全文课件1
运用规律， 解决问题
-6-
1.已知地球表面陆地面积与海洋面积的比为3：7。如果 宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则陨石“落在海洋里” 与“落在陆地上”哪个可能性更大？
解：落在海洋里的可能性大一些；
2.一个人随意翻书三次，三次都翻到了偶数页， 我们能否说翻到偶数页的可能性大？
解：不能。例如：共100页的一本书，翻到奇 数页与偶数页的可能性一样大。
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的， 不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同。
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影片-10-
推荐作业：
桌上扣着背面图案相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、 2张红桃。从中随机抽取1张扑克牌。 （1）能够事先确定抽取的扑克牌的花色吗？ （2）你认为抽到哪种花色扑克牌的可能性大？ （3）能否通过改变某种花色的扑克牌的数量，使“抽 到黑桃”和“抽到红桃”的可能性大小相同？
信息交流， 揭示规律
-4-
⑵如果两种球都有可能被摸出，那么“摸出黑球” 和“摸出白球”的可能性一样大吗？各小组动手 试试看。
球的颜色
黑球
白球
摸取次数
5
3
结论：由于两种球的数量不等，所以“摸 出黑球”和“摸出白球”的可能性的大小 是不一样的，且“摸出黑球”的可能性大 于“摸出白球”的可能性。
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信息交流， 揭示规律
-5-
通过以上从袋中摸球的试验，你能得到什么启示？
一般地， 1.随机事件发生的可能性是有大小的； 2.不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
概率论初步
第五章概率论初步［复习考试要求］1. 了解随机现象、随机试验的基本特点；理解基本事件、样本空间、随机事件的概念。
2. 掌握事件之间的关系：包含关系、相等关系、互不相容关系及对立关系。
3. 理解事件之间并（和）、交（积）、差运算的意义，掌握其运算规律。
4. 理解概率的古典型意义，掌握事件概率的基本性质及事件概率的计算。
5. 会求事件的条件概率；掌握概率的乘法公式及事件的独立性。
6. 了解随机变量的概念及其分布函数。
7. 理解离散性随机变量的意义及其概率分布掌握概率分布的计算方法。
8. 会求离散性随机变量的数学期望、方差和标准差。
［主要知识内容］ 第0节预备知识（一）两个原理1. 分类计数原理（加法原理）做一件事，完成它有 n 类方式，第一类方式有种方法，第二类方式有 门】种方法，，， 第n 类方式有…一：种方法，无论利用哪种方式的哪种方法都可以完成这件事，那么完成这件事的方法总数为-。
2. 分步计数原理（乘法原理）做一件事，完成它有n 个步骤，第一个步骤有 种方法，第二个步骤有「•种方法，，， 第n 个步骤有…一：种方法，必须经过所有步骤才能完成这件事，那么完成这件事的方法总数n□%为 …。
例如，某人由甲地经过乙地到丙地。
可供选择的交通工具及次数如下：由甲地到乙地，汽车6种、火车5种；由乙地到丙地，汽车 4种，火车3种。
则由甲地到乙地的方法数为 6+5=11 （种），由乙地到丙地的方法数为 4+3=7 （种），由甲地经过乙地到丙地的方法数为 （6+5）X （ 4+3） =77 （种）。
【答疑编号10050101】 （二）排列1. 定义：从n 个不同元素中，任取 m （ m < n ）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫 做从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列。
当m<n 时，称排列为选排列；当 m=n 时，称排列为全排列。
2. 排列数：从n 个不同元素中取出 m （ me n ）个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个不 同元素中取出m 个元素的排列数，记作3. 排列数计算公式：= yi (n-l) (n-2) -2 ] =M !（规定0!=1 ） 4. 可重复元素的排列：从 n 个不同元素中，任取 m （ m e n ）个元素（元素可以重复）， 按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个可-«-(H 1)- Z) ■ (« -+1)-n! -W1)!重复元素的排列。
概率初步说课稿
概率初步说课稿一、说教材本文《概率初步》在现代教育体系中具有重要作用和地位。
作为数学课程的一部分，概率论是研究随机事件规律性的数学分支，它不仅在数学领域有着广泛的应用，还与日常生活、科技发展及各学科研究密切相关。
本节课主要内容包括：概率的定义、概率的求解方法、概率的基本性质以及简单随机事件的组合等。
1. 作用与地位《概率初步》作为初中数学的重要章节，起着承上启下的作用。
它既是对前面所学统计知识的深化，又为后续学习更复杂的概率问题、统计推断等内容打下基础。
此外，通过本节课的学习，学生能培养逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
2. 主要内容本文主要围绕以下几个部分展开：（1）概率的定义：通过实例引入概率的概念，让学生了解概率是反映随机事件发生可能性大小的量。
（2）概率的求解：介绍求解概率的两种方法，即枚举法和概率公式法，并举例说明。
（3）概率的基本性质：探讨概率的三个基本性质，即非负性、规范性、可加性。
（4）简单随机事件的组合：讲解如何求解两个或多个简单随机事件的组合概率。
二、说教学目标学习本课需要达到以下教学目标：1. 知识目标：理解概率的定义，掌握求解概率的方法，了解概率的基本性质，并能运用这些知识解决实际问题。
2. 能力目标：培养学生运用概率知识进行逻辑推理、分析问题和解决问题的能力。
3. 情感目标：激发学生学习数学的兴趣，增强对数学实用性的认识，培养学生的合作意识和团队精神。
三、说教学重难点1. 教学重点：概率的定义、求解方法、基本性质以及简单随机事件的组合。
2. 教学难点：如何运用概率知识解决实际问题，特别是涉及多个随机事件的组合问题。
在教学过程中，要注意引导学生理解概率的实质，掌握概率的基本性质，并能够灵活运用求解概率的方法。
同时，针对学生的实际情况，采用适当的教学策略，突破教学难点，提高教学效果。
四、说教法在教学《概率初步》这一课时，我计划采用以下几种教学方法，旨在提高学生的理解和应用能力，同时突出我的教学特色。
概率论初步专业知识讲座
求：(1) 串联支路正常工作的概率； (2) 并联支路正常工作的概率； (3) 整个混联线路正常工作的概率； (4) 已知整个线路各项工作正常，
a
b
c
d
元件 a，b，c，d 正常工作的概率.
图 20-3 混联线路
解 设事件 A，B，C，D 分别表示元件 a，b，c，d 正常工作，
并设事件 E 表示整个混联线路正常工作.
故
P( A1)
m n
720 103
0.72.
(2) 事件 A2 所包含的基本事件总数 m 83，
故
P( A2 )
m n
83 103
0.512.
(3) 3 次抽取中 1 出现 2 次，因此有 C32 种可能，剩下
1 次是从其余 9 个数字中任取一个，则事件 A3 所包含的基
本事件总数 m C32C91 27，
解 每部电话工作是相互独立的，故可将这个问题看作同一 部电话独立工作了 N 次的试验，则： (1) 恰好有 K 部电话占线的概率为 CNK PK (1 P)N K ； (2) 至少有 1 部电话占线的概率为 1 CN0 P0 (1 P)N 0 1 (1 P)N；
(3) 至多有 m 部电话占线的概率为
由于每次都是从 8 件产品中抽取，故样本空间 所包
含的基本事件总数 n C81C81 64
① 因为第一次有 6 件正品供抽取，第二次也有 6 件正品
供抽取，所以“2 件全为正品”的事件 A 所包含的基本事件
总数 m C61C61 36,
因此
P( A) m 36 0.563. n 64
P(E) P( AB C D) P( AB) P(C) P(D) P( ABC) P( ABD) P(CD) P( ABCD) P( A)P(B) P(C) P(D) P( A)P(B)P(C) P( A)P(B)P(D)
教案概率初步(全章)
教案概率初步(全章)第一章：概率的基本概念1.1 概率的定义介绍概率的定义和基本概念解释随机事件和必然事件的概率1.2 样本空间和事件定义样本空间和事件的概念举例说明样本空间和事件的表示方法1.3 概率的基本性质介绍概率的基本性质，如互斥事件和独立事件的概率计算第二章：概率的计算方法2.1 计数原理介绍排列和组合的计数原理解释阶乘的概念和计算方法2.2 古典概型介绍古典概型的定义和计算方法举例说明古典概型的概率计算2.3 条件概率和贝叶斯定理解释条件概率和贝叶斯定理的概念举例说明条件概率和贝叶斯定理的计算方法第三章：离散型随机变量3.1 随机变量的定义和性质介绍随机变量的定义和性质解释离散型随机变量的概率分布函数3.2 离散型随机变量的期望和方差介绍离散型随机变量的期望和方差的概念举例说明离散型随机变量的期望和方差的计算方法3.3 离散型随机变量的分布列解释离散型随机变量的分布列的概念举例说明离散型随机变量的分布列的计算方法第四章：连续型随机变量4.1 连续型随机变量的定义和性质介绍连续型随机变量的定义和性质解释连续型随机变量的概率密度函数4.2 连续型随机变量的期望和方差介绍连续型随机变量的期望和方差的概念举例说明连续型随机变量的期望和方差的计算方法4.3 连续型随机变量的分布函数解释连续型随机变量的分布函数的概念举例说明连续型随机变量的分布函数的计算方法第五章：大数定律和中心极限定理5.1 大数定律介绍大数定律的概念和意义解释大数定律的数学表达和证明方法5.2 中心极限定理介绍中心极限定理的概念和意义解释中心极限定理的数学表达和证明方法第六章：随机变量的数字特征6.1 随机变量的期望介绍随机变量期望的定义和性质举例说明离散型和连续型随机变量期望的计算方法6.2 随机变量的方差介绍随机变量方差的概念和性质举例说明离散型和连续型随机变量方差的计算方法6.3 随机变量的协方差和相关系数解释协方差和相关系数的含义和作用举例说明协方差和相关系数的计算方法第七章：随机抽样方法7.1 简单随机抽样介绍简单随机抽样的定义和特点解释随机抽样的几种方法，如抽签法、随机数表法等7.2 分层抽样解释分层抽样的原理和步骤举例说明分层抽样的应用和计算方法7.3 系统抽样和整群抽样介绍系统抽样和整群抽样的定义和特点解释系统抽样和整群抽样的应用和计算方法第八章：随机过程的基本概念8.1 随机过程的定义和分类介绍随机过程的定义和分类解释离散时间和连续时间随机过程的区别8.2 随机过程的随机变量的性质介绍随机过程的随机变量的性质，如独立性和马尔可夫性8.3 随机过程的数字特征解释随机过程的数字特征，如均值、方差等第九章：马尔可夫链9.1 马尔可夫链的定义和性质介绍马尔可夫链的定义和性质解释马尔可夫链的转移概率和初始分布9.2 马尔可夫链的分类介绍齐次马尔可夫链和非齐次马尔可夫链的概念解释周期性和稳态分布的概念9.3 马尔可夫链的应用举例说明马尔可夫链在实际问题中的应用，如股票价格预测等第十章：随机行走和排队理论10.1 随机行走介绍随机行走的概念和类型解释随机行走的数学模型和统计特性10.2 排队理论的基本模型介绍排队理论的基本模型，如M/M/1、M/M/c/N等解释排队理论中的基本参数和排队长度公式10.3 排队理论的应用举例说明排队理论在实际问题中的应用，如通信系统、交通管理等第十一章：布朗运动和随机微积分11.1 布朗运动的基本概念介绍布朗运动的概念和特性解释布朗运动的数学模型和实际意义11.2 随机微积分的基本概念介绍随机微积分的基本概念，如随机过程的微分和积分解释随机微积分的应用和计算方法第十二章：随机分析在金融中的应用12.1 金融市场的基本模型介绍金融市场的基本模型，如几何布朗运动和风险中性定价解释金融市场中的随机过程和数学公式12.2 期权定价理论介绍期权定价理论的基本概念和方法解释欧式期权和美式期权的定价公式和应用12.3 利率模型和利率衍生品定价介绍利率模型和利率衍生品的基本概念解释利率模型中的随机过程和利率衍生品定价方法第十三章：随机网络和图论13.1 随机网络的基本概念介绍随机网络的概念和特性解释随机网络的数学模型和统计特性13.2 图论的基本概念介绍图论的基本概念，如图的表示和遍历解释图论在随机网络中的应用和计算方法13.3 网络流和匹配理论介绍网络流和匹配理论的基本概念解释网络流和匹配理论在随机网络中的应用和计算方法第十四章：随机优化和决策理论14.1 随机优化基本概念介绍随机优化的概念和特性解释随机优化问题的数学模型和求解方法14.2 决策理论的基本概念介绍决策理论的概念和特性解释决策理论中的随机过程和决策规则14.3 随机决策分析的应用举例说明随机决策分析在实际问题中的应用，如生产计划、风险管理等第十五章：总结与展望15.1 概率论与随机过程的应用领域总结概率论与随机过程在各个领域的应用强调概率论与随机过程在现代科技发展中的重要性15.2 概率论与随机过程的发展趋势介绍概率论与随机过程的发展趋势，如随机计算、随机图论等展望概率论与随机过程在未来研究中的潜在方向重点和难点解析重点：理解概率的基本概念，掌握概率的计算方法，了解随机变量的数字特征，熟悉随机抽样方法，掌握随机过程的基本概念和应用。
人教版初中数学《概率初步》_PPT
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活动6 课堂小结与作业布置 课堂小结 1．随机事件概率的意义，等可能性事件的概率计算公式P(A)＝. 2．概率计算的两个前提条件：可能出现的结果只有有限个；各种结果 出现的可能性相同． 作业布置 教材第134页～135页 习题第3～6题.
【获奖课件ppt】人教版初中数学《概 率初步 》_ppt 1-课件 分析下 载
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答案：1.摸到红色球与摸到绿色球的可能性不相等，P(摸到红球) ＝58，P(摸到绿球)＝38；2.(1)16；(2)32；(3)数字 1 和 3 出现的概率相同， 都是61，数字 2 和 4 出现的概率相同，都是31.
【获奖课件ppt】人教版初中数学《概 率初步 》_ppt 1-课件 分析下 载
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活动2 试验活动 试验1：每位学生拿出课前准备好的分别标有1，2，3，4，5号的5根 纸签，从中随机地抽取一根，观察上面的数字，看看有几种可能．(如 此多次重复) 试验2：教师随意抛掷一枚质地均匀的骰子，请学生观察骰子向上一 面的点数，看看有几种不同的可能．(如此可重复多次) (1)试验1中共出现了几种可能的结果？你认为这些结果出现的可能性 大小相等吗？如果相等，你认为它们的可能性各为多少？ (2)试验2中共出现了几种可能的结果？你认为这些结果出现的可能性 大小相等吗？如果相等，你认为它们的可能性各为多少？
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概率论基础入门
概率论基础入门概率论是数学的一个分支，它研究随机现象以及这些现象背后的规律性。
在日常生活和科学研究中，概率论的应用非常广泛，从天气预报到医学研究，再到金融投资分析等，无不涉及概率论的知识。
本文旨在为初学者提供一个关于概率论基础的入门指南。
1. 概率的定义概率是衡量某件事情发生的可能性的数值，通常表示为介于0和1之间的一个分数。
如果一个事件发生的概率为0，则意味着这个事件不可能发生；如果一个事件发生的概率为1，则意味着这个事件必然发生。
2. 样本空间与事件在概率论中，一个随机试验的所有可能结果构成的集合称为样本空间，记作S。
样本空间的子集，即我们关心的那一部分结果，被称为事件。
例如，掷一枚硬币的样本空间可以是{正面，反面}，而“得到正面”的事件就是样本空间的一个子集。
3. 事件的概率事件A的概率，记作P(A)，是衡量事件A发生可能性的数值。
对于任意事件A，其概率满足以下条件：- 0 ≤ P(A) ≤ 1- P(S) = 1，其中S是样本空间- 如果A和B是两个互斥事件（即它们不能同时发生），则P(A ∪ B) = P(A) + P(B)4. 概率的计算规则- 加法规则：对于两个事件A和B，如果它们互斥，则它们并集的概率等于各自概率之和，即P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。
- 条件概率：事件A在事件B已发生的条件下发生的概率，记作P(A|B)，计算公式为P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)，前提是P(B) > 0。
- 乘法规则：对于两个事件A和B，它们同时发生的概率是P(A ∩ B) = P(A)P(B|A)，前提是P(A) > 0。
5. 独立事件如果两个事件A和B的发生互不影响，即一个事件的发生不会改变另一个事件发生的概率，那么这两个事件被称为独立事件。
对于独立事件A和B，有P(A ∩ B) = P(A)P(B)。
6. 贝叶斯定理贝叶斯定理提供了一种根据已知的一些事件的概率来推断其他事件概率的方法。